第二十一章 原子的量子理论
量子力学讲义1
量⼦⼒学讲义1第⼀章绪论前⾔⼀、量⼦⼒学的研究对象量⼦⼒学是现代物理学的理论基础之⼀，是研究微观粒⼦运动规律的科学。
量⼦⼒学的建⽴使⼈们对物质世界的认识从宏观层次跨进了微观层次。
综观量⼦⼒学发展史可谓是群星璀璨、光彩纷呈。
它不仅极⼤地推动了原⼦物理、原⼦核物理、光学、固体材料、化学等科学理论的发展，还引发了⼈们在哲学意义上的思考。
⼆、量⼦⼒学在物理学中的地位按照研究对象的尺⼨，物理学可分为宏观物理、微观物理和介观物理三⼤领域。
量⼦理论不仅可以正确解释微观、介观领域的物理现象，⽽且也可以正确解释宏观领域的物理现象，因为经典物理是量⼦理论在宏观下的近似。
因此，量⼦理论揭⽰了各种尺度下物理世界的运动规律。
三、量⼦⼒学产⽣的基础旧量⼦论诞⽣于1900年，量⼦⼒学诞⽣于1925年。
1．经典理论⼗九世纪末、⼆⼗世纪初，经典物理学已经发展到了相当完善的阶段，但在⼀些问题上经典物理学遇到了许多克服不了的困难，如⿊体辐射等。
2．旧量⼦论旧量⼦论= 经典理论+ 特殊假设（与经典理论⽭盾）旧量⼦论没有摆脱经典的束缚，⽆法从本质上揭露微观世界的规律，有很⼤局限性。
但旧量⼦论为量⼦⼒学理论的建⽴提供了线索，促进了量⼦⼒学的快速诞⽣。
四、量⼦⼒学的研究内容1．三个重要概念：波函数，算符，薛定格⽅程。
2．五个基本假设：波函数假设，算符假设，展开假定，薛定格⽅程，全同性原理。
五、量⼦⼒学的特征1．抛弃了经典的决定论思想，引⼊了概率波。
⼒学量可以不连续地取值，且不确定。
2．只有改变观念，才能真正认识到量⼦⼒学的本质。
它是⼈们的认识从决定论到概率论的⼀次巨⼤的飞跃。
六、量⼦⼒学的应⽤前景1．深⼊到诸多领域：本世纪的三⼤热门科学（⽣命科学、信息科学和材料科学）的深⼊发展都离不开它。
2．派⽣出了许多新的学科：量⼦场论、量⼦电动⼒学、量⼦电⼦学、量⼦光学、量⼦通信、量⼦化学等。
3．前沿应⽤：研制量⼦计算机已成为科学⼯作者的⽬标之⼀，⼈们期望它可以实现⼤规模的并⾏计算，并具有经典计算机⽆法⽐拟的处理信息的功能。
量子力学课后习题答案
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学课程教学大纲
量子力学课程教学大纲一、课程说明（一）课程名称、所属专业、课程性质、学分；课程名称：量子力学所属专业：物理学专业课程性质：专业基础课学分：4（二）课程简介、目标与任务；课程简介：量子理论是20世纪物理学取得的两个（相对论和量子理论）最伟大的进展之一，以研究微观物质运动规律为基本出发点建立的量子理论开辟了人类认识客观世界运动规律的新途径，开创了物理学的新时代。
本课程着重介绍《量子力学》（非相对论）的基本概念、基本原理和基本方法。
课程分为两大部分：第一部分主要是讲述量子力学的基本原理（公设）及表述形式。
在此基础上，逐步深入地让学生认识表述原理的数学结构，如薛定谔波动力学、海森堡矩阵力学以及抽象表述的希尔伯特空间的代数结构。
本部分的主要内容包括：量子状态的描述、力学量的算符、量子力学中的测量、运动方程和守恒律、量子力学的表述形式、多粒子体系的全同性原理。
第二部分主要是讲述量子力学的基本方法及其应用。
在分析清楚各类基本应用问题的物理内容基础上，掌握量子力学对一些基本问题的处理方法。
本篇主要内容包括：一维定态问题、氢原子问题、微扰方法对外场中的定态问题和量子跃迁的处理以及弹性散射问题。
课程目标与任务：1.掌握微观粒子运动规律、量子力学的基本假设、基本原理和基本方法。
