复变函数 解析函数与调和函数的关系
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复变函数第10讲
ux v y , uy v x ,
由于f (z)有各阶导数，故有
uxx v yx , uyy v xy .
由解析函数高阶导数定理, u( x , y ), v( x , y )具有 任意阶的连续导数，从而v xy v yx ,由此可得
uxx +uyy =0,
同理有 v xx v yy 0.
11
法四 全微分法
v x u y 2 x 2 y , v y u x 2 x 2 y , dv v x dx v y dy ( 2 y 2 x )dx ( 2 x 2 y )dy ,
2 ydx 2 xdy 2 xdx 2 ydy
1
例1 验证u( x, y ) x 3 3 xy 2 9是z平面上 的调和函数.
解： 显 然u( x , y ) x 3 3 xy2 9在z平 面 上 有二阶连续偏导数 .
又 ux 3 x 2 3 y 2 , u xx 6 x ,
u y 6 xy, u yy 6 x;
5
3、 构造解析函数
已知一个调和函数u( x , y ), 利用C R方程可求 得共轭调和函数v( x , y ), 从而构成解析函数 f ( z ) u iv .
由调和函数，构造解析函数的方法如下： (1) 不定积分法； (3) 曲线积分法；
注意
(2)利用导数公式； (4)全微分法.
作此类题时，首先一定要验证给定的函数 是否是调和函数.
6
2 2 设 u x 2 xy y , 求 以u为 实 部的 例2 解 析 函数 f ( z ).
法一 不定积分法
v y 2 x 2 y v 2 xy y 2 ( x),
由于f (z)有各阶导数，故有
uxx v yx , uyy v xy .
由解析函数高阶导数定理, u( x , y ), v( x , y )具有 任意阶的连续导数，从而v xy v yx ,由此可得
uxx +uyy =0,
同理有 v xx v yy 0.
11
法四 全微分法
v x u y 2 x 2 y , v y u x 2 x 2 y , dv v x dx v y dy ( 2 y 2 x )dx ( 2 x 2 y )dy ,
2 ydx 2 xdy 2 xdx 2 ydy
1
例1 验证u( x, y ) x 3 3 xy 2 9是z平面上 的调和函数.
解： 显 然u( x , y ) x 3 3 xy2 9在z平 面 上 有二阶连续偏导数 .
又 ux 3 x 2 3 y 2 , u xx 6 x ,
u y 6 xy, u yy 6 x;
5
3、 构造解析函数
已知一个调和函数u( x , y ), 利用C R方程可求 得共轭调和函数v( x , y ), 从而构成解析函数 f ( z ) u iv .
由调和函数，构造解析函数的方法如下： (1) 不定积分法； (3) 曲线积分法；
注意
(2)利用导数公式； (4)全微分法.
作此类题时，首先一定要验证给定的函数 是否是调和函数.
6
2 2 设 u x 2 xy y , 求 以u为 实 部的 例2 解 析 函数 f ( z ).
法一 不定积分法
v y 2 x 2 y v 2 xy y 2 ( x),
调和函数、解析函数与调和函数的关系
2
y 2
=
0，
则称 (x, y) 为区域������内的调和函数.
定理1：区域������内的解析函数的实部与虚部，都是������内的调和函数.
证明：设 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 是区域������内的解析函数，
那么在区域������内满足柯西-黎曼方程：u = v , u = − v x y y x
由 f (0) = i ，得 C = 1，从而 f (z) = x3 − 3xy2 + i(3x2 y − y3 +1).
另外，还可以通过不定积分的方法，由已知调和函数直接求 得解析函数. 解析函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 的导数仍为解析函数，
f ' (z) = ux + ivx = ux − iuy = vy + ivx
=
6x；u y
=
−6xy，2u y2
=
−6x
从而
2u x2
+
2u y 2
= 0，所以：u(x, y) =
x3
− 3xy2 是调和函数.
( ) 由 v = u = 3x2 − 3y2 ，得 v(x, y) = 3x2 − 3y2 dy = 3x2 y − y3 + c(x) y x
定义2：设 u(x, y) 为区域������内的调和函数，称满足柯西-黎曼方程
u = v , u = − v x y y x
的调和函数 v(x, y) 为 u(x, y) 的共轭调和函数.
