二元一次不等式 PPT课件
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二元一次不等式(组)与平面区域 课件
|AB|＝|3×1＋－32×－1＋6|＝ 122.
∴S△ABC＝12×
12 × 2
122＝36.
(2)画出2x－3＜y≤3表示的区域，并求所有的正整数解．
【思路分析】
原不等式等价于
y＞2x－3 y≤3.
而求正整数解，则意味着x，y还有限制条件，即求：
xy＞ ＞00 y＞2x－3，
y≤3
的整数解．
例3 画出不等式组2x＋x＋2yy－－51≤＞00 ，所表示的平面区域． y＜x＋2
【思路分析】 解决这种问题的关键在于正确地描绘出边 界直线，再根据不等号的方向，确定所表示的平面区域．
【解析】 先画直线x＋2y－1＝0，由于是大于号，从而将 直线画成虚线，∵0＋0－1<0，∴原点在它的相反区域内．
如图中阴影部分中横坐标、纵坐标均为整数的点．
探究5 充分利用已知条件，找出不等关系，画出适合条件 的平面区域，然后在该平面区域内找出符合条件的点的坐 标．实际问题要注意实际意义对变量的限制．必要时可用表格 的形式列出限制条件．
思考题6 一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资
源需求如下表：
品种 电力/kW·h 煤/t 工人/人
(2)设直线l方程为Ax＋By＋C＝0(A＞0)，则 ①Ax＋By＋C＞0表示l右侧平面区域． ②Ax＋By＋C＜0表示l左侧平面区域．
思考题1 (1)不等式x－2y≥0所表示的平面区域是下图中的 ()
【解析】
x－2y＝0的斜率为
1 2
，排除C、D.又大于0表示直
线右侧，选B.
【答案】 B
(2)不等式x＋3y－6＜0表示的平面区域在直线x＋3y－6＝0的
【解析】 如图，在其区域内的整数解为(1,1)、(1,2)、 (1,3)、(2,2)、(2,3)，共五组．
二元一次联立不等式的图示
(通常為x、y的一次式) 5. 求出可行解區域頂點所對應的目標函數
值，檢驗其最大值或最小值。
AB (ax1+by1+c)(ax2+by2+c) > 0 若 與L相交，則(ax1+by1+c)(ax2+by2+c) ≤ 0
線性規劃
1. 線性規劃 2. 可行解與最佳解 3. 可行解區域 4. 線性規劃應用問題求解的一般步驟
線性規劃
「在數對(x , y)滿足一組二元一次聯立 不等式的條件下，求得一個二元一次 函數 f (x , y)的最大、最小值」的問題 ，稱為線性規劃問題。
及直線 L
二元一次聯立不等式的圖示
二元一次聯立不等式
的圖解為 右圖交叉線所覆蓋區域。 二元一次聯立不等式解的圖 形，就是聯立不等式中各不 等式圖形的共同部分。
點在直線的同側、異側
設直線L：ax+by+c=0及A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點，則 1. A 、B在L的異側
(ax1+by1+c)(ax2+by2+c) < 0 2. A、B在L的同側
2 x 5 x y 8 x 3y 5
的可行解區域為右圖斜 線覆蓋區域。
線性規劃應用問題求解 的一般步驟
1. 將題目資料列成簡明的表。 2. 依題意列出限制條件，以聯立不等式表示。 3. 圖解限制條件(聯立不等式)，即畫出可
行解區域，並求出各頂點的坐標 。 4. 依題意列出目標函數 f (x,y)。
及直線 L 3. ax+by+c < 0的圖形表直線L的左側半平面 4. ax+by+c ≤ 0的圖形表直線L的左側半平面
值，檢驗其最大值或最小值。
AB (ax1+by1+c)(ax2+by2+c) > 0 若 與L相交，則(ax1+by1+c)(ax2+by2+c) ≤ 0
線性規劃
1. 線性規劃 2. 可行解與最佳解 3. 可行解區域 4. 線性規劃應用問題求解的一般步驟
線性規劃
「在數對(x , y)滿足一組二元一次聯立 不等式的條件下，求得一個二元一次 函數 f (x , y)的最大、最小值」的問題 ，稱為線性規劃問題。
及直線 L
二元一次聯立不等式的圖示
二元一次聯立不等式
的圖解為 右圖交叉線所覆蓋區域。 二元一次聯立不等式解的圖 形，就是聯立不等式中各不 等式圖形的共同部分。
點在直線的同側、異側
設直線L：ax+by+c=0及A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點，則 1. A 、B在L的異側
(ax1+by1+c)(ax2+by2+c) < 0 2. A、B在L的同側
2 x 5 x y 8 x 3y 5
的可行解區域為右圖斜 線覆蓋區域。
線性規劃應用問題求解 的一般步驟
1. 將題目資料列成簡明的表。 2. 依題意列出限制條件，以聯立不等式表示。 3. 圖解限制條件(聯立不等式)，即畫出可
行解區域，並求出各頂點的坐標 。 4. 依題意列出目標函數 f (x,y)。
及直線 L 3. ax+by+c < 0的圖形表直線L的左側半平面 4. ax+by+c ≤ 0的圖形表直線L的左側半平面
