氢原子的量子理论简介详细版

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8.8 氢原子的量子理论

L
2
l 0 , 1, 2 , 3, , n 1
O
l : ( 轨道 )角（副）量子数
例如，n =3 时， l = 0，1，2
l 0, l 1, l 2,
L0 L 2 L 6
氢原子的量子理论
二、量子化条件和三个量子数
3、角动量空间量子化和磁量子数
当置于外磁场中，角动量L在空间取向只能取一些特定的方向，L 在外磁场方向（Z 轴）的投影也满足量子化条件：
氢原子的量子理论
一、氢原子的薛定谔方程
氢原子是自然界中最简单的原子系统，用薛定谔方
程求解氢原子中电子的能级和本征波函数，是量子力学创立初期最令人信服的成就。
由于求解过程比较复杂，下面只介绍求解的思路和步骤，列出结果并讨论物理意义。
原子核的质量比电子的质量大的多，在氢原子中
可近似认为原子核静止而电子运动，因此电子的能量就代表整个氢原子的能量。
ml = 0
组量子数（n、l、m），有一确 1,
定的波函数描述一个确定的状态。 n = l = 1
2,
将概率密度的空间分布形象
ml = 0
ml =±1
化地作成象云一样的图象，空间 n = l = 2
任何一点上云的密度（图中表示 3,
为明亮程度）与概率密度成正比，
ml = 0
ml =±1
ml =±2
称为电子云图。
r2
1
2
1
sin 2
2 2
2m 2
(E
e2 4πε0
r
)
0
氢原子的量子理论
一、氢原子的薛定谔方程
分离变量法求解,设 : (r, , ) R (r ) Θ( )Φ( )

氢原子的量子力学理论讲义

An integral multiple of wavelengths must fit in the length 2pr, otherwise destructive interference would occur.
DeBroglie Waves in Bohr's Model
（1）主量子数 n
En
mee42(4 0 )2 Nhomakorabea2
1 n2
,
n 1,
2,
3,
（2）角量子数 l
对于一个确定的 n 值，l = 0，1，2，…，n - 1，λ = l(l+1)
氢原子系统的轨道角动量 p l(l 1)
（3）磁量子数 m 对于一个确定的 l 值，m = l ， l - 1，…，0， … ，- l ，
径向函数球谐函数
• 电子波函数的径向分布和角分布
电子的能量本征函数为径向函数和球谐函数的乘积：
nlm (r) Rnl (r)Ylm ( ,)
电子的径向分布
Wnl
(r)
R2 nl
(r)r2
电子的角分布
Wlm ( ,) | Ylm ( ,) |2
设在空间（r,θ,φ）处体积元 dV 处发现电子的几率为 Wnlm (r, ,)dV
m2
0
1
sin
d
d
sin
d
d
m2
sin2
0
1
r 2
d dr
r
2
dR dr
2me
2
E
e2
4 0 r
r2
R
0
式中m, 是常数
在能量E < 0的情况下，可解出方程满足标准条件

氢原子的量子理论简介

Sz
ms
h 2π
ms
1 2
ms称为自旋磁量子数
第十五章量子物理
8
物理学
第五版
15-9 氢原子的量子理论简介
ms
1 2
Sz
1 2
h 2π
电子旳自旋角动量和自旋磁量子数
z
Sz
S
Sz
1
ms
1 2
2
o
S 3
2
1 2
ms
1 2
第十五章量子物理
9
物理学
第五版
15-9 氢原子的量子理论简介
5 小结原子中旳电子旳运动状态可由四个量子数(n, l ,ml , ms) 来表达.
pdr R 2 r 2dr
π2
Θ sind
2π 2
Φ d
0
0
第十五章量子物理
13
物理学
第五版
15-9 氢原子的量子理论简介
由归一化条件 pdr R 2 r 2dr
0
pdr
0
R
2r 2dr
1
R Cer / r1
C 2e2r / r1 r 2dr 1 0
得
C
4 r13
1/ 2
1/ 2
3 角动量空间量子化和磁量子数
当氢原子置于外磁场中，角动量L在空间取向只能取某些特定旳方向，L在外磁场方向旳投影必须满足量子化条件
Lz
ml
h 2π
ml 0,1,2, l
磁量子数
第十五章量子物理

物理学
第五版
15-9 氢原子的量子理论简介
例如，l 1 时，
h
h
L l(l 1) 2

[物理]26章氢原子的量子理论

L y ih cos ctg sin L z ih

2
ˆ i r L
2 1 1 2 L h sin 2 2 sin sin
3
第26章氢原子的量子理论
26.1 径向薛定谔方程
一氢原子的薛定谔方程
e2 在氢原子中，电子的势能函数为： U (r ) 40 r 2
2 U (r ) r E r 2m 2
z

