氢原子地量子理论-作业(含问题详解)
氢原子的量子力学理论讲义
DeBroglie Waves in Bohr's Model
（1）主量子数 n
En
mee42(4 0 )2 Nhomakorabea2
1 n2
,
n 1,
2,
3,
（2）角量子数 l
对于一个确定的 n 值，l = 0，1，2，…，n - 1，λ = l(l+1)
氢原子系统的轨道角动量 p l(l 1)
（3）磁量子数 m 对于一个确定的 l 值，m = l ， l - 1，…，0， … ，- l ，
径向函数 球谐函数
• 电子波函数的径向分布和角分布
电子的能量本征函数为径向函数和球谐 函数的乘积：
nlm (r) Rnl (r)Ylm ( ,)
电子的径向分布
Wnl
(r)
R2 nl
(r)r2
电子的角分布
Wlm ( ,) | Ylm ( ,) |2
设在空间（r,θ,φ）处体积元 dV 处发现电 子的几率为 Wnlm (r, ,)dV
m2
0
1
sin
d
d
sin
d
d
m2
sin2
0
1
r 2
d dr
r
2
dR dr
2me
2
E
e2
4 0 r
r2
R
0
式中m, 是常数
在能量E < 0的情况下，可解出方程满足标准条件
8.8 氢原子的量子理论
L
2
l 0 , 1, 2 , 3, , n 1
O
l : ( 轨道 )角（副）量子数
例如，n =3 时， l = 0，1，2
l 0, l 1, l 2,
L0 L 2 L 6
氢原子的量子理论
二、量子化条件和三个量子数
3、角动量空间量子化和磁量子数
当置于外磁场中，角动量L在空 间取向只能取一些特定的方向，L 在外磁场方向（Z 轴）的投影也 满足量子化条件：
1、能量量子化和主量子数
me4 1
En ( 8 0 2h 2 ) n 2 ,
n 1, 2, 3, n：主量子数
E1
me4
8
2 0
h
2
13.6eV,
En
1 n2
E1
1 n2
13.6eV,
1）主量子数决定着氢原子能量的取值；
2）n=1，称为基态；n=2.3.4…… 称之为激发态；
3）与玻尔理论的结果一致，但这里是量子力学的求解 结果，不是人为的假设，故这是一个自洽的理论体系。
r2
1
sin
(sin
)
r2
1
sin 2
2 2
2m 2
(E
e2 4πε0
r
)
0
氢原子的量子理论
一、氢原子的薛定谔方程
分离变量法求解,设 : (r, , ) R (r ) Θ( )Φ( )
1 r2d drຫໍສະໝຸດ (r 2dR dr
)
2m 2
E
e2
4π 0r
r
2
R
0
1
sin
d sin θ dθ
dΘ dθ
ml2
sin 2
氢原子的量子理论简介
Sz
ms
h 2π
ms
1 2
ms称为自旋磁量子数
第十五章 量子物理
8
物理学
第五版
15-9 氢原子的量子理论简介
ms
1 2
Sz
1 2
h 2π
电子旳自旋角动量和自旋磁量子数
z
Sz
S
Sz
1
ms
1 2
2
o
S 3
2
1 2
ms
1 2
第十五章 量子物理
9
物理学
第五版
15-9 氢原子的量子理论简介
5 小结 原子中旳电子旳运动状态可由四个量子 数(n, l ,ml , ms) 来表达.
pdr R 2 r 2dr
π2
Θ sind
2π 2
Φ d
0
0
第十五章 量子物理
13
物理学
第五版
15-9 氢原子的量子理论简介
由归一化条件 pdr R 2 r 2dr
0
pdr
0
R
2r 2dr
1
R Cer / r1
C 2e2r / r1 r 2dr 1 0
得
C
4 r13
1/ 2
1/ 2
3 角动量空间量子化和磁量子数
当氢原子置于外磁场中，角动量L在空 间取向只能取某些特定旳方向，L在外磁场 方向旳投影必须满足量子化条件
Lz
ml
h 2π
ml 0,1,2, l
磁量子数
第十五章 量子物理
物理学
第五版
15-9 氢原子的量子理论简介
例如，l 1 时，
h
h
L l(l 1) 2
11-26氢原子的量子理论 第26章-例题
例7.多电子原子中，电子的排列遵循（ ）原理和（ ） 原理。 泡利不相容原理和能量最低原理
例8.当氢原子中的电子处在 n 3, l 2, ml 2, m s 1
的状态时，它的轨道角动量为 l ( l 1) 自旋角动量为 1 ( 1 1) 3 2 2 2
例7 试问氢原子处在 n=2 能级时有多少个不同的状 态？在不考虑电子自旋的情况下，对于各个状态，试 按量子数列出它们的波函数。 解： 氢原子的能量本征值 En 只依赖于主量子数 n ； n 确定后角量子数可取 0，1，2，…… (n-1), 共 n个值； 在给定 l 后磁量子数 m 可取 -l, -l+1,…0,…l-1, l, 共（2l+1） 个值； 属任一能级的量子态ψnlm 的数目为 n2。 据题意，当 n=2 时，可能的波函数为
Lz 0, , 2 , 3
200 ,
211,
210 ,
211 .