2．掌握量子力学的基本近似方法及其对相关物理问题的处理。
3．了解量子力学所揭示的互补性认识论及其对人类认识论的贡献。
（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接；本课程需要学生先修《电磁学》、《光学》、《原子物理》、《数学物理方法》和《线性代数》等课程。
《电磁学》和《光学》中的麦克斯韦理论最终统一了光学和电磁学；揭示了任意温度物体都向外辐射电磁波的机制，它是19世纪末人们研究黑体辐射的基本出发点，对理解本课程中的黑体辐射实验及紫外灾难由于一定的帮助。
《原子物理》中所学习的关于原子结构的经典与半经典理论及其解释相关实验的困难是导致量子力学发展的主要动机之一。
第三章 原子结构与结合键
一、原子结构的量子理论
表3-1 各电子壳层及亚壳层的电子状态
第二节 结合键的类型 一、金属键
二、离子键
三、共价键 四、分子键 五、氢键 六、混合键
四、分子键
图3-3 聚氯乙烯内部结合键
五、氢键
图3-������ 4 冰中水分子排列与氢键a)每一个氧原子以氢键与其他水分子中的两个氢原子相连接 b)冰的六方对称性
一、 结合键的本质
图3-������
6 原子间结合力性质的模拟
二、结合键的性质与材料性能 1.力学性能 结合键类型对材料的弹性模量影响较为明显。
2.物理性能 材料的密度与结合键的类型也有关。
六、混合键
表3-2 元素的电负性
六、混合键
表3-3 某些陶瓷化合物中混合键的相对比例
第三节 材料的结合键与性能 一、 结合键的本质
二、结合键的性质与材料性能
第三节 材料的结合键与性能
图3-5 原子间作用力与位能 a)作用力 b)位能与原子间距的关系
一、 结合键的本质
表3-������ 4 不同材料的键能和熔点
第三章 原子结构与结合键 第一节 原 子 结 构
第二节 结合键的类型
第三节 材料的结合键与性能
第一节 原 子 结 构 一、原子结构的量子理论
二、元素周期表
一、原子结构的量子理论 (1)泡利不相容原理 一个原子轨道最多只能容纳2个电子，且
两个电子自旋方向必须相反。
(2)能量最低原理 在不违背泡利不相容原理的条件下，电子优 先占据能量较低的原子轨道，使整个原子体系能量最低。 (3)洪德定则 在能级相等的轨道上，电子尽可能分占不同的轨 道，且电子自旋平行。
原子物理学第2章原子的量子态全解
的温度升高时,单色辐射能量密度
最大值向短波方向移动.
0 1 2 3 4 λ(µm) 绝对黑体辐射能量密度按波长分布(实验)曲线
第二章 原子的量子态：玻尔模型
Manufacture: Zhu Qiao Zhong
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物体辐射总能量按波长分布决定于温度.
800K
1000K
1200K
固体在温度升高时颜色的变化
矛盾二:经典的光强和时间决定光电流大小;而光电效应中只有 在光的频率大于红限时才会发生光电效应.
矛盾三:经典的驰豫时间（or:响应时间）较长 (若光强很小,电 子需较长时间吸收足够能量才能逸出),而光电效应不超过10-9s.
实验表明:光强为1μW/m2的光照射到钠靶上即有光电流产生, 这相当于500W的光源照在6.3km处的钠靶.
第二章 原子的量子态：玻尔模型
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“在目前业已基本建成的科学大厦中,物理学家似乎只要 做一些零碎的修补工作就行了;然而在物理学晴朗天空的 远处,还飘着两朵令人不安的愁云.”
