大学微积分l知识点总结二
微积分知识点简单总结
微积分知识点简单总结1. 函数的导数函数的导数描述了函数在某一点处的变化率，可以简单理解为函数的斜率。
导数的定义为函数在某一点处的极限，即$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$。
导数的计算可以使用求导法则，包括常数倍法则、幂函数法则、和差法则、乘积法则、商法则等。
2. 高阶导数函数的导数可以进行多次求导，得到的导数称为高阶导数。
高阶导数可以描述函数更加详细的变化情况，例如速度、加速度等概念。
3. 函数的微分微分是导数的一种形式，描述了函数在某一点附近的线性近似。
微分的定义为$dy=f'(x)dx$，可以理解为函数在某一点处的微小改变量。
微分可以用于估计函数的变化，以及在计算积分时的一些技巧和方法中。
4. 不定积分不定积分是积分的一种形式，用于求解函数的原函数。
不定积分的记号为$\intf(x)dx=F(x)+C$，其中$F(x)$为$f(x)$的一个原函数，$C$为积分常数。
不定积分的计算可以使用换元法、分部积分法、有理函数的积分等一系列的积分法则。
5. 定积分定积分是积分的一种形式，用于计算函数在一个区间上的累积变化。
定积分的计算可以使用牛顿-莱布尼茨公式，也可以使用定积分的近似计算法，如矩形法、梯形法、辛普森法等。
6. 微积分基本定理微积分基本定理是微积分的核心定理之一，描述了导数和积分的关系。
第一部分定理称为牛顿-莱布尼茨公式，表明了函数的不定积分可以表示为函数的定积分。
第二部分定理描述了定积分的求导运算，即若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$为$f(x)$的一个原函数。
7. 微分方程微分方程是微积分的一个重要应用，描述了含有未知函数及其导数的方程。
微分方程可以是常微分方程或偏微分方程，按照阶数、线性性质、系数等分类。
微分方程在物理、工程、经济等领域有着广泛的应用，例如描述物体的运动、电路的动态行为、人口增长等问题。
大学微积分期末复习重点
大学微积分期末复习重点对于许多大学生来说，微积分是一门具有挑战性的课程。
期末临近，掌握好复习重点能够帮助我们更有效地进行复习，提高考试成绩。
以下是大学微积分期末复习的重点内容。
一、函数与极限1、函数的概念和性质理解函数的定义，包括定义域、值域和对应关系。
熟悉常见函数的图像和性质，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
掌握函数的四则运算和复合函数的求法。
2、极限的概念和计算理解数列极限和函数极限的定义。
掌握极限的四则运算法则和存在准则。
熟练运用各种方法求极限，如代入法、等价无穷小替换、洛必达法则等。
3、无穷小与无穷大理解无穷小和无穷大的概念及其关系。
掌握无穷小的比较和运算。
二、导数与微分1、导数的概念理解导数的定义和几何意义。
掌握导数的物理意义和经济意义。
2、导数的计算熟练掌握基本初等函数的导数公式。
掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则。
会求隐函数和参数方程所确定的函数的导数。
3、微分的概念和计算理解微分的定义和几何意义。
掌握微分的计算方法和应用。
三、中值定理与导数的应用1、中值定理掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容和应用。
2、函数的单调性和极值利用导数判断函数的单调性。
求函数的极值和最值。
3、函数的凹凸性和拐点理解函数凹凸性的定义和判别方法。
求函数的拐点。
4、函数图形的描绘能够根据函数的导数和二阶导数的信息描绘函数的图形。
四、不定积分1、不定积分的概念和性质理解不定积分的定义和原函数的概念。
掌握不定积分的基本性质。
2、不定积分的计算熟练掌握基本积分公式。
掌握换元积分法和分部积分法。
五、定积分1、定积分的概念和性质理解定积分的定义和几何意义。
掌握定积分的基本性质。
2、定积分的计算掌握牛顿莱布尼茨公式。
会用换元积分法和分部积分法计算定积分。
3、定积分的应用会用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等。
六、反常积分1、无穷限反常积分理解无穷限反常积分的概念和收敛性的判别方法。
微积分知识点总结(期末考研笔记)
微积分知识点总结（期末考研笔记）一、第一章：极限与连续第一节：函数1.什么是函数？未知变量x通过某种固定的对应关系确定唯一变量y，称y是x的函数2.什么是复合函数？内层变量导出中间函数的值域，中间函数的值域满足外层函数的定义域，则外层变量是内层变量的复合函数。
