总习题一解答
郭锡良版古代汉语习题解答案1
古代汉语练习题及参考答案练习一一查阅下列各字在《康熙字典》（或《辞源》修订本）中所属的部首：丹（丶部）之（丿部）亚（二部）常（巾部）卍（十部）受（又部）严（口部）隣（邑部）巡（巛部）希（巾部）幽（幺部）胡（肉部）怡（心部）攻（攴部）书（曰部）民（氏部）煎（火部）者（老部）茁（艸部）贰（贝部）郊（邑部）望（月部）平（干部）术（行部）按：繁体字“隣”与“鄰”为异体字，都简化作“邻”。
《康熙字典》“隣”字在阜部，“鄰”字在邑部。
《辞源》修订本不收“隣”字，只收“鄰”字，在邑部。
二“行”字在《康熙字典》和《辞源》中各有几种读音？两者是否一致？“行窳”的“行”读什么音？“行”字在《康熙字典》中有5种读音，在《辞源》中有4种读音。
其中xíng、xìng、háng 、hàng是一致的。
《康熙字典》还引了《集韵》的一条注音“乎监切”（读音为xián）。
“行窳”的“行”读xíng。
1．以残年余力，曾．不能毁山之一毛。
（《列子·汤问》）曾，副词，乃、竟。
2．居庙堂之高，则．忧其民，处江湖之远，则．忧其君。
（范仲淹《岳阳楼记》）则……则……，承接连词，表文中对举关系，就、那么。
3．既．出，得其船，便扶向路。
（陶渊明《桃花源记》）既，时间副词，表过去，已经。
4．或．圆如箪，或．方似笥。
（《水经注·巫山、巫峡》）或，无定代词，有的。
5．自．非亭午夜分，不见曦月。
（《水经注·巫山、巫峡》）自，假设连词，苟、如果。
常“自非”连用。
6．广袤丰杀，一．称心力。
（白居易《庐山草堂记》）一，副词，皆、都。
四什么是六书？每类主要特点是什么？分别列举象形、指事、会意、形声字各五例。
六书，即象形、指事、会意、形声、转注、假借，是古人对汉字的形体构造与使用规律所作的理论总结。
象形的主要特点是字形像它所表达的事物之形，是以简单的线条把事物的轮廓或具有特征的部分描画出来。
原子物理习题解答
原子物理习题解答1(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--原子物理学习题解答电子和光子各具有波长,它们的动量和总能量各是多少?解：由德布罗意公式p h /=λ,得：m/s kg 10315.3m 1020.0s J 1063.624934⋅⨯=⨯⋅⨯===---λhp p 光电 )J (109.94510310315.316-824⨯=⨯⨯⨯====-c p hch E 光光λν21623116222442022)103101.9(103)10315.3(⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=--c m c p E 电电)J (1019.8107076.61089.9142731---⨯=⨯+⨯=铯的逸出功为,试求: (1)铯的光电效应阈频率及阈值波长;(2)如果要得到能量为的光电子,必须使用多大波长的光照射?解：(1) 由爱因斯坦光电效应公式w h mv -=ν221知,铯的光电效应阈频率为: Hz)(10585.41063.6106.19.11434190⨯=⨯⨯⨯==--h w ν 阈值波长: m)(1054.610585.4103714800-⨯=⨯⨯==νλc (2) J 101.63.4eV 4.3eV 5.1eV 9.12119-2⨯⨯==+=+=mv w h ν 故: m)(10656.3106.14.31031063.6719834---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯===ννλh hc c若一个电子的动能等于它的静止能量,试求：(1)该电子的速度为多大(2)其相应的德布罗意波长是多少解：（1）由题意知，20202c m c m mc E k =-=，所以20222022/1c m c v c m mc =-=23cv =⇒ （2）由德布罗意公式得： )m (104.1103101.931063.632128313400---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=====c m h v m h mv h p h λ (1)试证明: 一个粒子的康普顿波长与其德布罗意波长之比等于2/120]1)/[(-E E ,式中0E 和E 分别是粒子的静止能量和运动粒子的总能量.(2)当电子的动能为何值时,它的德布罗意波长等于它的康普顿波长? (1)证明：粒子的康普顿波长:c m h c 0/=λ德布罗意波长: 1)/(1)/(2020204202-=-=-===E E E E c m hcc m E hc mv h p h c λλ 所以, 2/120]1)/[(/-=E E c λλ(2)解：当c λλ=时，有11)/(20=-E E ，即：2/0=E E 02E E =⇒故电子的动能为：2000)12()12(c m E E E E k -=-=-=)J (1019.8)12(109101.9)12(141631--⨯⨯-=⨯⨯⨯⨯-=MeV 21.0eV 1051.0)12(6=⨯⨯-=一原子的激发态发射波长为600nm 的光谱线,测得波长的精度为710/-=∆λλ,试问该原子态的寿命为多长?解： 778342101061031063.6)(---⨯⨯⨯⨯⨯=∆⋅=∆-=∆=∆λλλλλνhc c h h E )J (10315.326-⨯= 由海森伯不确定关系2/ ≥∆∆t E 得：)s (1059.110315.32100546.1292634---⨯=⨯⨯⨯=∆≥=∆E t τ 一个光子的波长为300nm,如果测定此波长精确度为610-.试求此光子位置的不确定量.解： λλλλλλλλ∆⋅=∆≈∆+-=∆h h h h p 2，或：λλλλλνννν∆⋅=∆=∆-=∆+-=∆h c c h c h c h c h p 2)( m/s)kg (1021.2101031063.6336734⋅⨯=⨯⨯⨯=---- 由海森伯不确定关系2/ ≥∆∆p x 得：)m (10386.21021.22100546.1223334---⨯=⨯⨯⨯=∆≥∆p x 当一束能量为的α粒子垂直入射到厚度为5100.4-⨯cm 的金箔上时,探测器沿20°方向每秒纪录到4100.2⨯个α粒子.试求:(1)仅改变探测器安置方位,沿60°方向每秒可纪录到多少个α粒子?(2)若α粒子能量减少一半,则沿20°方向每秒可测得多少个α粒子?(3) α粒子能量仍为,而将金箔换成厚度相同的铝箔, 则沿20°方向每秒可纪录到多少个α粒子(金和铝的密度分别为cm 3和cm 3,原子量分别为197和27,原子序数分别为79和13.忽略核的反冲).解：由公式, )2/(sin /')()41('42220220θπεr S Mv Ze Nnt dN =)2/(sin /')2()41(422220θπεαr S E Ze Nnt = (1) 当︒=60θ时, 每秒可纪录到的α粒子2'dN 满足:01455.030sin 10sin )2/(sin )2/(sin ''44241412=︒︒==θθdN dN 故 241210909.210201455.0'01455.0'⨯=⨯⨯==dN dN (个)(2) 由于2/1'αE dN ∝,所以 413108'4'⨯==dN dN (个) (3) 由于2'nZ dN ∝,故这时:31211342442112441410/10/''--⨯⨯==A Z N A Z N Z n Z n dN dN A A ρρ 55310227793.19197137.2''4221421112444=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=dN A Z A Z dN ρρ(个)动能为40MeV 的α粒子和静止的铅核(Z=82)作对心碰撞时的最小距离是多少?解：由公式: ])2/sin(11[2412020θπε+=Mv Ze r m , 当对心碰撞时,πθ=,1)2/sin(=θ,则 m)(109.5106.11040)106.1(82210924115196219920---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==απεE Ze r m 动能为的质子接近静止的汞核(Z=80),当散射角2/πθ=时,它们之间的最小距离是多少?解：最小距离为:])2/sin(11[241])2/sin(11[41202020θπεθπε+=+=p p m E Ze v m Ze r m)(1060.1]45sin 11[106.11087.02106.180109131962199---⨯=︒+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯=）（ 试证明α粒子散射中α粒子与原子核对心碰撞时两者间的最小距离是散射角为90°时相对应的瞄准距离的两倍。
《环境化学》课后部分习题解答1
《环境化学》（戴树桂第二版）课后部分习题解答第一章绪论2、根据环境化学的任务、内容和特点以及发展动向，你认为怎样才能学好环境化学这门课？环境化学是一门研究有害化学物质在环境介质中的存在、化学特征、行为和效应及其控制的化学原理和方法的科学。
环境化学以化学物质在环境中出现而引起环境问题为研究对象，以解决环境问题为目标的一门新型科学。
其内容主要涉及：有害物质在环境介质中存在的浓度水平和形态，潜在有害物质的来源，他们在个别环境介质中和不同介质间的环境化学行为；有害物质对环境和生态系统以及人体健康产生效用的机制和风险性；有害物质已造成影响的缓解和消除以及防止产生危害的方法和途径。
环境化学的特点是要从微观的原子、分子水平上来研究宏观的环境现象与变化的化学机制及其防治途径，其核心是研究化学污染物在环境中的化学转化和效应。
目前，国界上较为重视元素（尤其是碳、氮、硫和磷）的生物地球化学循环及其相互偶合的研究；重视化学品安全评价、臭氧层破坏、气候变暖等全球变化问题。
当前我国优先考虑的环境问题中与环境化学密切相关的是：以有机物污染为主的水质污染、以大气颗粒物和二氧化硫为主的城市空气污染；工业有毒有害废物和城市垃圾对水题和土壤的污染。
主要化学污染物有：1.元素:如铅、镉、准金属等。
2.无机物：氧化物、一氧化碳、卤化氢、卤素化合物等3.有机化合物及烃类：烷烃、不饱和脂肪烃、芳香烃、PAH等；4.金属有机和准金属有机化合物：如,四乙基铅、二苯基铬、二甲基胂酸等；5.含氧有机化合物：如环氧乙烷、醚、醛、有机酸、酐、酚等；6.含氮有机化合物：胺、睛、硝基苯、三硝基甲苯、亚硝胺等；7.有机卤化物：四氯化碳、多氯联苯、氯代二噁瑛；8.有机硫化物:硫醇、二甲砜、硫酸二甲酯等；9.有机磷化合物:磷酸酯化合物、有机磷农药、有机磷军用毒气等。