——《19世纪笼罩在热和光的动力论上的阴影》 1900年4月27日于不列颠皇家科学院
1）光电流与入射光强度的关系
光电子
单色光
I
e
Is
A
V
遏止电压
光强较强 光强较弱
第二章 原子的量子态：玻尔模型
Ua o
U
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第二章 原子的量子态：玻尔模型
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2）光电子初动能与入射光频率呈线性关系,而与入射光强度
量子力学基本原理-量子论
Bohr理论成功地解释了当 时已知的Balmer、Paschen 和Brackett线系。 预 测 n1 ＝ 1 定 态 的 光 谱 线 的波长121.6nm等，1915年 被Lyman发现，称为Lyman 线系。
Bohr理论同样适用于类氢离子光谱的解释
E
R
Z2 n2
1.1.3 氢原子光谱
研究原子的结构及其规律常用的实验方法
利用高能粒子对原子进行轰击。 观测在外界激发下（电火花、电弧、火焰或其 它方法）原子所发射的光辐射。
元素的原子被火焰、电弧等激发时，能受激而 发光，形成光源。将它的辐射线通过狭缝或棱 镜，可以分解为许多不连续的明亮的线条，称 为原子光谱。
与此相反，Wien方程只在
－－“紫外灾难” 高频区符合。
Kelvin （ 1900 年 ） ： 物 理 学理论的大厦飞来两朵乌 云，它动摇了物理理论的 基础。 Michelson 否 定 了 绝 对 参 照系的存在。 经 典 电 磁 波 理 论 无 法 解 释黑体辐射。
Kelvin：热力学第二定 律、及第一定律的数学 表达式。
普朗克能量量子化假 设的提出，突破了传 统物理能量连续观念 的束缚，标志着量子 论的诞生。
M. Planck 1858～1947，德国 1918年Nobel物理奖
1.1.2 光电效应
金属片受光的作用放出电子的现象称为光电效应，这 是由Hertz及其助手Lenard于1887年发现的。
光电效应实验装置图
光的电磁波理论不能解释黑体辐射现象。 1900年，Planck量子论解释了这一现象。 1905年，Einstein光子说解释了光电效应； 1923年，Compton效应进一步证实了光子说。
第21章_量子光学基础
例4：以一定频率的单色光照射在某种金属上，测出其 光电流曲线在图中用实线表示。⑴ 保持照射光的强度 不变，增大频率；测出其光电流曲线在图中用虚线表示。 满足题意的图，是_______。
I
o (A) U
I
o (B) U
I
o (C) U
I
o (D) U
⑵ 保持照射光的频率不变，增大强度。测出其光电流曲 线在图中用虚线表示。满足题意的图，是_______。
瑞利—金斯公式
实验曲线和普朗克公式
6 5 4 3 2 1 0
1 2 3
T=2000K
维恩公式
10-14Hz
由经典理论导出的 M (T)～ 公式都与实验曲线不 完全符合！
这正所谓是“ 物理学晴朗天空中的一朵乌云!”
四.普朗克的量子论的诞生 1900年德国物理学家普朗克为了得到与实验曲线相 一致的公式，摒弃了经典物理能量连续概念，提出了 一个与经典物理学概念截然不同的“能量子”假设. 他指出 ：辐射物质中存在着带电谐振子，这些谐振 子吸收或辐射的能量是间断的不连续的，辐射“能量子 ”的能量
实验曲线
维恩公式
维恩公式在高频段与实 验曲线符合得很好， 但在低频段明显偏离 实验曲线。
10-14Hz
▲
著名公式之二： 瑞利 —金斯公式
1900年瑞利和金斯从经典电动力学和 统计物理学理论（能量均分）推导得:
2 2 M (T ) 2 kT c k 1.380658 1023 J K 1
I
O U
I
O (B) U
I
O (C) U
I
O (D) U
(A)
