11-26氢原子的量子理论 第26章-例题
量子力学课后习题答案
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
8.8 氢原子的量子理论
L
2
l 0 , 1, 2 , 3, , n 1
O
l : ( 轨道 )角（副）量子数
例如，n =3 时， l = 0，1，2
l 0, l 1, l 2,
L0 L 2 L 6
氢原子的量子理论
二、量子化条件和三个量子数
3、角动量空间量子化和磁量子数
当置于外磁场中，角动量L在空 间取向只能取一些特定的方向，L 在外磁场方向（Z 轴）的投影也 满足量子化条件：
1、能量量子化和主量子数
me4 1
En ( 8 0 2h 2 ) n 2 ,
n 1, 2, 3, n：主量子数
E1
me4
8
2 0
h
2
13.6eV,
En
1 n2
E1
1 n2
13.6eV,
1）主量子数决定着氢原子能量的取值；
2）n=1，称为基态；n=2.3.4…… 称之为激发态；
3）与玻尔理论的结果一致，但这里是量子力学的求解 结果，不是人为的假设，故这是一个自洽的理论体系。
r2
1
sin
(sin
)
r2
1
sin 2
2 2
2m 2
(E
e2 4πε0
r
)
0
氢原子的量子理论
一、氢原子的薛定谔方程
分离变量法求解,设 : (r, , ) R (r ) Θ( )Φ( )
1 r2d drຫໍສະໝຸດ (r 2dR dr
)
2m 2
E
e2
4π 0r
r
2
R
0
1
sin
d sin θ dθ
dΘ dθ
ml2
sin 2
原子物理学课后习题答案
第一章 原子的基本状况1.1 若卢瑟福散射用的α粒子是放射性物质镭'C 放射的，其动能为67.6810⨯电子伏特。
散射物质是原子序数79Z =的金箔。
试问散射角150οθ=所对应的瞄准距离b 多大？解：根据卢瑟福散射公式：20222442K Mv ctgb b Ze Zeαθπεπε==得到：2192150152212619079(1.6010) 3.97104(48.8510)(7.681010)Ze ctg ctg b K οθαπεπ---⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯米式中212K Mv α=是α粒子的功能。
1.2已知散射角为θ的α粒子与散射核的最短距离为220121()(1)4sinmZe r Mv θπε=+，试问上题α粒子与散射的金原子核之间的最短距离m r 多大？解：将1.1题中各量代入m r 的表达式，得：2min202121()(1)4sin Ze r Mv θπε=+ 1929619479(1.6010)1910(1)7.6810 1.6010sin 75ο--⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯143.0210-=⨯米1.3 若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔。
问质子与金箔。
问质子与金箔原子核可能达到的最小距离多大？又问如果用同样能量的氘核（氘核带一个e +电荷而质量是质子的两倍，是氢的一种同位素的原子核）代替质子，其与金箔原子核的最小距离多大？解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180ο。
当入射粒子的动能全部转化为两粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。
根据上面的分析可得：220min124p Ze Mv K r πε==，故有：2min 04p Ze r K πε=19291361979(1.6010)910 1.141010 1.6010---⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯米 由上式看出：min r 与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为131.1410-⨯米。
z量子物理-第26章
l (l 1)
2
1 1 2 Y l (l 1) 2Y (sin ) sin (sin ) 2 2
ˆ2Y l (l 1) 2Y L 角动量量子化 L l (l 1)
26.2.3 电子概率分布
1) 径向函数的节点数 nr 例如 nr为 0（ l =n-1）的态 称为圆轨道：1s，2p，3d 3s 曲线有两个节点
n l 1
nr 2
n 1, l 0
2 n , n1 r 极大值位置为 曲线 rn n 2 a -- 最概然半径
如基态 1s 态，有
(a) E>0，电子已不再受氢核的束缚，E可取连续值。 氢原子处于电离状态。自由电子。 (b) E 0，求解方程 （3），并使 R ( r ) 满足标准化条件， 求得 E必等于
