第三讲：导数的应用
《数学物理方法》第三讲导数解析函数
高阶导数概念
01
高阶导数定义
若函数y=f(x)的导数f'(x)仍然可导，则称f'(x)的导数为f(x)的二阶导数，
记作f''(x)或y''。类似地，可以定义三阶、四阶等更高阶的导数。
02
几何意义
二阶导数f''(x)表示函数y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率。当二阶导数大于零
时，曲线在该点处向上凹；当二阶导数小于零时，曲线在该点处向下凹。
判定方法
判断一个复变函数是否解析，需要验 证其在定义域内是否满足柯西-黎曼方 程，同时实部和虚部的一阶偏导数需 要连续。
柯西-黎曼条件（C-R条件）
定义
柯西-黎曼条件是复变函数在一点可导的必要条件，即函数在该点的实部和虚 部的一阶偏导数需要满足一定的关系。
具体形式
对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，在一点z0=x0+iy0处可导的必要条件是，u 和v在点(x0,y0)处的一阶偏导数存在且连续，并且满足柯西-黎曼方程： du/dx=dv/dy, du/dy=-dv/dx。
预备知识提示
针对下一讲涉及的知识点，提醒学生 复习相关基础知识，如极限、连续、 微分等概念，为顺利学习下一讲内容 打好基础。
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解析函数与实函数关系
解析函数是实函数的扩展
实函数是解析函数在复平面上的特例，当复变函数的虚部为0 时，就退化为了实函数。
解析函数具有更丰富的性质
与实函数相比，解析函数具有更多的性质和运算规则，例如 解析函数的导数仍然是解析函数、解析函数可以展开为泰勒 级数等。
解析函数运算性质
导数与导数的应用
导数与导数的应用一、导数的概念与性质导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
在数学中，我们常用 f'(x) 或 dy/dx 表示函数 f(x) 的导数。
导数的计算方法有很多，其中最常见的是使用极限的定义，即 f'(x) = lim (h->0) [(f(x+h)-f(x))/h]。
导数具有一些重要的性质。
首先，如果函数 f(x) 在某一点 x0 处可导，则它在该点处连续。
这意味着导数可以用来判断函数在某一点是否连续。
其次，导数还具有乘法法则和链式法则。
乘法法则指出，如果两个函数 f(x) 和 g(x) 都在某点 x0 处可导，则它们的乘积 f(x)g(x) 在该点处也可导，并且导数为 f'(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0)。
链式法则则描述了复合函数的导数计算方法，即如果函数 y = f(g(x)) 在某一点 x0处可导，则它的导数为 dy/dx = f'(g(x0))g'(x0)。
二、导数的应用导数不仅仅是一个抽象的数学概念，它还具有广泛的应用。
下面将介绍导数在几个领域中的具体应用。
1. 最优化问题导数在最优化问题中具有重要的作用。
最优化问题的目标是寻找一个函数的最大值或最小值。
通过计算函数的导数，我们可以找到函数的驻点，即导数为零的点。
在这些驻点附近，函数的取值可能达到极值。
进一步分析导数的符号可以确定这些驻点是极大值还是极小值。
因此，导数可以帮助我们解决各种最优化问题，如求解函数的最大值、最小值，以及优化生产过程中的资源分配等。
2. 物理学中的运动学导数在物理学中的运动学研究中有广泛的应用。
运动学研究物体的位置、速度和加速度之间的关系。
速度是位置的导数，而加速度又是速度的导数。
通过计算导数，我们可以得到物体的速度和加速度随时间的变化情况。
这对于分析物体的运动轨迹和研究物体的力学性质非常重要。
3. 经济学中的边际分析导数在经济学中的边际分析中扮演着重要角色。
导数知识点归纳及应用
导数知识点归纳及应用导数是微积分的基础知识之一，它描述了一个函数在其中一点的变化率。
导数的概念非常重要，广泛应用于科学和工程领域中的各种问题的建模和解决。
一、导数的定义及基本性质1.导数的定义：对于一个函数f(x)，它的导数可以通过以下极限定义求得：f'(x) = lim ( h -> 0 ) [ f(x+h) - f(x) ] / h导数表示了函数f(x)在x点处的变化率。
如果导数存在，则称f(x)在该点可导。
2.导数的图像表示：导数可以表示为函数f(x)的图像上的斜率线，也就是切线的斜率。
3.导数的几何意义：a.函数图像在特定点的切线的斜率等于该点的导数。
b.导数为正，表示函数在该点上升；导数为负，表示函数在该点下降；导数为零，表示函数在该点取得极值。
4.基本导数公式：a.常数函数的导数为0。
b.幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
c. 指数函数 f(x) = a^x 的导数为 f'(x) = ln(a) * a^x。
d. 对数函数 f(x) = log_a(x) 的导数为 f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
二、导数的计算方法1.导数的基本定义法：根据导数的定义，通过计算极限来求得导数。
2.导数的运算法则：a.和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
b.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
c.商法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2d.复合函数法则：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
3.链式法则：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导数：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