高中数学第三章不等式3.3.1二元一次不等式组与平面区域课件新人教A版必修5
2 + ≤ 9,
则有
该不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示
≥ 0,
≥ 0.
(含边界).
-19-
二元一次不等式(组)与
平面区域
探究一
探究二
课前篇自主预习
探究三
思维辨析
课堂篇探究学习
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当堂检测
反思感悟用二元一次不等式组表示实际问题的步骤
1.先根据问题的需要选取起关键作用且关联较多的两个量,并用字
(1)定义:我们把含有两个未知数,并且未知数的最高次数是1的不等
式称为二元一次不等式;把由几个二元一次不等式组成的不等式组
称为二元一次不等式组.
(2)解集:满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x,y),
所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的
解集.有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是,二元一次
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用二元一次不等式(组)表示实际问题
例3投资生产A产品时,每生产100 吨需要资金200 万元,需场地200
平方米;投资生产B产品时,每生产100 吨需要资金300 万元,需场地
100 平方米.现某单位可使用资金1 400 万元,场地900 平方米,用数
学关系式和图形表示上述要求.
(1,0)作为测试点.
-6-
二元一次不等式(组)与
平面区域
课前篇自主预习
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3.做一做:
(1)判断正误.
①不等式Ax+By+C>0是二元一次不等式.(
)
②点(1,3)在不等式2x-y-2<0所表示的平面区域内. (
)
则有
该不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示
≥ 0,
≥ 0.
(含边界).
-19-
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反思感悟用二元一次不等式组表示实际问题的步骤
1.先根据问题的需要选取起关键作用且关联较多的两个量,并用字
(1)定义:我们把含有两个未知数,并且未知数的最高次数是1的不等
式称为二元一次不等式;把由几个二元一次不等式组成的不等式组
称为二元一次不等式组.
(2)解集:满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x,y),
所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的
解集.有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是,二元一次
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用二元一次不等式(组)表示实际问题
例3投资生产A产品时,每生产100 吨需要资金200 万元,需场地200
平方米;投资生产B产品时,每生产100 吨需要资金300 万元,需场地
100 平方米.现某单位可使用资金1 400 万元,场地900 平方米,用数
学关系式和图形表示上述要求.
(1,0)作为测试点.
-6-
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平面区域
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3.做一做:
(1)判断正误.
①不等式Ax+By+C>0是二元一次不等式.(
)
②点(1,3)在不等式2x-y-2<0所表示的平面区域内. (
)
二元一次不等式
值为14万元.
3
线性规划的相关概念
例子中，利润函数z=2x+3y是关于x，y的目标函 数，其中x，y满足的平面区域的条件常称为约束条件， 由于都是由二元一次不等式组构成的,所以又称为线 性约束条件；如：
x 2y 8 4x 16 4 y 12 x 0, y 0
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小 值的问题，统称为线性规划问题．
值，使式中x、y满足下列条件：
2x 3y 24
xy
y 6
7
x 0
y 0
8y
D(0,6)
C(3,6) y=6
x-y=7
B(9,2)
O
A(7,0) 12 x
2x+3y=24
解：平面区域如图所示，可行解区域为多边形 OABCD，其中A(7,0),B(9,2),C(3,6),D(0,6).
