抽屉原理分析
数学中的抽屉原理
数学中的抽屉原理先看简单的事实：把3本书放到两个抽屉里，只有两种情况：一个一本一个二本，或一个三本一个没有。
无论哪种情况，都至少有一个抽屉里有两本或两本以上的书。
更一般地说，只要被放置的书数比抽屉数目大，就一定会有两本或两本以上的书放进同一抽屉。
（一）抽屉原理的常见式【原理一】：如果把n个东西放进n（mn）只抽屉里，则至少有一只抽屉要放进两个或两个以上的东西。
【例1】求证：在任意选取的n+1个整数中，至少存在两个整数，它们的差能被n整除。
证明：对于n+1个整数，被除所得的余数为0，1，…，n－1共n类，按余数的不同分成的n类中，至少有两个在同一类里，即这两个数被n除时所得的余数相同，那么它们的差就一定能被n整除。
【例2】幼儿园有三种塑料玩具（白兔、熊猫、长颈鹿）各若干个，每个小朋友任意选择两件。
证明：不管怎样挑选，在七个小朋友中总有两个人选的玩具相同。
证明：从三种玩具中挑选两件，搭配方式共有下列六种：（兔、兔）、（兔、熊猫）、（兔、长颈鹿）、（熊猫、熊猫）、（熊猫、长颈鹿）、（长颈鹿、长颈鹿），每一种可以看作一个抽屉，七人的7种选法中，只有6种不同的搭配，由抽屉原理，七人中至少有两人挑选玩具时搭配方式相同。
【原理二】：如果把多于m×n件东西，任意放进n个抽屉，那么至少有一个抽屉里有不少于m+1件东西。
【例3】在口袋里有红色、蓝色和黄色的小球若干个，21个人轮流从袋中取球，每人每次取3个球。
求证：这21个人中至少有3个人取出的颜色相同。
证明：取出的三个球颜色是同一色的（即全红、全蓝或全黄）有三种不同的情况，是两色的（如两红一蓝等）有6种情况，是三色的（即红、蓝、黄三色小球各一个）只有一种情况，故共可分成10类。
由抽屉原理二知道，把21个人所取出的球按颜色可归为这10类中，则必有一类至少有（个）。
所以，21个人中至少有3人取出的球的颜色相同。
运用抽屉原理只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少。
第8讲 抽屉原理(小升初)
第8讲抽屉原理一、基础知识1、抽屉原理:把多于N个的苹果放进N个抽屉里,那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.2、抽屉原理的一般表达:把多于M×N个苹果随意放到N个抽屉里,至少有一个抽屉里有(M+1)个或(M+1)个以上的苹果.3、在有些问题中,”抽屉”和”苹果”不是很明显的,需要精心制造”抽屉”和”苹果”如何制造”抽屉”和”苹果”可能是很困难的,一方面需要认真分析题目中的条件和问题,另一方面需要多做一些题积累经验.4出元素。
b例题1：例题2：例题3：才能保证有例题4：例题5：例6、得分相同？例7、）个自然数反复如n是n随堂练习：1、有5234、从2、4、6、8、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。
5、从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少人选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。
6、从1到20这20个书中，任取11个数，必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数。
7、证明：在任取的5个自然数中，必有3个数，它们的和是3的倍数。
8、某校校庆，来了n位校友，彼此认识的握手问候。
请你证明，无论什么情况，在这n位校友中至少有两人握手次数一样多。
9、在圆周上放着100个筹码，其中有41个红的和59个蓝的。
那么总可以找到两个红筹码，在它们之间刚好放有19个筹码，为什么？10、试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案。
一群学生参加考试，结果是对于其中任何3人，都有一道题目的答案互不相同。
问：参加考试的学生最多有多少人？11、某个委员会开了40次会议，每次会议有10人出席。
已知任何两个委员不会同时开两次或更多的会议。
问：这个委员会的人数能够多于60人吗？为什么？12、某此选举，有5名候选人，每人只能选其中的一人或几人，至少有人参加选举，才能保证有4人选票选的人相同巩固练习：1、某校的小学生年龄最小的6岁，最大的13岁，从这个学校中任选几位同学就一定能保证其中有两位同学的年龄相同？2、中午食堂有5种不同的菜和4种不同的主食，每人只能买一种菜和一种主食，请你证明某班在食堂买饭的21名学生中，一定至少有两名学生所买的菜和主食是一样的。
抽屉原理及其简单应用
抽屉原理及其简单应用一、知识要点抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狄利克雷明确地提出来的，因此，也称为狄利克雷原理。
