人教版八年级数学上册第十五章 分式规律探究题专题练习(PDF版)
D: 缩小到原来的 1 3
⑶：把分式 x 2 y 中的 x、y 都扩大到原来的 2 倍，那么分式的值（ ） x y
A:扩大 10 倍 B:缩小到原来的 1 C: 是原来的 3 倍 D:不变
10
2
⑷：把分式 2x 2 中的 x、y 都扩大到原来的 3 倍，那么分式的值（ ） 3x 2y
A:扩大 3 倍 B:缩小到原来的 1 C: 是原来的 1 倍 D:不变
（1）猜想并写出： 1 ______________________ n(n 1)
(2)利用规律计算：
.... 1
1
1
x( x1) ( x1)( x2) ( x2)( x3)
1 ( x99)( x100)
(3)利用规律计算：
.... 1
1
1
x( x1) ( x1)( x2) ( x2)( x3)
1＝ 1 1 1; 1 ＝ 1 1 1 ; 1 ＝ 1 1 1; 1 ＝ 1 1 1 6 2 3 2 3 12 3 4 3 4 20 4 5 4 5 30 5 6 5 6
∴11 1
1
13 35 5 7
2013 2015
= 1 (1 1 1 1 1 1 1 1 ）＝ 1 （1－ 1 ）＝ 1007
2 33557
2013 2015 2
2015 2015
解答下列问题：
⑴：在和式 1 1 1 中，第 5 项为____________，第 n 项为___________，上述求和的想 13 35 5 7
观察下列等式: 1 1 1 ， 1 1 1 ， 1 1 1 ， 1 2 2 23 2 3 3 4 3 4
1 1 1 ... 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 1 1 9 ． 1 2 23 3 4 910 2 2 3 3 4 8 9 9 10 10 10
分式规律探究题专题练习
1、观察下列各式：
1
1 3
2
1 5
42 5
,4
1 6
52 6
......
这是一组有规律的分数运算，用n表示正整数，请用关于n的
一个分式等式来表示这个规律。
2、如果把分式 x y 中的 x、y 都变成原来的 2 倍，那么分式的值会不会改变？ x y
4、阅读下列材料：
方程
1 1 1 1 的解是 x＝1；
x 1 x x 2 x 3
方程
的解是 x＝2；
方程
的解是 x＝3；……
⑴：请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程______________________并求 出这个方程的解_____________________
1 ( x99)( x100)
(4)利用规律计算： 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1
1 2 23 3 4
9 10
8、阅读下列材料：并解答后面的问题。
∵ 1 1 (1 1) 1 1 (1 1 ） 1 1 (1 1 ）
1
1 ( 1 1 ) ……
1 3 2 3 3 5 2 3 5 5 7 2 5 7 2013 2015 2 2013 2015
法是：将和式中的各分
数转化
为两个数之差，使得首
1
1
1
1
末两项
x(x 2) (x 2)(x 4) (x 4)(x 6)
(x 2014)(x 2016)
外的中间各项可以
____________，从而求和。
⑵：利用上述结论计算：
⑶：利用上述结论计算：
x
1 x
3
⑵：根据（1）中所得的结论，写出一个解为－5 的分式方程_________________________________
5、化简分式：
6、 化简计算(式中 a，b，c 两两不相等)：
7、【采取“拆项相消”法，利用 A B A B 1 1 的变形技巧。】 AB AB AB A B
x2
x2 y2
x y
变式 2：
⑴：把分式 a b 中的 a 、b 都扩大到原来的 3 倍，那么分式的值（ ） ab
A:扩大 3 倍 B:缩小到原来的 1 C:不变 9
D: 缩小到原来的 1 3
⑵：把分式 3xy 中的 x、y 都扩大到原来的 1 倍，那么分式的值（ ）
x2 y2
3
A:扩大 3 倍 B:缩小到原来的 1 C:不变 9
3
9
⑸：把分式 x y 中的 x、y 都扩大到原来的 4 倍，那么分式的值（ ） xy 2
A:扩大 16 倍 B:缩小到原来的 1 C: 缩小到原来的 1
16
4
D: 扩大 4 倍
（6）: 把分式 2x3 中的 x、y 都扩大到原来的 3 倍，那么分式的值（ ） 3x 2y
A:扩大 9 倍 B:缩小到原来的 1 C: 是原来的 1 倍 D: 扩大 3 倍
x
1
3
x
6
...
x
1
27
x
30
的值。
⑷：利用上述结论计算：若
1 1 3
1 3
5
5
1
7
＋
2n
1
12n
1
＝
18 37
，求：n
的值。
⑸：利用上述结论 求： 1 1 1 1 ... 1 的值。
2 6 12 20
9900
（6）：观察下列各式：并解答后面的问题。
如果是分式①、 x y ②、 x 2 y2 ③、 x 2 y 2 呢？说出分式值的变化情况？请你从中找出规律。
x2
x2 y2
x y
变式 1：如果把分式 x y 中的 x、y 都变成原来的 1 倍，那么分式的值会不会改变？
x y
2
如果是分式①、 x y ②、 x 2 y2 ③、 x 2 y 2 呢？说出分式值的变化情况？
3
9
3、计算， 22 1 ， 32 1 ，， 42 1 ， 52 1 ，…，根据发现的规律，判断 P= n2 1
21 31
41 51
n 1
n 12 1 Q= n 1 1 （n 为大于 1 的整数）的值的大小关系为（ ）
A:P＜Q B: P＝Q C: P＞Q D:与 n 的取值有关
人教版八年级上册数学 第十五章 分式实际应用题 综合复习练习题(含答案)
人教版八年级上册数学第十五章分式实际应用题综合复习练习题
1．某装修工程，甲、乙两人可以合作完成，若甲、乙两人合作4天后，再由乙独作12天可以完成，已知甲独作每天需要费用580元．乙独作每天需费用280元．但乙单独完成的天数是甲单独完成天数的2倍．
（1）甲、乙两人单独作这项工程各需多少天？
（2）如果工期要求不超过18天完成，应如何安排甲乙两人的工期使这项工程比较省钱？
2．目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗．对比手机数据发现小明步行12 000步与小红步行9 000步消耗的能量相同．若每消耗1千卡能量小明行走的步数比小红多10步，求小红每消耗1千卡能量需要行走多少步？
3．新冠肺炎疫情爆发之后，全国许多省市对湖北各地进行了援助，广州市某医疗队备好医疗防护物资迅速援助武汉．
第一批医疗队员乘坐高铁从广州出发，2.5小时后，第二批医疗队员乘坐飞机从广州出发，两批队员刚好同时到达武汉．已知广州到武汉的飞行距离为800千米，高铁路程为飞行
距离的倍．
（1）求广州到武汉的高铁路程；
（2）若飞机速度与高铁速度之比为5：2，求飞机和高铁的速度．
4．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等．
（1）甲、乙二人每小时各做零件多少个？
（2）甲做几小时与乙做4小时所做机械零件数相等？
5．小明准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少6元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同．（1）求这种笔和本子的单价各是多少？
（2）小明准备用自己的180元压岁钱购买这种笔和本子，计划180元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案．。
人教版 初中数学八年级上册 第十五章 分式 复习习题 (含答案解析)
人教版初中数学八年级上册第十五章分式复习习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．使代数式有意义的自变量x的取值范围是（）A．x≥3B．x＞3且x≠4C．x≥3且x≠4D．x＞32．下列说法，你认为正确的是（）A．0的倒数是0 B．3-1=-3C．π是有理数D．是有理数3．已知关于x的分式方程=1的解是负数，则m的取值范围是（）A．m≤3B．m≤3且m≠2C．m＜3D．m＜3且m≠24．分式方程的解为（）A．B．C．D．无解5．已知，则的值是A．60B．64C．66D．72在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )6．若-A．x<B．x≤C．x≠D．x>7．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是米/秒，则所列方程正确的是（）A．B．C．D．8．若分式的值为0，则x的值为（）A．-2B．0C．2D．±29．一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行100km所用时间，与以最大航速逆流航行80km所用时间相等，设江水的流速为v km/h，则可列方程为（）A．=B．=C．=D．=10．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）A ． x ＞0B ． x ≥0C ． x ≠0D ． x ≥0且x ≠1 11．关于x 的分式方程的解为非负数，且使关于x 的不等式组有解的所有整数k 的和为（ ）A ． ﹣1B ． 0C ． 1D ． 212．若x 取整数，则使分式的值为整数的x 值有 A ． 3个 B ． 4个 C ． 6个 D ． 8个13．小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是，这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x =5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业.同学们，你能补出这个常数吗？它应该是 A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5 14．下列等式正确的是 ( ) ①0．000126=1.26×10－4②3.10×104=31000③1.1×10－5=0.000011 ④12600000=1.26×106A ． ①②B ． ②④C ． ①②③D ． ①③④15．若数a 使关于x 的不等式组无解，且使关于x 的分式方程有正整数解，则满足条件的a 的值之积为（ ） A ． 28 B ． ﹣4 C ． 4 D ． ﹣2 16．若关于x 的方程无解，则m 的值为A ．B ．C ．D ． 17．如果成立，那么下列各式一定成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．18．关于x 则实数m 的取值范围是（ ） A ． m<-6且m≠2 B ． m ＞6且m≠2 C ． m<6且m≠-2 D ． m<6且m≠2 19．下列运算正确的是( ) A ．11x y x y xy--= B ．=-1b aa b b a +-- C ． 21111a a a --=--+ D ． 2111·1a a a a a--=-+20．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子的最小值是”．其推导方法如下：在面积是的矩形中设矩形的一边长为，则另一边长是，矩形的周长是；当矩形成为正方形时，就有，解得，这时矩形的周长最小，因此的最小值是．模仿张华的推导，你求得式子的最小值是（）．A．B．C．D．二、填空题21．如果a+b=2，那么代数式（a﹣）÷的值是______．22．已知x为正整数，当时x=________时，分式的值为负整数．23．计算：=__．24．分式方程的解为__________．25．一个铁原子的质量是，将这个数据用科学记数法表示为__________．26．已知，则=_____．27．已知2n+2-n=k（n为正整数），则4n+4-n=____________．（用含k的代数式表示）28．已知甲、乙两地间的铁路长1480千米，列车大提速后，平均速度增加了70千米/时，列车的单程运行时间缩短了3小时．设原来的平均速度为x千米/时，根据题意，可列方程为______________．29．请观察一列分式：﹣，，﹣，，…则第11个分式为_____．30．分式和的最简公分母是____________．31．若关于x的方程有增根，则a的值为________．