刚体角动量及守恒定律工科
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量
刚体绕定轴转动的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积；方向与角速度的方向相同。
2、刚体定轴转动的角动量定理
（1）微分形式：刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩，等于刚体绕该定轴的角动量随时间的变化率。
（2）积分形式：当物体绕某定轴转动时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩作用，物体的角动量保持不变。
练习：1角动量守恒的条件是 。
0=M 11222
1ωωJ J Mdt t t -=⎰刚体 ） 21J J ==ωJ 恒量
ωJ L =()ωJ dt d dt dL M ==。
第三章 4刚体角动量和守恒
自转初每秒钟 30 - 40次 4 秒自转一次老化的 磁场地球的108～1015倍 产生脉冲波(波霎)周期 0.03～4.3秒 一亿吨/cm3 表面光滑
▲行星状星云，中间的白点可能是中子星
【例15】 一匀质细棒长为l ，质量为m，可绕通过其端点 O的水平轴转动，图示。当棒从水平位置自由释放后，它
【例13】 质量为 m1长为 l 的细杆，静止平放在粗糙的水平面上， 细杆与水平面之间的摩檫系数为 μ ，可绕通过其端点O，且与
平面垂直的固定轴转动。 另有一水平运动的质量为 m2 的滑快， 从侧面垂直与杆的方向，与杆的另一端A 碰撞。已知滑块碰撞
o 前、后的速度分别为
檫力矩。 ：（2）
v1 与 v 2 求：（1）细杆转动时受到的摩 杆从开始转动到停止所需的时间.
●地球的自转角速度变化？ 变慢！
问题2 水平圆盘边上，站有一人质量为m，圆盘半径为R， 转动惯量为J，以角速度ω转动，如果此人从旁边径直走 到圆盘中心，求：角速度的变化和系统动能的变化？
O
A知识点窍:相对运动和L守恒(系统受的合外力矩为零),
L Li 常量C ,转动动能 E转 J 2 2
B逻辑推理:速度对惯性参照系,行走过程中摩擦力过转轴 （Mf=0）,重力矩与L垂直就是对L没有贡献，即M合=0
C解：（1）求摩擦力矩 取微元dx
dm=dx= m1 dx
x
m1 l
l
dx
对o点的力矩元 dM0 dM0 = x dmg
dM0
=
m1 l
g
x
dx
x
M0 =
l m1g x dx
0l
1 2
m1gl
【例13】 质量为 m1长为 l 的细杆，静止平放在粗糙的水平面 上，细杆与水平面之间的摩檫系数为 μ ，可绕通过其端点O，
物理-定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
或 Lz = I = 恒量
当刚体相对惯性系中某给定转轴的合外力矩为 零时，该刚体对同一转轴的角动量保持不变。
——对转轴的角动量守恒定律
二、定轴转动中的角动量守恒
说明 1、 关于该守恒定律的条件：
Mz Miz 0
特别地，若每一个力的力矩均为零，即 则
二、定轴转动中的角动量守恒
M iz ri Fi sini 0 的几种情况
10
f
20
O1 R1 A
R2 O2 fB
随堂练习
当两圆柱接触处无相对滑动时，两者转速相反
10
20
O1 R1 A
R2 O2 B
且两者接触点的线速率相等！
二、定轴转动中的角动量守恒
由定轴转动的角动量定理
Mz
dLz dt
若刚体所受对转轴的合外力矩 M z 0，则有
dLz d ( I ) 0
dt
dt
二、定轴转动中的角动量守恒
(3) 对共轴非刚体系（其中各质元到转轴的距离可 变则）系：统的转动惯量可变，此时系统对转轴的角动量守恒，
即：I =恒量
• 特别地，若各质元的 保持一致，
Lz =I =恒量
当 I 增大时， 就减小； 当 I 减小时， 就增大 。
二、定轴转动中的角动量守恒
例如：花样滑冰运动员在冰面上旋转时 运动了角动量守恒定律
（1）
（2）
（3）
二、定轴转动中的角动量守恒
2、对转轴的角动量守恒定律的适用范围： • 不仅适用于刚体， • 也适用于绕同一转轴转动的任意质点系。
二、定轴转动中的角动量守恒
3、对转轴的角动量守恒的几种典型表现 (1) 对定轴刚体：I 不变， 大小和方向均不变；
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
第3章 刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 11
二 刚体对轴的角动量 刚体定轴转动的角动量定理
1.刚体对轴的角动量 刚体对转轴z 轴的角动
量就是刚体上各质元的角动
量之和． Li miri2
z
Lz
r
mv
mv
L Li (miri2 ) ( miri2 ) J
i
i
i
的劲度系数为k，设有一质量为m的子弹以初速 v0 垂
直于OA射向M并嵌在木块内.弹簧原长 l0 ，子弹击中
木块后，木块M运动到B点时刻，弹簧长度变为l，此
时OB垂直于OA，求在B点时，木块的运动速度 v2 .
