运筹学基础-线性规划(应用)
运筹学基础及应用共107页文档
求Z极大或极小
2020/4/19
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1.2 线性规划问题的数学模型
三个组成要素：
1.决策变量:是决策者为实现规划目标采取的 方案、措施，是问题中要确定的未知量。
2.目标函数:指问题要达到的目的要求，表 示为决策变量的函数。
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可行解：满足约束条件的解称为可行解，可行解的集 合称为可行域。
最优解：使目标函数达到最大值的可行解。
基：约束方程组的一个满秩子矩阵称为规划问题的一
个基，基中的每一个列向量称为基向量，与基向量对应 的变量称为基变量，其他变量称为非基变量。
基解：在约束方程组中，令所有非基变量为0，可以
j1
x
j
0
（ j 1， ， n）
标准形式特点：
1. 目标函数为求极大值； 2. 约束条件全为等式；
3. 约束条件右端常数项全为非负；
4. 决策变量取值非负。
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一般线性规划问题如何化为标准型：
1. 目标函数求极小值：
n
minz cj xj j1
令： z'z，即化为：
maxz max(z)minz
3.约束条件:指决策变量取值时受到的各种可 用资源的限制，表示为含决策变量的等式或 不等式。
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一般线性规划问题的数学模型：
目标函数：m （ m a ） z x 或 c i 1 x 1 n c 2 x 2 c n x n
a11x1 a12x2 a1nxn （或,）b1
约束条件：a21x1a22x2a2nxn（ 或,）b2
运 筹 学 课 件
12/3 4
z
1 2
x4
x5 42
x3
2 3
x4
1 3
x5
4
新典式
主元化 为1，主 元所在
x2
1 2
x4
6
列的其 余元素
x1
2 3
x4
1 3
x5
4
化为0
观察最后一个典式，所有检验数均为非负， 故其对应的基本可行解为最优解，即
X * 4,6,6,0,0T z* 42
去掉引入变量，得原问题的最优解为：
运筹学课件
目录
运筹学概论 第一章 线性规划基础 第二章 单纯形法 第三章 LP对偶理论 第四章 灵敏度分析 第五章 运输问题 第六章 整数规划 第七章 动态规划 第八章 网络分析
第二章 单纯形法
(SM-Simplex Method)
1947年，美国运筹学家Dantzig提出，原理是 代数迭代。
单纯形法中的单纯形的这个术语，与该方法毫 无关系，它源于求解方法的早期阶段所研究的一 个特殊问题，并延用下来。
CB B1b B1b
z
CB B1N CN X N X B B1NX N
CB B1b B1b
上述方程组的矩阵形式为
10
0 I
CB
B1N B1N
CN
z XB XN
CB B1b B1b
上式的系数增广阵称为对应于基B的单纯形表：
T(B)
CB B1b B1b
0 I
CB
B1N B1N
CN
形式的LP问题，必须解决三个问题： ⑴初始基本可行解的确定； ⑵解的最优性检验； ⑶基本可行解的转移规则。 这里先放一下⑴，研究⑵和⑶，为此，
运筹学基础
运筹学基础运筹学基础运筹学是一门研究问题的建模、分析和解决方法的学科，它涵盖了数学、统计学、计算机科学和工程等多个领域。
运筹学的目标是通过科学的方法，优化决策和资源利用，以达到最佳的效果。
运筹学的基础包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、排队论、网络流和图论等内容。
这些方法可以在许多领域中应用，包括物流、生产、供应链管理、交通运输、金融和资源分配等。
线性规划是运筹学中的一种基础方法。
它适用于求解具有线性目标函数和线性约束条件的问题。
线性规划常常涉及到资源的分配和决策的优化，例如在生产中如何最大化利润或者在供应链中如何最小化运输成本。
整数规划是在线性规划的基础上引入整数变量的一种问题求解方法。
这种方法可以用于求解一些离散决策问题，例如在物流中如何选择配送点和配送路线，以及如何安排生产任务等。
非线性规划是针对目标函数或约束条件中存在非线性项的问题的求解方法。
这种方法用于求解一些复杂的决策问题，例如在金融投资中如何优化投资组合，以及在环境保护中如何最小化排放量等。
动态规划是一种将多阶段决策问题转化为一系列单阶段决策问题的方法。
它适用于一些需考虑时序和状态转移的问题，例如旅行商问题和生产计划问题等。
排队论是研究顾客到达和服务系统间关系的数学方法。
它可以用于分析和优化服务系统的性能指标，例如等待时间和服务效率等。
排队论可以应用于各种排队系统，包括银行、餐厅和交通等。
网络流是研究网络中物质或信息流动的数学方法。
它可以用于解决一些网络中的最优路径或最小费用问题，例如在物流中如何选择最佳配送路径，以及在通信网络中如何优化数据传输等。
图论是研究图结构和图算法的学科。
它可以用于模型建立和问题求解，例如在地图上如何规划最短路径，以及在社交网络中如何分析人际关系等。