32．对实数a、b，定义运算☆如下：a☆b=，例如：2☆3=2﹣3=，则计算：[2☆（﹣4）]☆1=_____．33．要使关于x a的取值范围是___．.34．当x 取_____时，分式有意义．35．已知a 1＝，a 2＝，a 3＝，…，a n ＋1＝(n 为正整数，且t≠0，1)，则a 2018＝______(用含有t 的式子表示)． 36．对于正数x ，规定 f (x )=，例如：f (4)== ，f ( )==，则f (2017)+f (2016)+…+f (2)+f (1)+f ()+f ()+…+f ()+f ()= ．37．如果关于x 的不等式组(){2432x mx x ->-<-的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有m 的取值之积为（ ）A ．B ．C ．D ． 15-38．已知(x+3)2 - x ＝1，则x 的值可能是___________；39．若关于x 的方程=3的解是非负数，则b 的取值范围是_____． 40．若分式方程1x aa x -=+无解，则a ＝________.三、解答题41．文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售.甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本.（1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？（2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完.） 42．解分式方程：2311xx x x +=--. 43．计算：．44．先化简,再求值:,其中 是不等式组的整数解.45．先化简，再求值：，其中m= +1．46．先化简，再求值：，其中 .47．某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？48．计算：（1）3a5÷（6a3）•（﹣2a）2；（2）（3.14﹣π）0+0.254×44﹣（）﹣149．为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？50．某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序软件升级，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求软件升级后每小时生产多少个零件？51．先化简，再求值：（-其中52．已知，，求（）的值.53．为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？54．计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0﹣|﹣2|55．（1）计算：；（2）化简并求值：，其中，.56．解方程：57．“一带一路”的战略构想为国内许多企业的发展带来了新的机遇，某公司生产A ，B 两种机械设备，每台B 种设备的成本是A 种设备的1.5倍，公司若投入16万元生产A 种设备，36万元生产B 种设备，则可生产两种设备共10台．请解答下列问题： （1）A 、B 两种设备每台的成本分别是多少万元？（2）若A ，B 两种设备每台的售价分别是6万元，10万元，公司决定生产两种设备共60台，计划销售后获利不低于126万元，且A 种设备至少生产53台，求该公司有几种生产方案；（3）在（2）的条件下，销售前公司决定从这批设备中拿出一部分，赠送给“一带一路”沿线的甲国，剩余设备全部售出，公司仍获利44万元，赠送的设备采用水路运输和航空运输两种方式，共运输4次，水路运输每次运4台A 种设备，航空运输每次运2台B 种设备（运输过程中产生的费用由甲国承担）．直接写出水路运输的次数． 58．计算：﹣12018﹣|1﹣ |+（）﹣1+（3.14﹣π）0+ ．59．某水果店以4元/千克的价格购进一批水果，由于销售状况良好，该店又再次购进同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜了0.5元，所购水果重量恰好是第一次购进水果重量的2倍，这样该水果店两次购进水果共花去了2200元. (1)该水果店两次分别购买了多少元的水果?(2)在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的水果有3%的损耗，第二次购进的水果有5%的损耗，该水果店希望售完这些水果获利不低于1244元，则该水果每千克售价至少为多少元? 60．计算：（2b ax ）2÷（﹣3ax b）×38ab ．61．（2017云南省，第18题，6分）某商店用1000元人民币购进水果销售，过了一段时间，又用2400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了2元． （1）该商店第一次购进水果多少千克？（2）假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售．若两次购进水果全部售完，利润不低于950元，则每千克水果的标价至少是多少元？注：每千克水果的销售利润等于每千克水果的销售价格与每千克水果的购进价格的差，两批水果全部售完的利润等于两次购进水果的销售利润之和． 62．解方程（1）﹣1=．（2）．63．某校计划在暑假两个月内对现有的教学楼进行加固改造,经调查发现,甲、乙两个工程队都有能力承包这个项目,已知甲队单独完成工程所需要的时间是乙队的2倍,甲、乙两队合作12天可以完成工程的;甲队每天的工作费用为4500元,乙队每天的工作费用为10000元,根据以上信息,从按期完工和节约资金的角度考虑,学校应选择哪个工程队?应付工程队费用多少元?64．我市向民族地区的某县赠送一批计算机，首批270台将于近期启运．经与某物流公司联系，得知用A型汽车若干辆刚好装完；用B型汽车不仅可少用1辆，而且有一辆车差30台计算机才装满．（1）已知B型汽车比A型汽车每辆车可多装15台，求A、B两种型号的汽车各能装计算机多少台？（2）已知A型汽车的运费是每辆350元，B型汽车的运费是每辆400元．若运送这批计算机同时用这两种型号的汽车，其中B型汽车比A型汽车多用1辆，所用运费比单独用任何一种型号的汽车都要节省，按这种方案需A、B两种型号的汽车各多少辆运费多少元？65．先化简，再求值：，其中.66．先化简，再求值：，其中x的值从不等式组的整数解中选取．67．解方程：68．先化简，再求值：，其中x满足x2－2x－2=0.69．某商城销售A，B两种自行车．A型自行车售价为2 100元/辆，B型自行车售价为1 750元/辆，每辆A型自行车的进价比每辆B型自行车的进价多400元，商城用80 000元购进A型自行车的数量与用64 000元购进B型自行车的数量相等．（1）求每辆A，B两种自行车的进价分别是多少？（2）现在商城准备一次购进这两种自行车共100辆，设购进A型自行车m辆，这100辆自行车的销售总利润为y元，要求购进B型自行车数量不超过A型自行车数量的2倍，总利润不低于13 000元，求获利最大的方案以及最大利润．70．若关于的方程的解为正数，求的取值范围．71．计算题（1）先化简，再求值：÷（1+），其中x=2017．（2）已知方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根，求m 的值． 72．已知关于x 的分式方程.(1)若方程的增根为x ＝2，求a 的值； (2)若方程有增根，求a 的值； (3)若方程无解，求a 的值． 73．已知关于x 的方程4433x mm x x---=--无解，求m 的值． 74．计算：（1）a （a +2b ）﹣（a ﹣2b ）（a +b ）（2 75．阅读理解：把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式．如何将2131xx --表示成部分分式？设分式=将等式的右边通分得： =得： 3{ 1m n m n +=--=，解得： 1{ 2m n =-=-，（1m = ，n = ；（276．某商厦用8万元购进纪念运动休闲衫，面市后供不应求，商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种运动休闲衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完． （1）商厦第一批和第二批各购进休闲衫多少件？ （2）请问在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？ 77．先化简，再求值：，其中x=﹣3．78．A ，B 两地间仅有一长为180千米的平直公路，若甲，乙两车分别从A ，B 两地同时出发匀速前往B ，A 45分钟． （1）求甲车速度；（2）乙车到达A 地停留半小时后以来A 地时的速度匀速返回B 地，甲车到达B 地后立即提速匀速返回A 地，若乙车返回到B 地时甲车距A 地不多于30千米，求甲车至少提速多少千米/时？79．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．甲工程队施工一天，需付工程款1万元；乙工程队施工一天，需付工程款0.6万元．根据甲、乙工程队的投标书测算，可有三种施工方案：（A ）甲队单独完成这项工程，刚好如期完成； （B ）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用4天；（C ）若甲、乙两队合做3天后，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工． 为了节省工程款，同时又能如期完工，你认为应选择哪一种方案？并说明理由． 80．已知关于x 的分式方程2=+4m x x 与分式方程3121x x =-的解相同，求m 2－2m 的值．81．某高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作60天完成．(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？(2)已知甲队每天的施工费用为8.6万元，乙队每天的施工费用为5.4万元，工程预算的施工费用为1000万元．若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？82，其中A 、B 为常数，求42A B -的值． 83．若关于x 的方程221933m x x x +=-+-有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m 的值．84．在“母亲节”前期，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销售量大，店主决定将玫瑰每枝降价1元促销，降价后30元可购买玫瑰的数量是原来购买玫瑰数量的1.5倍．（1）求降价后每枝玫瑰的售价是多少元？（2）根据销售情况，店主用不多于900元的资金再次购进两种鲜花共500枝，康乃馨进价为2元/枝，玫瑰进价为1.5元/枝，问至少购进玫瑰多少枝？85．化简：．86．化简（+a﹣2）÷．87．先化简，再求值：，其中88．先化简再求值：÷（x﹣1﹣），其中x=（1）2017×（﹣）2018．89．先化简，再求值：﹣÷，其中x=2．90．已知，，，求的值．91．我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则；等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式．任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和；(1)下列分式中，属于真分式的是：________(填序号)；(2)________＋________；(3)__________________. 92．先化简，再计算: 其中.93．为加快城市群的建设与发展，在A，B两城市间新建一条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的120km缩短至114km，城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快110km，运行时间仅是现行时间的，求建成后的城际铁路在A，B两地的运行时间．94．阅读思考：数学课上老师出了一道分式化简求值题目．题目：÷(x＋1)·－，其中x＝－.“勤奋”小组的杨明同学展示了他的解法：解：原式＝－ ..................第一步＝－................ ..第二步 ＝..........................第三步＝..................................第四步 当x ＝－时，原式＝.......................第五步请你认真阅读上述解题过程，并回答问题：你认为该同学的解法正确吗？如有错误，请指出错误在第几步，并写出完整、正确的解答过程．95．湖州市在2017年被评为“全国文明城市”，在评选过程中，湖州市环卫处每天需负责市区范围420千米城市道路的清扫工作，现有环卫工人直接清扫和道路清扫车两种马路清扫方式.已知20名环卫工人和1辆道路清扫车每小时可以清扫20千米马路，30名环卫工人和3辆道路清扫车每小时可以清扫42千米的马路. （1）1名环卫工人和1辆道路清扫车每小时各能清扫多长的马路？（2）已知2017年环卫处安排了50名环卫工人参与了直接清扫工作，为保证顺利完成每日的420千米清扫工作，需派出多少辆道路清扫车参与工作（已知2017年环卫工人与清扫车每天工作时间为6小时）？（3）为了巩固文明城市创建成果，从2018年5月开始，环卫处新增了一辆清扫车参与工作，同时又增加了若干个环卫工人参与直接清扫，使得每日能够较早的完成清扫工作。
