刚体角动量守恒定律
转动动能定理、角动量守恒原理
一，转动动能定理：
1， 力矩的功
设刚体在外力F 作用下发生角位移d φ 由功的定义：相应的元功为：
ϕθϕθMd Frd ds F ds F dA o ==-⋅=⋅=sin )90cos(
所以力矩的功为：
⎰⎰==2
1
ϕϕϕMd dA A
2， 转动动能定理
设M 为作用刚体上的合外力矩。
将转动定律应用于功的定义中：
2
22
121)(0ωωωωϕωϕβϕωωJ J d J d dt d J d J Md A -=====⎰⎰⎰⎰ 所以转动动能定理为：
2
22
121ωωϕJ J Md -=⎰ 说明，（1）⎰ϕMd 为合外力矩的功，是过程量
22
1
ωJ E K =
为刚体在t 时刻的转动动能。
是时刻量。
（2）其中M 、J 、ω必须相对同一惯性系，同一转轴。
【例】：质量为m 长度为l 的匀质细棒，可绕端轴o 在铅垂铅垂面内自由摆动，求细棒自水平位置自由下摆到铅垂位置时的角速度。
解：取细棒为研究对象，视之为刚体。
细棒下摆到 任意θ位置时受外力有：重力mg ，端轴支持力N (对o 不成矩) 。
由功的定义：
2
cos 2)90sin(2900l mg d l mg d l
mg Md o o ===-=⎰⎰⎰θθθθθ
由转动动能定理：
l
g
ml J l mg 331210212222=
∴
⎪⎭
⎫
⎝⎛=-=ωωω
二，角动量守恒定律
设M 为作用于刚体的合外力矩，由定轴转动定律：
dt
dL
dt J d dt d J J M =
===)(ωωβ 所以，刚体定轴角动量定理为
00
L L dL Mdt L
L t
t -==⎰⎰
特别当整个过程中合外力矩为零时，刚体的角动量守恒。
即刚体定轴转动角动量守恒定律为：
常矢==L M 0
说明：（1）刚体定轴角动量守恒条件是整个过程中合外力矩为零。
（2）守恒式各量（M 、J 、ω）均需是对同一惯性系中的同一转轴。
（3）⎩
⎨⎧==都变，但乘积不变、都不变、ωωωJ J const I L
（4）角动量守恒定律也是自然界基本定律之一。
不仅适用宏观领域，
也适用微观领域。
【例】质量为m 的人站在质量为M ，半径为R 的水平匀质圆盘边沿，随圆盘以角速度0Ω旋转，当他运动到半径r 处时，系统的角速度变为多少？
解：系统转动过程中所受外力：重力Mg 、mg 、以及转轴的支持力N 均对转轴不成矩，故系统角动量守恒。
2
22
22022220222)2()
2
1()21()2
1
()21(Ω++=+Ω+=ΩΩ+=Ω+
MR
mr R M m MR mr MR mR MR mr MR mR
【例】：质量为M 、半径为R 的水平圆盘可绕通过圆心的铅直轴转动，盘上 距轴r(r<R)处有一质量为m 的人，开始盘与人均静止，当人以相对于盘的速度u 作半径为r 的圆周运动时圆盘的角速度为多大？
解：设圆盘角速度为Ω，系统转动过程中所受外力：重力Mg 、mg 、以及转轴的支持力N 均对转轴不成矩， 故系统角动量守恒。
人对盘的角速度：r u =ω， 人对地的角速度：ωϖ-Ω=
)2/(2210)(212222222mr MR mur mr MR r u mr mr MR +=ΩΩ⎪⎭
⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-Ω+Ωω
【例】：质量为
M 长度为l 的匀质细棒静止在铅垂位置，一质量为m 的子弹以速度v 水平地射入细棒下端，试求细棒（含子弹）上摆高度h=?
