特殊位置直线投影(正垂线)(精)
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机械制图直线与点投影
⒈ 两直线平行
V
d
c a
A C
a
b B
D
c
b
d
H
d b c
a
X
O
a
b
c
d
空间两直线平行，则其各同名投影必 相互平行，反之亦然。
例：判断图中两条直线是否平行。
① b
d
a
c
ac
②
b c
d
a
d b c
b
da
b d
a c
c a
d b
AB与CD平行。
对于一般位置直线， 只要有两组同名投影互 相平行，空间两直线就 平行。
AB与CD不平行。
对于特殊位置直线， 只有两组同名投影互相 平行，空间直线不一定 平行。
⒉ 两直线相交
交点是两直
V c
b
k
线的共有点
a C A
d K
B D
X
O
a
d
c
k
b
H
c k a
b d
a
d
ck
b
若空间两直线相交，则其同名投影必
相交，且交点的投影必符合空间一点的投
影特性。
例1：过C点作水平线CD与AB相交。
第三章 直线与点投影
直线的投影
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
直线的投影
a b c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
直线对投影面的相对位置
一、特殊位置直线 1.直线平行于一个投 影面 (1)水平线 (2)正平线 (3)侧平线 3.从属于投影面的直线
2.直线垂直于一个投影 面
(1)铅垂线 (2)正垂线
直线的投影
图2-19 判别C点是否在线段AB上
图2-19 判别C点是否在线段AB上 作图：首先过a作一辅助线ab1，使ab1＝a'b',ac1＝a'c';然后连接b1b，过c1作b1b的 平行线使与ab相交，如果交点与C点的水平投影c重合，则表明C点对AB的分段符合定比 分段法，此时C点在直线段AB上；反之不在直线段AB上。 1.3两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。其中平行和相交两直线均在同一 平面上，交叉两直线不在同一平面上，因此，又称为异面直线。 1. 两直线平行： 相同；反之，若两直线的同面投影都平行，则空间两直线互相平行。如图2-20(a)所示， 因为AB∥CD，则ab∥cd、a'b'//c'd'，且ab：cd= a'b'：c'd'。
1．水平投影积聚为一点 2．正面投影和侧面投影都 平行于Z轴，并反映实长
1．正面投影积聚为一 点2．水平投影和侧面 投影都平行于Y轴，并 反映实长
1．侧面投影积聚为一
侧
点
垂 线
2．正面投影和水平投 影都平行于X轴，并
反映实长
(3) 一般位置直线 一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实长，投 影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角，见图2-17。
影的夹角仍为直角；如果两直线都不平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影 不反映直角。如果两直线相交成直角、且其中有一条直线平行于某一投影面，则两直线在 该投影面上的投影仍然反映直角关系。通常称之为直角投影原理。
2-28所示，AB、BC为相交成直角的两直线，其中BC平行于Ｈ面（即水平线）， AB为一般位置直线。现证明两直线的水平投影ab和bc仍相互垂直，即bc垂直于ab。
图2-19 判别C点是否在线段AB上 作图：首先过a作一辅助线ab1，使ab1＝a'b',ac1＝a'c';然后连接b1b，过c1作b1b的 平行线使与ab相交，如果交点与C点的水平投影c重合，则表明C点对AB的分段符合定比 分段法，此时C点在直线段AB上；反之不在直线段AB上。 1.3两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。其中平行和相交两直线均在同一 平面上，交叉两直线不在同一平面上，因此，又称为异面直线。 1. 两直线平行： 相同；反之，若两直线的同面投影都平行，则空间两直线互相平行。如图2-20(a)所示， 因为AB∥CD，则ab∥cd、a'b'//c'd'，且ab：cd= a'b'：c'd'。
1．水平投影积聚为一点 2．正面投影和侧面投影都 平行于Z轴，并反映实长
1．正面投影积聚为一 点2．水平投影和侧面 投影都平行于Y轴，并 反映实长
1．侧面投影积聚为一
侧
点
垂 线
2．正面投影和水平投 影都平行于X轴，并
反映实长
(3) 一般位置直线 一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实长，投 影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角，见图2-17。