人教版初中八年级数学上册第十五章《分式》(含答案解析)(1)
一、选择题1．若关于x 的分式方程3211m x x =---有非负实数解，且关于x 的不等式组102x x m +≥⎧⎨+≤⎩有解，则满足条件的所有整数m 的和为（ ） A ．9- B ．8-C ．7-D ．6-2．若使分式2xx -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠B ．0x =C ．1x ≠-D ．2x =3．已知2340x x --=，则代数式24xx x --的值是（ ）A ．3B ．2C ．13D ．124．要使分式()()221x x x ++-有意义，x 的取值应满足（ ）A ．1x ≠B ．2x ≠-C ．1x ≠或2x ≠-D ．1x ≠且2x ≠-5．在同一平面内，我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为1a ，三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为2a ，四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为()3,,1a n ⋅⋅⋅+条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为n a ，若121111011111n a a a ++⋅⋅⋅+=---，则n =（ ） A ．10 B ．11C ．20D ．216．将0.50.0110.20.03x x+-=的分母化为整数，得（ ） A ．0.50.01123x x +-= B ．5051003xx +-= C ．0.50.01100203x x +-= D ．50513xx +-= 7．下列式子的变形正确的是（ ）A ．22b b a a=B ．22+++a b a b a b=C ．2422x y x yx x --=D ．22m nn m-=- 8．下列分式中，最简分式是（ ）A ．211x x +-B ．2211x x -+C ．2222x xy y x xy-+-D ．21628x x -+9．3333x a a y x y y x +--+++等于（ ） A ．33x y x y-+B ．x y -C ．22x xy y -+D ．22xy +10．下列计算正确的是（ ） A ．1112a a a += B ．2211()()a b b a +--=0C ．m n a -﹣m na+=0 D ．11a b b a +--=0 11．下列各式中错误的是（ ） A ．2c d c d c d c d d a a a a -+-----== B ．5212525aa a +=++ C ．1x y x y y x-=--- D ．2211(1)(1)1x x x x -=---12．已知227x ,y ==-，则221639yx y x y ---的值为（ ） A ．-1B ．1C ．-3D ．313．2a ab b a ++-的结果是( )．A ．2a-B ．4aC ．2b a b--D ．b a- 14．在代数式2π，15x +，221x x --，33x -中，分式有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个15．化简214a 2a 4---的结果为（ ） A ．1a 2+ B ．a 2+C ．1a 2- D ．a 2-二、填空题16．已知234a b c ==（0abc ≠，a b c +≠），则=+a b ca b c -+-_____． 17．化简23x x+=____． 18．计算：2120192-⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 19．化简分式：2121211a a a a +⎛⎫÷+= ⎪-+-⎝⎭_________．20．计算：222213699211-+-+⋅⋅=--++x x x x x x x x ___________．21．下列计算：①3100.0001-=；②()00.00011=；③()()352x x x --÷-=-；④22133a a-=；⑤()()321m m mm a a a -÷=-．其中运算正确的有______．（填序号即可）22．计算：11|1|3-⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 23．“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5400元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数多100盒，且每盒花的进价比第一批的进价少3元．设第一批盒装花的进价是x 元，则根据题意可列方程为________．24．九年级()1班学生周末从学校出发到某实践基地研学旅行，实践基地距学校150千米，一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地，已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，如果设慢车的速度为x 千米/时，根据题意列方程为________．25．计算：051)-+=__． 26．已知：4a b +=，2210a b +=，求11a b+=______． 三、解答题27．先化简，再求值：（1－22a -）÷228164a a a -+-，其中a ＝0(2021)π- 28．先化简，再求值：21111a a a ⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭，其中1a = 29．计算：（1）(2)(2)4(21)x x x -+--；（2）2221111a a a a ++⎛⎫+÷⎪--⎝⎭． 30．解分式方程： （1）1171.572x x += （2）21533x x x-+=--。
人教版八年级数学上册第十五章 分式考点总结及同步练习(无答案)
分式考点总结及同步练习一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。
例1.下列各式a π，11x +，15x+y ，22a b a b --，-3x 2，0•中，是分式的有（ ）个。
二、 分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】 分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】分式值为零的条件分子为零且分母不为零。
【B ≠0且A=0 即子零母不零】例2.下列分式，当x 取何值时有意义。
（1）2132x x ++； （2）2323x x +-。
例3.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）。
A ．121x +B ．21x x +C ．231x x+ D ．2221x x +例4．当x______时，分式2134x x +-无意义。
当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。
例5.已知1x -1y=3，求5352x xy y x xy y +---的值。
三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
（0≠C ）四、分式的通分和约分：关键先是分解因式。
例6.不改变分式的值，使分式115101139x yx y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ）。
例7.不改变分式2323523x xx x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是（• ）。
例8.分式434y xa +，2411x x --，22x xy y x y-++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（ ）。
例9.约分：（1）22699x x x ++-； （2）2232m m m m-+-C B C A B A ⋅⋅=CB CA B A ÷÷=例10.通分：（1）26x ab ，29y a bc ； （2）2121a a a -++，261a -例11.已知x 2+3x+1=0，求x 2+21x 的值．例12.已知x+1x=3，求2421x x x ++的值．五、分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
人教版初中八年级数学上册第十五章《分式》(含答案解析)(1)
一、选择题1．关于代数式221a a+的值，以下结论不正确的是（ ） A ．当a 取互为相反数的值时，221a a +的值相等 B ．当a 取互为倒数的值时，221a a +的值相等 C ．当1a >时，a 越大，221a a +的值就越大 D ．当01a <<时，a 越大，221a a+的值就越大D 解析：D【分析】根据相反数的性质，倒数的性质以及不等式的性质来解决代数式的值即可；【详解】当a 取互为相反数的值时，即取m 和-m ，则-m+m=0，当a 取m 时，①222211=m a a m ++ ，当a 取-m 时，②()()222222111a m m a m m +=-+=+- ， ①=②，故A 正确； B 、当a 取互为倒数的值时，即取m 和1m ，则11m m ⨯= ， 当a 取m 时，①222211=m a a m ++，当a 取1m 时，②2222221111m 1m a m a m ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭①=②，故B 正确；C 、可举例判断，由a ＞1得，取a=2，3（2＜3） 则22112=424++＜ 22113=939++ ， 故C 正确； D 、可举例判断，由01a ＜＜得，取a=12，13（12＞13）2222111111=4+=924391123⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜ ， 故D 错误；故选：D ．【点睛】本题考查了相反数的性质，倒数的性质，不等式的性质和代数式求值的知识，正确理解题意是解题的关键． 2．计算：2x y x y x y xy-⋅-=（ ） A ．xB ．y xC ．yD ．1xA 解析：A【分析】根据分式乘法计算法则解答．【详解】 解：2x y x y x y xy-⋅-=x ， 故选：A ．【点睛】此题考查分式的乘法计算法则，熟记计算法则是解题的关键．3．已知2,1x y xy +==，则y x x y +的值是（ ） A ．0B ．1C ．-1D ．2D解析：D【分析】 将y x x y+进行通分化简，整理出含已知条件形式的分式，即可得出答案． 【详解】 解：2222()2221=21y x y x x y xy x y xy xy ++--⨯+=== 故选D ．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键．