解：子弹射入细棒的过程很快完成，故认为细棒来不及运动。
系统所受
外力有：重力Mg 、mg 以及悬挂点支持力N ，它们对o 均不成矩。
故过程的角动量守恒：
)
1.......()
3
1
(.)3
1
(2222Ml ml mvl
Ml ml mvl +=+=ωω
)
2.........()2
1
(21)cos 2
2()cos ()31(21222h Mg mg Mgh mgh l
l Mg l l mg Ml ml +=+-+-=+θθω
联立（1）、（2）得：
)
2
1)(31(2)(222
Mg mg Ml ml mvl h ++=
【例】：转动惯量为J 1、角速度为ω0的飞轮与半径相同转动惯量为J 2的静
止飞轮接触后，角速度将变为多少？
解：设接触Δt 时间后角速度分别为ω1、ω2，接触过程中各自受力如图。
但 对各自的转轴具有力矩的只有f 12、f 21。
)1( (22110121)
1222210
11112ωωωωωωJ J J f f J t R f J J t R f -=∴-==∆-=∆
2
11
2121ωωω
ωωωωJ J J R
R -=∴==∴=
思考：1，有人认为（1）式也可以利用系统角动量守恒定律得出，对吗？ 上例中的两轮换成下图所示情况，可以利用定轴转动角动量守恒定律求解吗？
2，试分析单摆和圆锥摆中质点的动能、动量和角动量的守恒情况。
2山
1山ω。
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量
刚体绕定轴转动的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积；方向与角速度的方向相同。
2、刚体定轴转动的角动量定理
（1）微分形式：刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩，等于刚体绕该定轴的角动量随时间的变化率。
（2）积分形式：当物体绕某定轴转动时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩作用，物体的角动量保持不变。
练习：1角动量守恒的条件是 。
0=M 11222
1ωωJ J Mdt t t -=⎰刚体 ） 21J J ==ωJ 恒量
ωJ L =()ωJ dt d dt dL M ==。
物理-定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
或 Lz = I = 恒量
当刚体相对惯性系中某给定转轴的合外力矩为 零时，该刚体对同一转轴的角动量保持不变。
——对转轴的角动量守恒定律
二、定轴转动中的角动量守恒
说明 1、 关于该守恒定律的条件：
Mz Miz 0
特别地，若每一个力的力矩均为零，即 则
二、定轴转动中的角动量守恒
M iz ri Fi sini 0 的几种情况
10
f
20
O1 R1 A
R2 O2 fB
随堂练习
当两圆柱接触处无相对滑动时，两者转速相反
10
20
O1 R1 A
R2 O2 B
且两者接触点的线速率相等！
二、定轴转动中的角动量守恒
由定轴转动的角动量定理
Mz
dLz dt
若刚体所受对转轴的合外力矩 M z 0，则有
dLz d ( I ) 0
dt
dt
二、定轴转动中的角动量守恒
(3) 对共轴非刚体系（其中各质元到转轴的距离可 变则）系：统的转动惯量可变，此时系统对转轴的角动量守恒，
即：I =恒量
• 特别地，若各质元的 保持一致，
Lz =I =恒量
当 I 增大时， 就减小； 当 I 减小时， 就增大 。
二、定轴转动中的角动量守恒
例如：花样滑冰运动员在冰面上旋转时 运动了角动量守恒定律
（1）
（2）
（3）
二、定轴转动中的角动量守恒
2、对转轴的角动量守恒定律的适用范围： • 不仅适用于刚体， • 也适用于绕同一转轴转动的任意质点系。
二、定轴转动中的角动量守恒
3、对转轴的角动量守恒的几种典型表现 (1) 对定轴刚体：I 不变， 大小和方向均不变；
§3-3定轴转动刚体的角动量守恒定律
v0
1 2 J ml 3
解：系统的合外力矩为零,角动量守恒
mv l mv l 0 m7l
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动 dv d2 x dx a 2 v dt dt dt 1 2 Pmv EK mv 2 刚体的定轴转动 d d2 d 2 dt dt dt 1 2 LJ EK J 2
也变， 不变；若 J 变，
3） 内力矩不改变系统的角动量. 4）在冲击、碰撞等问题中 内力矩>>外力矩，角动量保持不变。 5）角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
例1 一根质量为 M ，长为l 的均匀细棒，可绕通 过棒中心的垂直轴 Z ，在 xy 平面内转动。开始时 静止，今有质量为 m 的小球以速度 v0 垂直碰撞 棒的端点，假设碰撞是完全非弹性的，小球与棒碰 撞后粘在一起，试求碰撞后系统转动的角速度
§3-3 定轴转动刚体的角动量守恒定律 一、 定轴转动刚体的角动量定理 由转动定律
d ( ) d ( J ) d L M J J d t d t d t
或写作
t 2
M d t d L
t 2
对于一段时间过程有
M d t d L L L 末 初
t 1 t 1
F
d A F d x
m
M
J
Fdt
d A M d M dt
F ma
M J
0
d t P P F
d t L L M
0
v0
m
M l
x
y
z
解：系统的合外力矩 为零.角动量守恒 碰撞前 球角动量: mv
0
3-3刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
为零,角动量守恒
v0
v0
mv0l mv0l 0 mvl mvl J
v l
6 v0 7l
1 2 J ml 3
代入上式
L J const.
