定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
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定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
Iz
( 1 ml 2 12
mr 2 )
代入得 mgr cos 2mr dr
dt
v
dr dt
g cos 2
g
2
cos
t
7 lg 24v 0
cos(12v 7l
0t
)
L 0 J 常量
即：合外力为对转轴的力矩为零时，刚体的角动量守恒
讨论：
a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J保持不变， 当合外力矩为零时，其角速度恒定。
当M z 0时， J =恒量 =恒量
b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系
统的角动量依然守恒。J 大→ 小, J 小→ 大。
当M z 0时， Lz J11 J22 恒量
。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对
转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴的角
动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则
1
ml 2
mvl
1
ml 2
3
3
（2）
式中’为棒在碰撞后的角速度，它可正可负。
’取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右
摆。
第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减 速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为
例12、如图所示，长为L，质量为m1的均匀细棒 能绕一端在铅直平面内转动。开始时，细棒静止于
垂直位置。现有一质量为m2的子弹，以水平速度v0
射入细棒下断而不复出。求细棒和子弹开始一起运 动时的角速度？
题意分析：由于子弹射入细棒的时间极为短促，我们 可以近似地认为：在这一过程中，细棒仍然静止于垂 直位置。因此，对于子弹和细棒所组成的系统（也就 是研究对象）在子弹射入细棒的过程中，系统所受的 合外力（重力和轴支持力相等）对转轴O的力矩都为 零。根据角动量守恒定律，系统对于O轴的角动量守 恒。
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量
刚体绕定轴转动的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积；方向与角速度的方向相同。
2、刚体定轴转动的角动量定理
（1）微分形式：刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩，等于刚体绕该定轴的角动量随时间的变化率。
（2）积分形式：当物体绕某定轴转动时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩作用，物体的角动量保持不变。
练习：1角动量守恒的条件是 。
0=M 11222
1ωωJ J Mdt t t -=⎰刚体 ） 21J J ==ωJ 恒量
ωJ L =()ωJ dt d dt dL M ==。
物理-定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
或 Lz = I = 恒量
当刚体相对惯性系中某给定转轴的合外力矩为 零时，该刚体对同一转轴的角动量保持不变。
——对转轴的角动量守恒定律
二、定轴转动中的角动量守恒
说明 1、 关于该守恒定律的条件：
Mz Miz 0
特别地，若每一个力的力矩均为零，即 则
二、定轴转动中的角动量守恒
M iz ri Fi sini 0 的几种情况
10
f
20
O1 R1 A
R2 O2 fB
随堂练习
当两圆柱接触处无相对滑动时，两者转速相反
10
20
O1 R1 A
R2 O2 B
且两者接触点的线速率相等！
二、定轴转动中的角动量守恒
由定轴转动的角动量定理
Mz
dLz dt
若刚体所受对转轴的合外力矩 M z 0，则有
dLz d ( I ) 0
dt
dt
二、定轴转动中的角动量守恒
(3) 对共轴非刚体系（其中各质元到转轴的距离可 变则）系：统的转动惯量可变，此时系统对转轴的角动量守恒，
即：I =恒量
• 特别地，若各质元的 保持一致，
Lz =I =恒量
当 I 增大时， 就减小； 当 I 减小时， 就增大 。
二、定轴转动中的角动量守恒
例如：花样滑冰运动员在冰面上旋转时 运动了角动量守恒定律
（1）
（2）
（3）
二、定轴转动中的角动量守恒
2、对转轴的角动量守恒定律的适用范围： • 不仅适用于刚体， • 也适用于绕同一转轴转动的任意质点系。
二、定轴转动中的角动量守恒
3、对转轴的角动量守恒的几种典型表现 (1) 对定轴刚体：I 不变， 大小和方向均不变；
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
P
第3章 刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 11
二 刚体对轴的角动量 刚体定轴转动的角动量定理
1.刚体对轴的角动量 刚体对转轴z 轴的角动
量就是刚体上各质元的角动
量之和． Li miri2
z
Lz
r
mv
mv
L Li (miri2 ) ( miri2 ) J
i
i
i
的劲度系数为k，设有一质量为m的子弹以初速 v0 垂
直于OA射向M并嵌在木块内.弹簧原长 l0 ，子弹击中
木块后，木块M运动到B点时刻，弹簧长度变为l，此
时OB垂直于OA，求在B点时，木块的运动速度 v2 .
解 击中瞬间，在水平
面内，子弹与木块组成
的系统沿 v0方向动量守 恒，即有
mv0 (m M )v1
置时, 有一只小虫以速率 v0 垂直落在距点 O 为 l/4 处,
并背离点O 向细杆的端点 A 爬行. 设小虫与细杆的质量
均为m. 问: 欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多
大速率向细杆端点爬行?
