教学设计：二元一次不等式
数学教案：二元一次不等式的求解
数学教案：二元一次不等式的求解一、二元一次不等式的基本知识概述二元一次不等式是数学中常见的不等式形式之一，它包含两个未知数，且每个未知数的最高次数为1。
解二元一次不等式的过程需要运用相应的数学方法和原理，以求解出不等式的取值范围。
本文将为你详细介绍二元一次不等式的求解步骤和相关技巧。
二、二元一次不等式求解的基本步骤要求解二元一次不等式，首先必须明确的是，不等式中的每个式子都必须处于同一个基变量之下，即两个式子的变量必须相同。
基变量的选择将决定求解过程的便利性和结果的准确性。
1. 确定基变量在解二元一次不等式之前，需要观察不等式中的各个式子，并选择一个基变量。
基变量的原则是，如果某个变量在不等式中的系数较小或者某个变量带有系数为1的项，那么就可以将该变量作为基变量。
2. 分步讨论不等式的各种情况选定了基变量后，可以将不等式分为几种不同的情况进行讨论，这样可以更加方便地进行求解。
例如，可以通过基变量的正负情况来划分不等式成立的范围。
3. 求解不等式的取值范围对于每一种情况，可以使用数学方法来解二元一次不等式。
首先，需要将不等式转化为标准形式，即表达式中的项按照从大到小的顺序排列。
然后，根据不等式符号的性质，可以将不等式拆分成若干个简单的代数不等式，从而得出不等式的解。
三、二元一次不等式求解的技巧和注意事项在解二元一次不等式的过程中，掌握一些技巧和注意事项将有助于提高求解的效率和准确性。
1. 注意变量之间的关系二元一次不等式中的两个变量通常存在一定的关系，例如，一般情况下，两个变量的系数之间可能存在等比关系，或者它们的和与差等于某个常数，这些关系可以帮助我们更好地求解不等式。
2. 利用代数等价性质化简不等式在不等式求解的过程中，可以利用代数等价性质将不等式化简为形式更简单的等价不等式。
这样可以使求解过程更加简便，同时还能保持不等式解的准确性。
3. 绘制数轴和图形直观表示不等式的解集对于某些复杂的二元一次不等式，可以通过绘制数轴图或者图形来直观地表示不等式的解集。
渗透化归,数形结合,落实数学抽象核心素养——“二元一次不等式(组
TIANJIN EDUCATION在普通高中数学课程标准修订（2017版）中指出：数学抽象是通过数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。
本文主要从“二元一次不等式（组）与平面区域”这节课的教学设计上，阐述如何让学生通过数量关系与空间形式的抽象，提升他们的数学抽象核心素养。
“二元一次不等式（组）与平面区域”是人教A 版《普通高中课程标准实验教科书•数学5（必修）》第三章不等式的第3节二元一次不等式（组）与简单线性规划问题，第1课时内容，其相关概念是将一元一次不等式抽象出几何背景，再以几何直观推理的方法解决二元一次不等式的解集问题，它是线性规划问题的基础和前提，为后面寻求线性规划“最优解”奠定了基础。
一、教学设计及课堂实录（一）创设情景，引入新知数学源于生活又服务于生活，让学生从生活中的具体实例入手，由文字语言转化到符号语言，建立起二元一次不等式的概念，使学生经历、体验从实际问题中得到二元一次不等式（组）这一数学模型的抽象过程，让学生从已知到对未知的冲突，从而引出本节课要研究的对象。
例：某高中食堂主要以面食和米食为主，面食和米食中的蛋白质和淀粉含量如下表所示。
学校要求食堂给学生配置成盒饭，每盒至少有8个单位的蛋白质和12个单位的淀粉，请问食堂应该如何调配面食和米食分量呢？设每份盒饭中面食为x 百克，米食为y 百克。
学生：ìíîïïïï6x +2y ≥84x +8y ≥12x ≥0y ≥0=ìíîïïïï3x +y ≥4x +2y ≥3x ≥0y ≥0（得出二元一次不等式（组）的概念）教师：如何求二元一次不等式（组）的解（集）？如果将有序实数对看做点坐标，那么二元一次不等式（组）的解（集）又表示什么图形？（二）类比旧知，由数抽象出形二元一次不等式表示什么样的平面区域？这是一个比较抽象的问题，学生需要通过已经学习过的、熟悉的知识进行类比、对接。
二元一次不等式
二元一次不等式二元一次不等式是数学中常见的一种形式，它可以表示两个变量之间的大小关系。
在本文中，我们将从不等式的定义、解法和应用三个方面深入探讨二元一次不等式。
1. 不等式的定义不等式是用不等号（<，>，≤，≥）表示的数学关系式。
二元一次不等式是指由两个变量和两个常数构成的一次不等式。
一般形式为：ax + by > c（或<、≤、≥）。