例8 讨论氢原子的 200 , 210 , 211 , 211四个状态的宇称。 解： nlm 的宇称取决于 (1)
l
l 为偶数时为偶宇称; l 为奇数时为奇宇称。 故 ψ200 有偶宇称； ψ210， ψ211，ψ21-1 有奇宇称。
属n=2能级的量子态 共有4。 据题意，当 n=2 时，可能的波函数为
200 , 211, 210 , 211.
例2：根据量子力学理论，氢原子中电子的角动量在外 磁场方向上的投影为 Lz ml , 当角量子数 l=2时，Lz
的可能取值为何值。 解： 磁量子数取值为 ml l , l 1, 0,, l 1, l
Байду номын сангаас
[物理]26章氢原子的量子理论
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L y ih cos ctg sin L z ih
2
ˆ i r L
2 1 1 2 L h sin 2 2 sin sin
3
第26章 氢原子的量子理论
26.1 径向薛定谔方程
一 氢原子的薛定谔方程
e2 在氢原子中，电子的势能函数为： U (r ) 40 r 2
2 U (r ) r E r 2m 2
z
2
2m
2
e (E ) 0 40 r
z r cos
4
x r sin cos y r sin sin
r x y z
2 2 2
2
z r cos
r x sin cos x r
两边对x求偏导
z cos r
y tg x
两边对x求偏导
1 z r 1 cos cos 2 x sin r x r
r x2 y 2 z 2
x2 y 2 arctan z y 1 arctan x
x
y
x r sin cos
y r sin sin z r cos
可求出
Lx ih sin ctg cos
(1) (2)
2 1 d 2 dR 2m e l (l 1) 2 R 0 r 2 E 2 r dr dr 40 r r
(3)
其中 ml 和 l 是引入的常数。
解此三个方程，并考虑到波函数应满足的 标准化条件，即可得到波函数 并且可得到： 能量量子化
大学物理学电子教案 氢原子的量子理论简介
可容纳的电子数为
n1
Nn22l12n2
21
l0
01 sp
2 d
3 f
4 g
5 h
6 i
Nn
1K 2
2
2L 2 6
8
3 M 2 6 10
18
4 N 2 6 10 14
32
5 O 2 6 10 14 18
50
6 P 2 6 10 14 18 22
72
7 Q 2 6 10 14 18 22 26 98
例题：试确定基态氦原子中电子的量子数。
2、角动量量子化及角量子数
求解氢原子波函数的经度方程，可得氢原子中电子的角动量 是量子化的
L ll 1 h ll 1 l 0 ,1 ,2 , ,n 1 2
其中l 叫做轨道角动量量子数或角量子数。
讨论：
•波耳理论的L=nh/2，最小值为h/2；而量子力学得出角
动量的最小值为0。实验证明，量子力学得结论是正确的；
Rnl2r2d r n 2lrdr| n0 |2
径向概率密度为：
pnl
(r)
2 nl
(r)
1s 2s 3s
| n1 |2
2p
| n2 |2
4s r
3p
4p
r
3d 4d
r
15
19-10 多电子原子中的电子分布
一、电子自旋 自旋磁量子数
1、斯特恩－盖拉赫实验
银原子通过狭缝，经 过不均匀磁场后，打
在照相底板上。s 态
23
小结
• 氢原子的量子理论简介 • 氢原子的定态薛定谔方程 • 三个量子数 • 氢原子在基态时的径向波函数和电子的分布概率
• 多电子原子中的电子分布 • 电子自旋 自旋磁量子数 • 四个量子数 • 多电子原子中的电子分布
狄拉克方程求解氢原子(含详细推导过程
狄拉克方程求解氢原子(含详细推导过程狄拉克方程是描述自旋1/2粒子的相对论性量子力学方程，是描述基本粒子的标准模型中的重要组成部分。
而氢原子是量子力学初学者学习的第一个模型问题，所以求解氢原子的问题可以帮助我们更好地理解狄拉克方程的物理和数学含义。
在这篇文章中，我们将尝试使用狄拉克方程来求解氢原子的问题。
首先，我们先来回顾一下氢原子的非相对论性量子力学描述。
氢原子的非相对论性薛定谔方程可以写为:\[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi - \frac{e^2}{r}\Psi = E \Psi\]其中，\(\Psi\) 是波函数，\(m\) 是电子的质量，\(e\) 是元电荷，\(E\) 是能量。
在经典非相对论性量子力学理论中，薛定谔方程可以成功地描述氢原子的能量谱和波函数，但是当我们要考虑到电子的自旋以及相对论性效应时，就需要使用更加全面的狄拉克方程。
