数学建模小实例
数学建模实例-双层玻璃的功效教学提纲
数学建模实例-双层玻璃的功效双层玻璃的功效北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气，如下左图所示，据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失。
我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如下右图，玻璃厚度为d2）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果。
一、模型假设1、热量的传播过程只有传导，没有对流。
即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的；2、室内温度T和室外温度2T保持不变，热传导过程已处于稳定1状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数；3、 玻璃材料均匀，热传导系数是常数。
二、 符号说明1T ——室内温度2T ——室外温度d ——单层玻璃厚度l ——两层玻璃之间的空气厚度a T ——内层玻璃的外侧温度b T ——外层玻璃的内侧温度k ——热传导系数Q ——热量损失三、 模型建立与求解由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的物理规律：厚度为d 的均匀介质，两侧温度差为T ∆，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q ，与T ∆成正比，与d 成反比，即dT k Q ∆= （1） 其中k 为热传导系数。
1、双层玻璃的热量流失记双层窗内窗玻璃的外侧温度为a T ，外层玻璃的内侧温度为b T ，玻璃的热传导系数为1k ，空气的热传导系数为2k ，由（1）式单位时间单位面积的热量传导（热量流失）为： dT T k d T T k d T T k Q b b a a 21211-=-=-= （2）由d T T k Q a -=11及dT T k Q b 21-=可得1212)(k Qd T T T T b a --=- 再代入d T T k Q b a -=2就将（2）中a T 、b T 消去，变形可得： ()dl h k k h s s d T T k Q ==+-= , , 2)(21211 （3）2、单层玻璃的热量流失对于厚度为d 2的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为： dT T k Q 2211-=' （4）3、 单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较比较（3）（4）有：22+='s Q Q （5） 显然，Q Q '<。
线性代数数学建模案例教学研究
学术研讨123线性代数数学建模案例教学研究◊宿迁学院文理学院周克元赵士银本文对线性代数融入数学建模进行分析研究，列举相关数学建模案例，使抽象的线性代数具体化、形象化，训练和培养学生数学建模、分析问题、解决问题的能力。
线性代数主要以线性方程组求解为基础，研究线性空间中线性关系和线性映射，具有较强的抽象性，对于普通应用型院校学生来说理解难度比较大。
很多学生认为线性代数没有任何用处，不想学也不愿学，教师往往感觉是在唱独角戏，久而久之，容易造成恶性循环。
造成这样困境的原因是多方面的，数学知识本身严谨性和逻辑性的特点是一个原因，但更重要的原因是长期以来割裂了数学和其他学科的联系，对线性代数进行孤立的教学，使学生很难认识到它的重要应用价值％线性代数难学的主要原因在于线性代数中有许多从天而降许多抽象的概念，抽象的各种概念和知识点有什么意义什么应用基本没有介绍％传统的线性代数教材偏重于理论推导，而轻实践应用，导致教学内容过于抽象，难于理解，且学生感受不到线性代数理论体系存在％学生难以理解学习各种概念的目的意义，学习线性方程组求解、线性空间、线性映射等知识点有什么作用。
