运筹学-4最大流
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运筹学最大流问题例题
运筹学最大流问题例题
以下是一个关于运筹学最大流问题的例题：
假设有一个有向图，有两个特殊的节点，分别是源点（S）和
汇点（T）。
图中还有一些其他的节点，表示各个任务或工作。
节点之间有一些带有容量限制的边，表示各个任务之间的关系。
假设需要将尽可能多的任务从源点发送到汇点，但要满足以下条件：
1. 每个任务只能由一个人来执行；
2. 每个人只能执行一个任务；
3. 每个任务只能在特定的时间完成；
4. 每个人只能在特定的时间段内工作。
问题：设计一个算法来确定可以完成的最大任务数。
解法：
1. 为了建立最大流问题的模型，我们需要将图中的节点和边进行转换。
首先，将源点和汇点分别用两个特殊的节点S和T
表示。
2. 对于每个任务节点，将其分解为两个节点v_in和v_out，以
表示任务开始和任务结束的时间点。
3. 对于每个容量限制的边(a, b)，我们将其转换为两条边
(v_out_a, v_in_b)和(v_out_b, v_in_a)，容量为边(a, b)上的容量
限制。
4. 然后，将所有节点和边加入到一个图中，并运用最大流算法（如Ford-Fulkerson算法）来找到从S到T的最大流。
5. 最终的最大流就是可以完成的最大任务数。
这是一个应用最广泛的最大流问题的例题，通过建立合适的模型，可以将实际问题转化为最大流问题，并通过最大流算法来解决。
5-4 最 大 流 问题
(2)标号过程 标号过程
给起点v 标上标号（ ， 1给起点 s标上标号（-，+∞）； ）； （表示 s是源点（起点），能够得到任意多的量。 表示v 是源点（起点），能够得到任意多的量。 ），能够得到任意多的量 表示 vs称为已标记的点。让S表示已标记点的集合 S 表示 称为已标记的点。 表示已标记点的集合， 表示已标记点的集合 未标记点的集合， 未标记点的集合 VS ∈ S ） 2考察起点的所有相邻未标号点： 考察起点的所有相邻未标号 所有相邻未标号点 若存在以S中的点为起点， 若存在以 中的点为起点，以 S 中的点为终点的非饱 中的点为起点 [vi+ , ε j ] ，否则不加标记。 和弧（ 否则不加标记。 和弧（vi,vj）则vj可标记为
从S出发到 S 终止的所有边的集合即割集。 终止的所有边的集合即割集。
v2
e1
e3 e6
v4
e8
v1
e2
e4 e7
v6
e5
v3
v5
e9
不包括从 S 出发到S终 止的边!
4、弧的分类
（1）在可行流X={xij}中，按流量的特征 在可行流X 分有： 分有： ①饱和弧——xij=bij 饱和弧 ②非饱和弧——xij<bij 非饱和弧 ③零流弧——xij=0 零流弧 ④非零流弧——xij>0 非零流弧
顶点3的标记化 顶点 的标记化: 的标记化 ∵ x s 3 = bs 3 ， 但
正向饱和 弧 ∴不能从v 不能从
得到标记； 标记 s得到标记；
x
32
得到标记 标记。 > 0，故可从v2得到标记。
反向非零流
于是
ε ε3 = min { 2 , x 32 } = min {6 , 4 } = 4
网络最大流问题__运筹学__胡运权__清华大学出版社
vt已标号，得到一条增广链u(反向追踪)，转（5）； vt未标号,且无法再标号,此时的流为最大流,此时的截集为最小截。
[-v1, 1]v2 （4,3）
v4[v2 , 1]
Vs
[0 , +∞]
（2,2）
[vs, 4]v1
v3
Vt
V3
(4) 重复（2）,（3），依次进行的结局可能为
vt已标号，得到一条增广链u(反向追踪)，转（5）； vt未标号,且无法再标号,此时的流为最大流,此时的截集为最小截。
皆非饱，且u-中弧皆非零，则称u为关于f的
一条增广链。
10 5 v2
v1
4
3 8
3
v3
52
v4
3 0
1 5
3 3
6 5 v5 .