3.什么是反函数？能“反”的函数，正函数能由x确定唯一的y与之对应，反函数则要求由y能确定唯一的x与之对应！4.什么是基本初等函数？幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数通过四则运算把基本初等函数组合构成初等函数5.特殊函数特殊定义的函数：高斯函数，符号函数，狄利克雷函数第二节：极限1.极限定义是什么？●数列极限定义(ε--N)，函数极限定义(ε--δ)、(ε--X)\large \epsilon：任意小的正数，可以是是函数值与极限值之差；也可以是数列项与极限值之差。
\large δ：是邻域半径。
2.极限的性质是什么？●唯一性极限存在必唯一。
从左从右逼近相同值。
●保号性极限两侧正负相同●有界性数列极限收敛，必有界，反之不成立；连续函数闭区间有界。
●列与子列同极限数列有极限，子列也存在相同极限；反之不成立。
●极限运算性质1、满足四则运算。
2、满足复合函数嵌套极限。
3、极限存在则左右极限相等。
●极限存在性质迫(夹)敛(逼)定理。
●两个重要极限x\to0 时，\frac{sinx}{x}=1；(1+x)^{1/x} 的1/x次方极限为e●几个特殊关系式●[0,\frac {\pi}{2} ] 时，sinx <x <tanx●x>0 时，\frac{x}{(x+1)} <ln(1+x) <x3.无穷小●什么是无穷小1、定义：自变量趋向某个边界时，f(x)\to 02、无穷小是函数变化极限值，而非确定具体值，即要多小，有多小，但不是0! 3、高阶、同阶、等价无穷小●常用的等价无穷小第三节：连续与间隔1.连续的定义1、该点有定义，且该点极限值等于函数值，则该处连续2、闭区间连续，左边界函数值等于右极限，区间内各点连续，右边界函数值等于左极限2.间断定义第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点。
大学微积分的知识点汇总
大学微积分的知识点汇总微积分是数学中的一门重要学科，也是大学数学课程中的一部分。
它主要包括微分学和积分学两个方面。
微分学研究函数的变化率和曲线的切线问题，而积分学研究函数与曲线的面积、体积以及累积等问题。
本文将从微分学和积分学两个方面对大学微积分的知识点进行汇总。
一、微分学1.函数的极限函数的极限是微积分的基本概念之一。
它描述了函数在某一点或正无穷、负无穷处的变化趋势。
例如，当自变量趋近于某一值时，函数的取值是否趋近于一个确定的值。
2.导数导数是函数在某一点的变化率。
它表示了函数在该点的切线的斜率。
导数可以用来解释函数的变化趋势，并且可以通过导数的性质求得函数的极值点和拐点等重要信息。
3.微分微分是导数的另一种形式。
它可以用来表示函数在某一点附近的变化情况。
微分可以用来近似计算函数的值，例如在物理学中的位移和速度之间的关系。
4.高阶导数高阶导数是导数的再次求导。
它描述了函数变化率的变化率。
高阶导数可以用来研究函数的凹凸性和函数曲线上的拐点。
二、积分学1.定积分定积分是对函数在一定区间上的面积进行求解。
它可以用来解决曲线下面积、体积、平均值等问题。
定积分可以通过定义求解，也可以通过积分的性质和定理进行计算。
2.不定积分不定积分是定积分的逆运算。
它可以用来求解函数的原函数。
不定积分可以通过积分表、基本积分公式和换元积分法等方法进行计算。
3.反常积分反常积分是对无界区间上的函数进行积分。
由于函数在无穷远处可能趋于无穷或趋于零，因此需要对反常积分进行特殊处理。
常见的反常积分有瑕积分和无穷积分。
4.积分应用积分的应用非常广泛。
它可以用来计算曲线的弧长、质心和转动惯量等物理量。
在经济学中，积分可以用来计算总收益、总成本和总利润等经济指标。
以上是大学微积分的知识点汇总。
微分学和积分学是微积分的两个重要方面，它们在数学和其他学科中有着广泛的应用。
掌握微积分的知识将有助于解决实际问题和深入理解数学的本质。
希望本文对你在学习微积分过程中有所帮助。
微积分知识点总结笔记
微积分知识点总结笔记微积分是数学中的一个重要分支，它涉及到了各种变化率、积分、微分和极限等概念。
在现代数学中，微积分是一门非常基础的学科，它广泛应用于物理、工程、经济学等领域。
本文将从微积分的基本概念、函数的极限、导数和微分、不定积分和定积分、微分方程等方面对微积分的知识点进行总结。
1.微积分的基本概念微积分的基本概念包括函数、极限、导数和积分。
首先，函数是自变量到因变量的映射规律，通常用f(x)或y来表示。
当自变量x的取值逐渐接近某一数值时，函数值f(x)也有着确定的趋势，这种趋势称为极限。
导数是函数在某一点处的变化率，而积分则是对函数在某一区间上的累积效应。
2.函数的极限函数的极限是微积分中的基础概念之一，它用来描述自变量趋于某一数值时，函数值的变化情况。
数学上通常用极限符号lim来表示，比如lim(x->a)f(x)=L表示当x趋近a时，函数f(x)的极限是L。
在微积分中，函数的极限经常用来计算导数和积分，因此对于函数的极限有着很重要的意义。
3.导数和微分导数是函数在某一点处的变化率，它描述了函数在这一点附近的近似线性变化。
导数的计算可以通过极限的方法进行，通常用f'(x)或dy/dx来表示。
微分是导数的积分形式，它表示了函数的微小变化。