目前一个比较好的解决方法是将数学建模融入线性代数中问，线性代数广泛应用在经济、管理、运筹学、社会学、人口学、遗传学、生物学等领域，在教学中补充讲解线性代数知识在生活工程中的各种应用，让学生理解线性代数各个知识的背景来源，理解学习线性代数在生活工程中的巨大应用，激发学生的学习兴趣，培养学生使用线性代数解决实际问题的能力。
本文介绍一些在实际教学过程中使用的一些数学建模案例。
1行列式应用案例各类线性代数教材旳中，对于行列式的介绍主要为，对于二元三元线性方程组，其解用二阶三阶行列式表示更方便，进而给出n阶行列式的概念、行列式性质、求解方法以及Crammer法则，对于行列式其他应用基本没有介绍。
学生在学习过线性代数后面知识后，认为用逆矩阵或初等变换方法求解线性方程组更方便，对于学习行列式有什么作用产生怀疑。
数学建模经典案例最优截断切割问题
建模案例：最优截断切割问题一、 问 题从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过６ 次截断切割．设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍。
且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e.试设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”)的方法,使加工费用最少。
二、 假 设1、假设水平切割单位面积的费用为r,垂直切割单位面积费用为１;２、当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，调整刀具需额外费用ｅ；3、第一次切割前,刀具已经调整完毕，即第一次垂直切割不加入刀具调整费用； 4 、每个待加工长方体都必须经过6次截断切割．三、 模型的建立与求解设待加工长方体的左右面、前后面、上下面间的距离分别为 a0、b ０ 、c0 ，六个切割面分别位于左、右、前、后、上、下，将它们相应编号为M1、Ｍ2、M3、M ４、M5、M6，这六个面与待加工长方体相应外侧面的边距分别为 u1、ｕ2、u3、u4、u5、ｕ6.这样,一种切割方式就是六个切割面的一个排列，共有P 66720= 种切割方式。
当考虑到切割费用时，显然有局部优化准则:两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工.由此准则，只需考虑 P 6622290!!!⨯⨯=种切割方式.即在求最少加工费用时，只需在９0个满足准则的切割序列中考虑．不失一般性,设u １≥u2,u3≥u ４，u5≥u6,故只考虑Ｍ1在M2前、M ３在M ４前、M5在Ｍ６前的切割方式。
1、 ｅ=0 的情况为简单起见,先考虑e＝0 的情况．构造如图9—１3的一个有向赋权网络图Ｇ(V，Ｅ）。
为了表示切割过程的有向性，在网络图上加上坐标轴x，y，z．图9—13 G（V,Ｅ)图G（V，E)的含义为:（１)空间网络图中每个结点Ｖi(ｘi，yi,ｚi）表示被切割石材所处的一个状态.顶点坐标xｉ、yi、ｚi分别代表石材在左右、前后、上下方向上已被切割的刀数．例如：V24(2，1,2) 表示石材在左右方向上已被切割两刀，前后方向上已被切一刀,上下方向上已被切两刀，即面Ｍ1、M2、M3、M5、M6均已被切割．顶点V1（0，0，０）表示石材的最初待加工状态,顶点V２7（２，２，２）表示石材加工完成后的状态．（2)Ｇ的弧(Vi,Vj)表示石材被切割的一个过程，若长方体能从状态Ｖi经一次切割变为状态Vj,即当且仅当xｉ+yi+zi＋１=ｘj＋yj+zj时，Vi（ｘi，yi，zｉ)到Vj（ｘｊ，yj,zj）有弧（Vｉ，Vj),相应弧上的权W(Vi，Ｖj）即为这一切割过程的费用。
数学建模是数学应用到生活实践的过程---《茶水最佳饮用时间问题》数学建模教学实例分析