狄拉克方程可以写为：\[(i\hbar \gamma^{\mu}\partial_{\mu} - mc)\Psi = 0\]其中，\(\gamma^{\mu}\) 是4x4的矩阵，被称为狄拉克矩阵，\(\mu\) 取值0,1,2,3，代表时空的分量，\(m\) 是电子的静质量。
为了更加方便地求解问题，我们可以进行相应的单位转换，使得\(\hbar = c = 1\)。
然后，我们可以选择如下表示狄拉克矩阵：\[\gamma^0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}, \gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \end{pmatrix}\]其中，\(I\) 是2x2单位矩阵，\(\sigma^i\) 是Pauli矩阵。
接下来，我们可以用这个矩阵表示来展开狄拉克方程，将波函数表示为二分量形式\(\Psi= \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2\end{pmatrix}\)，并且对狄拉克方程取伴随得到：\[(i\partial_0 - \gamma^i\partial_i - m)\Psi^{\dagger} = 0\]接下来，我们要求得狄拉克方程的解，这一步是非常复杂的，我们需要使用一些高等数学知识和物理知识。
氢原子的量子力学理论
角量子数
角量子数（l）：描述电子在核周围的角动量，取值范围为0 到n-1的正整数。
角量子数决定了电子的角动量，进而影响电子云的形状和 方向。
磁量子数
磁量子数（m）：描述电子在磁场中的取向，取值范围为-l到l的正整数。
磁量子数决定了电子在磁场中的自旋方向和状态，是描述电子自旋状态的量子数 之一。
波函数具有全同性，即对于任意实数a和b，若将波函数中的x替换为ax+b， 其概率幅不变。
波函数具有连续性，即它在整个空间中是连续的，没有跳跃或间断点。
波函数具有周期性，即对于某些特定的能级，波函数可能呈现出周期性振 动的模式。
03
氢原子的波函数
径向波函数
定义
径向波函数描述了电子在核周 围不同半径的分布概率。
氢原子光谱在实验室和天文观测中都有广泛应用。在实验室中，可以通过控制氢原子所处的环境，如 温度、压力等，来研究其光谱特性，进而了解物质的基本性质。在天文学领域，通过对氢原子光谱的 观测和分析，可以研究宇宙中氢气分布、星系演化等重要问题。
原子钟
原子钟是一种利用原子能级跃迁频率 作为计时基准的精密计时仪器。其中， 氢原子钟是其中一种较为精准的原子 钟。
自旋量子数
自旋量子数（s）：描述电子的自旋状 态，取值范围为±1/2。
自旋量子数决定了电子的自旋方向， 是描述电子自旋状态的唯一量子数。
能级与能级间距
能级
由主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数共同决定，不同能级对应不同的能量状 态。
能级间距
相邻能级之间的能量差值，与主量子数和角量子数有关，随着主量子数的增加而减小。
量子力学是描述微观粒子运动规律的 物理学分支。
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第26章 氢原子的量子理论 习题 (初稿)一、填空题1. 氢原子的波函数可以写成如下形式(,,)()(,)l l nlm nl lm r R r Y ψθϕθϕ=，请给出电子出现在~r r dr +球壳的概率为___________，电子出现在(),θϕ方向立体角d Ω的概率为_______________。
2. 泡利不相容原理是指 ______________ ，原子核外电子排布除遵循泡利不相容原理外，还应遵循的物理规律是 __________ 。
3. 可以用用 4 个量子数描述原子中电子的量子态，这 4 个量子数各称和取值围怎样分别是：(1) (2) (3) (4) 。
4. 根据量子力学原理，如果不考虑电子自旋，对氢原子当n 确定后，对应的总量子态数目为_ _个，当n 和l 确定后，对应的总量子态数目为__ __个5. 给出以下两种元素的核外电子排布规律： 钾（Z=19）: 铜（Z=29）: ___ __6. 设有某原子核外的 3d 态电子，其可能的量子数有 个，分别可表示为____________________________。
7. 电子自旋与其轨道运动的相互作用是何种性质的作用 。
8. 类氢离子是指___________________，里德伯原子是指________________。
