第七章季节性时间序列分析方法
气候变化数据分析中的时间序列方法综述
气候变化数据分析中的时间序列方法综述气候变化是当今全球面临的严峻挑战之一。
随着温室气体排放的增加和全球气温的升高，对气候变化的研究变得越来越重要。
时间序列方法在气候变化数据分析中发挥着重要的作用，可以帮助我们理解和预测气候变化的趋势和特征。
本文将对气候变化数据分析中常用的时间序列方法进行综述，包括趋势分析、周期性分析、季节性分析和突变检测等。
首先，趋势分析是气候变化研究中常用的一种方法。
趋势分析旨在识别和量化气候变化数据中的长期趋势。
常见的趋势分析方法有线性回归、多项式回归和移动平均法等。
线性回归分析可以用来拟合趋势线，通过计算斜率可以判断趋势的增长或减少趋势。
多项式回归可以更好地拟合复杂的非线性趋势。
移动平均法通过计算一段时间内的数据均值，来平滑数据并突出趋势。
趋势分析可以帮助我们了解气候变化的总体方向和速度。
其次，周期性分析是用来识别和分析气候变化数据中存在的周期性模式。
常见的周期性分析方法有傅里叶变换和小波分析等。
傅里叶变换可以将时间序列分解为不同频率的正弦和余弦波，帮助我们理解不同时间尺度上的周期性变化。
小波分析是一种多尺度分析方法，可以同时分析时间和频率的变化。
周期性分析可以帮助我们发现气候变化的季节性、年际变化和长期变化等周期性模式。
此外，季节性分析是用来识别和分析气候变化数据中的季节性模式。
常见的季节性分析方法有季节分解和移动平均法等。
季节分解方法可以将时间序列分解为长期趋势、季节性变化和随机成分。
移动平均法通过计算一段时间内的数据均值，来平滑数据并突出季节性。
季节性分析可以帮助我们理解气候变化的周期性特征和季节性变化规律。
最后，突变检测是用来识别和分析气候变化数据中存在的突变事件。
突变事件可能是由自然因素或人为活动引起的，对气候变化的影响较大。
常见的突变检测方法有秩和检验、序列分割和滑动t检验等。
秩和检验可以用来比较两个时间段的数据，根据秩和的大小来判断是否存在突变。
序列分割方法可以根据数据的变化点将时间序列分割为多段，以识别突变事件。
季节性时间序列分析方法
季节性时间序列分析方法在经济领域中得到的观测数据一般都具有较强的随时间变化的趋势，如果是季度或月度数据又有明显的季节变化规律。
因此研究经济时间序列必须考虑其趋势性和季节性的特点，既要考虑趋势变动，又要考虑季节变动，建立季节模型。
第一节 简单的时间序列模型一、 季节时间序列序列是季度数据或月度数据（周，日）表现为周期的波动。
二、随机季节模型例1 假定t x 是一个时间序列，通过一次季节差分后得到的平稳序列，且遵从一阶自回归季节模型,即有 t s s t t t x B x x w )1(-=-=-1tt s t w w 或 1(1)s t t B w 将t w =t s x )B (-1代入则有1(1)(1)s s t t B B x SARIMA(1,1,0)更一般的情况，随机序列模型的表达式为11(1)(1)(1)s s S t t B B x B SARIMA(1,1,1)第二节 乘积模型值得注意的是t a 不一定是白噪声序列。
因为我们仅仅消除了不同周期相同周期点之间具有的相关部分，相同周期而不同周期点之间的也有一定的相关性。
所以，在此情况下，模型有一定的拟合不足，如果假设t 是),(q p ARMA 模型，则1(1)(1)s s t t B B x 式可以改为1()(1)(1)()s s t t B B B x B如果序列}{t x 遵从的模型为()()()()s d D s s t t B U B x B V B （3.26） 其中ks k s s s B BB B U ΓΓΓ----= 2211)(ms m s s s B B B B V H H H ----= 2211)(p p B B B φφΦ---= 11)(q q B B B θθΘ---= 11)(d d B )1(-=∇D s D s B )1(-=∇则称（3.26）为乘积季节模型，记为),,(),,(q d p m D k ARIMA ⨯。
季节性时间序列模型
