2019版优化探究理数练习：第六章 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题含解析
2019届高考数学一轮复习第六章不等式第二节二元一次不等式组与简单的线性规划问题课件
若目标函数z＝y
－ax(a∈R)取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值 范围是( ) B．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
A．(1，＋∞) C．(2，＋∞)
解析：作出不等式组表示的可行域如图 阴影部分所示，当 a≤0 时，直线 y＝ax ＋z 知在点(1,3)不可能取得最大值， 则当 a＞0 时，目标函数 z＝y－ax 要在(1,3) 处取得最大值时有唯一最优解应满足 a ＞1，故选 A.
答案：13
1．画平面区域时避免失误的重要方法就是首先使二元一次不 等式化为 ax＋by＋c＞0(a＞0)． 2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使 目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个， 也可能没有．
[小题纠偏] x－y＋2≥0， 已知实数x，y满足不等式组 x＋y－4≥0， 2x－y－5≤0，
法二：易求可行域顶点A(0,1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，分 别代入目标函数，求出对应的z的值依次为1，－15,9，故最小 值为－15. 答案：A
x≥0， 3 ． 不 等 式 组 x＋3y≥4， 3x＋y≤4 ( 3 A. 2 4 C. 3 ) 2 B． 3 3 D． 4
解析：画出不等式组 x＋2y≤1， 2x＋y≥－1， x－y≤0
所表示的可行域如图中
3 阴影部分所示，由可行域知，当直线y＝ 2 z x－ 过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由 2
x＋2y＝1， 2x＋y＝－1， x＝－1， 解得 y＝1.
∴zmin＝－5.
答案：－5
5．(2018· 郑州模拟)某校今年计划招聘女教师 a 名，男教师 b 2a－b≥5， 名，若 a，b 满足不等式组a－b≤2， a＜7， 招聘教师最多 x 名，则 x＝________.
2019版高考数学复习不等式6.2二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题学案理
6.2 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[知识梳理]1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有①当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；②当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．(3)最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解有时唯一，有时有多个．4．利用线性规划求最值，用图解法求解的步骤(1)作可行域；(2)将目标函数进行变形； (3)确定最优解； (4)求最值． [诊断自测] 1．概念思辨(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( ) (2)不等式x 2－y 2＜0表示的平面区域是一、三象限角平分线和二、四象限角平分线围成的含有y 轴的两块区域．( )(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )(4)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．教材衍化(1)(必修A5P 86T 3)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2＜0表示的平面区域是( )答案 B解析 x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及其下方部分，x －y ＋2＜0表示直线x －y ＋2＝0上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.故选B.(2)(必修A5P 93B 组T 1)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≤0，x ≥0，y ≥0，则不等式组表示区域的面积为________，z ＝y ＋2x －1的取值范围是________． 答案 32(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析 如右图所示，不等式组表示区域面积为12×1×3＝32，z ＝y ＋2x －1理解为区域上的点P (x ，y )与点Q (1，－2)连线所在直线斜率的变化范围，k AQ ＝0＋23－1＝1，k OQ ＝2－1＝－2，结合图形分析知z ＝y ＋2x －1的取值范围为(－∞，－2]∪[1，＋∞)． 3．小题热身(1)(2017·河北衡水中学五调)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥43B ．0＜a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0＜a ≤1或a ≥43答案 D解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域(如图中阴影部分)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l ：x ＋y ＝a 在l 1、l 2之间(包含l 2，不包含l 1)或l 3上方(包含l 3)．故选D.(2)(2017·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3，则目标函数z＝x ＋y 的最大值为( )A.23 B ．1 C.32 D ．3答案D解析 画出可行域，如图中阴影所示． 又目标函数z ＝x ＋y ，结合图象易知y ＝－x ＋z 过(0,3)点时z 取得最大值， 即z max ＝0＋3＝3.故选D.题型1 二元一次不等式(组)表示的平面区域典例 (2016·浙江高考)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6转化为求线段CD 的长．答案 C解析 由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．因为直线x ＋y －2＝0与直线x ＋y ＝0平行，所以可行域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段的长|AB |即为|CD |.易得C (2，－2)，D (－1,1)，所以|AB |＝|CD |＝(2＋1)2＋(－2－1)2＝3 2.故选C.[结论探究] 若典例条件不变，则平面区域的面积是________． 答案 6解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，x －3y ＋4＝0得其交点坐标为(2,2)，交点到直线x ＋y ＝0的距离为d ＝42，故面积为12×42×32＝6.方法技巧与平面区域有关的计算方法1．画出不等式组表示的平面区域，并计算端点的坐标．2．根据平面区域的形状特点，选择合适的公式计算线段的长度、图形的面积，不规则的图形可用分割法求其面积．见典例答案解法．3．注意转化思想方法的应用，如把面积最大、最小问题转化为两点间的距离、点到直线的距离等．冲关针对训练(2015·重庆高考)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43 D ．3答案 B解析 如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m ＜2，则m ＞－1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－m ，y ＝1＋m ，即A (1－m,1＋m )．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23－43m ，y ＝23＋23m ，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23－43m ，23＋23m ，所围成的区域为△ABC ，则S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12(2＋2m )(1＋m )－12(2＋2m )·23(1＋m )＝13(1＋m )2＝43， 解得m ＝－3(舍去)或m ＝1.故选B.题型2 线性规划中的最值问题角度1 求线性目标函数的最值典例 (2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9用转化法．答案 A解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x ，并平移该直线，知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，z 有最小值，且z min ＝2×(－6)－3＝－15.故选A.角度2 由目标函数最值求参数典例 (2013·全国卷Ⅱ)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3).若z ＝2x＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14 B.12 C ．1D ．2将参数当成常数，根据目标函数确定最小值，从而求出a 值．答案 B解析 由约束条件画出可行域(如图所示的△ABC 及其内部)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)得A (1，－2a )，当直线2x ＋y －z ＝0过点A 时，z ＝2x ＋y 取得最小值，所以1＝2×1－2a ，解得a ＝12，故选B.角度3 非线性目标函数的最值问题典例 已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝2y ＋1x ＋1的范围．根据目标函数的几何意义进行转化．解 作出可行域，如图阴影部分所示．通过联立方程，解得A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．(1)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内点(x ，y )到点M (0,5)的距离的平方．过点M 作AC 的垂线，垂足为点N ，故|MN |＝|0－5＋2|1＋(－1)2＝322，|MN |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＝92. 故z 的最小值为92.(2)z ＝2·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －(－1)表示可行域内点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12连线斜率的2倍． 因为k QA ＝74，k QB ＝38，所以z 的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，72. 方法技巧求线性目标函数最值问题及线性规划应用题的解题策略1．求线性目标函数的最值．线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以我们可以直接解出可行域的顶点，然后代入目标函数以确定目标函数的最值．如角度1典例．2．由目标函数的最值求参数的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．