高数数学极限总结归纳
大一高数极限知识点总结
大一高数极限知识点总结一、定义和性质高等数学中，极限是一种重要的概念，被广泛应用于微积分和数学分析。
理解和熟练掌握极限的定义和性质对于学习高等数学至关重要。
1. 无穷小量和无穷大量在研究极限时，无穷小量和无穷大量是两个常用的概念。
2. 极限的定义设函数 f(x) 在点 x0 的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得当 x 由点 x0 接近时，不等式 0 < |x-x0| < δ 总是成立，那么就称函数 f(x) 在点 x0 处极限存在，记为lim┬(x→x0)〖f(x)=A〗。
3. 极限的性质极限具有一系列重要的性质，包括唯一性、四则运算性质、和函数复合性质等。
二、极限的计算方法掌握极限的计算方法是学好高等数学的关键之一。
1. 用直接代入法计算极限当函数在极限点附近有定义时，可以通过直接将极限点代入函数来计算极限。
2. 用夹逼准则计算极限如果一个函数在某个点的附近被两个函数夹住，并且这两个函数的极限都为 A，那么待求函数的极限也是 A。
3. 分段函数的极限计算对于分段函数，我们可以分别计算每一段的极限，然后综合起来得到整个函数的极限。
三、常见的极限在高等数学中，有一些常见的极限形式是我们必须掌握的。
1. 无穷大与无穷小当 x 趋向于正无穷或负无穷时，函数 f(x) 的极限可能为无穷大或无穷小。
2. 0/0 型极限当直接代入法计算极限时，如果得到的结果是 0/0 型，那么我们通常要进一步进行简化或者换一种计算方法来求解。
3. ∞/∞ 型极限当直接代入法计算极限时，如果得到的结果是∞/∞ 型，那么我们通常需要进行一些数学变换或者化简来求解。
四、高阶极限除了一阶极限外，高阶极限也是高等数学中的重要内容。
1. 一阶无穷小与高阶无穷小一阶无穷小是指函数 f(x) 在某一点处的极限等于 0，而高阶无穷小是指函数 f(x) 在该点的极限为 0，且比一阶无穷小更快地趋近于 0。
高等数学极限的公式总结
高等数学极限的公式总结在高等数学中，极限的公式是非常重要的概念，这些公式能够帮助我们理解函数的极限，并进行极限的运算。
以下是一些常见的高等数学极限的公式总结：1. 极限的四则运算性质：lim(a+b) = lim a + lim blim(a-b) = lim a - lim blim(ab) = lim a lim b (假设lim a 和 lim b都存在)lim(a/b) = lim a / lim b (假设lim b 不等于0)2. 极限的常数性质：lim a = a (当a是一个常数)3. 极限的单调性：lim(f(x0+delta x) - f(x0)) / delta x = f'(x0) (当delta x -> 0)4. 连续函数的性质：如果f(x)在x0处连续，那么lim f(x) = f(x0) 当 x -> x05. 无穷小量与无穷大量：当x -> 0时，x是无穷小量，1/x是无穷大量。
6. 洛必达法则：如果lim (f'(x)/g'(x))存在，那么lim (f(x)/g(x)) = lim (f'(x)/g'(x)) (当x->a时)。
7. 泰勒公式：对于任何n阶可导函数f(x)，存在一个多项式Pn(x)，使得对于所有-∞ < x < ∞，有f(x) = Pn(x) + o(x^n)，其中o(x^n)是高阶无穷小。
8. 夹逼准则：如果存在一个区间或闭区间[a, b]，满足f(a) <= g(a), f(b) >= g(b)，并且lim f(x) = lim g(x)，则lim g(x)存在，并且lim g(x) = lim f(x)。
9. 无穷大与无穷小的关系：lim x -> ∞ f(x) = lim x -> ∞ f(x) （如果存在的话）lim x -> ∞ f(x) = 0 （如果lim x -> ∞ f(x)存在的话）10. 极限的唯一性：对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当x - x0 < δ时，有f(x) - A < ε。
高等数学极限求法总结
高等数学极限求法总结在高等数学中，极限是一个至关重要的概念，它在微积分、数学分析等领域中扮演着重要角色。
极限求法是数学学习中的一个关键技能，通过正确的方法和技巧能够更快地求解各种极限问题。
本文将系统总结常见的极限求法，包括极限的基本性质、洛必达法则、泰勒展开等内容，帮助读者更好地掌握和运用极限求法。
一、极限的基本性质1. 有界性如果一个函数在某点的一个邻域内有界，那么该函数在该点的极限存在且有限。
2. 夹逼准则如果函数f(x)在点a的某个邻域内除a点以外都满足0≤g(x)≤f(x)≤h(x)，并且lim[g(x)]=lim[h(x)]=L，则由夹逼准则可得lim[f(x)]=L。
二、洛必达法则洛必达法则常用来解决0/0型或∞/∞型的极限。
若lim[f(x)]=0, lim[g(x)]=0，并且lim[f’(x)/g’(x)]存在，则lim[f(x)/g(x)]=lim[f’(x)/g’(x)]。
三、泰勒展开泰勒展开是在某一点附近用多项式逼近一个函数的方法。
