各种位置直线的投影特性
第三章直线的投影(完整版)
垂直于一个投影面 ——投影面垂直线
§3-2 特殊位置的直线
V
Z b' a" W b"
一、投影面平行线 水平线的投影
X
a' A a H a'
B
O
b Z b' a" O a β γ b
特性：
1、 a' b' ∥OX
a" a" ∥OY；
Y b"
2、ab=AB；
3、反映β、γ实角。
X
Y1
Y
正平线的投影
b' V Z b" O W a" X a'
a' b' X a b
Z a" b" O Y1 X
a' b' a (b)
Z a" b" O Y 1 Y a' a
Z
X
b' O Y1 b a" ") (b Y 属于OX轴的直线
Y 属于V面的直线
属于V面的铅垂线
属于投影面或投影轴的直线
§3-3一般位置线段的实长及其与投影面的夹角
对于特殊位置直线，其投影可以反映出直线的实长及其与 各投影面的夹角，而一般位置直线的投影不能反映出其实长和 夹角。 工程上常用直角三角形法求一般位置直线的实长和对投影 面的夹角。 β 在直观图中作AC∥ab b' V —Rt Δ 则：ΔABC为 B a' ∠BCA为 —直角 C
a' X O b
c
a
AC :CB=2 :3
b' k' k" a" b"
a'
直线的投影
图2-19 判别C点是否在线段AB上 作图：首先过a作一辅助线ab1，使ab1＝a'b',ac1＝a'c';然后连接b1b，过c1作b1b的 平行线使与ab相交，如果交点与C点的水平投影c重合，则表明C点对AB的分段符合定比 分段法，此时C点在直线段AB上；反之不在直线段AB上。 1.3两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。其中平行和相交两直线均在同一 平面上，交叉两直线不在同一平面上，因此，又称为异面直线。 1. 两直线平行： 相同；反之，若两直线的同面投影都平行，则空间两直线互相平行。如图2-20(a)所示， 因为AB∥CD，则ab∥cd、a'b'//c'd'，且ab：cd= a'b'：c'd'。
1．水平投影积聚为一点 2．正面投影和侧面投影都 平行于Z轴，并反映实长
1．正面投影积聚为一 点2．水平投影和侧面 投影都平行于Y轴，并 反映实长
1．侧面投影积聚为一
侧
点
垂 线
2．正面投影和水平投 影都平行于X轴，并
反映实长
(3) 一般位置直线 一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实长，投 影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角，见图2-17。
影的夹角仍为直角；如果两直线都不平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影 不反映直角。如果两直线相交成直角、且其中有一条直线平行于某一投影面，则两直线在 该投影面上的投影仍然反映直角关系。通常称之为直角投影原理。
2-28所示，AB、BC为相交成直角的两直线，其中BC平行于Ｈ面（即水平线）， AB为一般位置直线。现证明两直线的水平投影ab和bc仍相互垂直，即bc垂直于ab。
3-直线的投影及两只线的相对位置关系
一边平行于投影面的直角的投 影特性
例题 3
练习1
练 习 2
练习3
练习4
各种位置的直线的投影及相对位置关系
一、各种位置的直线的投影特性及应用
投影面平行线 投影面垂直线 一般位置直线
二、直线的相对位置关系
相交 平行 交叉
投影特性 及应用
一、特殊位置直线的投影及特性
1. 投影面平行线的投影及其特性：正平 线、侧平线、水平线
2. 投影面垂直线的投影及其特性：正垂 线、侧垂线、铅垂线
二、一般位置直线的投影及其 真长与倾角的图解方法
1. 一般位置直线的投影特性
2. 一般位置的直线的真长与倾角的图解 方法
直角 三角 形法 求直 线实 长的 基本 原理
三、 直线上的点的投影特性
