流形学习专题介绍
流行学习
Isomap算法参数—领域
If the neighbourhood is too large, the local neighbourhoods will include the data points from other branches of the manifold, shortcutting them, and leading to substantial errors in the final embedding. If it is too small, it will lead to discontinuities, causing the manifold to fragment into a large number of disconnected clusters.
Isomaomap算法降维误差
Isomap算法应用（一）
数据集包含22个正常人和40个 结肠癌患者的基因表达谱，每 个样本包括2000个基因的表达 数据。首先对原始数据进行对 数处理，之后对其进行均值标 准化。 图1是残差E随压缩维数的变化 曲线，曲线在维数处出现了较 明显的拐点，所以确定本征维 数d=3。
MDS不需要知道数据点的具体坐标，它通过对数据之 间的距离矩阵的奇异值分解来获得数据的低维重构坐 标，从而有效地对数据集进行降维。
Isomap算法的关键是利用样本向量之间的欧氏距离 d x (i, j ) 首先计算 出样本之间的测地距离 d G (i, j )，真实地再现高维数据内在的非线性 几何结构，然后使用经典多维尺度分析算法构造一个新的d维空间Y (d是降维后空间的维数)，最大限度地保持样本之间的欧式距离d Y ( i , j ) 与 d G (i , j ) 误差最小。进而发现嵌入在高维空间的低维坐标，以 达到降维的目的。
流形学习算法综述
流形学习算法综述流形学习(manifold learning)是一种无监督学习方法，用于在数据集中发现潜在的低维流形结构。
与传统的线性降维方法相比，流形学习算法可以更好地捕捉非线性结构，并在保持数据结构的同时降低数据的维度。
在本文中，我们将综述流形学习算法的主要方法和应用领域。
首先，我们将介绍几种常用的流形学习算法。
其中一种是主成分分析(PCA)。
PCA是一种线性降维算法，通过计算数据的协方差矩阵的特征向量，将数据投影到低维空间中。
然而，PCA只能发现线性结构，对于复杂的非线性数据，效果较差。
另一种常用的算法是多维缩放(MDS)，它通过最小化高维数据点之间的欧氏距离和降维空间点之间的欧氏距离之间的差异，来获取降维的坐标。
然而，MDS在处理大规模数据集时计算复杂度较高。
还有一种被广泛研究的算法是局部线性嵌入(LLE)，它通过保持每个样本与其邻居样本之间的线性关系来进行降维。
LLE能够很好地处理非线性结构，但对于高维稀疏数据表现不佳。
除了以上提到的算法，还有一些流行的流形学习方法。
其中之一是等距映射(Isomap)，它通过计算数据点之间的最短路径距离来构建邻接图，然后使用MDS将数据映射到低维空间。
Isomap能够很好地处理数据中的非线性流形结构，但对于高维数据计算开销较大。
另一个流行的算法是局部保持投影(LPP)，它通过最小化数据点之间的马氏距离来进行降维。
LPP能够保持数据的局部关系，并且对于高维数据有较好的效果。
除了上述算法，还有一些最新的流形学习算法。
其中之一是随机投影流形学习(SPL)，它使用随机投影技术来近似流形嵌入问题，从而提高了运行效率。
另一个新算法是自编码器(Autoencoder)，它通过训练一个神经网络来学习数据的非线性特征表示。
自编码器在流形学习中被广泛应用，并取得了很好的效果。
