12.31一次函数与二元一次方程(组)
一次函数与二元一次方程(组)
一次函数的图像和性质
图像
一次函数的图像是一条直线，可 以通过斜率和截距来确定。
斜率
斜率表示了函数的增长速率，可 以通过两点坐标计算得出。
截距
截距表示了函数与y轴的交点， 可以通过x=0来求解。
一元一次方程的定义和解法
1 定义
一元一次方程是一个只包含一个变量的一次 方程，形如ax + b = 0，其中a和b为常数，且a ≠ 0。
2 解法
通过移项和化简，可以逐步求解未知数x的值， 得到方程的解。
二元一次方程组的定义和解法
1 定义
二元一次方程组是一个包含两个变量的一次方程组，形如 ax + by = c dx + ey = f 其中a、b、c、d、e、f是已知的常数，且a、b、d、e不全为0。
2 解法
通过比较系数、消元和代入法，可以求解方程组的未知数x和y的值，得到方程组的解。
一次函数与一元一次方程的关系
1
函数转方程
可以通过将函数转化为方程的形式，找到函数的解。
2
方程转函数
可以通过将方程转化为函数的形式，得到函数的解析式。
3
二者的等价性
在某些情况下，函数与方程是等价的，它们可以互相转化而不改变问题的解。
一次函数与二元一次方程组的关系
线性表示
一次函数可以用于表示二元一 次方程组的每个方程，其中x为 自变量，y为因变量。
解析式
二元一次方程组的解可以转化 为一次函数的解析式。
图像
一次函数的图像可以在坐标平 面上表示二元一次方程组的解。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题和练习
通过一些设计精巧的例题和练习题，巩固对一次函数与二元一次方程(组)的理 解和应用。
数学《一次函数与二元一次方程组》教案
数学《一次函数与二元一次方程组》教案
教案名称：一次函数与二元一次方程组
教学目标：通过本课的学习，学生能够掌握一次函数的基本定义和性质，以及解一元一次方程的方法，进而学习二元一次方程组的解法。
教学重点：一次函数的定义、性质，一元一次方程的解法，二元一次方程组的解法。
教学难点：如何通过图像的分析和代数的运算解决实际问题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师问学生关于函数和方程的区别，为什么学习函数和方程的理由是什么。
二、知识讲解（30分钟）
1.一次函数的定义、性质
2.一元一次方程的解法
3.二元一次方程组的解法
三、案例讲解（20分钟）
1.通过实例分析，如何运用一次函数解决实际问题。
2.通过实例分析，如何运用二元一次方程组解决实际问题。
四、活动练习（35分钟）
1.课堂练习：练习解一元一次方程、二元一次方程组的方法。
2.讨论小组：分组讨论、解决实际问题的题目。
五、作业布置（5分钟）
布置作业：完成教师布置的课后作业，考试前复习相关知识点。
六、总结（5分钟）
通过本节课的学习，你掌握了哪些知识点？遇到哪些难点和疑问？
教学方法：讲授、分组讨论、课堂练习。
教学手段：多媒体课件，黑板、书本等。
教学资源：教材、课件、习题集。
一次函数与二元一次方程(组)的教学案例和反思
一次函数与二元一次方程（组）的教学案例和反思上周我完成了一次函数与二元一次方程（组）的教学，在教学中，我不断思索，不断创新。
多注重对学生的合作意识和自我探究能力的培养，在课堂中取得了很好的效果。
一、设计意图我校现采用的数学教材是新人教版，早在本教材的第八章，学生就已经学习了有关二元一次方程及方程组的知识，在本学期进入第十四章《一次函数》的学习之后，学生目前已经了解了有关函数的基本概念和表示方法，能根据已知条件确定一次函数的解析表达式及能画出一次函数的图像，了解如何用函数的观点去认识一元一次方程和一元一次不等式，知道一次函数与它们有着密切的关系。
在教学过程中，我发现我班的学生整体有着较好的数学基础且思维活跃，学生对于数学学习的积极性较高且兴趣浓厚，适合开展探究式学习.因此本节内容我决定以引导学生自主学习，通过活动进行分组合作探究学习的形式作为教学方式，来达到教学目的。