如角度2典例．3．求非线性目标函数最值问题的解题策略解决此类问题时需充分把握好目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义有： (1)对形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2型的目标函数均可化为可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )间距离的平方的最值问题．如角度3典例．(2)对形如z ＝ay ＋b cx ＋d (ac ≠0)型的目标函数，可先变形为z ＝a c ·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－d c 的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )与点⎝⎛⎭⎪⎫－d c ，－ba连线的斜率的a c倍的取值范围、最值等．如角度3典例．(3)对形如z ＝|Ax ＋By ＋C |型的目标，可先变形为z ＝A 2＋B 2·|Ax ＋By ＋C |A 2＋B 2的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍的最值．冲关针对训练(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________． 答案 －1解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x －4y 得y ＝34x －14z .平移直线y ＝34x ，易知经过点A 时，z 有最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴A (1,1)． ∴z min ＝3－4＝－1.题型3 线性规划的实际应用典例 (2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．转化为线性规划问题．答案 216000解析 设生产产品A x 件，产品B y 件，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，设生产产品A ，产品B 的利润之和为E 元，则E ＝2100x＋900y .画出可行域(如图)，易知最优解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝60，y ＝100，则E max ＝216000.方法技巧线性规划解决实际问题的一般步骤1．能建立线性规划模型的实际问题(1)给定一定量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源最少． 2．解决线性规划实际问题的一般步骤(1)转化：设元，写出线性约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题；(2)求解：解决这个纯数学的线性规划问题；(3)作答：根据实际问题，得到实际问题的解，据此作出回答． 冲关针对训练(2015·陕西高考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元答案D解析 设该企业每天生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，每天获得的利润为z 万元，则有z ＝3x ＋4y ，由题意得，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，该不等式组表示的可行域是以O (0,0)，A (4,0)，B (2,3)，C (0,4)为顶点的四边形及其内部(如图)，根据线性规划的有关知识，知当直线3x ＋4y －z ＝0过点B (2,3)时，z 取最大值18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．故选D.1.(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( ) A ．[0,6] B ．[0,4] C ．[6，＋∞) D ．[4，＋∞)答案 D解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－12x ＋z2过点A (2,1)时，z 取得最小值，即z min ＝2＋2×1＝4.所以z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．故选D.2．(2018·武昌调研)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( ) A ．－5 B ．3 C ．－5或3 D ．5或－3答案 B解析 根据约束条件画出可行域如图1中阴影部分所示： 可知可行域为开口向上的V 字型．在顶点处z 有最小值，顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12，则a －12＋a ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12＝7，解得a ＝3或a ＝－5.当a ＝－5时，如图2.图1 图2虚线向上移动时z 减小，故z →－∞，没有最小值，故只有a ＝3满足题意．故选B.3．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________． 答案 －5解析 作出可行域如图阴影部分所示． 由z ＝3x －2y ，得y ＝32x －z2.作出直线l 0：y ＝32x ，并平移l 0，知当直线y ＝32x －z2过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，2x ＋y ＋1＝0，得A (－1,1)，∴z min ＝3×(－1)－2×1＝－5.4．(2018·福州五校二联)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，x ＋y －5≤0，4x ＋y －8≥0，若目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数多个，则z ＝x ＋ay 的最大值为________．答案 72解析 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得A (3,2)，B (1,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫95，45.当a ＞0时，y ＝－1a x ＋1a z ，作直线l 0：y ＝－1a x ，平移l 0，易知当直线y ＝－1a x ＋1a z 与4x ＋y －8＝0重合时，z 取得最小值的最优解有无数多个，此时a ＝14，当直线过点A 时，z 取得最大值，且z max ＝3＋12＝72；当a ≤0时，数形结合知，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解不可能有无数多个．综上所述z max ＝72.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·唐山模拟)已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 答案 B解析 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0.即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.故选B.2．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－53答案 C解析 图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需要可行域的边界点(－m ，m )在y ＝12x －1下方，也就是m <－12m －1，即m <－23.故选C.3．(2017·山东日照一模)已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝(2)2x ＋y的最大值为( )A. 2 B ．2 2 C ．2 D ．4答案 D解析 作出满足不等式组的平面区域，如图所示，令m ＝2x ＋y ，则当m 取得最大值时，z ＝(2)2x ＋y 取得最大值．由图知直线m ＝2x ＋y 经过点A (1,2)时，m 取得最大值，所以z max＝(2)2×1＋2＝4，故选D.4．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －7≥0，x ＋3y －13≤0，x －y －1≤0，则z ＝|2x －3y ＋4|的最大值为( )A ．3B ．5C ．6D ．8答案 C解析 不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －7≥0，x ＋3y －13≤0，x －y －1≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (2,1)，B (1，4)．设t ＝2x －3y ，平移直线y ＝23x ，则直线经过点B 时，t ＝2x －3y 取得最小值－10，直线经过点A 时，t ＝2x －3y 取得最大值1，所以－6≤t ＋4≤5，所以0≤z ≤6.所以z 的最大值为6，故选C.5．(2018·石家庄质检)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0，且z ＝3x －y 的最大值为2，则实数m 的值为( )A.13 B.23 C ．1 D ．2答案 D解析 若z ＝3x －y 的最大值为2，则此时目标函数为y ＝3x －2，直线y ＝3x －2与3x－2y ＋2＝0和x ＋y ＝1分别交于A (2,4)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，14，mx －y ＝0经过其中一点，所以m ＝2或m ＝13，当m ＝13时，经检验不符合题意，故m ＝2，选D.6．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋6≥0，x ≤2，则z ＝(x －1)2＋y 2的最大值为( )A ．4 B.17 C ．17 D ．16答案 C解析 z ＝(x －1)2＋y 2表示点(x ，y )与点P (1,0)间距离的平方．画出约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知P (1,0)与A (2,4)间的距离最大，因此z max ＝(2－1)2＋42＝17.故选C.7．(2017·邢台模拟)当x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，y －4≤x ，x －7y ≤2时，－2≤kx －y ≤2恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，35D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，0 答案 D解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设z ＝kx －y ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，y －4＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即B (－2,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，x －7y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，即C (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝x ，x －7y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－1，即A (－5，－1)，要使不等式－2≤kx －y ≤2恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－2k －2≤2，－2≤2k ≤2，－2≤－5k ＋1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤k ≤0，－1≤k ≤1，－15≤k ≤35，所以－15≤k ≤0，故选D.8．