流形学习算法在许多领域中有广泛的应用。
其中一个应用是图像处理领域，例如图像分类和人脸识别。
流形学习可以帮助将图像特征降维到低维空间，并保留图像之间的相似性。
流形学习算法及其应用研究
流形学习算法及其应用研究流形学习是一种数据降维的方法，用于将高维数据映射到低维流形空间中，以便更好地理解和分析数据。
它主要基于流形假设，即高维数据在低维嵌入空间中具有较好的局部结构。
流形学习算法通过保持数据之间的局部关系，寻找数据的潜在流形结构，并将其可视化或应用于其他任务，如分类、聚类和降维等。
在流形学习中，有许多经典的算法被广泛应用于不同领域的研究和实际问题中。
下面将介绍几种常见的流形学习算法及其应用。
1.主成分分析（PCA）：PCA是一种线性降维方法，通过计算数据的主成分来保留数据中的最大方差。
PCA常用于图像处理、模式识别和数据压缩等领域，能够提取数据的重要特征。
2.局部线性嵌入（LLE）：LLE是一种非线性降维方法，通过保持数据的局部关系来找到低维嵌入空间。
LLE能够很好地处理流行曲面和非线性数据，并广泛应用于图像处理、数据可视化和模式识别等领域。
3.等距映射（Isomap）：Isomap通过计算数据点之间的测地距离来构建流形结构，并将其映射到低维空间。
Isomap广泛应用于图像处理、手写数字识别和语音信号处理等领域，能够保持数据的全局结构。
4. 局部保持嵌入（Laplacian Eigenmaps）：Laplacian Eigenmaps 通过构建拉普拉斯矩阵来找到数据的潜在流形结构，并将其映射到低维空间。
它在数据可视化、图像分割和模式分类等领域具有广泛应用。
5.t-SNE：t-SNE是一种非线性降维方法，通过保持数据点之间的相似性来构建流形结构。
t-SNE广泛应用于图像识别、文本聚类和生物信息学等领域，能够提供更好的数据可视化效果。
流形学习算法在各个领域都有广泛的应用。
在计算机视觉领域，流形学习算法被应用于图像分类、人脸识别和目标检测等任务中，能够提取关键特征和减少噪声。
在生物信息学领域，流形学习算法被应用于基因表达数据分析、蛋白质结构预测和分子对接研究中，能够帮助理解生物过程和提高预测精度。
流形学习（manifoldlearning）综述
流形学习（manifoldlearning）综述假设数据是均匀采样于⼀个⾼维欧⽒空间中的低维流形，流形学习就是从⾼维采样数据中恢复低维流形结构，即找到⾼维空间中的低维流形，并求出相应的嵌⼊映射，以实现维数约简或者数据可视化。
它是从观测到的现象中去寻找事物的本质，找到产⽣数据的内在规律。
流形学习⽅法是模式识别中的基本⽅法，分为线性流形学习算法和⾮线性流形学习算法，线性⽅法就是传统的⽅法如主成分分析（PCA）和线性判别分析（LDA），⾮线⾏流形学习算法包括等距映射（Isomap），拉普拉斯特征映射（LE）等流形学习是个很⼴泛的概念。
这⾥我主要谈的是⾃从2000年以后形成的流形学习概念和其主要代表⽅法。
⾃从2000年以后，流形学习被认为属于⾮线性降维的⼀个分⽀。
众所周知，引导这⼀领域迅速发展的是2000年Science杂志上的两篇⽂章: Isomap and LLE (Locally Linear Embedding)。
1. 流形学习的基本概念那流形学习是什莫呢？为了好懂，我尽可能应⽤少的数学概念来解释这个东西。
所谓流形（manifold）就是⼀般的⼏何对象的总称。
⽐如⼈，有中国⼈、美国⼈等等；流形就包括各种维数的曲线曲⾯等。
和⼀般的降维分析⼀样，流形学习把⼀组在⾼维空间中的数据在低维空间中重新表⽰。
和以往⽅法不同的是，在流形学习中有⼀个假设，就是所处理的数据采样于⼀个潜在的流形上，或是说对于这组数据存在⼀个潜在的流形。