第二章：大气环境化学4.影响大气中污染物迁移的主要因素是什么?主要有：（1）空气的机械运动如风和大气湍流的影响；（2）天气和地理地势的影响；（3）污染源本身的特性。
统计热力学部分习题解答[1]
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部分习题解答2002/01/071.1试证明,在体积V 内,在ε 到ε + d ε 的能量范围内,三维自由粒子的量子态数为εεπεεd )2(2d )(21233m h V D =.D (ε)称为态密度.证明: 由(1.1.25)得知:在动量p 到p +d p 范围内的量子态(微观状态)数为p p h V d 423π, (1.1)根据三维自由粒子的能量动量关系m p 2/2=ε,易得m p p /d d =ε,即:εm p 22=, εεεd )2/(d /d 2/12/1m p m p ==, (1.2)将(1.2)代入(1.1),整理可得εεπεεd )2(2d )(21233m h V D =.1.2 试证明,在面积S = L 2内,在ε 到ε + d ε 的能量范围内,二维自由粒子的量子态数为επεεd 2d )(2m h SD =.D (ε)称为态密度.证明:仿照由(1.1.23)导出(1.1.25)之过程:在四维μ空间体积元d p x d p y d x d y 中可能的微观状态数为d p x d p y d x d y /h 2.可得,在面积S 中, 动量绝对值p 到p +d p 范围内的量子态(微观状态)数为p p h S y x p p h L Ld 2d d d d 1200202πϕπ=⎰⎰⎰, (1.3)根据二维自由粒子的能量动量关系m p 2/2=ε,易得m p p /d d =ε,即: 2/1)2(εm p =, εεεd )2/(d /d 2/12/1m p m p ==, (1.4)将(1.4)代入(1.3),整理可得επεεd 2d )(2m h SD =.1.4 已知一维线性谐振子的能量为.试求在ε 到ε + d ε 的能量范围内, 一维线性谐振子的量子态数.解:此题的能量动量关系中含有坐标,若采用1.1和1.2的方法,涉及到耦合变量的积分,不易求解.可从另一角度处理,导出结论.先计算在ε 到ε + d ε 的能量范围内,谐振子占据二维μ空间面积元的面积.根据一维线性谐振子的能量动量关系,可得μ空间能量≤ε 的面积为.因此, 在ε 到ε + d ε 的能量范围内面积元的面积为.又知,谐振子一个量子态占据μ空间的面积为h . 可得,在ε 到ε + d ε 的能量范围内, 一维线性谐振子的量子态数为.2.1 若一温度为T 1的高温热源向另一温度为T 2的低温物体传递热量Q ,用熵增加原理证明这一过程为不可逆过程.证明:熵增加原理适用于孤立系.可将热源与物体之总体视为孤立系.由于热源很大,在传热过程中,其温度不变,且经历的过程为可逆过程,熵增加为.由于熵为态函数,可设物体经历一可逆等温过程由初态变为末态,在该过程中的熵增加为,该值与这一热传导过程的熵变相等.于是,孤立系经历热传导过程的熵变为1112>⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∆+∆=∆T T Q S S S r t （2.1）据熵增加原理, 这一过程为不可逆过程(即:热传导是不可逆的).2.2 物体的初始温度T 1的高于热源的温度T 2 .有一热机在此物体和热源之间工作,直到物体的温度降低到T 2为止,若热机从物体吸收的热量为Q ,根据熵增加原理证明,此热机输出的最大功为),(212S S T Q W --=最大其中21S S -表示物体熵的减少量.证明: 熵增加原理适用于孤立系.可将物体、热源与热机之总体视为孤立系. 在过程(循环)中,物体的熵变为122S S S -=∆.设热机为可逆机,则热机的熵变1S ∆为零.若热机对外作功为W , 则在一温度为T 2的等温可逆过程中,热源的熵变为2T WQ S r -=∆.根据熵增加原理,有021212≥-+-=∆+∆+∆=∆T WQ S S S S S S r t , (2.2)所以 )(212S S T Q W --≤,物体对外做最大功时,等号成立,则)(212S S T Q W --=最大.2.3 由理想气体绝热自由膨胀的不可逆性证明热力学第二定律的开氏说法是正确的,即:不可能从单一热源吸热使之完全变成有用功而不引起其它变化.证明:设一热机仅从与外界绝热的一汽缸顶进行热交换,压缩该汽缸的活塞而作功.设汽缸的工作物质为理想气体.若在热机的一个循环中, 可从单一热源(汽缸)吸热Q ,完全变成对气体所做的功W , 而不引起其它变化,则热机压缩活塞所作的功与气体放热相等,即W = Q ,理想气体经历的过程为等内能过程,故而,温度不变.热机和汽缸经历此过程的总体效果是:理想气体在温度不变的情况下,体积减小而不引起其它变化.这正是理想气体绝热自由膨胀的逆过程.违背了理想气体绝热自由膨胀的不可逆性.所以, 不可能从单一热源吸热使之完全变成有用功而不引起其它变化.即开氏说法是正确的.另一方面,设一热机以理想气体为工作物质,从温度为T的一个恒温热源吸热,通过等温过程推动活塞对外作功,由于理想气体在等温过程中内能不变,吸收的热量完全变成对外所做的功.若理想气体的绝热自由膨胀为可逆过程,则在作功过程完成后,可绝热收缩且恢复到初始状态而不引起其它变化.从整个循环看来,总效果是: 从单一热源吸热使之完全变成有用功而不引起其它变化,这就违背了开氏说法.若开氏说法正确,则理想气体的绝热自由膨胀是不可逆的.综合上述两步的证明可得出:理想气体绝热自由膨胀的不可逆性与开氏说法等价.2.4 根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交.证:假设两条绝热线可以相交,如图所示,可由这两条绝热线与一等温线构成一个循环.V可令一可逆热机以该循环工作,即:由初态a出发经历等温膨胀过程到达b,在此过程中热机从热源吸热且对外界作功,再由b经历绝热膨胀过程到达c, 在此过程中热机对外界作功,最后,由c 经历绝热压缩过程返回初态a .在整个循环中,热机从单一热源吸热使之完全变成有用功(由三条线围成的封闭图形之面积)而不引起其它变化,这就违背了开氏说法.若开氏说法正确,则两条绝热线不能相交.3.1 试证明,对正则分布,熵可表示为∑-=sss k S ρρln ,其中,Z e sE s /βρ-=是系统处于s 态的几率. 证:对正则分布,有⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=ββZ Z k S ln ln()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=∑∑--Z E e Z Z e k ss E s E s s βββln()∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-s s E Z E Z e k s ln ββ∑-=sss k ρρln , 证毕.3.3 设一维线性谐振子能量的经典表达式为2222121q m p m ωε+=,试计算经典近似的振动配分函数、内能和熵.解: 设系统由N 个一维线性谐振子组成,则经典近似的正则分布振动配分函数为∏⎰⎰=∞∞-∞∞---=N i i i i i N q m p m q p h Z 1222)22ex p(d d 1ωββNNq m p m q p h⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎰⎰∞∞-∞∞-)22ex p(d d 1222ωββNh ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=βωπ2, 这里,由于是振动配分函数,不必考虑粒子置换带来的影响N !.内能NkT Z E =∂∂-=ln β,熵⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=ββZ Z k S ln ln⎪⎭⎫⎝⎛+=12ln ωπh kT Nk . 3.6 当选择不同的能量零点时,粒子第l 个能级的能量可取为l ε或*l ε.以∆表示两者之差.试证明相应的粒子配分函数存在以下关系z e z ∆-=β*.并讨论由配分函数z 和z *求得的热力学函数有何差别.解: 当粒子第l 个能级的能量取l ε时,粒子的配分函数为∑-=ll le z βεω.当粒子第l 个能级的能量取*l ε时,粒子的配分函数为∑∆-∆+-==ll ze e z l βεβω)(*.以下讨论基本热力学函数的差别:系统内能∆-=∆-∂∂-=∂∂-=N E N z N z NE **ln ln ββ,物态方程 ,ln ln **p z V N z V N p =∂∂=∂∂=ββ熵可见,由于能量零点的不同选择,仅对系统内能有影响,而对物态方程和熵无影响.5.2 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动,可以看作二维理想气体.试写出在二维理想气体中分子的速度分布和速率分布.并求出平均速率,最可几速率和方均根速率.解: 仿§5.2.2, 根据麦-玻分布,可求得在面积S 内d p x d p y 范围中的平均分子数为 .代入动量与速度的关系,可得在面积S 内速度范围d v x d v y 中的平均分子数yx y x v v v v v kT m h Sm a d d )(2exp 2222⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=α,(5.1)根据分子数为N 的条件,有yx y x v v v v kT m h Sm eN d d )(2exp 2222⎰⎰∞∞-∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=α,可求得 mkT h n mkT h S N eππα2222==-,(5.2)将(5.2)代入(5.1),可得在单位面积中,速度范围d v x d v y 中的平均分子数yx y x v v v v kT m kT m nd d )(2ex p 222⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-π.(5.3)(5.3)和(5.1)为二维理想气体中分子的速度分布.若将平面直角坐标换为极坐标d v x d v y →v d v d θ,并对角度积分,可得在单位面积中,速率范围d v 中的平均分子数v v v kT m kT m nd 2ex p 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-.