2. 二元一次不等式的解法解二元一次不等式的方法与解线性方程组类似，可以通过图像法、代入法和消元法等多种方法来求解。
2.1 图像法我们可以将二元一次不等式绘制成直线，并根据不等号所表示的方向来确定不等式的解集。
例如，对于不等式2x + 3y > 6，我们可以绘制直线2x + 3y = 6，并确定不等式的解集在直线的上方。
2.2 代入法代入法可以将一个变量表示成另一个变量的函数，然后代入给定的不等式中进行求解。
例如，对于不等式2x + 3y > 6，我们可以将y表示成关于x的表达式，然后代入不等式中进行求解。
2.3 消元法消元法可以通过对不等式进行变形，将变量消去从而得到简化的不等式。
例如，对于不等式2x + 3y > 6，我们可以通过减去2x并除以3来消去x，从而得到y > (6-2x)/3。
3. 二元一次不等式的应用二元一次不等式在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的例子：3.1 生产与销售假设某公司生产两种产品，设第一种产品的销售量为x，第二种产品的销售量为y。
如果第一种产品的售价为p1，第二种产品的售价为p2，并且总收入需要满足一定条件，我们可以得到一个二元一次不等式来确定销售量的范围。
3.2 面积与周长在一个矩形的问题中，设矩形的长为x，宽为y。
如果要求矩形的面积大于某个值，或者周长小于某个值，就可以得到一个二元一次不等式来确定长和宽的取值范围。
3.3 成本与收入在一个企业的成本与收入的问题中，设成本为C，收入为R，成本与收入之间的关系可以表示为一个二元一次不等式。
初中数学初一数学下册《不等式及其基本性质》教案、教学设计
（二）过程与方法
在教学过程中，注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，采用以下方法：
1.通过引入实际生活中的例子，激发学生对不等式的兴趣，引导学生发现不等式在生活中的广泛应用。
2.采用启发式教学，鼓励学生主动探究不等式的基本性质，培养学生的自主学习能力。
教师提问：“同学们，你们知道什么是比较吗？在生活中，我们经常会比较一些事物的大小，比如身高、体重等。今天，我们就来学习一种新的数学表达方式，用来表示两个数的大小关系。”
2.学生分享：请学生举例说明生活中遇到的大小比较情况，让学生感受到数学与生活的联系。
3.引入概念：教师通过学生分享的例子，引出不等式的定义，并用数学符号表示。
初中数学初一数学下册《不等式及其基本性质》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解不等式的定义，理解不等式两边的关系，能够正确书写和识别常见的不等式。
2.熟练掌握不等式的基本性质，如加法、减法、乘法、除法的性质，并能够运用这些性质进行不等式的化简和求解。
3.学会使用数轴和区间表示不等式的解集，掌握求解一元一次不等式的方法，并能够解决实际问题。
难点：运用不等式的基本性质进行复杂不等式的化简和求解，以及在实际问题中灵活运用不等式知识。
2.重点：培养学生利用数轴和区间表示不等式解集的能力，提高学生的直观想象力和逻辑思维能力。
难点：让学生理解并掌握不等式解集的求解方法，特别是在处理多重不等式和区间交、并问题时。
（二Байду номын сангаас教学设想
1.创设情境，导入新课
1.学生在不等式的理解上可能存在一定难度，需要通过具体实例和生活情境，帮助学生建立起不等式的直观感知。
二元一次不等式和它的解法板书设计
一元二次方程的根与系数的关系一、教学目标1．掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数；2．通过根与系数的教学，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；3．通过本节课的教学，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。
教学重点和难点：二、重点·难点·疑点及解决办法1．教学重点：根与系数的关系及其推导。
2．教学难点：正确理解根与系数的关系。
3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。
4．解决办法；在实数范围内运用韦达定理，必须注意这个前提条件，而应用判别式的前提条件是方程必须是一元二次方程，即二次项系数，因此，解题时，要根据题目分析题中有没有隐含条件和。