即转动过程中角动量(大小、方向)保持不变 角动量守恒定律比转动定律适用范围更广泛， 这里可以有
J 00 J11
但是
J 0 J1
讨论
1）角动量守恒条件
M 0
2）若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变， 但
L J 不变.
3） 内力矩不改变系统的角动量. 4）在冲击等问题中 内力矩>>外力矩，角动量保持不变。 5）角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
力矩。合外力矩为 0 ，小球角动
量守恒 。 有：
N
mg
L = mvr = 恒量
即： m v1 r1 =m v2 r2
例2 光滑桌面上有一长2l，质量为m的细棒， 起初静止。两个质量m，速率v0的小球，如图 与细棒完全非弹性碰撞，碰撞后与细棒一起绕 中心轴转动，求系统碰撞后的角速度 解：系统的合外力矩
d( ) d( J ) dL M J J dt dt dt
刚体所受的(对轴的)外力矩等于刚体(对轴的) 角动量的时间变化率。 或写作
Mdt dL
t2 t1
对于一段时间过程有
t2
t1
Mdt dL L末 L初
三、定轴转动刚体的角动量守恒定律 如合外力矩等于零
6）转动系统由多个物体(刚体或质点)组成， 角动量守恒定律的形式为
i
J ii J i 0i 0
i
m
m
系统内各物体的角 动量必须是对同一 固定轴而言的。
角动量守恒定律的公式
角动量守恒定律的公式
1. 角动量守恒定律公式。
- 对于质点，角动量L = r× p（其中r是质点相对于某参考点的位矢，p = mv 是质点的动量，×表示矢量叉乘）。
- 在合外力矩M = 0时，角动量守恒，即L_1 = L_2。
- 对于定轴转动的刚体，角动量L = Iω（其中I是刚体对轴的转动惯量，ω是刚体的角速度）。
当合外力矩M = 0时，I_1ω_1=I_2ω_2。
2. 相关知识点（人教版教材相关内容补充）
- 转动惯量。
- 对于离散质点系，I=∑_im_ir_i^2，其中m_i是第i个质点的质量，r_i是该质点到转轴的垂直距离。
- 对于质量连续分布的刚体，I = ∫ r^2dm。
不同形状的刚体转动惯量有不同的计算公式，例如，对于质量为m、半径为R的均匀圆盘绕通过圆心且垂直于盘面的轴转动，其转动惯量I=(1)/(2)mR^2；对于质量为m、长为l的细棒绕通过中心且垂直于棒的轴转动，I=(1)/(12)ml^2。
- 角动量定理。
- 对于质点，M=(dL)/(dt)（M是合外力矩），这表明质点所受合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。
- 对于刚体定轴转动，M = Iα（α是角加速度），结合L = Iω也可推导出
M=(dL)/(dt)。
3-3 刚体定轴转动的角动量定理及其守恒
四 角动量定理、角动量守恒的应用
练习 电风扇开启电源时，经t1时间达到额定 转速 0 ，关闭电源时经t2时间停止。设电风扇的 转动惯量为 I ，且电机的电磁力矩与摩擦力矩为 恒量。求：电风扇电机的电磁力矩。 解. 风扇开启时，受电磁力矩 M与摩擦力矩 M f 的共同作用，经过时间t1，角速度0由增加 0 ， t 由角动量定理 t Mdt L L0 有
0
(M M f )t1 I0
即
I 0 (M M f ) t1
