角动量守恒 刚体力学
刚体力学与角动量守恒
刚体力学与角动量守恒刚体力学是力学的一个重要分支，研究物体在无限小的时间内不发生形变的情况下的运动规律。
而角动量守恒是刚体力学中的一个重要定律，描述了刚体在无外力作用下的自旋运动。
在这篇文章中，我们将探讨刚体力学与角动量守恒之间的关系以及其应用。
首先，我们需要了解什么是刚体。
刚体是指在物理上不发生形变的物体，可以看作由无穷多个质点组成的系统。
刚体的运动可以分为平动和转动两部分，其中转动运动是刚体力学中的重点。
刚体的转动运动是围绕着某一轴旋转，通常以质心为参考点。
为了描述这一运动，我们引入了一个重要的物理量——角动量。
角动量（L）是刚体围绕某一轴旋转时的物理量，与旋转轴、质量分布和旋转速度有关。
角动量的大小等于物体的惯性力矩（I）与角速度（ω）的乘积，即L = Iω。
惯性力矩是描述物体对旋转的抵抗能力的物理量，与物体的质量分布和轴的位置有关。
角速度是刚体沿旋转轴旋转的速度，是刚体运动状态的另一个关键参数。
根据角动量守恒定律，当刚体没有受到外力矩的作用时，其角动量守恒。
这意味着在刚体的自旋运动中，当外力矩为零时，刚体的角动量保持不变。
这一定律可以用数学方式简洁地表示为L1 = L2，即初始角动量等于末态角动量。
角动量守恒定律在现实生活中有许多重要应用。
一个典型的例子是冰漂移。
当冰上的人或物体开始漂移时，它们所施加的摩擦力不会改变总的角动量。
这是因为旋转轴的位置对角动量的贡献始终保持不变，从而使漂移运动平稳而持续。
另一个应用是天体物理学中的行星运动。
根据角动量守恒定律，行星在太阳的引力作用下绕着太阳旋转时，其角动量保持不变。
这使得行星能够保持固定的轨道，实现稳定的运动。
除了应用外，角动量守恒定律也与刚体力学的其他定律相互作用。
例如，动量守恒定律和能量守恒定律。
这些定律一起构成了力学的基础，揭示了物体在不同运动状态下的行为规律。
总之，刚体力学与角动量守恒是物理学中重要的概念和定律。
通过理解刚体的旋转运动和角动量的定义，我们可以更好地描述和解释刚体在无外力矩作用下的行为。
角动量守恒定律_概述及解释说明
角动量守恒定律概述及解释说明1. 引言1.1 概述角动量守恒定律是物理学中一个重要的基本原理，它描述了在不受外力或转矩作用下，系统的总角动量将保持不变。
这一定律有着广泛的应用，在自然界和工程领域中都扮演着至关重要的角色。
1.2 文章结构本文将首先介绍角动量守恒定律的基本概念，包括角动量的定义和性质，以及角动量守恒的原理和在自然界中的应用。
接着我们会详细解释数学原理，包括刚体系统和非刚体系统中角动量守恒的推导过程，并探讨转矩与角动量之间的关系。
然后，我们将通过经典实例分析实验来验证角动量守恒定律，并探讨其应用和验证方法。
最后，我们会对角动量守恒定律的重要性进行总结，并回顾其在物理领域中的广泛应用，并展望未来研究方向。
1.3 目的本文旨在全面介绍角动量守恒定律，并深入探讨其数学原理、实验验证以及在实际应用中的案例。
通过对角动量守恒定律的深入理解，能够帮助读者更好地理解物理学中的基本原理，同时也有助于激发读者对未来研究方向的思考。
2. 角动量守恒定律的基本概念2.1 角动量的定义和性质角动量是刻画旋转运动的物理量，它与物体的质量、速度以及距离有关。
角动量的定义为一个物体在给定参考点周围旋转时所具有的动力学特性。
其数学表达式为L = r x p，其中L表示角动量，r表示从参考点到物体质心位置矢量，p表示物体的线性动量。
根据右手法则，可以确定角动量的方向与线性动量和半径之间的关系。
