Lyapunov稳定性理论概述
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李雅普诺夫稳定性理论
x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
3.平衡状态：
xe f (xe , t) 0 xe 系统的平衡状态 a.线性系统 x Ax x Rn
A非奇异： Axe 0 xe 0
A奇异：
Axe 0 有无穷多个 xe
b.非线性系统
x f (xe ,t) 0 可能有多个 xe
Pij Pji
x x1 x2 xn T
李氏第二法稳定性定理
设 x f (x,t) 1)在 xe 满足 f (0,t) 0
2） xe 0 V (x, t)存在
定理1
若1)
V
(
x,
t
)
正定 xe
2)
V ( x, t )
负定
则 xe渐近稳定
3)若 x V (x)
eg. x1 x1
x2 x1 x2 x23
令 x1 0 x2 0
xe 1
0
0
0 xe3 1
0 xe2 1
5.2李雅普诺夫意义下的稳定
1.李氏意义下的稳定
如果对每个实数 0 都对应存在另一个
实数 ( ,t0 ) 0 满足 x0 xe (,t0)
则平衡状态 xe 是不稳定的
推论1 若 1)V (x,t)正定 2)V(x,t)正半定
3)x 0 V(x,t) 0 则 xe不稳定
推论2 若 1)V (x,t)正定 2)V(x,t)正半定
3)x 0 V(x,t) 0 则 xe 是李雅普
诺夫意义下的稳定
选取李氏函数的方法
1）构造一个二次型函数 V (x,t)
lyapunov稳定性定理
lyapunov稳定性定理
利亚普诺夫稳定性定理（Lyapunov Stability Theorem）又称Lyapunov稳定性理论，是动力系统的重要理论。
它指出系统在某一特定的时刻，状态小波动就代表它处于局部稳
定状态，通常多用在系统的辨识与控制中。
利亚普诺夫稳定性定理的研究始于19世纪末的俄罗斯数学家A.A.利亚普诺夫
（A.A.Lyapunov），他为了提出一种新的考虑系统稳定性的方法，建立了系统稳定性理论，他发现当系统受到轻微外界干扰时，系统原有状态稳定。
也就是系统可以从初始条件处来
改变，但当线性变化改变系统状态时，系统不会有大的变化，即系统对外力具有一定的抗
冲击能力，从而使系统状态保持稳定。
此外，利亚普诺夫稳定性定理还表明，动力系统内的任意状态都可以分析，并且可以
在限定的正负范围内变化，以达到稳定的状态。
因此，本定理可以用于设计稳定系统，通
过这种稳定性定理可以比较有效地设计出省电系统和多遥控系统，减少自控系统的延时及
响应时间。
此外，利亚普诺夫稳定性定理还可以用来测试非线性系统的稳定性，它可以为控制理
论提供一个稳定分析的方法，有助于我们对扰动的变换的分析，它可以推导出系统的状态
变化及状态变化的范围等结果。
综上所述，利亚普诺夫稳定性定理是目前最有效的动力系统理论，它不仅帮助我们充
分理解系统内部状态的转变和变化，而且可以有效控制系统状态，这对提高系统运行的稳
定性和可靠性具有重要的意义。
李雅普诺夫稳定性的基本定理描述
欲讨论系统在平衡态xe的稳定性，先必须将非线性向量函数 f(x)在平衡态附近展开成Taylor级数，即有
f ( x ) x f ( xe ) x τ
( x -xe ) R( x -x e )
x xe
A( x -xe ) R( x -xe ) x xe
其中A为nn维的向量函数f(x)与x间的雅可比矩阵; R(x-xe)为Taylor展开式中包含x-xe的二次及二次以上的余项。
Lyapunov稳定性的基本定理
主要研究Lyapunov意义下各种稳定性的判定定理和判定方法。 讨论的主要问题有:
基本概念: 矩阵和函数的定号性 (正定性、负定性等)
基本方法: 非线性系统线性化方法
Lyapunov第一法 Lyapunov's first method 矩阵符号(正定性、负定性等)检验方法 Lyapunov第二法 Lyapunov's second method 重点、难点!