4．若x 2y 5=，则x y y+的值为（ ） A ．25 B ．72 C ．57 D ．75D【分析】根据同分母分式的加法逆运算得到x y x yy y y+=+，将x2y5=代入计算即可．【详解】解：∵x2y5 =，∴x y x y2y y y5+=+=+175=，故选：D．【点睛】此题考查同分母分式的加减法，已知式子的值求分式的值．5．大爱无疆，在爆发新冠病毒疫情后，甲，乙两家单位分别组织了员工捐款．已知甲单位捐款7500元，乙单位捐款9800元，甲单位捐款人数比乙单位少10人，且甲单位人均捐款额比乙单位多20元，若设甲单位的捐款人数为x，则可列方程为（）A．7500980020x x10-=-B．9800750020x10x-=-C．7500980020x x10-=+D．9800750020x10x-=+C解析：C【分析】由设甲单位的捐款人数为x，甲单位捐款人数比乙单位少10人，得到乙单位人数为（x+10），根据甲单位人均捐款额比乙单位多20元列得方程．【详解】解：由题意得：7500980020 x x10-=+，故选：C．【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系，由此列得方程解决实际问题是解题的关键．6．小红用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完）已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小红和小丽买到相同数量的笔记本．设硬面笔记本每本售价为x元，根据题意可列出的方程为（）A．1524x x3=+B．1524x x3=-C．1524x3x=+D．1524x3x=-D解析：D由设硬面笔记本每本售价为x 元，可得软面笔记本每本售价为()x 3-元，根据小红和小丽买到相同数量的笔记本列得方程．【详解】解：设硬面笔记本每本售价为x 元，则软面笔记本每本售价为()x 3-元， 根据题意可列出的方程为：1524x 3x=-． 故选：D ．【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系，由此列得方程是解题的关键． 7．分式242x x -+的值为0，则x 的值为（ ） A ．2-B ．2-或2C ．2D ．1或2C 解析：C【分析】分式的值为零时，分子等于零，分母不等于零．【详解】解：依题意，得x 2-4=0，且x+2≠0，所以x 2=4，且x≠-2，解得，x=2．故选：C ．【点睛】本题考查了求一个数的平方根，分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．8．已知a 、b 为实数且满足a ≠﹣1，b ≠﹣1，设M =11a b a b +++，N =1111a b +++，则下列两个结论（ ）①ab =1时，M =N ；ab ＞1时，M ＜N ．②若a +b =0，则M •N ≤0．A ．①②都对B ．①对②错C ．①错②对D ．①②都错C 解析：C【分析】对于①，计算M-N 的值可以判断M>N 还是M<N ；对于②，计算M N 的值，然后根据a 、b 满足的条件判断其大于0还是小于0．【详解】∵M =11aba b +++，N = 1111a b +++，∴M ﹣ N =11aba b +++﹣（ 1111a b +++） =22(1)(1)ab a b -++，①当ab =1时，M ﹣N =0，∴M =N ，当ab ＞1时，2ab ＞2，∴2ab ﹣2＞0，当a ＜0时，b ＜0，（a +1）（b +1）＞0或（a +1）（b +1）＜0，∴M ﹣N ＞0或M ﹣N ＜0，∴M ＞N 或M ＜N ；故①错误；②M •N =（11aba b +++）•（ 1111a b +++）=()()()()221111a a b ba b a b +++++++．∵a +b =0，∴原式=()()2211a ba b +++ =224(1)(1)aba b ++．∵a ≠﹣1，b ≠﹣1，∴（a +1）2（b +1）2＞0．∵a +b =0，∴ab ≤0，M •N ≤0，故②对．故选：C ．【点睛】本题考查分式运算的应用，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．9．计算aba b a ÷⨯的结果是（）A ．aB ．2aC ．2b aD ．21a C 解析：C【分析】先把除法变成乘法，然后约分即可．【详解】 解：2a b b b b a a b a a a a÷⨯=⋅⋅=， 故选：C ．【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握乘除混合运算法则．10．化简214a 2a 4---的结果为（ ） A ．1a 2+ B ．a 2+ C ．1a 2- D ．a 2- A 解析：A【分析】根据分式的减法可以解答本题．【详解】 解：()()214a 241a 2a 4a 2a 2a 2+--==--+-+， 故选：A ．【点睛】本题考查异分母分式的减法运算，解答本题的关键是明确公分母．二、填空题11．当m=______时，解分式方程1m 233(2x 1)2x 1+=--会出现增根．6【分析】分式方程的增根使分式中分母为0所以分式方程会出现增根只能是x=增根不符合原分式方程但是适合分式方程去分母后的整式方程于是将x=代入该分式方程去分母后的整式方程中即可求出m 的值【详解】解：由解析：6【分析】分式方程的增根使分式中分母为0，所以分式方程1m 233(2x 1)2x 1+=--会出现增根只能是x=12，增根不符合原分式方程，但是适合分式方程去分母后的整式方程，于是将x=12代入该分式方程去分母后的整式方程中即可求出m 的值．【详解】 解：由题意知分式方程()1m 2332x 12x 1+=--会出现增根是x=12， 去分母得7-2x=m将x=12代入得m=6 即当m=6时，原分式方程会出现增根．故答案为6．【点睛】本题考查了分式方程增根的性质，增根使最简公分母等于0，不适合原分式方程，但是适合去分母后的整式方程．12．已知实数a 、b 满足32a b =，则a b a b +-_________．5【分析】根据已知用b 表示a 然后把a 的值代入所求的代数式分子分母约掉b 后可以得到解答【详解】∴∴故答案为：5【点睛】本题考查分式的化简与求值熟练掌握分式化简与求值的各种方法是解题关键解析：5【分析】根据已知用b 表示a ，然后把a 的值代入所求的代数式，分子分母约掉b 后可以得到解答．【详解】 32a b =， ∴32a b = ∴32532b ba b a b b b ++==--， 故答案为：5．【点睛】本题考查分式的化简与求值，熟练掌握分式化简与求值的各种方法是解题关键． 13．某校要建立两个计算机教室，为此要购买相同数量的A 型计算机和B 型计算机．已知一台A 型计算机的售价比一台B 型计算机的售价便宜400元，如果购买A 型计算机需要224 000元，购买B 型计算机需要240 000元．求一台A 型计算机和一台B 型计算机的售价分别是多少元． 设一台B 型计算机的售价是x 元，依题意列方程为__．【分析】本题的等量关系是：224000元购买A 型计算机的数量=240000元购买B 型计算机数量依此列出方程即可【详解】解：设B 型计算机每台需x 元则A 型计算机每台需（x-400）元依题意有故填【点睛】解析：240000224000400x x =- 【分析】本题的等量关系是：224 000元购买A 型计算机的数量=240 000元购买B 型计算机数量，依此列出方程即可．【详解】解：设B 型计算机每台需x 元，则A 型计算机每台需（x-400）元，依题意有240000224000400x x =- 故填，240000224000400x x =-． 【点睛】 考查了分式方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系，本题重点是熟悉单价，总价，数量之间的关系．14．223(3)a b -＝______，22()a b ---＝______．【分析】（1）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可；（2）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可【详解】；【点睛】本 解析：6627a b 42a b【分析】（1）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算，然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可；（2）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算，然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可.【详解】()632266627327a a b a b b --==； 422422()a a b a b b----==. 【点睛】 本题考查了负整数指数幂，利用了积的乘方等于乘方的积，单项式的乘法，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数．15．101()()2π-+-=______，011(3.14)2--++＝______．【分析】根据零指数幂和负整数指数幂等知识点进行解答幂的负指数运算先把底数化成其倒数然后将负整指数幂当成正的进行计算任何非0数的0次幂等于1【详解】2+1=3；【点睛】本题是考查含有零指数幂和负整数指 解析：12【分析】根据零指数幂和负整数指数幂等知识点进行解答，幂的负指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整指数幂当成正的进行计算．任何非0数的0次幂等于1．【详解】101()()2π-+-=2+1=3； 011(3.14)2--++1112=-++12= 【点睛】本题是考查含有零指数幂和负整数指数幂的运算．根据零指数幂和负整数指数幂等知识点进行解答即可.16．计算211()(1)11m m m -⨯--+的结果是______．2【分析】利用乘法分配律展开括号再计算加减法【详解】故答案为：2【点睛】此题考查分式的混合运算掌握乘法分配律计算法则是解题的关键解析：2【分析】利用乘法分配律展开括号，再计算加减法．【详解】()211()(1)11211m m m m m -⨯-=+--=-+． 故答案为：2．【点睛】 此题考查分式的混合运算，掌握乘法分配律计算法则是解题的关键．17．分式2(1)(3)32m m m m ---+的值为0，则m =______________．3【分析】要使分式的值为0必须分式分子的值为0并且分母的值不为0【详解】解：要使分式由分子解得：或3；而时分母；当时分母分式没有意义所以的值为3故答案为：3【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件要解析：3【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．【详解】解：要使分式由分子(1)(3)0m m --=．解得：1m =或3；而3m =时，分母23220m m -+=≠；当1m =时分母2321320m m -+=-+=，分式没有意义．所以m 的值为3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．18．约分：22618m n mn =-________________【分析】根据分式的基本性质:分子和分母同时除以6mn 化简【详解】故答案为：【点睛】此题考查分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于零的整式分式的值不变 解析：3m n-【分析】根据分式的基本性质:分子和分母同时除以6mn 化简．【详解】 22618m n mn =-3m n -， 故答案为：3m n -． 【点睛】此题考查分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．19．方程111x x x x -+=-的解是______．【分析】先通过去分母将分式方程化为整式方程求出的值然后再检验即可即可【详解】解：方程两边都乘以得：解得：检验：时所以分式方程的解为故答案为【点睛】本题主要考查解分式方程解分式方程的步骤如下：①去分母 解析：13x = 【分析】先通过去分母将分式方程化为整式方程求出x 的值，然后再检验即可即可．