把3个苹果放进2个抽屉里，一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。
这个人所皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现。
用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题。
原理1:把n+1个元素分成n类，不管怎么分，则一定有一类中有2个或2个以上的元素。
原理2:把m个元素任意放入n(n≤m）个集合，则一定有一个集合至少要有k个元素。
其中k＝m/n（当n能整除m时）或k＝〔m/n〕＋1(当n不能整除m时)，这里〔m/n〕表示不大于m/n的最大整数，即m/n的整数部分。
原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。
原理2也可以变为：把m个元素任意放入n(n≤m）个集合，则一定有一个集合至多要有k个元素。
其中k＝〔m/n〕,这里〔m/n〕表示不大于m/n的最大整数，即m/n的整数部分.二、应用抽屉原理解题的步骤第一步：分析题意.分清什么是“东西",什么是“抽屉”，也就是什么作“东西”,什么可作“抽屉”。
第二步：制造抽屉.这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。
根据题目条件和结论，结合有关的数学知识,抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数,为使用抽屉铺平道路。
第三步:运用抽屉原理.观察题设条件，结合第二步,恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。
利用上述原理容易证明：“任意7个整数中，至少有3个数的两两之差是3的倍数。
"因为任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可能，所以7个整数中至少有3个数除以3所得余数相同，即它们两两之差是3的倍数.三、应用抽屉原理解题例举：1．木箱里装有红色球３个、黄色球５个、蓝色球７个,若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？解：把３种颜色看作３个抽屉,若要符合题意，则小球的数目必须大于３，故至少取出４个小球才能符合要求。
“抽屉原理”学习要点
◎孙成芳一、知识要点鸽巢原理又叫抽屉原理。
抽屉原理一：如果将n+1（n≥1）个物体任意放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里放有两个或两个以上的物体。
如把5个苹果任意放进4个抽屉里，那么至少有一个抽屉里要放2个苹果。
抽屉原理二：如果将多于m×n个物体任意放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里放有m+1个物体或更多的物体。
如17朵鲜花插进3只花瓶，那么至少有一只花瓶中插有6朵或更多的鲜花。
解决抽屉问题的关键是：要确定“物体”的个数和“抽屉”的个数。
二、典例精析例1：幼儿园买来了不少小白兔、长颈鹿和小熊玩具，每个小朋友从中任意选择两件，那么至少要有几个小朋友才能保证总有两人选择的玩具相同？分析与解：问题的关键是确定物体和抽屉。
这里应该把选择的两件玩具作为一个抽屉，而玩具中挑选两件，所有的选择有如下几种情况：（兔，兔），（兔，鹿），（兔，熊），（鹿，鹿），（鹿，熊），（熊，熊），把每一种选择方式看作一个抽屉，共有6个抽屉，而将幼儿园的小朋友看作物体，问题转化为把若干个物体放进6个抽屉中去。
根据抽屉原理一，要保证至少有两人取得玩具相同，就至少要有7个小朋友。
解：6+1=7（个）答：至少要有7个小朋友才能保证总有两人选择的玩具相同。
例2：六（1）班一共有21个同学参加体育活动，有打篮球、跳绳、踢毽子和打羽毛球4个活动项目。
如果每个同学都参加活动，那么至少有多少个同学参加同一个活动项目？分析与解：这是一个“抽屉问题”，也称为“鸽巢问题”。
如果把分别参加打篮球、跳绳、踢毽子和打羽毛球4个项目看作4个抽屉，那么21个同学看作21个物体，因为21=5×4+1，由抽屉原理二可知，至少有（5+1）=6个同学参加同一个活动项目。
解：21=5×4+15+1=6答：至少有6个同学参加同一个活动项目。
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抽屉原理和最不利原则
抽屉原理和最不利原则一、抽屉原理抽屉原理（也被称为鸽笼原理）是数学中一种基本原理，它是由鸽笼和抽屉的类比而得名。