2
2m
2
e (E ) 0 40 r
z r cos
4
x r sin cos y r sin sin
r x y z
2 2 2
2
z r cos
r x sin cos x r
两边对x求偏导
z cos r
y tg x
两边对x求偏导
1 z r 1 cos cos 2 x sin r x r
r x2 y 2 z 2
x2 y 2 arctan z y 1 arctan x
x

y
x r sin cos
y r sin sin z r cos
可求出
Lx ih sin ctg cos
(1) (2)
2 1 d 2 dR 2m e l (l 1) 2 R 0 r 2 E 2 r dr dr 40 r r
(3)
其中 ml 和 l 是引入的常数。
解此三个方程，并考虑到波函数应满足的标准化条件，即可得到波函数并且可得到：能量量子化

大学物理学电子教案氢原子的量子理论简介

可容纳的电子数为
n1
Nn22l12n2
21
l0
01 sp
2 d
3 f
4 g
5 h
6 i
Nn
1K 2
2
2L 2 6
8
3 M 2 6 10
18
4 N 2 6 10 14
32
5 O 2 6 10 14 18
50
6 P 2 6 10 14 18 22
72
7 Q 2 6 10 14 18 22 26 98
例题：试确定基态氦原子中电子的量子数。
2、角动量量子化及角量子数
求解氢原子波函数的经度方程，可得氢原子中电子的角动量是量子化的
L ll 1 h ll 1 l 0 ,1 ,2 , ,n 1 2
其中l 叫做轨道角动量量子数或角量子数。
讨论：
•波耳理论的L=nh/2，最小值为h/2；而量子力学得出角
动量的最小值为0。实验证明，量子力学得结论是正确的；
Rnl2r2d r n 2lrdr| n0 |2
径向概率密度为：
pnl
(r)
2 nl
(r)
1s 2s 3s
| n1 |2
2p
| n2 |2
4s r
3p
4p
r
3d 4d
r
15
19-10 多电子原子中的电子分布
一、电子自旋自旋磁量子数
1、斯特恩－盖拉赫实验
银原子通过狭缝，经过不均匀磁场后，打
在照相底板上。s 态
23
小结
• 氢原子的量子理论简介 • 氢原子的定态薛定谔方程 • 三个量子数 • 氢原子在基态时的径向波函数和电子的分布概率
• 多电子原子中的电子分布 • 电子自旋自旋磁量子数 • 四个量子数 • 多电子原子中的电子分布

氢原子量子理论

d 2u 2µ Ze2 l(l + 1) − 2 u=0 + 2 E+ 2 dr ℏ r r
于是化成了一维问题，于是化成了一维问题，势V(r) 称为等效势，称为等效势，它由离心势和库仑势两部分组成。仑势两部分组成。
l(l + 1)ℏ2 Ze2 V(r) = − 2 2µr r
θ r
r
y
1 ∂ 1 ∂2 Ze2 ℏ2 1 ∂ 2 ∂ ∂ ( ) (r )+ (sinθ )+ − ψ− ψ = Eψ r 2µ r 2 ∂r ∂r sinθ ∂θ ∂θ sin2 θ ∂ϕ 2
x
ϕ 球坐标
ˆ ℏ2 L2 Ze ∂ 2 ∂ (r )+ − − 2 2µr 2 r ∂r 2µr ∂r
或： 1 ∂ 1 ∂2 ∂ (sinθ ) + 2 ]Y(θ ,ϕ) = λY(θ ,ϕ) −[ 2 sinθ ∂θ ∂θ sin θ ∂φ
为使 Y(θ,ϕ) 在θ 变化的整个区域(0, π)内都是有限的， Y(θ 变化的整个区域(0, π)内都是有限的内都是有限的，则必须满足：则必须满足： λ = ℓ（ℓ + 1), 其中 ℓ = 0, 1, 2, ...
ρ →∞
αeρ / 2 ρ
→∞
ρ →∞
令
最高幂次项的 νmax = nr
则
注意此时多项式最高项的幂次为 nr+ ℓ + 1
bnr ≠ 0 所以
bnr ≠ 0 于是递推公式改写为 bnr +1 = 0
因为分子
nr + l + 1− β = 0
量子数取值

