4-3常见分布随机变量的数学期望和方差
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概率分布中的期望与方差计算技巧
定性
质量控制：在生产 过程中，方差用于 衡量产品质量的一 致性和稳定性，通 过控制产品质量指 标的方差来提高产
品质量
社会科学研究： 在社会科学研究 中，方差用于分 析调查数据的变 异性和不确定性， 以及比较不同样
本之间的差异
期望与方差在金融领域的应用
风险评估：用于衡量投资组合的风 险和预期收益
资本资产定价模型（CAPM）：用 于确定资产的预期收益率，并评估 市场风险
定义：离散概率 分布的方差是各 个可能结果与期 望值的差的平方 的期望值。
计算公式：方差 = Σ (p(x) * (x μ)²)，其中p(x) 是概率，μ是期 望值。
举例：假设一个随 机变量X只取两个 值，X=0的概率为 0.5，X=1的概率 为0.5，则方差 = (0.5 * (0 - μ)² + 0.5 * (1 - μ)²)。
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资产定价：为金融资产（如股票、 债券等）定价，以确定其内在价值
投资组合优化：通过期望和方差等 参数，选择最佳投资组合以最大化 预期收益并最小化风险
感谢您的观看
汇报人：XX
方差的定义
方差是衡量数据点与平均值之间离散程度的统计量。
方差计算公式为：方差 = Σ((数据点 - 平均值)^2) / 数据点个数。
方差的值越小，说明数据点越接近平均值，离散程度越小；方差的值越大，说明数据点离散程度越 大。
方差在概率分布中表示随机变量取值的不确定性程度。
离散概率分布的方差计算
注意事项：可能不是整数
连续概率分布的期望值计算
定义：连续概率分 布的期望值是所有 可能取值的加权平 均值，其中每个取 值的权重为其概率 密度函数在该点的
质量控制：在生产 过程中，方差用于 衡量产品质量的一 致性和稳定性，通 过控制产品质量指 标的方差来提高产
品质量
社会科学研究： 在社会科学研究 中，方差用于分 析调查数据的变 异性和不确定性， 以及比较不同样
本之间的差异
期望与方差在金融领域的应用
风险评估：用于衡量投资组合的风 险和预期收益
资本资产定价模型（CAPM）：用 于确定资产的预期收益率，并评估 市场风险
定义：离散概率 分布的方差是各 个可能结果与期 望值的差的平方 的期望值。
计算公式：方差 = Σ (p(x) * (x μ)²)，其中p(x) 是概率，μ是期 望值。
举例：假设一个随 机变量X只取两个 值，X=0的概率为 0.5，X=1的概率 为0.5，则方差 = (0.5 * (0 - μ)² + 0.5 * (1 - μ)²)。
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资产定价：为金融资产（如股票、 债券等）定价，以确定其内在价值
投资组合优化：通过期望和方差等 参数，选择最佳投资组合以最大化 预期收益并最小化风险
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方差的定义
方差是衡量数据点与平均值之间离散程度的统计量。
方差计算公式为：方差 = Σ((数据点 - 平均值)^2) / 数据点个数。
方差的值越小，说明数据点越接近平均值，离散程度越小；方差的值越大，说明数据点离散程度越 大。
方差在概率分布中表示随机变量取值的不确定性程度。
离散概率分布的方差计算
注意事项：可能不是整数
连续概率分布的期望值计算
定义：连续概率分 布的期望值是所有 可能取值的加权平 均值，其中每个取 值的权重为其概率 密度函数在该点的
常用分布的数学期望及方差
方差的性质
方差具有可加性
对于两个独立的随机变量X和Y，有Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
方差具有对称性
对于一个常数a和随机变量X，有Var(aX) = |a|^2 * Var(X)。
方差具有非负性
对于随机变量X，有Var(X) >= 0，其中 Var(X) = 0当且仅当X是一个常数。
05 数学期望与方差的应用
在统计学中的应用
描述性统计
数学期望和方差用于描述一组数据的中心趋势和 离散程度，帮助我们了解数据的基本特征。