(2018·南昌十校一模)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，3x ＋y －8≤0，x ＋2y －1≥0，则z ＝yx ＋1的最大值与最小值的比值为( )A ．－2B ．－12C ．－83D ．－13答案 C解析 如图所示，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，3x ＋y －8≤0，x ＋2y －1≥0所表示的平面区域为图中的阴影部分，易知z ＝yx ＋1表示平面区域内的点与定点P (－1,0)连线的斜率．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －8＝0，2x －y －2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，故A (2,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －8＝0，x ＋2y －1＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，故B (3，－1)，数形结合知AP 的斜率最大，此时z ＝yx ＋1最大，故z max ＝23；BP 的斜率最小，z min ＝－14.故z ＝yx ＋1的最大值与最小值的比值为－83，故选C.9．(2017·江西模拟)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,50答案 B解析 设种植黄瓜x 亩，种植韭菜y 亩，因此，原问题转化为在条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0下，求z ＝0.55×4x ＋0.3×6y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y 的最大值．画出可行域如图．利用线性规划知识可知，当x ，y 取⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，1.2x ＋0.9y ＝54的交点B (30,20)时，z 取得最大值．故选B.10．(2018·石家庄质检)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤r 2(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足上述约束条件，则z ＝x ＋y ＋1x ＋3的最小值为( ) A ．－1 B ．－52＋17C.13 D ．－75答案 D解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意，知14πr 2＝π，解得r＝2.z ＝x ＋y ＋1x ＋3＝1＋y －2x ＋3，表示可行域内的点与点P (－3,2)连线的斜率加上1，由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝1－125＝－75，故选D.二、填空题11．(2018·银川质检)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为________． 答案 8解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0表示的可行域，如图中阴影部分所示，将z ＝2x －y 化为y ＝2x －z ，－z 是直线y ＝2x －z 的纵截距，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0，x －3y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，∴B 的坐标为(5,2)，则y ＝2x －z 过点B (5,2)时，z ＝2x －y 有最大值10－2＝8. 12．(2018·广州模拟)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y －2≤0，x ＋y －2≤0，若z ＝x －ay (a ＞0)的最大值为4，则a ＝________. 答案 3解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，则A (2,0)，B (－2，－2)．显然直线z ＝x －ay 过A 时不能取得最大值4，若直线z ＝x －ay 过点B 时取得最大值4，则－2＋2a ＝4，解得a ＝3，此时，目标函数为z ＝x －3y ，作出直线x －3y ＝0，平移该直线，当直线经过点B 时，截距最小，此时，z 的最大值为4，满足条件．13．(2017·山西五校3月联考)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －1≥0，x －y ＋2≥0，x ＋4y －8≤0表示的平面区域为Ω，直线x ＝a (a ＞1)将平面区域Ω分成面积之比为1∶4的两部分，则目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为________．答案 9解析 如图，平面区域Ω为△ABC 及其内部，作直线x ＝a (1<a <4)交BC ，AC 分别于点E ，F .由题意可知S △EFC ＝15S △ABC ，则12(4－a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋2－1＝15×12×5×1＝12，可得a ＝2，所以目标函数z ＝ax ＋y 即为z ＝2x ＋y ，易知z ＝2x ＋y 在点C (4,1)处取得最大值，则z max ＝9.14．(2017·河北衡水中学3月模拟)已知点P (x ，y )的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ＞x ，y ＜2x ＋1，则x ＋yx 2＋y 2的取值范围为________． 答案 (－2，1]解析 解法一：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ＞x ，y ＜2x ＋1表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中B (－1，－1)，C (0,1)．设A (1,1)，P (x ，y )，向量OA →，OP →的夹角为θ， ∵OA →·OP →＝x ＋y ，|OP →|＝x 2＋y 2， ∴cos θ＝OA →·OP→|OA →||OP →|＝x ＋y 2×x 2＋y 2＝22×x ＋y x 2＋y 2， 由图可知∠AOC ≤θ＜∠AOB ， 即45°≤θ＜180°， ∴－1＜cos θ≤22， 即－1＜22×x ＋y x 2＋y 2≤22， ∴－2＜x ＋yx 2＋y 2≤1.解法二：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ＞x ，y ＜2x ＋1表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中B (－1，－1)，C (0,1)， 设P (x ，y )，θ＝∠POx ，则x x 2＋y2＝cos θ，y x 2＋y2＝sin θ.θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，5π4，∴x ＋y x 2＋y 2＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.∵θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，5π4，∴θ＋π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，3π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，22. ∴x ＋yx 2＋y2∈(－2，1]． 三、解答题15．某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲，乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1600x ＋2400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知当直线z ＝1600x ＋2400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1600x ＋2400y 在y 轴上的截距z2400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小． 16．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：C3 1现有A 种原料200肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润． 解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线，z3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．。
二元一次不等式与简单的线性规划问题
结束
1．求平面区域的面积，要先作出不等式组表示的平面 区域，然后根据区域的形状求面积．
2．求平面区域的面积问题，平面区域形状为三角形的 居多，尤其当△ABC 为等腰直角三角形(A 为直角)时，点 B 到直线 AC 的距离即△ABC 的腰长|AB|.由点到直线的距离 公式求得|AB|，面积便可求出．
A．－4
B．6
C．10 D．17
()
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 结 束
[解析] 由约束条件作出 可行域如图所示，目标函数可 化为y＝－25x＋15z，在图中画出 直线y＝－25x，平移该直线，易 知经过点A时z最小．又知点A 的坐标为(3,0)，∴zmin＝2×3＋5×0＝6.故选B.
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 结 束
x＋y－2≤0， 2. [考点二]若不等式组x＋2y－2≥0，
x－y＋2m≥0
表示的平面区域
为三角形，且其面积等于43，则 m 的值为
()
A．－3
B．1
C.43
D．3
解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 结 束
2x＋y－6≤0， [例1] 不等式组 x＋y－3≥0，
y≤2
表示的平面区域的面积
为 A．4
B．1
C．5
() D．无穷大
2x＋y－6≤0， [解析] 不等ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ组 x＋y－3≥0，
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题答案