根据抽屉原理，如果n+1个物体被放置到n个容器之中，那么至少有一个容器内含有两个或者更多的物体。
换句话说，抽屉原理表明，当物体数量超过容器数量时，至少有一个容器将会装有多个物体。
这个原理可以应用于各种场景，例如，如果有11个学生坐在一排座位上，而只有10个座位，那么至少有一个学生将会没有座位坐。
抽屉原理在数学和计算机科学中有广泛的应用。
例如，在计算机科学中，抽屉原理可以用来证明哈希函数的碰撞概率、证明图的着色问题等等。
最不利原则是指在做决策时，应该假设每一项决策都是以对自己最不利的方式进行的。
也就是说，在进行决策时，应该考虑最不利的情况，并希望能够在最不利的情况下找到最好的解决方案。
最不利原则在决策分析和优化问题中具有重要作用。
通过考虑最不利的情况，可以防止决策者产生过于乐观或者主观的判断，从而更好地制定决策方案。
最不利原则可以应用于各种领域，例如商业决策、政治决策和战略决策等。
在商业决策中，经营者应该考虑到市场环境变化和竞争对手的行动，以保持企业的竞争力。
在政治决策中，政府领导者应该考虑到各种社会和经济因素，以制定合理的政策。
在战略决策中，军事指挥官应该考虑到敌方的最强势和最危险的行动，以便做出战略部署。
最不利原则帮助我们克服幻觉和假设，从而更加客观地进行决策。
通过考虑最不利的情况，我们能够更好地准备好应对各种风险和挑战，并找到最佳的解决方案。
总结：抽屉原理和最不利原则都是数学领域中的重要原则，它们在不同的背景下有着不同的应用。
抽屉原理通过简单的类比，帮助我们理解当物体数量超过容器数量时，必然会有一些容器装有多个物体的情况。
最不利原则则在决策分析和优化问题中起着重要的作用，通过考虑最不利的情况，可以制定出最佳的决策方案。
这两个原则都帮助我们在面对不同的问题和情境时，能够更加准确地进行分析和决策。
【小高数学知识点】抽屉原理
抽屉原理一、知识结构图抽屉原理二、方法讲解抽屉原理有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。
它是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用，因为许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决。
1、抽屉原理将多于n 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
例如：有5个苹果放进4个抽屉，那么一定有一个抽屉至少放了 个苹果；将多于m×n 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。
例如：如果把96个苹果放入8个抽屉，那么一定会有抽屉至少放了_______个苹果。
如果把97个苹果放入8个抽屉，那么一定会有抽屉至少放了_______个苹果。
如果把98个苹果放入8个抽屉，那么一定会有抽屉至少放了_______个苹果。
2、最不利原则这是一种从反面思考问题的思想，也是抽屉原理中非常重要的思考方法，就是从最不利的方向出发分析问题。
例如：口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。
问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？解析：（1）如果碰巧一次取出的4个小球的颜色都相同，答案是 ，这是从最有利原则考虑的，这是最少摸出几个球就可能有4个球颜色相同，而不是“保证至少有4个小球颜色相同”。
（2）为了“保证至少有4个小球颜色相同”，就要从最“不利”的情况考虑。
如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。
“最不利”的情况是什么呢？那就是我们摸出 个红球、 个黄球和 个蓝球，此时三种颜色的球都是 个，却无 个球同色。
这样摸出的 个球是“最不利”的情形。
这时再摸出一个球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。
所以回答应是最少摸出 个球。
抽屉原理
抽屉原理一．什么是抽屉原理？实例1：把3个苹果放在两个抽屉里，不论怎样放，“必有一个抽屉里至少放了2个苹果”。
实例2：把七只山雀,任意装入3只鸟笼内，则其中必有一只鸟笼至少装有3只山雀。
上述问题共同点都是在“任意放入”的条件下，得出“必然的结论”，这就是抽屉原理的基本思想二．抽屉原理的几种常见形式原理1。
把m 件物体，任意放在)(m n n <个抽屉里，则其中必有一个抽屉里至少放有两件物体。
原理2。
把)1(≥+k k mn 个物体放进n 个抽屉，则至少有一个抽屉里要放进1+m 个或更多个物体原理3。
