河北省中考数学复习四边形第26讲多边形与平行四边形试题(含解析)
中考数学复习《四边形》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《四边形》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 平行四边形的判定与计算【命题规律】1.考查内容：①平行四边形的性质及其相关计算；②平行四边形的判定.2.考查形式：①根据平行四边形的性质考查结论判断；②利用平行四边形的性质求角度、线段或面积；③添加条件使四边形为平行四边形.3.考查题型：性质在选择和填空题中考查居多，判定题近年来多在解答题中考查，有时会在二次函数压轴题中探究平行四边形的存在问题．【命题预测】平行四边形是四边形中主要的图形之一，性质与判定常常考查，是近年命题的重点． 1. 已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BC 的中点，以下说法错误的是( )A . OE ＝12DC B . OA ＝OC C . ∠BOE ＝∠OBA D . ∠OBE ＝∠OCE1. D第1题图 第2题图2. 如图，在▱ABCD 中，BM 是∠ABC 的平分线交CD 于点M ，且MC ＝2，▱ABCD 的周长是14，则DM 等于( )A . 1B . 2C . 3D . 42. C 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ABM ＝∠CMB ，∵BM 平分∠ABC ，∴∠ABM ＝∠CBM ，∴∠CBM ＝∠CMB ，∴CB ＝MC ＝2，∴AD ＝BC ＝2，∵▱ABCD 的周长是14，∴AB ＝CD ＝5，∴DM ＝DC －MC ＝3.3. 如图所示，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，若AB ∥CD ，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD 是平行四边形． 3. AD ∥BC (答案不唯一)第3题图 第4题图 第5题图 4. 如图，▱ABCD 中，AC ＝8，BD ＝6，AD ＝a ，则a 的取值范围是________．4. 1＜a ＜7 【解析】如解图，对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA ＝12AC ＝4，OD ＝12BD ＝3，在△OAD中，OA －OD ＜AD ＜OA ＋OD ，即1＜a ＜7.5. 如图所示，在▱ABCD 中，∠C ＝40°，过点D 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交CB 的延长线于点F ，则∠BEF 的度数为__________． 5. 50°6. 如图，将▱ABCD 的AD 边延长至点E ，使DE ＝12AD ，连接CE ，F 是BC 边的中点，连接FD.(1)求证：四边形CEDF 是平行四边形； (2)若AB ＝3，AD ＝4，∠A ＝60°，求CE 的长．6. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴DE ∥FC.∵F 是BC 的中点， ∴FC ＝12BC ＝12AD ，∵DE ＝12AD ，∴FC ＝DE ，∴四边形CEDF 是平行四边形． (2)解：如解图，过点D 作DH ⊥BC 于点H. 由(1)知四边形DECF 是平行四边形，∴DF ＝CE.∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝60°，AB ＝3，AD ＝4， ∴BC ＝4，CD ＝3，∠BCD ＝60°， 在Rt △DHC 中，HC ＝DC·cos ∠HCD ＝32，DH ＝DC ·sin ∠HCD ＝332，∵F 是BC 的中点， ∴FC ＝2，∴FH ＝FC －HC ＝2－32＝12，在Rt △DFH 中，由勾股定理得DF ＝DH 2＋FH 2＝（332）2＋（12）2＝7，∴CE ＝7.命题点2 矩形的判定与计算【命题规律】考查形式：①利用矩形性质，结合勾股定理求线段长或面积；②矩形的判定，一般在解答题中考查，也常在二次函数综合题中考查矩形的存在性问题；③矩形折叠的相关计算与证明(见命题点6：图形折叠的相关计算)．【命题预测】矩形性质将勾股定理、全等、相似等重要知识综合考查，是全国命题趋势之一． 7. 如图，在矩形ABCD 中(AD ＞AB)，点E 是BC 上一点，且DE ＝DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是( )A . △AFD ≌△DCEB . AF ＝12AD C . AB ＝AF D . BE ＝AD －DF7. B 【解析】逐项分析如下表：选项逐项分析正误A∵四边形ABCD 是矩形，AF ⊥DE ，∴∠C ＝90°＝∠AFD ，AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠CED ，∵AD ＝DE ，∴△AFD ≌△DCE (AAS)√B只有当∠ADF ＝30°时，才有AF ＝12AD 成立×C由△AFD ≌△DCE 可知，AF ＝DC ，∵矩形ABCD 中，AB ＝DC ，∴AB ＝AF√D∵△AFD ≌△DCE ，∴DF ＝CE ，∴BE ＝BC －CE ＝AD －DF √8. 已知矩形的对角线AC 与BD 相交于点O ，若AO ＝1，那么BD ＝________． 8. 2第7题图 第8题图 第9题图 9. 如图，矩形ABCD 的面积是15，边AB 的长比AD 的长大2，则AD 的长是________．9. 3 【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题. 设AD ＝x ，由题知，AB ＝x ＋2，又∵矩形ABCD 的面积为15，则x(x ＋2)＝15，得到x 2＋2x －15＝0，解得，x 1＝－5(舍) , x 2＝3，∴AD ＝3. 10. 如图所示，△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线AF 交CE 的延长线于F ，且AF ＝BD ，连接BF. (1)求证：D 是BC 的中点；(2)若AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．10. (1)证明：∵点E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE. ∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE ，∠FAE ＝∠CDE ， ∴△EAF ≌△EDC(AAS )， ∴AF ＝DC. ∵AF ＝BD ， ∴BD ＝DC ，即D 是BC 的中点．(2)解：四边形AFBD 是矩形．证明如下： ∵AF ∥BD ，AF ＝BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形．∵AB ＝AC ，又由(1)可知D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴四边形AFBD 是矩形．11. 如图，点P 在矩形ABCD 的对角线AC 上，且不与点A ，C 重合，过点P 分别作边AB ，AD 的平行线，交两组对边于点E ，F 和点G ，H. (1)求证：△PHC≌△CFP；(2)证明四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．11. (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ∥AB ，AD ∥BC ，∠DCB ＝90°.∵EF ∥AB ，GH ∥AD ，∴EF ∥CD ，GH ∥BC ， ∴四边形PFCH 是矩形， ∴∠PHC ＝∠PFC ＝90°，PH ＝CF ，HC ＝PF ， ∴△PHC ≌△CFP(SAS )．(2)证明：由(1)知AB ∥EF ∥CD ， AD ∥GH ∥BC ，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是平行四边形， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠D ＝∠B ＝90°，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是矩形， ∴S 矩形PEDH ＝S 矩形PGBF .命题点3 菱形的判定与计算【命题规律】1.考查内容和形式：①根据菱形性质判断结论正误；②菱形的判定；③根据菱形的性质求角度、周长和面积；④与二次函数压轴题结合考查菱形的存在性问题.2.三大题型均会出现．【命题预测】菱形是特殊平行四边形中的重要内容，是中考常考知识，对菱形的性质与判定应做到牢固掌握．12. 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确．．．的是( ) A . AB ＝AD B . AC ⊥BD C . AC ＝BD D . ∠BAC ＝∠DAC12. C 【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A 正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B 正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C 错误；由∠BAC ＝∠DAC 可得对角线是角平分线，所以D 正确．第12题图 第13题图13. 已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB ＝45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D(0，1)，当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为( )A . (0，0)B . (1，12) C . (65，35) D . (107，57)13. D 【解析】如解图，连接CA 、AD ，CA 与OB 相交于点E ，过点E 作EF ⊥OA ，交OA 于点F .