多元随机时间序列参数估计的多尺度方法
第6章 多元时间序列分析
yt
k i 1
i (B) i (B)
Bli
xit
t
式中，i (B) 为第 i个输入变量的自回归系数多项 式，i (B) 为第 i个输入变量的移动平均系数多项 式， li 为第i个输入变量的延迟阶数，{ t } 为回归 残差序列。
由于响应序列和输入序列均为平稳序列，所 以残差序列 { t } 也是平稳的。因此我们可以使用 ARMA模型继续提取残差序列中的相关信息。
下面我们首先来介绍一下稳多元时间序列的 主要模型。
（一）动态回归模型（ ARIMAX模型） 多元平稳序列的建模主要是要解决残差序列
的自相关性问题。1976 年， Box 和 Jenkins 采用
带输入变量的ARIMA 模型为平稳多元序列建模。
该模型的构造思想是：
设响应序列（因变量序列）为 yt 和输入序列 （自变量序列）x1t ,x2t , ,xkt 均为平稳序列，
人们在实际研究中发现，当时间序列非平稳 时，经常会出现虚假回归现象。这是因为非平稳时 间序列通常都具有趋势性（包括确定性或随机性趋 势），当我们对非平稳序列进行回归时，回归模型 会错误地把非平稳时间序列之间的共同趋势性作为 它们之间具有相关性的证据，从而误认为变量之间 具有因果关系。
（三）伪回归的直观解释
m
n
yt 0 i yti i xti t , t iid(0, 2 )
i 1
i0
（二）案例分析
例6.1在天然气炉中，输入的是天然气，输出 的是 CO2 ，CO2的输出浓度与天然气的输入速率有 关。现在以中心化后的天然气输入速率为输入序 列，建立 CO2 的输出百分浓度模型。
输入序列时序图
t ˆ1 ˆ1
Lecture05多元时间序列分析方法
第一节 协整检验 第二节 误差修正模型 第三节 向量自回归模型(VAR) 第四节 格兰杰因果检验
协整检验
第一节 协整检验
一、协整概念与定义
在经济运行中，虽然一组时间序列变量都是随机游走，但它们的某个 线性组合却可能是平稳的，在这种情况下，我们称这两个变量是平稳 的，既存在协整关系。
其基本思想是，如果两个(或两个以上)的时间序列变量是非平稳的， 但它们的某种线性组合却表现出乎稳性，则这些变量之间存在长期稳 定关系，即协整关系。根据以上叙述，我们将给出协整这一重要概念。 一般而言，协整是指两个或两个以上同阶单整的非平稳时间序列的组 合是平稳时间序列，则这些变量之间的关系的就是协整的。
向量自回归模型(VAR)
三、向量自回归模型(VAR)的估计
应用Eviews软件，创建VAR对应选择 Quick/Estimate VAR，或选择Objects/new object/VAR，也可以在命令窗口直接键入VAR。
向量自回归模型(VAR)
四、脉冲响应函数与预测方差分解
从结构性上看，VAR模型的F检验不能揭示某个给定变 量的变化对系统内其它变量产生的影响是正向还是负 向的，以及这个变量的变化在系统内会产生多长时间 的影响。然而，这些信息可以通过考察VAR模型中的 脉冲响应（Impulse Response )和方差分解（Variance Decompositions）得到。
协整检验
（一）E-G两步法
E-G两步法，具体分为以下两个步骤：
第一步是应用OLS估计下列方程
yt a xt ut
这一模型称为协整回归，称为协整参数，并得到相应的残差序列：
第二步检验 序uˆt列 的yt 平(a稳ˆ 性ˆx。t )
多元时间序列案例
多元时间序列案例
多元时间序列案例分析