(5.4)这就是二维理想气体分子的速率分布.由(5.4)可知,一个分子处于单位速率间隔内的几率密度为v v kT m kT m v ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=22ex p )(ρ平均速率m kT v v v kT m kTm v v v v 2d 2exp d )(022πρ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰∞. 由 02exp d )(d 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=v v kT m kT m v ρ,可得最可几速率m kT v m =.因为m kT v v v kT m kTm v v v v 2d 2exp d )(03222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰∞ρ, 则方均根速率m kTv v s 22==.5.3 根据麦克斯韦速度分布求出速率和平均动能的涨落. 解: 据(5.2.5),麦克斯韦速度分布律为zy x z y x v v v v v v kT m kT m n d d d )(2exp 22222/3⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-⎪⎭⎫ ⎝⎛π,进行坐标变换zy x v v v d d d →ϕθθd d sin d 2v v ,并对角度积分⎰⎰=πππϕθθ204d d sin ,可得麦克斯韦速率分布vv v kT m kT m n d 2exp 24222/3⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛ππ.一个分子处于单位速率间隔内的几率密度为222/32exp 24)(v v kT m kT m v ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛=ππρ.根据涨落的定义,速率的绝对涨落为:222)(v v v v -=-,因为⎰⎰∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛==0422/322d 2exp 24d )(vv v kT m kT m v v v v ππρ,对上述积分,可设kT m2=λ,则有[]⎰∞-⎪⎭⎫⎝⎛=0422/32d exp 4vv v v λπλπ[]⎰∞-∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛=02222/3d exp 4v v λλπλπλπλπλπ222/32∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛=2/52/3432-⎪⎭⎫ ⎝⎛=λππλπ=m kT 3又有[]⎰∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛=0322/3d exp 4vv v v λπλπ[]⎰∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛=02222/3d exp 2vv v λπλπ,令x v =2,则[]⎰∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛=02/3d exp 2x x x v λπλπ=xex⎰∞-⎪⎭⎫⎝⎛02/1d 2λπλm kTπ8=,所以)83()(2π-=-m kT v v .欲计算平均能量的涨落,需仿上面先计算[]⎰∞-⎪⎭⎫⎝⎛=0622/34d exp 4vv v v λπλπλπλπλπ332/32∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22215m T k =. 平均能量涨落())32215(2)(2222242πεε-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-m T k v v m . 5.4 气柱的高度为H ,截面为S ,处在重力场中.试求此气柱的平均势能和热容量.解: 视气柱为理想气体,根据经典麦-玻分布,可得一个分子处于μ空间体积元zy x p p p z y x d d d d d d 的几率为,理想气体分子在重力场中的能量.分子的平均势能为 .上述计算过程的第一步到第二步体现了分子动能和势能的统计独立性.若气体的数密度为n ,则气柱的平均势能为 . 不考虑动能的热容量 .5.6 试求双原子分子理想气体的振动熵.解: 此题类似于 3.3题,这里先计算分子的配分函数. 经典双原子分子的振动能量为一维线性谐振子,则分子振动配分函数为, 振动熵⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12ln ωπh kT Nk . 这里,由于是振动配分函数,不必考虑分子置换带来的影响N !.7.1 根据玻色系统的微观状态数∏--+=ll l l l B a a W !)!1()!1(ωω,在11>>+≈-+l l l l a a ωω,11>>≈-l l ωω和1>>l a 的条件下,仿§3.3.2的最可几法导出玻色分布.解：对玻色系统，若粒子总数和总能量为常数，则有约束条件∑=l la N ，∑=lll a E ε.由拉格朗日未定乘子法,可对微观状态数的对数求有约束条件的变分极值,从而得到最可几分布,即0)(ln =--E N W B βαδ.其中,α和β为未定乘子,分别由两个约束条件为常数来确定.应用斯特林公式,有⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≈∏l l l l l B a a W !!)!(ln ln ωωδδ ()∑+-+-+-++=ll l l l l l l l l l l l a a a a a a ln ln )()ln()(ωωωωωωδ()lll l l a a a δω∑-+=ln )ln(,则∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=--ll l l lB a a E N W 0)1ln()(ln δβεαωβαδ,由于所有的l a 独立,所以)1ln(=--+βεαωlla ,整理可得 1-=+l e a ll βεαω,即欲求的玻色分布.7.3 证明,对于玻色系统,熵可表为[]∑++--=ss s s s f f f f k S )1ln()1(ln .其中s f 为量子态s 上的平均粒子数, ∑s 表示对所有粒子的所有量子态求和.证明:由（7.1.11）式,得巨配分函数的对数为∑----=Ξss e )1ln(ln βεα.根据熵的表达⎥⎦⎤⎢⎣⎡Ξ∂∂-Ξ∂∂-Ξ=ln ln ln ββααk S ()E N k βα++Ξ=ln∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+--=++--s s ss s e e e k 11)1ln(βεαβεαβεαβεα. (7.1)又因11-=+s e f s βεα,(7.2)可有s sf f e s +=+1βεα,)1ln(ln s s s f f ++-=+βεα,(7.3)sf e s +=---111βεα,(7.4)将(7.2),(7.3)和(7.4)代入(7.1),并整理可得[]∑++--=ss s s s f f f f k S )1ln()1(ln .7.5 试求绝对零度下电子气体中电子的平均速率.解: 在体积V 中,速率v v v d +→范围内,考虑自旋时电子的态密度为2338)(v m h V v g π=,绝对零度时,费米函数为 ⎩⎨⎧><=F F,0,1v v v v f ,电子的平均速率m v vv v vv v v f v g v f v vg v F F F/24343d d d )(d )(00203μ====⎰⎰⎰⎰,其中0,μF v 分别为费米速度和费米能量.7.6 在极端相对论情形下电子能量与动量的关系为cp =ε,其中c 为光速.试求自由电子气体在0K 时的费米能量,内能和简并压.解: 在体积V 中,ε 到ε + d ε 的能量范围内电子的量子态数为εεππεεd 8d 8d )(23323c h V p p h V g ==.绝对零度时,费米函数为 ⎩⎨⎧><=00 ,0 ,1μεμε f .总电子数满足⎰⎰===0033323338d 8d )(μμπεεπεεc h V ch Vfg N ,可求出费米能量hcV N 3/1083⎪⎭⎫⎝⎛=πμ.电子气的内能⎰⎰====00040333334348d 8d )(μμμπεεπεεεN c h V ch Vfg E .气体的简并压043μV NV E p d ==.关于简并压的公式,可参见习题3.5.7.9 根据热力学公式⎰=TT C S Vd 及V V T E C ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=,求光子气体的熵. 解: 由(7.4.6),可得光子气的内能V T h c k E 43345158π=. 所以 V V T E C ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂==V T h c k 333451532π,⎰⎰===T V V T h c k T V T h c k T T C S 033345233454532d 1532d ππ.7.11 铁磁体中的自旋波也是一种准粒子,遵从玻色分布,色散关系是2Ak =ω.试证明在低温下,这种准粒子的激发所导致的热容与2/3T成正比.证明: 在体积V 中,ω到ω+ d ω的频率范围内准粒子的量子态数为ωωπωωd d 4d )(2/123B p p h V g ==,推导上式时,用到关系k p =.这里B 为常数.由于准粒子数不守恒,玻色分布中的0=α.系统的内能为⎰⎰-=-=mm e B g e E ωωωβωβωωωωω002/3d 1d )(1 ,考虑到态密度在高频时发散,需引入截止频率m ω.但在低温下1>>ωβ ,在积分中可令∞→m ω.设x =ωβ ,则有2/502/32/5d 1T x e x CT E x ∝-=⎰∞,其中,C 为常数.易得 2/3TT E C VV ∝⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=.。
针织学总习题集