角动量具有以下几个重要性质：1) 角动量是矢量，在运算中需要考虑其方向；2) 角动量大小与速度、质量及距离之间的积相关；3) 在封闭系统中，总角动量守恒。
2.2 角动量守恒的原理角动量守恒指在一个封闭系统中，如果没有外力或外力矩作用于该系统，则系统总角动量将保持不变。
这意味着在不受外界干扰的情况下，系统内各个部分相对于共同参考点的角动量之和保持不变。
这一原理可以通过牛顿第二定律和牛顿第三定律的推导来解释。
根据牛顿第二定律，一个物体的角动量变化率等于作用在该物体上的转矩。
刚体动力学刚体的转动与角动量守恒定律
刚体动力学刚体的转动与角动量守恒定律刚体动力学——刚体的转动与角动量守恒定律刚体动力学是研究刚体运动的物理学分支，主要研究刚体的平动和转动。
在刚体的运动过程中，角动量的守恒定律是关键的一条定律，它在很多物理问题的求解中起着重要的作用。
一、刚体转动的基本概念刚体是指具有一定形状和大小的物体，在运动过程中保持其形状和大小不变的情况下，绕一个固定轴线进行旋转。
在刚体转动的过程中，存在着固定轴线上的角位移、角速度、角加速度等概念。
角位移表示刚体在转动过程中的角度变化，通常用符号θ表示；角速度表示单位时间内刚体转动的角度变化率，通常用符号ω表示；角加速度表示单位时间内角速度的变化率，通常用符号α表示。
二、刚体的转动与力矩刚体在转动过程中需受到外力的作用，这些外力可以将刚体带动产生转动现象。
力矩是刚体转动的重要力学量，它描述了力对于刚体转动的影响程度。
力矩的大小等于力乘以作用点到转轴的距离，用数学式表示为：τ = F × r其中τ表示力矩，F表示力的大小，r表示作用点到转轴的距离。
三、刚体的转动惯量与角动量刚体的转动惯量与角动量是刚体转动过程中的另外两个重要概念。
转动惯量描述了刚体对于转动的惯性程度，它的大小取决于刚体的质量分布和几何形状。
角动量描述了刚体在转动过程中的旋转性质，它等于刚体质量的转动惯量乘以角速度，用数学式表示为：L = I × ω其中L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
四、角动量守恒定律角动量守恒定律是刚体动力学中的一个基本定律，它表明在没有外力矩作用的情况下，刚体转动过程中的角动量保持不变。
如果一个刚体在初态时角动量为L1，在末态时角动量为L2，且没有外力矩作用，则有L1 = L2。
这一定律体现了一个自然规律，对于理解刚体的转动过程和求解相关物理问题具有重要意义。
五、应用案例角动量守恒定律可以应用于各种实际物理问题的求解中，例如刚体的转动稳定性、陀螺的运动等。
定轴转动刚体的角动量守恒
在量子力学中，角动量是一个重要的物理量，描述了粒子的转动状态，角动量守 恒是粒子运动的基本规律之一。
在工程学中的应用
机械系统设计
在机械系统设计中，角动量守恒是重要的设计准则之一，用 于确保机械系统的稳定性和可靠性。
航空航天工程
在航空航天工程中，飞行器的稳定性和控制需要遵循角动量 守恒的原理，通过合理设计飞行器的结构和姿态控制系统， 可以保持飞行器的稳定。
定轴转动刚体的角动量守恒
contents
目录
• 引言 • 定轴转动刚体的角动量 • 角动量守恒的推导 • 角动量守恒的应用 • 结论
01 引言
主题简介
角动量守恒是物理学中的一个基 本原理，它描述了刚体绕固定轴 转动的角动量保持不变的规律。
在定轴转动的情况下，刚体的角 动量是一个重要的物理量，它与 刚体的转动惯量和角速度有关。
01
02
03
预测运动规律
角动量守恒是确定刚体转 动运动规律的重要依据， 可以用来预测刚体的运动 轨迹和周期等。
指导实验设计
在实验设计中，可以利用 角动量守恒来设计实验装 置，确保实验结果的准确 性和可靠性。