多元时间序列数据在许多领域都有应用，例如金融市场分析、气候变化研究、交通流量预测等。
下面以一个简单的股票市场为例，介绍如何进行多元时间序列分析。
假设我们有一组股票价格数据，包括五只股票在过去一年的每日收盘价。
我们的目标是预测未来一周每只股票的价格。
首先，我们需要对数据进行预处理，包括数据清洗、缺失值填充、异常值处理等。
然后，我们可以使用以下步骤进行多元时间序列分析：
1. 特征提取：从原始数据中提取有用的特征，例如最高价、最低价、开盘价、成交量等。
2. 特征选择：选择与目标变量最相关的特征，可以使用相关性分析、决策树等方法。
3. 模型选择：选择适合的模型进行预测，例如ARIMA、LSTM等。
4. 模型训练：使用历史数据对模型进行训练，并调整模型参数。
5. 模型评估：使用交叉验证、均方误差等指标对模型进行评估。
6. 预测未来：使用训练好的模型对未来一周的股票价格进行预测。
在上述步骤中，我们可以使用Python中的pandas、numpy等库进行数据处理，使用sklearn、statsmodels等库进行特征提取和模型训练。
需要注意的是，多元时间序列分析需要考虑不同股票之间的相关性，可以使用相关系数矩阵等方法进行分析。
此外，由于股票市场受到许多因素的影响，因此需要综合考虑各种因素来提高预测精度。
多尺度分数阶微积分模型及其应用
多尺度分数阶微积分模型及其应用随着科技的不断发展，许多传统的学科正在被更新和改进。
微积分作为数学的基础学科，在现代科技应用中有着越来越广泛的应用。
随着数据和信息时代的到来，越来越多需要对时间序列数据分析和处理的问题出现了，而这些问题无法用传统的微积分方法解决。
因此，分数阶微积分应运而生。
基于分数阶微积分的方法具有分形特性和非局域化特性，拥有更合理的数学描述。
而多尺度分析方法则可以更好地揭示时间序列的动态信息，从而更精确地进行时间序列建模、处理和预测等应用。
因此，结合分数阶微积分和多尺度分析成为时序建模领域的热点。
多分辨率分数阶微积分模型以国内外学者研究的多分辨率分数阶微积分模型为例，这是将分数阶微积分与多分辨率分析相结合的一种理论和方法。
针对实际问题，可以根据问题要求选择不同的分辨率，从而建立出相应的多分辨率分数阶微积分模型。
多分辨率分数阶微积分模型最基础的流程如下：首先，将原始的时间序列分解为多个不同分辨率的序列；然后，分别对这些序列进行分数阶微积分处理；最后，将处理好的序列重新组合起来得到整个时间序列的分数阶微积分模型。
这种模型在参数确定方面更加普适，并具有更广泛的适用性。
应用多分辨率分数阶微积分模型及其扩展形式已经被广泛应用于多个领域。
下面列举几个具体领域的实际应用案例。
金融领域：随着金融市场环境不断变化，如何对市场风险进行准确预测成为重要的研究课题。
多分辨率分数阶微积分模型可以用于股票价格的预测，以及量化投资和交易的决策支持。
其中，多分辨率分数阶随机游动模型（MRSW）是一种典型的方法，其可以更好地处理金融数据的波动性和长期依赖性等特点。
信号处理领域：多分辨率分数阶微积分模型在信号处理领域也有很好的应用前景。
一般而言，信号的时域和频域信息要么直接从信号中提取，要么通过傅里叶变换等方法转换到频域。
但是，这种转换可能会导致信息损失。
而多分辨率分数阶微积分模型可以更全面地考虑时域和频域的多尺度特性，从而更好地提取信号的时频信息。
多元时间序列分析在应用统计学中的方法与模型建立
多元时间序列分析在应用统计学中的方法与模型建立时间序列分析是应用统计学中的重要方法之一，用于研究时间上观测到的数据之间的依赖关系。
