2013高考数学专题复习攻略： 专题一第三讲 导数及其应用课件 理 新人教版

2
下：
x f′(x) f(x)

1 故 f(x)在区间(0， e]上的最小值为 f(e)＝ ＋aln e e 1 ＝ ＋a， e 1 1 －∞，－1. 由 ＋a<0，得 a<－ ，即 a∈ e e e
【归纳拓展】 利用导数研究函数的极值的一般 步骤： (1)确定定义域． (2)求导数f′(x)． (3)①若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检 验f′(x)在方程根左、右值的符号，求出极值．( 当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域 内) ②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方 程f′(x)＝0根的大小或存在情况，从而求解．
第三讲
导数及其应用
主干知识整合
1．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝
f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝
f′(x0)．
2．导数的四则运算法则 (1)[μ(x)± v(x)]′＝μ′(x)± v′(x)； (2)[μ(x)· v(x)]′＝μ′(x)v(x)＋μ(x)v′(x)； μ′xvx－μx· v′x μx (3)[ ]′＝ . 2 vx v x
变式训练
(2011 年北京东城一模)已知函数 f(x) 3 2 2. ＝x ＋ax －x＋c，且 a＝f′ 3 (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间； (3)设函数 g(x)＝[f(x)－x3]·x，若函数 g(x)在 x e ∈[－3,2]上单调递增，求实数 c 的取值范围．
线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义
可知，切线方程为x＝x0；
②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，
再求解．
变式训练 1 曲线 y＝x 在点(1,1)处的切线与 x 轴及直线 x＝1 所围成的三角形的面积为( ) 1 1 A. B. 12 6 1 C. 3 1 D. 2
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解析：选 B.求导得 y′＝3x ，所以 y′＝3x |x＝ 3 所以曲线 y＝x 在点(1,1)处的切线方程为 1＝3， y－1＝3(x－1)，结合图象易知所围成的三角形
变式训练2
设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相 切，求a，b的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值点．
解：(1)由题知 f′(x)＝3x －3a(a≠0)， 因为曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线 y＝8 相切，
立，
x2＋2x x＋1 2－1 1 即 a≥ ＝ ＝(x＋1)－ 对 x x＋1 x＋1 x＋1 ∈(－1,1)恒成立． 1 1 令 y＝(x＋1)－ ，则 y′＝1＋ 2>0. x＋1 x＋1 1 ∴y＝(x＋1)－ 在(－1,1)上单调递增． x＋1 1 3 ∴y<(1＋1)－ ＝ . 1＋1 2 3 ∴a≥ . 2
2
当 x∈(－∞，－ a)时，f′(x)>0，函数 f(x)单 调递增； 当 x∈(－ a， a)时，f′(x)<0，函数 f(x)单调 递减； 当 x∈( a，＋∞)时，f′(x)>0，函数 f(x)单调 递增． 综上可知 x＝－ a是 f(x)的极大值点， x＝ a是 f(x)的极小值点．
导数与函数的极值(最值)
所以 f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在 (x1，x2)上单调递增.8 分 当 0＜a＜2 时，有 x1＜1＜x2＜4，所以 f(x)在[1,4] 上的最大值为 f(x2).9 分 27 又 f(4)－f(1)＝－ ＋6a＜0，即 f(4)＜f(1).10 分 2 40 所以 f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4)＝8a－ ＝－ 3 16 .11 分 3 得 a＝1，x2＝2，从而 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(2) 10 ＝ .12 分 3
例1 设f(x)＝xln x＋1，若f′(x0)＝2，则f(x)在点
(x0，y0)处的切线方程为________．
【解析】
因为 f(x)＝xln x＋1， 1 所以 f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1. x 因为 f′(x0)＝2，所以 ln x0＋1＝2， 解得 x0＝e，y0＝e＋1. 由点斜式得，f(x)在点(e，e＋1)处的切线方程为 y－ (e＋1)＝2(x－e)，即 2x－y－e＋1＝0.
【得分技巧】
(1)求a的取值范围，关键转化为
f′(x)≥0，从而利用不等关系求a的取值范围．这 样可以得2～3分．
(2)第二个得分点是利用f(1)或f(4)求a的值，利
用求最值方法求最大值．
【失分溯源】 (1)考生在求解时， 利用 f′(x)≥0， 2 1 而忽略 x≠ ，从而错误求得 a≥－ . 3 9 (2)不会判断 f(x)在[1,4]哪一位置取得最小值，从 而求不出 a 的值，该点不能得分．