1. 在直线的同面投影上
2. 按比例等分线段
2~4 两直线的相对位置
1. 相交
2. 平行
投影 特性
及
3. 交叉
应用
两相交直线的判断方法
两 相 交 直 线 的 投 影
例 题 1
两 平 行 直 线 的 投 影
例题 2
两交叉直线的空间位置及投影
两交叉直线的投影特性----1
重影点 可见性 的判断
交叉直线的投影----2
二、一边平行于投影面的直角的投影
1. 投影特性 2. 应用：例题：求点A到水平线BC的距 离
直线的投影
直线的投影一、直线投影图的画法两点确定一条直线，因此，作直线的投影，一般只需作出两点（通常是直线段的两个端点）的三面投影，然后连接这两点的各个同面投影即可。
直线的投影一般情况下还是直线，投影用粗实线表示。
如图所示。
直线投影图的画法二、直线在三投影面体系中的各种位置及其投影特性1.直线与三个投影面间的相对位置在三投影面体系中，直线相对投影面的位置可分三种：投影面的平行线、投影面的垂直线、投影面的倾斜线（一般位置直线）。
前两种又称为特殊位置直线。
空间直线与它的水平投影、正面投影、侧面投影的夹角，分别称为直线对投影面 H、V、W 面的倾角α、β、γ。
当直线与投影面平行时倾角为0°；当直线与投影面垂直时倾角为90°；当直线与投影面倾斜时倾角大于0°而小于90°。
2.各种位置直线的投影特性投影面的平行线投影面的垂直线一般位置直线（参 PPT+动画。
讲解时可用圆规作为直线演示，使学生理解、记牢结论）三、直线上点的投影（点的从属性很重要）直线上点的投影有以下特性：1.从属性。
如果点在直线上，则该点的各个投影必定在该直线的同面投影上，并且符合点的投影特性。
，已知点的三面投影在直线的同面投影上，且符合点的投影规律，则点必在直线上。
2.定比性。
若线段上的点分割线段成定比，则该点的投影也分割线段的同面投影成相同之比。
AC:CB=ac:cb=a'c':c'b'=a"c":c"b"V b ′b ′ Z b ″c ′ B b ″ c ′ c ″ a ′a ′ ″ C c ″WX O Y A a ″c bc a H a Ya ' " k " ' ●' b " b a ● k ' ● ●2ba '●1●● 2 b 'b k ●a直线上点的投影例 1：已知点 K 在线段 AB 上，求点 K 正面投影。
画法几何制图—平面投影及相对位置
② 若两投影面垂直面相互平行，
则它们具有积聚性的那组投影
必相互平行。
a
b c d
c d
b
b d
a c
e
d
b
ac
e
e f
f e
f h h
f
//
三峡大学
44
2 . 判 例别 判下 断列 下平 列面 两与 平平 面 面是 是否 否平 平行 行。
a )
b ) 举例
平行
不平行
三峡大学
45
二、相交问题(重点与难点)
三峡大学
22
例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面 的距离为10mm。
a
10
m
n
c
b
b
c
n m
a
唯一解！
三峡大学
23
⒉ 平面上取点
若点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上。 即：点在线上，则点在面上。
三峡大学
24
面上取点的方法：
首先面上取线
先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助 线，然后再在该直线上确定点的位置。
铅垂面(⊥H) 正垂面(⊥V) 侧垂面(⊥W)
水平面(//H) 正平面(//V) 侧平面(//W)
与三个投影面都倾斜 一般位置平面
三峡大学
9
1） 投影面垂直面的投影
铅垂面
V PB
c
a
a
W
b
A
a b
H
C PH c
a c
b 投影特性：
1. abc积聚为一条线， 与OX、 OYH的夹角反映、角； 2 .abc、 abc为ABC的类似形；
1’ b’
各种位置直线的投影特性