影的夹角仍为直角；如果两直线都不平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影 不反映直角。如果两直线相交成直角、且其中有一条直线平行于某一投影面，则两直线在 该投影面上的投影仍然反映直角关系。通常称之为直角投影原理。
2-28所示，AB、BC为相交成直角的两直线，其中BC平行于Ｈ面（即水平线）， AB为一般位置直线。现证明两直线的水平投影ab和bc仍相互垂直，即bc垂直于ab。
特殊位置直线的投影
§3-2 特殊位置直线的投影
二、投影面垂直线
空间垂直某一投影面的直线称为投影面垂直线。 投影面垂直线分为三种：
铅垂线 (⊥于H 面，∥于V 面和W 面)。
正垂线
侧垂线
(⊥于V 面，∥于H 面和W 面)。
(⊥于W 面，∥于H 面和V 面)。
§3-2 特殊位置直线的投影
二、投影面垂直线
本节结束
§3-2 特殊位置直线的投影
3.侧平线投影特性Fra bibliotek1)a” b” =AB ；
2)反映α、β实角； 3) ab∥OY 轴，a’b’∥OZ 轴。
Z V
a’ b’ X b a A β B
O
实长
β
a’
b’
Z
a”
β
实长
b” YW
a”
b”
X b a Y
O
YH
§3-2 特殊位置直线的投影
一、投影面平行线
归纳投影面平行线的投影特性： 直线在所平行的投影面上的投影反映实长、 投影与相应轴的夹角反映直线与另外两个投影 面的夹角实际大小； 直线的另两个投影平行于相应的轴，且长度 缩短。
二、投影面平行线
2.正平线
投影特性
Z a’
实长
V b’
1)a’b’ = AB ； 2)反映α 、γ实角； 3)ab ∥OX 轴，a’’b’’∥OZ 轴。
实长
a” b” b’ X b Y α
α B
b
A α O a
a’ O
Z
a” b” YW
X
a YH
§3-2 特殊位置直线的投影
一、投影面平行线
实长
V a‘ A X
第二讲 直线的投影
投影面垂直面
铅垂面
相仿性
a b Z c c β b a o c b
相仿性
a YW
投影面 垂直面的投 影特性是：
X
积聚性
γ
1)在其所垂直的投影面上，投影为斜直 线，有积聚性；该斜直线与投影轴的夹角反映 该平面对相应投影面的倾角； 2)如用平面图形表示平面，则在另外两 个投影面上的投影不是实形，但有相仿性。
作业
• 2－10，2-11，2-12，2-14，2-15
例1 试根据各种位置直线的投影特性判断三棱锥上六 条 棱边为什么位置的直线。 AB为 水平线 SB为 侧平线
V
；BC为 水平线 ； AC为 侧垂线 ； ；SA为一般位置直线 ； SC为 一般位置直线 。
Z
s'
Z
s"
S a'
X
b'
s b
A B
投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 垂直于某一投影面
铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
2.1 一般位置直线
直线与H、V 和W 三投影面的夹角分别用 α、β、γ表示。 投影长分别是： a b = AB cosα
ab = AB cosβ ab=AB cosγ
一般位置直线投影特性
YH
名称 铅垂面 （H）
立体图
投影图
投影特性
1)H投影为斜直线， 有积聚性，且反 映、 大小 2)V、W投影不是 实形，但有相仿 性。 1)V投影为斜直线， 有积聚性，且反 映、大小 2)H、W投影不是 实形，但有相仿 性。
正垂面 （V）
侧垂面
（W）
1)W投影为斜直线， 有积聚性，且反 映、大小 2)H、V投影不是 实形，但有相仿 性。
02直线的投影与三视图
直线的投影（知识点2）
五、直线上的点
V
a c C A a c b H b B
定比性
a c
b
X
X
a c
b
直线上的点分割线段之比等于其投影之比。即： AC/CB=ac/cb=ac/cb 定比定理
直线的投影（知识点2）
［例1］判断点C是否在线段AB上。
a c b X a c b YH Z a
实长
直线的投影（知识点2）
四、一般位置直线
1、一般位置直线投影特性
各投影的长度均小于直线本身的实长和倾角。 直线的各投影均不平行于各投影轴。
直线的投影（知识点2）
五、直线上的点
从属性
a′
X
c′
b′
Z
b″ c″
a″
O
c
b
Y
Y
a
若点在直线上，则点的各个投影必在直线 的同面投影上。反之，如果点的各个投影均在 直线的同面投影上，则点在直线上。
投影面平行线
名称 立 体 图
正平线(∥V )
水平线(∥H）
侧平线∥W )
投 影 图
(1)ef∥OYH, 投 (1)ab∥OX, (1)cd∥OX, ab∥OZ ef∥OZ； cd∥OYW 影 (2)cd=CD ； (2)ef=EF 特 (2)ab =AB 性 (3)反映夹角、 大小。 (3)反映夹角 、 大小。 (3)反映夹角、大小。
直线的投影（知识点2）
一、直线的分类