me 1 me 1 En 2 2 2 2 2 2 2 32 0 n 8 0 h n
4 4
ˆ 2 2 L2 ˆ z L (sin ) 2 sin sin
ˆ i Lz
2 ˆ L2 2 2 z
由此可得球坐标中的定态薛定谔方程为：
2 1 2 1 1 2 (r ) (sin ) 2 V (r ) E 2 2 2me r r r sin sin (25-14) 式中 r, , 通常采用分离变量法求解，即设
Sz mS
mS — 自旋磁量子数
所以 电子的状态应用n，l，ml ，ms描述
自旋磁矩:
s
e s me
Sz 2em
[物理]26章氢原子的量子理论
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L y ih cos ctg sin L z ih
2
ˆ i r L
2 1 1 2 L h sin 2 2 sin sin
3
第26章 氢原子的量子理论
26.1 径向薛定谔方程
一 氢原子的薛定谔方程
e2 在氢原子中，电子的势能函数为： U (r ) 40 r 2
2 U (r ) r E r 2m 2
z
2
2m
2
e (E ) 0 40 r
z r cos
4
x r sin cos y r sin sin
r x y z
2 2 2
2
z r cos
r x sin cos x r
两边对x求偏导
z cos r
y tg x
两边对x求偏导
1 z r 1 cos cos 2 x sin r x r
r x2 y 2 z 2
x2 y 2 arctan z y 1 arctan x
x
y
x r sin cos
y r sin sin z r cos
可求出
Lx ih sin ctg cos
(1) (2)
2 1 d 2 dR 2m e l (l 1) 2 R 0 r 2 E 2 r dr dr 40 r r
(3)
其中 ml 和 l 是引入的常数。
解此三个方程，并考虑到波函数应满足的 标准化条件，即可得到波函数 并且可得到： 能量量子化
量子力学考试题
量子力学考试题量子力学考试题（共五题，每题20分）1、扼要说明：（a ）束缚定态的主要性质。
（b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。
2、设力学量算符（厄米算符）∧F ，∧G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧F ），试证明：（a ）∧K 的本征值是实数。
（b ）对于∧F 的任何本征态ψ，∧K 的平均值为0。
（c ）在任何态中2F +2G ≥K3、自旋/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为S H ??ω=∧H ＝ω∧z S +ν∧x S （ω，ν>0，ω?ν）（a ）求能级的精确值。
（b ）视ν∧x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。
4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0<x</x5、某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。
已知单粒子“轨道”态只有3种：a ψ(→r )，b ψ(→r )，c ψ(→r )，试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。
（i ）无自旋全同粒子。
（ii ）自旋 /2的全同粒子（例如电子）。
量子力学考试评分标准1、（a ），（b ）各10分（a ）能量有确定值。
力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。
（b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’）选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e →r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分（a ）∧K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。