二、过程展示Ⅰ．提出问题，创设情境[师]我们知道，方程3x+5y=8可以转化为y=-35x+85，并且直线y=-35x+85上每个点的坐标（x，y）都是方程3x+5y=8的解．由于任何一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式．所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也就是对应一条直线．那么解二元一次方程组358 21 x yx y+=⎧⎨-=⎩可否看作求两个一次函数y=-35x+85与y=2x-1图象的交点坐标呢？如果可以，•我们是否可以用画图象的方法来解二元一次方程组呢？我们这节课就来解决这些问题．Ⅱ．导入新课[活动一]活动内容设计：一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式Ａ以每分钟0．1•元的价格按上网时间计费；方式Ｂ除收月基费20元外再以每分钟0．05元的价格按上网时间计算．如何选择收费方式能使上网者更合算？活动设计意图：通过这个活动，熟悉巩固用一次函数知识求二元一次方程组问题的方法，进一步提高把实际问题转化为数学问题的能力．教师活动：引导学生从实际问题中抽象出具体的数学问题，并应用所学方法求解．学生活动：在教师引导下建立两种计费方式的函数模型，然后比较求解．各小组合作探究。
12.3 一次函数与二元一次方程 教案
12.3 一次函数与二元一次方程教学目标：1. 理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会用图象法解二元一次方程组;2. 学习用函数的观点看待方程组的方法，进一步感受数形结合的思想方法;3. 经历图象法解方程组的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想．教学重难点：1. 重点：用图像法解二元一次方程组2. 难点：归纳图像法解二元一次方程组的具体方法。
教学过程：一、情境问题导入今天数学王国搞了个家庭Party ，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x+y=5”.二元一次方程和一次函数均让“x+y=5”入座他们的集合。
这是怎么回事？ x+y=5应该坐在哪里呢？学生活动，教师指导，观察、交流、思考。
学生尝试口述一次函数和二元一次方程的关系。
设计意图：激发学生兴趣，引起学生思考，通过学生的共同探究活动，得到一次函数和二元一次方程的关系。
二、新课讲授1、一次函数和二元一次方程的关系：任意一个二元一次方程都可以转化为y ＝kx ＋b 的形式。
试一试：把下列二元一次方程化为一次函数.（1）y-2x=1； （2）3x+2y=6 .2、对于3x 23-y +=这个函数，任意给出自变量x 的一些值，可以求得相应的y 值，列表，教师多媒体出示。
学生填表，师生共同纠正。
表中每一对x 、y 的值代入方程3x+2y=6都成立，所以每组有序数对都是方程3x+2y=6的解.以这些有序数对为坐标，在坐标平面内找出点作图，就得到二元一次方程3x+2y=6的图象.二元一次方程3x+2y=6的图象就是一次函数3x 23-y +=的图象.它是一条直线。
总结归纳：一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k 、b 为常数，且k ≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．3、二元一次方程组的图像解法。
思考：一个二元一次方程组可以写出两个一次函数，那么，二元一次方程组的解与这两个一次函数的图像有什么联系呢？在同一个直角坐标系中，画出下列二元一次方程的图象.（1） x+2y=2; （2）2x-y=-6学生作图，教师巡回指导，要求作图的严密性，直接影响结果的对与错。
12.3 一次函数与二元一次方程
梦栖皖水江畔 心驻黄山之巅 情系安徽学子 相约《点拨训练》
然后设直线A′B′对应的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
并将A′(3，2)，B′(6，5)的坐标代入y＝kx＋b中，得方