针织学总习题集纬编作业习题及解答第⼀章绪论1、何谓针织？何谓纬编针织物？何谓经编针织物？答：针织——利⽤织针将纱线弯成线圈，然后将线圈相互串套⽽成为针织物的⼀门纺织加⼯技术。
根据⼯艺特点的不同可分为纬编和经编两⼤类。
纬编针织物——编织过程中，从纱筒上退绕下来的每根纱线，沿纬向顺序垫放在针织机各相应的织针上，形成⼀个线圈横列，纱线纬向编织⽽成的针织物。
经编针织物——编织过程中，从经轴上退绕下来的每根，纱线沿经向各⾃垫放在经编机的⼀枚或⾄多两枚织针上编织⽽成的针织物。
2、纬编针织物的基本结构单元是什么？答：线圈。
3、针织物有哪些主要参数和性能指标？答：线圈长度：指组成每⼀个线圈的纱线长度。
密度：表⽰⼀定纱⽀条件下，针织物的稀密程度。
横密：沿线圈横列⽅向，规定长度（50mm）内的线圈数。
PA=50/A（A—圈距）纵密：沿线圈纵⾏⽅向，规定长度（50mm）内的线圈数。
PB=50/B（B—圈⾼）未充满系数：线圈长度与纱线直径的⽐值。
δ=l/fl—线圈长度（mm）f—纱线直径（mm）单位⾯积⼲燥重量：每平⽅⽶针织物的⼲燥重量， g/m2.脱散性：指纱线断裂或线圈失去穿套联系后，线圈与线圈相分离的现象。
卷边性：某些针织物在⾃由状态下，布边发⽣包卷的现象。
延伸性：指在外⼒作⽤下，针织物伸长的特性。
弹性：指当引起针织物变形的外⼒去除后，针织物恢复原状的能⼒。
收缩率：指针织物在加⼯或使⽤过程中，尺⼨的变化。
断裂伸长率：试样断裂时的伸长量与试样原长之⽐。
ε%=（L1-L0）/L0断裂强⼒：针织物在连续增加的负荷下，⾄断裂时所能承受的最⼤负荷。
勾丝：针织物在使⽤过程中如果碰到坚硬的物体，织物中的纤维或纱线就被勾出，在织物表⾯形成丝环。
起⽑起球：针织物在穿着洗涤过程中，受到摩擦，表⾯纤维端露出织物⽽起⽑。
若这些起⽑纤维在以后不会及时脱落。
就互相纠缠在⼀起，形成许多球形⼩粒。
4、简述针织⽤纱的基本要求。
（1）具有⼀定的强度和延伸性，以便能够弯纱成圈。
常微分习题解答1
dy = − y / x ln y + ln x = c ； xy = C , C = 2 dx
7．人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比。 1）如果过 4 小时的细菌数既为原细菌数的 2 倍，那么经过 12 小时应有多少？ 2）如在 3 小时的时候，有细菌 104 个，那么在开始时有多少个 细菌？ 解：1）
第一章 初等积分法
1.1 微分方程和解
1、指出下列微分方程的阶数： （1）
dy = y 2 + x 3 ；一阶二次 dx
d2 y d3 = x + 3 arcsin x ；二阶一次； dx 2 dx
3
（2）
（3） y
d2 y + 1 = 0 ；二阶四次； dx 2
1
⎛ dx ⎞ （4） ⎜ ⎟ = 4 ；一阶二次； ⎝ dy ⎠
2 2
10
( x −2 + x −1 )dx − ( y −2 + y −1 )dy = 0 ln | x | − x −1 − ln | y | + y −1 = C 得 C = −2
3、利用变量替换法把下列方程化为变量可分离方程： （1）
dy = f (ax + by + c) ； dx
解： u = ax + by + c ， u ' = a + by ' = a + bf (u ) （2）
2） ( y − 2 xy )dx + x dy = 0
2 2
解： x = 0 或 y ′ = 2 y / x + ( y / x) ；
2
z + xz ′ = 2 z − z 2 ⇒ xz ′ = z (1 − z )
习题1及解答
习题一1．设n 为大于1的正整数．证明：44nn ＋是一个合数．【答案】当n 为偶数时，n 4＋4n 是大于2的偶数，从而它是合数．当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1，则 n 4＋4n ＝n 4＋4×(2k )4．利用 x 4＋4y 4＝(x 2＋2y 2) 2－4 x 2y 2＝(x 2－2xy ＋2y 2)( x 2＋2xy ＋2y 2)， 可得出n 4＋＋4×(2k )4为合数．2．求使得241227x x －－为素数的所有整数x ．【答案】由｜4x 2－12x －27｜＝｜(2x ＋3)(2x －9)｜，可知只有｜2x ＋3｜＝1或｜2x －9｜＝1时，数｜4x 2－12x －27｜才可能为素数．依此可得所求的x ＝－2，－1，4或5，对应的｜4x 2－12x －27｜分别为13，11，11或13，都是素数．3．设m 为大于1的正整数，且()|11m m －！＋． 证明：m 是一个素数．【答案】若m 为合数，则存在正整数p ，使2≤p ＜m ，且p ｜m ，此时有p ｜(m －1)！，但m ｜(m －1)！＋1，故p ｜(m －1)！＋1，这导致p ｜1，矛盾．4．是否存在3个不同的素数p 、q 、r ，使得下面的整除关系都成立？2|qr p d ＋，2|rp q d ＋，2|pq r d ＋，其中（1）d ＝10；（2）d ＝11．【答案】不妨设p ＜q ＜r ，则 q ≥p ＋1，r ≥q ＋2≥p ＋3． 对d ＝10的情形，由qr ｜p 2＋10，应有p 2＋10≥(p ＋1)( p ＋3)，这要求4p ≤7，即p ≤1，矛盾．故d ＝10时不存在符合要求的p 、q 、r ． 当d ＝11时，p ＝2，q ＝3，r ＝5满足条件．5．设p 为正整数，且21p－是素数．求证：p 为素数．【答案】若p 为合数，设p ＝qr ，2≤q ≤r ，则2p －1＝(2q )r －1＝(2q －1)(( 2q )r -1＋(2q )r -2＋…＋1) ， 这导致2q －1｜2p －1，与2p －1是素数矛盾．故p 为素数．6．设n 为正整数，且21n ＋是素数．证明：存在非负整数k ，使得2kn ＝． 【答案】由算术基本定理知，可写n ＝2k ·q ，k ≥0，q 为奇数．若q ＞1，则 2n ＋1＝2(2)kq ＋1＝(x ＋1)(x q -1－x q -2＋…－x ＋1)，是两个大于1的正整数之积，不是素数，其中x ＝22k．依此可知，由2n ＋1为素数可得q ＝1，即命题成立．7．求所有形如1nn ＋且不超过1910的素数，这里n 为正整数．【答案】当n ＝1时，n n ＋1＝2满足条件．当n ＞1时，设n ＝2k q ，q 为奇数，若q ＞1，同上题可知为n n ＋1不是素数，故n ＝2k ，k 为正整数．此时n n ＋1＝22k k -＋1＝2(2)kk ＋1， 进一步的分析，可知存在非负整数m ，使得k ＝2m ，故 n n ＋1＝222m m+＋1．当m ≥2时，2m ＋m ≥6，故22mm+≥26，因此n n ＋1≥622＋1＝264＋1＝16×(1024)6＋1＞16×(103)6＋1＞1019． 故由n n ＋1≤1019知m ≤1．分别令m ＝0，1，知n n ＋1＝5，257，这两个数都是素数． 综上，所求的素数为2，5和257．8．设a 、b 、c 、d 都是整数，且a ≠c ，|a c ab cd ＋－．证明：|a c ad bc ＋－．【答案】利用 (ad ＋bc ) －(ab ＋cd )＝d (a －c )－b (a －c )＝(d －b )(a －c )， 及a －c ｜ab ＋cd ，可得a －c ｜ad ＋bc ．9．设a 、b 、c 、d 为整数，且ac 、bc ＋ad 、bd 都是某个整数u 的倍数．证明：数bc 和ad 也是u 的倍数． 【答案】由恒等式(bc ＋ad )2＋(bc －ad )2＝4abcd ＝4(ac )(bd )， ① 结合条件，可知u 2｜(bc －ad )2，故u ｜bc －ad ．现在，我们设bc ＋ad ＝ux ，bc －ad ＝uy ，则由①知，x 2＋y 2＝4()ac u ()bdu， 故x 2＋y 2为偶数，进而x ＋y 与x －y 都是偶数，所以，由bc ＝2x y +·u ，ad ＝2x y-·u ， 可得bc 、ad 都是u 的倍数．10．设a 、b 、n 为给定的正整数，且对任意正整数k （≠b ），都有|nb k a k －－．证明：na b ＝．【答案】注意到，对任意正整数k (≠b )，都有b －k ｜b n －k n ，结合b －k ｜a －k n ，可知b －k ｜a －b n ，这表明a －b n ＝0，得a ＝b n ．11．已知正整数n 的正因数中，末尾数字为0，1，2，…，9的正整数都至少有一个．求满足条件的最小的n ．【答案】满足条件的最小的n ＝270．事实上，由条件知10｜n ，从n 的末尾数字为9的因数出发来讨论．若9｜n ，则90｜n ，此时直接验证可知90和180都不是某个末尾为7的数的倍数；若19｜n ，则190｜n ，而270分别是10，1，2，3，54，5，6，27，18，9的倍数，符合条件．故n 最小为270．12．求一个9位数M ，使得M 的数码两两不同且都不为零，并对m ＝2，3，…，9，数M 的左边m 位数都是M 的倍数． 【答案】设M ＝129a a a ⋯是一个满足条件的数，由条件可知a 5＝5，并且a 2、a 4、a 6 、a 8是2、4、6、8的一个排列，进而a 1a 2…a 9是1、3、7、9的排列．依此可知 a 4＝2或6(因为4｜34a a )， 而进一步，还有 8｜78a a ，因此 a 8＝2，6，故 (a 4，a 8)＝(2，6)( 6，2)．对这两种情况作进一步的分析，就可找到一个满足条件的M ＝381654 729．13．对于一个正整数n ，若存在正整数a 、b ，使得n ＝ab ＋a ＋b ，则称n 是一个“好数”，例如3＝1×1＋1＋1，故3为一个“好数”．问：在1，2，…，100中，有多少个“好数”？【答案】设n 是一个好数，则n ＋1＝(a ＋1)(b ＋1)为一个合数，反过来，若n ＋1为合数，则可写 n ＋1≤pq ，2≤p ≤q ，于是a ＝p －1，b ＝q －1，就有n ＝ab ＋a ＋b 是一个好数．所以，只需求1，2，…，100中使n ＋1为合数的n 的个数，依此可知恰好有74个好数．14．设素数从小到大依次为1p ，2p ，3p ，…．证明：当n ≥2时，数n p ＋1n p ＋可以表示为3个大于1的正整数（可以相同）的乘积的形式．【答案】当n ≥2时，p n 与p n ＋1都是奇数，于是，q ＝12n n p p ++是正整数，又p n ＜q ＜p n ＋1，p n 与p n ＋1是两个相邻的素数，故q 必为合数．从而q 可以写为两个大于1的正整数之积，依此可知命题成立．15．设n 为大于1的正整数．证明：n 为合数的充要条件是存在正整数a 、b 、x 、y ，使得n ＝a ＋b ，1xy a b＋＝． 【答案】若存在a 、b 、x 、y ，使得 n ＝a ＋b ，且x a ＋yb＝1． 