把)1(321≥++++k k m m m m n 个物体放入n 个抽屉里，那么或在第一个抽屉里至少放入11+m 个物体，或在第二个抽屉里至少放入12+m 个物体，……，或在第n 个抽屉里至少放入1+n m 个物体。
原理4。
把m 个物体任意放在n 只抽屉里，那么总有一只抽屉里，至多有⎥⎦⎤⎢⎣⎡n m 个物体。
三．构造抽屉的几种常用方法在运用抽屉原理解题时，怎样才能构造出符合条件的抽屉呢？关键要合理地进行分类，无论怎样分类，都应当先确定分类的对象，再确定分类的标准，下面就常见的的设计抽屉的方法介绍如下1．分割图形构造抽屉例1． 在边长为1的正三角形中任意放置五个点，则必有两点，它们之间的距离不超过21。
分析：在正三角形内（包括边界）任意两点间的距都不超过其边长（其它多边形无此性质），根据这个性质，如果能把原来正三角形划分为四个边长为21的正三角形即可 解：设正三角形ABC 边长为1，连接三边中点DE 、EF 、FD ，则构成四个边长为21的小正三角形，任意放置五个点，依据抽屉原理，至少在一个小正三角形内（包括边界）不少于两点，它们之间的距离不大于小正三角形的边长。
即证。
例2． 在一个边长为1的正方形内任意给定9点，求证：在以这些点为顶点的各个三角形中，必有一个三角形，它的面积不大于81。
分析：首先要考虑这个正方形需要分割几块，才能保证在某一块里至少有3个点，根据抽屉原理319=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡k ，可知,4=k 这就是说，把正方形分割成4块， 证明：将正方形分成四个面积为41的小正方形，根据抽屉原理2，至少有一个小正方形EFGH 所含（在内部或周界上）的给定点不少于3149=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡个，设为A 、B 、C ，显然，若A 、B 、C共线，则命题成立，如果它们不共线，总可以用如图的方法将ABC ∆部分，那么212121==+≤+=∆∆∆EFGH MFGN EMNH CBD ABD ABC S S S S S S例3． 把93⨯的矩形分成27个单位小方格，将每个小方格任意涂上红色或蓝色。
抽屉原理与最不利的区别
抽屉原理与最不利的区别抽屉原理和最不利原理是数学中的两个重要概念，虽然它们有一些共同点，但在某些方面又存在明显的区别。
首先，我们来讨论抽屉原理。
抽屉原理（也被称为鸽巢原理）是一种常识性的数学原理，它指出：如果将n+1个物体放入n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中包含了两个或更多的物体。
简单来说，如果我们将更多的物体放入较少的容器中，那么必然会造成至少一个容器中装满。
这个原理非常直观，也很容易理解。
关于抽屉原理，我们可以通过一个具体的例子来进行说明。
假设我们有10件衣服要放入9个抽屉中，那么根据抽屉原理，至少有一个抽屉中必然会有两件或更多的衣服。
这是因为我们只有9个抽屉，而衣服有10件，所以至少有一个抽屉中必然会放多余的衣服。
接下来，我们来看看最不利原理。
最不利原理是一种解决最优化问题的方法，它可以帮助我们找到某种情况下最不利的情况，从而得到一个最坏的结果。
最不利原理在数学和工程领域中很常见，特别是在优化和决策问题中。
最不利原理是通过寻找使得目标函数达到最小或最大值的最坏情况来进行分析和决策的。
简而言之，最不利原理告诉我们，当我们做出决策时，我们应该考虑所有可能的情况，并选择能够使我们的结果最不利的情况，以便我们能够得到一个在最坏情况下也能够满足我们要求的解决方案。
最不利原理的应用非常广泛，比如在工程设计中，我们需要考虑材料的最坏状况，以保证设计的安全性；在博弈论中，我们需要考虑对手的最佳策略，从而能够采取最佳的反应；在决策问题中，我们也需要考虑可能的最坏结果，以便选择最合适的方案。
最不利原理与抽屉原理的区别在于它们的应用领域和目的不同。
抽屉原理是一种数学原理，它可以用来证明某种情况的存在性，而最不利原理是一种解决最优化问题的方法，它可以帮助我们找到最坏的情况，并做出相应的决策。
此外，抽屉原理是一种直观的概念，它的应用范围相对较窄，更多地用于解决分布问题；而最不利原理则更加抽象和广泛，适用于各种最优化问题的求解。
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对抽屉原理教学的思考
绵竹市天河小学李永松
一、抽屉原理的背景资料
抽屉原理是德国数学家狄利克雷在1846年提出的，他从朴素的数学现象中抽象出了这一原理。
抽屉原理分为第一抽屉原理和第二抽屉原理。
原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