简单来说，就是用一个多项式不断逼近原函数，使得在该点附近它们的表现尽量接近。
泰勒展开的公式如下：f(x)≈f(a)+f’(a)(x-a)+f’’(a)(x-a)2/2!+⋯+f n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中，f(x)是原函数，a是展开的点，f^(n)(a)表示f(x)在点a处的n阶导数，Rn(x)是泰勒余项，即多项式逼近的误差。
通过以上总结，我们可以看到，极限求法涉及到多方面的知识和技巧，需要结合具体问题选择合适的方法进行求解。
掌握极限求法不仅可以帮助我们更好地理解函数的性质，还可以在数学建模、物理学等领域中发挥重要作用。
希望通过本文的总结，读者能够更加熟练地运用各种极限求法，提升自己的数学水平。
知识点总结高数一
知识点总结高数一一、极限与连续1. 极限的概念及性质极限是数列或函数在趋于某个值时的性质，其定义包括数列极限和函数极限两种情况。
数列极限定义为：对于任意的ε>0，存在N∈N，使得当n>N时，|an-a|<ε成立。
函数极限定义为：对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε成立。
极限的性质包括唯一性、有界性、局部性、夹逼性等。
2. 极限运算法则极限运算法则包括四则运算法则、复合函数极限法则、比较大小法则、夹逼定理等，通过这些法则可以简化极限运算的复杂性。
3. 无穷小与无穷大无穷小是指当自变量趋于某个值时，函数值无穷小于此值的函数。
无穷大则是指当自变量趋于某个值时，函数值无穷大于此值的函数。
在极限运算中，无穷小和无穷大的性质十分重要。
4. 连续的概念及性质连续函数的定义为：对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-f(a)|<ε成立。
连续函数的性质包括局部性、初等函数的连续性、复合函数的连续性等。
二、导数与微分1. 导数的概念与求导法则导数是函数在某一点处的变化率，导数的定义为：f'(x)=lim(h→0) (f(x+h)-f(x))/h。
求导法则包括基本导数公式、和差积商的求导法则、复合函数求导法则等。
2. 高阶导数与隐函数求导高阶导数为求导多次的结果，隐函数求导是指对于包含多个变量的函数，通过对某个变量求导来求得函数在该点的导数。
3. 微分的概念与微分公式微分是函数在某一点处的局部线性近似，微分的定义为：df(x)=f'(x)dx。
微分公式包括基本微分公式、换元法、分部积分法等。
4. 隐函数与参数方程的导数隐函数与参数方程的导数是指对于包含多个变量的方程，通过对某个变量求导来求得函数在该点的导数。
三、微分中值定理与泰勒公式1. 微分中值定理微分中值定理包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理等，它们描述了函数在某些条件下的性质，对于函数的研究有重要意义。
极限高数知识点总结
极限高数知识点总结极限是数学分析中一个非常重要的概念，它是研究函数趋于某个趋势或者某个值时的性质的一种方法。
极限的研究对于理解函数的性质、求解微积分的各种问题具有非常重要的意义。
在高等数学中，极限被广泛应用于各个领域，是数学分析的基础和核心之一。
下面我们来系统地总结一下极限的相关知识点。
一、极限概念1.1 函数的极限函数的极限是指当自变量趋于某一值时，因变量的值趋于某一值。
设函数f(x)在点x=a的某一去心邻域内有定义时，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，对应的f(x)都满足|f(x)-A|<ε。
那么称当x趋于a时，f(x)的极限为A，记作lim(f(x))=A，或者x→a时f(x)趋于A。
1.2 无穷大与无穷小当x趋于无穷大时，函数f(x)的极限称为无穷大，记作lim(f(x))=∞。
当x趋于无穷小时，函数f(x)的极限称为无穷小，记作lim(f(x))=0。
1.3 极限运算法则函数极限的运算法则包括加减乘除四则运算法则、乘积的极限法则、商的极限法则等。
二、极限存在性2.1 极限的必要条件与充分条件函数极限存在的充分必要条件是明确的，但是对于不同类型的函数，其极限存在的条件也有所不同。
比如对于无穷大级数，其收敛的充分必要条件为级数通项趋于0。
2.2 极限存在的判定方法判定极限是否存在的方法包括夹逼准则、单调有界法、变量代换法、洛必达法则、泰勒展开法等。
三、极限计算3.1 无穷小量的性质无穷小量有许多性质，包括有限个无穷小的和、积仍是无穷小，无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小，无穷小的高阶无穷小、低阶无穷小、等阶无穷小等。
3.2 无穷大量的性质无穷大量也有一些性质，包括有限个无穷大的和、积仍是无穷大，无穷大的倒数为无穷小等。
3.3 极限的计算方法极限的计算方法包括利用极限的基本性质和极限的等价无穷小、等价无穷大的性质，还有利用洛必达法则或者泰勒展开法则进行计算。
高等数学重要极限公式
高等数学重要极限公式一、极限的定义在高等数学中，极限是一个重要的概念，用于描述函数在某一点或无穷远处的趋势。