对于不同的⽅法，对于流形性质的要求各不相同，这也就产⽣了在流形假设下的各种不同性质的假设，⽐如在Laplacian Eigenmaps中要假设这个流形是紧致黎曼流形等。
对于描述流形上的点，我们要⽤坐标，⽽流形上本⾝是没有坐标的，所以为了表⽰流形上的点，必须把流形放⼊外围空间（ambient space）中，那末流形上的点就可以⽤外围空间的坐标来表⽰。
⽐如R^3中的球⾯是个2维的曲⾯，因为球⾯上只有两个⾃由度，但是球⾯上的点⼀般是⽤外围R^3空间中的坐标表⽰的，所以我们看到的R^3中球⾯上的点有3个数来表⽰的。
基于流形学习的机器学习算法优化
基于流形学习的机器学习算法优化机器学习算法的优化一直是研究者们关注的焦点，流形学习作为一种非线性降维方法，已经被广泛应用于机器学习领域。
本文将介绍基于流形学习的机器学习算法优化方法，并探讨其在实际应用中的效果。
通过对比实验和案例分析，我们发现基于流形学习的机器学习算法优化在提高模型性能和泛化能力方面具有显著效果。
1. 引言随着大数据时代的到来，机器学习在各个领域中得到了广泛应用。
然而，由于数据维度高、样本分布复杂等问题，传统的线性方法往往难以获得理想结果。
因此，非线性降维方法成为了热门研究方向之一。
2. 流形学习简介2.1 流形理论流形是指具有局部欧几里得结构但整体上不是欧几里得空间的空间结构。
在实际问题中，许多数据样本往往分布在一个低维流型上。
通过对数据样本的流形结构进行建模，可以更好地捕捉数据的本质特征，提高机器学习算法的性能。
2.2 流形学习算法流形学习算法主要包括局部线性嵌入（LLE）、等度量映射（Isomap）、拉普拉斯特征映射（LE）等。
这些算法通过在流型上构建局部邻域结构，并通过优化目标函数来获得低维嵌入表示。
3. 基于流形学习的机器学习算法优化方法3.1 流形特征提取传统的机器学习算法往往在高维数据上进行训练，这会导致模型过拟合或者欠拟合。
基于流形学习的机器学习算法优化方法可以通过提取数据样本在流型上的表示，将高维数据映射到低维空间中进行训练。
这样可以减少特征空间的维度，并提高模型性能和泛化能力。
3.2 流形正则化基于流形学习的机器学习算法优化方法还可以通过引入正则项来约束模型参数。
这样可以保证模型在低维嵌入表示中保持一定程度上对数据样本分布结构的保持，从而提高模型的鲁棒性和泛化能力。
4. 实验与案例分析4.1 实验设置我们使用多个公开数据集进行实验，包括手写数字识别数据集MNIST、人脸识别数据集LFW等。
我们将基于流形学习的机器学习算法优化方法与传统方法进行对比，评估其在模型性能和泛化能力方面的表现。
数学中的流形
数学中的流形数学中的流形是一种重要的概念，它在多个数学领域中都有广泛的应用。
本文将介绍流形的定义、性质以及在数学中的一些应用。
一、流形的定义数学中的流形可以简单地理解为具有良好局部拓扑结构的空间。
严格地说，流形可以定义为一个拓扑空间，它在每一点处都与欧氏空间中的一小块区域同胚。
这意味着流形可以通过一系列的坐标图来描述，每个坐标图将流形上的点映射到欧氏空间中的点上。
具体而言，一个n维流形是指满足以下条件的拓扑空间：1. 流形是Hausdorff空间，即对于任意两个不同的点，都存在可以分隔它们的开集。
2. 流形是第二可数的，即存在可数的拓扑基。
3. 对于流形中的每个点，存在一个邻域与欧氏空间中的开集同胚，即存在一个映射函数，将邻域中的点映射到欧氏空间中的点。
二、流形的性质流形具有一些重要的性质，这些性质使得它在数学中有广泛的应用。
1. 流形是可微的。
对于流形上的每个点，都存在一个邻域与欧氏空间中的开集同胚。
这意味着在流形上可以定义连续、可微等概念，并进行微积分的运算。
2. 流形是紧致的。
流形是紧致的，即有界闭集。