二元一次不等式表示的平面区域
例1 画出不等式x+4y<4表示的平面区域.
解：先作出边界直线x+4y=4, 并画成虚线.
取原点（0，0）代入x+4y4，因为 0+40-4=-4<0
所以原点（0，0）在x+4y4<0表示的平面区域内，不等 式x+4y<4表示的区域如图所示 （在直线x+4y=4的左下方）
线性规划
可行解 ：满足线性约 束条件的解(x，y)叫可 行解； 如（1，2）、 （4，2）等. 可行域 ：由所有可行解 组成的集合叫做可行域； 如图中阴影部分中的整数 点坐标的集合
y
x+2y=8
4 3
0
y=3
x
4
8
人教a版必修五课件：二元一次不等式(组)与平面区域(62页)
2．点(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0的右上方，则一定 有Ax0＋By0＋C>0吗？
提示：不一定．与系数B的符号有关．
3．若A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在直线Ax＋By＋C＝0的 同侧或两侧应满足什么条件？
提示：同侧(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.异侧(Ax1＋ By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.
新知初探
1．二元一次不等式及其解集的意义 (1)二元一次不等式 含有两 个未知数，并且含未知数的项的最高次数是 1 的不等式称为二元一次不等式． 二元一次不等式的一般形式是Ax＋By＋C>0，Ax＋By ＋C<0，Ax＋By＋C≥0，Ax＋By＋C≤0，其中A，B不同 时为零．
(2)二元一次不等式组 由几个 二元一次不等式 组成的不等式组称为二元一次 不等式组． (3)二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对 (x，y)，所以这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一 次不等式(组)的解集．一个二元一次不等式，它的解是一些 数对(x，y)，因此，它的解集不能用数轴上一个区间表示， 而应是平面上的一个区域．
By＋C＝0划分平面成两个半平面的区域，分别由不等式Ax ＋By＋C>0与Ax＋By＋C<0决定．因此，如同前面所学平面 内的直线可以视为二元一次方程的几何表示一样，半平面 就是二元一次不等式的几何表示．
思考感悟
1．每一个二元一次不等式(组)都能表示平面上的一个 区域吗？ 提示：不一定．当不等式组的解集为空集时，不等式 组不表示任何图形．
7 答案：4
类型三 [例3]
点与平面区域的关系 已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点中有
二元一次不等式组
15，18，27块，用数学关系式和图形表示上述要求. y 解:设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,得
15
规格类型
10钢板类型 A规格 B规格 C规格 8 2 1 1 第一种钢板 6 1 2 3 4 第二种钢板 2 18 0 2 4 6 8 12 27 x+2y=18
2x+y=15
2 x y 5, x 2 y 18, x 3 y 27, x 0, y 0.
在平面直角坐标系中， 不等式x-y<6表示直线x-y=6 左上方的平面区域；如图。
二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6 右下方的区域；如图。 直线叫做这两个区域的边界
（3）结论：
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标 系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成 的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 3．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把它的坐标 （x,y)代入Ax+By+C，所得的符号都相同，所以只需
在此直线的同一侧取一特殊点（x0,y0)，从
Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪 一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为
此特殊点）
例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮 甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t,硝酸盐；生产1车皮 乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库 存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产两种混合 肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应 的平面区域。 解：设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数 于是满足以下条件：
2020版人教A数学必修5 课件：3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
即时训练3-1:某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子,每张桌子需木工和 漆工两道工序完成.已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h和 2 h,漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h和1 h.又木工、漆工 每天工作分别不得超过8 h和9 h.请列出满足生产条件的数学关系式,并 画出相应的平面区域.
3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
[目标导航]
1.知道什么是二元一次不等式及二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,并会画其表示的平面 课标要求 区域. 3.能从实际情境中抽象出二元一次不等式组,并能用平面 区域表示二元一次不等式组的解.
x y 2 1 0,
x ky k 0
(2)将图中阴影部分表示的平面区域,用不等式表示出来.