由题知点C 关于OB 的对称点是点A ，AD 与BO 的交点即为点P .根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分两组对角，可知△COE ∽△EOF ，∴CO EO ＝EO OF ，∵OC ＝OA ＝5，OE ＝OB 2＝25，∴OF ＝OE 2CO ＝（25）25＝4，根据勾股定理可得EF ＝OE 2－OF 2＝（25）2－42＝2，点E 的坐标为(4，2)，易得直线OE 的函数解析式为y ＝12x ，直线AD 的函数解析式是y ＝－15x ＋1，联立得：⎩⎨⎧y ＝12x y ＝－15x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝107y ＝57，∴点P 的坐标为(107，57)．14. 如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BD 的中点，若EF ＝2，则菱形ABCD 的周长为________． 14. 16 【解析】∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，∴AB ＝2EF ＝4，∴菱形ABCD 周长是4AB ＝16.第14题图 第15题图15. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝8，则菱形的面积是________．15. 24 【解析】如解图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝5，AC ＝8，且菱形的对角线互相垂直平分，∴OA ＝4，在Rt △AOB 中，由勾股定理得OB ＝3，∴BD ＝6，∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD＝12×8×6＝24. 16. 在菱形ABCD 中，∠A ＝30°，在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE ，则∠EBC 的度数为________．16. 105°或45° 【解析】如解图，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝150°，∠ABD ＝∠DBC ＝75°，且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况：(1)当点E 在△ABD 内时，∠E 1BC ＝∠E 1BD ＋∠DBC ＝30°＋75°＝105°；(2)当点E 在△DBC 内时，∠E 2BC ＝∠DBC －∠E 2BD ＝75°－30°＝45°.综上所述，∠EBC 的度数为105°或45°.17. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点E 是AC 的中点，AC ＝2AB ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，作AF∥BC，连接DE 并延长交AF 于点F ，连接FC. 求证：四边形ADCF 是菱形．17. 证明：∵∠B ＝90°，AC ＝2AB ， ∴sin ∠ACB ＝12，∴∠ACB ＝30°， ∴∠CAB ＝60°， ∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝12∠CAB ＝30°，∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD ， ∵AF ∥CD ，∴∠DCE ＝∠FAE ，∠AFE ＝∠CDE ， 又∵AE ＝CE ，∴△AFE ≌△CDE(AAS )， ∴AF ＝CD ， 又AF ∥CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形， 又AD ＝CD ，∴四边形ADCF 是菱形．命题点4 正方形的判定与计算【命题规律】正方形的考查相对比较综合，难度较大，常在选择或填空的压轴题位置出现，考查知识点综合性强，涉及到正方形面积、边长和周长的计算．【命题预测】正方形综合了所有特殊四边形的性质，因此以正方形为背景出题更具有对知识的检验性，倍受命题人青睐，考生应加以关注．18. 如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点连线EF 为边的正方形EFGH 的周长为( )A . 2B . 2 2C . 2＋1D . 22＋118. B 【解析】∵正方形ABCD 的面积为1，∴BC ＝CD ＝1，∵E 、F 是边的中点，∴CE ＝CF ＝12，∴EF＝（12）2＋（12）2＝22，则正方形EFGH 的周长为4×22＝2 2. 19. ▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得▱ABCD 为正方形． 19. ∠BAD ＝90°(答案不唯一)20. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，N ，P ，G 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点M ，F ，Q 都在对角线BD 上，且四边形MNPQ 和AEFG 均为正方形，则S 正方形MNPQS 正方形AEFG的值等于________．20. 89【解析】设BD ＝3a ，∠CDB ＝∠CBD ＝45°，且四边形PQMN 为正方形，∴DQ ＝PQ ＝QM ＝NM＝MB ，∴正方形MNPQ 的边长为a ，正方形AEFG 的对角线AF ＝12BD ＝32a ，∵正方形对角线互相垂直，∴S 正方形AEFG ＝12×32a ×32a ＝98a 2，∴S 正方形MNPQ S 正方形AEFG ＝a 298a 2＝89.第20题图 第21题图21. 如图，正方形ABCD 的边长为22，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是OC 的中点，连接BE ，过点A 作AM⊥BE 于点M ，交BD 于点F ，则FM 的长为________． 21.55【解析】∵四边形ABCD 为正方形，∴AO ＝BO ，∠AOF ＝∠BOE ＝90°，∵AM ⊥BE ，∠AFO ＝∠BFM ，∴∠FAO ＝∠EBO ，在△AFO 和△BEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOF ＝∠BOE AO ＝BO ∠FAO ＝∠EBO ，∴△AFO ≌△BEO(ASA )，∴FO ＝EO ，∵正方形ABCD 的边长为22，E 是OC 的中点，∴FO ＝EO ＝1＝BF ，BO ＝2，∴在Rt △BOE 中，BE ＝12＋22＝5，由∠FBM ＝∠EBO ，∠FMB ＝∠EOB ，可得△BFM ∽△BEO ，∴FM EO ＝BF BE ，即FM1＝15，∴FM ＝55.22. 如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点A ，D ，G 在同一条直线上，且AD ＝3，DE ＝1，连接AC ，CG ，AE ，并延长AE 交CG 于点H. (1)求sin ∠EAC 的值； (2)求线段AH 的长．22.解：(1)由题意知EC ＝2，AE ＝10，如解图，过点E 作EM ⊥AC 于点M ， ∴∠EMC ＝90°，易知∠ACD ＝45°， ∴△EMC 是等腰直角三角形， ∴EM ＝2，∴sin ∠EAC ＝EM AE ＝55.(2)在△GDC 与△EDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧DG ＝DE ∠GDC ＝∠EDA DC ＝DA， ∴△GDC ≌△EDA(SAS )，∴∠GCD ＝∠EAD ， 又∵∠HEC ＝∠DEA ，∴∠EHC ＝∠EDA ＝90°， ∴AH ⊥GC ，∵S △AGC ＝12×AG ×DC ＝12×GC ×AH ，∴12×4×3＝12×10×AH ， ∴AH ＝6510.命题点5 多边形及其性质【命题规律】1.考查内容：①多边形的内外角和公式；②正多边形的有关计算.2.考查形式：①已知正多边形一个内角或外角的度数或内角之间的关系求边数；②已知正多边形的边数求内角度数；③求多边形的内外角和．【命题预测】多边形是三角形和四边形的延伸拓展，也是中考命题不容忽视的知识点． 23. 六边形的内角和是( )A . 540°B . 720°C . 900°D . 1080°23. B24. 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为( )A . 7B . 7或8C . 8或9D . 7或8或924. D 【解析】分类讨论：(1)切去一个角，减少一条边，设减少一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是9；(2)切去一个角，增加一条边，设增加一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是7；(3)切去一个角，边数无改变，设边数没有改变时的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是8，综上所述，原多边形的边数是9，7，8都符合题意，答案选择D.25. 若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是________．25. 6 【解析】设这个多边形的边数为n ，则内角和为(n －2)·180°，外角和为360°，则根据题意有：(n －2)·180°＝2×360°，解得n ＝6. 26. 一个正多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是________．26. 8 【解析】由正多边形的每一个外角都是45°，其外角和为360°，可得这个正多边形的边数是360°45°＝8.方法指导设正多边形的边数为n ，正多边形的外角和为360°，内角和为(n －2)×180°，每个内角的度数为180°×（n －2）n.