程组
解得
最后求得直线A′B′对应的
3k b 2, k 1,
函数表6达k 式b 为5y,＝x－1.b则在1解, 题过程中他运用到的数学
思想是( )
A．分类讨论与转化思想 B．分类讨论与方程思想 C．数形结合与整体思想 D．数形结合与方程思想
第十二章 一次函数
第3节 一次函数与二元一次方程
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1．直线y＝kx＋b(k≠0)对应的函数表达式就是一个关于x，
y的____二__元__一__次_____方程；以关于x，y的二元一次方程 y－kx＝b(k≠0)的解为坐标的点组成的图象就是一次函
数_______________的图象．
k1 k2
x x
b1 , b2 ,
x a,
y
b,
返回
知识点 1 一次函数与二元一次方程的关系
1．(中考·呼和浩特)以下四条直线，其中直线上每个点 的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解的是( ) C
返回
2．在同一平面直角坐标系中有两条直线：L1：y＝ 3 x 5
＋ 9 和L2：y＝－ 3 x＋6，它们的交点为P，L1与x 轴交5 于点A, L2与x2轴交于点B.求：
√
点拨 6题 返回
点拨： 根据轴对称的性质属于形，点的坐标属于数，可知
运用了数形结合的数学思想；根据解方程组，求得未 知数的值，可知运用了方程思想．
二元一次方程组与一次函数
二元一次方程组与一次函数一、定义和性质：ax + by = cdx + ey = f其中a、b、c、d、e、f是已知的实数，且a和d不同时为0。
在二元一次方程组中，有以下性质：1.若方程组中的两个方程的系数比例相同，则这个方程组无解或有无数多个解。
2.三个线性方程的组合也仍然是满足二元一次方程组性质的。
二、解法：1.消元法：通过将一个方程的任意倍数加到另一个方程上，消去一个未知数的项，从而得到一个关于另一个未知数的一次方程。
根据得到的方程解出一个未知数的值，再带入到另一个方程中求得另一个未知数的值。
2.代入法：将一个方程的一个未知数表达式代入到另一个方程中，从而得到一个只含有一个未知数的方程。
根据这个方程解出一个未知数的值，再带入到另一个方程中求得另一个未知数的值。
3.矩阵法：将方程组的系数和常数项构成矩阵，然后通过矩阵的运算方法（如行列式、逆矩阵等）求解未知数。
解方程组的关键是找到合适的方法和技巧。
对于一些特殊的方程组，还可以利用几何方法进行解答。
三、二元一次方程组与一次函数的关系：从形式上看，二元一次方程组和一次函数都是关于未知数的一次方程。
一次函数是变量的对应关系，而二元一次方程组是未知数之间的关系。
将二元一次方程组写成矩阵形式为：..[ab][x]=[c][de][y][f]可以将这个方程组解释为从二维平面上的两条直线的交点。
其中x和y分别是直线的横坐标和纵坐标，a、b、c、d、e、f是直线的特征系数。
而一次函数可以看作是二维平面上一条直线，其斜率m和常数项c与二元一次方程组的系数有关。
对于方程组中的第一个方程ax + by = c，其可以表示为 y = (-a/b)x + c/b，其中(-a/b)表达了直线的斜率m，c/b表达了直线的截距c。
因此，一次函数和二元一次方程组在形式上和几何意义上都有相似之处，但是在概念上有明显的区别。
总结：本文从定义、性质、解法以及与一次函数的关系等几个方面进行了对二元一次方程组的介绍。
二元一次方程组和一次函数的关系
二元一次方程组和一次函数的关系一次函数和二元一次方程组都是数学中常见的概念，它们之间存在着紧密的联系。
在本文中，我们将探讨二元一次方程组和一次函数之间的关系，并了解它们在数学中的应用。
首先，让我们回顾一下一次函数的定义。
一次函数也被称为线性函数，它的一般形式可以表示为y=mx+b，其中m和b分别代表斜率和截距。
一次函数的图像是一条直线，它具有恒定的斜率和截距。
与一次函数相似，二元一次方程组也是由线性关系构成的。
二元一次方程组由两个方程组成，每个方程都包含两个变量，并且变量的最高次数为1。