三、教学步骤（一）教学过程1．复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。
（2）解方程①，②。
观察、思考两根和、两根积与系数的关系。
在教师的引导和点拨下，由沉重得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系。
设是方程的两个根。
∴∴以上一名学生板书，其他学生在练习本上推导。
由此得出，一元二次方程的根与系数的关系。
（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）结论1．如果的两个根是，那么。
如果把方程变形为。
我们就可把它写成。
的形式，其中。
从而得出：结论2．如果方程的两个根是，那么。
结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便。
练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系。
3．一元二次方程根与系数关系的应用。
（1）验根。
（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根。
①；②；③；④；⑤。
验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成一般形式，（2）不要漏除二次项系数，（3）还要注意中的负号。
方程和不等式概念教学设计
方程和不等式概念教学设计引言方程和不等式是数学中重要的概念，对于学生在解决实际问题时起着关键的作用。
本文将介绍一个针对方程和不等式概念的教学设计，旨在帮助学生理解和掌握这两个概念，并能运用它们解决实际问题。
一、教学目标1. 理解方程和不等式的定义和基本概念；2. 掌握求解简单方程和不等式的方法；3. 能够将实际问题转化为方程或不等式，并解决问题；4. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
二、教学内容和方法1. 方程和不等式的概念介绍教师通过板书或幻灯片展示方程和不等式的定义，并举一些简单的实例进行说明。
通过比较和讨论，引出方程和不等式的关系和区别，强调方程和不等式在数学和实际问题中的重要性。
2. 方程的求解方法2.1 一元一次方程的求解教师通过讲解和示范，介绍一元一次方程的基础解法，包括移项、合并同类项、系数相消等。
然后，通过练习题目，让学生灵活运用这些解法，加深对方程解的理解和掌握。
2.2 二元一次方程的求解教师也可以在一元一次方程的基础上，引出二元一次方程的求解。
通过示例和讲解，教师介绍联立方程的概念和解法，包括代入法、消元法、等价转化等。
通过练习题目，培养学生解决二元一次方程问题的能力。
3. 不等式的求解方法3.1 一元一次不等式的求解教师通过讲解和示范，介绍一元一次不等式的基础解法，包括移项、变号、终值法等。
然后，通过练习题目，让学生掌握这些解法，能够准确地求解一元一次不等式。
3.2 二元一次不等式的求解教师也可以在一元一次不等式的基础上，引出二元一次不等式的求解。
通过示例和讲解，教师介绍联立不等式的概念和解法，包括图像法、代入法等。
通过练习题目，培养学生解决二元一次不等式问题的能力。
4. 实际问题的建模和解决通过教师提供一些实际问题，引导学生将问题转化为方程或不等式，并运用所学的求解方法，解决问题。
教师可以根据学生的不同能力，提供不同难度和类型的问题，让学生进行思考和讨论，培养他们的问题解决能力。
二元一次不等式解法步骤
二元一次不等式解法步骤
二元一次不等式是形如ax + by ≥ c的不等式，其中a、b、c
为已知实数且a、b不同时为0。
解一元不等式步骤如下：
1. 将不等式化为标准形式：将不等式的两边移项，使得不等号
的一边为0，得到ax + by - c ≥ 0。
2. 计算直线斜率：求出不等式左侧直线的斜率，通过将不等式
转换为等式，得到y = -(a/b)x + c/b的形式。
斜率为-(a/b)。
若
a/b > 0，则直线下降；若a/b < 0，则直线上升。
3. 确定直线方向：根据斜率的正负确定不等式的区域方向，例
如当a/b > 0时，直线下降，则该直线以下的区域满足不等式。
4. 绘制直线：找到y截距，绘制直线。
可以取两个点，计算x
和y的值，然后在坐标系中连接这两个点。
5. 判断解集：根据不等式的符号关系确定解集。