这个性质使得流形在拓扑学、微分几何等领域中有重要应用。
3. 流形的维度。
流形的维度定义为流形上局部坐标图的维度。
例如，二维球面是一个二维流形，三维空间是一个三维流形。
4. 流形的切空间。
流形上的每个点都有一个切空间，切空间是该点处切向量的集合。
切向量可以理解为流形上某一点处的切线方向，它可以用于描述曲线、曲面等几何对象的性质。
三、流形在数学中的应用流形在数学中有广泛的应用，下面介绍一些常见的应用领域。
1. 微分几何。
流形是微分几何中的重要概念，它用于研究曲线、曲面、流形等几何对象的性质。
微分几何在物理学、计算机图形学等领域都有重要应用。
2. 拓扑学。
流形在拓扑学中起到了重要作用。
拓扑学研究的是空间的形变性质，而流形具有良好的局部拓扑结构，可以方便地研究拓扑学中的问题。
3. 数理逻辑。
流形在数理逻辑中也有应用，特别是在模型论和代数几何方面。
流形学习算法介绍与相关问题综述
ｈ ｔ ：ｗ ｔ ／ ｗｗ．ｎ ｓｎ ｔ Ｉ ｐ／ ｄ ｚ ． ｅ． Ｉ Ｃ
Ｔｅ： ６ ｌ＋８ —５５１ ５６ ９６ ５６ ９ — ９０ ３ ９０ ６４
流形学习算法介绍与相关问题综述
陈超
（ 同济大学 计算机科学与技术系 ， 上海 ２ １０ ） ０ ８４
摘要 ： 流形学 习是近年来新发展成 熟的一种 学习的模 式， 是机 器学习中的一 个重要组成部 分。流形学习假设 待学 习的高维数据集
学 习的代 表性 算法包括局部线性嵌入 （ Ｌ 、 Ｌ Ｅ）】 等距特征映射 （ｓ ＭＡ ） 拉普 拉斯特征映射 （Ｅ 以及局部切 空间排列 （Ｔ Ａ） ＩＯ Ｐ 、 Ｌ Ｍ） ＬＳ ＿ ６ 】 最 大方差展 开（ Ｕ）和扩散映射 （ Ｆ ＭＶ Ｄ Ｍ） 等算法。这些算法在遵循了流形学习的一般框架之外 ， 都具有各 自非 常鲜 明的特点 ， 都取得了 良好 的算法效果 。
首先 ， 假设数据由Ｎ 个实值向量 置构成 ， 每一个向量的维数都为Ｄ， 从一个光滑的潜在流形上采样而来。当数据点的个数很充
足（ 也就是此流形是 良好采样） 的时候 ， 可以认为每一个数据点和它的邻域都 是分 布或者近似分布在一个流形 的一个局部线性的 就 小块 上的 。对于每一个数据点 ， 总存在一些邻近的点 ， 它和这些邻 近的点就可 以定义一个流形上 的近似 的线性平 面。在 这种情况 下， 每个数据点就 能够用 它的邻域 来进行重构 ， 到的线 性系数就用来刻画每个数据点邻域 内的局部几何特性 。最后就 是运用这 得 个权重矩 阵来恢复低维空间中的嵌人数据。Ｌ Ｅ算法的详 细过程可叙述如下 ： Ｌ
分布 于一 个光 滑的非线性 流形上 ， 通过对此流形上各 点间的邻域 关 系或 者全局 测地距 离等性质进行刻画和保持 ， 再借 助 于谱分解 的方 法和理论 ， 能获得能够保持分布在流形上的高维数据 集某方面特性的低维表 示。该文就将 结合 目前 流形 学习领域 已有的研 就
流形学习专题介绍
流形学习的数学定义
是一个低维流形, 是一个光滑嵌入, 设 Y ⊂ Rd是一个低维流形 f : Y → RD 是一个光滑嵌入 是随机生成的, 其中 D>d . 数据集 {yi } 是随机生成的 且经过 f 映射为观 察空间的数据 {xi = f ( yi )}. 流形学习就是在给定观察样本
{y 集 {xi }的条件下重构 f 和 {yi } .
M. Belkin, P. Niyogi, Laplacian Eigenmaps for Dimensionality Reduction and Data Representation. Neural Computation, Vol. 15, Issue 6, pp. 1373 –1396, 2003 .