【详解】解：方程两边都乘以(1)x x -，得：2(1)(1)x x x -=+， 解得：13x =， 检验：13x =时，2(1)09x x -=-≠， 所以分式方程的解为13x =． 故答案为13x =． 【点睛】 本题主要考查解分式方程，解分式方程的步骤如下：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．20．九年级()1班学生周末从学校出发到某实践基地研学旅行，实践基地距学校150千米，一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地，已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，如果设慢车的速度为x 千米/时，根据题意列方程为________．【分析】设慢车的速度为x 千米/小时则快车的速度为12x 千米/小时根据题意可得走过150千米快车比慢车少用小时列方程即可【详解】解：设慢车的速度为则快车的速度为根据题意得：故答案为：【点睛】本题考查了 解析：15011502 1.2x x-= 【分析】设慢车的速度为x 千米/小时，则快车的速度为1.2x 千米/小时，根据题意可得走过150千米，快车比慢车少用12小时，列方程即可． 【详解】解：设慢车的速度为xkm /h ，则快车的速度为1.2xkm /h ， 根据题意得：1501150x 2 1.2x-=． 故答案为：1501150x 2 1.2x-=． 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．三、解答题21．先化简，再求值：213(1)211x x x x x +--÷-+-，其中4x =-． 解析：1x x -；45【分析】 分式的混合运算，注意先算乘除，然后算加减，有小括号先算小括号里的，然后代入求值即可．【详解】 解：213(1)211x x x x x +--÷-+- =2221(1)1(1)3x x x x x x -+-+-⨯--=222111(1)3x x x x x x -+---⨯-- 2231(1)3x x x x x --=⨯-- 2(3)1(1)3x x x x x --=⨯-- 1x x =- 当4x =-时，原式441415x x -===---． 【点睛】 本题考查分式的混合运算，分式的化简求值，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．22．先化简，再求值：22141244x x x x x ，其中3x =-解析：32x +，3-． 【分析】 先算括号里面的，再算除法，最后将x 的值代入进行计算即可．【详解】 解：22141244x x x x x 22212=222x x x x x x x23=22x x x 23=22x x x 3=2x当3x =-时，原式3=332． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟悉相关运算法则是解题的关键．23．已知：240x x +-=，求代数式321121x x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭的值． 解析：21x x +，14【分析】根据分式的运算法则对原式进行化简，再把已知条件变形为化简算式可以利用的形式后代入求解即可 ．【详解】 解：原式321121x x x x x -=÷--+ 21(1)1(1)(1)x x x x x -=⋅-+- 21x x=+. 由已知可得：24x x +=， 把上式代入经化简后的原式可得原式14=. 【点睛】本题考查分式的化简与求值，熟练掌握分式的运算方法与整体代入的思想方法是解题关键．24．先化简，再求值．（1）22121244x x x x x x +-⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中x 是9的平方根； （2）2222221211⎛⎫-+-÷ ⎪-+-⎝⎭a a a a a a a ，然后从－1，0，1，2中选一个合适的数作为a 的值代入求值．解析：（1）3x ；±1；（2）1a a +，2a =，值为32【分析】(1)先化简，后把x=3或x=-3分别代入求值；(2)先化简，根据分母不能为零的原则，选择数值代入计算即可.【详解】(1)原式=212(2)2(2)x x x x x x +-+-⎛⎫⨯ ⎪--⎝⎭ =23(2)2(2)x x x x -⨯-- =3x， ∵x 是9的平方根， ∴3x =±，∴原式＝±1.（2）原式=2(1)(1)(1)(1)(1)(1)a a a a a a a ⎛⎫-++-⨯ ⎪-+⎝⎭1a a+=， 由题意当1,1,0a =-时，原分式没有意义， ∴2a =，此时原分式32=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，选值时，确保每一个分式有意义是解题的关键. 25．某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用1200元购书若干本，并按该书定价6元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1680元所购该书的数量比第一次多50本，当按定价售出300本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．（1）第一次购书的进价是多少元?（2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了(不考虑其他因素)?若赔钱，赔多少；若赚钱，赚多少?解析：（1）第一次购书的进价是4元；（2）该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了840元【分析】(1)设第一次购书的进价为x 元，列分式方程1200168050(120%)x x+=+解答； (2)根据利润=销售数量乘以每本书的利润分别求出两次购书所赚钱数，相加确定赔赚即可．【详解】解：(1)设第一次购书的进价为x 元，根据题意得：1200168050(120%)x x+=+ 解得： 4x =．经检验，4x =原方程的解，答：第一次购书的进价是4元；(2)第一次购书为12004300÷= (本)，第二次购书300+50=350(本)．第一次嫌钱()30064600⨯-= (元)，第二次嫌钱()()30064 1.25060.44 1.2240⨯-⨯+⨯⨯-⨯= (元)所以两次共赚钱600+240=840(元)，答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了840元．【点睛】此题考查分式方程的实际应用，有理数的混合运算，正确理解题意是解题的关键． 26．分式计算与解方程：（1）21211a a a a----； （2）121221x x x +=-+． 解析：（1）1a -；（2）13x =【分析】 （1）先对分式变形化成同分母的分式，然后利用同分母分式的运算法则运算即可； （2）利用分式的性质，将分式方程化成整式方程，然后再求解，最后验根得出结果．【详解】解：（1）21211a a a a ----21211a a a a -=+--2211a a a -+=-()211a a -=-1a =-； （2）121221x x x +=-+ 方程两边同乘()()221x x -+，得：()()()()2122122x x x x x ++-+=- 解得：13x =， 检验：当13x =时，()()2210x x -+≠， 所以，原方程的解为13x =． 【点睛】本题考查分式的加减运算及解分式方程，熟练掌握分式运算的法则及解分式方程的方法是解题的关键．27．计算与求值（1）计算：)01π； （2）求)(2316x +=中x 的值．解析：（15；（2）1x =或7x =-【分析】（1）先进行绝对值、开方、0指数运算，再相加即可；（1）先开方，再解一元一次方程即可．【详解】解：（1）)01π+1515=++= （2）)(2316x +=开方得，34x +=±，343-4x x +=+=或，解得，1x =或7x =-．【点睛】本题考查了绝对值、平方根和0指数，掌握基本知识点，熟练运用绝对值法则、0指数的意义和开平方运算是解题关键．28．先化简，再求值：2442244a a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中a 与2，3构成ABC 的三边长，且a 为整数．解析：224a a -，6【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，确定出a 的值，代入计算即可求出值．【详解】 解：2442244a a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭ ()22244422a a a a a a ---=÷-- ()()224224a a a a a --=⋅-- 224a a =-．∵a 与2，3构成ABC 的三边长，∴ 3232a -<<+，即15a <<．∵ a 为整数，∴ a 为2或3或4．当2a =时，分母20a -=（舍去）；当4a =时，分母40a -=（舍去）．故a 的值只能为3．∴当3a =时，222423436a a -=⨯-⨯=．【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．。
八年级数学上册《第十五章 分式》同步训练题及答案(人教版)
八年级数学上册《第十五章分式》同步训练题及答案(人教版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 一、选择题1．下列代数式中是分式的为（）A．xπB．xx2+1C．4x5D．3+x20212．若分式|x|−1x+1的值为零，则x的值是（）A．1 B．-1 C．±1 D．23．若分式1a−2有意义，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a≠1C．a>1D．a>24．将分式x 2x+y中的x、y的值同时扩大3倍，则扩大后分式的值（）A．扩大3倍B．扩大6倍C．扩大9倍D．扩大27倍5．化简−x+2yx2−4y2的结果是（）A．1x+2yB．−1x+2y C．1x−2y D．−1x−2y 6．下列分式中是最简分式的是（）A．2x4x2B．2+y2x+yC．x2+2x+1x+1D．x2−4x+27．若分式x+2x2−2x+1的值为正数，则x的取值范围是（）A．x>-2 B．x<1 C．x>-2且x≠1 D．x>18．已知1m −1n=6，则mnm−n的值为( )A．6 B．-6 C．16D．−16二、填空题9．当x=时，式子x+1x+2÷x+3x+4无意义．10．若分式x−2x+2的值存在，则x的取值应满足．11．分式32bc ，25c2的最简公分母是．12．若分式6x+1的值为正整数，则整数x的值为．13．若2x2x+3表示一个整数，则整数x可取的个数有个．三、解答题14．约分：（1）10a3bc−5a2b3c2；（2）a3−4ab2a2−4ab+4b2．15．通分：（1）xac 与ybc；（2）2xx2−9与x2x+6．16．x为何值时，分式3−xx2−2x+1的值为正数？17．计算：（1）当x为何值时，分式x+1|x|−3的值为0（2）当x=4时，求x+5x+6的值参考答案 1．B 2．A 3．A 4．A 5．B 6．B 7．C 8．D9．-2，-3，-4 10．x ≠-2 11．10bc 2 12．0，1，2，5 13．4 14．（1）解：10a 3bc −5a 2b 3c 2=−2ab 2c ． （2）解：a 3−4ab 2a 2−4ab+4b 2=a(a 2−4b 2)(a−2b)2=a(a+2b)(a−2b)(a−2b)2=a(a+2b)a−2b．15．（1）解：∵xac 和 ybc 的最简公分母是abc ∴xac =xbabc ybc =yaabc ；（2）解：∵2xx 2−9 和 x2x+6 的最简公分母是 2(x +3)(x −3) ， ∴2xx 2−9 = 4x2(x+3)(x−3) x2x+6 = x(x−3)2(x+3)(x−3) 16．解：分母 x 2−2x +1=(x −1)2≥0 分母不为0，则： x −1≠0要使分式的值为正数 则 3−x >0解得： x <3 且 x ≠1 . 17．（1）解：根据题意 ∵分式 x+1|x|−3 的值为0∴当x+1=0，即 x =−1 时，分式值为0； （2）解：当x=4时 x+5x+6 = 4+54+6 = 910 .。