若不等式为≥或>，则解集为直线以下（或不包括直线）的区域，并包括直线上的点；若不等式为≤或<，则解集为直线以上（或不包括直线）的区域，并包
括直线上的点。
6. 检验解集：将解集中的某个点代入原不等式进行检验，若不
等式成立，则该点是解集的一部分；若不等式不成立，则该点不是解
集的一部分。
注：解二元一次不等式与解一元不等式的步骤类似，但需要特别
注意解集的表示形式，通常为平面中的区域表示。
初一解二元一次不等式的过程示范
初一解二元一次不等式的过程示范一、引言在初中数学学习中，我们经常会遇到解二元一次不等式的问题。
解二元一次不等式是指同时含有两个变量的一次不等式，其中每个变量的指数均为1。
本文将以初一解二元一次不等式的过程示范为主题，详细介绍解题的步骤和方法。
二、解题步骤解二元一次不等式的一般步骤如下：1. 将不等式中的两个变量分别看作是两个未知数，并用字母表示。
通常我们用x表示第一个变量，用y表示第二个变量。
2. 将不等式中的常数项移项，使不等式的右侧为0。
3. 将不等式中的所有项合并，整理成一般的二次不等式形式，即ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0。
4. 利用二次函数图像的性质，求出二次函数的零点，即方程ax²+bx+c=0的解。
5. 根据二次函数图像的凹凸性质，确定二次函数的正值区间或负值区间。
6. 根据解的范围，得出不等式的解集。
三、示例题目下面我们通过一个示例题目来演示解二元一次不等式的过程。
题目：解不等式组x+y>3，2x-y<4。
解题步骤如下：1. 将不等式中的两个变量分别看作是两个未知数，并用字母表示。
我们用x表示第一个变量，用y表示第二个变量。
2. 将不等式中的常数项移项，使不等式的右侧为0。
将原不等式组化简为x+y-3>0，2x-y-4<0。
3. 将不等式中的所有项合并，整理成一般的二次不等式形式。
将原不等式组化简为x+y-3>0，2x-y-4<0。
4. 求出二次函数的零点，即方程ax²+bx+c=0的解。
对于x+y-3>0，我们可以将它转化为x+y-3=0，得到y=-x+3。
对于2x-y-4<0，我们可以将它转化为2x-y-4=0，得到y=2x-4。
因此，我们可以得到两个直线y=-x+3和y=2x-4。
5. 确定二次函数的正值区间或负值区间。
我们可以用图像法来确定正值或负值的区间。
通过绘制两个直线的图像，我们可以发现正值区间为y>-x+3，负值区间为y<2x-4。
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《二元一次不等式（组）与平面区域》教学设计 教学目标：1. 理解“同侧同号”并掌握不等式区域的判断方法
2. 能作出二元一次不等式（组）表示的平面区域
教学重点：二元一次不等式（组）表示的平面区域
教学难点：一次不等式（组）表示的平面区域
教学方法：引导、探究、归纳
教学过程：
一、 预备知识
回顾：一次函数的图象是什么？画出函数的x y -=8图象。
学生：利用特殊点（0,8），（8,0）两点确定一条直线画出图象。
引导：为了更快找到特殊点，函数x y -=8可变形为方程08=-+y x 疑问：直线上的点都满足方程08=-+y x ？
满足方程的点),(y x 都在这条直线上？
归纳：方程08=-+y x 表示一条直线，直线把平面分为了三个部分。
满足方程的点都在直线上，满足不等于0的点在直线以外，即是在直线两边的区域。
追问：方程0123=+-y x 在直角坐标系中表示什么？
方程020=-+y x 在直角坐标系中表示什么？
方程02=-x 在直角坐标系中表示什么？
这四个例子有什么共同特点？
[归纳结论]：二元一次方程)0,(0不同时等于B A C By Ax =++在直角坐标系中表示一条直线。
二、建立模型
问题：为了按期完成“鸟巢”工程的建设，根据发改委要求，工程每天至少需要浇铸60根钢柱。
已知负责生产的首钢、鞍钢分别只有4个和6个车间有能力浇铸此型钢柱，但其中至多只有8个车间可同时投入生产。
首钢和鞍钢每个车间每天分别能完成10根和8根钢柱的浇铸。
问两厂每天最多能浇铸多少钢柱？最少需要多少个车间？
学生：按照缺少了“至多、至少”四个字的题意列出关系式（找一个学生在黑板上写出来）
解：设首钢有x 个车间投入生产，鞍钢有y 个车间投入生产，根据题意， ⎩⎨⎧=+=+60
8108y x y x
[师生共同分析] 代数意义：满足等式的x 和y 构成有序实数对),(y x 就是方
程组的解。