原理2 把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。
原理1和原理2都属于第一抽屉原理。
第二抽屉原理的描述为把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。
抽屉原理的提出解决了数学中有关“存在”的数学现象，对证明数论的一些问题起到了基础性作用。
二、教材分析
现行小学教材人教版在十一册编入这一原理，旨在于让学生初步了解“抽屉原理”（也就是初步接触第一原理），会用“抽屉原理”解决实际有关“存在”问题；通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，让孩子建立数学模型，发现规律；使孩子经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力；通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。
虽然“抽屉原理”来源于一种朴素的数学现象，认识基础是平均分和排列组合以及一一对应的较简单知识。
但是要让让孩子
从朴素的数学现象中理解和抽象出这一原理，对学生的演绎推理能力、分析归纳能力有较高的要求，因此安排在六年级来进行教学是恰当的。
教材虽然只安排了三个例题，但是梯度是明显的，由浅及深，层层推进。
例一：老师提出，把4支铅笔放进3个文具盒。
这里要解决的问题是让学生通过操作、观察、比较、分析得出“不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进两枝铅笔”这一认识。
也就是把m个物体放进n（m-n=1）个抽屉,总有一个抽屉至少有2个物体（抽屉原理一）。
做一做：7个鸽子飞回5个鸽舍，至少有2个鸽子要飞进同一个鸽舍里。
为什么？这里是对例一的具体运用，但又不是简单的运用，还是对抽屉原理一的进一步深化认识。
要让学生充分认识理解m÷n=1……( )中余数不是1时，也就是m-n=k(k ﹤n)时，还是总有一个抽屉至少放进2个物体。
例2：把5本书放进2个抽屉中。
如果有7本书会怎样呢？9本书呢？
这里已经要求学生脱离具体的学具操作，认知建立在例一的基础上，使用脑海中已建立的模块，让学生感知抽象出“抽屉原理”二，把km+1个物体放进n个抽屉，总有一个抽屉至少放进了k+1个物体。
后面的做一做：8只鸽子飞回到3个鸽舍，至少有3只鸽子要飞进同一个鸽舍里。
为什么？很显然这是对原理二的进一步拓展，要让孩子继续理解当余数不是1时，还是总有一个抽屉至少放进了k+1个物体，而不是k+余数。
例3：盒子里有同样大小的红球和蓝球个4个。
要想摸出的球一定有2个同色的，最少要摸出几个球？
这里是对学生已经建立的抽屉原理模型的逆运用。
也就是说知道抽屉个数两个（两种不同颜色）和抽屉里的个数（总有一个抽屉里的球的颜色同色、两个同色球）所有解决的问题就是让学生找到要放的物体个数总数（最少），其实就是原理1的逆运用，总个数只需比抽屉多1就行。
这一点看起来很简单，学生理解也不难，但是要让学生的思维上升到建模思想还是有一定难度的，况且是一种逆向思考。
这一运用还在于让学生大脑中建立谁作物体和谁作抽屉的问题。
这也是学生运用抽屉原理解决实际问题的核心所在。
由此可见，从例1到例3，教材呈现的素材所蕴含的要求知识点和思想是很有层次的，是层层推进的。
跳跃性还是较大的，许多节点都需要学生去操作、探索、观察、比较、分析与归纳，教者要帮助孩子层层梳理、理清关系。
只有这样学生才能在大脑中建立清晰的模块。
教者并要引领学生充分分析题型素材，比照模块找到相对应的抽屉、抽屉里的的个数、总数，以不变应万变，达到较高的解题能力。
三、课时安排
本节内容至少应安排5课时进行教学。
第一课时解决例一及做一做，主要是让学生在探索中发现第一原理中的原理1，抽象出原理1，充分感知；介绍德国数学家狄利克雷和他的抽屉原理。
第二课时学习例2及做一做，抽象出原理2，并在孩子的大脑中建模，解决一些顺向思考的实际问题以加深对模的印象，锻炼孩子在解决问题中对“物体”、“抽屉”、“抽屉里物体个数”与题中各数学信息之间的对应理解。
第三课时教学例3，这主要是训练孩子对原理1的逆向思考的能力以及训练孩子辨别抽屉和物体的能力。
第四课时做一综合练习，第五课时提升联系。
抽屉原理
第一课时
教学目标：1、基本知识：让学生掌握抽屉原理1的基本内容，了解抽屉原理的相关背景。
2、基本能力：学生能够通过操作、观察、比较、分析、归纳出原理1；小组团结协作能力。
3：基本活动：小组的合作操作活动和个人独立的思考活动。
4：基本思想：演绎推理思想。
教学方法：以学生自主探究、思考归纳为主，教师引领为辅的教学方法。
教学内容：教科书例1及做一做，补充练习和资料。
教学过程：。