导数的七种应用
导数的七种应用
导数是一个重要的数学概念，它表达了函数变化的方式。
由于它可以描述函数之间的关系，所以它在几乎所有的数学和科学领域中都有应用。
导数的七种应用是：
一、用于估算
导数可以用来估算函数的极值，从而使我们能够得出函数的极值点。
此外，还可以用导数来估算函数在任意点处的变化率。
二、用于求极值
使用导数，可以求出函数在某一点处的极值。
这使得可以确定某函数的最大值和最小值，以及求解它们所在的位置。
三、用于求解微分方程
导数也可以用来求解微分方程。
因为微分方程的形式是表示函数变化率的方程，所以它可以使用导数来求解。
四、用于图像的拟合
导数可以用来拟合任意函数的图像。
只需要知道函数的形式，就可以用导数来拟合图像。
五、用于求局部极大值或极小值
导数可以用来求局部极大值或极小值。
这是因为可以通过函数的导数来确定其极大值和极小值的位置。
六、用于解决线性递增/递减问题
通过导数，可以解决线性递增/递减问题。
这是由于递增/递减函数的导数表示其变化率，所以可以根据导数求解此类问题。
七、用于求微分
导数也可以用来求微分。
微分是求函数图像在某一点处的斜率，因此可以使用导数来求微分。
从上面我们可以看出，导数有着众多的应用，涵盖了数学和科学领域的众多研究领域。
运用它们，可以解决各种复杂问题，为科学和数学探索做出重要贡献。
导数的基本运算与应用
导数的基本运算与应用导数是微积分中的重要概念，通过研究函数在某点附近的变化率，可以帮助我们了解函数的性质和行为。
导数的基本运算包括求导法则，而导数的应用则广泛涉及到各个领域，例如物理、经济学和工程学等。
本文将探讨导数的基本运算和应用，帮助读者更好地理解和运用导数。
一、导数的定义和求导法则导数的定义是函数在某一点处的变化率，可以用极限的方式来表示。
对于函数f(x)，它在点x处的导数可以表示为f'(x)或者dy/dx。
求导法则是求导数的一些基本规则，下面是几个常用的求导法则：1. 常数法则：如果f(x) = c，其中c是一个常数，那么f'(x) = 0。
2. 幂函数法则：如果f(x) = x^n，其中n是正整数，那么f'(x) =nx^(n-1)。
3. 和差法则：如果f(x) = g(x) ± h(x)，那么f'(x) = g'(x) ± h'(x)。
4. 乘积法则：如果f(x) = g(x)h(x)，那么f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)。
5. 商法则：如果f(x) = g(x)/h(x)，那么f'(x) = [g'(x)h(x) -g(x)h'(x)]/h(x)^2。
6. 链式法则：如果f(x) = g(h(x))，那么f'(x) = g'(h(x))h'(x)。
通过使用求导法则，我们可以计算更复杂函数的导数。
然而，在应用导数之前，我们需要了解导数的物理意义和实际应用。
二、导数的物理意义导数不仅是函数的变化率，还可以表示函数的斜率。
对于函数y=f(x)，导数f'(x)可以表示曲线在某一点的切线斜率。
在物理学中，速度和加速度的概念可以通过导数来描述。
例如，我们考虑一个物体的位移函数x(t)，其中t表示时间。
物体的速度可以表示为x'(t)，即位移函数的导数。
高二第三讲导数的实际应用定积分的概念及应用
第三讲 导数的实际应用定积分的概念及应用一、知识梳理1、若函数f （x ）在区间A 上有唯一一个极值点0x ，且0()f x 是这个函数的极大（小）值，那么这个极值必定就是函数f （x ）在区间A 上的最大（小）值。
2、定积分的几何意义：当f (x )>0时()b af x dx ⎰表示由直线__________，__________，__________ 和曲线y =f （x ）所围成的曲边梯形的面积。
3、微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：如果()f x 是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ()()x f x '=，那么()F()F()baf x dx b a =-⎰。
常常把F()F()b a -记作F()|b a x 。
二、典例导析例1、用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？变式训练1、（1）要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积为最大，则高为（ ）A ．33cm B ．3310cm C ．3316cm D ．3320（2）从一块边长为a 的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来做成一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形的边长几分之几时，箱子容积最大？例2、计算下列定积分：（1）2111e x dx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰；（2）0(2sin 32)x x e dx π-+⎰；变式训练2、计算下列定积分：（1）⎰--+322616dx x x（2）2201x dx -⎰例3、求由曲线22y x =+与3y x =，0x =，2x =所围成的平面图形的面积（画出图形）。
变式训练3、由直线12x =，x =2，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积是（ ） A ．154 B ．174 C ．1ln 22D ．2ln2例4、在曲线y =x 2（x ≥0）上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为121。
《导数的应用》ppt课件
设 x 1 cos , y 1 sin ,由x,y为正实数得: 0 .
