小学奥数全国推荐四年级奥数通用学案附带练习题解析答案46抽屉原理(二)

年级四年级学科奥数版本通用版
课程标题抽屉原理（二）
这一讲我们学习抽屉原理的另一种情况。

先看一个例子：如果将13只鸽子放进6只鸽笼里，那么至少有一只笼子要放3只或更多的鸽子。

道理很简单，如果每只鸽笼里只放2只鸽子，6只鸽笼共放12只鸽子，剩下的一只鸽子无论放入哪只鸽笼里，总有一只鸽笼放了3只鸽子。

这个例子所体现的数学思想，就是下面的抽屉原理2。

抽屉原理2：将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m＋1。

假定这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到（m＋1）件，即每个抽屉里的物品都不多于m件，这样n个抽屉中可放物品的总数就不会超过m×n件，这与多于m×n件物品的假设相矛盾。

这说明一开始的假定不能成立，所以至少有一个抽屉中物品的件数不少于（m ＋1）件。

“抽屉原理1”和“抽屉原理2”的区别是：“抽屉原理1”物体多，抽屉少，数量比较接近；“抽屉原理2”虽然也是物体多，抽屉少，但是数量相差较大，物体个数比抽屉个数的几倍还多几。

不是每一个类似问题的“抽屉”都很明显，有时候“抽屉”需要我们来构造，这个“抽屉”可以是日期、扑克牌、考试分数、年龄、书架等变化的量。

例1有40名小朋友，现有各种玩具122件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具？
分析与解：将40名小朋友看成40个抽屉。

有玩具122件，而122＝3×40＋2，应用抽屉原理2，取n＝40，m＝3，立即知道至少有一个抽屉中放有4件或4件以上的玩具，也就是说，至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具。

例2 布袋里有4种不同颜色的球，每种都有10个。

最少取出多少个球，才能保证其中一定有3个球的颜色一样？
分析与解：把4种不同颜色看做4个抽屉，把布袋中的球看做元素。

根据抽屉原理2，要使其中一个抽屉里有3个颜色一样的球，那么放入的球的个数最少应比抽屉个数的2倍多1，即最少取出（3－1）×4＋1＝9（个）球。

例3 有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。

已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间。

问：至少有几名学生的成绩相同？
分析与解：关键是构造合适的“抽屉”。

既然是问“至少有几名学生的成绩相同”，说明应以成绩为抽屉，学生为物品。

除3名成绩在60分以下的学生外，其余学生的成绩均在75～95分之间，而75～95分中共有21个不同的分数，将这21个分数作为21个抽屉，把47－3＝44（个）学生作为物品。

则有44÷21＝2……2，根据抽屉原理2，至少有1个抽屉中至少有3件物品，即这47名学生中至少有3名学生的成绩是相同的。

例4学校开办了语文、数学、美术三个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（也可以不参加）。

问：至少有多少名学生，才能保证有不少于5名学生参加学习班的情况完全相同？
分析与解：首先要弄清参加学习班有多少种不同的情况：不参加学习班有1种情况，只参加一个学习班有3种情况，参加两个学习班有语文和数学、语文和美术、数学和美术3种情况。

共有1＋3＋3＝7（种）情况。

将这7种情况作为7个“抽屉”，根据抽屉原理2，要保证有不少于5名学生参加学习班的情况完全相同，那么至少有学生7×（5－1）＋1＝29（名）。

例5夏令营组织2000名营员活动，其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项目。

规定每人必须参加一项或两项活动。

那么至少有几名营员参加的活动项目完全相同？
分析与解：本题的抽屉不是那么明显，因为问的是“至少有几名营员参加的活动项目完全相同”，所以应该把活动项目当成抽屉，营员当成物品。

营员数已经有了，现在的问题是应当搞清有多少个抽屉。

因为“每人必须参加一项或两项活动”，共有3项活动，所以只参加一项活动的情况有3种，参加两项活动的有爬山与参观、爬山与海滩游玩、参观与海滩游玩3种情况，所以共有3＋3＝6（个）抽屉。

则有2000÷6＝333……2，根据抽屉原理2，至少有一个抽屉中有333＋1＝334（件）物品，即至少有334名营员参加的活动项目是完全相同的。

（答题时间：30分钟）
1. 五名同学在一起练习投篮，共投进了41个球，那么至少有一个人投进了几个球？
2. 有100名学生，他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、两种或三种。

问：至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？
3. 篮子里有苹果、梨、桃和橘子，现有81个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的？
4. 放体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球，有66名同学来仓库拿球，要求每人至
少拿1个球，至多拿2个球。

问：至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的？
5. ①求证：任意25个人中，至少有3个人的属相相同。

②要想保证至少有5个人的属相相同，但不能保证有6个人的属相相同，那么人的总数应在什么范围内？
1. 解：将5个同学投进的球数作为抽屉，将41个球放入抽屉中，41＝5×8＋1，所以至少有一个抽屉中放了9个球，即至少有一个人投进了9个球。

2. 解：首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。

订一种杂志有：订甲、订乙、订丙3种情况；
订两种杂志有：订甲乙、订乙丙、订丙甲3种情况；
订三种杂志有：订甲乙丙1种情况。

总共有3＋3＋1＝7（种）订阅方法。

我们将这7种订法看成是7个“抽屉”，把100名学生看作100件物品。

因为100＝14×7＋2。

根据抽屉原理2，至少有14＋1＝15（名）学生所订阅的杂志种类是相同的。

3. 解：首先应弄清不同的水果搭配有多少种。

两个水果是相同的有4种，两个水果不同的有6种：苹果和梨、苹果和桃、苹果和橘子、梨和桃、梨和橘子、桃和橘子，所以不同的水果搭配共有4＋6＝10（种）。

将这10种搭配作为10个“抽屉”，因为81＝8×10＋1，根据抽屉原理2，至少有8＋1＝9（个）小朋友拿的水果是相同的。

4. 解：拿球的配组方式有以下9种：｛足｝，｛排｝，｛篮｝，｛足，足｝，｛排，排｝，｛篮，篮｝，｛足，排｝，｛足，篮｝，｛排，篮｝。

把这9种配组方式看作9个抽屉，因为66＝7×9＋3，所以至少有7＋1＝8（名）同学所拿的球的种类是完全一样的。

5. 解：①把12种属相看作12个抽屉，因为25＝2×12＋1，所以根据抽屉原理2，至少有3个人的属相相同。

②要保证有5个人的属相相同，总人数最少为4×12＋1＝49（人）。

不能保证有6个人的属相相同的最多人数为5×12＝60（人）。

所以总人数应在49人到60人的范围内。