3-直线的投影及两只线的相对位置关系
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第三章 基本几何元素的投影(3-2)
c
B
CD
A
ac
b d
H
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二、直线上的点 a
k● b
a k●
b
§3.2 直线的投影 a 判断点K是否在线段AB上。
●k b
因k不在a b上， 故点K不在AB上。
另一判断法是
因ak:kb≠ ak:kb 故点K不在AB上。
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二、直线上的点
§3.2 直线的投影
例:试在直线AB上取一点C，使AC:CB=1:2，求 作C点。
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§3.2 直线的投影
三、两直线的相对位置关系——平行、相交、交叉
例：判断图中两条直线是否平行。
① b
d
a
X
c
a
c
bd
对于一般位置直线， 只要有两个同名投影互相 平行，空间两直线就平行。
结论：AB//CD
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§3.2 直线的投影
三、两直线的相对位置关系——平行、相交、交叉
c
b
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
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§3.2 直线的投影
2、交叉垂直的两直线的投影
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
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§3.2 直线的投影
四、直角投影定理
例： 过Ｂ点作直线ＢＣ垂直于ＡＢ,ＢＣ为任意长度。
a′
b′
X a
b
O
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§3.2 直线的投影
四、直角投影定理 题意分析： 有无穷多解，可任意做一解。
b′ a′
X a
b
O
水平线（实长）
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直线的投影
图2-19 判别C点是否在线段AB上
图2-19 判别C点是否在线段AB上 作图：首先过a作一辅助线ab1，使ab1＝a'b',ac1＝a'c';然后连接b1b，过c1作b1b的 平行线使与ab相交，如果交点与C点的水平投影c重合，则表明C点对AB的分段符合定比 分段法，此时C点在直线段AB上；反之不在直线段AB上。 1.3两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。其中平行和相交两直线均在同一 平面上，交叉两直线不在同一平面上，因此，又称为异面直线。 1. 两直线平行： 相同；反之，若两直线的同面投影都平行，则空间两直线互相平行。如图2-20(a)所示， 因为AB∥CD，则ab∥cd、a'b'//c'd'，且ab：cd= a'b'：c'd'。
1．水平投影积聚为一点 2．正面投影和侧面投影都 平行于Z轴，并反映实长
1．正面投影积聚为一 点2．水平投影和侧面 投影都平行于Y轴，并 反映实长
1．侧面投影积聚为一
侧
点
垂 线
2．正面投影和水平投 影都平行于X轴，并
反映实长
(3) 一般位置直线 一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实长，投 影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角，见图2-17。
影的夹角仍为直角；如果两直线都不平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影 不反映直角。如果两直线相交成直角、且其中有一条直线平行于某一投影面，则两直线在 该投影面上的投影仍然反映直角关系。通常称之为直角投影原理。
2-28所示，AB、BC为相交成直角的两直线，其中BC平行于Ｈ面（即水平线）， AB为一般位置直线。现证明两直线的水平投影ab和bc仍相互垂直，即bc垂直于ab。
图2-19 判别C点是否在线段AB上 作图：首先过a作一辅助线ab1，使ab1＝a'b',ac1＝a'c';然后连接b1b，过c1作b1b的 平行线使与ab相交，如果交点与C点的水平投影c重合，则表明C点对AB的分段符合定比 分段法，此时C点在直线段AB上；反之不在直线段AB上。 1.3两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。其中平行和相交两直线均在同一 平面上，交叉两直线不在同一平面上，因此，又称为异面直线。 1. 两直线平行： 相同；反之，若两直线的同面投影都平行，则空间两直线互相平行。如图2-20(a)所示， 因为AB∥CD，则ab∥cd、a'b'//c'd'，且ab：cd= a'b'：c'd'。