有序实数对),(y x 的几何意义：两条直线的交点。
学生：再按照原题意列出关系式。
),(6
04
0608108N y x y x y x y x ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+≤+ [得出课题]: 二元一次不等式（组）
[疑问]：二元一次不等式（组）的解集是什么？
引导：刚才我们知道08=-+y x 表示直线，直线上的点也都满足08=-+y x ，满足08≠-+y x 呢？仍然是一些点，这些点在哪里呢？
[演示]: 几何画板展示直线08=-+y x 把直角坐标平面系分为三部分。
三、探究二元一次不等式表示的平面区域
问题：满足二元一次不等式08>-+y x 的点在右上区域？左下区域？还是两侧都有？
围绕这个问题，师生开展如下活动
学生活动1： 由数到形
[尝试一] 设点),(1y x A 是直线08=-+y x 上的点，选取点),(2y x P 使它的坐标满足08>-+y x ，填写下表：
[尝试二] 学生再给出几个满足不等式08>-+y x 点，几何画板展示
还是在直线08=-+y x 的右侧。
[猜想] 满足不等式08>-+y x 的点都在直线08=-+y x 的右侧。
追问：满足不等式08<-+y x 的点呢？ 08≤-+y x 呢？
[疑问]: 这是我们猜想出来的，一定正确吗？反过来，右侧的点都满足08>-+y x ？会不会在右侧存在一些点使得08≤-+y x 吗？
活动二：由形到数
[演示] 借几何画板在直线08=-+y x 的一侧任意取一点),(y x P 的坐标进行跟踪显示，并将点),(y x A 的坐标代入8-+y x 中计算，观察所得值的符号，并归纳发现在直线08=-+y x 的同一侧的点都满足不等式)0(08<>-+或y x 。
使二元一次不等式的解与平面区域的对应关系的理论体系更加完备。
[共同证明] 如何完成从特殊到一般的证明？分析：在直线08=-+y x 的右上方任取一点),(P P y x P ,为了与直线08=-+y x 上的点),(A A y x A 发生联系，不妨过P 点作与x 轴垂直的直线交直线08=-+y x 于点。
则有A P A P y y x x >=,，所以088=-+>-+A A P P y x y x 。
所以对于在直线08=-+y x 右侧的任一点),(y x P 都有 08>-+y x 。
同理可证，在直线08=-+y x 的左下方任一点都能使08<-+y x 成立。
[师生归纳]直线0=++c By Ax 同一侧的所有点),(y x ，把它的坐标),(y x 代入C By Ax ++，所得到实数的符号都相同（要么都大于0要么都小于0），即是“同侧同号”。
那么，在平面直角坐标系中，不等式)0(0<>++或c By Ax 表示直线0=++c By Ax 某一侧所有点组成的平面区域，0=++c By Ax 表示直线上的点，)0(0≤≥++或c By Ax 表示某一侧及其边界。
提醒注意：我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．
追问：如何判断是哪一侧呢？
四、例题和练习
例 例1．画出不等式 062>+-y x 表示的平面区域。
（将具体的知识形成方法和技能，讨论定域方法和画图的注意事项。
） 总结：① 先画出直线；② 取特殊点判断符号，确定区域。
练习（一）画出以下不等式表示的平面区域
① 012810<-+y x ② y x 2<
总结：直线过不过原点，取原点判断区域；直线过原点，取其他点判断区域。
练习（二）画出以下不等式组表示得平面区域
⎩⎨⎧<<-+y
x y x 2060810 例2. 绘制由“鸟巢”问题得出的不等式组表示的区域并解答。
问题解答如图：有六种投入的生产方案，它们分别是（2，5），（2，6），（3，4），（3，5）（4，3），（4，4）计算可得，最多可浇铸72根钢柱，最少要用7个车间。
五、小结
（1）如何作出一元二次不等式（组）表示平面区域？
（2）本节课渗透了什么样的数学思想方法？
小结内容：认识了二元一次不等式（组）与其平面区域的对应关系，体会到了数形结合思想的应用。
六、布置作业：
1.课本P106习题3.3A 组1、2，B 组1。
2.拓展与提高：B 组2
教学反思：在先讲《必修5》后讲《必修2》的情况下，学生要理解二元一次不等式（组）表示平面区域，应先补充: 二元一次方程)0,(0不同时等于B A C By Ax =++表示直线，于是本节课要保证教学的完整性时间非常紧张。