各种位置直线的投影特性按照直线对三个投影面的相对位置，可以把直线分为三类：一般位置直线、投影面平行线、投影面垂直线。
后两类直线又称为特殊位置直线。
1.一般位置直线—与三个投影面都倾斜的直线一般位置直线的投影特性如下（图3-10）：1）三面投影都倾斜于投影轴。
2）投影长度均比实长短，且不能反映直线与投影面倾角的真实大小。
直线对H、V、W的倾角分别用α、β、γ表示。
投影面平行线——平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线(1）投影面平行线又可分为三种：平行于V面的直线叫正平线；平行于H面的直线叫水平线；平行于W面的直线叫侧平线。
图3-11 正平线的投影特性(2）正平线的投影特性(图3-11)：1)直线平行于V面，则V面投影与直线本身平行且等长，a＇b＇=AB；2)正平线上各点到V面的距离即Y坐标都相等，则a b∥OX, a"b"∥OZ。
3)AB与H面的倾角为α，由于AB平行V面，所以AB与V面的倾角为0。
又因为AB ∥a＇b＇，a b∥OX轴，所以，a＇b＇与OX轴的夹角为α，同理a＇b＇与OZ轴的夹角即为AB与W面的倾角γ。
表3-1为投影面平行线的投影特性。
表3-1 投影面平行线的投影特性名称轴测图投影图投影特性正平线(1)a＇b＇=AB, 反映α、γ角(2)a b//OX轴, a"b"//OZ轴水平线(1) cd=CD ,反映β、γ角(2)c＇d＇//OX轴, c"d"//O YW轴侧平线(1) e"f"=EF, 反映α、β角(2)e＇f＇//OZ轴，ef//O YH轴投影面平行线的投影特性:1.直线在与其平行的投影面上的投影,反映该线段的实长和与其他两个投影面的倾角2.直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴,且比线段的实长短投影面垂直线——垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面的直线1）投影面垂直线又可分为三种：垂直于V面的直线叫正垂线；垂直于H面的直线叫铅垂线；垂直于W面的直线叫侧垂线。
直线的投影
直角三角形方法求倾斜线段的实长及其与W面的夹角g
X
直角三角形
实长
X
Rt△(γ)：ab X ab X
AB
g
AB g
Rt△(γ)
例9 已知三角形ABC 的投影，试求其实形。
实形
BC实长
Y AB实长
Y
AC实长
例10 已知线段AB 的投影，试定出属于AB 的点S 的投 影，使AS 的实长等于已知长度L。
2.投影面 垂直线
垂直于 面 （铅垂线）
直线的位置
直 观 图
投 影 图
特 性
积聚成一点
⊥
YH YW
⊥ ＝ ＝
积聚成一点 垂直于 面 （正垂线）
YW
⊥
YH
⊥ ＝ ＝
积聚成一点 垂直于 面 （侧垂线）
YW
⊥
YH
⊥ ＝ ＝
归纳投影面垂直线投影特性：
① 在所垂直的投影面上的投影，为有积 聚性的点。 ② 在另外两个投影面上的投影，垂直于 相应的投影轴,且反映线段实长。
⒉ 平面法
② 第三面投影法 平面法
DE与FG平行
DE与FG平行
⒉ 两直线相交
V c a C A X a
k
K
b d D O d B
交点是两直 线的共有点
b c a
k
d
c
k
b
H
a
c k
d b
空间相交
投影特性
投影相交 投影特征 投影交点的连线垂直于投影轴
例4：过C点作水平线CD与AB相交。
四、直角三角形方法求倾斜线段的实长及α β γ
直角三角形方法求倾斜线段的实长及其与H面的倾角
Z Z
直线的投影知识
1.2 直线上点的投影特性
1. 从属性
直线上点的投影必在该直线的同面投影上，该特性称为点的从 属性。如图4-29所示，C点在直线AB上，根据点在直线上投影的从 属性和点的三面投影规律，可知C点的三面投影c、c′、c″分别在直线 的同面投影ab、a′b′、a″b″上，并且三面投影符合点的投影规律。
1.1 空间各种位置直线的投影特性
1.1 空间各种位置直线的投影特性