9.在主量子数为n=2，自旋磁量子数为s=1/2的量子态中，能够填充的最大电子数是________。
10.1921年斯特恩和格拉赫实验中发现，一束处于s态的原子射线在非均匀磁场中分裂为两束，对于这种分裂用电子轨道运动的角动量空间取向量子化难于解释，只能用_________来解释。
二、计算题11.如果用13.0 eV的电子轰击处于基态的氢原子，则：（1）氢原子能够被激发到的最高能级是多少？（2）氢原子由上面的最高能级跃迁到基态发出的光子可能波长为多少？（3）如果使处于基态的氢原子电离，至少要多大能量的电子轰击氢原子？12.写出磷的电子排布，并求每个电子的轨道角动量。
13. 已知氢原子处于状态()()()()()211021 1 11,,,,22r R r Y R r Y ψθϕθϕθϕ-=-，试求：氢原子能量、角动量平方，及角动量z 分量的可能值？求这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值？14. 若氢原子处于基态，求在0r a ≥区域发现电子的概率。
试问：若在半径为0r 的球发现电子的概率为0.9，则该半径多大？15. 证明：若氢原子处于角动量L =,z L =±描写的状态，则在该状态下，在45oθ=和135oθ=发现电子的概率最大。
16. 如果假定电子是直径为15110m d -=⨯的均匀实心球，试利用经典力学估算电子自旋的角动量和电子表面的最大线速度？并根据该结论作出评述。
已知电子的质量是319.10910kg -⨯。
17. 试根据钠黄双线的波长求钠原子3P1/2和3P3/2态的能级差？并估算该能级时价电子所感受到的磁场强度？三、问答题（4道）18. 给出利用量子力学描述氢原子时所得到的三个量子条件？什么是能级简并？19. 电子的自旋有何实验验证？试举例进行说明。
20. 什么是全同粒子？请说明玻色子和费米子的区别？21. 试述基态氢原子中电子的概率分布，何谓电子云？【参考答案】一、填空题1. ()22d ()d nl P r r R r r r =，()2d (,)lm P Y d θθϕΩ=Ω2. 不可能有两个或两个以上的电子处于同一个量子态，能量取最小值原理3. (1)主量子数n ，可取1,2,3,4… (2)角量子数l ，取值围0~(n-1) (3)磁量子数m ，取值围-l~+l (4)自旋量子数s ，取值围+1/2和-1/2 4. n 2， 2l+15. 2262611,2,2,3,3,4s s p s p s 226216101,2,2,3,3,,34s p s s p s d6. 10个， (3,2,0, ±1/2), (3,2, ±1, ±1/2), (3,2, ±2, ±1/2)7. 电磁相互作用8. 原子核外只有一个核外电子的离子，但其核电荷数Z>1 原子中有一个电子被激发到主量子数很高的定态能级 9. n 2=410. 电子自旋的角动量空间取向量子化二、计算题11. 解：（1）假设轰击电子的能量全部被氢原子吸收，则氢原子激发态的能量为()113.0eV 13.613.0eV 0.6eV E E =+=-+=-。
根据氢原子能级公式()21220014n E e E s a n nπε=-= 将1E 代入可得，4.8n ==≈ 所以轰击电子的能量最多将氢原子激发到n=4的激发态。
（2）氢原子从n=4的激发态向低能级跃迁，可以发出如下六种波长的光子：对于41→的跃迁，()()34871941 6.626103100.975101/16113.6 1.60210hc m E E λ---⨯⨯⨯===⨯--⨯-⨯⨯ 对于42→的跃迁，()()34871942 6.62610310 4.86101/161/413.6 1.60210hc m E E λ---⨯⨯⨯===⨯--⨯-⨯⨯ 对于43→的跃迁，()()34871943 6.6261031018.8101/161/913.6 1.60210hc m E E λ---⨯⨯⨯===⨯--⨯-⨯⨯ 对于31→的跃迁，()()34871931 6.62610310 1.03101/9113.6 1.60210hc m E E λ---⨯⨯⨯===⨯--⨯-⨯⨯ 对于32→的跃迁，()()34871932 6.62610310 6.56101/91/413.6 1.60210hc m E E λ---⨯⨯⨯===⨯--⨯-⨯⨯对于21→的跃迁，()()34871921 6.62610310 1.21101/4113.6 1.60210hc m E E λ---⨯⨯⨯===⨯--⨯-⨯⨯ （3）要使基态氢原子电离，至少需要的电子能量为113.6eV E =。