总之，运筹学提供了一系列数学方法和工具，用于解决决策和资源分配问题。
这些方法不仅可以优化决策效果，还可以提高经济效益和资源利用效率。
运筹学的应用范围广泛，对提高社会生产力和改善生活质量具有重要意义。
《运筹学》课件 第一章 线性规划
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解：令
xi=
1， Si被选中
min z= ci xi i 1 10
0， Si没被选中
xi 5
i 1
x1 x8 1 x7 x8 1
称为技术系数
b= (b1,b2, …, bm) 称为资源系数
2、非标准型
标准型
（1）Min Z = CX
Max Z' = -CX
（2）约束条件
• “≤”型约束，加松弛变量；
松弛变量
例如： 9 x1 +4x2≤360
9 x1 +4x2+ x3=360
• “≥”型约束，减松弛变量；
例、将如下问题化为标准型
数据模型与决策 (运筹学）
课程教材：
吴育华,杜纲. 《管理科学基础》，天津大学出版社。
绪论
一、运筹学的产生与发展
运筹学（Operational Research) 直译为“运作研究”。
• 产生于二战时期 • 60年代，在工业、农业、社会等各领域得到广泛应用 • 在我国，50年代中期由钱学森等引入
Min z x1 2x2 3x3
x1 x2 x3 7
s.t
.
x1 x2 x3 3x1 x2 2
x3
2
5
x1, x2 , x3 0
解：令 Min z Max z' (z' z) ，第一个约束加松弛变量x5，
第二个约束减松弛变量x6，得标准型：
Max z' x1 2x2 +3x3
x1 x2 x3 x4 7
s.t .
x1 x2 3x1
x3 x2
x5 2 2x3 5
x1 , , x5 0
运筹学第1章-线性规划
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
运筹学知识点总结
运筹学知识点总结运筹学是一门研究如何有效决策和优化资源分配的学科，它涵盖了数学、统计学和计算机科学等多个学科的知识。
在现代社会，运筹学在各个领域都有广泛的应用，比如物流管理、生产调度、供应链优化等。
本文将介绍一些运筹学的基本概念和应用。
1. 线性规划线性规划是运筹学中最基础也是最常用的数学模型之一。
它的目标是在一组线性约束条件下，最大化或最小化线性目标函数。
线性规划可以用来解决资源分配、生产计划、投资组合等问题。
常见的线性规划算法有单纯形法和内点法。
2. 整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，其中决策变量被限制为整数。
整数规划在许多实际问题中都有应用，比如货车路径优化、工人调度等。
求解整数规划问题的方法包括分支定界法和割平面法。
3. 图论图论是运筹学中的一个重要分支，它研究图的性质和图算法。
图是由节点和边组成的数学结构，可以用来表示网络、路径、流量等问题。
常见的图论算法有最短路径算法、最小生成树算法和最大流算法。
4. 排队论排队论研究的是随机到达和随机服务的系统中的排队行为。
它在交通规划、电话网络、客户服务等领域有广泛的应用。
常见的排队论模型有M/M/1队列、M/M/c队列和M/G/1队列。
排队论可以用来优化服务水平、减少等待时间等。
5. 动态规划动态规划是一种解决多阶段决策问题的方法，它将问题分解为一系列子问题，并通过递归的方式求解。
动态规划常用于求解最优化问题，比如背包问题、旅行商问题等。
它的核心思想是将问题转化为子问题的最优解，并利用子问题的最优解求解原问题。
6. 模拟优化模拟优化是一种通过模拟实验寻找最优解的方法。
它基于概率统计和随机模拟的原理，通过多次模拟实验来搜索解空间。
模拟优化常用于在实际问题的局部搜索中找到较好的解。
常见的模拟优化算法有遗传算法、蚁群算法和粒子群算法。
7. 供应链管理供应链管理是一种综合运筹学和物流管理的概念，它研究如何优化整个供应链中的流程和资源分配。
供应链管理的目标是降低成本、增加效率并提供更好的顾客服务。
应用运筹学基础：线性规划（4）-对偶与对偶单纯形法
应⽤运筹学基础：线性规划（4）-对偶与对偶单纯形法这⼀节课讲解了线性规划的对偶问题及其性质。
引⼊对偶问题考虑⼀个线性规划问题：$$\begin{matrix}\max\limits_x & 4x_1 + 3x_2 \\ \text{s.t.} & 2x_1 + 3x_2 \le 24 \\ & 5x_1 + 2x_2 \le 26 \\ & x \ge0\end{matrix}$$ 我们可以把这个问题看作⼀个⽣产模型：⼀份产品 A 可以获利 4 单位价格，⽣产⼀份需要 2 单位原料 C 和 5 单位原料 D；⼀份产品 B 可以获利 3 单位价格，⽣产⼀份需要 3 单位原料 C 和 2 单位原料 D。
现有 24 单位原料 C，26 单位原料 D，问如何分配⽣产⽅式才能让获利最⼤。
但假如现在我们不⽣产产品，⽽是要把原料都卖掉。