若系统平衡态渐近稳定，则系统经激励后，其储存 的能量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时， 其能量达到最小值。
反之，若平衡态不稳定，则系统将不断地从外界吸 收能量，其储存的能量将越来越大。 基于这样的观点，只要能找出一个能合理描述动态系统 的n维状态的某种形式的能量正性函数，通过考察该函 数随时间推移是否衰减，就可判断系统平衡态的稳定性。
11.2 Lyapunov第一方法
Lyapunov第一法又称间接法（indirect method）, 它是研究 动态系统的一次近似数学模型(线性化模型)稳定性的方法。 它的基本思路是: 首先，对于非线性系统，可先将非线性状态方程在平衡 态附近进行线性化,
即在平衡态求其一次Taylor展开式 (Taylor expansion) 然后，利用这一次展开式表示的线性化方程去分析 系统稳定性。
李雅普诺夫稳定性
x bx5
这时线性化方法不能用来判断它的稳定性。
李雅普诺夫理论基础
例：证明下面单摆的平衡状态 ( , 0) 是不稳定的。
MR2 b MgR sin 0
式中 R 为单摆长度，M 为单摆质量， b 为铰链的摩擦系数，
g 是重力常数。(系统的平衡点是什么？)
在 的邻域内
sin sin cos ( ) h.o.t. ( ) h.o.t. 设 ~ ，那么系统在平衡点附近的线性化结果是
以速度 1 指数收敛于 x 0 。
例2：系统 x x2 , x(0) 1它的解为 x 1/(1 t)，是个慢于任 何指数函数 et ( 0) 的函数。
3、局部与全部稳定性
定义：如果渐近（或指数）稳定对于任何初始状态都能 保持，那么就说平衡点是大范围渐近（或指数）稳定的， 也称为全局渐近（或指数）稳定的。
李雅普诺夫理论基础
§2.2 线性化和局部稳定性
李雅普诺夫线性化方法与非线性系统的局部稳定性有关。
Lyapunou线性化方法说明：在实际中使用线性控制方法基
本上是合理的。
对于自治非线性系统 x f (x) ，如果 f (x) 是连续可微的,那
么系统的动态特性可以写成( f (0) 0 )：
x
f x
李雅普诺夫理论基础
第二章 Lyapunov理论基础
稳定性是控制系统关心的首要问题。
稳定性的定性描述：如果一个系统在靠近其期望工作点的某 处开始运动，且该系统以后将永远保持在此点附近运动， 那么就把该系统描述为稳定的。
例如：单摆，飞行器 李雅普诺夫的著作《动态稳定性的一般问题》，并于1892
年首次发表。 1. 线性化方法：从非线性系统的线性逼近的稳定性质得出非
现代控制理论-08(Lyapunov稳定)
故该函数是系统的一个李雅普诺夫函数。 表明：可以有多个李雅普诺夫函数。
定理4.2.3 设原点是系统 x (t ) = f ( x (t ), t ) 的平衡状态， 若存在标量函数 V ( x , t ) ，满足 （1） V ( x , t ) 在原点附近的某个邻域内是正定的； （2）dV ( x , t ) dt 在同样邻域内也是正定的。 则系统在原点处是不稳定的。 例 分析系统的稳定性
因此，根据定理4.2.2，系统是渐近稳定的。 针对以上例子，对 由于
1 2 V ( x ) = [( x1 + x2 ) 2 + 2 x12 + 2 x2 ] 2
dV ( x ) dt = ( x1 + x2 )( x1 + x2 ) + 2 x1 x1 + 2 x2 x2
2 = −( x12 + x2 ) < 0
2 2 = 2 x1[ x2 − x1 ( x12 + x2 )] + 2 x2 [− x1 − x2 ( x12 + x2 )] 2 = −2( x12 + x2 ) 2
上式是负定的。因此 V (x ) 是系统的李雅普诺夫函数， 且V (x ) 是径向无界的。
几何解释： 由 V (x ) = x + x = C 确定的图形
例4.3.1 应用李雅普诺夫方法分析系统稳定性。
1⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 ⎢ ⎥ ⎢x ⎥ = ⎢ − 1 − 1⎥ ⎣ x 2 ⎦ ⎦ ⎣ 2⎦ ⎣
解 原点是系统的惟一平衡点。解方程
AT P + PA = − I
系统是二阶的，故
⎡0 − 1⎤ ⎡ p11 ⎢1 − 1⎥ ⎢ p ⎣ ⎦ ⎣ 12
李雅普诺夫稳定性理论
性的综合效果。
1.2
李雅普诺夫稳定性及判别方法
线性系统稳定性分析的理论框架 稳定性分析 解析 方法 SISO的代数 分析方法 Routh判据 Houwitz判据 1892年俄国数学 家李雅普诺夫 第一 方法 第二 方法
根据SISO闭环特 征方程的系数判 定系统的稳定性
根据状态方程A阵 判定系统的稳定性
线性系统的稳定判据
线性定常系统 ∑＝（A，b，c）
x Ax bu
y cx
（1-4）