我们记d ＝(a ，b )，若d ＝1，由x a ＋yb＝1， 知 bx ＋ay ＝ab ， 所以 a ｜bx ，b ｜ay ， 结合(a ，b )＝1，导出a ｜x ，b ｜y ，从而ab ＝bx ＋ay ≥ab ＋ba ＝2ab ，矛盾．所以d ＞1，这时n ＝a ＋b ＝d (a d ＋bd)为合数． 反过来，设n 为合数，设n ＝pq ，2≤p ≤q ，则令(a ，b ，x ，y )＝(p ，p (q －1)，1，(p －1)(q －1))，就有 n ＝a ＋b ，且x a ＋yb＝1．16．证明：数列10001，100010001,1000100010001，… 中，每一个数都是合数． 【答案】注意到10 001＝73×137为合数，而从第二项起，我们有a n ＝00011000100010001n 个＝104n ＋104(n -1)＋…＋104＋1＝41)4101101n +--（＝21)2(1)4(101)(101)101n n ++-+-（，由于n ≥2时，104－1＜102(n＋1)－1＜102(n＋1)＋1，所以，a n 是一个合数．17．设a 、b 、c 、d 都是素数，且a ＞3b ＞6c ＞12d ，22221749a b c d －＋－＝． 求2222a b c d ＋＋＋的所有可能值．【答案】a 2－b 2＋c 2－d 2＝1749为奇数，知a 、b 、c 、d 中必有一个数为偶数，这表明d ＝2．进而 a 2－b 2＋c 2＝1753． 再由 a ＞3b ＞6c ＞12d ， 可知c ≥5，b ≥2c ＋1，a ≥3b ＋1，所以a 2－b 2＋c 2≥(3b ＋1)2－b 2＋c 2＝8b 2＋6b ＋c 2＋1≥8(2c ＋1)2＋6(2c ＋1)＋1＝33c 2＋44c ＋15． 故 33c 2＋44c ＋15≤1735，于是，c ＜7，结合c ≥5及c 为素数，可知c ＝5，进而 a 2－b 2＝1728＝26×33． 利用 b ≥2c ＋1＝11，a ≥3b ＋1，可知 a －b ≥2b ＋1≥23，a ＋b ≥4b ＋1≥45， 由(a －b )( a ＋b )＝26×33及a 、b 都是奇素数，可知 (a －b ，a ＋b )＝(32，54)， 因此 (a ，b )＝(43，11) ． a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝1749＋2×(112＋22)＝1999．18．数列{}n a 的每一项都是正整数，1a ≤2a ≤3a ≤…，且对任意正整数k ，该数列中恰有k 项等于k ．求所有的正整数n ，使得1a ＋2a ＋…＋n a 是素数． 【答案】对正整数n ，设正整数k 满足(1)2k k +≤n ＜(1)(2)2k k ++，则 a 1＋a 2＋…＋a n ＝1×1＋2×2＋…＋k ×k ＋(k ＋1)×(1)2k k n +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦＝16k (k ＋1)(2k ＋1)＋2(1)2n k k -+(k ＋1) ＝16(k ＋1)[]6(2)n k k -+． 由于当k ≥6时，k ＋1＞6，有6n －k (k ＋2)≥3k (k ＋1)－k (k ＋2)＝2k 2＋k ＞6，所以，此时a 1＋a 2＋…＋a n 为合数，即只需考虑k ≤5的情形，考虑数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，6，6，6，6 ，从第一项起求和得到的素数分别是：3，5，11，61，67，73，79，共7个．所以仅当n ＝2，3，5，61，17，18，19，时，a 1＋a 2＋…＋a n 为素数．19．由正整数组成的数列{}n a 满足：对任意正整数m 、n ，若|m n ，m ＜n ，则|m n a a ，且 m n a a ＜．求2000a 的最小可能值．【答案】由条件可知，当m ｜n ，且m ＜n 时，有a n ≥2a m ．所以，a 1≥1，a 2≥2，a 4≥2a 2≥22，类似地，a 8≥23，a 16≥24，a 80≥25，a 400≥26，a 2000≥27，即a 2000≥128． 另一方面，对任意正整数n ，设n 的素因数分解因式为n ＝1212k k p p p ααα，其中p 1＜p 2＜…p k 为素数，α1，α2，…αk 为为正整数，定义 a n ＝122k ααα+++， 则数列｛a n ｝符合题中的要求，并且a 2000＝24+3 ≤27． 所以，a 2000的最小值为128．20．设p 为奇数，正整数m 、n 满足11121m p n ＝＋＋…＋－．证明：|p m ．【答案】由条件，可知2m n ＝(1＋12＋...＋11p -)＋(11p -＋12p -＋ (1)＝(1＋11p -)＋(12＋12p -)＋…＋(11p -＋1) ＝1(1)p p ⨯-＋2(2)p p ⨯-＋…＋(1)1pp -⨯．上式将右边通分后，可知存在正整数M ，使得2mn ＝()1!pM p -，即pnM ＝2m (p －1)！，由p 为奇素数，可知p 2，p (p －1)！，所以，p ｜m ．21．设a 、m 、n 为正整数，a ＞1，且1|1m na a ＋＋．证明：|m n ． 【答案】若m n ，由a m ＋1｜a n ＋1及a ＞1，可知m ＜n ．故可设n ＝mq ＋r ，其中q 、r 为正整数，0＜r ＜m ．此时，利用a m ＋1｜a n ＋1，可知a m ＋1｜(a n ＋1)－(a m ＋1)，即 a m ＋1｜(a m －n ＋1)a m ， 而 (a m ＋1，a m )＝(1，a m )＝1，依次递推，可得 a m ＋1｜a n －2m ＋1，…，a m ＋1｜a n －mq ＋1， 即有 a m ＋1｜a r ＋1， 但a ＞1时，a m ＋1＞a r ＋1，矛盾． 所以，m ｜n ．22．证明：对任意正整数n 及正奇数m ，都有()211m n－1，2＋＝． 【答案】设d ＝(2m －1，2n ＋1)，则 d ｜2m －1， 故 d ｜(2m )n －1n ， 即 d ｜2nm －1， 另外d ｜2n ＋1，又m 为奇数，故2n ＋1｜(2n ) m ＋1m ， 所以， d ｜2mn ＋1．对比所得的两个式子，知d ｜2， 又2m －1为奇数，故d ＝1．23．费马数n F 定义为n F ＝221n＋．证明：对任意两个不同的正整数m 、n ，都有()1n m F F ，＝ 【答案】不妨设m ＜n ，利用平方差公式知F n －2＝22n－1＝(122n -－1)(122n -＋1)＝(222n -－1)(222n -＋1)(122n -＋1) ＝…＝(22m－1)(22m＋1)(122m +＋1)…(122n -＋1)，所以，F m ｜F n －2，从而(F n ，F m )＝(2，F m )，而F m 为奇数，故(2，F m )＝1，即(F n ，F m )＝1．24．已知正整数a 、b 、c 、d 的最小公倍数为a ＋b ＋c ＋d ．证明：abcd 是3或5的倍数． 【答案】由条件可知a 、b 、c 、d 不全相等，不妨设d 是其中最大的数，则 d ＜a ＋b ＋c ＋d ＜4d ， 又a ＋b ＋c ＋d 为a 、b 、c 、d 的最小公倍数，故d ｜a ＋b ＋c ＋d ，于是 a ＋b ＋c ＋d ＝2d 或3d ．如果a ＋b ＋c ＋d ＝3d ，那么由abcd 为a 、b 、c 、d 的公倍数，可知a ＋b ＋c ＋d ｜abcd ，即 3d ｜abcd ， 故 3｜abcd ．如果a ＋b ＋c ＋d ＝2d ，那么a ＋b ＋c ＝d ．不妨设a ≤b ≤c ，由a ＋b ＋c ＋d 为a 、b 、c 、d 的最小公倍数，可知 a ｜2d ，b ｜2d ，c ｜2d ． 设2d ＝ax ＝by ＝cz ，则x ≥y ≥z ≥3，并且2x ＋2y ＋2z ＝1，即1x ＋1y ＋1z ＝12． 又当z ＝3时，有3｜2d ，进而3｜d ，故abcd 为3的倍数，因此只需考虑z ＞3的情形． 而当z ≥6时，有 1x ＋1y ＋1z ≤16＋16＋16＝12，故只能是x ＝y ＝z ＝6，此时abcd 为3的倍数．所以，只需z ＝4或5的情形，注意到z ＝5时，有5｜2d ，可知abcd 为5的倍数，进而只需考虑z ＝4的情形，此时 1x ＋1y ＝14，即 xy －4x －4y ＝0，(x －4)(y －4)＝16．结合x ＞y ，可知 (x －4，y －4)＝(16，1)，(8，2)，(4，4)， 分别对应 2d ＝20a ＝5b ＝4c ，2d ＝12a ＝6b ＝4c ，2d ＝8a ＝8b ＝4c ，第一种情形要求5｜d ，第一种情形要求3｜d ，第一种情形要求a ＝b ，c ＝2a ，d ＝4a ，此时a 、b 、c 、d 的最小公倍数为d ，而不是a ＋b ＋c ＋d ，矛盾． 综上可知，abcd 是3或5的倍数．25．记n M 为正整数 1，2，…，n 的最小公倍数．求所有的正整数n （＞1），使得n M ＝ 1n M －．【答案】如果n 至少有两个不同的素因子，那么可记n ＝pq ，其中2≤p ≤q ，p 、q 为正整数，且(p ，q )＝1．此时，2≤p ＜q ＜n －1，从而n ｜M n -1．所以，当且仅当n 有至少两个不同的素因子时，M n ＝M n -1．26．设a 、m 、n 为正整数，a ＞1．证明：()()111m n m n a a a，－，－＝－．【答案】不妨设m ＞n ，则 (a m －1，a n －1)＝(a m －a n ，a n －1)＝(a n (a m －n －1)，a n －1)， 而 (a n ，a n －1)＝1，故 (a m －1，a n －1)＝(a m －n －1)，a n －1)， 依次递推，对指数进行“辗转相除”，可知结论成立．27．设a 、n 为正整数，a ＞1，且1na ＋是素数．证明：()1n d a n －≥．【答案】由a n ＋1为素数，可知a 为偶数，与第6题类似，可知存在非负整数k ，使得为n ＝2k ，于是 a n －1＝2ka －1＝(12k a -－1)(12k a -＋1)＝…＝(a －1)(a ＋1)(a 2＋1)…(12k a -＋1) ．进一步，(12k a -－1，12k a -＋1)＝(12k a -－1，2)＝1(最后一步用到a 为偶数)，依次倒推，可知a ＋1，a 2＋1，22a ＋1，…，12k a -＋1两两互素，从而它们中任取若干个数作乘积形成的2k 个数两两不同，当然，这2k 个数都是a n －1的因数，所以，d (a n －1)≥2k ＝n ．28．对怎样的正整数n （＞2），存在n 个连续正整数，使得其中最大的数是其余n －1个数的最小公倍数的因数？