命题点6 图形折叠的相关证明与计算【命题规律】考查内容和形式：图形折叠计算以矩形折叠考查居多，常考查：①图形的折叠计算角度；②图形的折叠计算线段长或边长；③图形折叠的证明和计算结合；④图形折叠的操作探究．【命题预测】图形折叠将原有图形变得可操作化，且又很好地引入了对称知识，使问题升华，有效地考查学生的知识迁移能力和掌握程度，是全国命题的主流趋势之一，值得每位考生关注．27. 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 的对应点为B′，AB ′与DC 相交于点E ，则下列结论一定正确的是( )A ．∠DAB ′＝∠CAB′ B ．∠ACD ＝∠B′CDC ．AD ＝AE D ．AE ＝CE27. D28. 如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE.若AB 的长为2，则FM 的长为( )A . 2B . 3C . 2D . 128. B第28题图 第29题图29. 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A′处，点B 落在点B′处．若∠2＝40°，则图中∠1的度数为( )A . 115°B . 120°C . 130°D . 140°29. A 【解析】由折叠的性质知∠EA ′B ′＝∠A ＝90°，∵∠2＝40°，∴∠B ′A ′C ＝50°，∴∠EA ′D ＝40°，∠DEA ′＝50°，∴∠AEA ′＝130°，∴∠AEF ＝∠FEA ′＝12∠AEA ′＝65°，∵AD ∥BC ，∴∠1＝180°－65°＝115°.30. 如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B 为( )A . 66°B . 104°C . 114°D . 124°30. C 【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.第30题图 第31题图 第32题图31. 如图，将△ABC 沿直线DE 折叠，使点C 与点A 重合，已知AB ＝7，BC ＝6，则△BCD 的周长为________． 31. 13 【解析】由折叠的性质可得：CD ＝AD ，∴△BCD 的周长＝BC ＋CD ＋BD ＝BC ＋AD ＋BD ＝BC ＋BA ＝6＋7＝13.32. 如图，在▱ABCD 中，E 为边CD 上一点，将△ADE 沿AE 折叠至△AD′E 处，A D′与CE 交于点F ，若∠B ＝52°，∠DAE ＝20°，则∠FED′的大小为________．32. 36° 【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.33.如图，将矩形纸片ABCD(AD ＞AB)折叠，使点C 刚好落在线段AD 上，且折痕分别与边BC ，AD 相交．设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；(2)若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．33. 解：(1)四边形CEGF是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠FEC，∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折痕，∴∠GEF＝∠FEC，∴∠GFE＝∠GEF，∴GF＝GE，∵图形翻折后EC与GE完全重合，FC与FG重合，∴GE＝EC＝GF＝FC，∴四边形CEGF为菱形．(2)如解图①，当点F与点D重合时，四边形CEGF是正方形，此时CE最小，且CE＝CD＝3；如解图②，当点G与点A重合时，CE最大．设EC＝x，则BE＝9－x，由折叠性质知，AE＝CE＝x，在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即9＋(9－x)2＝x2，解得x＝5，∴CE＝5，所以，线段CE的取值范围为3≤CE≤5.34.如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BCED′是菱形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．34. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝60°，由折叠性质可知，∠D＝∠AD′E＝60°，∴∠AD′E＝∠B＝60°，∴ED′∥BC，又∵EC∥D′B，∴四边形BCED′是平行四边形，∴ED′＝BC＝AD＝1，∴DE＝ED′＝1，又DC＝AB＝2，∴EC ＝1， ∴EC ＝ED′，∴四边形BCED′是菱形． (2)解：如解图所示，由折叠性质PD′＝PD ，BD 之长即为所求， 作DG ⊥BA 的延长线于点G ， ∵∠DAB ＝120°， ∴∠DAG ＝60°， ∵∠G ＝90°， ∴∠ADG ＝30°，在Rt △ADG 中，AD ＝1， ∴AG ＝12，DG ＝32，∵AB ＝2， ∴BG ＝52，在Rt △BDG 中，由勾股定理得：BD 2＝BG 2＋DG 2＝7， ∴BD ＝7，即PD′＋PB 的最小值为7.方法指导“将军饮马”模型：直线同侧两定点，在直线上确定一点使该点到两定点的距离和最小．作法：作其中一点关于直线的对称点，连接另一点和对称点的线段即是最短距离和；最短距离计算方法：构造以最短距离线段为斜边的直角三角形，利用勾股定理求解．中考冲刺集训一、选择题1.关于▱ABCD 的叙述，正确的是( )A . 若A B⊥BC，则▱ABCD 是菱形B . 若AC⊥BD，则▱ABCD 是正方形C . 若AC ＝BD ，则▱ABCD 是矩形 D . 若AB ＝AD ，则▱ABCD 是正方形2.设四边形的内角和等于a ，五边形的外角和等于b ，则a 与b 的关系是( )A . a ＞bB . a ＝bC . a ＜bD . b ＝a ＋180°3.如图，正五边形ABCDE 放入某平面直角坐标系后，若顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b ，m)，(c ，m)．则点E 的坐标是( )A . (2，－3)B . (2，3)C . (3，2)D . (3，－2)第3题图 第4题图4.如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＋BD ＝16，CD ＝6，则△ABO 的周长是( )A . 10B . 14C . 20D . 225.菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AD ，CD 边上的中点，连接EF.若EF ＝2，BD ＝2，则菱形ABCD 的面积为( )A . 2 2B . 4 2C . 6 2D . 8 2第5题图 第6题图 第7题图6.如图，平行四边形ABCD 的周长是26 cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，AC ⊥AB ，E 是BC 中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，则AE 的长度为( )A . 3 cmB . 4 cmC . 5 cmD . 8 cm7.如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ，若BE∶EC ＝2∶1，则线段CH 的长是( )A . 3B . 4C . 5D . 68.如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作EF∥AD，与AC 、DC 分别交于点G 、F2H 为CG 的中点，连接DE 、EH 、DH 、FH.下列结论：①EG ＝DF ；②∠AEH＋∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若AE AB ＝23，则3S △EDH ＝13S △DHC ，其中结论正确的有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题9.如图，在▱ABCD 中，BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，若∠1＝20°，则∠2的度数为________．10.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，则菱形ABCD 的高DH ＝________．第9题图 第10题图 第11题图11.如图，延长矩形ABCD 的边BC 至点E ，使CE ＝BD ，连接AE.如果∠ADB＝30°，则∠E＝________度. 12.如图，正方形ABCO 的顶点C ，A 分别在x 轴，y 轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线，若∠D＝60°，BC ＝2，则点D 的坐标是________．第12题图 第13题图 第14题图 13.如图，正十二边形A 1A 2…A 12，连接A 3A 7，A 7A 10，则∠A 3A 7A 10＝________°.14.如图，菱形ABCD 的面积为120 cm 2，正方形AECF 的面积为50 cm 2，则菱形的边长为________cm . 15.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10.点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论： ①∠EBG ＝45°；②△DEF∽△ABG；③S △ABG ＝32S △FGH ；④AG ＋DF ＝FG.其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)第15题图 第16题图16.如图，正方形ABCD 的面积为3 cm 2，E 为BC 边上一点，∠BAE ＝30°，F 为AE 的中点，过点F 作直线分别与AB ，DC 相交于点M ，N.若MN ＝AE ，则AM 的长等于________cm . 三、解答题17.如图，在▱ABCD 中，连接BD ，在BD 的延长线上取一点E ，在DB 的延长线上取一点F ，使BF ＝DE ，连接AF 、CE. 求证：AF∥CE.18.