所以f′(2)＝0，即6(2a－2)＝0，因此a＝1.
经验证，当a＝1时，x＝2是函数y＝f(x)的极值
点．
(2)由题设，g(x)＝ax3 －3x2 ＋3ax2 －6x＝ax2(x ＋3)－3x(x＋2)． 当 g(x) 在 区 间 [0,2] 上 的 最 大 值 为 g(0) 时 ， 6 g(0)≥g(2)，即 0≥20a－24.故得 a≤ . 5 6 反之，当 a≤ 时，对任意 x∈[0,2]， 5
1 2，＋∞ 上存在单调 所以当 a＞－ 时，f(x)在 3 9 递增区间． 2，＋∞ 上存在单调递增区间时，a 即 f(x)在 3 －1，＋∞ .6 分 的取值范围为 9 1－ 1＋8a (2)令 f′(x)＝0，得两根 x1＝ ， 2 1＋ 1＋8a x2＝ ，7 分 2
x f′(x) f(x)
(0,1) － ↘
1 0 极小值
(1，＋∞) ＋ ↗
所以 x＝1 时，f(x)的极小值为 1. f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区 间为(0,1)． 1 a ax－1 (2)因为 f′(x)＝－ 2＋ ＝ 2 ，且 a≠0， x x x
1 令 f′(x)＝0，得 x＝ ， a 若在区间(0， e]上至少存在一点 x0， 使得 f(x0)<0 成立， 其充要条件是 f(x)在区间(0，e]上的最小值小于 0. 1 因为 a<0，所以 x＝ <0，f′(x)<0 对 x∈(0，＋ a ∞)成立， 所以 f(x)在区间(0，e]上单调递减，
2
2
2，0， 是直角三角形，三个交点的坐标分别是 3
1 2 (1,0)， (1,1)， 于是三角形的面积为 × 1－3 ×1 2 1 ＝ ，故选 B. 6
导数与函数的单调性
例2
已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，
e为自然对数的底数)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范
围．
【解】 (1)当 a＝2 时，f(x)＝(－x2＋2x)ex， x 2 x 2 ∴f′(x)＝(－2x＋2)e ＋(－x ＋2x)e ＝(－x ＋ x 2)e . 令 f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0， ∵ex>0，∴－x2＋2>0，解得－ 2<x< 2. ∴函数 f(x)的单调递增区间是(－ 2， 2)．
【答案】
2x－y－e＋1＝0 求曲线切线方程的步骤是：
【归纳拓展】
(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y
＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；
(2)在已知切点坐标P(x0，f(x0))和切线斜率的条
件下，求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)· (x－x0)．
注意：①当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切
3．复合函数求导 复合函y＝f(g(x))的导数和y＝f(u)，u＝g(x)的
导数之间的关系为gx′＝f′(u)g′(x)．
4．函数的单调性与导数的关系
在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在
区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，那么函数
f(x)在区间(a，b)上单调递减．
(2)∵函数f(x)在(－1,1)上单调递增，
∴f′(x)≥0对x∈(－1,1)恒成立．
∵f′(x)＝(－2x＋a)ex ＋(－x2 ＋ax)ex＝[－x2 ＋(a
－2)x＋a]ex，
∴[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈(－1,1)恒成立．
∵ex>0，∴－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1,1)恒成
f′2＝0， 34－a＝0， 所以 即 f2＝8， 8－6a＋b＝8.

解得 a＝4，b＝24. (2)因为 f′(x)＝3(x －a)(a≠0)． 所以①当 a<0 时，f′(x)>0，函数 f(x)在(－∞， ＋∞)上单调递增；此时函数 f(x)没有极值点． ②当 a>0 时，由 f′(x)＝0 得 x＝± a.
【归纳拓展】 利用导数研究函数单调性的一 般步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函 数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或 f′(x)<0. ②若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0 或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．
5．函数的单调性与极值的关系 一般地，对于函数y＝f(x)，且在点a处有f′(a)＝0. (1)若在x＝a附近的左侧导数小于0，右侧导数大 于0，则f(a)为函数y＝f(x)的极小值． (2)若在x＝a附近的左侧导数大于0，右侧导数小 于0，则f(a)为函数y＝f(x)的极大值．
高考热点讲练
导数的几何意义
例3
1 已知函数 f(x)＝ ＋aln x(a≠0，a∈R)． x