平衡状态 xe 0 渐进稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。 以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义上看， 往往更重视系统的输出稳定性。
1.2
李雅普诺夫稳定性及判别方法
1.2
李雅普诺夫稳定性及判别方法
与稳定性相关的几个定义
x xe ：状态向量x与平衡状态 xe 的距离。
点集s()：以xe为中心，为半径的超球体。 若xs() ： x xe ，其中 x xe 为欧几里德范数。 则
当很小时，则称s()为xe的邻域。
如系统的解 x (t ; x0 , t0 ) 位于球域s()内，则：
x f [ x, t ]
x (t , x0 , t0 )
(1-2)
式(1-2)描述了系统(1-1)在n维状态空间中从初始条件(t0 x0 ) 出发的一条状态运动的轨迹，简称为系统的运动和状态轨线。
1.2
李雅普诺夫稳定性及判别方法
系统的平衡状态：若系统(1-1)存在状态矢量 xe ，对所有t， 使得： f ( xe , t ) 0 (1-3)
大范围渐 近稳定
渐近稳定
1.2
李雅普诺夫稳定性及判别方法
1.2
李雅普诺夫稳定性及判别方法
线性系统稳定性分析的理论框架 稳定性分析 解析 方法 SISO的代数 分析方法 Routh判据 Houwitz判据 1892年俄国数学 家李雅普诺夫 第一 方法 第二 方法
根据SISO闭环特 征方程的系数判 定系统的稳定性
根据状态方程A阵 判定系统的稳定性
线性系统的稳定判据
线性定常系统 ∑＝（A，b，c）
x Ax bu
y cx
（1-4）
平衡状态 xe 0 渐进稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。 以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义上看， 往往更重视系统的输出稳定性。
1.2
李雅普诺夫稳定性及判别方法
1.2
李雅普诺夫稳定性及判别方法
与稳定性相关的几个定义
x xe ：状态向量x与平衡状态 xe 的距离。
点集s()：以xe为中心，为半径的超球体。 若xs() ： x xe ，其中 x xe 为欧几里德范数。 则
当很小时，则称s()为xe的邻域。
如系统的解 x (t ; x0 , t0 ) 位于球域s()内，则：
x f [ x, t ]
x (t , x0 , t0 )
(1-2)
式(1-2)描述了系统(1-1)在n维状态空间中从初始条件(t0 x0 ) 出发的一条状态运动的轨迹，简称为系统的运动和状态轨线。
1.2
李雅普诺夫稳定性及判别方法
系统的平衡状态：若系统(1-1)存在状态矢量 xe ，对所有t， 使得： f ( xe , t ) 0 (1-3)
大范围渐 近稳定
渐近稳定
1.2
李雅普诺夫稳定性及判别方法
Lyapunov稳定性理论李雅普诺夫
时，从任意初态出发的解始终位于以 x e 为球心，半径为 的闭 球域S ( ) 内，即
x(t; x0 , t0 ) xe , t t0
则称系统的平衡状态 x 在李雅普诺夫意义下稳定。
e
当系统做不衰减的震荡运动
时，将描绘出一条封闭曲线 ，只要不超出 S ( ) ，则认为是 稳定的。
0 6 2 例： 设系统方程为：x x u , 1 1 1 试确定其外部稳定性、内部稳定性。
y 0 1x
解 （1）系统的传递函数为：
s 6 2 ( s 2) 1 W(s) CsI A B 0 1 1 s 1 1 ( s 2)( s 3) ( s 3)
系统每个平衡点不稳定。
第一法在非线性系统中的应用 对于非线性系统，可以在一定条件下用它的近似线性化模 型来研究它在平衡状态的稳定性。
非线性系统： x f (x,t )
将f(x)在x e 邻域展成泰勒级数 : f f(x,t )=f(x e ,t )+ x f x x
x xe
(x-x e ) R(x) (高阶项之和)
Ax x
e Ax e 0 x
平衡状态：
A 0 xe 0 一个平衡状态——状态空间原点 A 0
无穷多个平衡状态
非线性系统：
f (x, t ) x
平衡状态： x e f (x e , t ) 0 一般有多个平衡状态
例：
1 x1 x 3 x x x x 1 2 2 2
稳定性与李雅普诺夫方法
稳定性：
控制系统本身处于平衡状态。受到扰动，产生偏差，
在扰动消失后，由偏差状态逐渐恢复到原来平衡状态的性能。
第4章 Lyapunov稳定性分析
1/ 2 1 1 1 det ( 1) 4 2 2 1/ 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 , 1 2 2 0, 2 2 2 0
自主技术与智能控制研究中心
x2 k 2 x2 g x2 半负定。 k m l sin x1 m x2
二、 Lyapunov 稳定性判别
1 x2 x 例 :已知系统 , 用李亚普诺夫函数 2 x1 x2 x 方法判断其稳定性.