设 1 单位原料 C 的价格为 $y_1$，1 单位原料 D 的价格为 $y_2$，每种原料制定怎样的价格才合理呢？⾸先，原料的价格应该不低于产出的产品价格（不然还不如⾃⼰⽣产...），所以我们有如下限制：$$2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ 3y_1 + 2y_2 \ge3$$ 当然也不能漫天要价（也要保护消费者利益嘛- -），所以我们制定如下⽬标函数：$$\min_y \quad 24y_1 + 26y_2$$ 合起来就是下⾯这个线性规划问题：$$\begin{matrix} \min\limits_y & 24y_1 + 26y_2 \\ \text{s.t.} & 2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ & 3y_1 + 2y_2 \ge 3 \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这个问题就是原问题的对偶问题。
对偶问题对于⼀个线性规划问题（称为原问题，primal，记为 P） $$\begin{matrix} \max\limits_x & c^Tx \\ \text{s.t.} & Ax \le b \\ & x \ge 0\end{matrix}$$ 我们定义它的对偶问题（dual，记为 D）为 $$\begin{matrix} \min\limits_x & b^Ty \\ \text{s.t.} & A^Ty \ge c \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这⾥的对偶变量 $y$，可以看作是对原问题的每个限制，都⽤⼀个变量来表⽰。
运筹学基础(中文版第10版)哈姆迪塔哈课后习题答案解析
运筹学基础（中文版第10版）哈姆迪塔哈课后习题答案解析第一章线性规划模型1.1 线性规划的基本概念1.请解释线性规划模型的基本要素以及线性规划模型的一般形式。
答：- 线性规划模型的基本要素包括决策变量、目标函数、约束条件。
- 线性规划模型的一般形式如下：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙSubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 01.2 线性规划模型的几何解释1.请说明线性规划模型的几何解释。
答：线性规划模型在几何上可以表示为一个多维空间中的凸多面体（可行域），目标函数为该多面体上的一条直线，通过不同的目标函数系数向量c，可以得到相应的最优解点。
通过多面体的边界和顶点，可以确定最优解点的位置。
如果可行域是无限大的，则最优解点可以在其中的任何位置。
1.3 线性规划模型求解方法1.简要说明线性规划模型的两种求解方法。
答：线性规划模型可以通过以下两种方法进行求解： - 图形法：根据可行域的几何特征，通过图形方法确定最优解点的位置。
- 单纯形法：通过迭代计算，逐步靠近最优解点。
单纯形法是一种高效的求解线性规划问题的方法。
第二章单变量线性规划2.1 单变量线性规划模型1.请给出单变量线性规划模型的一般形式。
答：Max/Min Z = cxSubject to:ax ≤ bx ≥ 02.2 图形解法及其应用1.请解释图形解法在单变量线性规划中的应用。
答：图形解法可以直观地帮助我们确定单变量线性规划模型的最优解。
通过绘制目标函数和约束条件的图像，可以确定最优解点的位置。
对于单变量线性规划模型，图形解法特别简单，只需要绘制一条直线和一条水平线，求解它们的交点即可得到最优解点的位置。
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用计算机软件求解线性规划问题关于线性规划问题的求解，有许多好的专业软件和商务软件，通过计算机可十分方便地完成求解过程。
其中简便易行的求解软件是Excel，下面介绍其使用方法。
（1）建立Excel工作表。
用一组单元格表示变量，作为可变单元格（空）；用几组单元格分别表示各约束条件和目标函数的系数；用一些单元格输入公式表示各组系数和变量的关系。
（2）打开工具栏中的“规划求解”对话框，指定存有目标函数的单元格为目标单元格，指定表示变量的单元格为可变单元格，建立约束条件。
（3）在规划求解对话框中按下“求解”按钮，即可求出最优解和最优值。
推出规划求解对话框。
利用EXCEL求线性规划的步骤1、激活“工具栏”中的“规划求解”利用EXCEL 求线性规划的步骤2、根据线性规划模型建立计算模板maxZ=3x 1+5x 2x1≤ 82x2≤ 123x 1+4 x 2≤ 36x 1、x 2≥0利用EXCEL 求线性规划的步骤3、定义决策变量及目标函数、约束条件注：sumproduct表示对应乘积之和调用函数sumproduct 定义实际值利用EXCEL求线性规划的步骤4、利用“工具栏”之“规划求解”求解利用EXCEL求线性规划的步骤利用EXCEL求线性规划的步骤最优解为：x1=4,x2=6 maxZ=42【练习】由下表数据，列出使总利润最大的生产计划模型，并求利润最大的生产方案kg/件材料A 材料B 材料C 利润产品甲52412元/件产品乙2328元/件资源量150kg 100kg 80kgmaxZ= 12 x 1+8x 25x 1+2x 2≤ 1502x 1+3x 2≤1004x 1+2x 2≤80x 1,x 2≥0令产品甲的产量为x 1,产品甲的产量为x 2,得如下线性规划模型§1.6 线性规划的应用举例一、原材料合理利用例1．某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m 的圆钢各一根。