说明：（1）区域������内的解析函数的实部与虚部为共轭调和函数；
（2）如果已知一个调和函数u(x, y)，则可利用柯西-黎曼方 程求得它的共轭调和函数 v(x, y)，从而构成一个解析函数
复变函数-第8章
设 u ( x, y ) ≡ a ∈ R, 根据C-R方程求它的共轭调和函数 v( x, y ).
∂v ∂u = = 0, ∂y ∂x ∂v ∂u =− = 0. ∂x ∂y
⇒ v ( x, y ) ≡ b ∈ R ⇒ f ( z ) ≡ a + ib.
10
§8.2 平均值定理与极值定理
1. 平均值定理
6
不唯一
例8.1.1 构造一个实部为 u ( x, y ) = x 3 − 3 xy 2 + y 的解析函数. 解: 由于
∂ 2u ∂ 2u + 2 = 6x − 6x = 0 2 ∂x ∂y
所以 u ( x, y ) 在整个平面上调和. 下面求函数 v( x, y ) , 使得函 数 u ( x, y ) 和 v( x, y ) 满足看柯西-黎曼方程. 由于
e
f (z)
=e
u ( z ) + iv ( z )
=e
u( z)
e
iv ( z )
=e
u(z)
实指数函数
再由实指数函数的单调性知 u ( z ) 的极值只能在边界上取到. 15
§8.3 泊松(Poisson)积分公式与狄利克雷 (Dirichlet) 问题
1. 泊松积分公式
u ( x, y ) = u ( z ) = u (r , θ ) = u (re iθ ) ∈ R
∂ 2u ∂ 2u 调和函数是拉普拉斯方程 + 2 = 0 的二次连续可微解. 2 ∂x ∂y
上节已经证明解析函数的实部和虚部都是调和函数. 同时也 讨论了, 给定一个调和函数如何构造其共轭调和函数. 为了 方便起见, 有时利用 u (z ) 来代替 u ( x, y ) . 定理 8.2.1 (平均值定理)如果函数 u (z ) 是圆 | z − z0 |< R 内的 一个调和函数, 在闭圆 | z − z0 |≤ R 上连续, 则
第六讲_解析函数与调和函数的关系
2
2
又解 f'(z)uxivx uxiuy
(2xy)i(x2y)
不
2(xiy)i(xiy)
定
(2i)(xiy)
积
2iz
分
f(z)2i z2ic
法
2
f(z ) (x 2 y 2 x) y i( 1 x 2 2 x y 1 y 2 c )
2
2
第四章 级数
CH4§4.1 复数项级数
1. 复数列的极限 2. 级数的概念
要想 u使 iv在 D内解 ,u及 析 v还必须 C满 R 足 方程v， 必即 须 u的 是共轭调 .由和 此函 ，数
已知一个解析函数 部u的 (x,实 y),利用CR方 (虚 部 v(x, y))
程可求得它的v(虚 x, y部),从而构成解析函数
uiv.
(实 部 u(x, y))
设D一单连通,u(区 x,y域 )是区D域 内的调和
(2)
8in
8n收
敛 ， (8i)n绝
对
收
n0 n! n0n!
n0 n!
(3 ) n 1( n 1 )n 收n 1 敛 2 1 n 收 ， 敛 n 1(( n 1 )， n2 in)收 . 敛
又
(1)n
条
件 收
敛 原 ，级 数 非
绝.
对
n1 n
例3
讨论
zn的 敛 散 性 。
分
22
法
x2
y2
v(x,y) 2x y c
2
2
f(z ) (x 2 y 2 x) y i( 1 x 2 2 x y 1 y 2 c )
2
2
又解 v2xy v2x yy2(x)
复变函数3-4
y
z z z
打洞!