11 6
v6
2 17
3. 截集与截量
把V分成两部分：VA和VB(VA ∩VB= φ, VA ∪VB= V) 且vs∈ VA、 vt∈ VB，则弧集(VA,VB)称为D的截集。
4. 流量与截量的关系
v1
vs
vt
v2
v3
任一可行流的流量都不会超过任一截集的截量
因 v(f)=f (VA,VB) - f (VB,VA) ≤ f (VA,VB) ≤ C (VA,VB) ）
最大流最小截定理：网络的最大流量等于最小截量。
.
例. 如图所示的网络中，弧旁数字为(cij ,fij)
v1
Vs
[0, +∞] [vs, 4]v1
（2,2）
v3
[-v2, 1]
整调
Vt [v4, 1]
v2 （4,4）
v4
Vs
Vt
v1 （2,2）
[-v1, 1]v2 （4,3）
v4[v2 , 1]
Vs
[0 , +∞]
（2,2）
[vs, 4]v1
v3
Vt
V3
(4) 重复（2）,（3），依次进行的结局可能为
vt已标号，得到一条增广链u(反向追踪)，转（5）； vt未标号,且无法再标号,此时的流为最大流,此时的截集为最小截。
皆非饱，且u-中弧皆非零，则称u为关于f的
一条增广链。
10 5 v2
v1
4
3 8
3
v3
52
v4
3 0
1 5
3 3
6 5 v5 .
11 6
v6
2 17
3. 截集与截量
把V分成两部分：VA和VB(VA ∩VB= φ, VA ∪VB= V) 且vs∈ VA、 vt∈ VB，则弧集(VA,VB)称为D的截集。
4. 流量与截量的关系
v1
vs
vt
v2
v3
任一可行流的流量都不会超过任一截集的截量
因 v(f)=f (VA,VB) - f (VB,VA) ≤ f (VA,VB) ≤ C (VA,VB) ）
最大流最小截定理：网络的最大流量等于最小截量。
.
例. 如图所示的网络中，弧旁数字为(cij ,fij)
v1
Vs
[0, +∞] [vs, 4]v1
（2,2）
v3
[-v2, 1]
整调
Vt [v4, 1]
v2 （4,4）
v4
Vs
Vt
v1 （2,2）
《运筹学最大流问题》课件
解决方案：可以通过建立最大流模型，求解出最优的运输路径，从而提高物流运输效率，降低运输 成本。
实际应用效果：在实际应用中，最大流问题可以有效地解决物流运输中的路径规划、车辆调度等问 题，提高物流运输效率，降低运输成本。
网络流量优化中的最大流问题
背景：随着互联网 技术的发展，网络 流量优化成为重要 问题
预流推进法的实现
预流推进法是一种求解最大流问题的算法 基本思想：通过寻找增广路径，逐步增大流值
实现步骤：初始化、寻找增广路径、更新流值、重复以上步骤直到找不到增广路径
优点：效率较高，适用于大规模网络流问题
Dinic算法的实现
初始化：设置源 点s和汇点t，初 始化网络流网络
寻找增广路径： 使用BFS寻找从 s到t的增广路径
汇报人：
EdmondsKarp算法等
扩展问题：最小 费用最大流问题 的扩展问题包括 最小费用最大流 问题、最小费用 最大流问题等。
多终端最大流问题
定义：在一个网络中，有多个源点和多个汇点，每个源点和汇点之间都有一条或多条边相连，每条边上都有一个容 量限制，求从源点到汇点的最大流量。
应用场景：多终端最大流问题在物流、交通、网络等领域有广泛的应用。
电力分配中的最大流问题
电力分配：将电力从发电站分配到各个用户 最大流问题：在电力分配中，需要找到一种最优的分配方案，使得电力分配达到最大 实际应用：在实际电力分配中，可以使用最大流算法来寻找最优的分配方案 应用效果：使用最大流算法可以大大提高电力分配的效率和准确性，降低电力损耗和成本
感谢您的观看
更新流量：沿 着增广路径更 新流量
重复步骤2和3， 直到找不到增 广路径
输出最大流值： 计算从s到t的 最大流值
Ford-Fulkerson算法的实现
实际应用效果：在实际应用中，最大流问题可以有效地解决物流运输中的路径规划、车辆调度等问 题，提高物流运输效率，降低运输成本。
网络流量优化中的最大流问题
背景：随着互联网 技术的发展，网络 流量优化成为重要 问题
预流推进法的实现
预流推进法是一种求解最大流问题的算法 基本思想：通过寻找增广路径，逐步增大流值
实现步骤：初始化、寻找增广路径、更新流值、重复以上步骤直到找不到增广路径
优点：效率较高，适用于大规模网络流问题
Dinic算法的实现
初始化：设置源 点s和汇点t，初 始化网络流网络