解 击中瞬间，在水平
面内，子弹与木块组成
的系统沿 v0方向动量守 恒，即有
mv0 (m M )v1
置时, 有一只小虫以速率 v0 垂直落在距点 O 为 l/4 处,
并背离点O 向细杆的端点 A 爬行. 设小虫与细杆的质量
均为m. 问: 欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多
大速率向细杆端点爬行?
解: 碰撞前后系统角动量 守恒
mv0
l 4
1 12
ml
2
m(
l 4
)
2
12v0 7l
第3章 刚体力学基础
第3章 刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 6
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 2
(m
M)v21
1 2
(m
M)v22
1 2
k (l
l0 )2
在由A→B的过程中木块在水平面内只受指向O点的
弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 v2
刚体力学_角动量
dLi Mi = dt
i内 内
的内力矩之和应为零,所以在遍 的内力矩之和应为零 所以在遍 及刚体内所有质点后,可得 及刚体内所有质点后 可得
d ∑ Mi = ∑ Mi外+ ∑ Mi内= ∑ Mi外= dt ( ∑ Li )
合力矩 合内力矩为零 合外力矩M 合外力矩 刚体角动量L 刚体角动量
dL 刚体作定轴转动时 刚体所受合外力矩等于 刚体作定轴转动时,刚体所受合外力矩等于 即 M= 刚体绕此定轴的角动量随时间的变化率. dt 刚体绕此定轴的角动量随时间的变化率
转动惯量为J的刚体在合外力矩的作用下作定轴转动 在时 转动惯量为 的刚体在合外力矩的作用下作定轴转动,在时 的刚体在合外力矩的作用下作定轴转动 间 t1 到 t2 内,其角速度由 ω 1变为 ω 2 ,则有 其角速度由 则有
∫
t2
t1
Mdt =
∫
L2
L1
dL = L2 − L1 = J ω 2 − J ω 1
m
解：选质点系: 选质点系 两个钢球+泥球 两个钢球 泥球 碰撞过程， 碰撞过程，
a/2 o a/2
m V0 m
质点系对o点的合外力矩为零， 质点系对 点的合外力矩为零， 点的合外力矩为零 系统角动量守恒. 系统角动量守恒
由角动量守恒定律， 由角动量守恒定律，得： (a/2) mv0
m V
=(a/2)2mv+（a/2）mv （ ）
v v dL M= dt
v v v M d t = L 2 − L1 ∫t1 t2 v 冲量矩 ∫ M dt
t2
t1
对同一参考点O， 对同一参考点 ，质点所受的冲量矩 等于质点角动量的增量．——质点的角动 等于质点角动量的增量．——质点的角动 量定理
8 刚体角动量定理 角动量守恒定律
m
p
质点对某参考点的角动量大 小反映其绕参考点旋转运动的 强弱. 2.4.3 质点的角动量定理 对圆周运动的质点 d M J J dt dJ dL M dt dt
P.7/34
大小:
L rmv sin
p
o
方向: 满足右手螺旋
r
质点绕参考点 作圆周运动
i
O
ri
vi
mi
J
P.10/34
第3章 刚体力学基础
2. 刚体定轴转动的角动量定理 刚体对z轴的总角动量
t2
t1
M z dt L2 L1 J 2 2 J11
Lz J
d d Lz M z J J dt dt
t
t0
M dt
称为冲量矩 又称角冲量
t2
t1
M z dt L2 L1 J 2 J1
3.2.4 定轴转动角动量守恒定律 刚体定轴转动的角动量守恒 定律: 刚体所受合外力矩为零, 则刚体的角动量保持不变.