（b ）∧F ψ＝λψ，ψ∧F ＝λψ K ＝ψ∧K ψ＝i ψ∧F ∧G -∧G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧F 2+∧G 2-∧Kψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧F -i ∧G )ψ︱2≥0 ∴<∧F 2+∧G 2-∧K >≥0，即2F +2G ≥K 3、(a)，(b)各10分(a) ∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝2 ω［1001-］+2 ν［0110］＝2 ［ωννω-］∧H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2λ，则［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λωννλω---︱＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2 22νω+，E 2＝222νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+2 22ων）＝ω+ων22E 1≈-2 ［ω+ων22］，E 2 ＝2［ω+ων22］（b ）∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝∧H 0+∧H’，∧H 0＝ω∧z S ，∧H ’＝ν∧x S∧H 0本征值为ω 21±，取E 1（0）＝-ω 21，E 2（0）＝ω 21相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01 ]则∧H ’之矩阵元（S z 表象）为'11H =0，'22H =0，'12H ＝'21H ＝ν 21E 1＝E 1（0）+'11H +)0(2)0(12'21E E H-＝-ω 21+0-ων2241＝-ω21-ων241 E 2＝E2（0）+'22H +)0(1)0(22'12E E H -＝ω 21+ων2414、E 1＝2222ma π，)(1x ψ＝0sin 2a xa π a x x a x ≥≤<<,00x ＝dx x a ?021ψ＝2sin 202a dx a x x a a=?π x p ＝-i ?=a dx dx d011ψψ-i ?=aa x d a 020)sin 21(2π x xp ＝-i ??-=aaa x d a x x a i dx dx d x 0011)(sin sin 2ππψψ ＝-a a x xd a i 02)(sin 1π ＝0sin [12a a x x a i π --?adx a x 02]sin π＝0+?=ai dx ih 02122 ψ 四项各5分5、（i ），（ii ）各10分（i ）s ＝0，为玻色子，体系波函数应交换对称。
26 氢原子量子论
赖曼系
开始电离，基态电子能量
E1 13.60eV
电离能
E 13.60eV
13.60 E (eV)
（4）电子跃迁时辐射光的频率
Em En 1 1 v Rc( 2 2 ) h n m
2.氢原子中电子的波函数和能级简并度 氢原子中电子的稳定状态由一组量子数 n, l, ml 决定， 即每组量子数确定一个波函数，描述一个稳定的状态。
l =1
2
l =2
三、氢原子能级与光谱
1.能级
离散值
n 4 3 2
巴耳末系
14
me 1 En 2 2 2 8 0 h n
4
帕邢系
0 0.89 1.51 3.39
（1）能级 En 随 n 的增加而增高； （2）能级间距随 n 增加而减小； （3）当
n E 0
d 2 2 ml 0 2 d
(3)
7
ml2 1 d d sin 2 0 (4) sin d d sin
解方程（3）
z
P
Ae ( ) ( 2 )
iml 由自然周期条件
O
N lm (l m)! 2l 1 (l m)! 4π
正交，归一
1 d 2 dR 2m e2 l (l 1) 2 R 0 r 2 E 2 r dr dr 4 0 r r
10
（1）
把一定的 l 值代入方程 （1） 求解，分两种情况求解： （1） E > 0，电子已不再受氢核的束缚，E 可取连续值。
L x , L y i L z L y , L z i L x 角动量算符的对易关系 L2 , L x L2 , L y L2 , L z 0 z , L x i L y L
高考物理二轮氢原子光谱、能级与动量守恒定律的综合附解析