C
பைடு நூலகம்
i C1 C -i 2 x
o
9
C1
ez ez ( z i)2 ( z i)2 dz dz 2 2 C2 ( z i ) ( z i)
z
2i e 2 (2 1)! ( z i )
z i
2
2i e 2 (2 1)! ( z i ) y
d 1 2 z z 0 z z z 0 z 2 z z 0 z d
z0
d
z
C
D
6
1 I 2
z f ( z ) z z 0 z z z 0
2
C
2
ds
1 I z 2
z 0
21 M ds z 3 C M d d d 显然， lim I 0, 从而有
f ( z0 z ) f ( z0 ) 1 f ( z) f ' ( z0 ) lim dz 2 z 0 z 2i C ( z z0 ) 依次类推，用数学归纳法可得
n! f ( z) f ( z0 ) dz n 1 2i C ( z z0 ) 用途 : 利用它计算积分.
z f ( z ) z z0 z z z0
2
C
ds
0
5
f ( z )在C上解析 f ( z )在C上连续 M 0, 1 f ( z ) M .定义d min z z0 , 且取 z d , 则有 zC 2
z z0 d
1 1 . z z0 d
z z z
打洞!
C
பைடு நூலகம்
i C1 C -i 2 x
o
9
C1
ez ez ( z i)2 ( z i)2 dz dz 2 2 C2 ( z i ) ( z i)
z
2i e 2 (2 1)! ( z i )
z i
2
2i e 2 (2 1)! ( z i ) y
d 1 2 z z 0 z z z 0 z 2 z z 0 z d
z0
d
z
C
D
6
1 I 2
z f ( z ) z z 0 z z z 0
2
C
2
ds
1 I z 2
z 0
21 M ds z 3 C M d d d 显然， lim I 0, 从而有
f ( z0 z ) f ( z0 ) 1 f ( z) f ' ( z0 ) lim dz 2 z 0 z 2i C ( z z0 ) 依次类推，用数学归纳法可得
n! f ( z) f ( z0 ) dz n 1 2i C ( z z0 ) 用途 : 利用它计算积分.
z f ( z ) z z0 z z z0
2
C
ds
0
5
f ( z )在C上解析 f ( z )在C上连续 M 0, 1 f ( z ) M .定义d min z z0 , 且取 z d , 则有 zC 2
z z0 d
1 1 . z z0 d
复变函数3.4解析函数与调和函数的关系
z
由 f (0) 0,
得 c 0,
z
所求解析函数为 f ( z ) ze (1 i )z.
15
例3.18 求 k 值, 使 u x 2 ky2 为调和函数. 再求v , 使
f ( z ) u iv 为解析函数, 并求 f ( i ) 1 的 f ( z ).
(3x2 3 y 2 )dy C 3x 2 y y 3 C
故： f ( z ) u iv x3 3xy 2 i 3x 2 y y 3 C
x iy iC z 3 iC
3
再由 f(0)=i,得出 C＝1，故 f(z)=z3+i 方法二：两次积分法：首先由C-R条件得： vy=ux=3x2-3y2
( x iy )e
x iy
1 i
e z ze z 1 i ,
f ( z ) V ( z )dz (e z ze z 1 i )dz
ze z (1 i )z c. (c 为任意实常数)
20
例3.22 已知 u v ( x y )( x 2 4 xy y 2 ) 2( x y ),
第四节 解析函数与调和函数 的关系
3.4.1 调和函数的定义 3.4.2 解析函数与调和函数的关系 3.4.3由调和函数构造解析函数
3.4.4 小结与思考
3.4.1 调和函数的概念
定义3.5 如果二元实函数H(x,y)在区域D内有 二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯方程:即：
2 H 2 H 2 0 2 x y
10
若已知 v,可用类似的方法求 u
v v u( x , y ) dx dy C ( x0 , y0 ) y x 例3.16 验证v(x,y)=arctan(y/x)(x>0)再由半平面内 是调和函数,并求以此为虚部的解析函数f(z)
由 f (0) 0,
得 c 0,
z
所求解析函数为 f ( z ) ze (1 i )z.
15
例3.18 求 k 值, 使 u x 2 ky2 为调和函数. 再求v , 使
f ( z ) u iv 为解析函数, 并求 f ( i ) 1 的 f ( z ).