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．19.如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N.(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；(2)已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．20.如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证：(1)∠CEB＝∠CBE；(2)四边形BCED是菱形．21.已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P.(1)求证：AP＝BQ;(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ长．22.已知正方形ABCD中，BC＝3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF＝BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于H点．(1)求证：△ADF≌△ABE；(2)若BE＝1，求tan∠AED的值．23.如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD 、CE 交于点F. (1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB ＝2，∠BAC ＝45°，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．24.如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG∥CD 交AF 于点G ，连接DG. (1)求证：四边形EFDG 是菱形；(2)探究线段EG 、GF 、AF 之间的数量关系，并说明理由； (3)若AG ＝6，EG ＝25，求BE 的长．答案与解析：1. C2. B3. C4. B5. A 【解析】∵E ，F 分别是 AD ，CD 边上的中点，即EF 是△ACD 的中位线，∴AC ＝2EF ＝22，则菱形ABCD 的面积＝12AC ·BD ＝12×22×2＝2 2.6. B 【解析】在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，BO ＝DO ，∵平行四边形ABCD 的周长为26 cm ，∴AB ＋BC ＝13 cm ，又∵△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，∴AD －AB ＝BC －AB ＝3 cm ，解得AB ＝5 cm ，BC ＝8 cm ，又AB ⊥AC ，E 是BC 的中点，∴AE ＝BE ＝CE ＝12BC ＝4 cm.7. B 【解析】设CH ＝x ，∵BE ∶EC ＝2∶1，BC ＝9，∴EC ＝3，由折叠可知，EH ＝DH ＝9－x ，在Rt △ECH 中，由勾股定理得：(9－x )2＝32＋x 2，解得：x ＝4.8. D 【解析】逐项分析如下表：序号逐项分析正误难点突破对于多选项判断正误性的题目，几乎每个选项之间都是紧密联系的，单独判断其中每个的正误或跳跃式判断往往使题目变得复杂而无法求解，本题目难点在于④中，需将S △FDH 与已知条件AE AB ＝23联系起来，并用含相同未知数的代数式分别表示出S △EDH 和S △DHC ，继而求解．9. 110° 【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，∴∠CAB ＝∠1＝20°，∵BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，∴∠ABE ＝90°，∴∠2＝∠CAB ＋∠ABE ＝20°＋90°＝110°.10. 4.8 【解析】∵S ＝1AC·BD ＝2AB·DH ，∴AC ·BD ＝2AB·DH.∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AOB ＝90°，AO ＝12AC ＝4，BO ＝12BD ＝3，∴在Rt △AOB 中，AB ＝42＋32＝5，∴DH ＝8×62×5＝4.8.第11题解图11. 15 【解析】如解图，连接AC.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AC ＝BD ，又∵AB ＝BA ，∴△DAB ≌△CBA(SSS )，∴∠ACB ＝∠ADB ＝30°，∵CE ＝BD ，∴AC ＝CE ，∴∠E ＝∠CAE ＝12∠ACB＝15°.第12题解图12. (3＋2，1) 【解析】如解图，过点D 作DG ⊥BC 于G ，DF ⊥x 轴于F ，∵在菱形BDCE 中，BD ＝CD ，∠BDC ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴DF ＝CG ＝12BC ＝1，CF ＝DG ＝3，∴OF ＝3＋2，∴D(3＋2，1)．13. 75 【解析】∵多边形A 1A 2…A 12是正十二边形，作它的外接圆⊙O ，∴劣弧A 10A 3的度数＝5×360°12＝150°，∴∠A 3A 7A 10＝12×150°＝75°.第14题解图14. 13 【解析】如解图，连接AC 、BD 交于O ，则有12AC·BD ＝120，∴AC ·BD ＝240，又∵菱形对角线互相垂直平分，∴2OA ·2OB ＝240，∴ OA ·OB ＝60，∵AE 2＝50, OA 2＋OE 2＝ AE 2，OA ＝OE ，∴OA ＝5，∴OB ＝12，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝122＋52＝13.15. ①③④ 【解析】由折叠的性质得，∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，∴∠EBG ＝∠FBE ＋∠FBG ＝12×90°＝45°，故①正确；由折叠的性质得，BF ＝BC ＝10，BA ＝BH ＝6，∴HF ＝BF －BH ＝4，AF ＝BF 2－BA 2＝102－62＝8，设GH ＝x ，则GF ＝8－x ，在Rt △GHF 中，x 2＋42＝(8－x)2，∴x ＝3，∴GF ＝5，∴AG ＝3，同理在Rt △FDE 中，由FD 2＝EF 2－ED 2，得ED ＝83，EF ＝103，∴ED FD ＝43≠ABAG ＝2，∴△DEF 与△ABG 不相似，故②不正确；S △ABG ＝12×3×6＝9，S △FGH ＝12×3×4＝6，∴S △ABG S ＝96＝32，故③正确；∵AG ＝3，DF ＝AD －AF ＝2，∴FG ＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，故④正确．综上，答案是①③④.第16题解图16.233或33【解析】如解图，过N 作NG ⊥AB ，交AB 于点G ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝NG ＝ 3 cm ，在Rt △ABE 中，∠BAE ＝30°，AB ＝ 3 cm ，∴BE ＝1 cm ，AE ＝2 cm ，∵F 为AE 的中点，∴AF ＝12AE ＝1 cm ，在Rt △ABE 和Rt △NGM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝NG AE ＝NM ，∴Rt △ABE ≌Rt △NGM(HL )，∴BE ＝GM ，∠BAE ＝∠MNG ＝30°，∠AEB ＝∠NMG ＝60°，∴∠AFM ＝90°，即MN ⊥AE ，在Rt △AMF 中，∠FAM ＝30°，AF ＝1 cm ，∴AM ＝AF cos 30°＝132＝233 cm ，由对称性得到AM′＝BM ＝AB －AM ＝3－233＝33 cm ，综上，AM 的长等于233或33 cm . 17. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，第17题解图∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴∠1＝∠2， 又∵BF ＝DE ，∴BF ＋BD ＝DE ＋BD ， 即DF ＝BE.∴△ADF ≌△CBE(SAS )． ∴∠AFD ＝∠CEB ，∴AF ∥CE.18. (1)【思路分析】根据四边形ABCD 是菱形，∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，可求出∠DBC 的度数，其正切值可求出．解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠DBC ＝12∠ABC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°， 又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan 30°＝33. (2)【思路分析】由BE ∥AC ，CE ∥BD 可知四边形BOCE 是平行四边形，再结合菱形对角线垂直的性质即可证明四边形BOCE 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，即∠BOC ＝90°， ∵BE ∥AC ，CE ∥BD ， ∴BE ∥OC ，CE ∥OB ，∴四边形OBEC 是平行四边形，且∠BOC ＝90°，∴四边形OBEC 是矩形．19. (1)证明：∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴AM ∥CN ，又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴MC ∥AN ，∴四边形CMAN 是平行四边形．