例5：关于光电效应有下列说法中正确的是________。 (1)任何波长的可见光照射到任何金属表面都能产生 光 电效应； (2)若入射光的频率均大于一给定金属的红限，则该 金属分别受到不同频率的光照射时，释出的光电子的 最大初动能也不同； (3)若入射光的频率均大于一给定金属的红限，则该 金属分别受到不同频率、强度相等的光照射时，单位 时间释出的光电子数一定相等； (4)若入射光的频率均大于一给定金属的红限，则当 入射光频率不变而强度增大一倍时，该金属的饱和光 电流也增大一倍。
大学物理-量子物理第十二章波尔的原子量子理论
对后世的影响
促进了量子力学的发展
对现代科技的影响
波尔的理论为量子力学的发展奠定了 基础，提供了重要的启示和指导。
波尔的理论为现代科技的和磁共振成像等。
对化学和材料科学的影响
波尔的理论解释了原子结构和化学键 的本质，对化学和材料科学的发展产 生了深远的影响。
原子中的电子在固定的轨道上 运动，且不发生辐射。
波尔的原子模型
原子中的电子在固定的轨道上运动，且不发生辐 射。
当电子从高能级轨道向低能级轨道跃迁时，会释 放出一定频率的光子。
电子只能在一些特定的轨道上运动，在这些轨道 上运动的电子不辐射能量。
原子吸收光子时，电子从低能级轨道向高能级轨 道跃迁。
波尔的量子化条件
THANK YOU
感谢聆听
波尔引入了量子化的概念，将电子在原子中的运动描述为 不连续的轨道，解决了经典物理无法解释的原子结构和光 谱问题。
对量子力学的推动
波尔的理论为后续的量子力学发展奠定了基础，提供了重 要的启示和方向。
对化学和材料科学的贡献
波尔模型对于理解化学键的本质和材料性质有深远影响， 推动了化学和材料科学的进步。
对未来研究的启示
05
波尔原子理论的局限性
定性解释的局限性
波尔理论主要依赖于定性的解释和假设，缺乏严格的数学基础和 理论推导。
定性解释的局限性导致波尔理论在描述原子结构和行为时存在一 定的模糊性和不确定性。
与现代物理理论的兼容性问题
01
波尔理论虽然在一定程度上解释 了原子的某些行为，但与现代量 子力学理论存在不兼容的矛盾。
电子在稳定的轨道上运动时不 辐射能量，即稳定的轨道满足
量子化条件。
电子在不同轨道之间跃迁时， 释放或吸收光子的频率满足量
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第二十一章 原子的量子理论1897年，J.J.汤姆孙发现电子(1906奖)并确认电子是原子的组成部分 1913年,玻尔提出氢原子结构及量子理论(1922奖) 1914,夫兰克-赫兹实验证实(1925奖1924年，德布洛义提出了实物粒子的波粒二象性（1929奖） 1925,海森堡建立矩阵力学(1932奖) 1926,薛定谔建立波动力学(1933奖)1927,戴维孙和G.P. 汤姆孙,电子衍射实验证实粒子的波动性(1937奖)§21－1 玻尔的氢原子模型一．玻尔理论的实验基础1． 原子的有核模型原子是中性的，稳定的；核外电子绕核作圆周运动；2． 氢原子光谱的实验规律 ① 综合经验公式： ⋅⋅⋅++=-=,m ,m n ,)nm (R ~211122ν17100967761-⨯=m .R1=m ，赖曼系；2=m ，巴尔末系；3=m ，帕邢系；4=m ，布喇格系；5=m ，普芳德系；② 里兹并合原理)n (T )m (T ~-=ν式中：)n (T ),m (T 称为光谱项氢原子光谱：谱线是分裂的，线状的；原子光谱线的波数，由光谱项之差确定。
二． 经典电磁理论遇到的困难卢瑟福原子模型＋经典的电磁理论，必将导出： 1． 光谱连续2． 原子不可能是稳定的系统； 与事实不符！三． 玻尔理论 1． 基本思想：① 承认卢瑟福的原子天文模型 ② 放弃一些经典的电磁辐射理论 ③ 把量子的概念用于原子系统中2． 玻尔的三条假设① 原子系统只能处于一系列不连续的稳定态（电子绕核加速运动，但不发射电磁波的能量状态，简称能态）② 处于稳定态中，电子绕核运动的角动量满足角动量量子化条件,,,n ,nh hn L 3212==⋅=π③ 频率条件：当原子从一个定态跃迁到另一个定态时，放出或吸收单色辐射的频率满足m n E E h -=ν3． 