季节性时间序列模型季节性时间序列模型通常包括四个主要组成部分：趋势、周期、季节和残差。
趋势表示数据的长期增长或下降趋势，可以是线性或非线性的。
周期表示数据中的循环模式，例如月度或年度循环。
季节表示数据在特定季节中的重复模式，例如每年夏季销售增长。
残差表示无法通过趋势、周期和季节解释的部分，即剩余误差。
为了建立季节性时间序列模型，首先需要对数据进行季节性分解，以提取趋势、周期和季节成分。
常用的方法包括移动平均法和指数平滑法。
移动平均法通过计算一系列连续时间段内的平均值来平滑数据，并提取趋势和周期成分。
指数平滑法则通过加权计算最近一段时间内的数据，赋予更高的权重，以反映近期数据的影响力，进而提取趋势成分。
一旦趋势、周期和季节成分被提取，可以使用这些成分来预测未来的值。
最常用的方法是加法模型和乘法模型。
加法模型中，趋势、周期和季节成分相加得到预测值。
乘法模型中，趋势、周期和季节成分相乘得到预测值。
具体选择哪种模型取决于数据的性质。
季节性时间序列模型还可以通过调整模型参数和增加复杂度来提高预测性能。
常用的技术包括自回归（AR）模型、移动平均（MA）模型和自回归移动平均（ARMA）模型。
这些模型通过考虑多个时间点的数据来提高预测的准确性。
季节性时间序列模型在实际应用中具有广泛的价值。
例如，在销售领域，可以使用季节性时间序列模型预测未来几个月的销售量，以制定合理的库存管理策略。
在经济学中，可以使用该模型预测未来几个季度的经济增长率，以指导政府的宏观调控政策。
然而，季节性时间序列模型也面临一些挑战和限制。
首先，它依赖于数据中的季节性模式，如果季节性模式发生变化，则模型的准确性可能会下降。
其次，模型的复杂度和参数调整可能会带来计算上的困难。
此外，模型所能提供的准确度也取决于数据的质量和可用性。
总的来说，季节性时间序列模型是一种强大的工具，可以用于分析和预测数据中的季节性变化。
通过合理的调整和选择模型参数，可以提高预测的准确性。
时间序列分析的方法和应用
时间序列分析的方法和应用时间序列是指在时间轴上按一定规律产生的一组数据，它具有时间的先后顺序和时间对数据波动的影响。
时间序列分析是一种重要的统计方法，它能够帮助我们预测未来的趋势，发现异常情况以及判断某一事件对整体趋势的影响。
本文将就时间序列分析的方法和应用展开讨论。
时间序列分析的主要方法时间序列分析的主要方法包括时间序列图、移动平均、指数平滑、季节性分解、ARIMA（自回归移动平均）模型以及传统的回归分析等。
时间序列图时间序列图是通过按时间顺序排列的数据图形来展示时间序列的趋势和变化规律。
观察时间序列图可以直观地发现趋势和周期性的变化。
移动平均移动平均是利用时间序列中连续若干个时间点的平均值来代替原数据，平滑时间序列趋势和随机波动。
移动平均的阶数选择要根据实际数据而定，通常选择3、5、7等奇数阶。
移动平均可以帮助我们减少瞬间的波动和不规则的趋势。
指数平滑指数平滑是用来平滑时间序列数据，同时估计未来数值的方法。
它主要是通过一个权重系数来加权历史观测值，随着时间的推移，之前的观测值对最终结果的影响逐渐减弱。
指数平滑方法的好处是它可以对于新增的观测值进行更快速的反应。
季节性分解季节性分解是将时间序列拆分成趋势部分、季节性部分和随机波动部分。
可以采用季节因子、半平均、平滑和x-11等四种方法进行分解。
此方法的好处是，可以检验一个数据集中是否存在季节性效应。
如果存在，则可以将其季节性分解，减少这些效应对整体趋势的干扰。
ARIMA模型ARIMA模型是一种以时间序列的历史数据预测未来数据的模型，它是包括自回归（AR）过程、移动平均时间序列（MA）过程和整合（I）过程的三个部分。
在ARIMA模型的实施过程中，可以通过差分等方法，保证原始数据的差分与残差满足平稳随机长度论条件。
选择最合适的ARIMA模型可以帮助我们更好地预测未来的趋势和趋势变化。
传统回归分析传统回归分析可以把需要预测的时间序列看作因变量，并找到与它有相关性的自变量。
季节性分析方法
yt M
t
Tt S t I t Tt
St It
平均数趋势整理法
建立趋势预测模型
根据年的月平均数,建立年趋势直线模型：