在实际中，导数和微分常用来描述函数的变化趋势和优化问题，比如求解最大值、最小值和函数图像的曲线斜率等。
4.不定积分和定积分不定积分是对函数的积分形式，它表示了函数在某一区间上的累积效应。
通常用∫f(x)dx来表示，它求解的是函数的原函数。
定积分则是对函数在某一区间上的定量描述，它表示了函数曲线与x轴之间的面积。
在微积分中，不定积分和定积分是密切相关的，它们有着许多重要的性质和应用，比如面积、体积、弧长、曲线图形的面积等。
5.微分方程微分方程是描述变化规律的数学方程，它由未知函数、自变量和导数等组成。
微分方程在物理、工程、生物等领域中有着广泛的应用，它可以用来描述各种自然现象的变化规律，比如弹簧振动、电路运行、生物种群的增长和衰减等。
微积分笔记整理
微积分笔记整理以下是一份微积分笔记整理的示例，涵盖了微积分的一些关键概念和公式：一、导数（Derivative）1. 定义：函数在某一点的切线斜率。
2. 公式：$(f(x+h)-f(x))\div h$（当$h$趋近于$0$时）。
3. 导数的意义：- 函数的变化率。
- 曲线的切线斜率。
- 判断函数的单调性。
二、微分（Differential）1. 定义：函数在某一点的切线增量。
2. 公式：$df=f^\prime(x)dx$。
3. 微分的意义：- 切线的近似值。
- 函数的增量。
三、积分（Integral）1. 定义：函数在某个区间上的面积。
2. 公式：$\int_{a}^{b}f(x)dx$。
3. 积分的意义：- 函数的面积。
- 函数的平均值。
- 求导的逆运算。
四、微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）1. 牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula）：若$F^\prime(x)=f(x)$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$。
2. 不定积分（Indefinite Integral）：函数的原函数族。
3. 定积分（Definite Integral）：函数在某个区间上的确定积分值。
五、常见函数的导数和积分1. 常数函数：导数为$0$，积分为$cx$（$c$为常数）。
2. 线性函数：导数为常数，积分为$cx+d$（$c$、$d$为常数）。
3. 指数函数：导数为指数本身，积分为指数加$1$的反函数。
4. 对数函数：导数为$\frac{1}{x}$，积分为$x\ln|x|+c$。
5. 三角函数：正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为负的正弦函数；积分根据不同的三角函数有不同的公式。
微积分二知识点总结
微积分二知识点总结引言微积分是数学中的重要分支，用于研究函数的变化和曲线的性质。
微积分可以分为微分学和积分学两个部分。
本文将总结微积分二中的一些重要知识点，包括泰勒展开、泰勒级数、函数的傅里叶级数展开、常微分方程等内容。
泰勒展开和泰勒级数泰勒展开是函数在某一点附近用幂级数逼近的方法。
假设函数f(x)在x=a处具有n阶导数，那么泰勒展开可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + Rn(x)其中Rn(x)为余项，它表示当n趋向于无穷大时的误差。
泰勒级数是泰勒展开的一种特殊情况，当a=0时，泰勒展开可以简化为泰勒级数：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + ... + f^n(0)x^n/n! + Rn(x)泰勒级数的应用非常广泛，可以用来近似计算各种函数的值。
傅里叶级数展开傅里叶级数展开是一种将周期函数表示为正弦和余弦函数的线性组合的方法。
假设f(x)是一个周期为2π的函数，傅里叶级数展开可以表示为：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nx) + bn*sin(nx))其中a0、an和bn为函数f(x)的系数。
傅里叶级数展开的基本思想是将一个周期函数分解成多个简单的正弦和余弦函数的叠加。
这种表示方法在信号处理和频谱分析中非常有用。
常微分方程常微分方程是描述函数的变化规律与函数本身及其导数之间的关系的方程。
常微分方程可以分为一阶和二阶常微分方程。
一阶常微分方程可以表示为：dy/dx = f(x, y)其中f(x, y)为已知函数。
二阶常微分方程可以表示为：d^2y/dx^2 = f(x, y, dy/dx)常微分方程在物理学、工程学和经济学等领域中都有着广泛的应用。
总结微积分二是微积分的进阶课程，涵盖了泰勒展开、泰勒级数、函数的傅里叶级数展开、常微分方程等重要知识点。
微积分上重要知识点总结
微积分上重要知识点总结微积分是数学的一个重要分支，主要研究函数的变化率和积分，是应用数学和理论数学的基础。
以下是微积分的重要知识点总结。
1.限制和连续性微积分的基础是限制和连续性的概念。