xy
1
(1
2
cos
)si n
.
2
设 f ( ) 1 (1 cos )sin .
2
f
(
)
1
[
s i n2
(1
cos
) co s
]
(cos
1)(cos
1 ).
2
2
令 f ( ) 0,得 cos 1,cos 1 ;又0 , .
从而当x>0时,f(x)≥1恒成立,即:
2
1
2 3
(1
x)3
成立.
令 Y
x6
3
0
1 2x
,得
4.
x
1.
当x<-1时, Y 0,则Y单调减小;当-1<x<0时, Y 0,则
Y单调增加;当0<x<1时,Y 0,则Y单调减小;当x>1
时,Y 0 ,则Y单调增加. 故当x 1时,Y有最小值5/6,此时点 (1, 1 )为所求.
3
例4: 如图,在二次函数f(x)=
2 ( x 1)3( x 3
0).
则
f
( x)
1 x
1 x2
( x 1)
2( x 1)2
(x
1)3
2x 1 x2 ,
令f (x) 0 ,结合x>0得x=1.
而0<x<1时, f (x) 0;x>1时,f (x) 0 ,所以x=1是f(x)的 极小值点.
所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.
令
S(
x)
0
导数的应用教学课件ppt
对于两个函数f(x)和g(x)，其导数分别为f'(x)和g'(x)，则两函数积的导数为(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
幂法则
对于一个函数f(x)，其导数为f'(x)，则(x^n)'=nx^(n-1)。
导数计算的常见问题与解决方案
常见问题
在导数计算中，容易出现一些错误，如符号错误、运算错误 、化简错误等。
导数可以用来求函数的极值、单调区间、凹凸区间等
导数在其他领域中的应用
导数可以用来解决物理、经济、工程等领域中的一些问题，如物体运动时的加速 度、经济学中的边际效应、工程中的曲率等等
02
导数的计算
极限与导数
极限的定义
极限是函数在某一变化过程中， 某个变量的变化趋势，通常用符 号lim表示。
导数的定义
与其他学生或老师交流讨论，及时解决学习中遇 到的问题。
THANKS
导数的深入研究
1
深入理解导数的定义和计算方法，包括高阶导 数和复合函数的导数。
2
研究导数在函数性质、曲线形状、极值等方面 的应用，以及在实际问题中的应用。
3
探讨导数在数学中的地位和作用，以及与其他 数学分支的联系。
导数在未来的应用前景
分析导数在金融、经济、工程等领域 的应用前景，例如最优化问题、供应 链管理、计算机图形学等。
导数的应用教学课件ppt
xx年xx月xx日Biblioteka contents目录
• 导数的概念及背景 • 导数的计算 • 导数在函数性质研究中的应用 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的进一步探讨与展望
01
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上的任一非负连续函数. ① 试证存在
，使得在区间
上以
为高的矩形面积，等于在区间
上以
为曲边的曲边梯形面积. ② 又设
在区间
内可导，且
，证明①中的是唯一的. (1998年) ⒁设
，证明 ①
. ②
. (1998年) ⒂ 设函数
在闭区间
上具有三阶连续导数，且
， ， 证明：在开区间 内至少存在一点 ，使 .(1999年) ⒃求函数 在 处的 阶导数 .(2000年) ⒄设函数 在 上连续，且 ， .试证明：在 内至少存在两个不同的点 ，使 . (2000年) ⒅ 已知 是周期为5的连续函数，它在
⒀ 已知函数
对一切
满足
，若
，则 ( ) (A)
是
的极大值. (B)
是
的极小值. （C）
是曲线
的拐点. (D)
不是
的极值，
也不是曲线
的拐点. (1997年) ⒁ 函数
的不可导点的个数为（ ） (A) 0. (B) 1. (C) 2.