学案3.4 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础梳理知识点一．问题1:①ax ＋by ＋c ＝0；②ax ＋by ＋c ＞0；③ax ＋by ＋c ＜0. 问题2: Ax ＋By ＋C ＝0 不含 包含问题3:方法一:由于对直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ，y )，把它的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C 所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)，由Ax 0＋By 0＋C 的符号即可判断Ax ＋By ＋C ＞0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域．方法二:先看Ｂ的正负，正看是＞号还是＜号，＞号看为正，＜看为负，如果B 的正负与不等号的正负相乘是正则在直线上方区域，相反为正方区域。
如2x-3y+2>0，B 为负，”>”为正，则相乘为负，即为相应直线下方区域。
与A 的符号无关。
【小试身手】1. 解析 逐一代入得点(－1,3)不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内．答案 C 2．C[解析] 由图可看出，阴影部分满足0≤y ≤1，－1≤x ≤0.∵点(0,0)在直线2x －y ＋2＝0的下方，且(0,0)点坐标代入方程左端有2×0－0＋2>0， ∴阴影部分符合2x －y ＋2≥0.3．解析：作出可行域为如图所示的三角形，∴S △＝12×1×1＝12.答案： A4．[答案] (－7,24)[解析] ∵点(－3，－1)，和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧， ∴(－9＋2－a )(12＋12－a )＜0. ∴(a ＋7)(a －24)＜0.∴－7＜a ＜24.知识点二．线性规划相关概念线性约束条件可行解5．[解析] 设购买A ，B 两种矿石各x 万吨和y 万吨，最少费用为z 百万元，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ≥1.9x ＋0.5y ≤2x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋6y ，作出可行域求解可得z min ＝15.6. 解析：令b ＝2x －y ，则y ＝2x －b ，如图所示，作斜率为2的平行线y ＝2x －b ，当经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，为－b ，此时b ＝2x －y 取得最小值，为b ＝2×1－1＝1. 答案：17.(文)B [解析] 本题考查二元一次不等式组表示平面区域，线性目标函数最值．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥0x －1≤0得可行域如图．令z ＝x ＋2y ，画出可行域为图中阴影部分． 作直线l ：x ＋2y ＝0，在可行域内平移l ， 当移至A (0,1)z 取最大值是x ＋2y ＝2， 当移至B (0，－1)z 取最小值x ＋2y ＝－2.(理)[解析] 本题主要考查线性规划问题．不等式|x |＋|y |≤1表示的平面区域如图所示，当目标函数z ＝x ＋2y过点(0，－1)，(0,1)时，分别取最小和最大值，所以x ＋2y 的最大值和最小值分别为2，－2，故选B.8.[解析] (1)先画直线3x ＋2y ＋6＝0(画成虚线)，取原点(0,0)代入， ∵3×0＋2×0＋6>0，∴(0,0)在3x ＋2y ＋6>0表示的平面区域内，如图所示．(2)不等式x <3表示x ＝3左侧点的集合，不等式2y ≥x 表示x －2y ＝0上及其左上方点的集合．不等式3x ＋2y ≥6表示直线3x ＋2y －6＝0上及右上方点的集合．不等式3y <x ＋9表示直线3y －x －9＝0右下方点的集合．综上可得：不等式组表示的平面区域如图所示．考向一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】(1) [解析] 由两点式得直线AB 、BC 、CA 的方程并化简为：直线AB ：x ＋2y －2＝0，直线BC ：x －y ＋4＝0，直线CA ：5x －2y ＋2＝0. ∴原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≥0，x －y ＋4≥0，5x －2y ＋2≤0.(2)[解析] 如图画出不等式组所表示的平面区域， 不等式组表示的平面区域的面积即△ABC 的面积．又A (－3,3)，B (3，－3)，C (3,9)，∴|BC |＝12.∴S △ABC ＝12|BC |×6＝36.二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．【训练1】解析 其中平面区域kx －y ＋2≥0是含有坐标原点的半平面．直线kx －y ＋2＝0又过定点(0,2)，这样就可以根据平面区域的面积为4，确定一个封闭的区域，作出平面区域即可求解． 平面区域如图所示，根据区域面积为4，得A (2,4)，代入直线方程，得k ＝1. 答案 A考向二 求线性目标函数的最值【例2】[审题视点] 作出平行域D ，然后解出目标函数z 的表达式，用截距法求z 的最大值．解析 画出区域D ，如图中阴影部分所示，而z ＝OM →·O A →＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，令l 0：y ＝－2x ，将l 0平移到过点(2，2)时，截距z有最大值，故z max ＝2×2＋2＝ 4. 答案 B若本例条件不变，试求z ＝2x －y 的最小值．解：因z ＝2x －y 变为y ＝2x －z ，目标函数的图象过点(0,2)时，z 最小，∴z 的最小值为－2.求目标函数的最大值或最小值，必须先求出准确的可行域，令目标函数等于0，将其对应的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．如果可行域是一个多边形，那么目标函数一般在某顶点处取得最大值或最小值，最优解就是该点的坐标，到底哪个顶点为最优解，只要将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是．特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时(k ＝k 1)，其最优解可能有无数个．整数解问题:若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解)，这时应作适当的调整，其方法是在线性目标函数的直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，也可以在用图解法所得到的近似解附近寻找．【训练2】 (文)A[解析] 本题考查了线性规划的基础知识及数形结合的思想．根据约束条件，画出可行域如图，作直线3x －y ＝0，将直线平移至点(2,0)处有最大值，点(12，3)处有最小值，即－32≤z ≤6.(理)解析 画出x 、y 满足条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a ＜－12，∴a ＞12.答案 D考向三 求非线性目标函数的最值【例3】[解析]由约束条件⎩⎨⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫1，225. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝03x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． (1)由z ＝4x －3y ，得y ＝43x －z 3.求z ＝4x －3y 的最大值，相当于求直线y ＝43x －z 3在y 轴上的截距－z 3的最小值．平移直线y＝43x 知， 当直线y ＝43x －z 3过点B 时，－z 3最小，z 最大．∴z max ＝4×5－3×2＝14.(2)∵z ＝y x ＝y －0x －0.∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(3)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29，∴2≤z ≤29.1.求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义． 2．常见的目标函数有(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式:y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a. 注意转化的等价性及几何意义.【训练3】(文)[答案] [35，3][解析] 画出可行域如图，z 表示可行域内的点(x ，y )与点E (－3，－3)连线的斜率，则由图形可知，连线过点C 时斜率最小，过点B 时斜率最大．k EC ＝0＋32＋3＝35，k EB ＝3＋3－1＋3＝3，所以z 的取值范围是[35，3]．(理)解析 如图，当P 取点⎝⎛⎭⎫0，12，Q 取点(0，－1)时，|PQ |有最小值为32. 答案 A考向四 线性规划的实际应用【例4】[审题视点] 题目的设问是“该企业如何安排生产，才能获得最大利润”，这个利润是由两种产品的利润所决定的，因此A ，B 两种产品的生产数量决定着该企业的总利润，这里两种产品的生产数量是问题的主要变量，故可以设出A ，B 两种产品的生产数量，列不等式组和建立目标函数．解 设生产A ，B 两种产品分别为x 吨，y 吨，利润为z 万元，依题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y ≤300，9x ＋4y ≤360，4x ＋5y ≤200，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝7x ＋12y . 作出可行域，如图阴影所示．当直线7x ＋12y ＝0向右上方平行移动时，经过M (20,24)时z 取最大值． ∴该企业生产A ，B 两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润．线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题．【训练4】[解析] 本题考查线性规划以及数形结合思想．设生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，则公司利润z ＝300x ＋400y ，x ，y 满足关系为⎩⎨⎧x ≥0y ≥0x ＋2y ≤122x ＋y ≤12，画出可行域如图阴影，由图可知z ＝100(3x ＋4y )，经过A 时取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝122x ＋y ＝12得A (4,4)，∴x ＝4，y ＝4时， z 取最大值100(3×4＋4×4)＝2 800(元).。
2019版优化探究理数练习：第六章 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题含解析
以命题 p1 为假命题，命题 p2 为真命题，命题 p3 为假命题，命题 p4 为真命题，故选 C.
答案：C 7．若实数 x，y 满足：|x|≤y≤1，则 x2＋y2＋2x 的最小值为( A. C. 1 2 2 2
解析：作出不等式|x|≤y≤1 表示的可行域，如图．
2 2
，则
) B．[12,25] D．[6， 25 ] 2
表示的平面区域如图中阴影部分所示． 又过点 M(－4,0)， N(0，
＝
24 ，所 5
1 以当 P 点在原点 O 处时，△PMN 的面积最小， 其面积为△OMN 的面积，此时 S△OMN＝ ×3×4 2
1 24 ＝6；当 P 点在线段 AB 上时，△PMN 的面积最大，为 × 32＋42× ＝12，故选 C. 2 5
答案：B 2．已知实数 x，y 满足不等式|x|＋|2y|≤4，记 Z＝x＋y，则 Z 的最小值为( A．－2 C．－4 B．－6 D．－8 )
解析：|x|＋|2y|≤4 表示的平面区域为如图所示的四边形 ABCD 内部及其边界，由图可知当直线 y ＝－x＋Z 经过点 C(－4,0)时，Z 取得最小值，所以 Zmin＝0＋(－4)＝－4.