ˆ T t = a + bt
其中t是以年为单位
用最小平方法估计参数a,b,幵取序列{ y }的中点年为时 间原点.再把此模型转变为月趋势直线模型
(t )
Tˆt = a 0 + b 0 t b a0 = a + 24 , b0 = b 12
时间序列分析模型
加法模型
Y=T+S+C+I
乘法模型 Y=T×S×C×I
Y T
T S I T
S I
时间序列的分解分析
分解步骤：
① 分析和测定现象变动的长期趋势，求趋势值T。 ② 对时间序列进行调整，即减去或除以T，得出丌包含趋势 变动的时间序列资料。 乘法模型：
Y T T S I T S I
同月平均数与季节指数对比
元/吨 1.04 1.02 1 0.98 0.96 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 季节指数 同月平均 3400 3350 3300 3250 3200 3150 3100 3050 3000
yt M
t
Tt S t I t Tt
St It
计算季节比率及其平均数
y Mt tBiblioteka Tt St
It
S
Tt
t
It
计算季节指数
yt M
t
Tt S t I t Tt
St It
移动平均趋势剔除法
移动平均季节指数
人大版统计学 习题加答案第七章 时间序列分析
第七章时间序列分析一、填空1、下表为两个地区的财政收入数据:则A地区财政收入的增长速度是,B地区财政收入的增长速度是,A 地区财政收入的增长1%的绝对值为,B地区财政收入的增长1%的绝对值为。
2、已知环比增长速度为7.1%、3.4%、3.6%、5.3%,则定基增长速度是。
3、年劳动生产率r(千元和职工工资y (元之间的回归方程为110x=,这意味着120y+年劳动生产率每提高1千元时,职工工资平均。
4、拉氏价格或销售量指数的同度量因素都是选期,而派许指数的同度量因素则选期。
5、动态数列的变动一般可以分解为四部分,即趋势变动、变动、变动和不规则变动。
二、选择题1.反映了经济现象在一个较长时间内的发展方向,它可以在一个相当长的时间内表现为一种近似直线的持续向上或持续向下或平稳的趋势。
A长期趋势因素B季节变动因素C周期变动因素D不规则变动因素2.是经济现象受季节变动影响所形成的一种长度和幅度固定的周期波动。
A长期趋势因素B季节变动因素C周期变动因素D不规则变动因素3、时间序列在一年内重复出现的周期性波动称为(A、趋势B、季节性C、周期性D、随机性4、在使用指数平滑法进行预测时,如果时间序列比较平稳,则平滑系数α的取值(A、应该小些B、应该大些C、等于0D、等于15、某银行投资额2004年比2003年增长了10%,2005年比2003年增长了15%,2005年比2004年增长了(A、15%÷10%B、115%÷110%C、(110%×115%+1D、(115%÷110%-1三、判断1、若1998年的产值比1997年上涨10%,1999年比1998年下降10%,则1999年的产值比1997年的产值低。
(2、若三期的环比增长速度分别为9%、8%、10%,则三期的平均增长速度为9% (。
3、去年物价下降10%,今年物价上涨10%,今年的1元钱比前年更值钱。
(。
4、若平均发展速度大于100%,则环比发展速度也大于100%。
第七章 季节时间序列分析
② 阶数判定要点： ◇差分与季节差分阶数d、D的选取，可采 用试探的方法，一般宜较低阶（如1、2、 3阶）.对于某一组d、D，计算差分后序列 的SACF与SPACF，若呈现较好的截尾或拖 尾性，则d、D适宜.此时若增大d、D，相 应SACF与SPACF会呈现离散增大及不稳定 状态； ◇通常D不会超过1阶，特别对S=12的月份 数据（B-J）； ◇SARIMA模型应慎重使用，特别序列长度 不够理想时（B-J）.
• 构造原理
– 短期相关性用低阶ARIMA(p,d,q)模型提取 – 季节相关性用以周期步长S为单位的 ARIMA(P,D,Q)模型提取 – 假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系.