（ 1）
风扇关闭，受摩擦力矩 M f的共同作用，经过 时间t2，角速度由 0降低至零，由角动量定理有
M f t2 0 I0
即
I 0 Mf t2
（ 2）
由（1）式-(2)式 得
1 1 M I 0 ( ) t1 t 2
Nx
v0
m
例7 摩擦离合器 飞轮1：I1、 摩擦 轮2： I2 静止，两轮沿轴向结合，结合后两 轮达到的共同角速度。
解：两轮对共同转轴的角动量守恒
2 1
试与下例的齿轮啮合过程比较。
例8 两圆盘形齿轮半径r1 、 r2 ，对通过盘心 垂直于盘面转轴的转动惯量为I1 、 I2，开始 1 0 转动，然后两轮正交啮合，求啮合后 轮以 两轮的角速度。 解： 两轮绕不同轴转动，故对 两轴分别用角动量定理：
3-3 刚体定轴转动的角动量定理及其守恒
一、 刚体定轴转动的角动量定理 如前所述：刚体作为质点系的特例，显然应 当服从质点系角动量定理
dLZ 沿固定轴(z轴)的分量式为 M z dt
dL M dt
对于定轴转动的刚体，常常略去下标，即
dLபைடு நூலகம்M dt
称刚体定轴转动的角 动量定理的微分形式
刚体的角动量守恒定律
刚体的⾓动量守恒定律§ 5－3 刚体的⾓动量守恒定律教学⽬标：理解转动定律，转动惯量，平⾏轴定理，⾓动量守恒定律重点难点：会求常见刚体的转动惯量，运⽤平⾏轴定理与转动定律⼀、刚体定轴转动的⾓动量刚体上的⼀个质元,绕固定轴做圆周运动⾓动量为：ω2i i i r m L =所以刚体绕此轴的⾓动量为：ω)(2∑∑==ii i iir m LL⼆、转动定律 1. 定律的推导如图所⽰，刚体上某⼀质点i ，质量为i m ?，绕Oz 轴作半径为ir 的圆周运动。
设质点i受外⼒i F 和刚体中其它质点作⽤的内⼒i F '的作⽤，并设这两种⼒均在与Oz 轴相垂直的同⼀平⾯内。
由⽜顿第⼆定律，质点i 的运动⽅程为：i i i i m a F F='+切向⽅程为：θ?τi i i i i i i i r m a m F F ?=?='+sin sin 法向⽅程为：()2cos cos ωθ?i i ini i i i i r m a m F F ?=?='+-上式两边各乘以i r ，得：αθ?2sin sin i i i i i i i i r m r F r F ?='+外⼒矩内⼒矩若考虑所有质点，则由可得βθ='+∑∑∑i i i i i ii i i ii r m r F r F 2sin sinsin ='∑i i ii θr Fα=∴∑∑i i i i i i i i r m r F 2sin令ini ii r F M ?sin 1∑==，它为刚体所受的外⼒矩，令∑=?=i ii rm J 12为转动惯量，则有：αJ M =2. 刚体定轴转动定律表述刚体所受的对于某定轴的合外⼒矩等于刚体对此定轴的转动惯量与刚体在此合外⼒矩作⽤下所获得的⾓加速度的乘积。
3. 讨论（1）和⽜顿第⼆定律相⽐较，地位相当；（2）瞬时性。
同⼀时刻对同⼀刚体，同⼀转轴⽽⾔。
刚体角动量定理角动量守恒定律
3) 与转轴的位置有关.
4. 刚体定轴转动定律的应用
例3-5. 质量为 M =16kg 的实心滑轮, 半径为 R =0.15m. 一根细绳绕在滑轮上, 细绳一端挂质量为 m=8kg 的物体. 设细 绳不伸长且与滑轮间无相对滑动, 求: (1) 由静止开始 1 秒钟后, 物体下降的距离; (2) 细绳的张力.