极限的定义是基于函数的局部性质，可以用数学公式表示。
极限的定义包括左极限和右极限，分别表示函数从左边和右边趋近于某一点的情况。
二、重要的极限公式1. 常数函数的极限公式对于一个常数函数，不论自变量趋近于哪个值，函数值都保持不变。
因此，常数函数的极限公式为：lim (c) = c，其中 c 为常数，lim 表示极限。
2. 幂函数的极限公式幂函数是高等数学中常见的一类函数，其极限公式如下：lim (x^n) = a^n，其中 n 为正整数，a 为常数。
3. 指数函数的极限公式指数函数是一类以常数为底的幂函数，其极限公式如下：lim (a^x) = a^b，其中 a 为常数，b 为实数。
4. 对数函数的极限公式对数函数是指数函数的反函数，其极限公式如下：lim (log_a x) = log_a b，其中 a 为常数，b 为正数。
5. 三角函数的极限公式三角函数在高等数学中也有很重要的应用，其极限公式如下：lim (sin x) = sin a，其中 a 为实数。
lim (cos x) = cos a，其中 a 为实数。
6. 自然对数的极限公式自然对数是以常数 e 为底的对数函数，其极限公式如下：lim (ln x) = ln a，其中 a 为正数。
7. 正弦函数的极限公式正弦函数是三角函数中的一种，其极限公式如下：lim (sin x / x) = 1，其中 x 为实数。
8. 指数函数的极限公式指数函数在高等数学中也有很重要的应用，其极限公式如下：lim ((a^x - 1) / x) = ln a，其中 a 为正数。
9. 自然对数的极限公式自然对数是以常数 e 为底的对数函数，其极限公式如下：lim ((ln x) / x) = 0，其中 x 为正数。
10. 极限的乘法法则若两个函数的极限都存在，那么它们的乘积的极限等于两个函数的极限的乘积。
大一高数求极限的方法总结
大一高数求极限的方法总结大一高等数学中，求极限是一个非常重要的概念和技巧。
在学习求极限的过程中，我们需要掌握一些基本的方法和技巧。
下面是对一些常用的求极限方法进行总结。
一、无穷小量代换法当我们在求一个函数的极限时，可以将函数中的无穷小量用一个新的无穷小量来代替，从而简化计算。
例如，当求极限lim(x->0)(sinx)/x时，可以将sinx用x来代替，即lim(x->0)x/x=1二、夹逼定理夹逼定理是一种非常常用的求极限方法。
当我们无法直接计算一个函数的极限时，可以通过找到两个已知的函数，使它们的极限分别为L和L’，并且夹在待求函数的极限值周围时，我们可以得出待求函数的极限也为L。
三、洛必达法则洛必达法则是一种非常常用的求导法则，它可以用来求解一些不定型的极限。
当我们在计算一个函数的极限时，如果得到的结果为0/0或者∞/∞的形式，那么我们可以使用洛必达法则来求解极限。
具体做法是对分子和分母同时求导，并再次计算极限，直到得到一个有限的值。
四、泰勒展开法当我们计算一些函数在一点的极限时，可以使用泰勒展开来逼近函数的值。
泰勒展开是将一个函数表示为无限项的级数，通过截取有限项来逼近函数的值。
这样可以大大简化我们的计算过程。
五、换元法有时候我们可以通过进行一些变量的替换来改变函数的形式，从而更容易求解极限。
例如，当我们计算lim(x->0)(3^(2x)-2^x)时，可以令y=2^x，然后再进行计算，就可以得到较为简单的表达式。
六、分数的极限当我们计算一个函数的极限时，如果得到的结果为一个分数形式，可以进行有理化来方便我们的计算。
有理化的方法有分子分母同时乘以一些适当的因式、差化积等。
七、级数化积当我们计算一个函数的极限时，通常可以将函数展开为一个级数，然后进行计算。
例如，当我们计算lim(x->0)(e^x-1)/x时，可以将e^x展开为一个级数，再进行计算。
八、寻找特殊点有时候我们可以通过找到一些特定的点来计算极限。
高数数学极限总结
高数数学极限总结.doc高等数学极限总结引言极限是高等数学中的核心概念之一，它描述了函数在某一点附近的行为，是微积分学的基础。
本文档旨在总结高等数学中极限的基本概念、性质、计算方法以及应用。
极限的定义函数的极限设函数( f(x) )定义在点( a )的某个去心邻域内，如果存在常数( L )，对于任意给定的正数( \epsilon )（无论多么小），总存在正数( \delta )，使得当( 0 < |x - a| < \delta )时，都有( |f(x) - L| < \epsilon )，则称( L )是函数( f(x) )当( x )趋于( a )时的极限，记作( \lim_{x \to a} f(x) = L )。
无穷远处的极限函数( f(x) )在( x )趋于无穷大时的极限，如果存在常数( L )，使得对于任意给定的正数( \epsilon )，总存在正数( M )，使得当( |x| > M )时，都有( |f(x) - L| < \epsilon )，则称( L )是函数( f(x) )当( x )趋于无穷大时的极限，记作( \lim_{x \to \infty} f(x) = L )。
极限的性质唯一性极限存在且唯一。