(2)解:由图(1)可知,其边界所在的直线在 x 轴和 y 轴上的截距均为 1,故边界所在的直线 方程为 x+y-1=0, 将原点(0,0)代入直线方程 x+y-1=0 的左边,得 0+0-1<0, 故所求的不等式为 x+y-1≤0;
思考1:不等式2x-3y>0是二元一次不等式吗? 答案:是,符合二元一次不等式的两个特征. 2.二元一次不等式表示的平面区域
表示直线 Ax+By+C=0
某一侧
二元一次不等式Ax+By+C>0 所有点组成的平面区域,我们把直线画 成 虚线 ,以表示区域 不包括 边界
表示直线 Ax+By+C=0
某一侧
y
1)
0,
表示的平面区
域的面积等于( )
二元一次不等式表示的区域-PPT课件
20
应用举例21Fra bibliotek[例1] 画出不等式 2x+y6<0表示的 平面区域.
22
x y5 0
[例2] 画出不等式组
x
y0
x
3
表示的平面区域.
23
[例3] 画出不等式 (x+2y+1)(xy+4) <0表示的平面区域.
24
课堂练习
25
1. 作出下列二元一次不等式或不 等式组表示的平面区域.
方的平面区域；③ 在l的左下方的平
面区域.
y l
1
O1
x
7
在平面直角坐标系中，所有点被
直线l分三类：① 在l上；② 在l的右上
方的平面区域；③ 在l的左下方的平
面区域.
y
l2
取集合A的点(1, 1)、 1
(1, 2)、(2, 2)等，我们发
现这些点都在l的右上方 O 1 2 x
的平面区域.
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
二元一次不等式表示的平面区域
1
新课引入
2
我们知道一元一次不等式和一元二 次不等式的解集都表示数轴上的点集， 那么在平面坐标系中，二元一次不等式 的解集的意义是什么呢？
3
具体例子
4
我们知道, 在平面直角坐标系中,
以二元一次方程 x+y1=0的解为坐标
的点的集合{(x, y)|
y l
x+y1=0}是经过点
所以，在平面直角坐标系中，以
二元一次不等式 x+y1>0
y
的解为坐标的点的集合 l
{(x, y)|x+y1>0}是直线l: 1
应用举例21Fra bibliotek[例1] 画出不等式 2x+y6<0表示的 平面区域.
22
x y5 0
[例2] 画出不等式组
x
y0
x
3
表示的平面区域.
23
[例3] 画出不等式 (x+2y+1)(xy+4) <0表示的平面区域.
24
课堂练习
25
1. 作出下列二元一次不等式或不 等式组表示的平面区域.
方的平面区域；③ 在l的左下方的平
面区域.
y l
1
O1
x
7
在平面直角坐标系中，所有点被
直线l分三类：① 在l上；② 在l的右上
方的平面区域；③ 在l的左下方的平
面区域.
y
l2
取集合A的点(1, 1)、 1
(1, 2)、(2, 2)等，我们发
现这些点都在l的右上方 O 1 2 x
的平面区域.