12. 解： P 的原子序数为15，按照能量最低原理和泡利不相容原理，在每个量子态填充1个电子, 得磷 (P)的电子排布 1s 22s 22p 63s 23p 3。
1s ，2s 和3s 的6个电子0l =)0=。
2p 和3p 电子的9个电子1l =，)2=，该轨道角动量在z 方向的投影可以为0,,m =-。
13. 解：由题目中波函数可以知道，该氢原子所处的状态是n=2,l=1,m=0与n=2,l=1,m=-1的混合态。
氢原子的能量由主量子数决定，所以该氢原子的能量是n=2级能量1213.6eV 3.4eV 44E E -===-，其概率为1. 氢原子的角动量平方由l 决定，其表达式为()21l l +，从而该氢原子的角动量平方为()22212L l l =+=，其概率为1.氢原子的角动量z 分量由m 决定，其表达式为m，从而其可能取值为：())21220, 1/21/4, 23/4⎧==⎪⎨-==⎪⎩概率为P 概率为P 平均值为z 01/43/43/4L =⨯-⨯=-。
14. 解：氢原子处于基态时，电子的径向概率密度为()()0022/2/10103/23024r a r a P r R r e ea a --===。
电子处于半径为0r 球的概率为()()020010002000221exp 2/1r r r P P r dr r a a a ⎛⎫==--++ ⎪⎝⎭⎰。
从而电子处在02r a ≥的概率为1减去电子处在半径为02a 球的概率，即()020020024004813exp 4/10.24r a a a P a a a a e ≥⎛⎫=-++=≈ ⎪⎝⎭(2) 求解超越方程()20000200221exp 2/10.9r r r a a a ⎛⎫--++= ⎪⎝⎭，可得002.66r a ≈15. 证明：根据题意可知，l=2,m=1，查表可知，波函数对应的球谐函数为：()2,115,sin cos 8i Y e ϕθϕθθπ±±=在(),θϕ对应的立体角d Ω发现电子的概率为()()22222,11515,sin cos sin 2832P d Y d d d θθϕθθθππ±Ω=Ω=Ω=Ω 可见，当/4,3/4θππ=时有极大值。
16. 解：电子自旋的角动量的大小为/2L =， 球体绕其过球心的转轴做定轴转动的转动惯量是2221510J mR md ==，则其绕轴转动的角速度是22/251/10L J md md ω===表面最大的线速度是3411311555 6.62610/27.310m/s 249.10910110v d md ω---⨯⨯====⨯⨯⨯⨯⨯ 讨论：该线速度远远大于光速，说明了该自旋是相对论效应的必然结果。
电子自旋就像是电子质量和电荷一样，是电子的固有属性。
17. 解：钠黄双线是从3P3/2和3P1/2两个能级向3S1/2能级跃迁产生的光谱精细结构，对应的两个波长分别是12589.592nm,588.995nm λλ==，两个能级的产生是由于电子自旋和轨道角动量的耦合，且两个能级分别比原有3P 能级高/低B B μ，能级差为2134892231121116.62610 2.99710588.995589.592103.4410J 2.1510eVB E B hv hc μλλ----⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎛⎫=⨯⨯⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭=⨯=⨯又242.2710J/T 2B eem μ-==⨯ 从而电子受到的磁场为()22243.441018.6T 229.2710B EB μ--⨯===⨯⨯ 三、问答题18. 氢原子中，电子处在原子核的有心力场作三维运动，根据求解该薛定谔方程，可以得到只有当满足如下三个量子条件时，方程具有解析解： （1） 氢原子中电子能量是量子化的，对应主量子数n ； （2） 氢原子中电子的角动量是量子化的，对应角量子数l ；（3） 电子角动量在空间给定方向的投影是量子化的，对应磁量子数m 。
能级简并是指对于任意能量E n ，有一个主量子数n ，但（n,l,m ）的组合总计有n 2个，相应的有n 2个波函数，它描述了电子处于同一能级E n 时的n 2个不同的量子状态，这些状态具有相同的能量E n ，这种情况称为能级的简并。
19. 案例一：反常塞曼效应：银原子束被不均匀磁场分裂成两束。
案例二：碱金属原子光谱中的双线精细结构。
20. 全同粒子是指静质量，电荷，自旋等禀属性完全相同的同类微观粒子。