寻找增广路径： 使用BFS寻找从 s到t的增广路径
汇报人：
EdmondsKarp算法等
扩展问题：最小 费用最大流问题 的扩展问题包括 最小费用最大流 问题、最小费用 最大流问题等。
多终端最大流问题
定义：在一个网络中，有多个源点和多个汇点，每个源点和汇点之间都有一条或多条边相连，每条边上都有一个容 量限制，求从源点到汇点的最大流量。
应用场景：多终端最大流问题在物流、交通、网络等领域有广泛的应用。
电力分配中的最大流问题
电力分配：将电力从发电站分配到各个用户 最大流问题：在电力分配中，需要找到一种最优的分配方案，使得电力分配达到最大 实际应用：在实际电力分配中，可以使用最大流算法来寻找最优的分配方案 应用效果：使用最大流算法可以大大提高电力分配的效率和准确性，降低电力损耗和成本
感谢您的观看
更新流量：沿 着增广路径更 新流量
重复步骤2和3， 直到找不到增 广路径
输出最大流值： 计算从s到t的 最大流值
Ford-Fulkerson算法的实现
运筹学最小费用最大流流问题
第五节 最小费用最大流流问题
在实际的网络系统中，当涉及到有关流的问 题的时候，我们往往不仅仅考虑的是流量，还经 常要考虑费用的问题。比如一个铁路系统的运输 网络流，即要考虑网络流的货运量最大，又要考 虑总费用最小。最小费用最大流问题就是要解决 这一类问题。
最小费用最大流问题提法:
设一个网络G=（V，E，C），对于每一个弧(vi ,vj )∈E ,给 定容量cij外，还给出单位流量的费用dij 0 ，网络记为 G=（V，E，C，d）。网络系统的最小费用最大流问题，
bij bij
我们将 bij bij 叫做这条增广链的费用。
结论：如果可行流 f 在流量为w(f )的所有可行流中 的费用最小，并且 是关于f 的所有增广链中的费
用最小的增广链，那么沿增广链μ调整可行流f，得
到的新可行流f ’ ，也是流量为w(f ’)的所有可行流中 的最小费用流。依次类推，当 f ’ 是最大流时，就是 所要求的最小费用最大流。
对偶算法基本思路：
零流f ={0}是流量为0的最小费用流。一般地，寻求最小 费用流，总可以从零流f ={0}开始。下面的问题是：如果 已知f 是流量为w(f)的最小费用流，那么就要去寻找关于 f 的最小费用增广链，用最大流的方法将f(0)调整到f(1)， 使f(1)流量为w(f(0))+θ，且保证f(1)在w(f(0))+θ流量下的
(5, 2)
(4, 2)
v2 (10, 3) v3
v1
(7, 1)
解：（(110）, 4取) 初始可行流(2,为6)零流f
(cij, dij) (0)v=t{0},构造赋权
有 (vs
向vs图 L(f(0)), 用
,v2 ,v1(,8v,t)1,)如图
在实际的网络系统中，当涉及到有关流的问 题的时候，我们往往不仅仅考虑的是流量，还经 常要考虑费用的问题。比如一个铁路系统的运输 网络流，即要考虑网络流的货运量最大，又要考 虑总费用最小。最小费用最大流问题就是要解决 这一类问题。
最小费用最大流问题提法:
设一个网络G=（V，E，C），对于每一个弧(vi ,vj )∈E ,给 定容量cij外，还给出单位流量的费用dij 0 ，网络记为 G=（V，E，C，d）。网络系统的最小费用最大流问题，
bij bij
我们将 bij bij 叫做这条增广链的费用。
结论：如果可行流 f 在流量为w(f )的所有可行流中 的费用最小，并且 是关于f 的所有增广链中的费
用最小的增广链，那么沿增广链μ调整可行流f，得
到的新可行流f ’ ，也是流量为w(f ’)的所有可行流中 的最小费用流。依次类推，当 f ’ 是最大流时，就是 所要求的最小费用最大流。
对偶算法基本思路：
零流f ={0}是流量为0的最小费用流。一般地，寻求最小 费用流，总可以从零流f ={0}开始。下面的问题是：如果 已知f 是流量为w(f)的最小费用流，那么就要去寻找关于 f 的最小费用增广链，用最大流的方法将f(0)调整到f(1)， 使f(1)流量为w(f(0))+θ，且保证f(1)在w(f(0))+θ流量下的
(5, 2)
(4, 2)
v2 (10, 3) v3
v1
(7, 1)
解：（(110）, 4取) 初始可行流(2,为6)零流f
(cij, dij) (0)v=t{0},构造赋权
有 (vs
向vs图 L(f(0)), 用
,v2 ,v1(,8v,t)1,)如图
运筹学-图论4
3、增广链
对可行流f={fij}：