解: 碰撞前后系统角动量 守恒
mv0
l 4
1 12
ml
2
m(
l 4
)
2
12v0 7l
第3章 刚体力学基础
第3章 刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 6
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 2
(m
M)v21
1 2
(m
M)v22
1 2
k (l
l0 )2
在由A→B的过程中木块在水平面内只受指向O点的
弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 v2
第3章 刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 11
二 刚体对轴的角动量 刚体定轴转动的角动量定理
1.刚体对轴的角动量 刚体对转轴z 轴的角动
量就是刚体上各质元的角动
量之和． Li miri2
z
Lz
r
mv
mv
L Li (miri2 ) ( miri2 ) J
i
i
i
的劲度系数为k，设有一质量为m的子弹以初速 v0 垂
直于OA射向M并嵌在木块内.弹簧原长 l0 ，子弹击中
木块后，木块M运动到B点时刻，弹簧长度变为l，此
时OB垂直于OA，求在B点时，木块的运动速度 v2 .
解 击中瞬间，在水平
面内，子弹与木块组成
的系统沿 v0方向动量守 恒，即有
mv0 (m M )v1
置时, 有一只小虫以速率 v0 垂直落在距点 O 为 l/4 处,
并背离点O 向细杆的端点 A 爬行. 设小虫与细杆的质量
均为m. 问: 欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多
大速率向细杆端点爬行?
解: 碰撞前后系统角动量 守恒
mv0
l 4
1 12
ml
2
m(
l 4
)
2
12v0 7l
第3章 刚体力学基础
第3章 刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 6
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 2
(m
M)v21
1 2
(m
M)v22
1 2
k (l
l0 )2
在由A→B的过程中木块在水平面内只受指向O点的
弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 v2
9-刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律 刚体定轴转动的动能定理
0
内转动物体角动量的增量，称为角动量定理。 讨论：(1)冲量矩是力对时间的累积，其效果是引起动量矩的改变。 (2)角动量定理对 J 不变或变均适用。 三、角动量守恒定律(动量矩守恒) 由角动量定理可知，如果物体所受对某固定轴的合外力矩
dL d ( J ) 0 ，所以 L J 恒量 dt dt
2). 质点的动能定理： 合外力对质点所做的功等于动能的增量， 那么刚体转动动能 的改变是不是也是由于力做功导致的？(学生应该会提出是力矩做功的原因， 那么 点明：其实力矩功并不是新的功，只是力的功的另一种表达方式，为什么这样说， 我们从力做功去推导力矩做功看一下)。
一、力矩的功(推导)： A dA Md
5
于相应的力矩与角位移元的乘积，称为力矩的功。
1 1 1 二、转动动能： Ek mi ri 2 2 ( mi ri 2 ) 2 J 2 2 2 2
转动动能不是一种新的动能是动能的另一种表达方式。
10 分钟
过渡：那么现在我们知道了对于刚体的定轴转动，力矩做的功，以及刚体的转动 动能，那么应该可以知道刚体定轴转动的动能定理了。
二、 角动量定理(动量矩定理) (1) 冲量矩：与冲量相似，表示力矩在一段时间内的累计效应，等于力矩乘以力矩所作用的 时间。 (2) 定理：刚体作定轴转动时，根据转动定律得出 Mdt
10 分钟
d ( J ) ，对其两边积分，得：
t
t0
Mdt d ( J) J J0 ；转动物体所受合外力矩的冲量等于在这段时间
1 J 常量 2
在只有保守力矩做功的情况下，系统的转动动能和势能相互转化，而总的机械能 保持不变，这就是刚体定轴转动的机械能守恒定律。
内转动物体角动量的增量，称为角动量定理。 讨论：(1)冲量矩是力对时间的累积，其效果是引起动量矩的改变。 (2)角动量定理对 J 不变或变均适用。 三、角动量守恒定律(动量矩守恒) 由角动量定理可知，如果物体所受对某固定轴的合外力矩
dL d ( J ) 0 ，所以 L J 恒量 dt dt
2). 质点的动能定理： 合外力对质点所做的功等于动能的增量， 那么刚体转动动能 的改变是不是也是由于力做功导致的？(学生应该会提出是力矩做功的原因， 那么 点明：其实力矩功并不是新的功，只是力的功的另一种表达方式，为什么这样说， 我们从力做功去推导力矩做功看一下)。
一、力矩的功(推导)： A dA Md
5
于相应的力矩与角位移元的乘积，称为力矩的功。
1 1 1 二、转动动能： Ek mi ri 2 2 ( mi ri 2 ) 2 J 2 2 2 2
转动动能不是一种新的动能是动能的另一种表达方式。