限制是指函数在其中一点的极限值，可以通过求导来计算。
连续性是指函数在其中一区间上连续，也可以通过求极限来判断。
2.导数导数是描述函数在其中一点的变化率的量，表示函数的斜率或切线的斜率。
如果函数的导数存在，那么函数在该点处是可导的。
导数可以通过求极限的方法来计算。
3.基本导数一些基本函数的导数是我们需要熟记的，如常数函数的导数为0，幂函数的导数为其幂次减1，指数函数的导数为其自身。
此外，常用基本函数的和、差、积、商等的导数运算法则也需要掌握。
4.高阶导数除了一阶导数之外，函数还可以有更高阶的导数。
高阶导数表示函数的变化速率的变化率，可以通过多次求导来获得。
5.泰勒级数和泰勒公式泰勒级数是一种用无穷级数来表示函数的方法，可以将一个光滑的函数在其中一点展开成无穷和的形式。
而泰勒公式是将泰勒级数截断为有限项，用来近似计算函数的值。
6.积分积分是求函数在其中一区间上的累积之和。
通过求和的极限可以计算定积分。
积分是导数的逆运算，反映了从变化率恢复到原函数的过程。
7.定积分定积分是对函数在一个区间上的积分，表示该区间上函数的累积值。
可以通过定积分来计算曲线下的面积、质心、弧长等。
8.基本积分公式与导数类似，一些基本函数的积分也是需要熟记的，如常数函数的积分为其积分常数，幂函数的积分为其幂次加1的导数，指数函数的积分为其自身。
此外，常用基本函数的和、差、积、商等的积分运算法则也需要掌握。
9.使用积分求解面积、体积和弧长通过积分可以计算曲线下的面积、旋转曲线生成的体积以及曲线的弧长。
这些应用包括求解几何图形的面积、立体图形的体积和弯曲线的长度。
10.偏导数偏导数是多变量函数中对其中一变量求导的概念。
通过偏导数可以获得函数在一些方向上的变化率。
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【第五部分】不定积分1.书本知识（包含一些补充知识）（1）原函数：F ’（x ）=f （x ），x ∈I ，则称F （x ）是f （x ）的一个“原函数”。
（2）若F （x ）是f （x ）在区间上的一个原函数，则f （x ）在区间上的全体函数为F （x ）+c （其中c 为常数） （3）基本积分表⎰⎰+==c x dx dx 1c x dx x +⋅+∂=⋅+∂∂⎰111（α≠1，α为常数） c dx xx +=⋅⎰ln 1 ()()()⎰⎰⎰⎰⎰+-⋅=⋅+-=⋅-+-=⋅++=⋅≠+=⋅c x x x dx x cx x dx xc x arc x dx x c e dx e a a a c a a dx a x xxxln ln arccos arcsin 11cot arctan 1110ln 22或或为常数，，＞ ()c xa xa a dx x a c axa dx x a c axdx x a cx x dx x +-+⋅=⋅-+=⋅++=⋅-+++=⋅+⎰⎰⎰⎰ln 211arctan 11arcsin 11ln 1122222222c x xxd cshx dx chx c chx dx shx +-=-+=⋅+=⋅⎰⎰⎰cos ln cos coscx dx x c x dx x c x dx x +=⋅+=⋅+-=⋅⎰⎰⎰cos ln tan sin cos cos sin c x dx x +=⋅⎰sin ln cotc x dx x x c x dx x x cx dx x c x dx x c x x dx x c x x dx x c x x dx x c x x dx x cx x dx x c x x dx x +-=⋅⋅+=⋅⋅+-=⋅+=⋅+--=⋅+-=⋅++=⋅+-=⋅+-=⋅++=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰csc cot csc sec tan sec cot csc tan sec cot cot tan tan 2sin 412cos 2sin 412sin cos csc ln csc tan sec ln sec 222222c x dx ax a x ++=⋅++⎰22ln122（4）零函数的所有原函数都是c （5）C 代表所有的常数函数 （6）运算法则数乘运算[]⎰⎰⎰⎰⎰⋅±⋅=⋅±⋅⋅=⋅⋅dxx g dx x f dx x g x f dxx f a dx x f a )()()()()()(②①（7）[][]c x F dx x x f +=⋅⎰)()(')(ϕϕϕ复合函数的积分：cb x F dx b x fc b ax F a b axd b ax f a dx b ax f ++=⋅+++⋅=+⋅+⋅=⋅+⎰⎰⎰)()()(1)()(1)(一般地，（9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。