讨论：① 轨道量子化,稳定轨道半径公式,,,n ,mZe n h r n 3212220==πε对氢原子，Z ＝1,,,n ,men h r n 3212220==πε nm .r ,n 0529011==)nm (n .r n r n 21205290==② 能量量子化－能级（原子系统的总能量公式）,,,n ,nh me E n 3211822204=⋅-=ε eV .E ,n 61311-==eV n.n E E n 221613-==能级：量子化的能量状态（数值）③ 氢原子光谱hE E mn -=ν④ 当n 很大时，量子化特征消失，玻尔结果与经典结果同0211221==--=-=∞→-n)n (n E E E E E n n n n nn∆例（P241，例题21－1） 四． 玻尔理论的局限性 1． 成功之处① 能较好地解释氢原子光谱和类氢原子光谱； ② 定态能级假设； ③ 能级间跃迁的频率条件。
2． 局限性① 以经典理论为依据，推出电子有运动轨道、确定的空间坐标和速度 ② 人为引进量子条件，限制电子运动③ 不能自洽。
对稍微复杂些的系统，如氦和碱土金属的光谱（谱线的强度、宽度、偏振）等均无法解释例1．动能为2eV 的电子，从无穷远处向着静止质子运动，最后被俘获形成基态氢原子，求： 1. 在此过程中发射光波的波长？ 2. 电子绕质子运动的动能是多少？ 3. 势能？角动量？动量？角速度？速度？＊例2． 用13.0eV 的电子轰击基态的氢原子， 1） 试确定氢原子所能达到的最高能态；2） 氢原子由上述最高能态跃迁到基态发出的光子可能的波长为多少？ 3） 欲使处于基态的氢原子电离至少用多大能量的电子轰击氢原子？§21－2 实物粒子的波粒二象性一． 光的波粒二象性 波动性：干涉、衍射、偏振 粒子性：热辐射,光电效应,散射等 同时具有，不同时显现 二． 德布罗意假设1． 假设：质量为m 的粒子，以速度v 运动时，不但具有粒子的性质，也具有波动的性质； 粒子性：可用E 、P 描述νh mc E ==2, λhmv P ==波动性：可用νλ,描述22021βν-==h c m h mc ,v m h mv h021βλ-==------－德布罗意公式2． 电子的德布罗意波长加速电势差为U ，则：020221m eU v ,eU v m == Uem h eUm h v m h 122000⋅===λnm U.2251=λ 如：nm .,V U 10150==λ（与x 射线的波长相当）* )c m eU (eU hc 202+=λnm U .E E k 22510=⇒>>λ kk E hc E E =⇒>>λ0三． 电子的衍射实验－德布罗意假设的实验验证1． 戴维森－革末实验(1937年奖) 实验条件：nm .d 0910=,︒=65ϕ,V U 100=nm .sin d 16502==ϕλ nm .U.16702251==λ2． GP 汤姆逊电子衍射实验（1937年奖）,（JJ 汤姆逊发现电子）P246电子衍射与X 射线衍射照片* 历史附注：…* 西欧中心的正负电子对撞机LEP 高速电子的能量可达50GeV 例1． 求波长都等于0.2nm 的光子与电子的总能量和动量例2． 电子通过单缝的实验中，加速电压V U 100=，垂直穿过nm a 2=的单缝，求： ① 加速后的速率； ② 电子相应的波长； ③ 中央明纹的半角宽度ϕ 解：① s /m .meUv 610952⨯== ② nm .U.122502251==λ ③ o .)aarcsin(5123==λϕ§21－3 测不准关系一． 描述物体的运动状态1． 宏观：)P (v ,r ，两者可同时准确测量；2． 微观粒子：)P (v ,r不能同时准确测量，原因是微观粒子具有波、粒二象性，有测不准关系：C P r ≥⨯∆∆ h P x x ≥⋅∆∆即：粒子有某方向的坐标测不准量与该方向上的动量分量的测不准量的积，必不小于普朗克常数；位置测得越准，动量测得越不准！ 现代量子力学证明：π∆∆4h P x x ≥⋅二．