2015高考物理二轮氢原子光谱、能级与动量守恒定律的综合（附解析）2015高考物理二轮氢原子光谱、能级与动量守恒定律的综合（附解析）玻尔理论的基本内容能级假设：氢原子En＝E1n2，n为量子数．跃迁假设：hν＝E末－E初．轨道量子化假设：氢原子rn＝n2r1，n为量子数．4．(1)如图6－15－11所示是氢原子的能级图，氢原子由原子核和一个核外电子组成，电子可看作绕原子核做匀速圆周运动；轨道1(即能级1)上电子运动的半径为R1，轨道2(即能级2)上电子运动的半径为R2，电子的电荷量为e.则电子在轨道1上时的动能为________，氢原子从能级1跃迁到能级2的过程中吸收的能量为________．图6－15－11图6－15－12(2)如图6－15－12所示，在光滑水平地面上，有一质量m1＝4.0kg的平板小车，小车的右端有一固定的竖直挡板，挡板上固定一轻质细弹簧，位于小车上A点处的质量为m2＝1.0kg的木块(视为质点)与弹簧的左端相接触但不连接，此时弹簧与木块间无相互作用力．木块与A点左侧的车面之间有摩擦，与A点右侧的车面之间的摩擦可忽略不计．现小车与木块一起以v0＝2.0m/s的初速度向右运动，小车将与其右侧的竖直墙壁发生碰撞，已知碰撞时间极短，碰撞后小车以v1＝1.0m/s的速度水平向左运动，取g＝10m/s2.①求小车与竖直墙壁发生碰撞的过程中小车动量变化量的大小；②若弹簧始终处于弹性限度内，求小车碰撞后与木块相对静止时的速度大小和弹簧的最大弹性势能．解析(1)电子绕原子核做匀速圆周运动，ke2R21＝mv2R1，所以Ek1＝12mv2＝ke22R1；根据玻尔的跃迁理论得：氢原子从能级1跃迁到能级2过程中吸收的能量为E2－E1.(2)①小车与竖直墙壁发生碰撞的过程中，小车动量变化量的大小为Δp＝m1v1－m1(－v0)＝12kgm/s①②小车与墙壁碰撞后向左运动，木块与小车间发生相对运动将弹簧压缩至最短时，二者速度大小相等，此后木块和小车在弹簧弹力和摩擦力的作用下，做变速运动，直至二者再次具有相同速度，此后，二者相对静止．整个过程中，小车和木块组成的系统动量守恒，设小车和木块相对静止时的速度大小为v，根据动量守恒定律有m1v1－m2v0＝(m1＋m2)v②解得v＝0.40m/s③当小车与木块首次达到共同速度v时，弹簧压缩至最短，此时弹簧的弹性势能最大，设最大弹性势能为Ep，根据机械能守恒定律可得Ep＝12m1v21＋12m2v20－12(m1＋m2)v2④Ep＝3.6J⑤答案(1)ke22R1E2－E1(2)①12kgm/s②0.4m/s3.6J5．(2014山东菏泽模拟)(1)根据玻尔理论，某原子的电子从能量为E的轨道跃迁到能量为E′的轨道，辐射出波长为λ的光，以h表示普朗克常量，c表示真空中的光速，则E′等于________．A．E－hλcB．E＋hλcC．E－hcλD．E＋hcλ图6－15－13(2)如图6－15－13所示，在光滑的水平桌面上有一长为L＝2m的木板C，它的两端各有一块挡板，C的质量为mC ＝5kg，在C的中央并排放着两个可视为质点的滑块A与B，其质量分别为mA＝1kg、mB＝4kg，开始时A、B、C均处于静止状态，并且A、B间夹有少许炸药．炸药爆炸使得A以vA＝6m/s的速度水平向左运动，不计一切摩擦，两滑块中任一块与挡板碰撞后就与挡板合成一体，爆炸与碰撞时间不计，求：①当两滑块都与挡板碰撞后，板C的速度多大？②从爆炸开始到两个滑块都与挡板碰撞为止，板C的位移多大？方向如何？解析(1)E－E′＝hν＝hcλ，所以E′＝E－hcλ.故C正确，A、B、D错误．故选C.(2)炸药爆炸，滑块A与B分别获得向左和向右的速度，由动量守恒可知，A的速度较大(A的质量小)，A、B均做匀速运动，A先与挡板相碰合成一体(满足动量守恒)一起向左匀速运动，最终B也与挡板相碰合成一体(满足动量守恒)，整个过程满足动量守恒．①整个过程A、B、C系统动量守恒，有：0＝(mA＋mB＋mC)v，所以v＝0②炸药爆炸，A、B获得的速度大小分别为vA、vB.以向左为正方向，有：mAvA－mBvB＝0，解得：vB＝1.5m/s，方向向右然后A向左运动，与挡板相撞并合成一体，共同速度大小为vAC，由动量守恒，有：mAvA＝(mA＋mC)vAC，解得：vAC＝1m/s此过程持续的时间为：t1＝L2vA＝16s此后，设经过t2时间B与挡板相撞并合成一体，则有：L2＝vACt2＋vB(t1＋t2)，解得：t2＝0.3s所以，板C的总位移为：xC＝vACt2＝0.3m，方向向左．答案(1)C(2)①0②0.3m，方向向左。
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例7.多电子原子中，电子的排列遵循（ ）原理和（ ） 原理。 泡利不相容原理和能量最低原理
例8.当氢原子中的电子处在 n 3, l 2, ml 2, m s 1
的状态时，它的轨道角动量为 l ( l 1) 自旋角动量为 1 ( 1 1) 3 2 2 2
例7 试问氢原子处在 n=2 能级时有多少个不同的状 态？在不考虑电子自旋的情况下，对于各个状态，试 按量子数列出它们的波函数。 解： 氢原子的能量本征值 En 只依赖于主量子数 n ； n 确定后角量子数可取 0，1，2，…… (n-1), 共 n个值； 在给定 l 后磁量子数 m 可取 -l, -l+1,…0,…l-1, l, 共（2l+1） 个值； 属任一能级的量子态ψnlm 的数目为 n2。 据题意，当 n=2 时，可能的波函数为
Lz 0, , 2 , 3
200 ,
211,
210 ,
211 .