参数估计
通过样本数据的数学期望和方差，可以对总体参 数进行估计，如均值和方差的无偏估计。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差用于构建检验统 计量，判断原假设是否成立。
常见分布的数学期望
均匀分布的数学期望为
$E(X) = frac{a+b}{2}$，其中a和b是均匀分布的下限和上 限。
柯西分布的数学期望为
$E(X) = frac{pi}{beta} sinh(frac{1}{beta})$，其中β是柯西 分布的参数。
拉普拉斯分布的数学期望为
$E(X) = frac{beta}{pi} tan(frac{pi}{beta})$，其中β是拉普 拉斯分布的参数。
03
泊松分布
正态分布是一种常见的连续型随机变量 分布，其方差记作σ²。正态分布的方差 描述了随机变量取值的分散程度。
二项分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在n次独立重复的伯努利试验 中成功的次数。其方差记作σ²，且σ² = np(1-p)，其中n是试验次数，p是单次 试验成功的概率。
泊松分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在一段时间内随机事件发生的 次数。其方差记作σ²，且σ² = λ，其中 λ是随机事件发生的平均速率。
六个常用分布的数学期望和方差
2
例1.已知 X ~ (3) , Y 2 X 1 , 求E (Y ) , D(Y ) , E[3( X 2 1)] 解：X ~ (3) , 则 E ( X ) 3 , D( X ) 3
E (Y ) E ( 2 X 1) 2 E ( X ) 1 5
D(Y ) D( 2 X 1) 4 D( X ) 12
xf ( x )dx
b
x
1 ba
dx
a
1 ba
x
2
b
ab 2
2 a
E( X )
2
b
x
2
1 ba
dx
b a
3
3
a
3(b a )
a ab b
2 2
a ab b
2
2
3
a 2ab b
2 2
D( X ) E ( X ) [ E ( X )]
即： 若随机变量X~B( n , p ),则
E ( X ) np，D( X ) np(1 p)
三.泊松分布
随机变量
P{ X k }
X ~ ( ) ，其分布律为：
λ e
k λ
,
k 0,1,2, ,
k!
E( X )
k
k 0
e
k
e
k!
(k 1)!
xf ( x )dx
x
1 2
e
dx （令 t
t
2
x
）
例1.已知 X ~ (3) , Y 2 X 1 , 求E (Y ) , D(Y ) , E[3( X 2 1)] 解：X ~ (3) , 则 E ( X ) 3 , D( X ) 3
E (Y ) E ( 2 X 1) 2 E ( X ) 1 5
D(Y ) D( 2 X 1) 4 D( X ) 12
xf ( x )dx
b
x
1 ba
dx
a
1 ba
x
2
b
ab 2
2 a
E( X )
2
b
x
2
1 ba
dx
b a
3
3
a
3(b a )
a ab b
2 2
a ab b
2
2
3
a 2ab b
2 2
D( X ) E ( X ) [ E ( X )]
即： 若随机变量X~B( n , p ),则
E ( X ) np，D( X ) np(1 p)
三.泊松分布
随机变量
P{ X k }
X ~ ( ) ，其分布律为：
λ e
k λ
,
k 0,1,2, ,
k!
E( X )
k
k 0
e
k
e
k!
(k 1)!
xf ( x )dx
x
1 2
e
dx （令 t
t
2
x
）
方差
X服从泊松分布，即X~ π(λ),则 E(X)= λ，D(X)= λ
X服从均匀分布，即X~U(a，b),则E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)^2/12
X服从指数分布，即X~e(λ), E(X)= λ^(-1)，D(X)= λ^(-2)
X服从二项分布，即X~B(n,p)，则E(x)=np, D(X)=np(1-p)
则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况.