测不准关系的推证（1927年，海森堡）理想实验：一束平行电子射线垂直地射到宽度为a 的狭缝上，衍射 三．讨论1． 不确定关系式表示电子的坐标及相应的动量不能同时准确测量2． 不确定关系取决于电子本身的固有特性－波粒二象性，即精度、方法等都无济于事 3． 对宏观物体讲不受此限制四．其它表示：能量、时间：h t E ≥⋅∆∆ 角动量、角位移：h L ≥⋅ϕ∆∆ϕ例1．已知一个光子沿x 方向传播，其波长nm 500=λ，对波长的测量是相当准确的，nm 4105-⨯=λ∆，求该光子x 坐标的不确定度；)m .x (50≥∆例2．质量为m 的粒子位置的不确定量等于粒子的德布罗意波长λ，求x v ∆的最小值。
)v v (x ≥∆例3．氢原子中基态电子的速度大约是s /m 610，电子位置的不确定度可按原子大小估算cm x 810-=∆，求电子速度的不确定度。
⇒⨯≥)s /m .v (x 61037∆轨道概念在量子力学中无意义！§21－4 波函数 薛定格方程一． 波函数1．自由粒子的波函数 平面简谐波的波动方程)xt (cos A y λνπ-=2指数形式：)xt (i Aey λνπ--=2 （1）由此方程知：频率ν，波长λ，沿x 正方向传播设想：动量一定的自由粒子，沿x 正向传播，有波动性, 则：hE =ν，P h =λ令(1)式中)t ,x ()t ,x (y ψ−→−；0ψ−→−A则：)Px Et (ie )t ,x (--=ψψ 式中，)t ,x (ψ：自由粒子的波函数0ψ：波函数的振幅三维运动：)r P Et (ie )t ,r (⋅--=0ψψ 2． 波函数的物理意义 与光波类比：① 对光波，0=x 处（中央极大处）2E N ∝:光子数与振幅平方成正比②对比： 光强−→←物质波强度 2E −→←20ψ 光子数−→←粒子数 ③ 对物质波：★结论：某时粒子在某处出现的概率，与该时该处波函数的模的平方成正比；即：2ψ∝W −−←波函数的物理意义 物质波(德布罗意波)−→−概率波3． 概率密度（几率密度）ρ某点处单位体积元内粒子出现的概率；dV dW 2ψ=，dxdydz dV =2ψρ==dVdW4． ★波函数的性质（标准条件）①单值性：某时某处概率唯一；② 有限性：1<W ；③连续性：W 的分布是连续的。
波函数的归一化条件：12=⎰⎰⎰VdV ψ5． 德布罗意波与经典波的区别① 微观粒子运动的统计描述，不是某量周期性变化的传播；② 德布罗意波，有归一化条件，ψ与ψC 同。
经典波的I C 'I 2=二．薛定格方程（c v <<）1． 自由粒子的薛定格方程x 方向运动：)Px Et (ie --=ψψ r方向运动：)r P Et (ie⋅--=0ψψ ① 对z ,y ,x 求二级偏导，得：ψψ222P -=∇ （1）② 对t 求一级偏导，得：ψψψmP E t i 22==∂∂ （2） 将（1）式代入得：ti m ∂∂=∇-ψψ 222−→−自由粒子的含时薛定格方程2．非自由粒子的薛定格方程ti U m H ˆ∂∂=+∇-=ψψψψ 222−→−一般形式的含时薛定格方程3．定态薛定格方程设：)t (f )z ,y ,x ()t ,z ,y ,x (⋅=Φψ 定态波函数：iEte)z ,y ,x ()t ,z ,y ,x (-⋅=Φψ定态势场中运动粒子的薛定格方程ΦΦΦE U m=+∇-222例：求一维势井中粒子的能量、波函数及概率密度一维势井：)a x ,x ()a x ({U ≥≤∞<<=000解之得： ① 本征能量：2228n mah E n ⋅= 081221≠==ma h E ,n (零点能)② 本征波函数：x an sin a )x (n πΦ⋅=2③ 概率密度：)axn (sin a )x (n n πψρ222⋅== 讨论：1. 对无限深势井来说，粒子只能在U ＝0的区域内运动，称为束缚态，所得到的定态方程的解，只能取一些驻波的形式2. 粒子在势井内各处出现的概率密度随量子数改变3. 相邻两能级间的距离:)n (mah E 12822+=∆ρ。