在实际的数据分析中，我们常常会遇到多个变量随时间变化的情况，这时就需要采用多元时间序列分析来进行建模和预测。
一、多元时间序列分析的基本概念多元时间序列分析是指在时间序列数据中存在多个变量，并且这些变量之间可能存在相互影响和依赖关系的分析方法。
与单变量时间序列分析相比，多元时间序列分析可以更全面地了解变量之间的相互作用和影响。
在多元时间序列分析中，我们通常会使用向量自回归模型（VAR）来描述变量之间的关系。
VAR模型基于每个变量过去时期的值来预测当前时刻的值，通过引入滞后项来捕捉时间序列之间的动态关系。
二、多元时间序列分析的方法1. 模型识别在进行多元时间序列分析之前，我们首先需要确定合适的模型。
常用的方法包括自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）的分析，以及信息准则（如AIC和BIC）的比较。
通过分析ACF和PACF，我们可以了解到序列之间的相关性，进而确定合适的滞后阶数。
而信息准则则可以帮助我们选择合适的模型。
2. 参数估计确定了模型之后，我们需要进行模型的参数估计。
常用的方法包括最大似然估计和最小二乘估计。
最大似然估计可以使得模型的参数估计值最大可能地接近实际观测值，而最小二乘估计则可以使得模型的残差平方和最小。
3. 模型检验为了验证模型的有效性，我们需要进行模型的检验。
常见的方法包括白噪声检验、残差自相关检验和残差正态性检验。
白噪声检验可以判断模型的残差是否具有随机性，残差自相关检验可以判断模型的残差是否存在相关性，残差正态性检验可以判断模型的残差是否近似服从正态分布。
4. 模型预测模型通过预测未来观测值来对时间序列进行预测。
基于已知的历史数据，我们可以利用已有的模型进行未来观测值的预测。
常用的方法包括递归预测和直接预测。
递归预测是指用已知的历史数据进行逐步预测，而直接预测是指直接利用已知的历史数据进行未来观测值的预测。
统计学中的多元时间序列分析
统计学中的多元时间序列分析多元时间序列分析是统计学的一个分支，它主要研究的是一系列的随时间变化而变化的变量，即时间序列。
而时间序列分析又分为单变量时间序列分析和多元时间序列分析两类，其中多元时间序列分析是单变量时间序列分析的扩展，它考虑多个变量之间的互相影响，因而更加复杂和困难。
在多元时间序列分析中，我们研究的对象是多个时间序列之间的关系。
多元时间序列分析的基本思想是将多个时间序列的变量统一表示成一个矩阵的形式，然后研究这个矩阵的性质和特征。
矩阵中的每一行表示一个时间点，每一列表示一个变量。
这样，我们可以很方便地对多个变量之间的相关性和交互作用进行分析。
在多元时间序列分析中，我们需要用到很多经典的统计方法，比如时间序列自回归模型、因子分析、主成分分析、线性回归等等。
下面我们分别介绍这些方法的基本思想和应用。
1. 时间序列自回归模型时间序列自回归模型是时间序列分析的最基本方法之一，它主要用于描述一个时间序列的过去和未来值之间的关系。
自回归模型假设一个变量的过去值可以用来预测当前值。
如果我们有两个变量，则可以建立双变量自回归模型，用一个变量的过去值预测另一个变量的未来值。
2. 因子分析因子分析是多变量统计分析中的一种方法，它的主要目的是寻找未观察变量的因素或维度。
因子分析可以将多个变量之间的关系简化为少数几个因素或者维度，从而更好地理解数据的内在结构和变异规律。