§3.2 刚体定轴转动定律 角动量守恒定律
3.2.1 力矩
zF
Mz
F//
o d r F
力矩: 外力在转动平面内投影的大小与力 线到转轴距离 d 的乘积等于外力对转轴 力矩的大小.
M z Fr sin
力矩的方向由右螺旋法则确定
M z r F
单位: N·m
转动定律 M J
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正 比, 与刚体的转动惯量成反比 .
解: 将重物, 滑轮隔离分析
由牛顿定律 mg T ma
由转动定律
TR J 1 MR2 2
滑轮与细绳切点
at R
at a
N M
N
m2 > m1
拓展
M
R
T Mg
m
mg
T1 1m
Mg T2 2
m1g
m2g
a m g 810 5 m s2 mM 2 88
h 1 at2 1 512 2.5 m 22
T 1 165 40 N 2
N
m2 > m1 M R
拓展
T1 1m
Mg T2 2
m1g
m2g
m2 g T2 m2a T1 m1g m1a
T2 R T1R J
J 1 MR2 2
a R
N1
m1
3.5 刚体角动量定理和角动量守恒定律(时间效应)
刚体对定轴 的角动量定理：刚体对定轴 的角动 量的增量等于外力对该轴 的冲量矩。
§3.5 刚体角动量定理和角动量守恒定律（时间效应） 第三章 刚体动力学
2. 刚体的角动量守恒定律
《大学物理》教程
（1）刚体对定点 的角动量守恒定律： （2）刚体对定轴 的角动量守恒定律：
§3.5 刚体角动量定理和角动量守恒定律（时间效应） 第三章 刚体动力学
2. 刚体的角动量守恒定律
《大学物理》教程
（2）刚体对定轴 的角动量守恒定律：
推导：刚体对定轴 z的转动定理：
Mz
dLz dt
若 M z 0 则 Lz I 恒量
★ 刚体对定轴 的角动量守恒定律：如果刚 体所受的外力对定轴 的总力矩始终为零，则 刚体对该定轴 的角动量不变。
§3.5 刚体角动量定理和角动量守恒定律（时间效应） 第三章 刚体动力学
两边积分
t
L
Mdt
t0
dL
L0
L
L0
§3.5 刚体角动量定理和角动量守恒定律（时间效应） 第三章 刚体动力学
1. 刚体的角动量定理
t
t0 Mdt L L0
《大学物理》教程
★ 定义：力对定点O 的冲量矩：力对定点的
力矩对时间的累积量
t
Mdt t0
第二阶段：是碰撞过程。碰撞时间极短，冲力 极大，物体受到地面的摩擦力可以忽略；冲力矩 为内力矩抵消，重力和轴的支持力通过轴，不产 生力矩，所以系统外力矩为零，角动量守恒。
取转轴垂直向里为正方向
1 ml 2 mvl 1 ml 2
(2)
3
3
大学物理 第三章 角动量守恒定律 刚体汇总
解：棒下摆为加速过程，外
力矩为重力对O的力矩。在 O
棒上取质元dm,当棒处在下
摆 角时，棒 的重力矩为：
M l d(mg)
l
设 m
L
L
gl sin(
)dl
1
mgL cos
0
2
2
X dm
dmg
J 1 mL2
3
M
1 mgL cos
2
3g cos
J
1 mL2
整个刚体绕轴的角动量为所有质元角动量之和：
L Li ( miri2 )
i
i
令：J miri2 称为刚体对轴的转动惯量。
i
则刚体对轴的角动量为：L J
力对转轴的力矩
f 在转动平面内 Mz r f
Mz fr sin
Z
Mz
Or
d
P
f
转动平面
方向如图
例题P40：3-3
f 不在转动平面内，有时间可以补讲。
（2）通过棒的中点并与棒垂直的转轴的转动惯量。
解：（1） m
l
dm dx
x dx
x l
J x2dm l x2dx 1l3 1 ml2
0
33
例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动 惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。
解: J R2dm R2 dm mR2
OR dm
例2、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆 盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
平行轴定理
若有任一轴与过质心的轴平行，相距
为d，刚体对其转动惯量为J，则有：
l
J＝JC＋md2。
z
刚体的质心： xc