保号性如果( \lim_{x \to a} f(x) = L )，且( L > 0 )，则存在( \delta > 0 )，使得当( 0 < |x - a| < \delta )时，( f(x) >0 )。
有界性如果( \lim_{x \to a} f(x) = L )，则存在( \delta > 0 )，使得当( 0 < |x - a| < \delta )时，( f(x) )是有界的。
极限的计算方法直接代入法如果函数( f(x) )在点( a )处连续，则可以直接代入( x = a )来求极限。
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函数极限总结
一．极限的产生
极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。
极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。
但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N 定义）。
从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。
[1]
二．极限知识点总结
1. 极限定义
函数极限：设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x 满足不等式δ<<|x -x |00时，对应的函数值都满足不等式：ε
<-|)(|A x f
那么常数A 就叫做函数f(x)?当x →x 0时的极限，记作A x f x
x =→)(lim 0。
[2] 单侧极限：✍.左极限：A x f x
x =-
→)(lim 或)()(左→→x A x f ✍.右极限：A x f x
x =+
→)(lim 或)()(右→→x A x f 定理：A x f x f A x f x
x ==⇔=+
-→)()()(lim 0
函数)(x f 当0x x →时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相等即
)()()(lim 0
00x f x f x f x x →+
-==。
2. 极限概念
函数极限可以分成0,,,x x x x x →-∞→+∞→∞→以0x x →的极限为例，f(x)在点x 0以A 为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式
时，对应的函数值f(x)都满足不等式：|f(x)-A|<ε，那么常数A 就叫做函数f(x)
当x →x 。
时的极限。
函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2] 3. 存在准则
有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。
下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。
准则Ⅰ.如果数列{}n x ，{}n y 及{}n z 满足以下条件： （1）从某项起，即+∈∃N n 0，当0n n >时，有n n n z x y ≤≤； （2）a y n x =∞
→lim ；a z n x =∞
→lim ，
那么数列{}n x 的极限存在，且a x n x =∞
→lim 准则Ⅰ＇如果（1）当),(0r x U x
∈（或M x >||）时，)()()(x h x f x g ≤≤
（2）A x g x x x =∞→→)(lim )
(0
，A x h x x x o =∞→→)(lim )
(，
那么)
(lim )
(0
x f x x x ∞→→存在，且等于A 。
夹逼定理：（1）当),(x 0r x U
∉时，有??成立
（2）
?,那么，()0x f 极限存在，且等于A
【准则Ⅰ，准则Ⅰ′合称夹逼定理】 准则Ⅱ：单调有界数列必有极限
准则Ⅱ＇：设函数)(x f 在点0x 的某个左(右)邻域内单调并且有界，则)(x f 在0x 的左(右)极限
)(-x f ()[]
+x f 必定存在[3]
单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。
柯西准则：数列收敛的充分必要条件是任给o >ε,存在)(εN ,使得当N >n ,N >m 时，有
ε<-||m n x x 成立。
[2]
极限运算相关法则、定理及推论
计算极限方法总结 （1）直接带入求极限
例1.)138(2
1
lim +-→x x
x
【解】
()
6
1381
381
381
382
11
21
1
1
21
2
1lim lim lim lim lim lim lim =+-⎪⎭⎫
⎝⎛=+-=+-=+-→→→→→→→x x x x x x x
x x
x x x x x
（2）约零因子求极限
(5)应用两个重要极限求极限
(6)用等价无穷小两代换求极限
(7)用洛必达法则求极限
(8)用对数恒等式求)()(lim x g x f 极限
四．参考文献
[2]函数极限
[3]同济大数学系《高等数学第七版上册》北京高等教育出版社1987年
[4]来自QQ空间由大学生笔记墙整理。