⒂ 已知函数
的任意点
(D) 3. (1998年)
处的增量 ，其中 是比 高阶的无穷小，且 ，则 （） (A) . (B) 2 . (C) . (D) . (1998年) ⒃ 设函数 在 的某个邻域内连续，且 为其极大值，则存在 ，当 时，必有 （ ）
= .(1993年) ⑵ 已知曲线
过点
，且其上任一点
处的切线斜率为
，则
=
. (1993年)
⑶ 设函数
由参数方程
，所确定，则
= .(1994年) ⑷设
，则
=
.(1997年)
⑸ 曲线
的渐近线方程为 ⑹ 曲线
.(1998年)
上与直线
垂直的切线方程为 .(2004年)
二、选择题 ⑴设
则在点
处函数
（）
（A）不连续.
（B）连续而不可导的点.
（C）可导的点，且
. （D）可导的点，且
. (1996年) ⑾设
处处可导，则 （ ） （A）当
，必有
. （B）当
，必有
. （C）可当
，必有
. （D）当
，必有
. (1996年) ⑿ 在区间
内，方程
（）
（A）无实根.
（B）有且仅有一个实根.
（C）有且仅有二个实根. （D）有无穷多个实根. (1996年)
⑸ 曲线
的渐近线有 （ ）
（A）1条.
（B）2.条
（C）3条.
（D）4条. (1994年)
⑹设
在
内可导，且对任意
，当
时，都有
，则 （ ） （A）对任意
. （B）对任意
. （C）函数
单调增加. （D）函数
单调增加. (1995年) ⑺设函数
在
上
，且
，则
或
的大小顺序是（ ） （A）
. （B）
. （C）
第四讲 导数的应用习题课
一、内容提要
1、掌握单调区间的求法，利用一阶导数判别单调性，利用单调性证明 不等式。 2、掌握和理解极值点，极值的计算；第一充分定理：设f(x)在x0的某个 邻域内可导，且或不可导点，如果在x0的两侧异号，则x0是f(x)的一个 极值点，导数由+变－为极大值点，导数由—变+为极小值点。
，使
； ③ 在(a, b) 内存在与(2)中
相异的点
，使
(2003年) (25) 设
，证明
. (2004年)
历年考研选题参考答案（导数、微分及应用）
一、⑴
. ⑵
. ⑶
. ⑷
. ⑸
. ⑹
. 二、⑴ A， ⑵ B， ⑶ C， ⑷ B， ⑸ B， ⑹ D，
⑺ B， ⑻ A， ⑼ A， ⑽ C， ⑾ D， ⑿ C， ⒀ B， ⒁ C， ⒂ A， ⒃ C， ⒄ D， ⒅ C， ⒆ A， ⒇ C， (21) B， (22) C.
二、例题分析
例1、 求的极大值点与拐点连线的中点的坐标。 解：
，又x=2两侧二阶导发生变号，所以是拐点。
所以中点坐标为。 例2、 试求
解：本题为隐函数的极值问题， 再有， 为驻点；又，得 。
例3、 已知； 若对f（x）在某一点处有极值，问是极大还是极小？ 解：明显f（x）有二阶导数，由极值的必要条件知， ；，所以为极小值。 例四、证明不等式 。 证明：设 所以 。 例五、由y=0,x=8,y=x2所围的曲边三角形OAB，在曲边OB弧上求一点， 使该点作y=x2的切线与OA，AB所围的三角形面积围最大。 解： 例六、试求的曲率K。 解：， 所以 （t）。 例七、作图 解：函数的定义域为； ；
时，方程
有且仅有一个解，求
的取值范围. (1994年) ⑸设
， ① 求函数的增减区间及极值； ② 求函数图象的凸凹区间及拐点； ③ 求其渐近线； ④ 作出其图形. (1994年)
⑹ 设函数
由方程
确定，其中
具有二阶导数，且
求：
(1995年) ⑺设
，且
，证明
. (1995年) ⑻ 求函数
在点
处带拉格朗日型余项的
（A） .