非饱和弧：fij<Cij 非零流弧：fij>0
饱和弧：fij=Cij 零流弧：fij=0
链的方向：若µ是联结vs和vt的一条链，定义链的
方向是从vs到vt。 v2
5.2
v4
10.5
3.2
11.6
v1
4.1 5.1
8.3
v3
6.3
3.3
v6
17.2
v5
前向弧：弧的方向与链的方向一致，前向弧全体记为µ+。
V5
4、截集与截量
设S，TV，ST= ，始点在S，终点在T中 的所有弧的集合，记为（S，T）。
S
T
定义4 网络D=（V，A，C），若点集V被剖分为两个 非空集合V1和V1，使vs∈V1，vt ∈ V1，则把弧集
（V1，V1）称为是分离vs和vt的截集。
v2
10.5
v1
4.1
8.3
v3
5.2
3.2 5.1
(1，1)
（0，∞）vs
(1，1)
(5，1)
（s，v14） (2，2)
v4
(5，3)
(3,0) vt
(2，1)
v3
（4）检查v2，在弧（v3，v2）上，f32=1>0， 给v3标号
(-2, l(v3)), 这里 l(v3) min l(v2 ), f32 min 1,1 1,
（-1，1）
v2
(4，3)
6.3
v4
11.6
3.3
v6
17.2
v5
V1 =(v1,v2,v3)
V1=(v4,v5,v6)
v2
10.5
运筹学_最大流问题(精选)共15页文档
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
运筹学_最大流问题（精选）
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
谢谢你的阅读
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
运筹学_最大流问题（精选）
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
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运筹学课件 最短路、最大流、邮路共51页PPT
运筹学课件 最短路、最大流、邮路
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将
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f (i, j)
f1 (i,
j)
f
(i,
j)
f
(i,
j)
(i, j)不在增广链上 (i, j)是前向弧 (i, j)是后向弧
得到新的可行流，去掉所有标号，从发点重新标号寻 找增广链，直到收点不能标号为止。
进入演示和练习
§7.4 最大流问题
Maximum Flow Problems
【例】求下图v1 到v6 的最大流及最大流量 【解】1. 通过观察得到初始可行流
当收点已得到标号时，说明已找到增广链。
§7.4 最大流问题
Maximum Flow Problems
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2020年6月20日星期六 Page 8 of 12
3. 依据vi 的第一个标号反向跟踪得到一条增广链； 依据vi 的第二个标号求最小值得到调整量θ
4. 调整流量
__
截集 将图G＝（V，E）的点集分割成两部分 V1、V 1 并且
__
__
__
vs V1及vt V 1，则箭尾在V1箭头在V 1的弧集合（V1，V 1〕
称为一个截集，截集中所有弧的容量之和称为截集的截量。
下图所示的截集为 (V1,V1) (1,2), (3,4), (3,5) 截量C(V1,V1) 6 2 2 10
后向弧：与链的方向相反的弧称为后向弧。
增广链 设 f 是一个可行流，如果存在一条从vs到vt的链，满足：
1.所有前向弧上fij<Cij 2.所有后向弧上fij>0 ②
43
想一想，这 ④ 是一条增广
链吗？
则该链称为增广链
容量
①
4 2 前向弧 64
⑥
流量
85
③
后向弧 ⑤
96
§7.4 最大流问题
Maximum Flow Problems
6 6 ①
3 8
② 41
44 11
2 2
③
22
请看演示
④
76
60 ⑤
⑥ 93
§7.4 最大流问题
Maximum Flow Problems
Ch7 Graph and Network
2020年6月20日星期六 Page 4 of 12