【答案】当n ＝3时，对任意三个连续正整数a －1，a ，a ＋1，若 a ＋1｜[]1,a a -，则 a ＋1｜a (a －1)， 而 (a ＋1，a )＝1，故 a ＋1｜a －1，矛盾．当n ＞3时，若n 为偶数，记n ＝2m ，则数2m －1，2m ，…，2(2m －1)中，最大的数2(2m －1)是其余2m －1个数(它们中有2m －1与2m )的最小公倍数的因数；若n 为奇数，记n ＝2m ＋1，则数2m －2，2m －1，…，2(2m －1)是n 个连续正整数(注意，这里用到m ＞1)，它们中最大的数是其余n －1个数的最小公倍数的因数．所以，n ＞3时，正整数n 符合条件．29．设正整数a 、b 、m 、n 满足：（a ，b ）＝1，a ＞1，且|mmnna b a b ＋＋．证明：|m n ．【答案】利用 a n ＋b n ＝(a n -m ＋b n -m )(a m ＋b m )－(a m b n -m ＋a n -m b m )， 知若n ≥2m ，则 a n ＋b n ＝(a n -m ＋b n -m )(a m ＋b m )－a m b m (a n -2m ＋b n -2m )， 于是 a m ＋b m ｜a m b m (a n -2m ＋b n -2m )． 得 (a ，b )＝1， 由 (a m ，b m )＝1，进而 (a m ＋b m ，a m )＝(a m ＋b m ，b m )＝1， 故 (a m ＋b m ，a m b m )＝1， 因此 a m ＋b m ｜a n -2m ＋b n -2m ．用n －2m 代替n ，重复上述讨论，最终可将n 变为小于2m 的正整数．此时，由a m ＋b m ｜a n ＋b n 及a ＞1，知n ≥m ．如果n ＝m ，那么命题已经成立；如果m ＜n ＜2m ，那么由a n ＋b n ＝(a n -m ＋b n -m )(a m ＋b m )－a n -m (a 2m -n ＋b 2m -n )，同上讨论，将有 a m ＋b m ｜a 2m -n ＋b 2m -n ， 而2m －n ＜m ，这在a ＞1时是不可能的．综上可知m ｜n (注意：事实上推出了n 为m 的奇数倍) ．30．证明：存在2012个不同的正整数，使得其中任意两个不同的数a 、b 都满足()2|a b ab －． 【答案】将命题一般化，可证：对任意n (≥2)，都存在n 个不同的正整数，使得齐总任意两个不同的数a 、b 满足(a －b )2｜ab ．证明如下：当n ＝2时，取a 1＝1，a 2＝2，则它们满足条件．现在设a 1＜a 2＜…＜a n 是n (≥2)个满足要求的正整数，即对1≤i ＜j ≤n ，都有(a i －a j ) 2｜a i a j ． 考虑下面的n ＋1个数 a n ！，a n ！＋a 1，a n ！＋a 2，…，a n ！＋a n ， 容易证明这n ＋1个正整数满足要求．31．设a 、b 为正整数，且（a ，b ）＝1．证明：对任意正整数m ，数列 a ，a ＋b ，a ＋2b ，…，a ＋nb ，… 中，有无穷多个数与m 互素．【答案】对任意正整数m ，由(a ，b )＝1，可写m ＝m 1m 2，使得m 1的素因子都是a 的素因子，且 (a ，m 2)＝1，(m 1，b )＝1，(m 1，m 2)＝1(这只需将m 、a 、b 作为素因数分解后，各部分予以恰当分配即可达到要求)．取正整数k ，使得(k ，m 1)＝1，这样的k 有无穷多个，令n ＝m 2k ，我们证明：(a ＋nb ，m 1)＝1． 事实上，设d ＝(a ＋nb ，m 1)，若d ＞1，取d 的素因子p ，则p ｜m 1，进而p ｜a ，所以，p ｜nb ． 但由 (m 1，k )＝(m 1，m 2)＝(m 1，b )＝1， 知p m 2kb ，即p nb ．矛盾．所以(a ＋nb ，m 1)＝1．又 (a ＋nb ，m 2)＝(a ＋m 2kb ，m 2)＝(a ，m 2)＝1， 从而 (a ＋nb ，m 1m 2)＝1，即 (a ＋nb ，m )＝1，命题获证．32．已知正整数数对（a ，b ）满足：数aba b •在十进制表示下，末尾恰有98个零．求ab 的最小值． 【答案】设a 、b 的素因数分解式中2、5的幂次分别为α1，β1和α2，β2，则 12129898a b a b ααββ⋅+⋅⎧⎪⎨⋅+⋅⎪⎩≥，①≥，②并且①与②中必有一个取等号．如果②取等号，即a ·β1＋b ·β2＝98，那么当β1与β2都是正整数时，左边为5的倍数，当β1或β2中有一个为零时，另一个必大于零，此时左边仍然是5的倍数，都导致矛盾．所以①取等号．由a ·α1＋b ·α2＝98，知若α1、α2中有一个为零，不妨设α2＝0，则α1＞0．此时α·α1＝98，若α1≥2，则4｜a ，矛盾．故α1＝1，进而a ＝98．代入②，由a ＝98知β1＝0，从而b ·β2＞98，结合α2＝0，求得b ·最小为75．如果α1与α2都是正整数，不妨设α1≥α2，若α2≥2，则有4｜a ，4｜b ，导致4｜98，矛盾，故α2＝1．进一步，若α1＝1，则a ＋b ＝98，但2a 与2b 都是奇数，故2a ＋2b为偶数，矛盾，故α1＞1．此时，若β1与β2都是正整数，则5｜a ，5｜b ，与a ·α1＋b ·α2＝98矛盾，故β1与β2中有一个为零．若β1＝0，则由②知b ·β2＞98，此时b b 的末尾零的个数大于98(因为，此时10｜b ．当β2＝1时，b ≥100，此时100100｜b b ．而当β2≥2时，50｜b ，若b ＞50，100100｜b b ；若b ＝50，则a ·α1＝48，这时当α1≥4时，25｜a ·α1，而α1≤3时，24a ·α1，都导致矛盾，所以，b b 的末尾零的个数大于98) ． 类似地，若β2＝0，则a ·β1＞98，同样可知a a 的末尾零的个数大于98，矛盾． 综上可知，ab 的最小值为7350(当(a 、b )＝(98，75)或(75，98)时取到) ．33．求所有的正整数m ，使得()4m d m ＝．【答案】由条件可知m 为一个4次方数，因此，可设m ＝357244442357αααα⋅⋅⋅， 其中α2，α3，α5，α7，…都是非负整数．而 d (m )＝(4α2＋1)( 4α3＋1)… 是一个奇数，故α2＝0，并且1＝33413αα+·55415αα+·77417αα+…＝x 3·x 5·x 7…， 这里 x 3＝33413αα+，x 5＝55415αα+，…． 当α3＝1时，x 3＝53；α3＝0或2时，x 3＝1；而α3≥3时，33α＞4α3＋1，故此时x 3＜1．当α5＝0或1时，x 5＝1；α5≥2时，55α≥12α5＋1，故55α≥259(4α5＋1)，即x 5＜925． 当p ＞5，p ＞为素数时，在αp ＝0时，x p ＝1，而αp ＝1时，pp α＞5＝4αp ＋1，故x p ＜1；而αp ＞1时，x p＜925． 上述讨论表明：若α3≠1，则x 3＝x 5＝x 7＝...＝1， 故 α3＝0或2，α5＝0或1， 而 α7＝α11＝ 0即 m ＝1，38，54或454． 若α3＝1，则3｜m ，此时，由m ＝d (m ) 4，知m ＝54×(4α5＋1) 4×(4α7＋1) 4…， 于是存在素数p ≥5，使得3｜4αp ＋1，这要求αp ≥2，从而x p ＜925．此导致 x 3x 5x 7…≤53×925＝35＜1，矛盾．所以 m ＝1，54，38，38·54．(直接验证，可知它们确实满足条件) ．34．证明：每一个正整数都可以表示为两个正整数之差，且这两个正整数的素因子个数相同．【答案】设n 为正整数，如果n 为偶数，那么表示n ＝(2n )－n 符合要求．如果n 为奇数，设p 是不整除n 的最小奇素数，那么表示n ＝pn －(p －1)n 中，pn 的素因子个数等于n 的素因子个数加上1；而p －1是偶数，且由p 的定义，知p －1的每个奇素因子都是n 的素因子，所以，(p －1)n 的素因子个数也等于n 的素因子个数加上1．命题获证．35．求所有的正整数a 、b 、c ，使得21a ＋和21b ＋都是素数，且满足 ()()222111a b c ＋＋＝＋．【答案】不妨设a ≤b ，由条件知a 2(b 2＋1)＝c 2＋1－b 2－1＝(c －b )( c ＋b )，故b 2＋1｜c －b 或者b 2＋1｜c ＋b (这里用到b 2＋1为素数) ． 若 b 2＋1｜c －b ，则 c －b ≥b 2＋1(注意c ＞b 是显然的)， 即 c ≥b 2＋b ＋1，此时 c 2＋1≥(b 2＋b ＋1)＋1＞(b 2＋1)2≥(a 2＋1)(b 2＋1)，矛盾． 若 b 2＋1｜c ＋b ， 则 c ＋b ≥b 2＋1， 即 c ≥b 2－b ＋1，于是 c 2＋1≥(b 2－b ＋1)2＋1＝(b 2＋1)2－2b (b 2＋1)＋b 2＋1＝(b 2＋1)((b －1)2＋1) ．注意到，若a ＝b ，则c 2＋1＝(a 2＋1)2，这在a 、c 都是正整数时不能成立(因为两个正整数的平方差至少为3)，所以，a ＜b ，即有a ≤b －1，因此c 2＋1≥(b 2＋1)((b －1)2＋1)≥(b 2＋1)( a 2＋1)，结合条件，可知 a ＝b －1，c ＝b 2－b ＋1．此时，由a 2＋1与b 2＋1都是素数，知b 2＋1为奇数，b 为偶数，从而a ＝b －1为奇数，a 2＋1为偶数，所以a ＝1，进而b ＝2，c ＝3．又当(a ，b ，c )＝(1，2，3)或(2，1，3)时，条件满足，它们就是要求的答案．36．用()p k 表示正整数的最大奇因数．证明：对任意正整数n ，都有()123nk p k n k ∑＝＜＜()213n ＋． 【答案】记S n ＝1()n k p k k=∑，则由p (k )的定义可知 S 2n ＝21()n k p k k =∑＝1(21)21n k p k k =--∑＋1(2)2nk p k k =∑＝n ＋11(2)2n k p k k =∑＝n ＋12S n ．① 类似可知 S 2n +1＝ n ＋1＋12S n ． ② 回到原题，当n ＝1时，命题显然成立．现设命题对1≤n ≤m 都成立，考虑n ＝m ＋1的情形． 如果m ＋1为偶数，那么，由①结合归纳假设，可知12m +＋12·12()23m +＜12m +＋1212m S +＝S m ＋1＜12m +＋12·12(1)23m ++．即有23( m ＋1)＜S m ＋1＜23( m ＋2)，知命题对m ＋1亦成立． 如果m ＋1为奇数，同上利用②亦可知命题对m ＋1成立．所以，结论成立．37．设a 、b 、c 都是大于1的正整数．求代数式[][][]2a b b c c a a b c a b c＋＋＋＋，，，－＋＋的最小可能值． 【答案】由对称性，不妨设a ≥b ≥c ，注意到，当(a ，b ，c )＝(2，2，2)，(3，2，2) ，(3，3，2) ，(4，2，2)时，所给代数式A 的值分别为2，32，178，114．