(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ADE ＝∠CBF ，AD ＝CB ， 又∵∠AED ＝∠CFB ＝90°， ∴△AED ≌△CFB(AAS )， ∴DE ＝BF ＝4，∴在Rt △BFN 中，BN ＝32＋42＝5.20. (1)【思路分析】要证∠CEB ＝∠CBE ，结合CE ∥DB ，可得到∠CEB ＝∠DBE ，从而只需证明∠CBE ＝∠DBE ，结合△ABC ≌△ABD 即可得证．证明：∵△ABC ≌△ABD ， ∴∠ABC ＝∠ABD ， ∵CE ∥BD ，∴∠CEB ＝∠DBE ，∴∠CEB ＝∠CBE.(2)证明：∵△ABC ≌△ABD ，∴BC ＝BD ， 由(1)得∠CEB ＝∠CBE ， ∴CE ＝CB ， ∴CE ＝BD ， ∵CE ∥BD ，∴四边形BCED 是平行四边形， ∵BC ＝BD ，∴四边形BCED 是菱形．21. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD, ∠BAQ ＋∠DAP ＝90°＝∠DAB ， ∵DP ⊥AQ ，∴∠DAP ＋∠ADP ＝90°， ∴∠BAQ ＝∠ADP.在△DAP 和△ABQ 中， ⎨⎪⎧∠APD ＝∠AQB ＝90°∠ADP ＝∠BAQ ，∴△DAP ≌△ABQ(AAS )，∴AP ＝BQ.(2)解：①AQ 和AP ；②DP 和AP ；③AQ 和BQ ；④DP 和BQ.【解法提示】①由题图直接得：AQ －AP ＝PQ ；②∵△ABQ ≌△DAP ，∴AQ ＝DP ，∴DP －AP ＝ AQ －AP ＝PQ ；③∵△ABQ ≌△DAP ，∴BQ ＝AP ，∴AQ －BQ ＝AQ －AP ＝PQ ；④∵△ABQ ≌△DAP ，∴DP ＝AQ ，BQ ＝AP ，∴DP －BQ ＝AQ －AP ＝PQ.22. (1)证明：在△ADF 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠ABE ＝∠ADF ＝90°EB ＝FD， ∴△ADF ≌△ABE(SAS )．(2)解：∵AB ＝3，BE ＝1，∴AE ＝10，EC ＝4，∴ED ＝CD 2＋EC 2＝5，设AH ＝x ，EH ＝y ，在Rt △AHE 和Rt △AHD 中，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝10x 2＋（5－y ）2＝9， 解得，x ＝1.8，y ＝2.6，∴tan ∠AED ＝AH EH ＝x y ＝1.82.6＝913. 23. (1)证明：∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，AE ＝AC ，∠BAC ＝∠DAE ，∵AB ＝AC ，∴AD ＝AB ＝AE ＝AC ，∠EAC ＝∠DAB ，在△AEC 和△ADB 中∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝ AE ∠EAC ＝∠DAB AB ＝AC， ∴△AEC ≌△ADB(SAS )．(2)解：当四边形ADFC 是菱形时，AC ＝DF ，AC ∥DF ，∴∠BAC ＝∠ABD ，又∵∠BAC ＝45°，∴∠ABD ＝45°，又∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，∴∠DAB ＝90°，又∵AB ＝2，由勾股定理可得：BD ＝AD 2＋AB 2＝2AB ＝22，在菱形ADFC 中，DF ＝AD ＝AB ＝2，∴BF ＝BD －DF ＝22－2.24. (1)【思路分析】根据折叠的性质，易得DF ＝EF ，DG ＝EG ，∠AFD ＝∠AFE ，再由EG ∥DC ，可得∠EGF ＝∠AFD ，从而得出EG ＝EF.根据四条边都相等的四边形是菱形得证；证明：由折叠的性质可得，EF ＝FD ，∠AEF ＝∠ADF ＝90°，第24题解图∠EFA ＝∠DFA ，EG ＝GD.∵EG ∥DC ，∴∠DFA ＝∠EGF ，∴∠EFA ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ＝FD ＝GD ，∴四边形EFDG 是菱形．(2)【思路分析】由(1)可知EG ＝EF ，连接DE ，则DE 与GF 相互垂直平分，证得Rt △FHE ∽Rt △FEA ，列比例式，结合FH ＝12GF 得到EG 、GF 、AF 的关系； 解：如解图，连接ED ，交AF 于点H ，∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝DH ＝12DE. ∵∠FEH ＝∠FAE ＝90°－∠EFA ，∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EF FH ＝AF EF，即EF 2＝FH·AF ， ∴EG 2＝12GF·AF. (3)【思路分析】把AG ，EG 代入(2)中的关系式，求得GF ，AF 的值，根据勾股定理求得AD ，DE ，再证Rt △ADF ∽Rt △DCE ，可求出EC ，从而可求出BE 的值．解：∵AG ＝6，EG ＝25，EG 2＝12GF·AF ， ∴(25)2＝12(6＋GF)·GF ，∴GF ＝4， ∴AF ＝10.∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8. ∵∠CDE ＋∠DFA ＝90°，∠DAF ＋∠DFA ＝90°，∴∠CDE ＝∠DAF ，∴Rt △ADF ∽Rt △DCE ，∴EC DF ＝DE AF ，即EC 25＝810， ∴EC ＝855， ∴BE ＝BC －EC ＝AD －EC ＝45－855＝1255.。
中考数学黄金知识点系列专题26四边形26--(附解析答案)
专题26 四边形聚焦考点☆温习理解一、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。
推论：多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于•-)2(n 180°；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
二、平行四边形 1、平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。
（2）平行四边形的对边平行且相等。
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
（3）平行四边形的对角线互相平分。
（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。
3、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形三、矩形1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形四、菱形1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半五、正方形1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
中考数学 真题精选 专题试卷 多边形与平行四边形(含答案解析) (含答案解析)
多边形与平行四边形一．选择题1.（，广东）下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是A.矩形B.平行四边形C.正五边形D.正三角形答案：A.分析：平行四边形只是中心对称图形，正五边形、正三角形只是轴对称图形，只有矩形符合。
60，则这个正多边形是2.（，湖北孝感）已知一个正多边形的每个外角等于A．正五边形B．正六边形C．正七边形D．正八边形考点：多边形内角与外角．.分析：多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成60°n，列方程可求解．解答：设所求正n边形边数为n，则60°•n=360°，解得n=6．故正多边形的边数是6．故选B．点评：本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．3．（•河北）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB 的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤考点：三角形中位线定理；平行线之间的距离．分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AB，从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确定出点P到MN的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化．解答：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN是△PAB的中位线，∴MN=AB，即线段MN的长度不变，故①错误；PA、PB的长度随点P的移动而变化，所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，∴△PMN的面积不变，故③错误；直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．故选B．点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的定义，熟记定理是解题的关键．4．（•山西）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC 的周长是（）A．8 B．10 C．12 D．14考点：三角形中位线定理．分析：首先根据点D、E分别是边AB，BC的中点，可得DE是三角形BC的中位线，然后根据三角形中位线定理，可得DE=AC，最后根据三角形周长的含义，判断出△ABC的周长和△DBE的周长的关系，再结合△DBE的周长是6，即可求出△ABC的周长是多少．解答：解：∵点D、E分别是边AB，BC的中点，∴DE是三角形BC的中位线，AB=2BD，BC=2BE，∴DE∥BC且DE=AC，又∵AB=2BD，BC=2BE，∴AB+BC+AC=2（BD+BE+DE），即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍，∵△DBE的周长是6，∴△ABC的周长是：6×2=12．