正平线（平行于Ｖ面） 投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 正垂线（垂直于Ｖ面） 只平行于一投影面
投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面）
铅垂线（垂直于Ｈ面）
直线的投影
2.投影面垂直线
正垂线
立 体 及 其 三 视 图
投 影 轴 测 图
直 线 投 影 图
直线的投影
铅垂线
侧垂线
投影特性： 在所垂直的
投影面上的投影 积聚为一点；
另外两个投 影反映实长，且 垂直于相应的轴。
直线的投影 二、直线对投影面的各种相对位置及投影特性
3.一般位置直线 对三个投影面都是倾斜的直线称为一般位置直线。
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位 置直线则不能。
用直角三角形法求一般位置直线的真长和倾角。
ΔABD为直角三角形，
其中AB为实长，AD=ab，α
为AB对H面的倾角，BD=Bb-
Db=b＇bX- a＇aX=ΔZ（直 线段AB两端点的Z坐标差）。
D
因此，已知ＡＢ投影，可以
通过ab和ΔZ作辅助直角三
角形求出AB及α角。
直线的投影 三、用直角三角形法求直线的真长及对投影面的倾角
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位 置直线则不能。
用直角三角形法求一般位置直线的真长和倾角。
D
直线的投影 三、用直角三角形法求直线的真长及对投影面的倾角
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位 置直线则不能。
在两直线交叉垂直时，也同样具有上述特性。
直线的投影 六、一边平行于投影面的直角的投影
例5: 如图a所示，求点A到直线BC的距离AK。
分析：由图可知BC∥V面，而AK⊥BC，故根据直 角投影定理可得：a′k′⊥b′c′。
图a
用直角三角形法求AK的实长
投影。投影用粗实线绘制。
直线的投影
直线投影基本知识
Z
b
Z
b
a
B b
a
b
a
X
O
YW
X
O
b
b A
a
a
Ya
投影特性：1.a b、 a b 、a b 均小于实长 YH
2 、a b、a b 、a b 均倾斜于投影轴 3 、不直接反映直线对投影面的倾角
（2）投影面平行线
水平线—
平行于水平投影面的直线
z
Z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
XB Oba Nhomakorabeaa
b
Y
投影特性: 1． a b =AB
b'
O b
求一般位置直线的实长及其与W面的夹角γ
Z V
b'
B b"
a'
γ
W
X
X O
A
b
a
H
a" Y
X
Z b' b"
实长 γ
a' X
X
a"
O
YW
b
a YH
实长 β
Y a' X
X Z b' b"
γ
实长
a"
O
YW
αb
a
实长 YH
Z
[例] 如图所示, 求直线AB的真长及其对投影面H、V 的倾角α、β。
行，空间两直线就平行。
（2）对于投影面平行线，可采用以下两种方法:
1）若用两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。
2）作出投影面平行线的三面投影。
（2）两直线相交
正投影法基础_03
定
理 二
若一直线过平面上的 一点，且平行于该平 面上的另一直线，则 此直线在该平面内。
先找出过此点而又在平面内的一条直线作 面上取点的方法： 为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。12ຫໍສະໝຸດ 怎样求平面上的投影面平行线？
f
c
a d b
f
a d
c
b
6. 已知正平线在V面内投影长a’b’=40mm， 与H面的夹角为30度，求直线AB的两投影。
a’ b a
m’ p m
c
d’ f’
n
a’ g’ b’ c’
特殊情况： 若两投影面垂直面相 互平行，则它们具有积聚 性的那组投影也平行。
d f
e’
a
e
b g
c
例
试判断两平面是否平行
a b n m c r f s e
X c n m a
d e
O
d r f b
s
结论：两平面平行
26
27
五、几何元素间的相对位置
㈠ 平行问题
㈡ ㈡ 相交问题 相交问题
㈢㈢ 垂直问题 垂直问题
15
㈠
平行问题
1 直线与平面平行
2 平面与平面平行
16
1.两直线平行
b′ a′ c′ O b a c d d′
X
投影特性：
空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行， 反之亦然。
例：判断图中两条直线是否平行。
如何判断
求出侧面投影
结论:AB与CD不平行
2
直线与平面平行
P
C
A
D
B
若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线 与该平面平行。