2
自主技术与智能控制研究中心
二、 Lyapunov 稳定性判别
3、Lyapunov 稳定性判别定理
f ( x)，设xe 0为一平衡点. 考虑系统 x 如果存在连续可微的标量函数V ( x)满足 1）V ( x)是正定的； V ( x) 2） V ( x) f ( x)是半负定的； x x 则系统的平衡点xe 0是Lyapunov稳定的。
线性系统理论基础 第四章
Lyapunov稳定性分析
自主技术与智能控制研究中心
内容与要点
内容 要点
一．Lyapunov稳定性概念 平衡点,稳定性,渐近稳定性,
全局渐近稳定性 二．Lyapunov稳定性判据 稳定性判据,渐近稳定性判 据,全局渐近稳定性判据 三．连续时间线性系统的 间接法判据，直接法判据
1
V
V ( x(t ))
x2
x(t )
自主技术与智能控制研究中心
二、 Lyapunov 稳定性判别
例: 研究单摆在(0,0)点的稳定性
解 : (1) 选择李亚普诺夫函数
2 g x2 V ( x) (1 cos x1 ) l 2 (2) 稳定性判断
自主技术与智能控制研究中心
x2 k 2 x2 g x2 半负定。 k m l sin x1 m x2
二、 Lyapunov 稳定性判别
1 x2 x 例 :已知系统 , 用李亚普诺夫函数 2 x1 x2 x 方法判断其稳定性.
2
自主技术与智能控制研究中心
二、 Lyapunov 稳定性判别
3、Lyapunov 稳定性判别定理
f ( x)，设xe 0为一平衡点. 考虑系统 x 如果存在连续可微的标量函数V ( x)满足 1）V ( x)是正定的； V ( x) 2） V ( x) f ( x)是半负定的； x x 则系统的平衡点xe 0是Lyapunov稳定的。
线性系统理论基础 第四章
Lyapunov稳定性分析
自主技术与智能控制研究中心
内容与要点
内容 要点
一．Lyapunov稳定性概念 平衡点,稳定性,渐近稳定性,
全局渐近稳定性 二．Lyapunov稳定性判据 稳定性判据,渐近稳定性判 据,全局渐近稳定性判据 三．连续时间线性系统的 间接法判据，直接法判据
1
V
V ( x(t ))
x2
x(t )
自主技术与智能控制研究中心
二、 Lyapunov 稳定性判别
例: 研究单摆在(0,0)点的稳定性
解 : (1) 选择李亚普诺夫函数
2 g x2 V ( x) (1 cos x1 ) l 2 (2) 稳定性判断
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函数。
三， Lyapunov函数的构造
Lyapunov直接法的核心技巧是构造Lyapunov函数，虽然人们针对不同实
际问题已经运用多种方法(能量函数法、类比法、梯度法、变梯度法、微分矩方
法等)具体构造出满足需要的Lyapunov函数，并获得了广泛的承认，但构造
Lyapunov函数的方法仍无一般规律可循，纯粹是研究工作者本人的经验和技
ϕ 适的Lyapunov函数．任何函数ϕ(V )( / > 0) 也是，故有无穷多个．如果写成定理
形式，系统的平衡位置有某种稳定性的充分必要条件是存在1个合适的Lyapunov
函数V，它的导数 dV 满足定理条件，值得注意的是证明充分性时所用的Lyapunov dt
函数与证明必要性时所找到的Lyapunov函数不一定也不必要是同一个Lyapunov
方法实际问题中应用较少。
下面，我们运用上面所述的方法1和方法2对一个具体系统构造出它的
Lyapunov函数。
形如
dx = Ax + f (x) dt f (0) = 0, f (x) → 0(x → 0)
x
（4）
的非线性系统，如果不知道A是否稳定，可尝试构造 V = XT B X (B正定)
沿其解计算得：
t>t0 时不恒为零,那么该平衡态 x0 亦是不稳定的。
由此，我们可以对Lyapunov稳定性判别方法做一个归纳总结，如下表：
V(x) 正定(>0) 正定(>0)
正定(>0) 正定(>0) 正定(>0)
V/（x） 负定(<0) 半负定(≤0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态
