22直线的投影(97-03)

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一、各种位置直线的投影特性
⒈ 一般位置直线
三个投影与各投影轴都倾斜。
⒉ 投影面平行线
在其平行的投影面上的投影反映线段实长 及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相 应的投影轴。
⒊ 投影面垂直线
在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。 另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。
30
二、直线上的点 ⒈ 点的投影在直线的同名投影上。 ⒉ 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比——定比定理。 三、两直线的相对位置 ⒈ 平行 同名投影互相平行。 ⒉ 相交 同名投影相交，交点是两直线的共有点， 且符合空间一个点的投影规பைடு நூலகம்。 ⒊ 交叉（异面） 同名投影可能相交，但“交点”不符合空 间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一 对重影点的投影。 31
直角边BC//H面 BC⊥AB, 同时BC⊥Bb BC⊥ABba平面 BC∥bc bc ⊥ABba平面 bc⊥ab ∠abc为直角
直线在H面上的 投影互相垂直
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b c
a
例1、过C点作直线与AB垂直相交。
a
.
d
AB为正平线, 正 面投影反映直角。
b
c
c
●
●
a
d
b
26
例2、已知直线AB的两面投影和C点的水平投影,试 过C点作一条直线CE垂直于AB,求直线CE的两面 a' e' 投影。
13
例3、已知点C 在线段AB上，求点C 的正面投影。
V b b c X O a b c b a
14
cb ac
c
a X B C
A
a
c
H
二、两直线的相对位置
平行
相交
交叉
垂直相交
15
空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉。 投影特性： ⒈ 两直线平行
b
a A a b B c C c d H D d V
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 ② 另外两个投影，反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。
6
3、 一般位置直线
7
b a a b a
b
投影特性：
三个投影都缩短。 即: 都不反映空间线段 的实长及与三个投影面 夹角的实大，且与三根 投影轴都倾斜。
8
2.4 直线与点及两直线的相对位置
一、直线与点的相对位置
21
例1、判断两直线的相对位置
c 1 b
a
X a
d d 1
c
1d 1c
b
22
判断两直线重影点的可见性
c
b 1 (3)4 2 d C B 判断重影点的可 见性时，需要看重影 点在另一投影面上的 投影，坐标值大的点 投影可见，反之不可 见，不可见点的投影 加括号表示。 O A c a 1(2) 3 4 d
投 影 特 性： ① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角的实大。 ② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影 轴。
4
2、 投影面垂直线
正垂线
铅垂线
侧垂线
5
铅垂线
a b
●
正垂线
c(d)
●
侧垂线
e f e(f)
●
a
d c
b
d c e f
a(b)
投影特性:
A a c b c
O
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例1、判断点C是否在线段AB上。
① a b
c b ②
a
c
●
b c a c b
a
点C在直 线AB上
点C不在 直线AB上
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例2、判断点K是否在线段AB上。
a k● b
a k● b a
●
k
b
因k不在a b上， 故点K不在AB上。
另一判断法?
应用定比定理
a≡b≡m
●
●
b
b
a●
a●
直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性
直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcosα
1
二、 直线在三个投影面中的投影特性
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 平行于某一投影面而
水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 与其余两投影面倾斜
2.3 直线的投影
两点确定一条直线，将两点 b 的同名投影用直线连接，就得 到直线的同名投影。 直线投影的基本特性 a 一、直线的投影特性
●
●
a ●
●
a
●
b
一般情况下， 直线对一个投影面的投影特性
A
●
b 直线的投影
●
仍然为直线，特殊情况为一 α M A A B个点。
B ●
● ● ● ●
●
B
●
1 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面 投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在 直线上。 2 定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即 A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b
b
c B
C
X
a
投影面垂直线
正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）
垂直于某一投影面
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
2
1、投影面平行线
正平线
水平线
侧平线
3
水平线
a a b
a b
实长 a
b
α γ
正平线
a b
a b a
侧平线
β
a 实长
α
b
β
γ
b
b
a
b
实长
与H面的夹角:α 与V面的角:β 与W面的夹角: γ
c'
e'
X c'
b'
O
a
e e
b
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c
两直线交叉
例3、过点E 作线段AB、CD 的公垂线EF。
b e f
c X e
b
a
d O
a d
f
c
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小 结
重点掌握：
★点与直线的投影特性，尤其是特殊位置 直线的投影特性。 ★点与直线及两直线的相对位置的判断方 法及投影特性。 ★定比定理。 ★直角定理，即两直线垂直时的投影特性。
四、相互垂直的两直线的投影特性 ⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上的投影反映直角。
⒉ 两直线中有一条平行于某一投影面时， 在该投影面上的投影反映直角。
⒊ 两直线均为一般位置直线时， 在三个投影面上的投影都不 反映直角。
直角定理
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19
例：过C点作水平线CD与AB相交。
b
c● a k d
a c k
●
d b
先作正面投影
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⒊ 两直线交叉
d
a
c’
1(2) 3 4
●
为什么？ 投影特性： 两直线相交吗？
b
●
●
c
●
2
●
b d
a
1 3(4 )
●
Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点， Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。
★ 同名投影可能相交， 但 “交点”不符合空间 一个点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上 的一 对重影点的投影， 用其可帮助判断两直线 的空间位置。
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点在直线上的判别方法：
◆ 若点在直线上, 则 点的投影必在直线的同 名投影上。并将线段的 同名投影分割成与空间 相同的比例。即： ◆若点的投影有一个不 在直线的同名投影上， 则 该点必不在此直线上。
V c a
C A
b
B
b
AC/CB=ac/cb= ac / cb
a
c
H
定比定理
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直线上的点具有两个特性：
对于特殊位置直线， 只有两个同名投影互相 平行，空间直线不一定 平行。 求出侧面投影后可知： AB与CD不平行。
求出侧面投影
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⒉ 两直线相交
V a A a c
c k
C
b d K D d k
交点是两直 线的共有点
b B a c
k
d
b
H
a
c k
d b
判别方法：
若空间两直线相交，则其同名投影必 相交，且交点的投影必符合空间一点的投 影规律。
空间两直线平 行，则其各同名投 影必相互平行，反 之亦然。
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例1：判断图中两条直线是否平行。
①
a
b d c c b d
a
对于一般位置直 线，只要有两个同名 投影互相平行，空间 两直线就平行。
AB//CD
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例2：判断图中两条直线是否平行。
②
c c
a
d
a b d
b c
b d a 如何判断？
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a
1 3
2 4 D
X
b
例2、判断两直线重影点的可见性
c b 1 3(4)
2
a X
d
b 4 c a 1(2)
3
d
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4、两直线垂直相交（或垂直交叉）
直角的投影特性：
若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面 上的投影仍为直角。 证明：
B C A b a
c H b
c
a
.
设 因 所以 又因 故 因此 即