解决实际问题
角动量守恒在解决实际问 题中具有广泛的应用，如 陀螺仪、航天器姿态控制 等。
04 角动量守恒的应用
角动量守恒定律在许多领域都有 广泛的应用，如天文学、力学、
航天工程等。
角动量守恒的定义
角动量守恒是指刚体在不受外力矩作用或者外力矩的矢量和为零的情况下，刚体绕 固定轴转动的角动量保持不变。
角动量是描述刚体转动状态的物理量，它等于刚体的转动惯量与角速度的乘积。
在定轴转动的情况下，刚体的角动量是一个常数，不随时间变化。
简述刚体转动定律
刚体转动定律引言刚体转动定律是描述刚体绕固定轴进行旋转时运动规律的物理定律。
在刚体力学中，刚体是指其内部各点的相对位置保持不变的物体。
刚体转动定律主要包括角动量守恒、角加速度与力矩之间的关系以及转动惯量等内容。
本文将从这些方面对刚体转动定律进行详细介绍。
角动量守恒角动量是描述旋转物体运动状态的重要物理量，定义为质点或刚体绕某一轴线旋转时，其线性动量相对于该轴线的偏离程度。
在没有外力作用下，系统的角动量守恒。
角动量L可以表示为L = Iω，其中I是物体的转动惯量，ω是物体的角速度。
根据角速度ω = Δθ/Δt可以得到L = IΔθ/Δt。
当一个刚体受到外力矩作用时，根据牛顿第二定律可以得到F = ma，同样地，在角度上也有τ = Iα。
其中τ表示力矩，I表示物体的转动惯量，α表示物体的角加速度。
当刚体绕固定轴转动时，如果外力矩为零，则根据牛顿第二定律可以得到τ = 0，进而推导出Iα = 0。
由此可见，在没有外力矩作用下，刚体的角加速度为零，即角动量守恒。
转动惯量转动惯量是描述物体对于旋转运动的惯性大小的物理量。
对于一个质点来说，其转动惯量可以表示为I = mr²，其中m是质点的质量，r是质点到轴线的距离。
对于一个复杂形状的刚体来说，其转动惯量则需要通过积分计算得到。
对于连续分布的物体来说，其转动惯量可以表示为I = ∫r²dm。
不同形状和布局的刚体具有不同的转动惯量。
例如，对于一个围绕自身中心垂直旋转的圆盘来说，其转动惯量可以表示为I = ½MR²，其中M是圆盘的质量，R是圆盘半径。
角加速度与力矩之间的关系当刚体受到外力矩作用时，根据牛顿第二定律可以得到τ = Iα。
这个关系描述了力矩和角加速度之间的关系。
对于一个质点来说，其角加速度可以表示为α = τ/I，其中τ是作用在质点上的力矩，I是质点的转动惯量。
对于一个复杂形状的刚体来说，其转动惯量不仅与质量有关，还与物体的形状和布局有关。
经典力学中的刚体运动与角动量守恒
经典力学中的刚体运动与角动量守恒经典力学是物理学的基石，而刚体运动是其中的重要组成部分。
在经典力学中，刚体是指其内部各点之间的相对位置不会改变的物体。
刚体运动的研究对于理解物体的运动规律和力学原理具有重要意义。
而在刚体运动中，角动量守恒是一个基本定律，它在解释和预测刚体运动中的各种现象和现象起到了重要作用。
首先，我们来了解一下什么是刚体。
刚体是指其内部各点之间的相对位置不会改变的物体。
在刚体运动中，刚体的形状和大小保持不变，只有整体的平动和转动。
刚体运动可以分为平动和转动两种基本形式。
平动是指刚体作为一个整体沿直线运动，而转动是指刚体绕某个轴旋转运动。
在刚体运动中，角动量守恒是一个基本定律。
角动量是刚体运动中一个重要的物理量，它描述了刚体绕某个轴旋转的性质。
角动量的大小与刚体的转动惯量和角速度有关。
转动惯量是刚体旋转惯性的度量，它与刚体的质量分布和旋转轴的位置有关。
角速度是刚体绕某个轴旋转的速度，它与刚体的旋转角度和旋转时间有关。
根据角动量守恒定律，刚体在没有外力作用下，其角动量保持不变。