∴z＝2|x－2|＋|y|＝－2x＋y＋4，当直线 y＝2x－4＋z 过点 A(2,4)时，直线在 y 轴上的截距最小，此 时 z 有最小值，∴zmin＝－2×2＋4＋4＝4，故选 C. 答案：C x≥0 5．(2018·兰州实战模拟)已知 M(－4,0)，N(0，－3)，P(x，y)的坐标 x，y 满足 y≥0 3x＋4y≤12 △PMN 面积的取值范围是( A．[12,24] C．[6,12] x≥0 解析： 作出不等式组 y≥0 3x＋4y≤12 －3)的直线的方程为 3x＋4y＋12＝0，而它与直线 3x＋4y＝12 平行，其距离 d＝ |12＋12| 3 ＋4
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题专项训练
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题专项训练一.选择题1．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 解析：根据题意知(－9＋2－a )(12＋12－a )<0， 即(a ＋7)(a －24)<0，∴－7<a <24. 答案：B2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的阴影区域是( )解析：(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.结合图形可知选C 。
答案：C3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0y ≥a0≤x ≤3表示的平面区域是一个三角形，则a 的范围是( )A ．a <5B ．a ≥8C ．5≤a ＜8D ．a ＜5或a ≥8解析：如图所示，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5＝0x ＝0的交点为(0,5)，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5＝0x ＝3的交点为(3,8)，∴5≤a ＜8。
答案：C4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．－2B ．4C ．6D ．8解析：在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当该直线经过该平面区域内的点(3,0)时，相应直线在x 轴上的截距最大，此时z ＝2x＋y 取得最大值，最大值是z ＝2x ＋y ＝2×3＋0＝6.答案：C5．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11，3解析：根据题意可知目标函数z ＝3x －4y 的最值一定在直线的交点处取得．三条直线的交点分别为A (0,2)，B (3,5)，C (5,3)， 代入目标函数可得z ＝3x －4y 的最大值为3，在C 点处取得；最小值为－11，在B 点处取得．答案：A6. 如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0x －2y ＋1≤0x ＋y －2≤0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值为( )A.5－1B.45－1 C ．22－1 D.2－1解析：选A.由图可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界，点P 到Q 的距离最小为到(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ|min ＝(0＋1)2＋(－2－0)2－1 ＝5－1，故选A.7.设x,y 满足241,22x y x y z x y x y +≥⎧⎪-≥-=+⎨⎪-≤⎩则（ ）（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值 （C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值 解析：画出可行域可知，当z x y =+过点（2，0）时，min 2z =，但无最大值。
2019届高考数学一轮复习第六篇不等式第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题训练理新人教版
第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题知识点、方法题号二元一次不等式(组)表示的平面区域1,5含参数的线性规划4,8,11目标函数的最值2,3,7,9,10,12,14线性规划的实际应用6,13基础巩固(时间:30分钟)1.不等式组所表示的平面区域为( B )解析:x≥0表示的是在y轴右侧的平面区域,x-y+1≥0表示的是直线x-y+1=0及其下方的平面区域,所以不等式组对应的公共区域为B.故选B.2.(2017·全国Ⅱ卷)设x,y满足约束条件则z=2x+y的最小值是( A )(A)-15 (B)-9 (C)1 (D)9解析:作出可行域如图所示.可知当目标函数线经过点B时,z=2x+y取得最小值,由可得B(-6,-3).所以z min=2×(-6)-3=-15.故选A.3.导学号 38486108(2017·广西模拟)设x,y满足约束条件,则的最大值为( A )(A) (B)2 (C) (D)0解析:由已知得到可行域如图,则表示区域内的点与原点连接的直线的斜率,所以与C连接的直线斜率最大,且C(2,3),所以的最大值为.故选A.4.(2017·西宁一模)已知实数x,y满足设m=x+y,若m的最大值为6,则m的最小值为( A )(A)-3 (B)-2 (C)-1 (D)0解析:由约束条件作出可行域如图,联立得A(k,k),联立得B(-2k,k),由图可知,使目标函数取得最大值的最优解为A,取得最小值的最优解为B,则k+k=6,即k=3,所以m min=-2×3+3=-3.故选A.5.(2017·阜阳二模)不等式|x|+|3y|-6≤0所对应的平面区域的面积为( B )(A)12 (B)24 (C)36 (D)48解析:由已知不等式得到|x|+|3y|-6≤0所对应的平面区域如图阴影部分面积为×12×4=24.故选B.6.(2017·河南模拟)某颜料公司生产A,B两种产品,其中每生产一吨A产品,需要甲染料1吨,乙染料4吨,丙染料2吨;每生产一吨B产品,需要甲染料1吨,乙染料0吨,丙染料5吨,且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨、200吨.如果A产品的利润为300元/吨,B产品的利润为200元/吨,则该颜料公司一天内可获得的最大利润为( A )(A)14 000元 (B)16 000元(C)18 000元 (D)20 000元解析:设生产A产品x吨,B产品y吨,则(x,y∈N)利润z=300x+200y,画出可行域如图所示,由图可知,目标函数在A点取得最优解,由可得x=40,y=10,即A(40,10),此时,z取得最大值为14 000元.故选A.7.若函数y=2x图象上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的最大值为( B )(A) (B)1 (C) (D)2解析:在同一直角坐标系中作出函数y=2x的图象及所表示的平面区域,如图阴影部分所示.由于方程组有唯一解(1,2),观察图可知,当m≤1时,函数y=2x的图象上存在点(x,y)满足约束条件,故m的最大值为1.故选B.8.(2017·湖南三模)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a= .解析:先根据约束条件画出可行域,如图所示,设z=2x+y,将最大值转化为y轴上的截距,当直线z=2x+y经过点B时,z最小,由得代入直线y=a(x-3)得,a=.答案:9.导学号 38486109(2017·临沂一模)已知正数x,y满足则z=4-x·()y的最小值为.解析:根据约束条件画出可行域如图所示,因为z=4-x·()y化成z=2-2x-y,直线z1=-2x-y过点A(1,2)时,z1最小值是-4,所以z=2-2x-y的最小值是2-4=.答案:能力提升(时间:15分钟)10.(2017·汉中二模)变量x,y满足条件则(x-2)2+y2的最小值为( C )(A)(B)(C)5 (D)解析:作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示,设z=(x-2)2+y2,则z的几何意义为区域内的点到定点D(2,0)的距离的平方,由图象知CD的距离最小,此时z最小.由得即C(0,1),此时z=(x-2)2+y2=4+1=5,故选C.11.设x,y满足约束条件,当且仅当x=y=4时,z=ax-y取得最小值,则实数a的取值范围是( B )(A)[-1,1] (B)(-∞,1)(C)(0,1) (D)(-∞,1)∪ (1,+∞)解析:作出约束条件所对应的可行域(如图阴影部分所示),变形目标函数可得y=ax-z,其中直线斜率为a,截距为-z,因为z=ax-y取得最小值的最优解仅为点A(4,4),所以直线的斜率a<1,即实数a的取值范围为(-∞,1),故选B.12.(2017·吉林二模)已知O是坐标原点,点A(-1,1).若点M(x,y)为平面区域上的一个动点,则·的取值范围是.解析:满足约束条件的平面区域如图所示,将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1,y=1时,·=-1×1+1×1=0,当x=1,y=2时,·=-1×1+1×2=1,当x=0,y=2时,·=-1×0+1×2=2,故·的取值范围为[0,2]答案:[0,2]13.(2017·上饶一模)甲、乙两企业根据赛事组委会要求为获奖者定做某工艺品作为奖品,其中一等奖奖品3件,二等奖奖品6件;制作一等奖、二等奖所用原料完全相同,但工艺不同,故价格有所差异.甲厂收费便宜,但原料有限,最多只能制作4件奖品,乙厂原料充足,但收费较贵,其具体收费如表所示,则组委会定做该工艺品的费用总和最低为元.奖品收费(元/件)工厂一等奖奖品二等奖奖品甲500 400乙800 600解析:设甲生产一等奖奖品x,二等奖奖品为y,x,y∈N,则乙生产一等奖奖品3-x,二等奖奖品为6-y,则满足设费用总和为z,则z=500x+400y+800(3-x)+600(6-y)=-300x-200y+6 000,作出不等式组对应的平面区域如图,平移z=-300x-200y+6 000,由图象知当直线经过点A时,直线截距最大,此时z最小,由解得A(3,1),组委会定做该工艺品的费用总和最低为z=-300×3-200+6 000=4 900.答案:4 90014.导学号 38486110变量x,y满足(1)设z=,求z的最小值;(2)设z=x2+y2+6x-4y+13,求z的取值范围.解:由约束条件作出可行域如图阴影部分所示.由解得A(1,).由解得C(1,1).由解得B(5,2).(1)因为z==.所以z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图形可知z min=k OB=.(2)z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2的几何意义是可行域上的点到点(-3,2)的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到(-3,2)的距离中,d min=1-(-3)=4,d max==8.故z的取值范围是[16,64].。