数学建模是数学应用到生活实践的过程---《茶水最佳饮用时间问题》数学建模教学实例分析数学建模是联系现实世界与数学世界的桥梁，高中数学建模教学首先在北京、上海等发达地区展开实践，2003年数学建模首次被写进《普通高中数学课程标准（实验）》，这标志着数学建模成为高中生正式学习的内容，2018年初由教育部颁布的《普通高中数学课程标准（2017版）》把数学建模作为数学六大核心素养之一，要求数学建模作为课程内容主线，并安排了具体课时，这意味着我国高中数学建模教学又往前迈进了一大步，但现在数学建模教学还处于起步阶段，还存在很多需要解决的问题，现在高中数学建模内容贫乏，缺乏适合学生学习数学建模问题，本文将通过案例《茶水最佳饮用时间问题》数学建模教学的实例分析，期待对数学建模教学有借鉴意义.1 核心素养数学建模的内涵数学建模就是建立数学模型解决实际问题的过程，《普通高中数学课程标准（2017版）》把“数学建模”定义为是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题的过程，如果问题没有得到很好的解决，还需要重复进行建模过程.2007年，Blum提出建模七阶段循环过程，即把整个建模过程分为七个环节，六个状态：现实问题情景模型现实模型数学模型数学结果数学世界现实世界；主要为（1）理解“现实问题”构造“情景模型”；（2）简化“情景模型”构造“现实模型”；(3)数学化，即用数学的语言描述“现实模型”从而构造“数学模型”；（4）应用数学方法得到数学结果；（5）根据现实问题解释数学结果获得现实结果；（6）结合原来的情景验证结果，如果结果差强人意，则重新进行建模过程；（7）介绍问题解决方案，并与他人交流.数学建模是一个过程，而最重要也是学生感觉最困难的是“现实问题数学模型”这一过程，为了更好地提高学生的数学建模能力寻找好的数学建模问题是关键.2 案例《茶水最佳饮用时间问题》数学建模教学实例分析2.1教学内容及核心素养解析根据《普通高中数学课程标准（2017版）》的新人教A版教材数学必修一建立函数模型解决实际问题的内容.主要是通过研究茶水的最佳饮用时间，了解数学建模的一般过程：观察实际情况发现和提出问题收集数据选择函数模型求解函数模型检验模型得出实际问题的解.这是学生学习基本初等函数以后的能力拓展课，通过建立数学模型，解决实际问题，体会学习数学的实用性、重要性.在数学建模这一学习过程中，体现了课程标准中“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）和“四能”（发现问题、提出问题、发现问题、解决问题的能力）.通过实验收集数据，使学生在获得基本活动经验，通过数据分析、选择函数模型、计算函数模型的过程发展学生的数据分析、逻辑推理、数学建模的核心素养，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新能力和自主学习能力.2.2《茶水最佳饮用时间问题》教学过程设计1）创设情境，提出问题问题1 在室温下，一杯刚泡好200ml的的茶，放置多少时间才能达到？在这个问题中有几个变量？变量之间有什么关系？设计意图：从茶水最佳饮用问题实例引入，激发学生的学习兴趣，用数学模型解决实际问题铺垫，培养学生数学建模的能力，通过将实际问题进行简化和抽象，建立函数模型解决实际问题.2）数据收集，数据分析活动一：(学生实验，收集数据)在实验过程中，学生观察并思考，温度与时间存在怎样的关系？活动二：(小组提问，分析数据)根据收集的数据，你们认为茶水温度有着怎样的变化规律？设计意图：（1）通过实验，实践探究与合作交流的形式收集数据，让学生们通过基本活动经验获得温度变化与时间之间的关系.（2）通过实验数据，分析出数据的特定：随着时间的变化温度在降低，这是一个递减的函数;单位时间内降辐越来越小，温度降至室温就不能再降了.（3）茶水温度是时间的函数，但没有现成的函数模型，可以先画出散点图，利用图像直观分析这组数据的变化规律，选择函数模型.3）选择函数模型，计算函数模型问题2茶水温度和时间之间存在着何种形式的函数关系？根据实验数据，计算出你选择的函数模型中各个参数的值.分析：（1）茶水的温度是递减的（单调性），递减的速度越来越慢（凹凸性），最终会无限接近室温（渐近线），茶水温度有确切的范围（值域）.（2）模型的选择，一次函数模型不具备有渐近线，二次函数模型不符合单调性的要求，对数型函数不符合值域的要求，反比例函数比较符合，指数型函数比较符合条件也可以考虑.设计意图：通过实验选择函数模型，不断优化所选的函数模型，结合实际数据，选择计算方法，用计算机Excel完成数据运算。