这意味着刚体在旋转过程中，如果没有外力矩作用，其角动量大小和方向都保持不变。
这一定律对于解释和预测刚体运动中的各种现象和现象起到了重要作用。
例如，我们可以通过角动量守恒定律解释刚体的自转现象。
当一个刚体在空中自由旋转时，其自转速度会逐渐减小，最终停止旋转。
这是因为在自转过程中，刚体内部的分子之间存在一定的摩擦力，这个摩擦力会逐渐减少刚体的角动量。
根据角动量守恒定律，刚体的角动量保持不变，因此刚体的自转速度会逐渐减小，最终停止旋转。
另一个例子是陀螺的运动。
陀螺是一种经典的刚体运动现象，它在旋转过程中保持平衡。
这是因为陀螺在旋转过程中，其角动量保持不变。
当陀螺受到外力作用时，由于角动量守恒定律，陀螺会产生一个与外力垂直的角动量，从而保持平衡。
角动量守恒定律还可以解释刚体运动中的其他现象，如陀螺的进动、陀螺的预cession、陀螺的进动和退动等。
力学、赵凯华、第四章 角动量守恒. 刚体力学-5
3 3 2 1 2 mv L ML + m( L) 4 4 3
9 1 3mv 4 ML + ML 16 3
=8.89 rad/s
②对杆、子弹、地球系统机械能守恒
1 1 9 L 3 2 2 ( ML + mL ) ( Mg + mg L)(1 cosq ) 2 3 16 2 4
(5)
3 g cos q
a
ct
a
7
N N 13
(6) mg sin q ,
由 (3)(4)(5)(6)
可解得：
l t
7
4 mg 7
cos q
v 13 4 $ mg cos q t $ N mg sin q l 7 7 mg N 153 sin 2 q + 16 7
a tg 1
M I
d 1 2 1 2 Mdq I dq Id I I o qo qo o dt 2 2 q q
A外 + A非保内 E EO
A外 0
A非保内 0
E EO const
例：长为 l 质量为m的细棒，可绕其一 端在铅直平面内自由转动。设棒原来静止 在水平位置，现让其自由摆下。求①棒摆 到铅直位置时的角速度和摆下端点A的速 度，②棒在竖直位置时，轴O受的作用力。
q0 q0
q
q
外力矩做功
dA Mdq P M dt dt
3、定轴转动刚体的动能定理
A内 0
1 1 2 A外 mi vi mi vio i 2 i 2
1 2 1 2 Mdq I I o θo 2 2
转动力学刚体的转动平衡与角动量守恒
转动力学刚体的转动平衡与角动量守恒转动力学是力学研究的一个重要分支，它主要研究刚体的旋转运动。
刚体的旋转运动受到力矩和角加速度的作用，其中转动平衡和角动量守恒是转动力学的基本原理。
一、转动平衡刚体的转动平衡是指刚体处于稳定的旋转状态，不受到外力的扰动，既不会产生角加速度，也不会改变角速度。
要实现转动平衡，必须满足以下条件：1. 力矩平衡条件力矩平衡条件是指刚体上作用的力矩的代数和为零。
对于一个刚体绕固定轴的旋转运动，力矩平衡条件可以表示为：∑M = ∑(r × F) = 0其中，∑表示对刚体上所有力矩求和，r表示作用力的杠杆臂，F表示作用力。
根据力矩平衡条件，可以求解出刚体的转动平衡状态。
2. 重心位置与支撑点位置的关系对于一个转动平衡的刚体，重心必须位于支撑点上方以保持稳定。
当重心位于支撑点下方时，刚体会不稳定，并发生滚动现象。
3. 稳定、不稳定和中立平衡刚体的转动平衡可以分为稳定、不稳定和中立平衡三种情况。
当刚体偏离平衡位置时，稳定平衡会使刚体回复原位置，而不稳定平衡会使刚体继续偏离平衡位置。
中立平衡则是指刚体在偏离平衡位置后，不会有任何变化。
二、角动量守恒角动量守恒是指一个刚体在没有外力矩作用下，角动量的大小和方向保持不变。