氢原子的量子力学理论

主量子数决定了电子的能级，是描述电子能量状态的量子数之一。
角量子数
角量子数（l）：描述电子在核周围的角动量，取值范围为0 到n-1的正整数。
角量子数决定了电子的角动量，进而影响电子云的形状和方向。
磁量子数
磁量子数（m）：描述电子在磁场中的取向，取值范围为-l到l的正整数。
磁量子数决定了电子在磁场中的自旋方向和状态，是描述电子自旋状态的量子数之一。
波函数具有全同性，即对于任意实数a和b，若将波函数中的x替换为ax+b，其概率幅不变。
波函数具有连续性，即它在整个空间中是连续的，没有跳跃或间断点。
波函数具有周期性，即对于某些特定的能级，波函数可能呈现出周期性振动的模式。
03
氢原子的波函数
径向波函数
定义
径向波函数描述了电子在核周围不同半径的分布概率。
氢原子光谱在实验室和天文观测中都有广泛应用。在实验室中，可以通过控制氢原子所处的环境，如温度、压力等，来研究其光谱特性，进而了解物质的基本性质。在天文学领域，通过对氢原子光谱的观测和分析，可以研究宇宙中氢气分布、星系演化等重要问题。
原子钟
原子钟是一种利用原子能级跃迁频率作为计时基准的精密计时仪器。其中，氢原子钟是其中一种较为精准的原子钟。
自旋量子数
自旋量子数（s）：描述电子的自旋状态，取值范围为±1/2。
自旋量子数决定了电子的自旋方向，是描述电子自旋状态的唯一量子数。
能级与能级间距
能级
由主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数共同决定，不同能级对应不同的能量状态。
能级间距
相邻能级之间的能量差值，与主量子数和角量子数有关，随着主量子数的增加而减小。
量子力学是描述微观粒子运动规律的物理学分支。

氢原子的量子理论

磁量子数 l 可取2l 1个值中的取向 Ls ml
自旋 ms
磁量子数
1 2
决定电子“自旋”角动量在
外场中的取向 Lsz ms
原子壳层结构 ---- 多电子原子的电子分布 1.决定原子中电子状态的四个量子数(n, l, ml, ms)
2. 电子分布遵循的两个基本原理 1) 1925年春，美籍奥地利科学家泡利在汉堡大学提出泡利不相容原理。 1945年获诺贝尔物理学奖。
1 2
2s+1=2
s1 2
ms
1 2
B
2
2
原子中电子状态的四个量子数(n, l, ml, ms)
名称符号取值
物理意义
主量子数 n 1,2,
0,1,…,n-1
角量子数 l 可取n个值
决定电子能量
E
E1 n2
13.6
1 n2
eV
决定电子角动量 | L | l(l 1)
m 0,1, l 决定“轨道”角动量在外场
S
原子炉
N
准直屏磁铁
与实验结果不符，无法用上述三个量子数解释。 2. 电子自旋 1926年荷兰物理学家埃伦斯非特的学生乌伦贝克、高
斯米特提出的电子自旋模型得到承认。狄拉克建立相对论量子力学，自然得出电子具有内禀角动量的结论。
由史特恩–盖拉赫实验自旋角动量
Ls
s(s 1) 3 2
Lsz
电子轨道角动量
的特殊方向，使
L
L
在空间取向只能沿一些不连续
在z方向分量 Lz 取值量子化
Lz ml (ml 0,1,2,,l)
例： 2p态 n 2 1 ml 0, 1
L l(l 1) 2 Lz 0,

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由球坐标 r、、来代替 x、y、z
x r sin cos , y r sin sin ,
z r cos
o x
z
r

z
x

y
2
y
代入下式
x
2 2

y
2
2

z
2
2
8 m e E 0 2 h 4 0 r
me
2 4
=
1 n
2
E1 n =1,2,3,...为主量子数
其中 E1
8 0 h
2
1 3 .6 (eV )
第十五章
量子物理
10
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
2 角动量量子化和角量子数电子绕核运动时的角动量为：
L l ( 1 l ) h 2π ， l (n-1) 0
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
2 基态径向波函数
R Ce
r / r1
电子出现在体积元dV的概率为：
Ψ
2
dV R
2
Θ
2
Φ
2
r sin d r d d
2
令沿径矢的概率密度为 p ,则电子出现在距核r r+dr的概率为
pdr R
2
r dr
2

π
2
Θ
sin d
2
2
2
(E
e
2
4 πε0 r
)=
ml
2
sin
2

1
d
Θ sin d
(sin
dΘ d
)
第十五章
量子物理
8
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
得
d Φ d
2 2
ml Φ 0
1 d dΘ d
2
ml sin
2
2

