定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律29页PPT
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高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体角动量 角动量守恒定律以及进动(29张ppt)
例2 A、B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别为
：A=50rad.s-1, B=200rad.s-1。已知A 圆盘半径
RA=0.2m, 质量mA=2kg, B 圆盘的半径RB=0.1m,
质量mB=4kg. 试求两圆盘对心衔接后的角速度 .
解：以两圆盘为系统，尽管在衔接过 程中有重力、轴对圆盘支持力及轴向
u=50m/s远大于飞船的速率v(= r) ，所以此 角动量近似地等于dm ru。在整个喷气过程
中喷出废气的总的角动量Lg应为
Lg＝ 0 mdm rumru
定轴转动刚体的角动量守恒定律
当宇宙飞船停止旋转时，其角动量为零。系统这时 的总角动量L1就是全部排出的废气的总角动量，即 为
L1Lg＝mru
刚体角动量和角动量守恒定律
1. 定轴转动刚体的角动量定理
刚体定轴转动定理：
Mz
d J
dt
由几个物体组成的系统，如果它们对同一给定
轴的角动量分别为 、J11 、…J2，2
则该系统对该轴的角动量为：
Lz Jii
i1,2,
i
对于该系统还有 M Zdd LtZd dt i Jii
定轴转动刚体的角动量定理
在外力矩作用下，从 t0 t ，
E1 2JA2 A1 2JBB 21 2JAJB2
1.3 2140J
定轴转动刚体的角动量守恒定律
例题4-13 恒星晚期在一定条件下，会发生超新星 爆发，这时星体中有大量物质喷入星际空间，同时 星的内核却向内坍缩，成为体积很小的中子星。中 子星是一种异常致密的星体，一汤匙中子星物体就 有几亿吨质量！设某恒星绕自转轴每45天转一周， 它 的 内 核 半 径 R0 约 为 2107m ， 坍 缩 成 半 径 R 仅 为 6103m的中子星。试求中子星的角速度。坍缩前后 的星体内核均看作是匀质圆球。
§3-3定轴转动刚体的角动量守恒定律
v0
1 2 J ml 3
解：系统的合外力矩为零,角动量守恒
mv l mv l 0 m7l
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动 dv d2 x dx a 2 v dt dt dt 1 2 Pmv EK mv 2 刚体的定轴转动 d d2 d 2 dt dt dt 1 2 LJ EK J 2
也变， 不变；若 J 变，
3） 内力矩不改变系统的角动量. 4）在冲击、碰撞等问题中 内力矩>>外力矩，角动量保持不变。 5）角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
例1 一根质量为 M ，长为l 的均匀细棒，可绕通 过棒中心的垂直轴 Z ，在 xy 平面内转动。开始时 静止，今有质量为 m 的小球以速度 v0 垂直碰撞 棒的端点，假设碰撞是完全非弹性的，小球与棒碰 撞后粘在一起，试求碰撞后系统转动的角速度
§3-3 定轴转动刚体的角动量守恒定律 一、 定轴转动刚体的角动量定理 由转动定律
d ( ) d ( J ) d L M J J d t d t d t
或写作
t 2
M d t d L
t 2
对于一段时间过程有
M d t d L L L 末 初
t 1 t 1
F
d A F d x
m
M
J
Fdt
d A M d M dt
F ma
M J
0
d t P P F
d t L L M
0
v0
m
M l
x
y
z
解：系统的合外力矩 为零.角动量守恒 碰撞前 球角动量: mv
0
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
P
第3章 刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 11
二 刚体对轴的角动量 刚体定轴转动的角动量定理
1.刚体对轴的角动量 刚体对转轴z 轴的角动
量就是刚体上各质元的角动
量之和． Li miri2
z
Lz
r
mv
mv
L Li (miri2 ) ( miri2 ) J
i
i
i
的劲度系数为k，设有一质量为m的子弹以初速 v0 垂
直于OA射向M并嵌在木块内.弹簧原长 l0 ，子弹击中
木块后，木块M运动到B点时刻，弹簧长度变为l，此
时OB垂直于OA，求在B点时，木块的运动速度 v2 .
解 击中瞬间，在水平
面内，子弹与木块组成
的系统沿 v0方向动量守 恒，即有
mv0 (m M )v1
置时, 有一只小虫以速率 v0 垂直落在距点 O 为 l/4 处,
并背离点O 向细杆的端点 A 爬行. 设小虫与细杆的质量
均为m. 问: 欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多
大速率向细杆端点爬行?
解: 碰撞前后系统角动量 守恒
mv0
l 4
1 12
ml
2
m(
l 4
)
2
12v0 7l
第3章 刚体力学基础
第3章 刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 6
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 2
(m
M)v21
1 2
(m
M)v22
1 2
k (l
l0 )2
在由A→B的过程中木块在水平面内只受指向O点的
弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 v2
第3章 刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 11
二 刚体对轴的角动量 刚体定轴转动的角动量定理
1.刚体对轴的角动量 刚体对转轴z 轴的角动
量就是刚体上各质元的角动
量之和． Li miri2
z
Lz
r
mv
mv
L Li (miri2 ) ( miri2 ) J
i
i
i
的劲度系数为k，设有一质量为m的子弹以初速 v0 垂
直于OA射向M并嵌在木块内.弹簧原长 l0 ，子弹击中
木块后，木块M运动到B点时刻，弹簧长度变为l，此
时OB垂直于OA，求在B点时，木块的运动速度 v2 .