（4）D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c，即P{X=c}=1，其中E(X)=c。
编辑本段常见随机变量的期望和方差
设随机变量X。
X服从(0—1)分布，则E(X)=p D(X)=p(1-p)
恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2
切比雪夫不等式说明，DX越小，则 P{|X-EX|>=ε}
越小，P{|X-EX|<ε}越大， 也就是说，随机变量X取值基本上集中在EX附近，这进一步说明了方差的意义。
同时当EX和DX已知时，切比雪夫不等式给出了概率P{|X-EX|>=ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变量X的具体概率分布，而只与其方差DX和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。
由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到E(|X-E(X)|)能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度. 但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量
X服从均匀分布，即X~U(a，b),则E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)^2/12
X服从指数分布，即X~e(λ), E(X)= λ^(-1)，D(X)= λ^(-2)
X服从二项分布，即X~B(n,p)，则E(x)=np, D(X)=np(1-p)
则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况.
（4）D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c，即P{X=c}=1，其中E(X)=c。
编辑本段常见随机变量的期望和方差
设随机变量X。
X服从(0—1)分布，则E(X)=p D(X)=p(1-p)
恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2
切比雪夫不等式说明，DX越小，则 P{|X-EX|>=ε}
越小，P{|X-EX|<ε}越大， 也就是说，随机变量X取值基本上集中在EX附近，这进一步说明了方差的意义。
同时当EX和DX已知时，切比雪夫不等式给出了概率P{|X-EX|>=ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变量X的具体概率分布，而只与其方差DX和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。
由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到E(|X-E(X)|)能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度. 但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量
常见分布的期望与方差的计算知识分享
= np(1 − p)
3. 泊松分布
设 X ~ π(λ ), 且分布律为
P{ X = k} = λk e−λ , k = 0,1,2,", λ > 0.
k!
∑ ∑ 则有 E( X ) = ∞ k ⋅ λk e−λ = e−λ ∞ λk−1 ⋅ λ
k=0 k!
k=1 (k − 1)!
= λe−λ ⋅ eλ = λ
= np[ p + (1 − p)]n−1 = np
E( X 2 ) = E[ X ( X − 1) + X ] = E[ X ( X − 1)] + E( X )
∑ = n k(k − 1)⎜⎛ k ⎞⎟ pk (1 − p)n−k + np
k=0
⎝n⎠
∑ = n k(k − 1)n!pk (1 − p)n−k + np
(法二) X 的分布律为
P{ X = k} = ⎜⎛ n ⎞⎟ pk (1 − p)n−k ,(k = 0,1,2,", n),
⎝k⎠
∑ ∑ 则有 E( X ) = n k ⋅ P{ X = k} = n k⎜⎛ n ⎞⎟ pk (1 − p)n−k
k=0
k=0 ⎝ k ⎠
∑n
=
kn! pk (1 − p)n−k
E( X 2 ) = E[ X ( X − 1) + X ]
= E[ X ( X − 1)] + E( X )
∑ = +∞ k(k − 1) ⋅ λk e−λ + λ
k=0
k!
∑+∞
= λ2e−λ ⋅
λk − 2
+ λ = λ2e−λeλ + λ = λ2 + λ .
3. 泊松分布
设 X ~ π(λ ), 且分布律为
P{ X = k} = λk e−λ , k = 0,1,2,", λ > 0.
k!
∑ ∑ 则有 E( X ) = ∞ k ⋅ λk e−λ = e−λ ∞ λk−1 ⋅ λ
k=0 k!
k=1 (k − 1)!
= λe−λ ⋅ eλ = λ
= np[ p + (1 − p)]n−1 = np
E( X 2 ) = E[ X ( X − 1) + X ] = E[ X ( X − 1)] + E( X )
∑ = n k(k − 1)⎜⎛ k ⎞⎟ pk (1 − p)n−k + np
k=0
⎝n⎠
∑ = n k(k − 1)n!pk (1 − p)n−k + np
(法二) X 的分布律为
P{ X = k} = ⎜⎛ n ⎞⎟ pk (1 − p)n−k ,(k = 0,1,2,", n),
⎝k⎠
∑ ∑ 则有 E( X ) = n k ⋅ P{ X = k} = n k⎜⎛ n ⎞⎟ pk (1 − p)n−k
k=0
k=0 ⎝ k ⎠
∑n
=
kn! pk (1 − p)n−k
E( X 2 ) = E[ X ( X − 1) + X ]
= E[ X ( X − 1)] + E( X )
∑ = +∞ k(k − 1) ⋅ λk e−λ + λ
k=0
k!