(3x2 3 y 2 )dy C 3x 2 y y 3 C
故： f ( z ) u iv x3 3xy 2 i 3x 2 y y 3 C
x iy iC z 3 iC
3
再由 f(0)=i,得出 C＝1，故 f(z)=z3+i 方法二：两次积分法：首先由C-R条件得： vy=ux=3x2-3y2
( x iy )e
x iy
1 i
e z ze z 1 i ,
f ( z ) V ( z )dz (e z ze z 1 i )dz
ze z (1 i )z c. (c 为任意实常数)
20
例3.22 已知 u v ( x y )( x 2 4 xy y 2 ) 2( x y ),
第四节 解析函数与调和函数 的关系
3.4.1 调和函数的定义 3.4.2 解析函数与调和函数的关系 3.4.3由调和函数构造解析函数
3.4.4 小结与思考
3.4.1 调和函数的概念
定义3.5 如果二元实函数H(x,y)在区域D内有 二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯方程:即：
2 H 2 H 2 0 2 x y
10
若已知 v,可用类似的方法求 u
v v u( x , y ) dx dy C ( x0 , y0 ) y x 例3.16 验证v(x,y)=arctan(y/x)(x>0)再由半平面内 是调和函数,并求以此为虚部的解析函数f(z)
解析函数与调和函数的关系
已知实部u，求虚部v(或者已知v，求u)，使 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析.
例：已知 u x y ,可以求得 v 2 xy C
2 2
f ( z) x y i(2xy C) z C'
2 2 2
(1)
则称 H ( x, y)为区域D 内的调和函数(harmonic function).
2 2 注：运算符号 ,称为拉普拉斯算子. 2 2 x y
2 2 H H 方程 0 ,记作 H 0 称为拉普拉斯方程. 2 2 x y
2.解析函数与调和函数的关系
定理2.2 若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 是区域D
内的解析函数,则 u(x,y)和v(x,y) 均为区域D 内的
调和函数. 思考 如果 u, v 是任意选取的在区域D 内的两个
调和函数,那么 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在D 内一定解
析吗？
定义2.5 在区域D 内,满足C-R方程
满足C-R方程
v 为u 在区域D内的共轭调和函数
解析函数与调和函数的关系 解析函数
f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
调和函数
u(x,y),v(x,y) 为调和函数 v为u的共轭调和函数
注：研究复变量的问题转化为研究实变量的问题.
验证：解析函数的实、虚部的任意阶偏导数 也是调和函数. 应用 构造解析函数
§2.2
解析函数与调和函数的关系
引言
解析函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) u,v满足C-R方程 解析函数具有无穷可微性 u,v为调和函数
复变函数(3.5.7)--解析函数与调和函数的关系
知
?ﾢ f
(z)
=
1 2πi
C (z
(R2 - zz ) - z)(R2 - z
z)
f (z )dz
令 z = reij ,z = Rei , 则 dz = Rieiq dq
而 zz = r 2 , (z - z)(R2 - z z ) = (z - z)(R2 - Rreiq e-iq )
Reiq (Reiq - reij )(Re-iq - re-ij ) = Reiq [Reiq - Rr(eiq e-iq + e-iq eij )] = Reiq [R2 + r2 - 2Rr(cosq cosj + sinq sin j)] = Reiq (R2 - 2Rr cos(q - j) + r2 )
| z - z0 |= r ，它的内部全含于 D ，试证：
ﾢ (1)
u(x0 , y0 ) =
1 2p
2p 0
u(
x0
+
r
cos
j,
y0
+
r
sin
j
)dj
即
调
和
函
数
在
任
一
点
( x0
,
y0
)
的
值，等于它在圆周 C 上的平均值.
�� (2)
u(x0 ,
y0 )
=
1 p r02
r0 0
2p 0
u ( x0
vx = 3y2 - 3x2 + 6xy; vy = 3x2 + 6xy - 3y2 可用以下三种方程求 v .
1.（凑全微分法）
dv = (3y2 - 3x2 + 6xy)dx + (3x2 + 6xy - 3y2 )dy = 3y2dx + 3xdy2 + 3x2dy + 3ydx2 - d(x3 + y3) = 2(3xy2 + 3x2 y - x3 - y3 )
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拉普拉斯
调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中有很重要的应用.