解 击中瞬间，在水平
面内，子弹与木块组成
的系统沿 v0方向动量守 恒，即有
mv0 (m M )v1
置时, 有一只小虫以速率 v0 垂直落在距点 O 为 l/4 处,
并背离点O 向细杆的端点 A 爬行. 设小虫与细杆的质量
均为m. 问: 欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多
大速率向细杆端点爬行?
解: 碰撞前后系统角动量 守恒
mv0
l 4
1 12
ml
2
m(
l 4
)
2
12v0 7l
第3章 刚体力学基础
第3章 刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 6
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 2
(m
M)v21
1 2
(m
M)v22
1 2
k (l
l0 )2
在由A→B的过程中木块在水平面内只受指向O点的
弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 v2
高二物理竞赛第3章第3讲定轴转动刚体的角动量转动惯量PPT(课件)
i
i
转动惯量
IZ mi Ri2 i
LZ ( mi Ri2 ) IZ i
转动惯量的计算： I mi Ri2 m R2dm i
平行轴定理
Iz Izc md 2
正交轴定理
Iz Ix Iy
l
1 12
ml
2
细圆棒 轴通过中心
l
1 3
ml
2
细圆棒 轴通过一端
I 1 mR2 2
圆盘 轴垂直盘面通过中心
2 23
故细棒摆下角时的角速度为： 3g sin
重力的功 : A E mg l sin
l
p
பைடு நூலகம்
2
法二: 细棒摆动（即转
动）时，重力对0轴的
o
力矩为: 求:物体的加速度和定滑轮的角加速度，以及两边绳子中的张力。
一质量为m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。 刚体对定轴的角动量定理
l 若它与桌面间的滑动摩擦系数为μ，在t=0时，使圆柱体获得一个绕轴旋转的角速度ω。
一、刚体定轴转动的角动量定理
能包括所有的动能和势能.
对质点系而言角动量定理为： 由系统角动量守恒(设向外为正方向)
注意：该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕定轴转动的任意物体系统。 处理刚体定轴转动问题与圆周运动角量描述类似 例 计算钟摆的转动惯量。 （1）分别隔离 和
dL dt
M外
2 质点系角动量守恒定律
角加速度：
lim
t 0
t
d
dt
处理刚体定轴转动问题与圆周运动角量描述类似
角量相同（角位移、角速度、角加速度）
线量不同
vi Ri ri
vi Ri
ai ai ainn
角动量守恒定律.pptx
角动量守恒定律
一、角动量定理
由转动定律
4-3 角动量守恒定律
M dL dt
Mdt dL
L L t2 Mdt L2 dL
t1
L1
21
系统所受合外力矩的冲量矩等于系统 角动量的增量。
4-3 角动量守恒定律
二、角动量守恒定律
由角动量定理：
t2 t1
M
d
t
L2
L1
若 M 0，则 L J =恒矢量
4-3 角动量守恒定律
一、角动量定理：
t2 tL1
二、角动量守恒定律：
若 M 0，则 L J =恒量
1、刚体： J不变， 也不变（大小、方向） 2、非刚体： J变， 变 → J ，；J ，
课后思考：
4-3 角动量守恒定律
试分析为什么直升机要安装尾翼螺旋桨呢？
4-3 角动量守恒定律
内容：当系统所受合外力矩为零时，则 系统的总角动量保持不变。
应用：
4-3 角动量守恒定律
1、刚体： J不变， 也不变 （大小、方向）
应用：
4-3 角动量守恒定律
2、非刚体： J变， 变 → J ，；J ，
4-3 角动量守恒定律
2、非刚体： J变， 变 → J ，；J ，
J ，
J ，
小结：
3-3刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
为零,角动量守恒
v0
v0
mv0l mv0l 0 mvl mvl J
v l
6 v0 7l
1 2 J ml 3
代入上式
L J const.
即转动过程中角动量(大小、方向)保持不变 角动量守恒定律比转动定律适用范围更广泛， 这里可以有
J 00 J11
但是
J 0 J1
讨论
1）角动量守恒条件
M 0
2）若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变， 但
L J 不变.