1．水平投影积聚为一点 2．正面投影和侧面投影都 平行于Z轴，并反映实长
1．正面投影积聚为一 点2．水平投影和侧面 投影都平行于Y轴，并 反映实长
1．侧面投影积聚为一
侧
点
垂 线
2．正面投影和水平投 影都平行于X轴，并
反映实长
(3) 一般位置直线 一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实长，投 影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角，见图2-17。
影的夹角仍为直角；如果两直线都不平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影 不反映直角。如果两直线相交成直角、且其中有一条直线平行于某一投影面，则两直线在 该投影面上的投影仍然反映直角关系。通常称之为直角投影原理。
2-28所示，AB、BC为相交成直角的两直线，其中BC平行于Ｈ面（即水平线）， AB为一般位置直线。现证明两直线的水平投影ab和bc仍相互垂直，即bc垂直于ab。
画法几何制图—平面投影及相对位置
② 若两投影面垂直面相互平行，
则它们具有积聚性的那组投影
必相互平行。
a
b c d
c d
b
b d
a c
e
d
b
ac
e
e f
f e
f h h
f
//
三峡大学
44
2 . 判 例别 判下 断列 下平 列面 两与 平平 面 面是 是否 否平 平行 行。
a )
b ) 举例
平行
不平行
三峡大学
45
二、相交问题(重点与难点)
三峡大学
22
例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面 的距离为10mm。
a
10
m
n
c
b
b
c
n m
a
唯一解！
三峡大学
23
⒉ 平面上取点
若点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上。 即：点在线上，则点在面上。
三峡大学
24
面上取点的方法：
首先面上取线
先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助 线，然后再在该直线上确定点的位置。
铅垂面(⊥H) 正垂面(⊥V) 侧垂面(⊥W)
水平面(//H) 正平面(//V) 侧平面(//W)
与三个投影面都倾斜 一般位置平面
三峡大学
9
1） 投影面垂直面的投影
铅垂面
V PB
c
a
a
W
b
A
a b
H
C PH c
a c
b 投影特性：
1. abc积聚为一条线， 与OX、 OYH的夹角反映、角； 2 .abc、 abc为ABC的类似形；
1’ b’
工程制图 第三章 知识点
工程制图第三章学问点第三章一、点的投影两点的相对位置 :X 坐标值大的点在左; Y 坐标值大的点在前; Z 坐标值大的点在上。
二、直线的投影1、各种位置直线的投影特性(1 投影面平行直线:在平行的投影面上的投影,反映实长;投影与投影轴的夹角分别反映直线与另两个投影面的真实倾角; 在另两个投影面上的投影, 平行于相应的投影轴,长度缩短。
(2 投影面垂直直线:在直线垂直的投影面上的投影积聚成一点; 在另两个投影面上的投影,平行于相应的投影轴,反映实长。
(3 一般位置直线:三个投影面上的投影都倾斜于投影轴; 投影与投影轴的夹角不反映直线与投影面的倾角;不反映实长(缩短。
2、直线上点的投影特性及定比关系 (1从属性:若点在直线上,则点的各个投影必在直线的各同面投影上。
(2定比性:属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。
3、两直线的相对位置关系及投影特性(1平行:三对同面投影分别相互平行。
(2 相交:三对同面投影都分别相交, 且投影的交点符合一点的三面投影特性。
(3交叉:既不符合平行特性也不复合相交特性。
推断两直线相交还是交叉的方法:(1 交点投影法:推断三个投影面的交点是否满意点的投影规章。
(通常需要做出第三投影面的两直线投影来推断(2定比关系法:由投影面的一条直线的交点投影,依据定比关系作出该交点在另一个投影面在该直线上的点的位置, 假如两个投影面上的交点是同一点, 则可推断两直线相交,反之则交叉。
4、直角三角形法 (求一般位置直线的实长和倾角直角三角形法的作图要领 :用线段在某投影面上的投影长作为一条直角边,以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边, 所作直角三角形的斜边即为线段的实长,斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的倾角。
直角边与倾角的对应关系如下表:解题原则:求直线与哪个投影面的倾角, 就用哪个投影面上的投影长作为一条直角边。