的解) 半负定(≤0)且恒为0 (对某一非零的初始状态
不过，这种可逆性的证的，并不能轻易构造出它的解析表达式来．而满足定理条件的 Lyapunov函数，只要找到了1个(具体构造出来)就等于找到了无穷多个。例如， 若V是满足某定理要求的Lyapunov函数，则CV(对于任意的C>0)也是满足该定理合
巧．这些方法都是试探性的，没有构造性的必然成功程序可言。
这当然是一个遗憾，但也正因为如此原则性与灵活性高度统一，反而留给
了人们更加广阔的施展才华的机会，鼓励那些“勤于思考，锲而不舍，锐利进取，
精益求精”的人去砂里淘金。所以有人说过：“谁能构造出一个巧妙的Lyapunov
函数，谁就能得出一批好结果，谁就能发表一批好的文章”．这是一位权威学者
数稳定，则可以任意给定负定矩阵-C，作 V = xT B x，其中B为线性矩阵不等式
BA+ATB=-C的解。这是根据上述方法2的思想所做出的构造过程。
四， Lyapunov方法的发展
世界著名数学大师Hirsch和Smale在他们的专著《常微分方程·动力系统·线
性代数》的序言中谈到：“有人说常微分方程这一学科是求解技巧和提示的汇集，
dV = XTBX + XTBX dt
= XT(BA + ATB)X + XTBf(x) + fT (x) BX
(5)
若BA+ATB负定，立即可断言平系统(5)的平衡位置x=O指数稳定，还可以根据
λ （BA+ATB）来估计x =0的吸引域。这是根据上述方法1的思想做的推导。 max 如果已知A为Hurwitz矩阵，只是希望知道非线性系统在多大的区域内仍然指
一， 稳定性的概念
初始值的微分变化对不同系统的影响不同，例如初始值问题
dx = ax ， x(0)=x0 , t≥0，x0≥0
(1)
dt
x e 的解为 x(t) = 0 at ，而x=0 是(1)式的一个解。当a f 0时，无论|x0|多小，只要
|x0| ≠ 0 ,在t→+∞时，总有x（t）→ ∞，即初始值的微小变化会导致解的误
二， Lyapunov稳定性定理
Lyapunov第二法（即直接法）探讨了一个二维自治系统的稳定性，并在这些 原始几何思想的基础之上，经由分析语言的提炼概括，给出了1条稳定性定理，1 条渐近稳定性定理和2条不稳定性定理，这几条定理被誉为稳定性的基本定理， 为稳定性理论奠定了牢固的基础。 1， 稳定性定理
设系统的状态方程为x/ = f( x ,t),其中 x0 = 0 为其平衡态。若存在一个有 连续一阶偏导数的正定函数V (x ,t),满足下述条件:
1) V /(x,t)为非正定(半负定)的,则该系统在原点处的平衡态是一致稳定 的；
2) 更进一步,若V(x,t)的定义域Ω为Rn,对任意的t0和任意x(t0)≠0,V’(x,t) 在t>t0时不恒为零,那么该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的,否则将仅 是一致稳定而非一致渐近稳定。
的解) 正定(>0) 半正定(≥0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态
的解)
结论 该平衡态渐近稳定
该平衡态渐近稳定
该平衡态稳定 但非渐近稳定
该平衡态不稳定
该平衡态不稳定
经过艰苦的研究证明，学者们发现，在上述三种定理中，只有Lyapunov的 渐近稳定性定理不可逆，其他定理，包括推广的一致稳定、一致渐近稳定、指数 稳定、全局指数稳定及不稳定定理等所有定理，都是可逆的。
x e 差任意大，而当a ≺0时， x(t) = 0 at 。与零解的误差不会超过初始误差x0，且随
着t 值的增加很快就会消失，所以，当|x0|很小时，x(t)与零解的误差也很小。
这个例子表明a f 0时的零解是“稳定”的。下面，我们就给出微分方程零解稳
定的严格定义。
设微分方程
R dx
dt
=
f
(t, x) ，
前，大部分V函数的构造，都是用这种试探凑合法。 2，倒推V函数法
先设计 dV 负定(或半负定)，然后积分求出V ，来看V是否正定。若正定， dt
便能断定系统平衡位置渐近稳定(稳定)；否则，也只好重新再找其它合适的V函
数。
3，微分矩方法 同时构造V和 dV ，看能否满足所需条件，即所谓微分矩方法。然而，这种 dt