又如下图所示的截集为 (V1,V1) (2,4), (3,4), (5,4)，(5,6)
对改进的可行流f1 ：
f (i, j)
f1 (i,
j)
f
(i,
i, j)是前向弧 (i, j)是后向弧
则有v( f1) v( f ) v( f )
§7.4 最大流问题
Maximum Flow Problems
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截量C(V1,V1) 4 2 6 9 21
44 ②
6 6
11
④
76
① 3
8
40 2
2
60
⑥ 91
③
上图所示的截集为
22
⑤
(V1,V1) (2,4), (2,5), (3,4), (3,5) 截量C(V1,V1) 4 1 2 2 9
所有截量中此截量最小且等于最大流量，此截集称为最小截集。
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【定理】可行流是最大流当且仅当不存在发点到收点的增广链
最大流的标号算法
步骤 1. 找出第一个可行流，例如所有弧的流量fij =0 2. 用标号的方法找一条增广链 A1：发点标号（∞）， A2：选一个点 vi 已标号并且另一端未标号的弧沿着某 条链向收点检查： 如果弧的方向向前并且有fij<Cij，则vj标号（Cij－fij) 如果弧的方向指向vi并且有fji>0，则vj标号（fji) 当收点不能得到标号时，说明不存在增广链，计算结束。
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2020年6月20日星期六 Page 6 of 12
【定理】设网络G的一个可行流f，如果存在一条从vs到vt的增广链， 那么就可改进一个值更大的可行流f1，并且val f1>val f
【证】设val f＝v
令1 min C(i, j)－f (i, j) | (i, j)是前向弧 2 min f (i, j) | (i, j)是后向弧 ＝min 1,2 | 无前向弧时1 ,无后向弧2
2020年6月20日星期六 Page 2 of 12
流量：弧(i，j)的实际通过量，记为f (i，j)或f ij
可行流：如果f ij满足： 1.对于所有弧(i，j)有0≤f ij≤Cij
2.对于发点vs有： fsj fis v
j
i
3.对于收点vt有：
fit ftj v
i
j
4.对于中间点点vm有：
fim
f mj
i
j
则称流量集合｛f ij｝为网络的一个可行流，简记为 f , v称为可 行流的流量或值，记为v(f).
以下假设网络是一个简单连通图。
§7.4 最大流问题
Maximum Flow Problems
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基本概念
§7.4 最大流问题
Maximum Flow Problems
②
4
4
1
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④ 7
①
4
6
⑥
网络中所有流起源于一 8
2
个叫做发点的节点（源）
③
2
所有的流终止于一个叫做收点的节点
9 ⑤
其余所有的节点叫做中间点（转运点） 通过每一条弧的流只允许沿着弧的箭头方向流动 目标是使得从发点到收点的总流量最大
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2.标号 3. 得到增广链
∞①
64 82
2
② 42
③
【定理】最大流量等于最小截集的截量。
§7.4 最大流问题
Maximum Flow Problems
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链：从发点到收点的一条路线（弧的方向不一定都同向）称为链。 从发点到收点的方向规定为链的方向。 前向弧：与链的方向相同的弧称为前向弧。
容量：在某时期内弧(i，j)上的最大通过能力。记为C (i，j)或Cij 在上图中，C12=4，C13＝8，C23＝4等，怎样安排运输方案，
才能使在某一时期内从v1运到v6的物资最多，这样的问题就是最大 流问题，
§7.4 最大流问题
Maximum Flow Problems
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