∑+∞
= λ2e−λ ⋅
λk − 2
+ λ = λ2e−λeλ + λ = λ2 + λ .
常见分布期望和方差推导
) ( ) (1) (1) 2 (1) 1 0.6826
P{| X | 3 } P{ 3 X 3 }
2 (3) 1 0.9974 因此，对于正态随机变量来说，它的值落在区间 内几乎是肯定的。
( n 1)! np p k 1q n 1( k 1) ( k 1)! ( n 1 ( k 1))! 返回主目录 k 1
n
第十三章 随机变量的数字特征
EX np
k 1
n k 0
n
k 1 k 1 n 1 ( k 1) Cn q np 1 p
i 0
n 1
§3
几种期望与方差
i i n 1 i Cn p q 1
np ( p q) n 1 np
EX
2
k
n
n
2
C p q
k n k
nk
n! p k p k 1 q n k ( k 1)! ( n k )! k 1
n! k pk qnk k!( n k )! k 0
t2 tde 2
e
dt 2
返回主目录
第十三章 随机变量的数字特征
P{| X | } P{ X }
(
§3
几种期望与方差
P{| X | 2 } P{ 2 X 2 }
2 ( 2) 1 0.9544
n
n ( n 1) p 2 ( p q) n 2 np n 2 p 2 np 2 np
DX EX 2 ( EX ) 2 n 2 p 2 n p 2 np n 2 p 2 np (1 p ) npq
概率计算中的期望与方差计算
概率计算中的期望与方差计算概率论是数学中的一个重要分支，其中期望值和方差是计算概率分布特征的核心概念。
在概率计算中，期望值和方差的计算可以帮助我们了解随机事件的平均趋势和离散程度。
本文将介绍期望值和方差的概念、计算方法以及其在概率计算中的应用。
1. 期望值的定义与计算方法期望值是一组数据中各数值与其概率加权平均的结果。
它可以理解为随机变量的平均取值。
设随机变量X有n个取值x1, x2, ... , xn，并且对应的概率为p1, p2, ... , pn，则期望值的计算公式为：E(X) = x1 * p1 + x2 * p2 + ... + xn * pn其中E(X)表示X的期望值。
通过计算，可以得到随机变量X的平均取值。
2. 方差的定义与计算方法方差是一组数据中各数值与其期望值的差的平方与其概率加权平均的结果。
它可以理解为随机变量取值与其平均取值的离散程度。
方差的计算公式为：Var(X) = (x1 - E(X))^2 * p1 + (x2 - E(X))^2 * p2 + ... + (xn - E(X))^2 * pn其中Var(X)表示X的方差。
通过计算，可以得到随机变量X的离散程度大小。
3. 期望值与方差的应用举例在实际应用中，期望值和方差有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用举例：3.1 投掷硬币假设投掷一枚公平的硬币，正面朝上的概率为p，反面朝上的概率为1-p。
则硬币的期望值为E(X) = p * 1 + (1-p) * 0 = p，方差为Var(X)= (1-p)^2 * p + p^2 * (1-p) = p(1-p)。
通过计算可以知道，硬币投掷的平均结果为正面与反面的概率加权平均，且平均偏离程度由p(1-p)表示。
3.2 随机抽样在随机抽样中，假设有n个样本，每个样本的概率为p，被抽中的概率为1-p。
则样本的期望值为E(X) = p，方差为Var(X) = p(1-p)/n。
通过计算可以得到，样本的平均结果由单个样本的概率加权平均，且偏离程度与样本数量n成反比。
概率论与数理统计第四章
)
(
)
(
)
,
(
Y
D
X
Dபைடு நூலகம்
Y
X
Cov
xy
=
r
=4[E(WV)]2-4E(W2)×E(V2)≤0
01
得到[E(WV)]2≤E(W2)×E(V2). →(8)式得到证明.