故选：C．点评：（1）此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）此题还考查了三角形的周长和含义的求法，要熟练掌握．5．（•铁岭）如图，点D、E、F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是（）A．DE=DF B．EF=AB C．S△ABD=S△ACD D．AD平分∠BAC考点：三角形中位线定理．分析：根据三角形中位线定理逐项分析即可．解答：解：A、∵点D、E、F分别为△ABC各边中点，∴DE=AC，DF=AB，∵AC≠AB，∴DE≠DF，故该选项错误；B、由A选项的思路可知，B选项错误、C、∵S△ABD=BD•h，S△ACD=CD•h，BD=CD，∴S△ABD=S△ACD，故该选项正确；D、∵BD=CD，AB≠AC，∴AD不平分∠BAC，故选C．点评：本题考查了三角形中位线定理的运用，解题的根据是熟记其定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．6．（•安顺）如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2考点：平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：几何图形问题．分析：根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出=，利用点E是边AD的中点得出答案即可．解答：∵▱ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴=，∵点E是边AD的中点，∴AE=DE=AD，∴=．故选：D．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△DEF∽△BCF是解题关键．7．（•衢州）如图，在▱ABCD中，已知AD=12cm，AB=8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于（）A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm考点：平行四边形的性质．分析：由平行四边形的性质得出BC=AD=12cm，AD∥BC，得出∠DAE=∠BEA，证出∠BEA=∠BAE，得出BE=AB，即可得出CE的长．解答：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=12cm，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE，∴BE=AB=8cm，∴CE=BC﹣BE=4cm；故答案为：C．点评：本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．8．（•玉林）如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC=2，▱ABCD的周长是在14，则DM等于（）A．1 B． 2 C． 3 D． 4考点：平行四边形的性质．分析：根据BM是∠ABC的平分线和AB∥CD，求出BC=MC=2，根据▱ABCD的周长是14，求出CD=5，得到DM的长．解答：解：∵BM是∠ABC的平分线，∴∠ABM=∠CBM，∵AB∥CD，∴∠ABM=∠BMC，∴∠BMC=∠CBM，∴BC=MC=2，∵▱ABCD的周长是14，∴BC+CD=7，∴CD=5，则DM=CD﹣MC=3，故选：C．点评：本题考查的是平行四边形的性质和角平分线的定义，根据平行四边形的对边相等求出BC+CD 是解题的关键，注意等腰三角形的性质的正确运用．9．（•绥化）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．分析：由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S▱ABCD=AB•AC，故②正确，根据AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=AB，于是得到OE=BC，故④正确．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∵AB=BC，∴AE=BC，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=30°，故①正确；∵AC⊥AB，∴S▱ABCD=AB•AC，故②正确，∵AB=BC，OB=BD，∵BD＞BC，∴AB≠OB，故③错误；∵CE=BE，CO=OA，∴OE=AB，∴OE=BC，故④正确．故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．10．（•河南）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A．4 B． 6 C．8 D．10考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；作图—基本作图．专题：计算题．分析：由基本作图得到AB=AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO=FO=BF=3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，所以∠1=∠3，于是得到∠2=∠3，根据等腰三角形的判定得AB=EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．解答：解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，∵AB=AF，AO平分∠BAD，∴AO⊥BF，BO=FO=BF=3，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AB=EB，而BO⊥AE，∴AO=OE，在Rt△AOB中，AO===4，∴AE=2AO=8．故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等腰三角形的判定与性质和基本作图．11．（•本溪）如图，▱ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE=2cm，则AB的长度是（）A．10cm B．8cm C．6cm D．4cm考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，AD∥BC，推出∠DAE=∠BAE，求出∠BAE=∠AEB，推出AB=BE，设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，得出方程x+x+2=10，求出方程的解即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，∵▱ABCD的周长为20cm，∴x+x+2=10，解得：x=4，即AB=4cm，故选D．点评：本题考查了平行四边形的在，平行线的性质，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是能推出AB=BE，题目比较好，难度适中．12．（•福建）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是（）A．AB∥CD B．AB=CD C．AC=BD D．OA=OC考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质推出即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，OA=OC，但是AC和BD不一定相等，故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质的应用，能熟记平行四边形的性质是解此题的关键，注意：平行四边形的对边相等且平行，平行四边形的对角线互相平分．13．（•营口）▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC=42°，∠CBD=23°，则∠COD是（）A．61° B．63° C．65° D．67°考点：平行四边形的性质．分析：由平行四边形的性质可知：AD∥BC，进而可得∠DAC=∠BCA，再根据三角形外角和定理即可求出∠COD的度数．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA=42°，∴∠COD=∠CBD+∠BCA=65°，故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质以及三角形的外角和定理，题目比较简单，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，将四边形的问题转化为三角形问题．14．（•巴彦淖尔）如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2．若S=3，则S1+S2的值为（）A．24 B．12 C．6 D．3考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．分析：过P作PQ平行于DC，由DC与AB平行，得到PQ平行于AB，可得出四边形PQCD与ABQP都为平行四边形，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC的中位线，利用中位线定理得到EF为BC的一半，且EF平行于BC，得出△PEF与△PBC 相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC的面积，而△PBC面积=△CPQ面积+△PBQ 面积，即为△PDC面积+△PAB面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．