局部线性嵌入(LLE)
S. T. Roweis and L. K. Saul. Nonlinear dimensionality reduction by locally linear embedding. Science, vol. 290, pp. 2323--2326, 2000.
拉普拉斯特征映射(Laplacian Eigenmap)
25
经典方法分类结构图
26
重点介绍的几个方法
等距映射(ISOMAP)
J.B. Tenenbaum, V. de Silva, and J. C. Langford. A global geometric framework for nonlinear dimensionality reduction. Science, vol. 290, pp. 2319--2323, 2000.
提纲
研究背景 基本知识介绍 经典方法概览 总结讨论
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局部线性嵌入(LLE)
S. T. Roweis and L. K. Saul. Nonlinear dimensionality reduction by locally linear embedding. Science, vol. 290, pp. 2323--2326, 2000.
拉普拉斯特征映射(Laplacian Eigenmap)
Rn M
z
U
#1
R2
#1 引自M. H. Law, 2004
x2
x: coordinate for z x x1
19
流形学习框架
一些基本数学概念
拓扑，Hausdorff 空间，坐标卡，微分结构 光滑函数，光滑映射，切向量，切空间 …
参考文献
陈省身, 陈维桓, 微分几何讲义. 北京大学出版社, 1983 M Berger, B Gostiaux. Differential Geometry: Manifolds, Curves and Surfaces, GTM115. Springer-Verlag, 1974 陈维桓, 微分流形初步(第二版). 高等教育出版社, 2001
流形学习的数学定义
设 Y R d 是一个低维流形, f : Y R D 是一个光滑嵌入, 其中 D>d . 数据集 { yi }是随机生成的, 且经过 f 映射为观 察空间的数据 {xi f ( yi )}. 流形学习就是在给定观察样本 集 {xi } 的条件下重构 f 和 { yi } .
V. de Silva and J. B. Tenenbaum. Global versus local methods in nonlinear dimensionality reduction . Neural Information Processing Systems 15 (NIPS'2002), pp. 705712, 2003.
最短路径近 似测地距离
降维嵌入空间
29
多维尺度变换 (MDS)
MDS 是一种非监督的维数约简方法.
MDS的基本思想: 约简后低维空间中任意两点间的距离
应该与它们在原高维空间中的距离相同.
MDS的求解: 通过适当定义准则函数来体现在低维空间
中对高维距离的重建误差, 对准则函数用梯度下降法求解, 对于某些特殊的距离可以推导出解析解法.
16
提纲
研究背景 基本知识介绍 经典方法概览 总结讨论
17
流形学习框架
什么是流形？
流形是线性子空间的一种非线性推广 拓扑学角度：局部区域线性，与低维欧式空间拓扑同胚 微分几何角度：有重叠chart的光滑过渡 黎曼流形就是以光滑的方式在每一点的切空间上指定了 欧氏内积的微分流形
主成分分析(PCA) [Jolliffe, 1986]
降维目的：寻找能够保持采样数据方差的最佳投影子空间 求解方法：对样本的散度矩阵进行特征值分解, 所求子空 间为经过样本均值, 以最大特征值所对应的特征向量为方 向的子空间
Principal component
8
线性降维方法
主成分分析(PCA) [Jolliffe, 1986]
M. Belkin, P. Niyogi, Laplacian Eigenmaps for Dimensionality Reduction and Data Representation. Neural Computation, Vol. 15, Issue 6, pp. 1373 –1396, 2003 .
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重点介绍的几个方法
等距映射(ISOMAP)
J.B. Tenenbaum, V. de Silva, and J. C. Langford. A global geometric framework for nonlinear dimensionality reduction. Science, vol. 290, pp. 2319--2323, 2000.
局部线性嵌入(LLE)
S. T. Roweis and L. K. Saul. Nonlinear dimensionality reduction by locally linear embedding. Science, vol. 290, pp. 2323--2326, 2000.