5、直角的投影定理相互垂直的两直线, 其中有一条直线平行于投影面时, 则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。
08根据两直线的投影判别两直线的相对位置
2.3 直线的投影
（2）直线平行于投影面（图2-16（b）） 其投影的长度反映空间线段的实际长度，即:ab=AB，这种特性称为真形性。
（3）直线倾斜于投影面（图2-16（c））
图2-16 直线对一个投影面的投影特性
其投影仍为直线，但投影的长度比空间线段的实际长度缩短了，即 ab=ABcosα。这种特性称为类似性。
图2-17 一般位置直线
2.3 直线的投影
2.3.3 直线上的点 如图2-18所示，直线与其上的点有如下关系: （1）点在直线上，则点的投影必定在直线的同面投影上; （2）点在直线上，则点分割线段之比等于其投影之比。 即ac∶cb=a′c′∶c′b′=a″c″:c″b″=AC∶CB
图2-18 直线上的点
2.3 直线的投影
教学目的：
1.熟练掌握各种位置直线的投影特性，并能根据投影特性 判别直线对投影面的相对位置。 2.掌握直线上点的投影特性。 3.掌握不同相对位置的两直线的投影特性。
教学重点：
1.特殊位置直线的投影特性。 2.判断两直线的相对位置。
教学难点：
1.根据直线的投影特性判别直线对投影面的相对位置。 2.根据两直线的投影判别两直线的相对位置。
判断空间两直线是否平行，一般情况下，只需判断两直线的任意两对同 名投影是否分别平行，如图2-23（b）所示。但是当两平行直线均平行于某一 投影面时，只有当所平行的投影面上的投影平行时才能判断其相互平行。如 图2-24（a）所示（CD，EF为侧平线），虽然cd∥ef，c′d′∥e′f′，但求 出侧面投影（图2-24（b））后，由于c″d″不平行于e″f″，故CD，EF不平 行。在这种情况下，一种方法是求出它们在的平行的投影面上的投影进行判 断;另一种方法是利用平行两直线共面，其投影保持定比的规律进行判断。
直线的投影知识
图4-28 一般位置直线
1.2 直线上点的投影特性
1. 从属性
直线上点的投影必在该直线的同面投影上，该特性称为点的从 属性。如图4-29所示，C点在直线AB上，根据点在直线上投影的从 属性和点的三面投影规律，可知C点的三面投影c、c′、c″分别在直线 的同面投影ab、a′b′、a″b″上，并且三面投影符合点的投影规律。
1.1 空间各种位置直线的投影特性
1.1 空间各种位置直线的投影特性
投影面垂直线的投影共性为： 直线在所垂直的投影面上的投影积 聚为一点，其他两投影反映实长， 且垂直于相应的两投影轴。
1.1 空间各种位置直线的投影特性
3. 一般位置直线
一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影 面上的投影都不反映实长，投影与投影轴之间的夹角也不 反映直线与投影面之间的夹角，如图4-28所示。
图4-31 两直线平行
1.3 两直线的相对位置
2. 两直线相交
空间中的两条直线如果相交，则它们的同面投影都相交， 并且交点符合点的投影规律。如果两直线有一个投影面的投影 不相交，则空间的两直线不是相交关系，如图4-32所示。
图4-32 两直线相交
1.3 两直线的相对位置
3. 两直线交叉
空间中两条直线如果交叉，则它们的同面投影既不相交 又不平行，如图4-33所示。
1.1 空间各种位置直线的投影特性
1. 投影面平行线
平行一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行 线。与H面平行的直线称为水平线，与V面平行的直线称为正平线，与 W面平行的直线称为侧平线。它们的投影特性如表4-1所示。规定直 线与H、V、W面的夹角分别用α、β、γ表示。
1.1 空间各种位置直线的投影特性
1.1 空间各种位置直线的投影特性
1.2 直线上点的投影特性
1. 从属性
直线上点的投影必在该直线的同面投影上，该特性称为点的从 属性。如图4-29所示，C点在直线AB上，根据点在直线上投影的从 属性和点的三面投影规律，可知C点的三面投影c、c′、c″分别在直线 的同面投影ab、a′b′、a″b″上，并且三面投影符合点的投影规律。
1.1 空间各种位置直线的投影特性
1.1 空间各种位置直线的投影特性
投影面垂直线的投影共性为： 直线在所垂直的投影面上的投影积 聚为一点，其他两投影反映实长， 且垂直于相应的两投影轴。
1.1 空间各种位置直线的投影特性
3. 一般位置直线
一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影 面上的投影都不反映实长，投影与投影轴之间的夹角也不 反映直线与投影面之间的夹角，如图4-28所示。
图4-31 两直线平行
1.3 两直线的相对位置
2. 两直线相交
空间中的两条直线如果相交，则它们的同面投影都相交， 并且交点符合点的投影规律。如果两直线有一个投影面的投影 不相交，则空间的两直线不是相交关系，如图4-32所示。