解答：解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，∵EF为△PCB的中位线，∴EF∥BC，EF=BC，∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=3，∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=12．故选：B．点评：此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．15．（•陕西）在▱ABCD中，AB=10，BC=14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE的长为（）A．7 B．4或10 C．5或9 D．6或8考点：平行四边形的性质；勾股定理；正方形的性质．专题：分类讨论．分析：设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可得到AE的长．解答：解：如图：设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x，在△ABE中，根据勾股定理可得x2+（14﹣x）2=102，解得x1=6，x2=8．故AE的长为6或8．故选：D．点评：考查了平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是根据勾股定理得到关于AE的方程．16．（•常州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（）A．AO=OD B．AO⊥OD C．AO=OC D．AO⊥AB考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．解答：解：对角线不一定相等，A错误；对角线不一定互相垂直，B错误；对角线互相平分，C正确；对角线与边不一定垂直，D错误．故选：C．点评：本题考查度数平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．17．（•淄博）如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B，A，E在一条直线上，CE交AD于点F，则图中等边三角形共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：平行四边形的性质；等边三角形的判定；翻折变换（折叠问题）．分析：根据折叠的性质可得∠E=∠B=60°，进而可证明△BEC是等边三角形，再根据平行四边形的性质可得：AD∥BC，所以可得∠EAF=60°，进而可证明△EFA是等边三角形，由等边三角形的性质可得∠EFA=∠DFC=60°，又因为∠D=∠B=60°，进而可证明△DFC是等边三角形，问题得解．解答：解：∵将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，∴∠E=∠B=60°，∴△BEC是等边三角形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠D=∠B=60°，∴∠B=∠EAF=60°，∴△EFA是等边三角形，∵∠EFA=∠DFC=60°，∠D=∠B=60°，∴△DFC是等边三角形，∴图中等边三角形共有3个，故选B．点评：本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟记等边三角形的各种判定方法特别是经常用到的判定方法：三个角都相等的三角形是等边三角形．18．（•连云港）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形考点：平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定．分析：由平行四边形的判定方法得出A不正确、B正确；由矩形和正方形的判定方法得出C、D不正确．解答：解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；故选：B．点评：本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定方法是解决问题的关键．19．（•绵阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（）A．6 B．12 C．20 D．24考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．解答：解：在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE===5．∵BE=DE=3，AE=CE=5，∴四边形ABCD是平行四边形．四边形ABCD的面积为BC•BD=4×（3+3）=24，故选：D．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了勾股定理得出CE的长，又利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，最后利用了平行四边形的面积公式．二．填空题1. （广东）正五边形的外角和等于（度）.【答案】360.【解析】n边形的外角和都等于360度。
2022中考数学试题分类多边形与平行四边形(含解析)
2022中考数学试题分类多边形与平行四边形（含解析）多边形与平行四边形1．（2022衡阳,第9题3分）下列命题是真命题的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直的四边形是正方形考点：命题与定理．专题：计算题．分析：根据平行线四边形的判定方法对A进行判定；根据矩形的判定方法，对角线相等的平行四边形是矩形，则可对B进行判定；根据菱形的判定方法，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则可对C进行判定；根据正方形的判定方法，对角线互相垂直的矩形是正方形，则可对对D进行判定．解答：解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以A选项为真命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为假命题；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题；D、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以D选项为假命题．故选A．点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．3．（2022宜昌，第8题3分）下列图形具有稳定性的是（）A．正方形B．矩形C．平行四边形D．直角三角形考点：三角形的稳定性；多边形．.分析：根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．解答：解：直角三角形具有稳定性．故选：D．点评：此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键．4.（2022江苏常州第5题2分）如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是AOBDA．AO＝ODB．AO⊥ODC．AO＝OCD．AO⊥AB5.（2022江苏连云港第5题3分）已知四边形ABCD，下列说法正确的是A．当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形CC．当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【思路分析】平行四边形的判定，分别有两组对边分别平行，两组分别相等，一组对边平行且相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以B选项是正确的【答案】B【点评】本题考查平行四边形及特殊的平行四边形的判定.6、(2022年陕西省,9,3分)在ABCD中，AB=10，BC=14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE的长为（）A．7B．4或10C．5或9D．6或8考点：平行四边形的性质；勾股定理；正方形的性质．.专题：分类讨论．分析：设AE的长为某，根据正方形的性质可得BE=14﹣某，根据勾股定理得到关于某的方程，解方程即可得到AE的长．解答：解：如图：设AE的长为某，根据正方形的性质可得BE=14﹣某，222在△ABE中，根据勾股定理可得某+（14﹣某）=10，解得某1=6，某2=8．故AE的长为6或8．故选：D．点评：考查了平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是根据勾股定理得到关于AE的方程．7.（2022山东莱芜,第9题3分）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）A．27B．35C．44D．54考点：多边形内角与外角．.分析：设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答．解答：解：设这个内角度数为某，边数为n，∴（n﹣2）某180°﹣某=1510，180n=1870+某，∵n为正整数，∴n=11，∴=44，故选：C．点评：此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识．8．（2022怀化，第6题4分）一个多边形的内角和是360°，这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．六边形D．不能确定考点：多边形内角与外角．分析：本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于360°，列出方程，解出即可．解答：解：设这个多边形的边数为n，则有（n﹣2）180°=360°，解得：n=4，故这个多边形是四边形．故选：B．点评：本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题．9．（2022娄底，第5题3分）下列命题中错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．