数学建模案例之单变量最优化
数学建模案例之单变量最优化生猪的最佳销售时间问题1：一头猪重200磅（1磅=0.454公斤），每天增重5磅，饲养每天需花费45美分。
猪的市场价格为每磅65美分，但每天下降0.01美元，求出售猪的最佳时间。
1．问题分析与假设、符号说明涉及的变量：猪的重量w（磅），饲养时间t≥０（天），t天内饲养猪的化费Q（美元），猪的市场价格p（美元/磅），售出生猪所获得的总收益R（美元），我们最终获得的净收益C（美元）。
涉及的常量：猪的初始重量200（磅），饲养每天的花费0.45（美元），生猪每天的增加重量s（磅），当前的市场价格0.65（美元），生猪价格每天的下降比例系数r。
变量之间的联系：假设1：猪的重量从初始的200（磅）按每天s=5（磅）增加，于是有关系：w（磅）=200（磅）+s（磅/天）×t（天）假设2：当前的市场价格0.65（美元/磅），生猪价格每天的下降比例系数r=0.01，那么出售时生猪的价格为：p（美元/磅）=0.65（美元/磅）- r（美元/磅.天）×t（天）因此，我们有如下关系式：饲养生猪的总的费用为：Q（美元）＝0.45（美元／天）×t（天）售出生猪时获得的总收益为：Ｒ（美元）＝ｐ（美元／磅）×ｗ（磅）最终获得的净收益为：C（美元）＝Ｒ（美元）－Q（美元）当生猪卖出时获得最大净收益的时间即为最佳出售时间，因此原问题转换成数学表述就是求Ｐ达到最大时的时间t≥0，其中P的表达式为：=-=⨯-⨯=-+-C t R t Q t p w t rt st t()()()0.45(0.65)(200)0.452．建立数学模型根据前面的分析，原问题的数学模型如下：max ()..()(0.65)(200)0.45,0C t s t C t rt st t t =-+-≥ （1.1）其中，r ，s 为模型参数，此处取值为s=5，r=0.01。
3．模型求解当s=5，r=0.01时，这是一个单变量t 的函数的最优化问题，而且()C t 是一个连续可微的函数。
建模竞赛实例14
7. 煤矿设计寿命20年； 8. 采矿出矸率（矸石占全部采出的百分比）一般为 7%—10%； 9. 为保护耕地，煤矿堆矸土地应比实际占地多 征用10%； 现在煤矿设计中用于处理矸石的经费（只计征 地费和堆积时运矸车用的电费）为100万元/年。问 这笔钱是否够用？试制定合理的年征地计划，并对 不同的出矸率预测处理矸石的最低费用？
D
S
O
C
现给出下列数据： 1. 矸石自然堆放安息角（矸石自然堆积稳定后，其 0 55 坡面与地面形成的夹角）. 2. 运矸石车所需电费为0.50元/度（不变）. 3. 矸石容重（碎矸石单位体积的重量）约2吨/米3 4. 运矸石机械效率（只考虑堆积坡道上的运输）初 始值约30%，坡道每延长10米，效率在原有基础上约 下降2%； 5. 土地征用费现值为8万元/亩，预计地价年涨幅10%， 银行的存贷款利率均为5%； 6. 煤矿设计原煤采煤量为300万吨/年；
4. 如何写好数学建模竞赛答 卷
• 3.1. 问题的提出
建模竞赛实例2: 煤矸石的堆积问 题
煤矿采煤时,会产出无用废料——煤矸石。在 平原地区，煤矿不得不征用土地堆放矸石，通常矸 石的堆积方法是： 25 的直线型上 架设一段与地面角度约为 升轨道。用在轨道上行驶的矸车将矸石运到顶端后 倾倒。待矸石堆高后，再借助矸石堆延长轨道，这 样逐渐堆起如下图所示的一座矸石山来。 A
由 55 , 25 , 得 19
矸石山的底面积为：
S SBOD SSOD S扇形OBCD
2 2SOB SB OB BO 2 2 2 h cos h 2 ( 2 ) 2 tg sin 2tg
2
cos h2 [ 2 2 2 ] tg sin tg
烟草玉米种植数学建模
烟草玉米种植数学建模（原创实用版）目录1.烟草玉米种植的背景和意义2.数学建模在烟草玉米种植中的应用3.烟草玉米种植数学建模的实例与分析4.烟草玉米种植数学建模的优点与挑战正文一、烟草玉米种植的背景和意义在我国，烟草和玉米是两种重要的农作物。
烟草作为经济作物，对于国家财政收入和农民生活水平有着重要影响；玉米作为粮食作物，对于保障国家粮食安全和农民口粮具有重要意义。