（一） 乘积季节模型的一般形式
1、 et 可能是平稳的，也可能是非平稳的，
不妨设一般情况，
et 适合ARIMA（p，d，q）
季节差分后序列ACF、PACF特征
（1）若季节差分后序列适合MA模型: S=12 Xt-Xt-12=(1- 12B12)et=(1- 1B)(1-12B12)at =at- 1at-1- 12at-12+ 112at-12-1 季节差分后，适应MA(13)，其中i=0 （i=2,3,…,11）,ACF截尾（k=1,11,12,13不 为零，其余显著为零），PACF拖尾. 1 0 12 0 11 13 1112
（2）D阶季节差分 s)X sXt=Xt-Xt-s=（1-B t
s D Xt=（1-Bs) dXt s 2 Xt =(1-Bs) 2Xt=(1-2 Bs+ B 2s)Xt Xt=Xt-Xt-1 sXt=Xt-Xt-s a D: a:相减的时期 D:差分的阶数
设s D Xt=Wt ，则s D Xt-s=Wt-s 若Wt适合AR(1) Wt 1Wt s t , (1 1Bs )Wt t
第七讲 季节变动法
Tt
= St ⋅ It
例:某汽车厂汽车销售量时间序列如下表所示,试预测2009年各
季汽车销售量。
t
t
t
年.季
2005.1 2 3 4 2006.1 2 3 4 2007.1 2 3 4 2008.1 2 3 4
t值
-15 -13 -11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 11 13 15
xt St = α + (1−α )( St−1 + bt−1 ) 0 < α <1 It−L
bt = γ ( St − St−1 ) +(1−γ ) bt−1 0 < γ <1
It = β xt + (1− β ) It −L St
0 < β <1
其中，L为季节周期的长度；I为季节修正系数。
Ft+m = ( St + bm) It−L+m t
yt
观测值
趋势线
t
图5.1 水平趋势季节型时间序列
简单平均比率法
如果一个时间序列的长期变动趋势呈水平状态,即没有明显的上 升或下降的长期趋势,可采用这种方法。 其步骤是: 1、计算历年同季的平均值 Si 2、计算全序列总的季平均值 S Si Si = 3 、计算季节指数(也称季节比率): S 4 、用简单移动平均法预测趋势分量Tt,乘以季节分量即为预测 值。 此法注意,至少要含有三个以上季节变动周期的数据。即只有 掌握了丰富的历史资料,才能准确地分析出季节变动的规律 性。
例:某旅行社2005～2008年各季接待游客的统计资料
如下表所列(单位:万人)。试用简单平均比率法计算 季节指数,并预测2009年各季度游客数。
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(
B)U
(
B
S
)d
D S
X
t
V (BS )(B)det
(7.2.2)
根据（7.2.1）式，即有
(
B)U
(
B
S
)
d
D S
X
t
V (BS )(B)at
(7.2.3)
(
B)U
(
B
S
)
d
D S
X
t
V (BS )(B)at
(7.2.3)
在（7.2.3）中，(B)d Xt 仅表示同一周期内不同周期点
的相关关系；而U
(
B
S
)
D S
则描述不同周期的同一周期点上的
相关关系。二者结合起来便同时刻画了两个因素的作用。另
一方面，从（7.2.3）式结构形式上看，它是随机性季节模型
与 ARIMA 模型的结合式，故称为乘积季节模型，其阶数用
(n, d, m) ( p, d, q)S 来表示。
将（7.2.3）式展开，则可得到一般的 ARIMA 模型。例如
对于阶数为(1,0,1) (0,0,1)S 的乘积季节模型
(1 B) Xt (11B)(1 v1BS )at ，
展开得
(1 B) Xt (11B v1BS 1v1BS1)at 。
上式是一个(0,1, S 1)阶的 ARIMA 模型，且系数中有许多为零，
即1 1, 2 S1 0, S v1, S1 1v1。可见，尽管模型的 阶 数 很 高 ， 但 除 了 1, S , S1 外 ， 其 他 系 数 均 为 零 ， 而 且 S1 1v1，所以实际上只有两个自由参数。故乘积季节模型 也称为疏系数模型。
记Wt (1 BS )D Xt ，则
一阶自回归季节模型 Wt 1WtS et ，或(11BS )Wt et