八年级数学上册《第十五章 分式》单元测试卷及答案(人教版)
八年级数学上册《第十五章分式》单元测试卷及答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．分式方程2+7x−2=12−x的解是（）．A．x=1B．x=2C．x=−2D．x=42．若关于x的分式方程2x+mx−2=3的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＞﹣6 B．m≠2C．m＞﹣6且m≠2 D．m＞﹣6且m≠﹣43．若把分式xyx+y的x和y都扩大5倍，则分式的值（）A．扩大到原来的5倍B．不变C．缩小为原来的15倍D．扩大到原来的25倍4．若整数a使得关于x的分式方程xx−2+a+12−x=2解的取值范围为0≤x≤3，则符合条件的a值可以为（）A．5 B．4 C．1 D．05．新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱。
各种品牌相继投放市场。
一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000万元，今年1~5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元。
销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1-5月份每辆车的销售价格是多少万元?设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是（）A．5000x+1=5000(1−20%)xB．5000x+1=5000(1+20%)xC．5000x−1=5000(1−20%)xD．5000x−1=5000(1+20%)x6．当分式22−x有意义时，x的取值范围是（）A．x>2B．x<2C．x≠2D．x=27．若关于x的方程x+2x−2=mx−2有增根，则m的值与增根x的值分别是（）A．m=4，x=−2B．m=−4，x=−2 C．m=−4，x=2D．m=4，x=28．若代数式(M+21−x )÷x−22x−2的化简结果为2x+2，则整式M为（）A．−x B．x C．1−x D．x+19．计算mn ÷（﹣nm ）2=10．若 m 为实数，分式 x(x+2)x 2+m 不是最简分式，则 m = . 11．若分式3x+5x−1无意义，当53m−2x −12m−x =0时，则m= . 12．若关于x 的方程 m4−x +2=1−xx−4 有增根，则增根为 .13．已知关于x 的分式方程 m+4x−1=2 的解是非负数，则m 的取值范围是 ． 三、解答题14．先化简，再求值： x 2−4x+4x 2−4÷ x−2x 2+2x +3，其中x=﹣3.2．15．计算：（1）（x+2y ）2﹣（x+y ）（x ﹣y ） （2）（ 2a−1a+2 +a ﹣4）÷ a 2−6a+9a+216．为了做好防疫工作，保障员工安全健康，某公司用4000元购进一批某种型号的口罩．由于质量较好，公司又用6400元购进第二批同一型号的口罩，已知第二批口罩的数量是第一批的2倍，且每包便宜5元．问第一批口罩每包的价格是多少元？17．马小虎的家距离学校2000米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的教学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校400米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．18．某一工程，在工程招标时，接到甲，乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案： （1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成； （2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；（3）若甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． 试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．1．C 2．D 3．A 4．D 5．A 6．C 7．D 8．B 9．m 3n10．0或－4 11．12．x=413．m ≥－6且m ≠﹣4 14．解：x 2−4x+4x 2−4÷ x−2x 2+2x +3 = (x−2)2(x−2)(x+2)×x(x+2)x−2+3=x+3把x=﹣3.2代入x+3=﹣3.2+3=﹣0.215．（1）解：原式＝x 2+4xy+4y 2﹣x 2+y 2＝4xy+5y 2（2）解：原式＝ 2a−1+（a−4）（a+2）a+2• a+2（a−3）2 ＝ （a+3）（a−3）a+2• a+2（a−3）2 ＝ a+3a−3 .16．解：设第一批口罩每包x 元，则第二批口罩每包（x-5）元 根据题意得：6400x −5=4000x×2 解得：x=25经检验x=25是所列方程的根 答：第一批口罩每包的价格是25元．17．解：设马小虎的速度为x 米/分，则爸爸的速度为2x 米/分， 由题意得：2000−400x−2000−4002x=10解得：x=80，经检验，x=80是原分式方程的解，且符合题意．答：马小虎的速度为80米/分18．（1）解：设规定日期为x天．由题意得3 x + 3x+ x−3x+6=13 x +xx+6=1．3（x+6）+x2=x（x+6）3x=18解之得：x=6．经检验：x=6是原方程的根．1.2×6=7.2（万元）（2）解：比规定日期多用6天，显然不符合要求（3）解：1.2×3+0.5×6=6.6（万元）．∵7.2＞6.6∴在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案。
人教版八年级数学上册 第十五章 分式 单元复习练习题
人教版八年级数学上册 第十五章 分式 单元复习练习题一、选择题1．已知关于x 的分式方程1311a x x +=--的解为正数，关于x 的不等式组314143513x x x a -+⎧+>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩无解，则所有满足条件的整数a 的和是( ) A ．9 B ．8C ．5D ．42．设3333111112399S =++++，则4S 的整数部分等于( ). A ．4B ．5C ．6D ．73．下列等式成立的是（ ） A ．23a b +＝5ab B ．33a b +＝1a b + C ．2ab ab b -＝aa b - D ．a a b -+＝a a b-+ 4．若三角形三边分别为a 、b 、c 、且分式2ab ac bc b a c-+--的值为0、则此三角形一定是、 、A ．不等边三角形B ．腰与底边不等的等腰三角形C ．等边三角形D ．直角三角形5．一项工程，甲单独做要x 天完成，乙单独做要y 天完成，则甲、乙合做完成工程需要的天数为（ 、A ．xy x y+B ．2x y +C ．x yy x +D ．x y +6．已知ab=1,M=1111a b +++,N=11a ba b+++,则M 与N 的关系为 ( ) A ．M>NB ．M=NC ．M<ND ．不能确定7．若关于x 的分式方程7311mxx x +=--无解，则实数m 的值是（ 、 A ．x=0或1B ．x=1或3C ．x=3或7D ．x=0或38．轮船从河的上游A 地开往河的下游B 地的速度为v 1,从河的下游B 地返回河的上游A 地的速度为v 2,则轮船在A、B 两地间往返一次的平均速度为( )A ．122v v +B ．122v v +C ．12122v v v v +D ．12122v v v v +9．当x 分别取﹣2015、、2014、、2013、…、、2、、1、0、1、12、13、…、12013、12014、12015时，计算分式2211x x -+的值，再将所得结果相加，其和等于（ ） A ．、1B ．1C ．0D ．201510．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子1(0)x x x+>的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x ，则另一边长是1x ，矩形的周长是12x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；当矩形成为正方形时，就有1(0)x x x =>，解得1x =，这时矩形的周长124x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭最小，因此1(0)x x x +>的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子24(0)x x x+>的最小值是（ 、、A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题11．从4-，3-，1，3，4这五个数中，随机抽取一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组()19230x x a ⎧-≤-⎪⎨⎪-<⎩的解集是x a <，且使关于x 的分式方程3122x a x x --=--有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值之和是______． 12．下列说法：① 若a ＋b ＋c ＝0，则（a ＋b ）3＋c 3＝0；②若a ＋b ＝0，则|a |＝|－b |，反之也成立；③若22b a c c=（c ≠0），则b －c ＝a －c ；④若|x ＋1|＋x －y ＋5＝0，当x ≤－1时，y 是常数；⑤若|x ＋1|＋x －y ＋5＝0，则y ≥x ，其中正确的有_________ 13．a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数，如2的差倒数为112-，-1的差倒数为111(1)2=--，已知1a ＝5，2a 是1a 差倒数，3a 是2a 差倒数，4a 是3a 差倒数，以此类推…，2020a 的值是_____．14．若关于x 的分式方程233x ax x+--＝2a 无解，则a 的值为_____． 15．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x 个物件，则可列方程方程为________． 三、解答题16．先观察下列各式，再完成题后问题：1112323=-⨯；11344-⨯；1114545=-⨯ （1）①写出：156=⨯________ ②请你猜想：120102012=⨯________ （2）求1111112233445(1)n n++++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯-⨯的值； （3）运用以上方法思考：求11111111141224406084112144180++++++++的值． 17．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：31122=+，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：x 1x 2+-，2x ·····x 2+像这样的分式是假分式；像1x 2-，2x ·····x 1-这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如：()x 23x 13 1x 2x 2x 2-++==+---；()()2x 2x 24x 4x 2x 2x 2x 2+-+==-++++，解决下列问题： （1）将分式x 2x 3-+化为整式与真分式的和的形式为： （直接写出结果即可） （2）如果分式2x 2xx 3++的值为整数，求x 的整数值18．某公司开发的960件新产品必须加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工48件产品的时间与乙工厂单独加工72件产品的时间相等，而且乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品，在加工过程中，公司需每天支付50元劳务费请工程师到厂进行技术指导. (1)甲、乙两个工厂每天各能加工多少件产品？