Lyapunov稳定性理论概述
稳定性理论是19 世纪80 年代由俄国数学家Lyapunov创建的，它在自动控 制、航空技术、生态生物、生化反应等自然科学和工程技术等方面有着广泛的应 用，其概念和理念也发展得十分迅速。通过本学期“力学中的数学方法”课程的 学习，我对此理论的概况有了一些认识和体会，总结于本文中。
此时,随着||x||→∞,有V(x,t)→∞,则该系统在原点处的一致渐近稳定平衡 态是大范围一致渐近稳定的。 2， 渐近稳定性定理
设系统的状态方程为 x/ = f( x, t)
其中x0=0为其平衡态。 若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t),满足下述条件: 1) 若V /(x,t)为负定的,则该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的; 2) 更进一步，若随着||x||→∞,有V(x,t)→∞,那么该系统在原点处的平衡 态是大范围一致渐近稳定的。 3， 不稳定性定理
设系统的状态方程为x/ = f(x, t),其中 x0 = 0 为其平衡态。若存在一个有
连续一阶偏导数的正定函数V (x, t),满足下述条件:
1) V /(x,t)为正定的,则该系统在原点处的平衡态是不稳定的;
2) 若V /(x,t)为非负定的,且对任意的t0和任意的x(t0) ≠ 0, V /(x,t) 在
这个学期的学习内容很丰富，最使我着迷的是稳定性理论的部分，它帮助我 认识到了稳定性问题的实质和重要性，并让我有机会较为系统的接触到了 Lyapunov方法，以上便是我的一些相关的学习心得总结。
x(t0)=x0 , x∈
n
(2)
满足解存在唯一定理的条件，其解x(t)=x(t，t0，x0)的存在区间是 (−∞,+∞) ，f(t，
x)还满足条件：
f (t，0)=0
(3)
(3)式保证了x(t) = 0 是(2)式的解，我们称它为零解。
这里给出定义1：若对任意给定的ε > 0，都能找到δ=δ(ε,t0),使得当 ||x0||<δ时的解满足x ( t,x0 , x0 ) || x ( t, t0 , x0 ) || <ε, t ≥ t0 , 则 称(2)式的零解是稳定的，否则称(2)式的零解是不稳定的。
并说它所以重要，是因为它能解决物理学、工程学等方面的问题．我们认为这一
门学科可以相当统一而连贯地进行阐述，常微分方程对于其它学科领域的重要 性，在于它能启发、统一并推进这些学科领域。了解常微分方程与其它学科之问 是如何联系的，对于学生及数学工作者来说，是获得洞察力和启示的一种主要源 泉”。
如果将这段深刻而具有独特见解的话，应用到常微分方程中的Lyapunov稳定 性，可以豪不夸张地说，Lyapunov在常微分方程中首创的稳定性理论和方法，不 仅给人启迪，给人以洞察力，而且给人以智慧，给人以思想，锻炼人分析问题、 解决问题的能力。
的肺腑之言。
关于如何构造Lyapunov函数，这里简要介绍了3种试探凑合的原则性方法。 1, 凑合V函数法
先试探构造出正定的函数V(或变号V)，然后沿系统之解对 V求导数 dV ，看 dt
条件能否保证 dV 负定、半负定。如能，便可断定系统的平衡位置是渐近稳定(不 dt
稳定)、稳定的，否则任何结论也不能得到，只得再找其它的Lyapunov函数V。目
三， Lyapunov函数的构造
Lyapunov直接法的核心技巧是构造Lyapunov函数，虽然人们针对不同实
际问题已经运用多种方法(能量函数法、类比法、梯度法、变梯度法、微分矩方
法等)具体构造出满足需要的Lyapunov函数，并获得了广泛的承认，但构造
Lyapunov函数的方法仍无一般规律可循，纯粹是研究工作者本人的经验和技
ϕ 适的Lyapunov函数．任何函数ϕ(V )( / > 0) 也是，故有无穷多个．如果写成定理
形式，系统的平衡位置有某种稳定性的充分必要条件是存在1个合适的Lyapunov
函数V，它的导数 dV 满足定理条件，值得注意的是证明充分性时所用的Lyapunov dt
函数与证明必要性时所找到的Lyapunov函数不一定也不必要是同一个Lyapunov