刚体定轴转动的角动量定理: 在一段时间内, 刚体所受合外力 矩的冲量矩等于该时间内刚体 角动量的增量.
L J 恒矢量
M
定义: 力F 对参考点O 的力矩 M 的大小等于此力和力臂(从 参考点到力的作用线的垂直距 离)的乘积.
M1 M 2 M n
ri Fi r1 F1 r2 F2 rn Fn
M Fr Fr sin M rF
M z F r sin
第3章 刚体力学基础
转动定律
《大学物理》34刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律.
设子弹射入后杆起摆的角速度为ω，则有：
1 m v 0 a ( ML2 ma 2 ) 3
子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功，故系统机 械能守恒。
1 1 L 2 2 2 ( ML ma ) mga (1 cos60 ) Mg (1 cos60 ) 2 3 2
1
2.刚体的角动量定理及守恒定律
刚体所受合外力矩与角加速度关系为
d M J J dt
利用角动量表示
dJ dL M dt dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚 体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动 量定理的一种形式。
当合外力矩为零时
d J dL M dt dt
如果质点所受合外力矩为零，则质点的角动量保持不变， 这就是质点的角动量守恒定律。
1. 质点角动量定理及守恒定律
例：我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆 的一个焦点。已知地球半径 R ，卫星的近地点到地面距离 l ，卫星的远 地点到地面距离 l 。若卫星在近地点速率为 v1 ，求它在远地点速率 v2 。
3.4刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
一、冲量矩 角动量 1.冲量矩
定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。
数学表达：
M dt
0
t
2.角动量
整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动 量——即每个质元的动量对转轴之矩的和。
2.1质点的角动量
o
r
v
o
L
m
L
r
m
J 恒量
如果物体所受合外力矩为零，或不受外力矩的作用， 物体的角动量保持不变，这就是角动量守恒定律。
刚体的角动量和角动量守恒定律
如图所示，刚体绕转轴 Oz 以角速度 ω 转动。 由于刚体上的每个质元都绕转轴 Oz 做圆周运动，因此都具有一定的角动量。 设第 i 个质元的质量为 mi ，它到转轴的垂直位矢为 ri ，线速度为 vi ，则该质元对转轴的角动量 Li 大 小为 Li miviri miri2
刚体的角动量和角动量守恒定律
计转轴处的摩擦力和空气阻力）。
【解】 把人和转台看作一个系统，系统不受外力矩作用，
其角动量守恒，即 mR2 1 MR2 0
2
解得 2 m
M 负号表示转台转动的方向与人跑动的方向相反。
大学物理
大学物理
刚体的角动量和角动量守恒定律 1.1 角动量
1．质点的角动量
如图所示，质量为 m 的质点相对于某一参考点 O 运动，在某一时刻，质点相对于参考点 O 的位矢为 r， 质点的速度为 v，质点的动量为 p mv ，则位矢 r 与动量 p 的矢积称为质点相对于 O 点的角动量（动量矩）， 用 L 表示，即 L r p r mv
m2 Lv0
Байду номын сангаас
m2 Lv
1 3
m1L2
根据线量与角量的关系 v L ，
可解得子弹和杆一起运动时的角速度 ω 为 3m2v0
(3m2 m1)L
刚体的角动量和角动量守恒定律
， ，
，
，
例题讲解 5
如图所示，质量为 M、半径为 R 的转台，可绕过中心的竖直轴转动。质量为 m 的人站在台的边缘。最
初人和台都静止，后来人在台的边缘开始跑动。设人相对地面的角速度为 ω，求转台转动的角速度 （不
刚体的角动量和角动量守恒定律 1.1 角动量
1．质点的角动量
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刚体的角动量及守恒定律
一、选择题
1、一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上，双臂水平地举二哑铃。
在该人把此二哑
铃水平收缩到胸前的过程中，对于人、哑铃与转动平台组成的系统来说，正确的
是： 。
A.机械能守恒，角动量守恒；
B.机械能守恒，角动量不守恒；
C.机械能不守恒，角动量守恒；
D.机械能不守恒，角动量不守恒；