（10）不定积分的计算方法①凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则 ②变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性ta x dx a x t a x dx a x t a x dx x a tan sec sin 222222⋅=⇒⋅+⋅=⇒⋅-⋅=⇒⋅-⎰⎰⎰③分部积分法：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅-⋅=⋅⋅⋅-⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅==duv v u dv u dx x v x u x v x u dx x v x u dx x v x u dx x v x u x v v x u u 简写为：并有：也存在存在，则均可导，且若)()(')()()(')()(')()()(')(),(【解释：一阶微分形式不变性】 释义：函数 对应：y=f(u)加减运算线性运算（8）du u f du y dy ⋅=⋅=)(''功能：说明：[][][]()[]变性。
这称为一阶微分形式不，均有是自变量还是中间变量因此，无论带入得：因为的微分形式为：为中间变量，自变量为那么复合函数复合函数求导得：，即变量为函数即为复合函数。
自是中间变量，即如果的微分形式为：是自变量，则函数此时如果设函数为du u f dy u duu f dy du dx x g x g u dx x g x g f dx y dy u x g x x g f y x g x g f y x g y x x g u u duu f du y dy u f y u u f y ⋅=⋅==⋅=⋅⋅=⋅===⋅===⋅=⋅===)(')('.)('),(.)(')(''')()().(')('',)(:),()('')(),(（11）c x dx ax a x ++⇒⋅++⎰22ln122（12）分段函数的积分 例题说明：{}dx x ⋅⎰2,1max()需要调整连续的原则，需要说明的一点，依据）＞（）（）＜（）＞（）（）＜（解：321322132222,,1323111-1-3231),1max(111-11-,1max c c c x c x x c x x c x dx x x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++≤≤++-=⋅⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=⎰（13）在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一⎰⎰⋅-=⋅x d x dx x dx cos sin sin 23的部分。
如次方处理到最后化简的目的。
并以达到再进行计算或将二者合量将其转化成同一次方要通过三角函数公式尽则需情况同时出现且指数不同的与，若遇到）在做不定积分问题时（,cosx sinx 14 2xcos 2x sin2sinx sinx 15⋅=的问题，则中，如果单独遇到）在计算不定积分过程（ （16）隐函数求不定积分 例题说明：，带入。
所以：所以：解法带入。
，则：令解法确定的隐函数，试求是由方程例题：设∂∂=∂∂+∂=∂=-∂=-⇒=-+-⇒=--=-==-⋅=-⎰cos sin ;cos sin sin sin 1cos )(11)()(2,1,113y-x 1)(2222222232y x yxy x yxy x x y x y t ty t t x t y x dx x y x y y（17）三角有理函数积分的万能变换公式2222222212tan 2tan ,12sin 11cos 12)12,11(2tan )cos ,(sin t t x x t t t x t t x dt t t t t t R x t dx x x R -=→=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=⋅+⋅++-=⋅⎰⎰其中：令（18）某些无理函数的不定积分()()() (1111)21141822122221t t 222222222=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=⋅-+-=⋅--⋅⋅+--+=⋅-+=⎰⎰⎰⎰dt t t dt t t t dt t tt t t x x t dx x x x A A 令例如：，即个根号变为（根号），变形时将整①无理函数中带有②欧拉变换at t c b x ax tx a t c bx ax c xt c bx ax c x a t c bx ax a c bx ax -⋅+=+-=++⎪⎩⎪⎨⎧=++=++++222222222-0-0对于②可得：对于①可得：②，令＞若①，令＞若的积分含有（19）其他形式的不定积分c x f x xf dx x f x f x x df x dx x f x +-=⋅-⋅=⋅=⋅⋅⎰⎰⎰)()(')(')(')(')(''① ()()()()x x I I x dx I I dxx x xI dxxx xI c A x A x A e dx e B x B x B cA x A x A e dx e x c x e A x e A dx x e x x x x x x x cos 2sin ln 21cos 2sin cos cos 2sin sin cos sin sin 212121322122213221221+=+-=⋅=+⋅+=⋅+=++⋅+⋅=⋅⋅+⋅+⋅++⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⑤组合法：④③待定系数法②2.