拉普拉斯特征映射(Laplacian Eigenmap)
特征提取
实验数据分析，数据可视化（通常为2维或3 维）等也需要维数约简
6
降维方法概述
线性降维
通过特征的线性组合来降维 本质上是把数据投影到低维线性子空间 线性方法相对比较简单且容易计算 代表方法
主成分分析(PCA) 线性判别分析(LDA) 多维尺度变换(MDS)
7
线性降维方法
zi
gij zj
Mapping
xi
dij
xj
原始空间， 可能非欧式
低维欧式空间
12
线性降维方法的不足
原始数据无法表示为特征的简单线性组合
比如：PCA无法表达Helix曲线流形
20
15
1-D H.5 0 -0.5 -1 -1 -0.5 0.5 0 1
13
线性降维方法的不足
64
4
Lighting Direction
3 features needed
从降维问题说起
降维的动机
增加特 征数 增加信 息量 提高准 确性
类增 器加 的训 难练 度分
维数灾难
解决办法：选取尽可能多的, 可能有用的特征, 然后根据需要进 行特征/维数约简.
5
从降维问题说起
降维的动机
特 征 约 简 特征选择 依据某一标准选择 性质最突出的特征 经已有特征的某种 变换获取约简特征
流形学习专题介绍
王瑞平 人脸识别课题组 中国科学院计算技术研究所
2010/05/06 @ VMR Group Book Reading /project/faceId/paperreading/vlpr/
1
提纲
研究背景 基本知识介绍 经典方法概览 总结讨论
Best projection direction for classification
10
降维方法概述
线性降维
主成分分析 (PCA) [Jolliffe, 1986] 线性判别分析 (LDA) [Fukunaga, 1991]
PCA
11
LDA
降维方法概述
线性降维
主成分分析 (PCA) [Jolliffe, 1986] 线性判别分析 (LDA) [Fukunaga, 1991] 多维尺度变换 (MDS) [Cox, 1994]
22
流形学习示例
非线性降维
保持一定几何拓扑 关系，如测地距离/ 邻域线性重构关系
高维数据空间
data / observation space
低维嵌入空间 embedding / coordinate space
23
提纲
研究背景 基本知识介绍 经典方法概览 总结讨论
24
经典流形学习方法一览
Diffusion Maps
局部
全局
非常低
中等
25
经典方法分类结构图
26
重点介绍的几个方法
等距映射(ISOMAP)
J.B. Tenenbaum, V. de Silva, and J. C. Langford. A global geometric framework for nonlinear dimensionality reduction. Science, vol. 290, pp. 2319--2323, 2000.
#1
Swiss-roll
#1 引自S.T. Roweis et al. 2000
S-curve
Fishbow
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流形学习框架
流形的数学定义 设 M 是一个Hausdorff拓扑空间，若对每一点 p M 都有 p 的一个开邻域 U 和 d 的一个开子集同胚, 则称 M 为 d 维拓扑流形, 简称为 d 维流形.
M. Belkin, P. Niyogi, Laplacian Eigenmaps for Dimensionality Reduction and Data Representation. Neural Computation, Vol. 15, Issue 6, pp. 1373 –1396, 2003 .
20
流形学习框架
流形学习的目的
流形学习是一种非线性的维数约简方法 高维观察数据的变化模式本质是由少数几个隐含 变量所决定的
如：人脸采样由光线亮度、人与相机的距离、人的头部 姿势、人的面部表情等因素决定
从认知心理学的角度，心理学家认为人的认知过 程是基于认知流形和拓扑连续性的
#1
21
#1 引自Lin et al. PAMI 2008
方法简称 ISOMAP LLE LE 所保持的几何属性 点对测地距离 局部线性重构关系 局部邻域相似度 全局/局部关系 全局 局部 局部 计算复杂度 非常高 低 低
HLLE
LTSA MVU
局部等距性
局部坐标表示 局部距离 测地距离与方向 diffusion距离
局部
全局+局部 全局+局部
高
低 非常高
Logmap
2
提纲
研究背景 基本知识介绍 经典方法概览 总结讨论
3
从降维问题说起
降维的动机
原始观察空间中的样本具有极大的信息冗余 样本的高维数引发分类器设计的“维数灾难” 数据可视化、特征提取、分类与聚类等任务需求