在多元时间序列分析中，因子分析可以用来降低变量的维度，提高模型的可解释性。
3. 主成分分析主成分分析也是一种降维方法，它可以将多个变量之间的线性关系转化为少数几个主成分。
主成分分析的目标是在保留数据变异特征的基础上，尽可能地减小变量的个数。
在多元时间序列分析中，主成分分析可以用来查找相邻时间点之间的相似性或变异度。
4. 线性回归线性回归是一种最常用的预测方法，它假设一个变量的变化可以用其他变量的值来解释。
在多元时间序列分析中，线性回归可以用来建立变量之间的关系模型，从而预测未来的数值。
多元时间序列分析方法及其应用
多元时间序列分析方法及其应用时间序列分析是一种重要的统计方法，用于研究随时间变化的数据。
在实际应用中，我们常常面临的是多个变量同时随时间变化的情况，这就需要使用多元时间序列分析方法。
本文将介绍多元时间序列分析方法的基本原理和常用技术，并探讨其在实际应用中的一些应用场景。
一、多元时间序列分析方法的基本原理多元时间序列分析是基于向量自回归模型（VAR）的方法。
VAR模型假设多个变量之间存在线性关系，并且每个变量的取值都可以由过去若干个时间点的取值来预测。
具体而言，VAR模型可以表示为：Y_t = A_1 * Y_(t-1) + A_2 * Y_(t-2) + ... + A_p * Y_(t-p) + E_t其中，Y_t 是一个 k 维向量，表示第 t 个时间点多个变量的取值；A_1, A_2, ...,A_p 是 k×k 的系数矩阵，E_t 是一个 k 维向量，表示误差项。
通过估计系数矩阵，我们可以得到对未来时间点的预测。
二、多元时间序列分析方法的常用技术1. 单位根检验在进行多元时间序列分析之前，我们首先需要检验各个变量是否平稳。
单位根检验是一种常用的方法，用于检验时间序列数据是否存在单位根。
如果存在单位根，说明序列不平稳，需要进行差分处理或引入其他变量进行调整。
2. 协整分析协整分析是多元时间序列分析的重要技术之一。
它用于研究多个非平稳时间序列之间的长期关系。
如果两个或多个变量之间存在协整关系，说明它们在长期内存在稳定的线性关系。
通过协整分析，我们可以建立误差修正模型（ECM），进一步研究变量之间的短期动态关系。
3. 脉冲响应函数脉冲响应函数是一种用于研究多元时间序列动态关系的方法。
它可以帮助我们理解一个变量对其他变量的瞬时影响，以及这种影响是否持续。
通过分析脉冲响应函数，我们可以了解各个变量之间的因果关系。
三、多元时间序列分析方法的应用场景1. 宏观经济分析多元时间序列分析方法在宏观经济分析中得到广泛应用。
经济统计学中的多元时间序列
经济统计学中的多元时间序列在经济学研究中，时间序列是一种重要的数据类型，它描述了一系列经济变量随时间的变化情况。
而多元时间序列则是指同时观测多个经济变量随时间变化的情况。
多元时间序列分析是经济统计学中的一门重要课程，它可以帮助我们理解经济变量之间的相互关系以及预测未来的经济走势。
多元时间序列分析的基础是向量自回归模型（VAR），它是一种用于描述多个经济变量之间相互依赖关系的模型。
VAR模型假设当前时刻的各个经济变量值与过去时刻的各个经济变量值之间存在线性关系，并且可以通过过去的观测值来预测未来的观测值。
通过对VAR模型的估计和预测，我们可以揭示经济变量之间的因果关系，进而帮助决策者制定经济政策。
在实际应用中，多元时间序列分析常常涉及到模型的选择和参数估计。
模型的选择是指在给定的经济变量集合中，选择合适的变量作为解释变量和被解释变量，并确定模型的阶数。