一般形式可以表示为：a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2在这里，a1、b1、c1、a2、b2和c2都是已知的常数。
解二元一次方程组的目标是找到一对解(x,y)，满足方程组中的两个方程。
现在让我们来看一下一次函数和二元一次方程组之间的关系。
事实上，一次函数可以看作是只有一个方程的二元一次方程组。
回想一下一次函数的一般形式y=mx+b，我们可以将它重写为：mx+(-1)y=b这里，我们可以看到a=m，b=-1，c=b。
因此，可以将一次函数转化为二元一次方程组的形式。
同样地，我们可以将二元一次方程组转化为一次函数的形式。
假设我们已经解得方程组的解(x,y)，那么我们可以将其中一个方程重写为y=mx+b的形式，其中斜率m为a1/b1，截距b为c1/b1。
这种转化的过程为我们提供了一种方法来理解和解决二元一次方程组和一次函数之间的问题。
通过将方程组转化为一次函数，我们可以更直观地看到方程组的解代表了什么，以及如何将其表示在坐标系中的直线上。
除了上述关系，二元一次方程组和一次函数在数学中还有许多应用。
它们可以用于建模现实世界的问题，如经济学、物理学和工程学等领域。
通过将实际问题转化为方程组或一次函数，我们可以利用数学工具和技巧来解决这些问题，从而得出有关变量之间关系的重要信息。
综上所述，二元一次方程组和一次函数之间存在着密切的联系。
二元一次方程组和一次函数的关系
在数学中，二元一次方程组和一次函数有着密切的关系。它们都是描述线性 关系的工具，而方程组是由多个方程组成的系统。
什么是二元一次方程组？
二元一次方程组是由两个方程组成的系统，其中每个方程都是二元变量的一 次函数，例如： 2x + 3y = 7 4x - y = -2
什么是一次函数？
方程组的解的意义
方程组的解表示了使得所有方程都成立ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数值对。它可以用来解决实际问题，如找到两个变量之间的关系或计 算未知变量的值。
方程组和函数的图像
方程组和一次函数都可以用图像来表示。方程组的图像是表示所有方程成立 的点的集合，而一次函数的图像是表示线性关系的线。
实际问题的应用举例
二元一次方程组和一次函数在各个领域中都有广泛的应用。例如，它们可以 用于解决经济学中的供求关系、物理学中的运动问题以及工程学中的优化问 题。
一次函数是一种线性函数，其表达式为y = mx + b，其中m和b是常数，x是自变量，y是因变量。
二元一次方程组和一次函数的 关系
二元一次方程组可以看作是由两个一次函数组成的系统，通过求解方程组， 可以得到使得两个函数的交点坐标成立的值。
方程组求解的方法
有多种方法可以求解二元一次方程组，例如代入法、消元法和图像法。每种 方法都有其特定的应用场景和适用性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
①方程化成函数
一般步骤
②画出函数图像 ③找出图像交点坐标
④写出方程组的解
小结
从数的角度看
解二元一次方程组
从形的角度看
当自变量为何值时两
个函数的值相等，以 及这个函数值是何值。
解二元一次方程组
确定两条直线 交点的坐标
数形结合思想。
ax by c ①
1
与
y 2x 2 的图象的交点
坐标为 （2，2） .
3．根据下列图象，你能说出哪些方程组的解?这些解
是什么?
y y=2x-1 y 1 x y y x 3
2
(-2,1)
1 (1,1)
1
o1
x
-2 0
x
y=-3x+4
2x y 1 3x y 4
x 2y 0 x y 3
通过以上探讨我们知道，用图像法解二元 一次方程组时，应先在同一平面直角坐标系内 画出这两个二元一次方程的图像，这两条直线 若相交，其交点的坐标，就是方程组的解。
第一课时
探究活动 1.方程3x +2y=6的解有多少个？
你能画出以这个方程的解为坐标的所 有点组成的图形吗？
2.你能将方程3x +2y=6化成一次函数 的形式吗？
x
... -2 -1 0 1 2 3 ...
y=-1.5x+3 ...