方法实际问题中应用较少。
下面，我们运用上面所述的方法1和方法2对一个具体系统构造出它的
Lyapunov函数。
形如
dx = Ax + f (x) dt f (0) = 0, f (x) → 0(x → 0)
x
（4）
的非线性系统，如果不知道A是否稳定，可尝试构造 V = XT B X (B正定)
沿其解计算得：
t>t0 时不恒为零,那么该平衡态 x0 亦是不稳定的。
由此，我们可以对Lyapunov稳定性判别方法做一个归纳总结，如下表：
V(x) 正定(>0) 正定(>0)
正定(>0) 正定(>0) 正定(>0)
V/（x） 负定(<0) 半负定(≤0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态
的解) 半负定(≤0)且恒为0 (对某一非零的初始状态
不过，这种可逆性的证的，并不能轻易构造出它的解析表达式来．而满足定理条件的 Lyapunov函数，只要找到了1个(具体构造出来)就等于找到了无穷多个。例如， 若V是满足某定理要求的Lyapunov函数，则CV(对于任意的C>0)也是满足该定理合
巧．这些方法都是试探性的，没有构造性的必然成功程序可言。
这当然是一个遗憾，但也正因为如此原则性与灵活性高度统一，反而留给
了人们更加广阔的施展才华的机会，鼓励那些“勤于思考，锲而不舍，锐利进取，
精益求精”的人去砂里淘金。所以有人说过：“谁能构造出一个巧妙的Lyapunov
函数，谁就能得出一批好结果，谁就能发表一批好的文章”．这是一位权威学者
数稳定，则可以任意给定负定矩阵-C，作 V = xT B x，其中B为线性矩阵不等式
BA+ATB=-C的解。这是根据上述方法2的思想所做出的构造过程。
四， Lyapunov方法的发展
世界著名数学大师Hirsch和Smale在他们的专著《常微分方程·动力系统·线
性代数》的序言中谈到：“有人说常微分方程这一学科是求解技巧和提示的汇集，
dV = XTBX + XTBX dt
= XT(BA + ATB)X + XTBf(x) + fT (x) BX
(5)
若BA+ATB负定，立即可断言平系统(5)的平衡位置x=O指数稳定，还可以根据
λ （BA+ATB）来估计x =0的吸引域。这是根据上述方法1的思想做的推导。 max 如果已知A为Hurwitz矩阵，只是希望知道非线性系统在多大的区域内仍然指
一， 稳定性的概念
初始值的微分变化对不同系统的影响不同，例如初始值问题
dx = ax ， x(0)=x0 , t≥0，x0≥0
(1)
dt
x e 的解为 x(t) = 0 at ，而x=0 是(1)式的一个解。当a f 0时，无论|x0|多小，只要
|x0| ≠ 0 ,在t→+∞时，总有x（t）→ ∞，即初始值的微小变化会导致解的误
二， Lyapunov稳定性定理
Lyapunov第二法（即直接法）探讨了一个二维自治系统的稳定性，并在这些 原始几何思想的基础之上，经由分析语言的提炼概括，给出了1条稳定性定理，1 条渐近稳定性定理和2条不稳定性定理，这几条定理被誉为稳定性的基本定理， 为稳定性理论奠定了牢固的基础。 1， 稳定性定理
设系统的状态方程为x/ = f( x ,t),其中 x0 = 0 为其平衡态。若存在一个有 连续一阶偏导数的正定函数V (x ,t),满足下述条件:
1) V /(x,t)为非正定(半负定)的,则该系统在原点处的平衡态是一致稳定 的；
2) 更进一步,若V(x,t)的定义域Ω为Rn,对任意的t0和任意x(t0)≠0,V’(x,t) 在t>t0时不恒为零,那么该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的,否则将仅 是一致稳定而非一致渐近稳定。
的解) 正定(>0) 半正定(≥0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态
的解)
结论 该平衡态渐近稳定
该平衡态渐近稳定
该平衡态稳定 但非渐近稳定
该平衡态不稳定
该平衡态不稳定
经过艰苦的研究证明，学者们发现，在上述三种定理中，只有Lyapunov的 渐近稳定性定理不可逆，其他定理，包括推广的一致稳定、一致渐近稳定、指数 稳定、全局指数稳定及不稳定定理等所有定理，都是可逆的。