2
二、解析函数与调和函数的关系
1. 两者的关系 定理 任何在区域 D 内解析的函数,它的实部 和虚部都是 D 内的调和函数.
证 设 w f ( z ) u iv 为 D 内的一个解析函数 ,
u v u v 那末 , . x y y x
( x iy )e
x iy
1 i
e z ze z 1 i ,
f ( z ) V ( z )dz (e z ze z 1 i )dz
ze z (1 i )z c. (c 为任意实常数)
16
三、小结与思考
本节我们学习了调和函数的概念、解析函数
答案
v( x, y ) 3 x 2 y 6 xy2 y 3 2 x 3 c. (c 为任意常数)
8
例2 已知 v( x , y ) e x ( y cos y x sin y ) x y 为调 和函数, 求一解析函数 f ( z ) u iv , 使 f (0) 0. 解
x
e x (cos y i sin y ) i ( x iy )e x sin y ( x iy )e x cos y 1 i
15
e (cos y i sin y ) ( x iy )e [cos y i sin y ]
x x
1 i
e
x iy
[证毕]
因此 u 与 v 都是调和函数.
4
2. 共轭调和函数的定义
设 u( x , y ) 为区域 D 内给定的调和函数 ,我 们把使 u iv 在 D 内构成解析函数的调和 函数 v ( x , y ) 称为 u( x , y ) 的共轭调和函数.
u v u v 换句话说, 在 D 内满足方程 , 的 x y y x 两个调和函数中 , v 称为 u 的共轭调和函数 .
第七节 解析函数与调和函数 的关系
一、调和函数的定义
二、解析函数与调和函数的关系
三、小结与思考
一、调和函数的定义
定义
如果二元实变函数 ( x , y ) 在区域 D内具 有二阶连续偏导数 , 并且满足拉普拉斯方程 2 2 2 2 0, x y 那末称 ( x , y ) 为区域 D 内的调和函数.
虚部 v( x, y ) e ( y cos y x sin y ) x y.
x
解
f ( z ) V ( z ) v y iv x e x (cos y y sin y x cos y ) 1 i[e ( y cos y x sin y sin y ) 1]
v 6 xydy 3 xy2 g( x ),
v 3 y 2 g( x ), x v u 又因为 3 y 2 3 x 2 , x y
7
3 y 2 g( x ) 3 y 2 3 x 2 ,
2
(c 为任意常数)
故 g ( x ) 3 x dx x c, v( x, y ) x 3 3 xy2 c,
v e x ( y cos y x sin y sin y ) 1, x v e x (cos y y sin y x cos y ) 1, y
u v 由 e x (cos y y sin y x cos y ) 1, x y
得 u [e (cos y y sin y x cos y ) 1]dx
2 u 2v 2u 2v 从而 , . 2 2 yx y xy x
3
根据解析函数高阶导数定理,
u 与 v 具有任意阶的连续偏导 数,
2v 2v , yx xy 2u 2u 从而 2 0, 2 x y 2v 2v 同理 2 0, 2 x y
把 ux iu y 与 v y iv x 用 z 来表示,
f ( z ) ux iuy U ( z ), f ( z ) v y iv x V ( z ),
12
将上两式积分, 得
f ( z ) U ( z )dz c , f ( z ) V ( z )dz c ,
u 2u 解 因为 6 xy, 6 y , 2 x x 2 u u 2 2 6 y, 3 y 3x , 2 y y
6
数.
2u 2u 于是 2 0, 故 u( x , y ) 为调和函数. 2 x y
v u 因为 6 xy, y x
与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念.
应注意的是: 1. 任意两个调和函数u与v所构成的 函数u+iv不一定是解析函数. 2. 满足柯西—黎曼方程ux= vy, vx= –uy,的v称为u 的共轭调和函数, u与v注意的是地位不能颠倒.