2、 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 。
(A) 刚体不受外力矩的作用．
(B) 刚体所受合外力矩为零．
(C) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零．
(D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变．
3、一块方板，可以绕通过其一个水平边的光滑固定轴自由转动．最初板自由下垂．今
有一小团粘土，垂直板面撞击方板，并粘在板上．对粘土和方板系统，如果忽略空气阻力，
在碰撞中守恒的量是 。
(A) 动能． (B) 绕木板转轴的角动量．
(C) 机械能． (D) 动量．
4、光滑的水平桌面上，有一长为2L 、质量为m 的匀质细
杆，可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O 自由转动，其转动惯量为31mL 2，起初杆静止．桌面上有两个质量均为m 的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同
速率v 相向运动，如图所示。
当两小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后，就与
杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为 。
(A)
L 32v ． (B) L
54v ． (C) L 76v ． (D) L
98v ． (E) L 712v ． 5、如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴O
旋转，初始状态为静止悬挂．现有一个小球自左方水平打击细杆．设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统 。
(A) 只有机械能守恒．
(B) 只有动量守恒．
(C) 只有对转轴O 的角动量守恒．
(D) 机械能、动量和角动量均守恒．
6、 质量为m 的小孩站在半径为R 的水平平台边缘上．平台可以绕通过其中心的竖直
光滑固定轴自由转动，转动惯量为J ．平台和小孩开始时均静止．当小孩突然以相对于地
面为v 的速率在台边缘沿逆时针转向走动时，则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向
分别为 。
(A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛=R J mR v 2ω，顺时针． (B) ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=R J mR v 2ω，逆时针． (C) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=R mR J mR v 22ω，顺时针． (D) ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=R mR J mR v 22ω，逆时针． 7、一水平圆盘可绕通过其中心的固定竖直轴转动，盘上站着一个人.
把人和圆盘取作
O
v
俯视图
系统，当此人在盘上随意走动时，若忽略轴的摩擦，此系统 。
(A) 动量守恒．
(B) 机械能守恒．
(C) 对转轴的角动量守恒．
(D) 动量、机械能和角动量都守恒．
(E) 动量、机械能和角动量都不守恒．
8、如图所示，一静止的均匀细棒，长为L 、质量为M ，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O 在水平面内转动，转动惯量为23
1ML 。
一质量为m 、速率为v 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为v 2
1，则此时棒的角速度应为 。
(A) ML m v ． (B) ML
m 23v ． (C) ML m 35v ． (D) ML
m 47v ． 9、一个物体正在绕固定光滑轴自由转动，
(A) 它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变．
(B) 它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小．
(C) 它受热或遇冷时，角速度均变大．
(D) 它受热时角速度变小，遇冷时角速度变大．
10、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转
动，如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反