例8 讨论氢原子的 200 , 210 , 211 , 211四个状态的宇称。 解： nlm 的宇称取决于 (1)
l
l 为偶数时为偶宇称; l 为奇数时为奇宇称。 故 ψ200 有偶宇称； ψ210， ψ211，ψ21-1 有奇宇称。
属n=2能级的量子态 共有4。 据题意，当 n=2 时，可能的波函数为
200 , 211, 210 , 211.
例2：根据量子力学理论，氢原子中电子的角动量在外 磁场方向上的投影为 Lz ml , 当角量子数 l=2时，Lz
的可能取值为何值。 解： 磁量子数取值为 ml l , l 1, 0,, l 1, l
Байду номын сангаас
例4. 根据量子论，氢原子核外电子的状态可由四个量子 数来确定，其中主量子数n可取的值为（ 1,2,3,… ）， 它可决定什么？(能量) 例5. 原子内电子的量子态由n,l,ml及ms四个量子数表征。 当n,l,ml一定时，不同的量子态数目为（ 2 ）， 当n,l,一定时，不同的量子态数目为（ 2(2l+1) ）， 当n一定时，不同的量子态数目为（ 2 n 2 ）. 例6.在氢原子的L壳层中，电子可能具有的量子数（n,l,ml ms）是 (A) (1,0,0,-1/2) (B) (2,1,-1,1/2) (C) (2,0,1,-1/2) (D) (3,1,-1,1/2)
例1： 试问氢原子处在 n=2 能级时有多少个不同的状态？ 在不考虑电子自旋的情况下，对于各个状态，试按量子数 列出它们的波函数。 解： 氢原子的能量本征值 En 只依赖于主量子数 n ； n 确定后角量子数l可取 0，1，2，…… (n-1), 共 n个值； 在给定 l 后磁量子数 ml 可取 -l, -l+1,…0,…l-1, l, 共（2l+1） 个值； 属任一能级的量子态ψnlm 的数目为 n2。
共有 （2l+1) 个值。
当 l=2 时， ml 2,1, 0, 1, 2.. 故
Lz 2, , 0, , 2
例3.下列各量子数中，哪一组可以描述原子中电子的状态？
(A).n=2, l=2, ml=0, ms=1/2 (B). n=3, l=1, ml= 1, ms= 1/2 (C). n=1, l=2, ml=1, ms=1/2 (D). n=1, l=0, ml=1, ms= 1/2
6
2
例9.氢原子处于主量子数n = 4的状态，则其轨道角动量
可能取值为多少？对应于 l = 3的状态，轨道角动量 在外磁场方向的投影可能取的值分别为多少？ 解：
n4 l3
l 0 , 1, 2 , 3 .
L 0, 2 , 6 , 12
ml 0, 1, 2, 3