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17
f ( z ) 3iz 2dz iz 3 c1 ,
(因为 f ( z ) 的实部为已知函数 , 不可能包含 实的任意常数, 所以常数 c1 为任意纯虚数)
故 f ( z ) i ( z c ).
3
(c 为任意实常数)
14
例5 用不定积分法求解例2中的解析函数 f ( z )
于是 u e x ( x cos y y sin y ) x y c,
10
f ( z ) u iv
xe x e iy iye x e iy x(1 i ) iy(1 i ) c ze (1 i )z c,
z
由 f (0) 0,
3
得一个解析函数 w y 3 3 x 2 y i ( x 3 3 xy2 c ).
这个函数可以化为 w f ( z ) i ( z 3 c ). 课堂练习 证明 u( x , y ) x 3 ห้องสมุดไป่ตู้ 6 x 2 y 3 xy 2 2 y 3 为
调和函数, 并求其共轭调和函数.
得 c 0,
z
所求解析函数为 f ( z ) ze (1 i )z.
11
4. 不定积分法
已知调和函数u( x , y ) 或 v ( x , y ), 用不定积分 求解析函数的方法称为 不定积分法.
不定积分法的实施过程:
解析函数 f ( z ) u iv 的导数 f ( z ) 仍为解析函数 , 且 f ( z ) ux iv x ux iu y v y iv x
适用于已知实部u 求 f ( z ),
适用于已知虚部 v 求 f ( z ),
13
例4
用不定积分法求解例1中的解析函数 f ( z )
3 2
实部 u( x, y ) y 3 x y.
解
f ( z ) U ( z ) ux iuy 3i ( x 2 2 xyi y 2 ) 3iz 2 ,
x
9
u e ( x cos y y sin y ) x g( y ),
x
v u 由 ,得 x y
e x ( y cos y x sin y sin y ) 1 e x ( x sin y y cos y sin y ) g( y ),
故 g( y ) y c ,
区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调 和函数.
5
3. 偏积分法 如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用 柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数 v, 从而 构成一个解析函数u+vi. 这种方法称为偏积分法.
3 2 例1 证明 u( x , y ) y 3 x y 为调和函数, 并求 其共轭调和函数v ( x , y ) 和由它们构成的解析函
调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中有很重要的应用.
2
二、解析函数与调和函数的关系
1. 两者的关系 定理 任何在区域 D 内解析的函数,它的实部 和虚部都是 D 内的调和函数.
证 设 w f ( z ) u iv 为 D 内的一个解析函数 ,
u v u v 那末 , . x y y x
( x iy )e
x iy
1 i
e z ze z 1 i ,
f ( z ) V ( z )dz (e z ze z 1 i )dz
ze z (1 i )z c. (c 为任意实常数)
16
三、小结与思考
本节我们学习了调和函数的概念、解析函数
答案
v( x, y ) 3 x 2 y 6 xy2 y 3 2 x 3 c. (c 为任意常数)
8
例2 已知 v( x , y ) e x ( y cos y x sin y ) x y 为调 和函数, 求一解析函数 f ( z ) u iv , 使 f (0) 0. 解
x
e x (cos y i sin y ) i ( x iy )e x sin y ( x iy )e x cos y 1 i
15
e (cos y i sin y ) ( x iy )e [cos y i sin y ]
x x
1 i
e
x iy
[证毕]
因此 u 与 v 都是调和函数.
4
2. 共轭调和函数的定义
设 u( x , y ) 为区域 D 内给定的调和函数 ,我 们把使 u iv 在 D 内构成解析函数的调和 函数 v ( x , y ) 称为 u( x , y ) 的共轭调和函数.
u v u v 换句话说, 在 D 内满足方程 , 的 x y y x 两个调和函数中 , v 称为 u 的共轭调和函数 .
第七节 解析函数与调和函数 的关系
一、调和函数的定义
二、解析函数与调和函数的关系
三、小结与思考
一、调和函数的定义
定义
如果二元实变函数 ( x , y ) 在区域 D内具 有二阶连续偏导数 , 并且满足拉普拉斯方程 2 2 2 2 0, x y 那末称 ( x , y ) 为区域 D 内的调和函数.