2019届高考语文(文)大一轮复习：第6章 第2节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题————————————————————————————————[考纲传真] 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．1．二元一次不等式(组)表示的平面区域2.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )(2)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )(3)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )(4)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( )[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．(教材改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )C [x －3y ＋6<0表示直线x －3y ＋6＝0左上方的平面区域，x －y ＋2≥0表示直线x －y ＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C.]3．(2016·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．32[不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12.当直线z ＝x ＋y 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时，z max ＝1＋12＝32.] 4．(2016·保定调研)在平面直角坐标系xOy 中，若点P(m,1)到直线4x －3y －1＝0的距离为4，且点P(m,1)在不等式2x ＋y≥3表示的平面区域内，则m ＝__________.6 [由题意得|4m －3－1|5＝4及2m ＋1≥3，解得m ＝6.]5．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y≤0，x －y －4≤0表示的平面区域的面积是__________. 【导学号：31222202】1 [不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，由x ＝1，x ＋y ＝0得A(1，－1)， 由x ＝1，x －y －4＝0得B(1，－3)， 由x ＋y ＝0，x －y －4＝0得C(2，－2)， ∴|AB|＝2，∴S △ABC ＝12×2×1＝1.](1)(2016·浙江高考)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.355 B. 2 C.322D. 5(2)(2016·衡水中学调研)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y≥a，0≤x≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )【导学号：31222203】A ．a<5B ．a≥7C ．5≤a<7D ．a<5或a≥7(1)B (2)C [(1)根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A 点和B 点时满足条件，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0求得A(1,2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0求得B(2,1)，可求得分别过A ，B 点且斜率为1的两条直线方程为x －y ＋1＝0和x －y －1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1|2＝2，故选B.(2)如图，当直线y ＝a 位于直线y ＝5和y ＝7之间(不含y ＝7)时满足条件，故选C.][规律方法] 1.可用“直线定界、特殊点定域”的方法判定二元一次不等式表示的平面区域，若直线不过原点，特殊点常选取原点．2．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，画出图形后，面积关系结合平面几何知识求解．[变式训练1] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为__________．4 [不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －2＝0，x ＋2y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－2，∴A(0,2)，B(2,0)，C(8，－2)．直线x ＋2y －4＝0与x 轴的交点D 的坐标为(4,0)． 因此S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×2×2＋12×2×2＝4.]☞角度1 求线性目标函数的最值(1)(2016·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．(2)(2017·福州质检)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤2，x≥12，y≥x，且数列4x ，z,2y 为等差数列，则实数z的最大值是__________．(1)－5 (2)3 [(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z.平移直线y ＝12x ，易知经过点A(3,4)时，z 有最小值，最小值为z ＝3－2×4＝－5.(2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，(1,1)为顶点的三角形区域(包含边界)，又由题意易得z ＝2x ＋y ，所以当目标函数z ＝2x ＋y 经过平面区域内的点(1,1)时，z ＝2x ＋y 取得最大值z max ＝2×1＋1＝3.]☞角度2 求非线性目标函数的最值(1)(2016·山东高考)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤2，2x －3y≤9，x≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12(2)(2017·湖北七市4月联考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥－1，y≥x，3x ＋5y≤8，则z ＝yx －2的取值范围是__________．(1)C (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 [(1)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A(3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.故选C.(2)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥－1，y≥x，3x ＋5y≤8所表示的区域，如图中△ABC 所表示的区域(含边界)，其中点A(1,1)，B(－1，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，115.z ＝y x －2表示△ABC 区域内的点与点M(2,0)的连线的斜率，显然k MA ≤z≤k MB ，即11－2≤z≤－1－1－2，化简得－1≤z≤13.]☞角度3 线性规划中的参数问题(2016·河北石家庄质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，y≥－1，4x ＋y≤9，x ＋y≤3，若目标函数z ＝y －mx(m>0)的最大值为1，则m 的值是( ) 【导学号：31222204】A ．－209B ．1C ．2D ．5B [作出可行域，如图所示的阴影部分．∵m>0，∴当z ＝y －mx 经过点A 时，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A(1,2)，∴2－m＝1，解得m ＝1.故选B.][规律方法] 1.求目标函数的最值的一般步骤为：一作图、二平移、三求值．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z ＝ax ＋by.求这类目标函数的最值时常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a)2＋(y －b)2. (3)斜率型：形如z ＝y －b x －a.易错警示：注意转化的等价性及几何意义.(2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．[解] (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y≤200，8x ＋5y≤360，3x ＋10y≤300，x≥0，y≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分.5分(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y.考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，它的图象是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线，z3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．根据x ，y 满足的约束条件，由图②可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大.7分解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)，所以z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.12分 [规律方法] 1.解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．2．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．[变式训练2] 某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12C ．17万元D ．18万元D [设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y≤12，x ＋2y≤8，x≥0，y≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A(2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.][思想与方法]1．确定二元一次不等式表示的平面区域的方法是“直线定界，特殊点定域”．(1)直线定界：即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域：当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．2．利用线性规划求最值的步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数求最值．[易错与防范]1．画平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，利用其几何意义，通过求y＝－abx＋zb的截距zb的最值间接求出z 的最值，要注意：当b>0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值．当b<0时，结论与b>0的情形恰好相反．课时分层训练(三十三)二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )【导学号：31222205】A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)B [根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0， 即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a<24.] 2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4所表示的平面区域的面积等于( )【导学号：31222206】A.32 B.23 C.43D.34C [平面区域如图中阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A(1,1)，易得B(0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43， |BC|＝4－43＝83，∴S △ABC ＝12×83×1＝43.]3．(2016·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y≤0，x ＋y≤3，x≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5C [根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到虚线处时，目标函数取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，可得A(1,2)，此时2x ＋y 取最大值为2×1＋2＝4.]4．(2017·广州综合测试(二))不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y≤0，x ＋y≥－2，x －2y≥－2的解集记为D ，若(a ，b)∈D ，则z ＝2a －3b 的最大值是( )A ．