投影面垂直线的投影共性为： 直线在所垂直的投影面上的投影积 聚为一点，其他两投影反映实长， 且垂直于相应的两投影轴。
1.1 空间各种位置直线的投影特性
3. 一般位置直线
一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影 面上的投影都不反映实长，投影与投影轴之间的夹角也不 反映直线与投影面之间的夹角，如图4-28所示。
图4-31 两直线平行
1.3 两直线的相对位置
2. 两直线相交
空间中的两条直线如果相交，则它们的同面投影都相交， 并且交点符合点的投影规律。如果两直线有一个投影面的投影 不相交，则空间的两直线不是相交关系，如图4-32所示。
图4-32 两直线相交
1.3 两直线的相对位置
3. 两直线交叉
空间中两条直线如果交叉，则它们的同面投影既不相交 又不平行，如图4-33所示。
1.1 空间各种位置直线的投影特性
1. 投影面平行线
平行一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行 线。与H面平行的直线称为水平线，与V面平行的直线称为正平线，与 W面平行的直线称为侧平线。它们的投影特性如表4-1所示。规定直 线与H、V、W面的夹角分别用α、β、γ表示。
1.1 空间各种位置直线的投影特性
1.1 空间各种位置直线的投影特性
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各种位置直线的投影特性
各种位置直线的投影特性
按照直线对三个投影面的相对位置，可以把直线分为三类：
般位置直线、投影面平行线、投影面垂直线。
后两类直线又称为特殊位置直 线。
1. 一般位置直线一与三个投影面都倾斜的直线
一般位置直线的投影特性如下（图3-10）：
1）三面投影都倾斜于投影轴。
2）投影长度均比实长短，且不能反映直线与投影面倾角的真实大小。
直线对H V 、W 的倾角分别用a 、B 、丫表示。
b)
投影面平行线一一平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线
（1 ）投影面平行线又可分为三种:
平行于V 面的直线叫正平线；平行于H 面的直线叫水平线；平行于W 面的直线叫侧平线
7
a
V
a) /
X
图3-11正平线的投影特性 (2)正平线的投影特性(图3-11)：
1)直线平行于V 面，则V 面投影与直线本身平行且等长，0 b ，=AB ； 2)正平线上各点到V 面的距离即Y 坐标都相等，则加〃OX, $b"〃OZ 。
3)
AB 与H 面的倾角为a ,由于AB 平行V 面，所以AB 与V 面的倾角为0。
又因为AB
//a' b‘，ab 〃0X 轴，所以，刃b‘与OX 轴的夹角为a ,同理0 b‘与0Z 轴的夹角
即为AB 与W 面的倾角丫。
表3-1为投影面平行线的没影特性。
表3-1投影面平行线的投影特性
7 7
a)
b)
名称 轴测图
投影图 投影特性 正平线 Z
⑴ a' b z
=AB,反 映J Y 角 (2) ab//OX 轴, 『b7/oz 轴
投影面平行线的投影特性：
1.直线在与其平行的投影面上的投影，反映该线段的实长和与其他两个投影面的倾角
2.直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴
，且比线段的实长短
1 ）投影面垂直线又可分为三种:
垂直于V 面的直线叫正垂线；
垂直于H 面的直线叫铅垂线； 垂直于W 面的 直线叫侧垂线。
2）铅垂线的投影特性（图3-12）：
①铅垂线的H 面投影积聚为一点;
②铅垂线平行于V 、W 面，在V 、W 面的投影反映实长，且平行于 OZ 轴。
图
3-12
铅垂线的投影特征
水平线 侧平线 严
\
€
（1） cd=CD ,反映
B 、丫角
⑵ c f d f /OX 轴, c"d"//O YWtt (1) e"f"=EF,反
映a 、
(2)e / f / 〃0Z
轴,
ef//O YH 轴