02
设W=X-E(X),V=Y-E(Y),那么
03
其判别式
由(9)式知, |ρ xy|=1 等价于 [E(WV)]2=E(W2)E(V2). 即 g(t)= E[tW-V)2] =t2E(W2)-2tE(WV)+E(V2) =0 (10) 由于 E[X-E(X)]=E(x)-E(X) =0, E[Y-E(Y)]=E(Y)-E(Y) =0.故 E(tW-V)=tE(W)-E(V)=tE[X-E(X)]-E[Y-E(Y)]=0 所以 D(tW-V)=E{[tW-V-E(tW-V)]2}=E[(tW-V)2]=0 (11) 由于数学期望为0,方差也为0,即(11)式成立的充分必要条件是 P{tW-V=0}=1
随机变量X的数学期望是随机变量的平均数.它是将随机变量 x及它所取的数和相应频率的乘积和.
=
(1)
)
2
3
(
)
(
-
=
ò
µ
µ
-
dx
x
x
E
j
x
可见均匀分布的数学期望为区间的中值.
例2 计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量 的数学期望
泊松分布的数学期望和方差都等于参数λ.
其他
02
f(x)=
01
（4-6）
03
（4）指数分布
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黄色乒乓球和 30 只白色乒乓球，乙
袋中有 45 只黄色乒乓球和 5 只白色乒乓球，现从两袋中各取 一只乒乓球， 记 X 为两只乒乓球中白球的个数， 求 EX ，DX ．
解 设 X 1 表示从甲袋中所取一个乒乓球中白球的个数， X 2 表示从乙袋中所取一个乒乓球中白球的个数， 则 X X1 X 2 ， 又由题意知 X 1 与 X 2 相互独立，且 X1 ~ B(1, 0.3) ，
EX
p
DX
p(1 p)
二项分布
X ~ B(n, p)
np
np(1 p )
泊松分布
X ~ P ( )
P{ X k}
k
几何分布
X ~ G ( p)
k! k 0,1, 2,
e
1 p
ab 2
1 p p2
均匀分布
X ~ U [a, b]
P{X k} (1 p)k 1 p k 1, 2,
1 ， a x b, f ( x) b a 其它. 0，
(b a ) 2 12
指数分布
X ~ E ( )
e x , x 0, f ( x) x 0. 0,
1
1
正态分布
X ~ N ( , )
2
f ( x)
1 e 2
X 2 ~ B(1, 0.1) ，则有 EX EX1 EX 2 0.3 0.1 0.4 ， DX DX1 DX 2 0.3 0.7 0.1 0.9 0.3 ．
•4
例 3.4 设随机变量 X 与 Y 独立， 且 X ~ N (1, 2) ， Y ~ N (0,1). 试求 Z 2 X Y 3 的密度函数 f Z ( z) ．
解 由于 Z 为独立正态随机变量 X 与 Y 的非零线性组合， 由第三章结论 7.3 ⑴和第二章结论 4.1 正态分布的性质知，
Z 服从正态分布．又因为 EX 1, EY 0, DX 2, DY 1 ，
所以
EZ 2 EX EY 3 2 1 0 3 5 ，
DZ 22 DX DY 4 2 1 9 ，
故 Z ~ N (5,9) ，因此 Z 的密度函数为
f Z ( z)
1 2 3
e
( z 5)2 29
1 e 3 2
( z 5)2 18
, z ．
•5
x 2
2 2
2
2
•2
例 3.1 设随机变量 X ~ U [0 ， 6] , Y ~ E (0.5) ，计算
EX EY
DX DY
．
1 1 06 (6 0)2 2, DY 2 4 ， 解 EX 3, DX 3 ， EY 0.5 0.5 2 12 EX DX 3 3 所以 6． EY DY 2 4