已知原料每根长7.4 m ，问：应如何下料，可使所用原料最省？解：设x i 表示第i 种方案的原材料根数。
目标函数：Min z=0x 1+0.1x 2+0.2x 3+0.3x 4+0.8x 5+0.9x 6+1.1x 7+1.4x 8约束条件：s.t. x 1+ 2x 2+ x 4+ x 6=1002x 3+ 2x 4+ x 5+ x 6+3x 7 =1003x 1+x 2+ 2x 3+ 3x 5+ x 6+4x 8 =100 x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6,x 7,x 8≥ 0结果不唯一，其中一解为：ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧ30100500000线长（m ）方案1方案2方案3方案4方案5方案6方案7方案82.9120101002.1002211301.531203104合计7.47.37.27.16.66.56.36剩余零头00.10.20.30.80.9 1.1 1.4二、生产计划安排的问题某公司正准备利用它下设的三个工厂（记为１、２、３），生产一种新产品。
据调查，三个工厂都能生产该产品，该产品分为大、中、小三个型号，其单位净收益分别为420元，360元，300元。
而工厂1、2和3每天拥有的生产能力分别为750、900和450件（不管何种型号或各种型号的组合），工厂1、2和3每天可以为该产品提供13000、12000和5000平方米加工过程的存储空间，每单位的大、中、小型的产品所需要的存储空间分别为20、15和12平方米。
来自销售部门的数据表明：每天估计可销售大、中、小型的产品分别为600、600和750件。
管理层希望知道每个工厂能生产的各种型号的产品数量，使得公司利润达到最大化。
解：设工厂1生产大、中、小型产品的数量分别为件；工厂2生产大、中、小型产品的数量分别为件；工厂3生产大、中、小型产品的数量分别为件；总的利润为z ，则生产能力的约束存储空间的约束销售能力的约束123 x x x ，，456 x x x ，，789 x x x ，，147258369420(+ + )360(+ + )300(+ + )z x x x x x x x x x =++123456789+ + 750 + 900 450x x x x x x x x x ≤⎧⎪+≤⎨⎪++≤⎩12345678920+ 15+ 12 130002015 +12 12000 2015125000x x x x x x x x x ≤⎧⎪+≤⎨⎪++≤⎩147258369+ + 600 + 600750x x x x x x x x x ≥⎧⎪+≥⎨⎪++≥⎩该问题的数学模型为147258369max 420(+ + )360(+ + )300(+ + )z x x x x x x x x x =++123456 + + 750 + 900 ..x x x x x x s t ≤+≤789123456 45020+ 15+ 12 13000 2015 +12 x x x x x x x x x ++≤≤+7891472 120002015125000 + + 600 x x x x x x x ≤++≤≥58369123456789 + + 600750,,,,,, , , 0x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪≥⎪⎪++≥⎪≥⎪⎩对该线性规划问题进行求解得：总的利润为693000元()()()()()()()1246783593504001507501002000x x x x x x x x x ⎧=⎪=⎪⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎪⎪===⎩件件件件件件件另例、生产计划的问题【例】永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，均要经过A 、B 两道工序加工。
设有两种规格的设备A 1、A 2能完成A 工序；有三种规格的设备B 1、B 2、B 3能完成B 工序。
Ⅰ可在A 、B 的任何规格的设备上加工；Ⅱ可在任意规格的A 设备上加工，但对B 工序，只能在B 1设备上加工；Ⅲ只能在A 2与B 2设备上加工；数据如右上表。
问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？【解】如图所示设变量产品单件工时设备 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 设备的 有效台时 设备加工费用（元/h ） A 1 5 10 6000 0.05 A 2 7 9 12 10000 0.03B 1 6 8 4000 0.06 B 2 4 11 7000 0.11B 3 7 4000 0.05 原料（元/件） 0.25 0.35 0.50 售价（元/件） 1.252.00 2.80 设备产品ⅠⅡⅢA1x11x12A2x21x22x23B1x31x32B2x41x43B3x51利润= [（销售单价-原料单价）* 产品件数]之和-（每台时的设备费用*设备实际使用的总台时数）之和。