对于一个旋转的刚体，角动量可以表示为：L = Iω其中，L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
根据角动量守恒定律，在没有外部力矩作用下，刚体的角动量将保持不变。
三、应用举例下面通过一个实际例子来说明转动平衡和角动量守恒的应用。
假设有一个均匀的圆盘，圆盘质量为M，半径为R。
将圆盘以转轴垂直于盘面且通过重心的方式固定，使其处于转动平衡状态。
此时，圆盘的转动平衡可以通过力矩平衡条件来解释。
由于圆盘的重心位于转轴上，且没有施加外力矩，所以∑M=0，根据这个条件可以得到圆盘上各点产生的力矩之和为零。
进一步分析可以发现，圆盘上受重力的作用产生的力矩沿转轴方向相互抵消，所以圆盘能够保持转动平衡。
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因而掠面速度：
dS r dr sin 1 rv sin 常 量 dt 2dt 2
例3、发射一宇宙飞船去考察一质量为m1，半径为R的 行星。当飞船静止于空间中距行星中心r=4R时，以初
速v0发射一质量为m2(m2远小于飞船质量)的探测器，要 使探测器正好能掠着行星表面着陆，角应多大？
1 2
mv02
1 2
mv2
mgL c os
O
L v
v0 mg
重力对竖直轴无力矩，张力过O点也对竖直轴无力矩， 因而对竖直轴角动量守恒：
mv0L sin mvL
求出：
v0
2gL
cos
二、质点系的角动量定理、角动量守恒
1、质点系对一参考点的角动量定理与角动量守恒
设一质点系中各质点相对参考点O的位矢用 ri (i= 1,2,3,…)，各质点的运动速度用 vi (i= 1,2,3,…) 表示，
0
dt
dt dL
r
d
(mv)
r
F
M
dt
dt
质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对 该点的角动量对时间的变化率—角动量定理。
若质点所受的合外力矩
则 dL 0
dt
M 0
或 L 常矢量
如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则 质点对该固定点的角动量矢量保持不变—角动量守恒 定律 。
力F＝0，因而对原点O的力矩＝0，
对O点的角动量守恒。角动量大小
rmv sin 常量
因而掠面速度：
ds
1 v t oH 2
1
v
oH
1
vrsin
常量
dt
t
2
2
例2、行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。
解：行星在太阳引力（有心力） 作用下沿椭圆轨道运动，因而 行星在运行过程中，它对太阳 的角动量守恒
LZ r1 p1 sin
Z
r1
P2
P P1
P1
为质点动量
P
在与Z轴相
垂直的平面上的分量， r1 也在该平面上。
同样，力 F 对Z轴的力矩：
M Z r1F1 sin
F1 为力在垂直于Z轴平面上的分量
Z
r1
F2
F F1
质点对轴的角动量定理为：
MZ
dLZ dt
力对Z轴的力矩等于质点对Z轴的角动量随时间的变 化率。也可认为是质点对Z轴上任一点O的角动量定 理在Z轴上的投影。
r
F
大小： M rF sin
O
方向：满足右手螺旋法则。
若质点同时受多个力作用，则对一参考点的力
矩矢量和等于合力对该点的力矩：
r
F1
r
F2
r
Fn
r
Fi
3、质点对参考点的角动量定理、角动量守恒定律
dL
d
(r
mv )
dr mv r d (mv)
而
ddtr
dt