这表明：当a ＋b ＋c ≤8时，A ≥32． 下证：当a ＋b ＋c ≥9时，有A ≥32． 事实上，A ≥32⇔(a ＋b ＋c ) 2－2([]a b ，＋[]b c ，＋[]c a ，)≥3(a ＋b ＋c ) ⇔ a 2＋b 2＋c 2＋2[]()ab a b -∑，≥3(a ＋b ＋c ) ．由于对正整数x 、y ，都有xy ≥[]x y ，，因此，只要证明：a 2＋b 2＋c 2≥3(a ＋b ＋c )． ①结合a ＋b ＋c ≥9，可知为证明①成立，只要证明：a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c ) 2⇔3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2) ⇔2(a 2＋b 2＋c 2)－2(ab ＋bc ＋ca )≥0⇔(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0．最后一式显然成立． 所以，所求代数式的最小值为32．38．对任意给定的素数p ，有多少个整数组（a ，b ，c ），使得（1）1≤a ，b ，c ≤22p ； （2）[][]2212a cbc p c a p •＋，＋，＝＋b ＋． 【答案】记u ＝(a ，c )，v ＝(b ，c )，则条件⑵变为ac bc u v a b ++＝2212p p ++·c ， 即 a u ＋b v ＝2212p p ++(a ＋b )． ① 由于12＜1－212p +＝2212p p ++＜1，结合①知2a b +＜a u ＋b v＜a ＋b ． ② 若u ，v 都不小于2，则②的左边不等式不成立；若u ＝v ＝1，则②的右边不等式不成立．因此u 、v 中恰好有一个等于1．由对称性，不妨设u ＝1，v ≥2．并记b 1＝b v，代入①得(p 2＋2)(a ＋b 1)＝(p 2＋1)(a ＋b 1v )，于是， a ＝b 1((p 2＋1)v －(p 2＋2))． ③若v≥3，则由③得a≥3(p2＋1)－(p2＋2)＝2p2＋1，与条件⑴不符，故v＝2．此时③式变为a＝p2b1，结合a≤2p2，知b1≤2．注意到，(a，c)＝u＝1，(b，c)＝v＝2，知c是一个偶数，且与p2b1互素．这表明p为奇素数，且b1为奇数，结合b1≤2，知b1＝1，进而为b＝2．所以，(a，b，c)＝(p2，2，c)，其中c为偶数但不是p的倍数，这样的数组共有p2－p组．综上可知，当p＝2时，不存在符合条件的数组；当p＞2时，满足条件的数组共有p2－p组．39．黑板上写着数1，2，…，33．每次允许进行下面的操作：从黑板上任取两个满足|x y的数x、y，将它们从黑板上去掉，写上数yx．直至黑板上不存在这样的两个数．问：黑板上至少剩下多少个数？【答案】考虑目标函数S＝黑板上所有数之积．最初S＝33！＝231·315·57·74·113·17·19·23·29·31，每一步操作针对x、y(x｜y)，记y＝kx，去掉x、y代之以k后，S变为Skxy⋅＝2Sx，这表明每次操作，S的每个素因子的幂次的奇偶性保持不变，特别地，2，3，5，11都整除每次操作后所得的S．而2×3×5×11＞33，因而，最后留下的数中，至少需要两个数，使得它们之积为2×3×5×11的倍数．又注意到，素数17，19，23，31的每一个大于自身的倍数都大于33，因而，任何一次操作都不能去掉其中的任何一个数．上述讨论表明：黑板上至少剩下7个数．下面的例子表明可以恰好剩下7个数：(32，16)→2，(30，15) →2，(28，14) →2，(26，13) →2，(24，12) →2，(22，11) →2；(27，9) →3，(21，7) →3，(18，6) →3；(25，5) →5，(20，4) →5；(8，2) →4．(5，5)→1；(4，2) →2；(3，3) →1，(3，3) →1，(2，2) →1，(2，2) →1，(2，2)→1，(2，2)→1．这样，黑板上留下10，17，19，23，29，31，33共7个数和7个1，而7个1再经与17搭配操作7次即可全部去掉．综上可知，至少有7个数被留下．40．设n是一个正整数．证明：数1＋5n＋25n＋35n＋45n是一个合数．【答案】当n为偶数时，设n＝2m，x＝5m，则A＝1＋5 n＋52n＋53n＋54n＝1＋x2＋x4＋x6＋x8＝10211xx--＝55(1)(1)(1)(1)x xx x-+-+＝(x4＋x3＋x2＋x＋1)(x4－x3－x2－x＋1) ．由于x＝5m＞1，可知上式右边两个式子中的数都大于1，因此，A为合数．当n为奇数时，设n＝2m＋1，x＝5m，z＝5y2，则A＝1＋z＋z2＋z3＋z4＝(1＋3z＋z2)2－5z3－10z2－5z＝(1＋3z＋z2)2－5z(z＋1)2＝(1＋5y2＋25y4)2－25y2(1＋5y2)2＝(1＋5y2＋25y4－5y(1＋5y2))(1＋5y2＋25y4＋5y(1＋5y2)) ．当m＞0，即y≥5时，上式右边两式都大于1，此时，A为合数，当m＝0时，A＝1＋5＋52＋53＋54＝11×71也是合数．所以，对任意正整数n，A为合数，命题获证．。
习题解答_
11
c Px 0.4 (7 1 4.5 3 2.8 1) 9.32kW c Px tan 9.32 1.73 16.12kvar
Q30 b PS tan c Px tan 20.59 16.12 36.71kvar
2737.2kvar
2 2 S30 P30 Q30 24002 2737.22 3640.4kVA
17
' Q30
P30 tan / Qc
0.8 2400 1.169 / 0.82 1638 1099.2kvar
' S30
2 P30
22
3）电阻炉组
b = 0.7，c = 0 ，cos = 1.0 ，tan = 0.0
b PS 3 2.0 2.0kW b PS .3 tan 2.0 0.0 0.0kvar
23
4）总的计算负荷
P30
S i
Q30
(12.1 7.93 0.0) 14.9 34.93kvar
P30 K x PS 0.35 843 295.05kW Q30 P30 tan 295.05 0.88 260.21kvar S30 P30 / cos 295.05 / 0.75 393.4kVA
15
2-5．某三班制生产厂的有功计算负荷为2400kW,平 均功率因数为 0.65。现拟在厂变电所10kV母线上 装设YY型移相电容器，使功率因数提高到0.95。试 计算所需电容器的总容量。如采用YY10.5-14-1型 电容器，问需装设多少个？装设以后该厂的视在负 荷为多少？比未装设时的视在功率减少了多少？ 解 三班制，取 = 0. 8， = 0. 82
电路与电子技术基础总复习题及解 (1)
总复习题及解总复习题及解一、问 答第一章答题1. 电流与电压为关联参考方向是指什么？答：电流参考方向（箭头方向）与电压降参考方向（“+”到“-”的方向）一致的方向。
第二章答题1. 应用叠加定理时，理想电压源不作用时视为短路，理想电流源不作用时视为 开路。
2、求含有受控源单口网络的戴维南（诺顿）等效电路的内阻时，屏蔽掉电源后须用 外施电压、电流 法求得。
第三章答题1、对于电容C 和电感L ，电压和电流间的关系为：，2、换路定律是指： 3、全响应解的两种表达式：（1）全响应=（零输入响应）+（零状态响应） （2）三要素法： 第四章答题1、直流电路中，感抗为0，容抗为无穷大。
2、正弦电压u(t) =2U cos (?t + ?u )对应的相量表示为uUUθ∠=•。
3、任意一个相量乘以j相当于该相量逆时针旋转90o 。
4、三相对称电源星型联结，相、线电压的关系为相电压是线电压的31倍，且相电压滞后对应线电压30°。
对称电源△接线时，线电流、相电流之间关系为线电流等于3倍相电流，相位滞后对应相电流30°。
5、电阻元件的电压电流的有效值满足：U=IR，关联参考方向下电压和电流同相位，即第五章答题无第六章答题1、本征半导体电子浓度等于空穴浓度；N型半导体的电子浓度大于空穴浓度；P型半导体的电子浓度小于空穴浓度。
2、场效应管属于电压控制型器件，晶体三极管则属于电流控制器件。
3、晶体三极管工作在放大状态时，应使发射结正向偏置；集电结反向偏置。
4、稳定二极管稳压时是处于反向偏置状态，而二极管导通时是处于正向偏置状态。
5、 PN结的单向导电性，就是PN结正偏时导通，反偏时截止。
6、当温度升高时，三极管的集电极电流Ic 增加，发射结压降U BE减小。
第七章答题1、共模抑制比K CMR是差模放大倍数与共模放大倍数（绝对值）之比。
2、抑制温漂（零漂）最常用的方法是采用差放电路。
3、差分放大电路能够抑制共模信号，放大差模信号。
完整版化工热力学答案-冯新-宣爱国-课后总习题答案详解1
解：⑴查附录2知：Tc=369.8K，Pc=4.246MPa，ω=0.152
=4.746Mpa
答：由于钢瓶的实际压力大于其安全工作压力，因此会发生爆炸。
2-17.作为汽车发动机的燃料，如果15℃、0.1013MPa的甲烷气体40 m3与3.7854升汽油相当，那么要多大容积的容器来承载20MPa、15℃的甲烷才能与37.854升的汽油相当？
解:查表得：甲烷Tc=190.6K , Pc=4.60MPa
解：(1) 12kg丙烷的摩尔总数：
按照安全要求，液化气充装量最多为液化气罐的97%，则
液化气罐允许的总丙烷摩尔数为：
显然装载的12kg丙烷已超出液化气罐允许量，此时液化气罐是不安全的。(2)只有将丙烷量减至 以下，才能安全。
(3)用SRK方程（免费软件：/~pjb10/thermo/pure.html）计算得：此时液化气罐的操作压力为3.026bar，因此，液化气罐的设计压力为6.052 bar。
【参考答案】：不同。真实气体偏离理想气体程度不仅与T、p有关，而且与每个气体的临界特性有关，即最本质的因素是对比温度、对比压力以及偏心因子 ， 和 。
2-5偏心因子的概念是什么？为什么要提出这个概念？它可以直接测量吗？
【参考答案】：偏心因子ω为两个分子间的相互作用力偏离分子中心之间的作用力的程度。其物理意义为：一般流体与球形非极性简单流体（氩，氪、氙）在形状和极性方面的偏心度。为了提高计算复杂分子压缩因子的准确度。
一、问答题：
2-1为什么要研究流体的pVT关系？
【参考答案】：流体p-V-T关系是化工热力学的基石，是化工过程开发和设计、安全操作和科学研究必不可少的基础数据。（1）流体的PVT关系可以直接用于设计。（2）利用可测的热力学性质（T，P，V等）计算不可测的热力学性质（H，S，G，等）。只要有了p-V-T关系加上理想气体的 ，可以解决化工热力学的大多数问题。