1B ．4C ．－1D ．－4A [由题意得a ，b 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧a －b≤0，a ＋b≥－2，a －2b≥－2，以a 为横轴，b 为纵轴建立平面直角坐标系，则不等式组表示的平面区域为以(－2,0)，(－1，－1)，(2,2)为顶点的三角形区域(包含边界)，由图易得当目标函数z ＝2a －3b 经过平面区域内的点(－1，－1)时，z ＝2a －3b 取得最大值z max ＝2×(－1)－3×(－1)＝1，故选A.]5．(2017·贵阳适应性考试(二))若函数y ＝kx 的图象上存在点(x ，y)满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x≥1，则实数k 的最大值为( )A ．1B ．2 C.32D.12B [约束条件对应的平面区域是以点(1,2)，(1，－1)和(3,0)为顶点的三角形，当直线y ＝kx 经过点(1,2)时，k 取得最大值2，故选B.]二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为__________．【导学号：31222207】4 [根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A(2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4.]7．(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13 [根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y)为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y)之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A(2,3)， 所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25，所以d 2的最小值为45，最大值为13，所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.]8．(2016·郑州第二次质量预测)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y≥0，x －y≥0，0≤x≤a，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为__________．10 [画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y ，得y ＝12x－b2.易知在点(a ，a)处b 取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.]三、解答题9．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P(－1，－1)，Q(2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围．【导学号：31222208】[解] 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，5分则点P ，Q 在同一区域内，于是⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m>0，2＋3m ＋m>0，或⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m<0，2＋3m ＋m<0，所以m 的取值范围是m<－12.12分10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －y≥－1，2x －y≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．[解] (1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0).2分平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A(3,4)取最小值－2， 过C(1,0)取最大值1， 所以z 的最大值为1， 最小值为－2.6分(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a<2.10分故所求a 的取值范围为(－4,2).12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2015·重庆高考)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43D ．3B [作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D 的坐标分别为A(2,0)，B(1－m,1＋m)，C ⎝⎛⎭⎪⎫2－4m 3，2＋2m 3，D(－2m,0)．S △ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD|·|y B －y C |＝12(2＋2m)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m －2＋2m 3＝(1＋m)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m －23＝43，解得m ＝1或m＝－3(舍去)．]2．(2017·东北三省三校二模)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y≤2，2x －y －3≤0，则目标函数z ＝yx的最大值为__________．1 [不等式组对应的可行域是以点(1,1)，(1，－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫53，13为顶点的三角形及其内部，z ＝y x 可看作可行域内的点与原点所连线的斜率，当目标函数z ＝yx经过点(1,1)时，z 取得最大值1.]3．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ [解] (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y)＝2x ＋3y ＋300.5分(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋－x －，100－x －y≥0，x≥0，y≥0，x ，y ∈N ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y≤200，x ＋y≤100，x≥0，y≥0，x ，y ∈N.8分目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.所以最优解为A(50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元.12分。
二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题练习附答案
1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24，7) B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：选B .根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0. 即(a ＋7)(a －24)<0， 解得－7<a <24.2．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －2≥0，则z ＝3x －y 的最小值为( )A ．－1 B.1 C ．3 D ．2解析：选C .如图，作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，显然目标函数z ＝3x －y 的几何意义是直线3x －y －z ＝0在y 轴上截距的相反数，故当直线在y 轴上截距取得最大值时，目标函数z 取得最小值．由图可知，目标函数对应直线经过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2＝0，2x －y －2＝0，解得A (1，0)． 故z 的最小值为3×1－0＝3. 故选C .3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为( )A ．(0，3] B.[－1，1] C ．(－∞，3]D ．[3，＋∞)解析：选D .直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1，2)时，k 最小，此时k CM ＝2－（－1）1－0＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞)．故选D .4．(2017·高考全国卷Ⅱ)设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15 B.－9 C ．1D ．9解析：选A .法一：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0对应的可行域，如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15，选择A .法二：易求可行域顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z 的值依次为1，－15，9，故最小值为－15.5．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，y ≥x ，x ＋y ≤2，(a <1)且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )A .211 B.14 C .12D ．34解析：选B .在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点B (1，1)时有最大值3，当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点A (a ，a )时有最小值3a ，由3＝4×3a ，得a ＝14.6．(2017·高考全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：3x －4y ＝0，平移直线l ，当直线z ＝3x －4y 经过点A (1，1)时，z 取得最小值，最小值为3－4＝－1.答案：－17．若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为________．解析：作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方， 由图知C 、D 间的距离最小，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)， 此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5. 答案：58．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，则目标函数z ＝y ＋2x －5的最大值为________．解析：作出约束条件所表示的平面区域，其中A (0，1)，B (1，0)，C (3，4)． 目标函数z ＝y ＋2x －5表示过点Q (5，－2)与点(x ，y )的直线的斜率，且点(x ，y )在△ABC 平面区域内．显然过B ，Q 两点的直线的斜率z 最大，最大值为0＋21－5＝－12.答案：－129.如图所示，已知D 是以点A (4，1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3，2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围． 解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0.原点(0，0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ]·[4×(－3)－3×2－a ]<0，即(14－a )(－18－a )<0， 解得－18<a <14.故a 的取值范围是(－18，14)． 