（B） .
（C）
. （D）
(1998年)
⒄设
，其中
是有界函数，则
在
处（ ） （A）极限不存在. （C）连续，但不可导.
⒅ 设函数
（B）极
，则（ ） (A)
是
的极大值. (B)
是
的极小值. (C) 点
是曲线
的拐点. (D)
不是 的极值， 也不是曲线 的拐点. (2000年) ⒆ 设函数 ， 是大于零的可导函数，且
（B）连续，但不可导.
（C）可导，但导数不连续. （D）可导，且导数连续. (1993年)
⑵ 设常数
，函数
在
内零点个数为（ ）
（A）3.
（B）2.
（C）1.
（D）0. (1993年)
⑶若
，在
内
，
，则
在
（） （A）
. （B）
. （C）
. （D）
.(1993年) ⑷设
则
在
处的 （ ） （A）左、右导数都存在. （B）左导数存在，但右导数不存在. （C）左导数不存在，但右导数存在. （D）左、右导数都不存在. (1994年)
，证明不等式
(22)设函数
. (2002年)
在
的某领域内具有二阶连续导数，且
， 证明：存在唯一的一组实数
，使得 当
时，
是比
高阶的无穷小. (2002年) (23) 讨论曲线
与
的交点个数. (2003年) (24) 设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且
若极限
存在，证明： ① (a, b )内f(x)>0; ② 在(a, b)内存在点
，则当 时，有（ ）
（A） . （B） .
（C） . （D） . (2000年)
⒇若 ，则 为（ ）
(A)0. (B) 6. (C)36. (D)
. (2000年) (21) 设函数
在
内有界且可导，则 （ ） (A) 当
时，必有
. (B) 当
存在时，必有
. （C）当
时，必有
. (D) 当
存在时，必有
阶泰勒展开式. (1996年) ⑼ 设函数
由方程 所确定，试求 的驻点，并判别它是否为极值点. (1996年) ⑽设 在区间 上具有二阶导数，且 ， .证明存在 和 ，使 及 . (1996年) ⑾设 由
，所确定，求 . (1997年) ⑿就 的不同取值，确定方程： 在开区间
内根的个数，并证明你的结论. (1997年) ⒀设
. (2002年) (22) 设函数 连续，且
，则存在
，使得（ ） （A）
在
内单调增加.
（B） 在 内单调减少.
（C）对任意的 有 .
（D）对任意的 有 . (2004年)
三、解答题 ⑴设 ，其中 具有二阶导数，求 . (1993年) ⑵ 作半径为 的球的外切正圆锥，问此圆锥的高 为何值时，其体积 最小，并求出该最小值. (1993年) ⑶设 ，常数 ，证明 . (1993年)
，故。 五、求的最大值。 解：
, 又
，。
三、课内练习题
一、填空题（将正确答案填在横线上） 1、； 2、； 3、； 4、； 5、。
二、。 三、。 四、。 五、。 六、。
四、练习题答案
一、 1、2、 4、
二、 。
3、 5、
三、
四、 五、
。
。
一、填空题： ⑴ 函数
历年考研选题（导数、微分及应用）
由方程
所确定，则
1
+
0
－
－
－
－
－
－
0
+
增，凸 极大值 减，凸
拐点
减，凹
。Y
OX
综合题导数的应用 1、 客观题： 1、
A、任意 B、任意 C、单调增 D、单调增 2、设函数则下列成立的是（ ） A、 B、 C、 D、 3、曲线的渐近线有（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 4、已知， 若则（ ） A、 B、 C、为拐点 D、不是拐点 2、 K的不同的值，确定根 的个数。 解： 故为极小值点，且图形在上凹， ， 1） 3），有单根。 三、 证明：上以为高的矩形面积等于上以为曲边的梯形的面积；又，证 明唯一。 证：设， 即 唯一性： ，严格单调减，故唯一。 四、设证明： 1）；2） 证：1） ，而 ； 2）设
. （D）
. (1995年) ⑻设