参数估计则是通过最小二乘法或极大似然估计等方法，根据观测数据估计模型的参数。
参数估计的准确性对于模型的有效性和预测的准确性至关重要。
多元时间序列分析还可以应用于经济政策评估和预测。
通过建立VAR模型，我们可以评估某一经济政策对多个经济变量的影响效果。
例如，我们可以研究货币政策对通货膨胀、利率和经济增长的影响。
同时，VAR模型还可以用于预测未来的经济走势。
通过对过去观测数据的分析，我们可以建立一个VAR模型，并利用该模型对未来的经济变量进行预测。
这对于政府和企业制定合理的经济计划和决策具有重要意义。
除了VAR模型，多元时间序列分析还包括脉冲响应函数、方差分解和协整分析等方法。
脉冲响应函数可以用来评估经济变量之间的冲击传导效应，即一个经济变量的突发变化对其他经济变量的影响。
方差分解可以将一个经济变量的波动分解为各个冲击的贡献，从而帮助我们理解经济变量之间的相互关系。
协整分析则是用于研究非平稳时间序列之间的长期关系，它可以帮助我们理解经济变量之间的均衡关系。
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［ 键 词 ］ 记 忆 过 程 多尺 度 分 析 多尺度 最 大似 然 估 计 矩 阵 变换 计 算 复 杂度 关 长
１ 简 介 ．
并 且 当 ｆ＋ －０时 ， ｏ。 ｓ ｏ
理论研究和工程实践中 ， 常存在着这样 一类随机过程 ／时 间序列 ， 它在时间上相隔较远的随机变量之 间仍存 在有一定的相关性 ，通 常称 具有这种性质的随机过程为长记忆过 程 ， 应的时间序列 为长忆 时间 相 序列【 Ｉ Ｊ 。由于这类过程 ／序列在社会 、 经济 和 自 然科 学等领域 中的广泛 存在性 ， 从而使得对 它们 的研究长盛不衰败 ， 其是对过程 ／序列 中 尤 的参数估 计问题 一直是研 究的热点问题 之一 。 实际应用中 ， 在使 用传 统极大似然估计 （ ｘｍ ｍｌ ｅｉｏｄｅｔ ａ ｍａｉｕ ｋｌ ｏ ｓｉ － ｉ ｈ ｍ ｔｎＭ Ｅ 方法对 随机 过程 ／ 间序 列的参数进行 估计时 ， ｉ Ｌ ） ｏ 时 常因为计算 量过大而使算法难 以快 速有效地施实 ；造成上述 现象的主要原 因是 由 于在利用该方法对参数 进行求解决时 ，会遇 到大的矩阵求逆运算 和相 应的矩阵求行列式运算 。当处理 多元相关过程 时， 复杂度将更大 。 小波 变换是 目前 一种 常用 的数工具 ，它对信号具有很好 的时频局部分析能 力， 正是它对 随机信号所具有 正交分解能力和解相关 能力 ， 从而使它 已 在许多领 域中得 到了广泛应用 ， 被誉 为“ 并 数学 的显微镜 ” 。 Ｄ ｎｌ ．ｅｃ ａ基 于小波 对一类平稳 时间序列 的参数估计进行 了 ｏａｄＢＰ ｒｉｌ ｖ 研究 ， 给出了高斯情况 下似 然函数的形式 以及小 波方差 的估 计［ ９ １ 。国内 学者文成林 、 王松伟将小 波变换与传 统的 Ｍ Ｅ方法相结 合 ， 立一种 Ｌ 建 多尺度极 大似然估计方法目 但是 以往 的方法都是针对～元时间序列进 。 行研究 的， 并没有涉及到更高维 的情 况 ， 本文利用小波变换强 的局部分
Ｐ Ｔ：Ｅ ｚ ） ＋ ） ） （（ ｋ Ｔ） ＝ ｋ
Ｅｘｋ ｛（） ｙ ｋ ｋ ） ｋ ） 一Ｅ ｉ ｉ Ｔ Ｅｙ）Ｉ Ｔ Ｊ ｉｋ ） ￣ｋ１＋） ＋ ｉｙ
＝
’
ｘｒ
（ １ ， ）