x e 差任意大，而当a ≺0时， x(t) = 0 at 。与零解的误差不会超过初始误差x0，且随
着t 值的增加很快就会消失，所以，当|x0|很小时，x(t)与零解的误差也很小。
这个例子表明a f 0时的零解是“稳定”的。下面，我们就给出微分方程零解稳
定的严格定义。
设微分方程
R dx
dt
=
f
(t, x) ，
前，大部分V函数的构造，都是用这种试探凑合法。 2，倒推V函数法
先设计 dV 负定(或半负定)，然后积分求出V ，来看V是否正定。若正定， dt
便能断定系统平衡位置渐近稳定(稳定)；否则，也只好重新再找其它合适的V函
数。
3，微分矩方法 同时构造V和 dV ，看能否满足所需条件，即所谓微分矩方法。然而，这种 dt
Lyapunov稳定性理论概述
稳定性理论是19 世纪80 年代由俄国数学家Lyapunov创建的，它在自动控 制、航空技术、生态生物、生化反应等自然科学和工程技术等方面有着广泛的应 用，其概念和理念也发展得十分迅速。通过本学期“力学中的数学方法”课程的 学习，我对此理论的概况有了一些认识和体会，总结于本文中。
此时,随着||x||→∞,有V(x,t)→∞,则该系统在原点处的一致渐近稳定平衡 态是大范围一致渐近稳定的。 2， 渐近稳定性定理
设系统的状态方程为 x/ = f( x, t)
其中x0=0为其平衡态。 若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t),满足下述条件: 1) 若V /(x,t)为负定的,则该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的; 2) 更进一步，若随着||x||→∞,有V(x,t)→∞,那么该系统在原点处的平衡 态是大范围一致渐近稳定的。 3， 不稳定性定理
设系统的状态方程为x/ = f(x, t),其中 x0 = 0 为其平衡态。若存在一个有
连续一阶偏导数的正定函数V (x, t),满足下述条件:
1) V /(x,t)为正定的,则该系统在原点处的平衡态是不稳定的;
2) 若V /(x,t)为非负定的,且对任意的t0和任意的x(t0) ≠ 0, V /(x,t) 在
这个学期的学习内容很丰富，最使我着迷的是稳定性理论的部分，它帮助我 认识到了稳定性问题的实质和重要性，并让我有机会较为系统的接触到了 Lyapunov方法，以上便是我的一些相关的学习心得总结。
x(t0)=x0 , x∈
n
(2)
满足解存在唯一定理的条件，其解x(t)=x(t，t0，x0)的存在区间是 (−∞,+∞) ，f(t，
x)还满足条件：
f (t，0)=0
(3)
(3)式保证了x(t) = 0 是(2)式的解，我们称它为零解。
这里给出定义1：若对任意给定的ε > 0，都能找到δ=δ(ε,t0),使得当 ||x0||<δ时的解满足x ( t,x0 , x0 ) || x ( t, t0 , x0 ) || <ε, t ≥ t0 , 则 称(2)式的零解是稳定的，否则称(2)式的零解是不稳定的。
并说它所以重要，是因为它能解决物理学、工程学等方面的问题．我们认为这一
门学科可以相当统一而连贯地进行阐述，常微分方程对于其它学科领域的重要 性，在于它能启发、统一并推进这些学科领域。了解常微分方程与其它学科之问 是如何联系的，对于学生及数学工作者来说，是获得洞察力和启示的一种主要源 泉”。
如果将这段深刻而具有独特见解的话，应用到常微分方程中的Lyapunov稳定 性，可以豪不夸张地说，Lyapunov在常微分方程中首创的稳定性理论和方法，不 仅给人启迪，给人以洞察力，而且给人以智慧，给人以思想，锻炼人分析问题、 解决问题的能力。
的肺腑之言。
关于如何构造Lyapunov函数，这里简要介绍了3种试探凑合的原则性方法。 1, 凑合V函数法
先试探构造出正定的函数V(或变号V)，然后沿系统之解对 V求导数 dV ，看 dt
条件能否保证 dV 负定、半负定。如能，便可断定系统的平衡位置是渐近稳定(不 dt
稳定)、稳定的，否则任何结论也不能得到，只得再找其它的Lyapunov函数V。目