因此，烟草玉米种植的研究和优化一直是农业科学领域的重要课题。
二、数学建模在烟草玉米种植中的应用数学建模是一种通过数学方法对现实问题进行抽象和模拟的研究方法，能够帮助我们更好地理解和优化烟草玉米种植过程。
在烟草玉米种植中，数学建模主要应用于以下几个方面：1.种植密度优化：通过建立数学模型，可以研究不同种植密度对烟草玉米产量和品质的影响，从而确定最佳种植密度。
2.肥料施用优化：通过建立数学模型，可以研究不同肥料施用量和施用方式对烟草玉米产量和品质的影响，从而确定最佳肥料管理方案。
3.病虫害防治：通过建立数学模型，可以预测病虫害的发生和蔓延情况，从而制定及时有效的防治措施。
三、烟草玉米种植数学建模的实例与分析以烟草种植密度优化为例，我们可以通过以下步骤建立数学模型：1.确定影响烟草产量的主要因素：如种植密度、肥料施用量、气候条件等。
2.收集历史数据：收集过去几年烟草种植的实际数据，包括种植密度、产量、气候条件等。
3.建立数学模型：根据收集到的数据，建立线性回归模型、曲线拟合模型等，描述种植密度与产量之间的关系。
4.分析模型结果：通过模型分析，得出最佳种植密度，并对模型进行验证和优化。
四、烟草玉米种植数学建模的优点与挑战数学建模在烟草玉米种植中的应用，具有以下优点：1.提高产量：通过优化种植密度和肥料施用，可以提高烟草玉米的产量。
2.提高品质：通过优化种植和管理措施，可以提高烟草玉米的品质，提高农民收入。
3.降低生产成本：通过合理施肥和病虫害防治，可以降低生产成本，提高农民收入。
数学建模实例—-汽车购买决策
购买汽车的选择摘要“我没有车我没有房”攒了几年钱终于有钱买车了，但我又担心买不到最称心的车子，于是我们团队就试图用数学建模的方法解决这个问题。
对于这种关键因素难以量化的问题，我们决定用最适合的层次分析法。
首先，考虑到课题目标除了“做出购买决定”之外还要评出配置最高、最舒适、最漂亮的车子，所以我们将这个决策问题分成四层：首层是目标层，即本课题最重要的目标—购买汽车的决策，第二层是准则层，分成“舒适”“配置”“美观”“价格”四个准则，这样做的好处是便于达到课题的二级目标。
第三层是次准则层，将准则层的四大准则细分为八个准则，需要指出的是“价格”因为无法细分我们将它设定为同时属于二三层。
第四层，即最后一层是方案层，有三套方案供选择。
当思维过程转化为层次结构之后，从层次结构的第二层开始，对于从属于或影响上一层每个因素的同一层诸因素，用层次比较法和1-9比较尺度构造成对比较阵，直到最下层。
对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比率做一致性检验，若检验通过，特征向量即为权向量；若不通过则需重新构造【1】。
最后组合权向量并做一致性检验。
都通过之后就便得到了一个决策。
此刻我们做的是重新审视模型讨论模型的局限以及不完整之处，力求改进，直到做出满意的模型。
Ⅰ问题重述工作五年后，你决定要购买一辆汽车，预算十万左右。
在汽车网上浏览了很久，初步确定将从三种价格相当的车型中选购一种。
一般在购买汽车时考虑的标准可能包括：品牌、配置、动力、耗油量大小、舒适程度和外观美观情况等等。
（以上提到的标准仅供参考，因人而异（1 ）不同的标准在你心目中的比重也许是不同的，请用定量的方法将其按比重的高低进行排序。
（2 ）请用定量的方法说明哪种车配置最好、哪种车最舒适、哪种车最漂亮？（3 ）建立数学模型，用确定的量化方法作出购买决定。
Ⅱ问题分析本题要求用定量的方法研究购买汽车的决策。
而购买汽车，人们多半是凭经验或者主观判断的提出决策方案。
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1、司乘人员配备问题
某昼夜服务的公交路线每天各时间区段内需司机与乘务人员如下:
设司机与乘务人员分别在各时间区段一开始上班,并连续工作八小时,问该公交线路至少配备多少名司机与乘务人员？ 解: 设i x 为第i 班应报到的人员
)6,,2,1( i ,建立线性模型如下:
6
1min i i
x Z
,...,,3020
506070
60..62
1655
4433221
61x x x x x x x x x x x x x x x t s LINGO 程序如下:
MODEL:
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6; x1+x6>=60; x1+x2>=70; x2+x3>=60; x3+x4>=50; x4+x5>=20; x5+x6>=30; END 得到的解为:
x1=60,x2=10,x3=50,x4=0,x5=30,x6=0;
配备的司机与乘务人员最少为150人。
2、铺瓷砖问题
要用40块方形瓷砖铺下图所示形状的地面,但当时市场上只有长方形瓷砖,每块大小等于方形的两块。
一人买了20块长方形瓷砖,试着铺地面,结果无法铺好。
试问就是这人的功夫不到家还就是这个问题根本无解呢？
3、棋子颜色问题
在任意拿出黑白两种颜色的棋子共n个,随机排成一个圆圈。
然
后在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子,在两颗颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子,放完后撤掉原来所放的棋子,再重复以上的过程,这样放下一圈后就拿走前次的一圈棋子,问这样重复进行下去各棋子的颜色会怎样变化呢？
分析与求解:
由于在两颗同色棋子中放一颗黑色棋子,两颗不同色的棋子中间放一颗白色棋子,故可将黑色棋子用1表示,白色棋子用-1表示。
这就是因为-1×(-1)=1,1×1=1,这代表两颗同色棋子中放一颗黑色棋子;1×(-1)= -1,这代表两颗不同色的棋子中间放一颗白色棋子。
设棋子数为n ,12,,,n a a a L 为初始状态。
当n=3时
步数 状态(舍掉偶次项)
0 1a 2a 3a 1 21a a 32a a 13a a 2 31a a 21a a 32a a 3 32a a
31a a 21a a
4 12a a 23a a 31a a 说明当n=3时,经过3步进入初始状态。
当n=4时
步数 状态(舍掉偶次项)
0 1a 2a 3a 4a 1 21a a 32a a 43a a 14a a 2 31a a 42a a 31a a 42a a 3 4321a a a a 4321a a a a 4321a a a a 4321a a a a
4 24232221a a a a 24232221a a a a 24232221a a a a 2
4232221a a a a
说明当n=4时,经过4步全变为黑色棋子。
既不循环也不全为黑子
结论:当棋子数为n2时,至多经过n2次操作,就可以全部变为黑子,当棋子数不为n2时则一般不能全变为黑子。
Matlab程序:进行实验
%棋子颜色问题演示
% 1---黑子,-1 -----白子
n=4; %定义棋子数
times=6;%定义迭代次数
x0=zeros(1,n);
x1=zeros(1,n); %定义数组
for i=1:n
k=rand(1,1);
if(k>0、5) x0(i)=1;
else x0(i)=-1;
end
end; % 赋初值
x0
for i=1:times
i
for k=1:n-1
x1(k)=x0(k)*x0(k+1);
end
x1(n)=x0(n)*x0(1);
x1 %显示各次结果
x0=x1;
end
程序语句解释:
1、zeros(m,n),产生一个m×n的0矩阵,通常用于定义一个指定大小的矩阵、zeros(1,n)则产生一个全部为0的行向量。
2、rand(m,n),产生一个m×n的随机矩阵,每个元素都服从[0,1]上的均匀分布、rand(1,1)则产生一个服从[0,1]上的均匀分布的数字。
4、选修课策略问题
某学校规定,运筹学专业的学生毕业时必须至少学习过两门数学课、三门运筹学课与两门计算机课。
这些课程的编号、名称、学分、所属类别与先修课要求如表1所示。
那么,毕业时学生最少可以学习这些课程中哪些课程。
如果某个学生既希望选修课程的数量少,又希望所获得的学分多,她可以选修哪些课程？
模型的建立
1不考虑学分情形:
记i=1,2,…,9表示9门课程的编号。
设1 i x 表示第i 门课程选修,0 i x 表示第i 门课程不选。
问题的目标为选修的课程总数最少,即
9
1
min i