...
3x +2y=6
y=-1.5x+3
二元一次 方程
一次函 数
1、若方程组
mx ny p
中两个二元一次方程的
②
图像如图所示，则此方程组的解是？
答：两直线交于（2，-1）
此方程组的解是
x 2
y
1
-1
2
若求直线 y = 3 x + 8 与 y = 2 x - 1直线的交点 55
坐标，你有哪些方法?分析各种方法的利弊．
形
解法思路l：画出图象找出交点，确定交点坐标近 似值．(因作图误差可能有较大差别)
若按方式B则收费y2=0.05x+20元
在同一直角坐标系中分别画出这 两个函数的图象
y/元
两图象交于(400,40) 20
这表示当x=400时，两个函数的值都等
如何于选40择.因收此费上网方时式间能为使40上0分网，者两更种合计费算? 0
方式相等（都是40元）
y1=0.1x
●
y2=0.05x+20
400
x/分
例2：利用图像解方程组
y
5 2
x2
(1)转化
y
5 2
x2
(2)画图
这两条直线有怎样的位置 关系？有多少个交点？
因为两直线重合， 所以方程组有无数 组解。
5x-2y=4 10x-4y=8
y
o
y 5x2 y 52 x 2
2
x
例3：利用图像解方程组
(1)转化
y= -x-2 y= -x+2.5
(2)画图
（3）两条直线有什么 位置关系？方程组解的 情况怎样？
两直线平行，无交点， 故方程组无解。
x+y=-2
2x+2y=5
y
y= -x+2.5
0
x
y= -x-2
通过以上学习你能发现二元一次方程组的解
有几种情况？
二元一次方程组 y=k1x+b1 的解有以下三种情
况
y=k2x+b2
①只有一组解（当k1 ≠ k2 时，两直线相 交只有一个交点）
结 论：任意一个二元一次方程都可以转化
为y=kx+b（k不为0）的形式，所以每个二 元一次方程都对应一个一次函数，于是对 应一条直线。
下面有序数对，哪些是方程3x +y=6的解?
A（2，0）、B（3，－3）、C（5，-9）、 D（6，-10）、E（-2，10）
➢点A、点B、点C
这些有序实数对在一次函数y=-3x+6的图像上吗？
解法思路2：由解方程组，得到交点坐标．(把形 的问题归结为数的解决，便捷准确)
数
一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式 A以每分0.1元的价格按上网时间计费;方式B初收月 租费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间计费. 上网时间多少分，两种计费方式相等？
解:设上网时间为x分,若按方式A则收费y1=0.1x元;
x 2 y 3 利用函数图象解二元一次方程组 3x y 5
解：3xx2
y y
3 5
在同一坐标系分别画出 1
3
fx =
x+
2
2
y 1 x 3
二画图 gx = -3x+5
22
和y=–3x+5的图象
转化为
y
1 2
x
3 2
一变形
6 y 3x 5
y
4
y=0.5x+1.5
2
-5
O
由图象可得两直线三找点
1.当 a1：a2 ≠b1：b2 时 ，方程组有唯一解； 2.当 a1：a2=b1：b2 =c1 :c2时，有无穷多解； 3.当a1：a2=b1：b2 ≠c1 :c2时，无解。
-2
交点为（1，2） 所以方程组的解：
x y
1四得解 2
-4 -6
5
x
y=－3x+5
1、一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3),
则方程组
x y 5 2x y 1
x 2
的解为
y
.
3
2、若二元一次方程组 ,
x 2 2x y y2 2的解为x 2
y
2
则函数
y
1 2
x
②有无穷多组解（当k1=k2,b1=b2 时，
两直线直线重合）
③无解（当k1=k2 , b1≠b2 时，两直线平行）
二元一次方程组
3x 5y 8 2x y 1
有什么样的规律吗？ a1x+b1y=c1
的解的情况有三种：
a2x+b2y=c2
5x-2y=4 x+y=-2 10x-4y=8 2x+2y=5