补充知识（课外补充）☆【例谈不定积分的计算方法】☆ 1、不定积分的定义及一般积分方法2、特殊类型不定积分求解方法汇总1、不定积分的定义及一般积分方法（1）定义：若函数f(x)在区间I 上连续，则f(x)在区间I 上存在原函数。
其中Φ(x)=F(x)+c 0,(c 0为某个常数），则Φ(x)=F(x)+c 0属于函数族F(x)+c被积表达式积分变量被积函数积分号→⋅→→→⎰dx x f x x f )()(dxx f k dx x f dxx f k x f ni i i i ni i ⋅⋅=⋅⋅⋅=⎰∑⎰∑==)()()()(11则：推论：若（2）一般积分方法值得注意的问题：第一，一般积分方法并不一定是最简便的方法，要注意综合使用各种积分方法，简便计算；第二，初等函数的原函数并不一定是初等函数，因此不一定都能够积出。
不能用普通方法积出的积分：()......10sin 1111ln 1sin ,sin ,223422＜＜例如：K dx x k dxx dxxdxx dxx dx x x dx e x ⋅⋅⋅-⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-2、特殊类型不定积分求解方法汇总 （1）多次分部积分的规律()dxv u v u v u v u dxv u v u v u dx v u v u dx vu n n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅-++⋅+⋅-⋅==⋅⋅+⋅-⋅=⋅⋅-⋅=⋅⋅⎰⎰⎰⎰++----+)1(1)2()1()()1()1()()()()1(1...'''......'''')'sin cos ()sin cos (sin cos sin cos sin cos 2x d x c B x d x c A x b x a dx xd x c xb x a ⋅+⋅⋅+⋅+⋅=⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⎰求解方法为：令的积分）对于（ dx xx xx ⋅+-⎰sin cos sin cos 3例如：求即可解：令)'sin (cos )sin (cos sin cos 3x x B x x A x x +++=-（3）简单无理函数的积分被积函数为简单式的有理式，可以通过根式代换化为有理函数的积分()的最小公倍数是其中令③令②设①n m p b ax t dx b ax b ax x R d cx b ax t dx d cx b ax x R b ax t dx b ax x R pm n n n n n ,,,,,),(+=→⋅++++=→⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=→⋅+⎰⎰⎰[]dx b x a x b x a x b a I k b a dx b x a x dxI ⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅++-+⋅-=≠-⋅+⋅+=⎰⎰)sin()sin()()(sin )sin(1,)sin()sin(4解法：π其中）求（nnnn n bx a x t dx bx a x b x a x I n dx b x a x dxI --=⋅----=⋅-⋅-=⎰⎰-+令解法：为自然数其中，）求：（,))((1,)()(511tx dx c bx ax x I m 162=⋅++⋅=⎰解法：令）求（c bx b bx a ba e dx bx e I c bxb bx a b a e dx bx e I ax axaxax+⋅+⋅⋅+=⋅⋅=+⋅-⋅⋅+=⋅⋅=⎰⎰)sin cos (cos )cos sin (sin 7222221）统一公式（tx x x t x x x t x x x t x x x cos arccos 1sin arcsin 1sin 1tan 182222=-=-=-=+时，令和④同时出现时，令和③同时出现时，令和②同时出现时，令和①同时出现）计算技巧（dxx a x a x a x a a I dx xa ⋅-⋅+-++⋅=⋅-⎰⎰)()()()(211922解法：令）求（小结：几分钟含有根号，应当考虑采用合适的方法去掉根号再进行计算。