例 3.2 设随机变量 X ~ P(1) ，求 P{X E( X 2 )} ．
解 因为 X ~ P(1) ，所以 EX 1, DX 1，因此
E( X 2 ) DX ( EX )2 2 ，
故
2 1 1 P{ X E ( X 2 )} P{ X 2} e 1 ． 2! 2e
§3 常见分布随机变量的数学期望和方差
（结论证明部分主要自学） 计算工具：高等数学中的积分计算和幂级数求和
要求：熟记其结论
•1
分 布 0-1分布
X ~ B(1, p)
分布律或概率密度
P{X k} pk (1 p)1k k 0,1
k k P{X k} Cn p (1 p)nk k 0,1,, n
袋中有 45 只黄色乒乓球和 5 只白色乒乓球，现从两袋中各取 一只乒乓球， 记 X 为两只乒乓球中白球的个数， 求 EX ，DX ．
解 设 X 1 表示从甲袋中所取一个乒乓球中白球的个数， X 2 表示从乙袋中所取一个乒乓球中白球的个数， 则 X X1 X 2 ， 又由题意知 X 1 与 X 2 相互独立，且 X1 ~ B(1, 0.3) ，
EX
p
DX
p(1 p)
二项分布
X ~ B(n, p)
np
np(1 p )
泊松分布
X ~ P ( )
P{ X k}
k
几何分布
X ~ G ( p)
k! k 0,1, 2,
e
1 p
ab 2
1 p p2
均匀分布
X ~ U [a, b]
P{X k} (1 p)k 1 p k 1, 2,
1 ， a x b, f ( x) b a 其它. 0，
(b a ) 2 12
指数分布
X ~ E ( )
e x , x 0, f ( x) x 0. 0,
1
1
正态分布
X ~ N ( , )
2
f ( x)
1 e 2
X 2 ~ B(1, 0.1) ，则有 EX EX1 EX 2 0.3 0.1 0.4 ， DX DX1 DX 2 0.3 0.7 0.1 0.9 0.3 ．
•4
例 3.4 设随机变量 X 与 Y 独立， 且 X ~ N (1, 2) ， Y ~ N (0,1). 试求 Z 2 X Y 3 的密度函数 f Z ( z) ．
解 由于 Z 为独立正态随机变量 X 与 Y 的非零线性组合， 由第三章结论 7.3 ⑴和第二章结论 4.1 正态分布的性质知，
Z 服从正态分布．又因为 EX 1, EY 0, DX 2, DY 1 ，
所以
EZ 2 EX EY 3 2 1 0 3 5 ，
DZ 22 DX DY 4 2 1 9 ，
故 Z ~ N (5,9) ，因此 Z 的密度函数为
f Z ( z)
1 2 3
e
( z 5)2 29
1 e 3 2
( z 5)2 18
, z ．
•5
x 2
2 2
2
2
•2
例 3.1 设随机变量 X ~ U [0 ， 6] , Y ~ E (0.5) ，计算
EX EY
DX DY
．
1 1 06 (6 0)2 2, DY 2 4 ， 解 EX 3, DX 3 ， EY 0.5 0.5 2 12 EX DX 3 3 所以 6． EY DY 2 4
例 3.2 设随机变量 X ~ P(1) ，求 P{X E( X 2 )} ．
解 因为 X ~ P(1) ，所以 EX 1, DX 1，因此
E( X 2 ) DX ( EX )2 2 ，
故
2 1 1 P{ X E ( X 2 )} P{ X 2} e 1 ． 2! 2e
§3 常见分布随机变量的数学期望和方差
（结论证明部分主要自学） 计算工具：高等数学中的积分计算和幂级数求和
要求：熟记其结论
•1
分 布 0-1分布
X ~ B(1, p)
分布律或概率密度
P{X k} pk (1 p)1k k 0,1
k k P{X k} Cn p (1 p)nk k 0,1,, n