Θ sin d
(sin
2
) l ( l 1)
量子物理
0

2π
2
Φ d
19
0
第十五章
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
2 2
由归一化条件
2 2
pdr R r dr
R Ce
r / r1
0 p d r 0 R r d r 1

2
C e
2 r / r1
r dr 1
2
得
0
4 C 3 r 1
三基态径向波函数和电子分布概率
1 氢原子的基态能量
处于基态时 n=1 l=0
代入（15-45）式得径向波函数方程
1 d R dr (r
2
dR dr
)
8 π mr h
2
2
2
(E
e
2
4 πε0r
)0
解为
R Ce
r / r1
第十五章
量子物理
17
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
其中
1
2

r sin ) 0
(sin

)
1
2 2

2 2
r sin

8π m h
2
2
(E
4 πε0 r
第十五章
量子物理
4
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
分离变量法求解,设
(r, , ) R(r )Θ( )Φ( )=RΘΦ
其中 R ( r )、 ( ) 和 ( ) 分别是波函数在径向部分和角度部分的分量，代入前（15-43）式化简后得：
氢原子的量子理论简介
5 小结
原子中的电子的运动状态可由四个量子数(n, l ,ml , ms) 来表示. 主量子数 n 决定电子的能量
角量子数 l 决定电子的轨道角动量磁量子数 ml 决定轨道角动量的方向自旋量子数ms决定自旋角动量的方向
第十五章量子物理
16
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
2
(r
dR dr
)
8π m h
2
2
r sin ( E
2 2
R + sin
dr
4 πε0 r
)
d d sin d Φ sin =2 d d d
第十五章量子物理
6
物理学
第五版
15-9
sin d
2
氢原子的量子理论简介
2
(r
2
dR dr
)
z
LZ
h
h
z
L ħ o ħ
L
2
第十五章
量子物理
13
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
4 电子的自旋和自旋磁量子数自旋角动量
S s ( s 1)
s 1 2
h 2π
式中自旋量子数
，即 S
3 h 2 2π
自旋角动量在外磁场方向上只有两个分量:
S z ms
ms 1 2
l 0， 2，，，n 1) 为角量子数 1， 3 (
例如，n =2时，l =0，1相应的
L0 L
第十五章
2
h 2π
11
量子物理
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
3 角动量空间量子化和磁量子数
当氢原子置于外磁场中，角动量L在空间取向只能取一些特定的方向(如z轴），L在外磁场方向的投影必须满足量子化条件
量子物理
3
2
第十五章
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
根据

2

1
2 2
x
[ 2

2

2 2
y
)

1

2 2
z
r
r
(r
r
sin
(sin

)
1
2

2 2
(sin )
]
将（15-42）式转化为球坐标
1 r r
2 2
(r
2
r
) e
2 r1
h /( 8 π mE )
2 2
将解代入方程得
ε0h π me
2 2
8 π 2 me 2 2 r 0 2 4 πε h r1 0
r1
0 . 052 9 nm
2 2
E
h
2
8 π mr 1
13 . 6 eV
第十五章
量子物理
18
Lz ml h 2π ， ml l 0
m l 0 , 1, 2 , l
磁量子数
量子物理
12
第十五章
物理学
第五版
15-9
l 例如， 1 时，
L l (l 1) h 2π
氢原子的量子理论简介
2
h 2π
Lz 0, , 2π 2π
h / 2π
磁量子数 ml =0, 1 , 相应的
(r
2
dR
dr
2
d d ) + 2 sin R dr r sin d d 1 e
2
8π m h
2
(E
4 πε0 r
)R =-
1
2
2
d Φ
2
2
2
r sin d
r sin R
2
R
对上式左右两边同时乘以 sin d
2 2
得： e
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
一氢原子的薛定谔方程
氢原子中电子的势能函数
Ep e
2
4 πε0 r
= 4 πε0
e
2
x +y +z
2
2
2
定态薛定谔方程为

2
8π m h
2
2
(E
e
2
4πε0 r
量子物理
) 0
第十五章
1
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
定态薛定谔方程为
2
(r
2
dR dr
)
8π m h
2
2
r sin ( E
2
e
2
R
dr
4 πε0 r
)
sin d d 2 + sin =m l d d 对上式两边同时乘以 1 sin
2
（1 5 -4 4 ）并移项得：
1 d R dr
(r
2
dR dr
)
8π mr h
1 r
2
d dr
2
(r
2
dR
d d ) + 2 s in R dr r s in d d 1 e
2
8π m h
2
(E
4 πε0 r
)R =-
1
2
d Φ
2
2
r s in d