10 分钟
过渡：那么现在我们知道了对于刚体的定轴转动，力矩做的功，以及刚体的转动 动能，那么应该可以知道刚体定轴转动的动能定理了。
二、 角动量定理(动量矩定理) (1) 冲量矩：与冲量相似，表示力矩在一段时间内的累计效应，等于力矩乘以力矩所作用的 时间。 (2) 定理：刚体作定轴转动时，根据转动定律得出 Mdt
10 分钟
d ( J ) ，对其两边积分，得：
t
t0
Mdt d ( J) J J0 ；转动物体所受合外力矩的冲量等于在这段时间
1 J 常量 2
在只有保守力矩做功的情况下，系统的转动动能和势能相互转化，而总的机械能 保持不变，这就是刚体定轴转动的机械能守恒定律。
教学设计：定轴转动刚体的角动量守恒定律及其应用
问题1：单旋翼直升机为什么要有尾翼装置？双旋翼直升机为什
么设计两个机翼？两个机翼的旋转方向有什么关系？
、播放一段花样滑冰和跳水的视频，提醒学生注意观察运动员的肢体动作。
d J t d t =
（类比：d d P F t
=外）
21
d t 为M 冲量矩。
说明： （1）冲量矩是矢量
角动量定理：合外力矩对刚体的冲量矩等于刚体角动量的增量。
定轴转动刚体的角动量守恒定律=
角动量守恒定律：当合外力矩等于零，刚体的角动量保持不变。
，与内力矩无关；ω均变，但对定轴的角动量守恒定律的应用
多个刚体组成的系统： M =外i i L J ω=∑=恒量
双旋翼直升机：装置反向转动的双旋翼产生反向角 动量
0 , L Jω==
外=恒量0 , P mv
===恒量
课后思考题：
（1）为什么猫从高处落下时总能四脚着地？（视频）
（2）航天器在对接时是如何实现姿态控制的？（图片）。
3-3刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
为零,角动量守恒
v0
v0
mv0l mv0l 0 mvl mvl J
v l
6 v0 7l
1 2 J ml 3
代入上式
L J const.
即转动过程中角动量(大小、方向)保持不变 角动量守恒定律比转动定律适用范围更广泛， 这里可以有
J 00 J11
但是
J 0 J1
讨论
1）角动量守恒条件
M 0
2）若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变， 但
L J 不变.
3） 内力矩不改变系统的角动量. 4）在冲击等问题中 内力矩>>外力矩，角动量保持不变。 5）角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
力矩。合外力矩为 0 ，小球角动
量守恒 。 有：
N
mg
L = mvr = 恒量
即： m v1 r1 =m v2 r2
例2 光滑桌面上有一长2l，质量为m的细棒， 起初静止。两个质量m，速率v0的小球，如图 与细棒完全非弹性碰撞，碰撞后与细棒一起绕 中心轴转动，求系统碰撞后的角速度 解：系统的合外力矩
d( ) d( J ) dL M J J dt dt dt
刚体所受的(对轴的)外力矩等于刚体(对轴的) 角动量的时间变化率。 或写作
Mdt dL
t2 t1
对于一段时间过程有
t2
t1
Mdt dL L末 L初
三、定轴转动刚体的角动量守恒定律 如合外力矩等于零
6）转动系统由多个物体(刚体或质点)组成， 角动量守恒定律的形式为
i
J ii J i 0i 0
i
m
m
系统内各物体的角 动量必须是对同一 固定轴而言的。
角动量守恒
v0
m v
例2、如图所示，将单摆和一等长l的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量与 单摆的摆锤质量相等，均为m。
开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度h0，令它自静止状态下摆,于 垂直位置和直杆作弹性碰撞。
求碰撞后直杆下端达到的高度h及摆锤达到的高度h’。
l m ho
c l hc 求h=?
h’
a
b
解:碰撞前单摆摆锤的速度为
功率一定时，转速越大，力矩越小；转速越 小，力矩越大。
3、意义
表示力矩对刚体作功的快慢
思考： P15 1-8、1-11
第一章 刚体力学(2)
第4节 角动量守恒定律 一、质点的角动量 二、刚体定轴转动的角动量 三、角动量守恒定律 四、力矩作功
一、质点的角动量 质点质量m，速度v，位置矢量 为 r， 定义质点对坐标原点O的角动量L 为该质点的位置矢量与动量的矢 量积
L o r m
P θ
L r P r mv
单位：kgm2/s
大小：L＝rmvsin 方向：右手螺旋定则判定
说明
•角动量是物理学的基本概念之一。 •角动量与质点的运动和参考点有关。 •作圆周运动的质点的角动量L ＝ r m v
P r
L o
•质点作匀速直线运动时，质点的角动量 L保持不变。
大小：L＝
rmvsinα = mvd
二、刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 1、刚体定轴转动的角动量
刚体上的一个质元,绕固定轴做圆周运动角动量为：L ＝ ri m vi
Li mi ri
2
o
L
所以刚体绕此轴的角动量为：
vi o ri mi
L Li ( mi ri2 )