上式 中 ） 是对称矩阵 ， 并假定 （ 、 ） 下、 ） 是关于 整 Ｔ Ｐ（ 、 ） ） Ｔ （ Ｐ 都 数 的递减 函数 ， 即随机变量 ｘ ｙ的相关性随着整数 的增大而快速 衰 ．
记平稳时 间序列 ｆｋ】 ｚ） （ 的互相关协方差矩阵为 Ｐ ）Ｅ［ ｋ Ｅ ｚ ）［ｋ Ｔ Ｅｚ ＋ ） ＝ ｛ （ 一 （ ｋ ］（ ） ｛ｋ Ｔ ］ ｚ ） （ ｝ｚ ＋ 一 （ ｝ １
上式 中， 是一整数 ， ｔ 符号 Ｅ． ｛１ 表示求期望运算 ； 上标 Ｔ表示转置运 算 ， ＝ ｛ （ 一 ｛ ｋ 】（ 一 ｛ ｋ ｎ。不失一般性 ， Ｐ Ｅ［ ｋ Ｅ ｚ ）【ｋ Ｅ ｚ ） ｚ ） （ ｌｚ ） （ ｝ 在本文 的后续 的研 究 中， 仅考虑零均值 的时间序列 。 ２２应用传统极大似然对二元过程参数的估计 ．
－
析能力 ， 并结合相应的矩阵变换对二维情况进行 了研究 。 本文将它在一
类具有广泛应用背景的多变量 长记忆 时间序列 中，在确保被估 参数满 足一定精度 的条件下 ， 力争大幅度降低求解参数过程的计算量 。 ２长 记 忆 模 型 及 传 统 的 参 数 估 计 ． ２１ 记 忆 过 程 模 型 ．长 定 义 ２１ 稳 长 记 忆 时 间 序 列 ．平 对平稳时间序列｛（），（） 若它的谱密度 函数 （ｐｃｒｌ ｅｓ ｘｋ）ｘ ∈Ｒ ， ｋ Ｓ ｅｔ ｎｉ ａＤ — ｔ Ｆ ｎｔ ｎ Ｓ Ｆ） ） ｙ ｕ ｃ ｏ ，Ｄ Ｓ ・满足 ｉ （
对一 个二元 时间序列 （（） ｌ（） ／假 设两个分 量 ｛（）、 （ ） ｚｋ｝ Ｉ ｋ ］ ＝【ｘ ｘｋ）｛ ｋ 是 ｙ）
ｙ（ Ｊ ｋ ）Ｊ
，
零均值 、未知 ） （ 参数为 ａ 【 ｄ …， １ ＝ ， ａ 的二元平稳时间宁列 ， 记平稳 时 并 间序列｛（） ｚ ｝ ｋ 的互相关协方差矩阵为
减。 记 有 限 长 度 的二 元 时 间 序 列 段 为 Ｚｋｋ Ｎ １： Ｙｋｋ Ｎ （， 一 ） Ｘ ，＋ ＋ ：！ （
－
ｔ
ｆ ＇＋ Ｎ ｌ ｋｋ ）
一
） １
其 中
Ｘ（，＋ — ）【ｋ，（＋ ） ｘｋ Ｎ １］ ｋｋ Ｎ １ ｘ ） ｋ １ …，（＋ 一 ） ＝（ｘ ， Ｙ（，＋ — ）【（） （＋ ） 。ｙｋ Ｎ １］ ｋｋ Ｎ １ ｙ ，ｋ １ 。，（＋ — ） ＝ ｋｙ ，。 而随机时间序列段 Ｚｋｋ Ｎ一 ） （，＋ １的每次实 现是一个相应 长度二元 向 量段 Ｚｋｋ Ｎ一 ＝ｌ （，＋Ｎ （，＋ Ｘ ｋｋ 这里
１
Ｙ（＿＋Ｎ １ ｋｋ ）
一
） ］
Ｘ ｋ ＋ — ） ｘ ） （ １ …，ｋ Ｎ １ （ｋＮ １ 【ｋｘ ＋） ｘ ＋ —） ， ＝ （，ｋ ， （ ｒ
Ｙ（，＋ — ）【（） （＋ ） ｙｋ Ｎ １１ ｋｋ Ｎ １＝ｙｋ， ｋ １ …，（＋ 一 ） ｙ ， ｘｋ，ｋ ∈Ｒ．＝ ，， （）（） ｌ … ｙ ｋ ２
科技信息
ห้องสมุดไป่ตู้
博士 ・ 专家论 坛
多 元 随和 时 间 序 列 参 数 估 计 昀多 尺 度 方 法
河 南广播 电视 大 学 王 广 江 金 世 国
［ 摘 要 ］ 在以往理论研究和工程 实践 中， 对长记忆过程参数估计大 多 都是 对一维情况操 作。多维的情 况鲜有考虑 ， 类的文章也较 此 少。本文利 用小波变换解相关的属性， 并结合相应的矩 阵变换 ， 多维长记忆参数估计 （ 文主要 考虑二 维） 将 本 简化 为一维的情况 ， 并 相应的修改 了 ＭＭＬ ［ Ｅ 推论 ， 极大地降低 了参数估计 的计算量 ， 并且精确度保持 与一维情况接近 ， 用计算机 仿真论证新 方法的有效