并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度ω 。
(A) 增大． (B) 不变．
(C) 减小． (D) 不能确定．
二、填空题
1、力矩的定义式为______________________________________________。
在力
矩作用下，一个绕轴转动的物体作__________________________运动。
若系统所
受的合外力矩为零，则系统的________________________守恒。
2、一转台绕竖直固定光滑轴转动，每10 s 转一周，转台对轴的转动惯量为1200 kg ·m 2。
质量为80kg 的人，开始时站在台的中心，随后沿半径向外跑去，问当人离转台中心2m 时， 转台的角速度为__________________。
3、如图所示，一匀质木球固结在一细棒下端，且可绕水平光滑固定轴O 转动．今有一子弹沿着与水平面成一角度的方向击中木球而
嵌于其中，则在此击中过程中，木球、子弹、细棒系统的
______________守恒，原因是_______________木球被击中后棒和球升
高的过程中，木球、子弹、细棒、地球系统的__________守恒。
4、有一半径为R 的匀质圆形水平转台，可绕通过盘心O 且垂直于盘面的竖直固定轴OO ＇转动，转动惯量为J ．台上有一人，质量为m ．当他站在离转轴r 处时(r ＜R )，转台和人一起以ω1的角速度
转动，如图．若转轴处摩擦可以忽略，问当人走到转台边缘时，转
台和人一起转动的角速度ω2＝______________。
俯视图
m m 1
5、在一水平放置的质量为m 、长度为l 的均匀细杆上，套着一质量也为m 的套管B (可看作质点)，套管用细线拉住，它到竖直的光滑固定轴OO ＇的距离为l 21，杆和套管所组成的系统以角速度ω0绕OO ＇轴转动，如图所示。
若在转动过程中细线被拉断，套管将沿着杆滑动．在套
管滑动过程中，该系统转动的角速度ω与套管离轴的距离x 的函
数关系为_______________。
(已知杆本身对OO ＇轴的转动惯量为231ml ) 6、质量为m 、长为l 的棒，可绕通过棒中心且与棒垂直的竖直光滑固定轴O 在水平面内自由转动(转动惯量J ＝m l 2 / 12)．开始时棒静止，现有一子弹，质量也是m ，在水平面内以速度v 0垂直射入棒端并嵌在其中．则子弹嵌入后棒的角速度ω ＝_____________________。
7、一飞轮以角速度ω0绕光滑固定轴旋转，飞轮对轴的转动
惯量为J 1；另一静止飞轮突然和上述转动的飞轮啮合，绕同一转轴转动，该飞轮对轴的转动惯量为前者的二倍．啮合后整个系统的角速度ω＝__________________。
8、长为l 、质量为M 的匀质杆可绕通过杆一端O 的水平光滑固定轴转动，转动惯量为231Ml ，开始时杆竖直下垂，如图所示．有一质量为m 的子弹以水平速度0v 射入杆上A 点，并嵌在杆中，OA ＝2l / 3，
则子弹射入后瞬间杆的角速度ω ＝____________________。
三计算题
1、如图所示，一半径为R 的匀质小木球固结在一长度为l
的匀质细棒的下端，且可绕水平光滑固定轴O 转动．今有一质量为m ，速度为0v 的子弹，沿着与水平面成α角的方向射向球心，且嵌于球心．已知小木球、细棒对通过O 的水平轴的转动惯量的总和为J ．求子弹嵌入球心后系统的共同角速度．
2、一均匀木杆，质量为m 1 = 1 kg ，长l = 0.4 m ，可绕通过它的中点且与杆身垂直的光滑水平固定轴，在竖直平面内转动．设杆静止于竖直位置时，一质量为m 2 = 10 g 的子弹在距杆中点l / 4处穿透木杆(穿透所用时间不计)，子弹初速度的大小v 0 = 200 m/s ，方向与杆和轴均垂直．穿出后子弹速度大小减为v = 50 m/s ，但方向未变，求子弹刚穿出的瞬时，杆的角速度的大小．(木杆绕通过中点的垂直轴的转动惯量J = m 1l 2 / 12)
3、一质量均匀分布的圆盘，质量为M ，半径为R ，放在一
粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为μ)，圆盘可绕通过
其中心O 的竖直固定光滑轴转动．开始时，圆盘静止，一质量为
m 的子弹以水平速度v 0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘
边上，求 (1) 子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度．
(2) 经过多少时间后，圆盘停止转动． (圆盘绕通过O 的竖直轴的转动惯量为22
1MR ，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩) m 0v 俯视图。