i Z x
约束条件包括两个方面:
第一方面就是课程数量的约束: 每个人最少要学习2门数学课,则
123452x x x x x 每个人最少要学习3门运筹学课 ,则
356893x x x x x
每个人最少要学习2门计算机课,则有:
46792x x x x
第二方面就是先修课程的关系约束:
如“数据结构”的先修课程就是“计算机编程”,这意味着如果14 x ,必须17 x ,这个条件可以表示为74x x (注意当04 x 时对7x 没有限制)。
这样,所有课程的先修课要求可表为如下的约束
“最优化方法”的先修课就是“微积分”与“线性代数”,有:
2313,x x x x
“数据结构”的先修课程就是“计算机编程”,有: 47x x
“应用统计”的先修课就是“微积分”与“线性代数”,有:
5152,x x x x
“计算机模拟”的先修课程就是“计算机编程”,有:
67x x “预测理论”的先修课程就是“应用统计”,有:
85x x
“数学实验”就是“微积分”与“线性代数”,有:
9192,x x x x
这样一来,总的0-1规划模型为:
9
1
min i i Z x
12345356894679313247
51526785
9192
129232,..,,,,,01
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x
x x x
L 或 解得:
1236791,1,1,1,1,1x x x x x x 。
即选修课程为:微积分,线性代数、最优化方法,计算机模拟,计算机编程,数学实验。
LINGO 程序为: model: sets:
item/1、、9/:c,x; endsets data:
c=5,4,4,3,4,3,2,2,3; enddata
min=@sum(item(i):x(i));!课程最少; x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)>=2; x(3)+x(5)+x(6)+x(8)+x(9)>=3; x(4)+x(6)+x(7)+x(9)>=2; x(3)<=x(1); x(3)<=x(2); x(4)<=x(7); x(5)<=x(1); x(5)<=x(2); x(6)<=x(7); x(8)<=x(5);
x(9)<=x(1); x(9)<=x(2);
@for(item(i):@bin(x(i))); end
2 考虑学分情形:
当要求学分最多时,设各门课程学分为i c ,则增加学分最大的目标函数为:
9
1
max i i i Z c x
这样总的双目标0-1规划模型为:
9
11
min i i Z x
9
21
max i i i Z c x
12345356894679313247
51526785
9192
129232,..,,,,,01
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x
x x x
L 或 当把选修课程指定为6门时,对学分最大求最优,解得:
1235791,1,1,1,1,1x x x x x x 。
最大学分为z=22。
即选修课程为:微积分,线性代数、最优化方法, 应用统计,计算机编程,数学实验。
学分达到22分。
LINGO 程序为: model: sets:
item/1、、9/:c,x; endsets data:
c=5,4,4,3,4,3,2,2,3; enddata
max=@sum(item(i):c(i)*x(i)); @sum(item(i):x(i))=6; !课程为6门;
x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)>=2; x(3)+x(5)+x(6)+x(8)+x(9)>=3; x(4)+x(6)+x(7)+x(9)>=2;
x(3)<=x(1);
x(3)<=x(2);
x(4)<=x(7);
x(5)<=x(1);
x(5)<=x(2);
x(6)<=x(7);
x(8)<=x(5);
x(9)<=x(1);
x(9)<=x(2);
@for(item(i):@bin(x(i))); end。