(2)该公司要选择既省时又省钱的工厂加工产品，乙工厂预计甲工厂将向公司报加工费用为每天800元，请问：乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时，有望加工这批产品？ 19．探索发现：111111111;;12223233434=-=-=-⨯⨯⨯…… 根据你发现的规律，回答下列问题：（1）145⨯＝ ，1(1)n n ⨯+＝ ；（2）利用你发现的规律计算：1111122334(1)n n ⋅++++⨯⨯⨯⨯+（3）利用规律解方程：1111121(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)x x x x x x x x x x x x x -++++=++++++++++20．阅读下列材料，回答问题. 关于x 的方程121x x +=的解是1x =；222x x +=的解是2x =；323x x +=的解是3x =；222x x --=(即222x x -+=-)的解是2x =-.(1)请观察上述方程与其解的特征，x 的方程2(0)m xm x m+=≠与上述方程有什么关系？猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证.(2)由上述的观察、比较、猜想、验证，可得到以下结论：如果方程的左边是一个未知数倒数的a 倍与这个未知数的1a的和等于2，那么这个方程的解是x=a.请用这个结论解关于x 的方程：2212(1)x a a x a+=+--. 21．用如图所示的甲、乙、丙三块木板做一个长、宽、高分别为a 厘米，b 厘米和10厘米的长方体木箱，其中甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木板刚好能做一个箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计，a ＞b ）（1）用含a ，b 的代数式分别表示这三块木板的面积．（2）若甲块木板的面积比丙块木板的面积大200平方厘米，木箱的体积为150000立方厘米，求乙块木板的面积． （3）如果购买一块长为100厘米，宽为（a+b ）厘米的长方形木板做这个木箱，木板的利用率为90%，试求分式55a b++222277a b ab a b--的值．22．喜迎中华人民共和国成立70周年，学校将举行以“歌唱祖国”为主题的“红五月”歌咏比賽，需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．已知每袋贴纸有50张，每袋小红旗有20面，贴纸和小红旗需整袋购买，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少5元，用150元购买贴纸所得袋数与用200元购买小红旗所得袋数相同． （1）求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？（2）如果给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张，小红旗1面．设购买国旗图案贴纸a 袋（a 为正整数），则购买小红旗b 袋能恰好配套，请用含a 的代数式表示b ．（3）在文具店累计购物超过800元后，超出800元的部分可享受8折优惠．学校按（2）中的配套方案购买，共支付w 元，求w 关于a 的函数关系式，现学校有初一1200名学生参加演出，初三500名学生参加演出，计算两个年级所需总费用分别为多少元？23．已知点A 在x 轴正半轴上，以OA 为边作等边OAB ∆，()0A x ，，其中x 是方程312223162x x -=--的解． （1）求点A 的坐标．（2）如图1，点C 在y 轴正半轴上，以AC 为边在第一象限内作等边ACD ∆，连DB 并延长交y 轴于点E ，求BEO ∠的度数．（3）如图2，若点F 为x 轴正半轴上一动点，点F 在点A 的右边，连FB ，以FB 为边在第一象限内作等边FBG ∆，连GA 并延长交y 轴于点H ，当点F 运动时，GH AF -的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围．【参考答案】1．B 2．A 3．C 4．B 5．A 6．B 7．C 8．D 9．A 10．B 11．0 12．①③④⑤13．5．14．0.5或1.515．1209020x x=+16．（1）①1156-；②111220102012⎛⎫-⎪⎝⎭或1140204024-；（2）1nn-；（3）92017．（1）513x-+；（2）4-、2-、0、6-18．(1)、、、、、、、16、、、、、、、、、、、、24、、(2)、、、、、、、、、、、、、、、、1225、、、、、、、、、、、.19．（1）1111,451n n--+；（2）nn1+；（3）略．20．(1)普遍形式，x m=．(2)x=21．（1）（ab+10a）平方厘米，（10a+10b）平方厘米，（ab+10b）平方厘米；（2）cm2）；（3）36 722．(1)每袋国旗图案贴纸15元, 每袋小红旗的价格20元；(2)54b a=；(3) 初一总费用1696元；初三总费用800元.23．（1）()3,0；（2）120︒；（3）不变化，9．。
人教版八年级上册 第十五章 分式 15.1 分式 同步练习(含答案)
人教版八年级上册第十五章分式15.1 分式同步练习（含答案）一、填空题1、当x 时，分式有意义.2、有下列等式：①由a=b，得5﹣2a=5﹣2b；②由a=b，得ac=bc；③由a=b，得；④由，得3a=2b；⑤由a2=b2，得a=b．其中正确的是3、下列各式：其中分式共有个。
4、约分：.5、．若，则6、将下列分式约分：（1） =（2） =（3） =二、选择题7、若分式有意义，则a的取值范围是（）A．a=0 B．a=1 C．a≠﹣1 D．a≠08、如果=2：3，则下列各式不成立的是( )．A． B． C． D．9、式子：、、、中，分式个数是( )A ．1B ．2C ． 3D ．010、若，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．11、使有意义的的取值范围是( )A ．且B ．C ．且D ．12、下列等式中，一定成立的是( )A ．B ．C ．D ．13、如果把分式中的x 和y 都扩大原来的2倍，则分式的值（ ）A ．扩大4倍B ．扩大2倍C ．不变D ．缩小2倍14、如果成立，那么下列各式一定成立的是（ ）A ．＝B ．＝C ． ＝D ．＝15、下列分式：①；②；③；④其中最简分式有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16、与分式﹣的值相等的是( )A ．﹣B ．﹣C ．D ．17、下列是最简分式的是（ ）A ．B ．C ．D ．18、绵阳到某地相距n 千米，提速前火车从绵阳到某地要t 小时，提速后行车时间减少了0.5小时，提速后火车的速度比原来速度快了（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣三、简答题19、当x 的取值范围是多少时，（1）分式有意义？ （2）分式值为负数？20、 不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是整数；21、已知：，求代数式的值.22、已知，，求的值，23、通分：，．24、约分：．25、化简求值：（）÷，其中=+2参考答案一、填空题1、2、：①④3、 24、.5、-26、：，﹣，1．二、选择题7、C．8、D9、A10、A11、A12、D13、C14、D15、B16、D17、B18、C．三、简答题19、（1）≠；（2）＜220、原式=；21、解：由已知，∴原式.22、23、：=，= ．24、原式==3x+y．25、解：原式=÷=当=+2 时原式= = =。
2022学年人教版八年级数学上册第十五章《分式》试题卷一附答案解析
2022学年八年级数学上册第十五章《分式》试题卷一一．选择题1．如果将分式22x y x y++中x ，y 都扩大到原来的2倍，则分式的值( )A ．扩大到原来的2倍B ．不变C ．扩大到原来的4倍D ．缩小到原来的14． 2．已知x 为整数，且分式2221x x --的值为整数，满足条件的整数x 的个数有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．若2410x x --=，则2423(71x x x =-+ )A ．311B ．1-C ．13D ．35-4．若分式243(1)(2)x x x x -+--的值为0，则( )A ．1x =或3x =B ．3x =C ．1x =D ．1x ≠且2x ≠5．如图，若x 为正整数，则表示22(2)1441x x x x +-+++的值的点落在( )A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④6．一件工作，甲单独完成需要a 天，乙单独完成需要b 天，如果甲、乙二人合作那么完成此工作需要的天数是( ) A ．a b + B ．11a b+ C ．1a b + D ．aba b+ 7．如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a 厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h 厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的( )A ．aa b+ B ．ba b+ C ．ha b+ D ．ha h+ 8．绿化队原来用浸灌方式浇绿地，x 天用水m 吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用4天，那么现在比原来每天节约用水的吨数为( ) A ．4x mB ．4xmx + C ．4mxD ．4(4)mx x +9．有一类分数，每个分数的分子与分母的和是100，如果分子减k ，分母加k ，得到的新的分数约分后等于37（其中k 是正整数），那么该类分数中分数值最小的是( ) A ．4258B ．4357C ．3169D ．297110．已知ABC ∆的三边长分别为a ，b ，c ，且a a b cb c b c a++=+-，则ABC ∆一定是( ) A ．等边三角形B ．腰长为a 的等腰三角形C ．底边长为a 的等腰三角形D ．等腰直角三角形11．化简11(1)x ---的结果是( ) A ．1x x- B ．1x x - C ．1x - D ．1x -12．下列计算①0(1)1-=-；②21(2)4--=-；③22122a a-=；④用科学记数法表示50.0000108 1.0810--=⨯；⑤201120102010(2)(2)2-+-=-．其中正确的个数是( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个D ．0个二．填空题13．若21(1)(2)12x A Bx x x x +=-+++++恒成立，则A B += ． 14．已知1abc =，则111a b cab a bc b ac c ++++++++的值是 ． 15．观察下列各等式：1112323=-⨯，1111()35235=-⨯，⋯根据你发现的规律，计算：11111447710(32)(31)n n +++⋯+=⨯⨯⨯-+ (n 为正整数）． 16．已知5552a -=、3333b -=、2226c -=，比较a 、b 、c 的大小关系，用“<”号连接为 ．17．将代数式125axy -化成不含有分母的形式是 ．三．解答题18．定义：任意两个数a ，b ，按规则ac a b b=-+得到一个新数c ，称所得的新数c 为数a 、b 的“传承数”．（1）若1a =-，2b =，求a ，b 的“传承数” c ；（2）若1a =，2b x =，且13x x+=，求a ，b 的“传承数” c ； （3）若21a n =+，1b n =-，且a ，b 的“传承数” c 的值为一个整数，则整数n 的值是多少？ 19．对于任意三个实数a ，b ，c ，用|min a ，b ，|c 表示这三个实数中最小数，例如：|2min -，0，1|2=-，则：（1）填空，0|(2019)min -，21()2--，= ，如果|3min ，5x -，36|3x +=，则x 的取值范围为 ；（2）化简：13(2)22x x x x -÷++--并在（1）中x 的取值范围内选取一个合适的整数代入求值．