(mv )
v
dt
(mv )
当 MZ 0 时，LZ rimivi sini 常量
当质点系所受一切外力对Z轴的力矩之和=0时，质点 系对Z轴的角动量守恒。
3、角动量守恒定律可以解释星系的圆盘形结构。
观察表明银河系及许多星系都呈扁平的圆盘形结构。 银河系最初可能是球形的，由于某种原因（如与其它 星系的相互作用）而具有一定的角动量。正是这个角 动量的存在，使球形的银河系不会在引力作用下凝聚 （坍缩）成一团，而只能形成具有一定半径的圆盘形 结构。这是因为在凝聚过程中，角动量守恒（r2ω=常 量）要求转速随 r 的减小而增大，因而使离心力增大， 它往往比引力增大得更快，最终引力会和离心力相互 平衡，即角动量守恒限制了星系在垂直于转轴方向的 进一步坍缩。但角动量守恒并不妨碍星系沿转轴方向 的坍缩，因为对这种坍缩，角动量守恒不要求增加转 速。故星系最终坍缩成圆盘状，在沿轴向坍缩过程中 减少的引力势能将以辐射的形式释放掉。
当
M 0 时，
L 恒矢量
当外力对参考点O的力矩矢量和为零时，质点系对该 点的角动量守恒。
2、质点系对轴的角动量定理与角动量守恒
考虑质点系中质点都在垂直于Z轴的平面上运动的情 形，可得出质点系对轴的角动量定理：
MZ
dLZ dt
,
或
ri Fi
s in i
d dt
rimivi sini
质点系对Z轴的角动量随时间的变化率等于质点系所 受一切外力对Z轴的力矩之和。
则质点系对O点的角动量为：
L
ri
mivi
质点系中各质点所受外力对O点的力矩和为：
M ri Fi
而质点系中内力总是成对出现的，因而对同一参考点
而言，内力矩之和总为零。因而质点系对一参考点的
角动量定理为：
M
ri
Fi
dL dt
质点系相对参考点O的角动量随时间的变化率等于所
有外力对该点力矩的矢量和。
解：探测器飞行过程中只
v0
受到行星的引力，因而对
O点的角动量守恒：
m2
r
m2v0r sin m2vR
v
R
O
m1
又由机械能守恒：
1 2
m2v02
G
m1m2 r
1 2
m2v
2
G
m1m2 R
代入r=4R，求出
sin 1
4
1
3Gm1 2Rv02
4、质点对轴的角动量定理、角动量守恒定律
动量为 P 的质点对Z轴的角动量：
角动量守恒定律是自然界普遍适用的一条基本规律。
力矩M = 0的条件：（1）力臂 r = 0 （有心力作用），
（2）力F = 0，（3） r 与F 相互平行。
例1、质点运动时，位矢r 在单位时 间内扫过的面积称为掠面速度。试 证明：作匀速直线运动的质点，其 掠面速度为常数。
解：质点作匀速直线运动，受合外
当MZ= 0 时，LZ = 常量—质点对轴的角动量守恒。
例4、一小球用摆长为L的轻绳系于O点，开始时将小 球移开使绳与竖直方向成角，并给小球一水平初速 度v0使小球绕O点旋转，若希望在运动过程中，绳与 竖直方向的最大瞬时夹角为90°，问v0 应多大？
解：小球运动过程中受重力和绳中张 力的作用。张力不作功机械能守恒：
三、质点系对质心的角动量定理和守恒定律
前述角动量定理和角动量守恒定律都是相对某惯
性系的，若参考系是一非惯性系，则还要考虑各质点
所受的惯性力的力矩。
选系统质心C为参考系，并设质心具 有加速度
第四章 角动量守恒 刚体力学
§4－1 角动量定理与角动量守恒
一、质点的角动量定理与角动量守恒
1、质点对一参考点的角动量
•定义：动量为 mv 的质点，相对某
一参考点O的角动量（动量矩）为
L
r
mv
r
P
mv
r
O
大小： L rmvsin
方向：满足右手螺旋法则。
2、力对一参考点的力矩
•定义：力F相对某一参考点O的力矩为： M rF