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总习题一解答1. 用行列式定义计算20030000020020020001=D 。
分析：此行列式含零元素较多，对含零元素较多的行列式，可直接用定义计算，只需找出行列式中的非零项即可。
解：D 中第一行的非零元素只有2002,1a ，故1j 只能取2002，同理由第2，3，…，2002行知20012=j ，20003=j ，…，12002=j ，20032003=j ，于是1j ，2j ，…，2003j 在可能取的数码中，只能组成一个2003级排列， 故D 中非零项只有一项，即2003,20031,20022001,22002,1)2003120012002()1(a a a a D N -=!200320032002321)1()2003120012002(-=∙∙∙∙∙-= N 。
2. 计算下列行列式：⑴ 2100012100012100012100012； 解：21014/5000013/4000012/3000012210012100013/4000012/30000122100012100012100012/30000122100012100012100012100012=== 65645342325/6000014/5000013/4000012/3000012=⨯⨯⨯⨯==。
⑵ 310320511343027102052154-------；解：原式171630351107110100101140502012103355110730240154050201-------=-------======== 814900221950037512003511050201171630101140711010035110521-------=--------=51250002219500522410035110502152240002219000512510035110521------=-------=5125000341000522410035110521512500023810100052241003511050201----=--------=799799000341000522410035110521-=-----= ⑶ 2111121111211112=n D ；解：注意到该行列式中每一列中的n 个元素之和都为1+n ，故将第2，3，…，n 行元素都加到第1行上，得：2111121111211111)1(2111121111211111+=++++=n n n n n D n5121c c r r ⇔⇔11000010101111)1(+=+=n n。
⑷ xa a a a a a x a a a a a x a a a a a xD n nnn43213213213211=+。
解：将第2，3，…，n 列都加到第1列上，得：x a a a a a x a a a a xa a a a a x xa a a a x a a x a a x a a a xa x a a a a a x D n nn ni i n i in n i inni in ni i n432323232114321321321321111111⎪⎭⎫⎝⎛+=++++=∑∑∑∑∑=====+∏∑∑===-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=------⎪⎭⎫⎝⎛+=ni i ni i n ni i a x a x a x a a a a a x a a a x a x 11231221211)(1010010001。
3. 利用行列式的性质证明：0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a 。
证：左边9644129644129644129644122222++++++++++++========d d d d c c c cb b b b a a a a964419644196441964419644964496449644222222222+++++++++++++++++=d d d c c c b b b a a a d d dd c c c c b b b b a a a a141312c c c c c c ---064164164164194949494222222222=+=============ddd c cc bb b a aa dd c c bb a a 。
4. 已知111111111111101-------=x D ，则D 中x 的系数是 。
解：按x 展开，得：x x x x D 42002201001021111111111-=-==----=，所以D 中x 的系数是4-。
另解：含x 的项是：x x x x N N N N )1()1()1()1()1()1()1,4,2,3()4,1,2,3()2,4,1,3()4,2,1,3(--+-+-+--x x x N N 4)1()1()1,2,4,3()2,1,4,3(-=-+-+，所以D 中x 的系数是4-。
5. ==600300301395200199204100103D 。
分析：先利用行列式的性质，把行列式的某行（列）的元素化为尽可能多的零，再按此行（列）展开以降低行列式阶数，将行列式转化为较低阶行列式来计算。
解：行列式中的第1列的三个数分别与100，200，300较接近，而第3列的数与200，400，600相近，故可把第2列的1-倍及2-倍分别加至第1列与第3列，第2列再提取公因数100，便可化简计算，即200055481001551483100031521413100030015200141003=--=---=--=--=D 。
6. 计算下列行列式：⑴ab c d b a d c c d a b d c b a ； 分析：行列式所有行（或列）的对应元素相加后相等，可通过提取公因子将第1行（或列）全部元素化为1，再采用“化零”的方法来计算。
解：将D 的第2、3、4行都加到第1行，并从第1行中提取公因子d c b a +++，得：242364c c c c --242394c c c c --第一项第二项ab c d b a d c cd a b d c b a a b c d b a d c c d a b d c b a D 1111)(+++==， 再将第2、3、4列都减去第1列，得：da db dc c b c a cd bc bd b a d c b a da db dcd cb c a c d c bc bd b a b d c b a D ---------+++=---------+++=)(0001)(，把上面右端行列式第2行加到第1行中提取公因子d c b a +--，得：da db dc c b ca c d d cb a dc b a D ------+--+++=011))(( da cb cb da d cb a dc b a ----+--+++=))(( ])()[())((22c b d a d c b a d c b a ---∙+--+++=))()()((d c b a d c b a d c b a d c b a -+---++--+++=。
⑵443322110000000a b a b b a b a ； 分析：利用行列式的性质和按行（列）展开定理计算行列式。
解：按第一行展开：0000433221433221b a b b a b a a b b a a D -= ))(()()(41413232323241323241b b a a b b a a b b a a b b b b a a a a --=---=。
⑶ αββαβαβα0000000000。
解：第一行、第1列均只有两个非零元素，可按第一行展开，得：0000000)1(00000000000)1(1ββαββαβ-+αββαβααα-=+n n n D12)2)(1(12)1()1(0000000)1(---+β-∙β-+βαβααα-=n n n n nn n n n n n nβ-+α-∙α-=----2)1(22)3)(2(2)1()1()1(n n n nn n β-+α-=---2)1(2)2)(1()1()1(。
7. 计算下列行列式：⑴ 12125431432321-n n n；分析：行列式所有行（列）对应元素相加后相等，可通过提取公因子将第1行（或列）全部元素化为1，再采用“化零”的方法即可计算之。
解：原式121125411431321)1(21-+=n nn n111011101110321)1(21n n nn n --+========（将行列式按第一列展开，得） 1111111111111111)1(21n nnn n ---+=（将各行加至第一行） 12312----n n r r r r r r1111111111111111)1(21n n n n ------+=（从第2行起，将各行都加上第1行） 00000000001111)1(21n n n n ------+= 2)1()(21)1(12)1(222)1(----+-=∙+-=n n n n n n n n n n n n 。
⑵ 347534453542333322212223212---------------x x x x x x x x x x x x x x x x 。
分析：利用行列式的性质和按行（列）展开定理计算行列式。
解：先把第1列的)1(-倍加到第2，3，4列，373221101)1(373422133000101237342213310122101212-------=--------=----------=+x x x x x x x x x x x x x x x D)1(5)]7()2(6[67012011-=-+---=------=x x x x x x x x 。
8. 计算下列行列式：⑴ 5235000005200035200035=n D ；解：用递推法，先按n D 的第1行展开，得：21165523500000520003500003235----==-=n n n n D D D D，于是得递推公式：2165---=n n n D D D ，或()211232----=-n n n n D D D D ， 递推下去得到：()1221232D D D D n n n -=---， 同样可得公式：()211323----=-n n n n D D D D ， 递推下去得到：()1221323D D D D n n n -=---，∵ 51=D ，1952352==D ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=---nn n nn n D D D D 233211， 解方程组，得：1123++-=n n n D 。