10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)． 平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3，4)时z 取最小值－2，过C (1，0)时z 取最大值1. 所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4，2)．1．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0且z ＝3x －y 的最大值为2，则实数m 的值为( )A .13 B.23 C ．1D ．2解析：选D .由选项得m >0，作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0（m >0），3x －2y ＋2≥0表示的平面区域，如图中阴影部分．因为z ＝3x －y ，所以y ＝3x －z ，当直线y ＝3x －z 经过点A 时，直线在y 轴上的截距－z 最小，即目标函数取得最大值2.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋2＝0，3x －y ＝2，得A (2，4)，代入直线mx －y ＝0得2m －4＝0，所以m＝2.2．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤1，xy ≥0，则2x ＋y 的取值范围为________．解析：作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点(1，0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1，0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为[－2，2]．答案：[－2，2]3．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得点B 坐标为(7，9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.答案：214．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________．解析：法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0，2)，B (2，0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2.答案：－1或25．已知点A (53，5)，直线l ：x ＝my ＋n (n ＞0)过点A .若可行域⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n x －3y ≥0y ≥0的外接圆的直径为20，求n 的值．解：注意到直线l ′：x －3y ＝0也经过点A ，所以点A 为直线l 与l ′的交点． 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋nx －3y ≥0y ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示． 设直线l 的倾斜角为α，则∠ABO ＝π－α. 在△OAB 中，OA ＝（53）2＋52＝10.根据正弦定理，得10sin （π－α）＝20，解得α＝5π6或π6.当α＝5π6时，1m ＝tan 5π6，得m ＝－3.又直线l 过点A (53，5)，所以53＝－3×5＋n ， 解得n ＝103.当α＝π6时，同理可得m ＝3，n ＝0(舍去)．综上，n ＝103.6．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料A B C甲48 3乙5510现有A种原料200肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x＋5y≤200，8x＋5y≤360，3x＋10y≤300，x≥0，y≥0.设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－23x＋z3，这是斜率为－23，随z变化的一族平行直线.z3为直线在y轴上的截距，当z3取最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距z3最大，即z最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x＋5y＝200，3x＋10y＝300，得点M的坐标为(20，24)．所以z max＝2×20＋3×24＝112.即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．。
2019版同步优化探究理数(北师大版)练习第六章 第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 Word版
课时作业组——基础对点练．(·武汉市模拟)若实数，满足约束条件(\\(≥，≥，＋≤，))则＝－的最大值是( )．．．－．解析：不等式组(\\(≥，≥，＋≤))表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线－＝，平移该直线，当直线经过点()时，取得最大值，此时＝，故选.答案：．已知实数，满足不等式＋≤，记＝＋，则的最小值为( )．－．－．－．－解析：＋≤表示的平面区域为如图所示的四边形内部及其边界，由图可知当直线＝－＋经过点(－)时，取得最小值，所以＝＋(－)＝－.答案：．(·长沙市模拟)已知变量，满足(\\(－≤，－＋≥，≥，))则＝·的最大值是( )．．．．解析：＝·＝＋，求的最大值就是求＋的最大值，设＝＋，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线＋＝，平移该直线，当直线经过点()时，取得最大值，＝＋＝，则＝＝.答案：．已知实数，满足(\\(≥＋，＋≤，≥，))则＝－＋的最小值是( )．．．．解析：画出不等式组(\\(≥＋，＋≤，≥))表示的可行域，如图阴影部分，其中()，()，()，∴∈[]，∈[]．∴＝－＋＝－＋＋，当直线＝－＋过点()时，直线在轴上的截距最小，此时有最小值，∴＝－×＋＋＝，故选.答案：．(·兰州实战模拟)已知(－)，(，－)，(，)的坐标，满足(\\(≥≥＋≤))，则△面积的取值范围是( )．[]．[]．[，]．[] 解析：作出不等式组(\\(≥≥＋≤))表示的平面区域如图中阴影部分所示．又过点(－)，(，－)的直线的方程为＋＋＝，而它与直线＋＝平行，其距离＝＝，所以当点在原点处时，△的面积最小，其面积为△的面积，此时＝××＝；当点在线△段上时，△的面积最大，为××＝，故选.答案：．(·太原市模。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∴z＝2|x－2|＋|y|＝－2x＋y＋4，当直线 y＝2x－4＋z 过点 A(2,4)时，直线在 y 轴上的截距最小， 此时 z 有最小值，∴zmin＝－2×2＋4＋4＝4，故选 C. 答案：C x≥0 5．(2018·兰州实战模拟)已知 M(－4,0)，N(0，－3)，P(x，y)的坐标 x，y 满足 y≥0 3x＋4y≤12 则△PMN 面积的取值范围是( A．[12,24] C．[6,12] x≥0 解析：作出不等式组 y≥0 3x＋4y≤12 N(0，－3)的直线的方程为 3x＋4y＋12＝0，而它与直线 3x＋4y＝12 平行，其距离 d＝ |12＋12| 32＋42 ＝ 表示的平面区域如图中阴影部分所示．又过点 M(－4,0)， ) B．[12,25值－2，所以 m∈[－2,4]，所以 z 的最大值是 4，故选 B. 答案：B 10． (2018·武昌区调研)设 x， y 满足约束条件 A．－5 C．－5 或 3 x＋y≥a x－y≤－1 B．3 D．5 或－3 ， 且 z＝x＋ay 的最小值为 7， 则 a＝( )
课时作业 A 组——基础对点练 x≥0， 1．(2018·武汉市模拟)若实数 x，y 满足约束条件 y≥0， 2x＋y≤2， A．2 C ．0 x≥0， 解析：不等式组 y≥0， 2x＋y≤2 该直线，当直线经过点 A(1,0)时，z 取得最大值，此时 zmax＝1，故选 B. 表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线 x－2y＝0，平移 B．1 D．－4 则 z＝x－2y 的最大值是( )
24 ，所以当 P 点在原点 O 处时，△PMN 的面积最小， 其面积为△OMN 的面积，此时 S△OMN＝ 5
1 1 24 ×3×4＝6；当 P 点在线段 AB 上时，△PMN 的面积最大，为 × 32＋42× ＝12，故选 C. 2 2 5
答案：C x＋y－2≤0 6．(2018·太原市模拟)已知 D＝{(x，y)| x－y＋2≤0 3x－y＋6≥0 ∈D，x＋y＋1≥0；p2：任意(x，y)∈D,2x－y＋2≤0；p3：存在(x，y)∈D， 在(x，y)∈D，x2＋y2≤2.其中真命题的是( A．p1，p2 C．p2，p4 x＋y－2≤0 解析：因为 D＝{(x，y)| x－y＋2≤0 3x－y＋6≥0 的最小值为－2，z2＝2x－y 的最大值为－2，z3＝ y＋1 的最小值为－3，z4＝x2＋y2 的最小值为 2， x－1 }表示的平面区域如图中阴影部分所示，所以 z1＝x＋y ) B．p2，p3 D．p3，p4 y＋1 ≤－4；p4：存 x－1 ，给出下列四个命题：p1：任意(x，y)
x2＋y2＋2x＝(x＋1)2＋y2－1，(x＋1)2＋y2 表示可行域内的点(x，y)到点(－1,0)距离的平方，由图 2 1 1 1 可知，(x＋1)2＋y2 的最小值为 2 2＝ ，所以 x2＋y2＋2x 的最小值为 －1＝－ .选 B. 2 2 2 答案：B x＋y－2≤0 8．(2018·洛阳市统考)已知实数 x，y 满足条件 x－2y－2≤0 2x－y＋2≥0 最优解有且只有一个，则实数 a 的取值集合为( A．{2，－1} C．{a∈R|a≠－1} ) ，若 z＝y－ax 取得最大值时的
答案：D y≤2x＋2 9．(2018·沈阳质量监测)实数 x，y 满足 x＋y－2≥0， x≤2 ( A．2 C ．6 B．4 D．8 y 为直线 l： C(2,0) 处 ) 则 z＝|x－y|的最大值是
解析：依题意画出可行域如图中阴影部分所示，令 m＝y－x，则 m ＝x＋m 在 y 轴上的截距，由图知在点 A(2,6)处 m 取最大值 4，在
答案：B 2．已知实数 x，y 满足不等式|x|＋|2y|≤4，记 Z＝x＋y，则 Z 的最小值为( A．－2 C．－4 B．－6 D．－8 )
解析：|x|＋|2y|≤4 表示的平面区域为如图所示的四边形 ABCD 内部及其边界，由图可知当直线 y＝－x＋Z 经过点 C(－4,0)时，Z 取得最小值，所以 Zmin＝0＋(－4)＝－4.
B．{a∈R|a≠2} D．{a∈R|a≠2 且 a≠－1}
解析：不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．由 z＝－ax＋y 得 y＝ax＋z，若 a＝0，直 线 y＝ax＋z＝z，此时最大的最优解只有一个，满足条件．若 a>0，则直线 y＝ax＋z 的纵截距最 大时，z 取得最大值，若 z＝y－ax 取得最大值时的最优解有且只有一个，则 a≠2.若 a<0，则直 z 取得最大值， 线 y＝ax＋z 的纵截距最大时， 若 z＝y－ax 取得最大值时的最优解有且只有一个， 则 a≠－1.选 D.
答案：C 2x－y≤0， 3．(2018·长沙市模拟)已知变量 x，y 满足 x－2y＋3≥0， x≥0， A．33 C．35 B．32 D．34 值，设 t＝3x＋ 则 z＝8x·2y 的最大值是( )
解析：z＝8x·2y＝23x＋y，求 z 的最大值就是求 3x＋y 的最大
y，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线 3x＋y＝0，平移该直线，当直线经 过点 B(1,2)时，t 取得最大值，tmax＝3＋2＝5，则 zmax＝25＝32. 答案：B y≥x＋2， 4．已知实数 x，y 满足 x＋y≤6， x≥1， A．6 C ．4 y≥x＋2， 解析：画出不等式组 x＋y≤6， x≥1 ∴x∈[1,2]，y∈[3,5]． 表示的可行域，如图阴影部分，其中 A(2,4)，B(1,5)，C(1,3)， B．5 D．3 则 z＝2|x－2|＋|y|的最小值是( )
所以命题 p1 为假命题，命题 p2 为真命题，命题 p3 为假命题，命题 p4 为真命题，故选 C.
答案：C 7．若实数 x，y 满足：|x|≤y≤1，则 x2＋y2＋2x 的最小值为( A. C. 1 2 2 2 B．－ D. 1 2 )
2 －1 2
解析：作出不等式|x|≤y≤1 表示的可行域，如图．