还原为 Xt 序列，有
(1
1B
S
)
D S
X
t
et
一阶移动平均季节模型 Wt et 1etS ，或Wt (11BS )et
还原为 Xt 序列，有
D S
X
t
(11BS )et
一般的季节性 ARMA 模型 U (BS )Wt V (BS )et
对于季节性时间序列通常按周期进行重新排列，得到 一个以周期点为行、以周期为列的二维表（见 P182 表 7.1 和表 7.2）。这样做不仅有助于加深理解序列的周期特性， 而且有助于形成建模思想和理解季节模型的结构。
二、随机季节模型 在确定性时序分析中，常用的处理方法是对季节时间 序列的季节分量拟合一个三角函数模型或求一个固定的 季节指数。随机季节模型，是对季节性随机序列中不同周 期之间相关关系的拟合。 如周期为 12 个月的月份资料，就是研究不同年份的 同一个月份的观察值之间的记忆性。
第三节 季节时序模型的建立
积型季节模型的识别、定阶、参数估计及适应性检验，
基本上也是以随机序列的样本自相关、偏自相关函数为依据
的。
一、季节性 MA 模型的自相关函数
季节性 MA 模型：假定某一季节性时间序列的季节性，
即各周期点之间的相关性表示为： Xt (1S BS )et , (7.3.1)
而et 又适合一个 MA(1)模型：
第七章 季节性时间序列分析方法
第一节 简单随机时序模型 一、季节时间序列 定义 在一个时间序列中，若经过 S 个时间间隔后呈 现出相似性，就说该序列具有以 S 为周期的周期特性。具 有周期特性的序列就称为季节性序列。S 为周期长度，一 个周期内所包含的时间点称为周期点。 有的时间序列可能同时含有长度不同的若干周期。通 常根据周期长度及其作用程度称之为主周期、谐波、次谐 波等。
3. (1 BS ) Xt C (11B)(1S BS )at 4. (1 B) Xt (1S BS )at 5. (1 BS ) Xt (1S BS )at 6. (11B)(1 BS ) Xt (1S BS )at 7. (11BS ) Xt C (11B)at 8. (1 BS )2 Xt C 2S (B)at
et (11B)at , (7.3.2)
则得到一个周期为 S 的季节性 MA(1)模型，即(0,0,1)(0,0,1)S
模型
Xt (11B)(1S BS )at
(7.3.3)
Xt (11B)(1S BS )at 将（7.3.3）式展开，可得
(7.3.3)
Xt at 1at1 S atS 1S atS1
或
U
(
BS
)
D S
X
t
V (BS )et
其中
U (BS ) 1 u1BS V (BS ) 1 v1BS
up B pS vq BqS
et 内容与性质： (1) et 是原序列消除了不同周期的同一周期点之间相关 部分（即季节分量）之后的剩余序列。 (2) et 不一定相互独立。这是因为同一周期的不同周期点 之间也可能有一定的相关关系。因此季节性模型有一定的不 足，在一定程度上讲，它是一个不完备的模型。
ARIMA 模型是乘积季节模型的一个特例。
二、常用的随机季节模型
1. (1 B12 )(1 B) Xt (11B)(112B12 )at 模型由两个模型组合而成。
(7.2.5)
(1) (1 B12 ) Xt (112B12 )et
(7.2.5a)
只考虑不同年份同月的资料之间的相关关系。
(2) (1 B)et (11B)at
第二节 乘积季节模型
一、乘积季节模型的一般形式
在随机季节模型
U
(
B
S
)
D S
X
t
V (BS )et
(7.1.6)
中，由于et 不是独立的，因此不妨假设et 适合一个
ARIMA(n,d,m)：t 为白噪声序列。在（7.1.6）式两端同乘以(B)d ，得
(7.2.5b)
刻画同年不同月的资料之间的相关关系。
这种模型最早用于国际航运资料，故也称为 Airline 模
型，是一个应用最广的季节模型。
2. (1 B12 ) Xt (11B)(112B12 )at 模型由两个模型组合而成。
(7.2.6)
(1) (1 B12 ) Xt (112B12 )et
(7.2.6a)
只考虑不同年份同月的资料之间的相关关系。
(2) et (11B)at
(7.2.6b)
表示同年不同月之间几乎不存在依赖关系，但受前一期
扰动的影响。即时间序列资料消除了季节因素之后适合于一
个 MA(1)模型。
更一般的是模型（7.2.5）和（7.2.6）中的周期长度 12
可以用 S 替代。