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
二元一次不等式表示的平面区域
1
新课引入
2
我们知道一元一次不等式和一元二 次不等式的解集都表示数轴上的点集， 那么在平面坐标系中，二元一次不等式 的解集的意义是什么呢？
3
具体例子
4
我们知道, 在平面直角坐标系中,
以二元一次方程 x+y1=0的解为坐标
的点的集合{(x, y)|
y l
x+y1=0}是经过点
所以，在平面直角坐标系中，以
二元一次不等式 x+y1>0
y
的解为坐标的点的集合 l
{(x, y)|x+y1>0}是直线l: 1
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y
B
(1 , 2)
A(2 , 4 )
② zxy
在__C__处有最大值_1__， 在_B___处有最小值__-3_；
0 C(1 , 0 )
x
x+y=0
知 求最优解的方法：
识 (1)数形结合法
归 纳
线性约束条件
转化
可行域
线性目标函数
转化
一组平行线
Z=Ax+By
y
x
Z B
最优解
转化
求纵截距 的最值
四个步骤：画、作、移、答
y
x
1
x 5 y 3
解：作出可行域
y
A
B
oC
x
5 x ＋3 y 15
y
x＋1
x －5 y 3
z＝3x＋5y
直线经过A点时，Z取最 求得A（1.5，2.5），B
大值；直线经过B点时， （－2，－1），则
Z取最小值。
Zmax=17，Zmin=－11。
思考与延伸：
x,y满足约束条件
5 x 3 y 15
件生产甲、乙两种产
品，每生产一件甲产
品使用4个A配件并耗
2
时1h，每生产一件乙
产品使用4个B配件并
耗时2h，该厂每天最
多可从配件厂获得16
个A配件和12个B配件，
按每天工作8h计算，
该厂所有可能的日生
产安排是什么？
2
4
6
8
【探究】： 若生产一件甲产 品获利2万元，生 产一件乙产品获 利3万元，采用哪 种生产安排获得 利润最大？
4 2
2
4
6
8
z2x3y
探究
问题转化为在不等式组的约束条件下
求目标式z=2x+3yy的最大值y
2 3
x
z 3
x 2y 8
4 4 x y
x 16 y 12 N
4 N（2，3）
3
M（4，2）
4
8
0
y
N 当 直 线M过 （4， 2） 时
y2x 31 2x Nhomakorabeax
4
Zm a x42231 4
知识归
简单的线性规划
可行解 可行域
求解方法：平移 直线法、代点验 算法
最优解
2、数形结合思想：距离、斜率、截距
作业：
《学法大视野》第29课时
纳
目标函数
（线性目标函数）
设z=2x+3y，式中变量满足下列条件：
x 2y 8
4 4
x y
16 12
x
0
y 0
线性约束条件
求z的最大值与最小值。
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最 小值问题，统称为线性规划问题。
知识归 纳
在线性约束条件下求线性目标函数的最大 值或最小值问题，统称为线性规划问题。
可行解
y
4
3
可行域
最优解
o
4
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
合作学习
例题1.如图，已知 ΔABC 中的三顶点 A (2,4 ),B ( 1,2 ), C (1 , 0), 点 P(x,y) 在 ΔABC内部及边界运动，
请你探究并讨论以下问题：
① zxy
在__A__处有最大值_6__， 在_B__C_处有最小值__1_；
数据分析表：
设甲、乙两种产品的日生产分别为 x, y 件，
每件耗时 A配件 B配件
（h） （x个 ）2 y 8 （个）
甲产x,品y 满足约束1 条件为
乙产品
2
44x,xy04y11620
,且0x, y N 4
作日出满生约足产束条件所 表8 示的平面区1域6 ，如图所1示2
【引例】：
某工厂用A、B两种配 4
3.3.2简单的线性规划问题(一）
复习回顾
1、画出二元一次不等式表示的平面区域的方 法：
方法1:直线定界，特殊点定域 方法2: 当B>0， Ax+By+C>0表示在直线的上方区域 当B<0， Ax+By+C>0表示在直线的下方区域 当B=0呢？
2、怎样画不等式组表示的平面区域呢？
【引例】： 某工厂用A、B两种 配件生产甲、乙两 种产品，每生产一 件甲产品使用4个A 配件并耗时1h，每 生产一件乙产品使 用4个B配件并耗时 2h，该厂每天最多 可从配件厂获得16 个A配件和12个B配 件，按每天工作8h 计算，该厂所有可 能的日生产安排是 什么？
y
x
1
x 5 y 3
(1)求z
y x＋4
的值域；
（2）求z＝(x 4)2 y2的最小值；
(3)求z x2 y2 4x的最小值。
(1) z[-12,151]
(2) z min
5
(3)
zmin
=
-
7 2
1、知识小结:
二元一次不等式 表示平面区域
直线定界， 特殊点定域
应
约束条件
用
目标函数
（2）代点验算法(适用于封闭的可行域)
思考与延伸：
已知目标函数是z=2x-ay，可行域如图所示（含边界）
（1）Z取最大值时最优解是（4，2），求a的取值范围。 （2）Z取得最大值的最优解有无数个，求实数a的值。
例题2：求Z＝3x+5y的最大值和最小值，
使x,y满足约束条件
5 x 3 y 15