20．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：86222223333+==+=．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：11x x -+，21x x -这样的分式就是假分式；再如：31x +，221xx +这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即:整式与真分式的和的形式）．如：1(1)221111x x x x x -+-==-+++； 再如：2211(1)(1)1111111x x x x x x x x x -++-+===++----． 解决下列问题：（1）分式2x是 分式（填“真分式”或“假分式” )； （2）假分式12x x -+可化为带分式 的形式； （3）如果分式211x x -+的值为整数，那么x 的整数值为 ．参考答案与试题解析一．选择题1．如果将分式22x y x y++中x ，y 都扩大到原来的2倍，则分式的值( )A ．扩大到原来的2倍B ．不变C ．扩大到原来的4倍D ．缩小到原来的14． 【解答】解：用2x 和2y 代替式子中的x 和y 得：2222(2)(2)2222x y x y x y x y++=++， 则分式的值扩大为原来的2倍．故选：A ．2．已知x 为整数，且分式2221x x --的值为整数，满足条件的整数x 的个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【解答】解：原式2(1)2(1)(1)1x x x x -==+-+， 1x ∴+为1±，2±时，21x +的值为整数， 210x -≠， 1x ∴≠±，x ∴为2-，0，3-，个数有3个． 故选：C ．3．若2410x x --=，则2423(71x x x =-+ ) A ．311B ．1-C ．13D ．35-【解答】解：2410x x --=，0x ≠，140x x ∴--=，即14x x -=，221216x x ∴-+=，即22118x x +=，∴242223333171187117x x x x x ===-+--+，故选：A ．4．若分式243(1)(2)x x x x -+--的值为0，则( )A ．1x =或3x =B ．3x =C ．1x =D ．1x ≠且2x ≠【解答】解：分式243(1)(2)x x x x -+--的值为0，2430x x ∴-+=且(1)(2)0x x --≠， 3x ∴=， 故选：B ．5．如图，若x 为正整数，则表示22(2)1441x x x x +-+++的值的点落在( )A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④【解答】解2222(2)1(2)111441(2)111x x xx x x x x x x ++-=-=-=+++++++ 又x 为正整数，∴1121xx <+ 故表示22(2)1441x x x x +-+++的值的点落在② 故选：B ．6．一件工作，甲单独完成需要a 天，乙单独完成需要b 天，如果甲、乙二人合作那么完成此工作需要的天数是( )A ．a b +B ．11a b+ C ．1a b+ D ．aba b+ 【解答】解：111()a b ÷+1a bab+=÷ aba b=+． 故选：D ．7．如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a 厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h 厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的( )A ．a a b +B ．b a b +C ．ha b+ D ．ha h+ 【解答】解：设规则瓶体部分的底面积为s 平方厘米． 倒立放置时，空余部分的体积为bs 立方厘米， 正立放置时，有墨水部分的体积是as 立方厘米，因此墨水的体积约占玻璃瓶容积的as aas bs a b=++． 故选：A ．8．绿化队原来用浸灌方式浇绿地，x 天用水m 吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用4天，那么现在比原来每天节约用水的吨数为( ) A ．4x mB ．4xmx + C ．4mxD ．4(4)mx x +【解答】解：(4)44(4)(4)(4)m m m x mx mx x x x x x x x +-=-=++++（吨)． 故选：D ．9．有一类分数，每个分数的分子与分母的和是100，如果分子减k ，分母加k ，得到的新的分数约分后等于37（其中k 是正整数），那么该类分数中分数值最小的是( ) A ．4258B ．4357C ．3169D ．2971【解答】解：由题可得，该分数可表示为37a ka k+-， 分子与分母的和是100， 37100a k a k ∴++-=， 10a ∴=，∴得到的新的分数为3070， 又当k 最小时，分数的值最小，∴当正整数1k =时，分数的值为3169， 故选：C ．10．已知ABC ∆的三边长分别为a ，b ，c ，且a a b cb c b c a++=+-，则ABC ∆一定是( ) A ．等边三角形B ．腰长为a 的等腰三角形C ．底边长为a 的等腰三角形D ．等腰直角三角形【解答】解：将a ab cb c b c a++=+-化简 11()b ca b c b c a +⨯+=+- b c b ca bcbc a++⨯=+- 1a bcbc a=+- 20ab ac a bc +--=2()()0ab a ac bc -+-= ()()0b a c a --=可解得a b =或a c =由已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的三边长，所以ABC ∆是腰长为a 的等腰三角形． 故选：B ．11．化简11(1)x ---的结果是( ) A ．1x x- B ．1x x - C ．1x - D ．1x -【解答】解：原式11(1)x-=-11()x x--=1xx=-． 故选：A ． 12．下列计算①0(1)1-=-；②21(2)4--=-；③22122a a-=；④用科学记数法表示50.0000108 1.0810--=⨯；⑤201120102010(2)(2)2-+-=-．其中正确的个数是( ) A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【解答】解：①0(1)11-=≠-，错误； ②22111(2)(2)44--==≠--，错误； ③2222122a a a-=≠，错误； ④550.0000108 1.0810 1.0810---=-⨯≠⨯，错误；⑤20112010201020102010(2)(2)(2)(21)(2)2-+-=-⨯-+=--=-，正确； 只有⑤正确；故选：C ． 二．填空题13．若21(1)(2)12x A Bx x x x +=-+++++恒成立，则A B += 4 ． 【解答】解：右边(2)(1)()2(1)(2)(1)(2)A xB x B A x A Bx x x x -+++--+==++++ ∴221B A B A -=⎧⎨-=⎩解1A =，3B =，4A B +=， 故答案为4．14．已知1abc =，则111a b cab a bc b ac c ++++++++的值是 1 ． 【解答】解：由1abc =，则111a b c ab a bc b ac c ++++++++11a b cab a bc b ac c abc =++++++++ 111a ab ab a abc ab a a ab=++++++++ 1111a ab ab a ab a a ab =++++++++11a ab ab a ++=++1=． 故答案为1．15．观察下列各等式：1112323=-⨯，1111()35235=-⨯，⋯根据你发现的规律，计算：11111447710(32)(31)n n +++⋯+=⨯⨯⨯-+31nn + (n 为正整数）． 【解答】解：1112323=-⨯，1111()35235=-⨯， 所以111(1)1434=-⨯，1111()47347=-⨯，⋯，1111()(32)(31)33231n n n n =--+-+， ∴原式11111111(1)(1)3447323133131nn n n n =-+-+⋯+-=-=-+++． 16．已知5552a -=、3333b -=、2226c -=，比较a 、b 、c 的大小关系，用“<”号连接为 c a b << ．【解答】解：5555111111112(2)32a -===，3333111111113(3)27b -===2222111111116(6)36c -===， c a b ∴<<．故答案为：c a b <<．17．将代数式125axy-化成不含有分母的形式是 125ax y -- ．【解答】解：原式125ax y --=， 故答案为：125ax y -- 三．解答题18．定义：任意两个数a ，b ，按规则ac a b b=-+得到一个新数c ，称所得的新数c 为数a 、b 的“传承数”．（1）若1a =-，2b =，求a ，b 的“传承数” c ；（2）若1a =，2b x =，且13x x+=，求a ，b 的“传承数” c ； （3）若21a n =+，1b n =-，且a ，b 的“传承数” c 的值为一个整数，则整数n 的值是多少？ 【解答】解：（1）1a =-，2b =∴15(1)222a c ab b -=-+=--+=； （2）1a =，2b x = ∴222222111123()3336a c a b x x x b x x x =-+=-+=++-=+-=-=；（3）21a n =+，1b n =-∴2122333(21)12221111a n n c a b n n n n n b n n n n +-+=-+=-++-=--=+--=-----， c 为整数，n 为整数，1n ∴-为3-，1-，1，或3， n ∴为2-，0，2，或4． 19．对于任意三个实数a ，b ，c ，用|min a ，b ，|c 表示这三个实数中最小数，例如：|2min -，0，1|2=-，则：（1）填空，0|(2019)min -，21()2--，= |3min ，5x -，36|3x +=，则x 的取值范围为 ；（2）化简：13(2)22x x x x -÷++--并在（1）中x 的取值范围内选取一个合适的整数代入求值．【解答】解：（1）0(2019)1-=，21()42--=，0|(2019)min ∴-，21()2--，=|3min ，5x -，36|3x +=，∴53363x x -⎧⎨+⎩，得12x -，故答案为：12x -； （2）13(2)22x x x x -÷++-- 1(2)(2)322x x x x x -+-+=÷--212243x x x x --=--+1(1)(1)x x x -=+-11x =+， 12x -，且1x ≠-，1，2，∴当0x =时，原式1101==+． 20．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：86222223333+==+=．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：11x x -+，21x x -这样的分式就是假分式；再如：31x +，221xx +这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即:整式与真分式的和的形式）．如：1(1)221111x x x x x -+-==-+++； 再如：2211(1)(1)1111111x x x x x x x x x -++-+===++----． 解决下列问题：（1）分式2x是 真 分式（填“真分式”或“假分式” )； （2）假分式12x x -+可化为带分式 的形式； （3）如果分式211x x -+的值为整数，那么x 的整数值为 ． 【解答】解：（1）分式2x 是真分式；（2）12331222x x x x x -+-==-+++； （3）212(1)332111x x x x x -+-==-+++为整数， 则x 的可能整数值为 0，2-，2，4-．故答案为：（1）真；（2）312x -+；（3）0，2-，2，4-。