3） 内力矩不改变系统的角动量. 4）在冲击等问题中 内力矩>>外力矩，角动量保持不变。 5）角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
力矩。合外力矩为 0 ，小球角动
量守恒 。 有：
N
mg
L = mvr = 恒量
即： m v1 r1 =m v2 r2
例2 光滑桌面上有一长2l，质量为m的细棒， 起初静止。两个质量m，速率v0的小球，如图 与细棒完全非弹性碰撞，碰撞后与细棒一起绕 中心轴转动，求系统碰撞后的角速度 解：系统的合外力矩
d( ) d( J ) dL M J J dt dt dt
刚体所受的(对轴的)外力矩等于刚体(对轴的) 角动量的时间变化率。 或写作
Mdt dL
t2 t1
对于一段时间过程有
t2
t1
Mdt dL L末 L初
三、定轴转动刚体的角动量守恒定律 如合外力矩等于零
6）转动系统由多个物体(刚体或质点)组成， 角动量守恒定律的形式为
i
J ii J i 0i 0
i
m
m
系统内各物体的角 动量必须是对同一 固定轴而言的。
刚体转动及角动量守恒ppt
匀直细杆对端垂轴旳
平行移轴定理
对质心轴旳转动惯量 对新轴旳转动惯量
质心
例如：
时
新轴对心轴旳平移量
新轴 质心轴
代入可得 端
匀质薄圆盘对圆心垂盘轴算旳 例
取半径为 微宽为 旳窄环带旳质量为质元
球体算例 匀质实心球对心轴旳 可看成是许多半径不同旳共轴 薄圆盘旳转动惯量 旳迭加 距 为 、半径为 、微厚为 旳薄圆盘旳转动惯量为
a = Rb
T2 – m2 g = m2a ( T1 – T2 ) R = Ib
及
I
=
1 2
mR2
得
b=
(m1-m2)g
R(m1+ m2+ m
2)
常量
故
由
m2
a
G2
m1
a
G1
(m1-m2)g
R(m1+ m2+ m 2)
t (m1-m2)g
g 2 (rad)
R(m1+ m2+ m 2)
两匀直细杆
q
转动定两律者瞬例时题角加五速度之比
与 时刻相应，何时
则何时
，
何时 恒定 则何时 恒定。
匀直 细杆一 端为轴 水平静 止释放
转动定律例转题动 二( T2 – T1 ) R = Ib
I=mR2 2
R
m
T2
T1
a
m2
m1
b
平动 m2 g – T2 = m2a
T2
T1
T1 – m1 g = m1a
线-角 a = Rb
T2
T1
联立解得
a
G2
力矩旳功算例 拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩旳功旳大小
大学物理课课件第3章_刚体的定轴转动
G2 G1
(m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2) (m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2)
a
gt 2
(rad)
两匀直细杆
两者瞬时角加速度之比 转动定律例题五
θ
θ
根据
1 2 1 2
θ θ
1 3 1 3
地面 从等倾角 处静止释放
短杆的角加速度大 且与匀质直杆的质量无关
第3节 机械能守恒定律
用两个对 转的顶浆
（支奴干 CH47)
A、B两轮共轴 A以ωΑ作惯性转动
守恒例题一
两轮啮合后 一起作惯性转动的角速度
ωΑΒ
以A、B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系 统受合外力矩为零，角动量守恒。
初态角动量 末态角动量
得
守恒例题二
木棒 弹
以弹、棒为系统 击入阶段 子弹击入木棒瞬间，系统在
铅直位置，受合外力矩为零，角动量守恒。 该瞬间之始 该瞬间之末 棒 弹 棒
对 质点运动和刚体转动定律
m 1 m 2 和 m 分别应用
及
β
R
T2 T2
m
T1 T1 m1
m1 g – T1 = m1a T2 – m2 g = m2a ( T1 – T2 ) R = Iβ
得 故
a = Rβ
1 I = 2 mR2 常量
β
(m1-m2)g = R(m1+ m2+ m 2) 由
m2
a
定轴转动物理量
1. 角位置
描述刚体（上某点）的位置 刚体定轴转动 的运动方程 刚体
刚体中任 一点
(t+△t) (t) 参考 方向
2. 角位移
(m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2) (m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2)
a
gt 2
(rad)
两匀直细杆
两者瞬时角加速度之比 转动定律例题五
θ
θ
根据
1 2 1 2
θ θ
1 3 1 3
地面 从等倾角 处静止释放
短杆的角加速度大 且与匀质直杆的质量无关
第3节 机械能守恒定律
用两个对 转的顶浆
（支奴干 CH47)
A、B两轮共轴 A以ωΑ作惯性转动
守恒例题一
两轮啮合后 一起作惯性转动的角速度
ωΑΒ
以A、B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系 统受合外力矩为零，角动量守恒。
初态角动量 末态角动量
得
守恒例题二
木棒 弹
以弹、棒为系统 击入阶段 子弹击入木棒瞬间，系统在
铅直位置，受合外力矩为零，角动量守恒。 该瞬间之始 该瞬间之末 棒 弹 棒
对 质点运动和刚体转动定律
m 1 m 2 和 m 分别应用
及
β
R
T2 T2
m
T1 T1 m1
m1 g – T1 = m1a T2 – m2 g = m2a ( T1 – T2 ) R = Iβ
得 故
a = Rβ
1 I = 2 mR2 常量
β
(m1-m2)g = R(m1+ m2+ m 2) 由
m2
a
定轴转动物理量
1. 角位置
描述刚体（上某点）的位置 刚体定轴转动 的运动方程 刚体
刚体中任 一点
(t+△t) (t) 参考 方向
2. 角位移
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定轴转动刚体的角动量定理和角动量守Байду номын сангаас恒定律
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END