虚部 v( x, y ) e ( y cos y x sin y ) x y.
x
解
f ( z ) V ( z ) v y iv x e x (cos y y sin y x cos y ) 1 i[e ( y cos y x sin y sin y ) 1]
v 6 xydy 3 xy2 g( x ),
v 3 y 2 g( x ), x v u 又因为 3 y 2 3 x 2 , x y
7
3 y 2 g( x ) 3 y 2 3 x 2 ,
2
(c 为任意常数)
故 g ( x ) 3 x dx x c, v( x, y ) x 3 3 xy2 c,
v e x ( y cos y x sin y sin y ) 1, x v e x (cos y y sin y x cos y ) 1, y
u v 由 e x (cos y y sin y x cos y ) 1, x y
得 u [e (cos y y sin y x cos y ) 1]dx
2 u 2v 2u 2v 从而 , . 2 2 yx y xy x
3
根据解析函数高阶导数定理,
u 与 v 具有任意阶的连续偏导 数,
2v 2v , yx xy 2u 2u 从而 2 0, 2 x y 2v 2v 同理 2 0, 2 x y
把 ux iu y 与 v y iv x 用 z 来表示,
f ( z ) ux iuy U ( z ), f ( z ) v y iv x V ( z ),
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将上两式积分, 得
f ( z ) U ( z )dz c , f ( z ) V ( z )dz c ,
u 2u 解 因为 6 xy, 6 y , 2 x x 2 u u 2 2 6 y, 3 y 3x , 2 y y
6
数.
2u 2u 于是 2 0, 故 u( x , y ) 为调和函数. 2 x y
v u 因为 6 xy, y x
与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念.
应注意的是: 1. 任意两个调和函数u与v所构成的 函数u+iv不一定是解析函数. 2. 满足柯西—黎曼方程ux= vy, vx= –uy,的v称为u 的共轭调和函数, u与v注意的是地位不能颠倒.
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f ( z ) 3iz 2dz iz 3 c1 ,
(因为 f ( z ) 的实部为已知函数 , 不可能包含 实的任意常数, 所以常数 c1 为任意纯虚数)
故 f ( z ) i ( z c ).
3
(c 为任意实常数)
14
例5 用不定积分法求解例2中的解析函数 f ( z )
于是 u e x ( x cos y y sin y ) x y c,
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f ( z ) u iv
xe x e iy iye x e iy x(1 i ) iy(1 i ) c ze (1 i )z c,
z
由 f (0) 0,
3
得一个解析函数 w y 3 3 x 2 y i ( x 3 3 xy2 c ).
这个函数可以化为 w f ( z ) i ( z 3 c ). 课堂练习 证明 u( x , y ) x 3 ห้องสมุดไป่ตู้ 6 x 2 y 3 xy 2 2 y 3 为
调和函数, 并求其共轭调和函数.
得 c 0,
z
所求解析函数为 f ( z ) ze (1 i )z.
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4. 不定积分法
已知调和函数u( x , y ) 或 v ( x , y ), 用不定积分 求解析函数的方法称为 不定积分法.
不定积分法的实施过程:
解析函数 f ( z ) u iv 的导数 f ( z ) 仍为解析函数 , 且 f ( z ) ux iv x ux iu y v y iv x
适用于已知实部u 求 f ( z ),
适用于已知虚部 v 求 f ( z ),
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例4
用不定积分法求解例1中的解析函数 f ( z )
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实部 u( x, y ) y 3 x y.
解
f ( z ) U ( z ) ux iuy 3i ( x 2 2 xyi y 2 ) 3iz 2 ,
x
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u e ( x cos y y sin y ) x g( y ),
x
v u 由 ,得 x y
e x ( y cos y x sin y sin y ) 1 e x ( x sin y y cos y sin y ) g( y ),
故 g( y ) y c ,
区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调 和函数.
5
3. 偏积分法 如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用 柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数 v, 从而 构成一个解析函数u+vi. 这种方法称为偏积分法.
3 2 例1 证明 u( x , y ) y 3 x y 为调和函数, 并求 其共轭调和函数v ( x , y ) 和由它们构成的解析函