投影面垂直线
垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面的直线
F 表为投影面垂直线的投影特性：
表3-2投影面垂直线的投影特性
投影面垂直线的投影特性:
1.直线在与其所垂直的投影面上的投影积聚成一点
2.直线在其他两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴，且反映该线段的实长
各种位置平面的投影特性 平面对投影面的相对位置有三种:
般位置平面、投影面垂直面、投影面平行面。
后两种称特殊位置平面
规定平面对H 、V 、W 面的倾角分别用a 、B 、丫来表示。
所谓平面的倾角，是指平面与某
一投影面所成的二面角。
1. 一般位置平面——与三个投影面都倾斜的平面
般位置平面的投影如图3-24所示。
由于△ ABC 对H V 、W 面都倾斜，因此它的三
名称
轴测图
投影图
投影特性
(1) a z
b z
'积聚成一点 (2) ab 垂直0X 轴, a"b"垂直0Z 轴,
ab=a"b"=AB
y /
\
v
A y
1 N
\ \
\
___________
Q
\
(1)cd 积聚成一点 (2)c ， c ，
d ，垂直OX tt,
垂直OYV 轴,
d ，=c"d"=CD ⑴e"f"积聚成一点 ⑵
e ，
f ，垂直0Z 轴,
ef 垂直 OYHtt ,
e ，
f ，=ef=EF
正垂线
铅垂线
側垂线
&
v 3 ____ 、
个投影都是三角形，为原平面图形的类似形，面积均比实形小。
a) b)
2.投影面垂直面——垂直于一个投影面，与另两个投影面倾斜的平面 投影面垂直面可分为三
种：
垂直于V 面的平面叫正垂面；垂直于 H 面的平面叫铅垂面；垂直于
图3-25是铅垂面厶ABC 的投影。
由于△ ABC 垂直于H 面，倾斜于V 、W 面，因此其水 平投影积聚成一条直线，V 面投影和W 面投影都是类似的三角形，H 面投影与
0X 轴、
0Y 轴的夹角分别反映△ ABC 与 V 面、W 面的倾角B 、丫
a)
图3-25
铅垂面的投影特性
W 面的平面叫侧
z
z
p
X
面 5
r
o
面 切
Y
2
面 表3-3投影面垂直面的投影特性 投影特性
名称 轴侧图
投影图
(1)p 积聚成一直线,
铅垂 形的类似形
正垂 ⑵q 和q"均为原图
形的类似形
(1)r"积聚成一直
侧垂 形的类似形
投影面垂直面的投影特性：
”反映B 、丫角
(2)p /和p"均为原图
1.平面在与其所垂直的投影面上的投影面积聚成倾斜与投影轴的直线 ，并反映该平面对其
(1)q /积聚成一直
N 线,反映a 、丫角
2#^
” 1
()
\
4
r F
1
\
r
线,反映a 、B 角
(2)r /和r 均为原图
o r
切
b)
面
轴
轴。
3.投影面平行面——平行于一个投影面，与另两个投影面垂直的平面
投影面平行面可分为三种:
平行于V 面的平面叫正平面；平行于 H 面的平面叫水平面；平行于 W 面的平面叫侧平面
图3-26 正平面的投影特性 表3-4投影面平行面的投影特性
名称 轴测图 投影图 投影特性
图3-26为正平面的投影。
平面 P 平行于V 面，垂直于H 面和W 面,因此其V 面投影反 水平 映实形，H 面投影和W 面投影积聚成直线，且 H 面投影平行于0X 轴，W 面投影
平行于0Z
(1)p 反映平面实形
(2)p /和p"均具有积聚 性,
且 p /// OX tt ,p" // OY
他两个投影面的倾角
2.平面的其他两个投影都是面积小于原平面图形的类似形
(1)q /反映平面实形
(2)q和q"均具有积聚性,
且q// OX轴,q" II OZ
轴
(1)r"反映平面实形
(2)r /和r均具有积聚
性,且r / // OZ轴,r //
OY
轴
5
投影面平行面的投影特性
1.平面在与其平行的投影面上的投影反映平面图形的实形
2.平面在其他两个投影面上的投
影均积聚成平行于相应投影轴
的直线。