图4-32 两直线相交
1.3 两直线的相对位置
3. 两直线交叉
空间中两条直线如果交叉，则它们的同面投影既不相交 又不平行，如图4-33所示。
1.1 空间各种位置直线的投影特性
1. 投影面平行线
平行一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行 线。与H面平行的直线称为水平线，与V面平行的直线称为正平线，与 W面平行的直线称为侧平线。它们的投影特性如表4-1所示。规定直 线与H、V、W面的夹角分别用α、β、γ表示。
1.1 空间各种位置直线的投影特性
1.1 空间各种位置直线的投影特性
直线的投影
2.投影面垂直线
正垂线
立 体 及 其 三 视 图
投 影 轴 测 图
直 线 投 影 图
直线的投影
铅垂线
侧垂线
投影特性： 在所垂直的
投影面上的投影 积聚为一点；
另外两个投 影反映实长，且 垂直于相应的轴。
直线的投影 二、直线对投影面的各种相对位置及投影特性
3.一般位置直线 对三个投影面都是倾斜的直线称为一般位置直线。
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位 置直线则不能。
用直角三角形法求一般位置直线的真长和倾角。
ΔABD为直角三角形，
其中AB为实长，AD=ab，α
为AB对H面的倾角，BD=Bb-
Db=b＇bX- a＇aX=ΔZ（直 线段AB两端点的Z坐标差）。
D
因此，已知ＡＢ投影，可以
通过ab和ΔZ作辅助直角三
角形求出AB及α角。
直线的投影 三、用直角三角形法求直线的真长及对投影面的倾角
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位 置直线则不能。
用直角三角形法求一般位置直线的真长和倾角。
D
直线的投影 三、用直角三角形法求直线的真长及对投影面的倾角
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位 置直线则不能。
在两直线交叉垂直时，也同样具有上述特性。
直线的投影 六、一边平行于投影面的直角的投影
例5: 如图a所示，求点A到直线BC的距离AK。
分析：由图可知BC∥V面，而AK⊥BC，故根据直 角投影定理可得：a′k′⊥b′c′。
图a
用直角三角形法求AK的实长
投影。投影用粗实线绘制。
直线的投影
直线投影基本知识
Z
b
Z
b
a
B b
a
b
a
X
O
YW
X
O
b
b A
a
a
Ya
投影特性：1.a b、 a b 、a b 均小于实长 YH
2 、a b、a b 、a b 均倾斜于投影轴 3 、不直接反映直线对投影面的倾角
（2）投影面平行线
水平线—
平行于水平投影面的直线
z
Z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
XB Oba Nhomakorabeaa
b
Y
投影特性: 1． a b =AB
b'
O b
求一般位置直线的实长及其与W面的夹角γ
Z V
b'
B b"
a'
γ
W
X
X O
A
b
a
H
a" Y
X
Z b' b"
实长 γ
a' X
X
a"
O
YW
b
a YH
实长 β
Y a' X
X Z b' b"
γ
实长
a"
O
YW
αb
a
实长 YH
Z
[例] 如图所示, 求直线AB的真长及其对投影面H、V 的倾角α、β。
行，空间两直线就平行。
（2）对于投影面平行线，可采用以下两种方法:
1）若用两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。
2）作出投影面平行线的三面投影。
（2）两直线相交
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一边平行于投影面的直角的投 影特性
例题 3
练习1
练 习 2
练习3
练习4
各种位置的直线的投影及相对位置关系
一、各种位置的直线的投影特性及应用
投影面平行线 投影面垂直线 一般位置直线
二、直线的相对位置关系
相交 平行 交叉
投影特性 及应用
一、特殊位置直线的投影及特性
1. 投影面平行线的投影及其特性：正平 线、侧平线、水平线
2. 投影面垂直线的投影及其特性：正垂 线、侧垂线、铅垂线
二、一般位置直线的投影及其 真长与倾角的图解方法
1. 一般位置直线的投影特性
2. 一般位置的直线的真长与倾角的图解 方法
直角 三角 形法 求直 线实 长的 基本 原理
三、 直线上的点的投影特性
1. 在直线的同面投影上
2. 按比例等分线段
2~4 两直线的相对位置
1. 相交
2. 平行
投影 特性
及
3. 交叉
应用
两相交直线的判断方法
两 相 交 直 线 的 投 影
例 题 1
两 平 行 直 线 的 投 影
例题 2
两交叉直线的空间位置及投影
两交叉直线的投影特性----1
重影点 可见性 的判断
交叉直线的投影----2
二、一边平行于投影面的直角的投影
1. 投影特性 2. 应用：例题：求点A到水平线BC的距 离