()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥=-=-+=++-+≤≤+≤+≤++≤+⨯-+⨯-+⨯-++⨯-+⨯-⨯-++⨯-++⨯-=0,,0004000770001144000861000012976000105705.0)114(11.0)86(06.0)1297(03.0)105(05.0)5.08.2()()35.02()()25.025.1(51114323322212514131211151434132312322211211514341323123222112112322122111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Maxz 三、营养配方问题为了满足营养需求，要求每一个儿童的热量摄入量应当在300-500卡之间，但是从脂肪中摄入的热量不能超过30%；每个儿童至少要摄入60毫克的维生素C以及10克的纤维素。
为了保证三明治可口，希望每个儿童至少吃掉2片面包，1汤匙花生黄油，1汤匙果酱，以及一杯饮品（牛奶或酸果蔓果汁）。
应如何对食品进行选择，在满足营养需求的前提下使成本最小？解：设每个儿童吃x 1片面包，x 2汤匙花生黄油，x 3汤匙果酱，x 4个苹果，x 5杯牛奶，x 6杯酸果蔓果汁，总的成本为z ，则有对该线性规划问题进行求解得x 1=2, x 2=1, x 3=1, x 4=2/3, x 5=1,总成本为265/3美分。
,()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥+++++≤++≥+≥≥≥≥+++≥+++≤+++++≤+++++=0,,,,,110120907010080%3060801511121010346080264500110120907010080300402035856min 6543216543215216532164316543654321654321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z四、工作人员排程联邦航空公司（Union Airway）正准备增加其中心机场的往来航班，因此需要雇佣更多的客户服务代理商，但是不知道到底要雇佣多少数量的代理商。
管理层意识到在向公司的客户提供令人满意的服务水平的同时必须进行成本控制，因此，必须寻找成本与收益之间的平衡。
于是，要求管理科学小组研究如何规划人员才能以最小的成本提供令人满意的服务。
分析研究新的航班时间表，以确定一天之中不同时段为客户提供满意服务水平必须在岗位上的代理商数目。
规定要求每一代理商工作8小时为一班。
各航班时间安排如下解：设x j 表示在航班j 开始时工作的代理商数（j=1,2,…,5 ），z 表示需要的总的成本，则对上述模型进行求解得：在航班1、2、3、4、5开始工作的代理商数分别是48人、31人、39人、43人和15人，需要的总代理成本为$30,610。
1234511212123min 170160175180195 48 7965 .z x x x x x x x x x x x x x s t =++++≥+≥+≥++2334344 8764 7382 x x x x x x x ≥+≥+≥+≥45512345 43 5215,,,,0x x x x x x x x ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪≥⎪+≥⎪⎪≥⎪≥⎪⎩且为整数五、投资问题例．某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。
已知：项目A ：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B ：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C ：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D ：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元；据测定每万元每次投资的风险指数如右表：问：a ）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？b ）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？项目风险指数（次/万元）A 1B 3C 4D 5.5解：1）确定决策变量：连续投资问题设x ij ( i = 1～5，j = 1～4)表示第i 年初投资于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。