菱形的对角线互相垂直C．同旁内角互补D．矩形的对角线相等考点：命题与定理．分析：根据平行四边形的性质对A进行判断；根据菱形的性质对B进行判断；根据平行线的性质对C进行判断；根据矩形的性质对D进行判断．解答：解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A选项为真命题；B、菱形的对角线互相垂直，所以B选项为真命题；C、两直线平行，同旁内角互补，所以C选项为假命题；D、矩形的对角线相等，所以D选项为真命题．故选C．点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．10．（2022长沙，第5题3分）下列命题中，为真命题的是（）A．六边形的内角和为360度B．多边形的外角和与边数有关C．矩形的对角线互相垂直D．三角形两边的和大于第三边考点：命题与定理．分析：根据六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系判断即可．解答：解：A、六边形的内角和为720°，错误；B、多边形的外角和与边数无关，都等于360°，错误；C、矩形的对角线相等，错误；D、三角形的两边之和大于第三边，正确；故选D．点评：本题考查命题的真假性，是易错题．注意对六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系的准确掌握11．（2022本溪，第8题3分）如图，ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE=2cm，则AB的长度是（）A．10cmB．8cmC．6cmD．4cm考点：平行四边形的性质．.分析：根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，AD∥BC，推出∠DAE=∠BAE，求出∠BAE=∠AEB，推出AB=BE，设AB=CD=某cm，则AD=BC=（某+2）cm，得出方程某+某+2=10，求出方程的解即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，设AB=CD=某cm，则AD=BC=（某+2）cm，∵ABCD的周长为20cm，∴某+某+2=10，解得：某=4，即AB=4cm，故选D．点评：本题考查了平行四边形的在，平行线的性质，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是能推出AB=BE，题目比较好，难度适中．12．（2022营口，第4题3分）ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC=42°，∠CBD=23°，则∠COD是（）A．61°B．63°C．65°D．67°考点：平行四边形的性质．分析：由平行四边形的性质可知：AD∥BC，进而可得∠DAC=∠BCA，再根据三角形外角和定理即可求出∠COD的度数．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA=42°，∴∠COD=∠CBD+∠BCA=65°，故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质以及三角形的外角和定理，题目比较简单，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，将四边形的问题转化为三角形问题．13.（2022年浙江衢州第4题3分）如图，在YABCD中，已知AD12cm,AB8cm,AE平分BAD交BC于点E，则CE的长等于【】A.8cmB.6cmC.4cmD.2cm【答案】C．【考点】平行线分线段成比例的性质．【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC,ADBC.∴DAEAEB.又∵AE平分BAD，∴DAEEAB.∴EABAEB.∴ABBE.∵AD12cm,AB8cm，∴BC12cm,BE8cm.∴CEBCCE4cm.故选C.5.（2022江苏连云港第5题3分）已知四边形ABCD，下列说法正确的是A．当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【思路分析】平行四边形的判定，分别有两组对边分别平行，两组分别相等，一组对边平行且相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以B选项是正确的【答案】B【点评】本题考查平行四边形及特殊的平行四边形的判定.6、(2022年陕西省,9,3分)在ABCD中，AB=10，BC=14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE的长为（）A．7B．4或10C．5或9D．6或8考点：平行四边形的性质；勾股定理；正方形的性质．.专题：分类讨论．分析：设AE的长为某，根据正方形的性质可得BE=14﹣某，根据勾股定理得到关于某的方程，解方程即可得到AE的长．解答：解：如图：设AE的长为某，根据正方形的性质可得BE=14﹣某，222在△ABE中，根据勾股定理可得某+（14﹣某）=10，解得某1=6，某2=8．故AE的长为6或8．故选：D．点评：考查了平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是根据勾股定理得到关于AE的方程．7.（2022山东莱芜,第9题3分）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）A．27B．35C．44D．54考点：多边形内角与外角．.分析：设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答．解答：解：设这个内角度数为某，边数为n，∴（n﹣2）某180°﹣某=1510，180n=1870+某，∵n为正整数，∴n=11，∴=44，故选：C．点评：此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识．3．（2022江苏镇江，第8题，2分）如图，ABCD中，E为AD的中点，BE，CD的延长线相交于点F，若△DEF的面积为1，则ABCD的面积等于4．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．.分析：通过△ABE≌△DFE求得△ABE的面积为1，通过△FBC∽△FED，求得四边形BCDE的面积为3，然后根据ABCD的面积=四边形BCDE的面积+△ABE的面积即可求得．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，∵AB∥CD，∴∠A=∠EDF，在△ABE和△DFE中，，∴△ABE≌△DFE（SAS），∵△DEF的面积为1，∴△ABE的面积为1，∵AD∥BC，∴△FBC∽△FED，∴=（）2∵AE=ED=AD．∴ED=BC，∴=，∴四边形BCDE的面积为3，∴ABCD的面积=四边形BCDE的面积+△ABE的面积=4．故答案为4．点评：本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形全等的性质和三角形相似的性质是解题的关键．24．（2022营口，第14题3分）圆内接正六边形的边心距为2，则这个正六边形的面积为24cm．考点：正多边形和圆．分析：根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．解答：解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．在Rt△AOG中，OG=2，∠AOG=30°，∵OG=OAco30°，∴OA===4，∴这个正六边形的面积为6某某4某2=24cm．2故答案为：24．点评：此题主要考查正多边形的计算问题，根据题意画出图形，再根据正多边形的性质即锐角三角函数的定义解答即可．5.（2022江苏连云港第5题3分）已知四边形ABCD，下列说法正确的是A．当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【思路分析】平行四边形的判定，分别有两组对边分别平行，两组分别相等，一组对边平行且相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以B选项是正确的【答案】B【点评】本题考查平行四边形及特殊的平行四边形的判定.6、(2022年陕西省,9,3分)在ABCD中，AB=10，BC=14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE的长为（）A．7B．4或10C．5或9D．6或8考点：平行四边形的性质；勾股定理；正方形的性质．.专题：分类讨论．分析：设AE的长为某，根据正方形的性质可得BE=14﹣某，根据勾股定理得到关于某的方程，解方程即可得到AE的长．解答：解：如图：设AE的长为某，根据正方形的性质可得BE=14﹣某，222在△ABE中，根据勾股定理可得某+（14﹣某）=10，解得某1=6，某2=8．故AE的长为6或8．故选：D．点评：考查了平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是根据勾股定理得到关于AE的方程．7.（2022山东莱芜,第9题3分）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）A．27B．35C．44D．54考点：多边形内角与外角．.分析：设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答．解答：解：设这个内角度数为某，边数为n，∴（n﹣2）某180°﹣某=1510，180n=1870+某，∵n为正整数，∴n=11，∴=44，故选：C．点评：此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识．14．（2022湖北,第17题3分）在ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，则∠A的度数为55°或35°．考点：平行四边形的性质．分析：首先求出∠ADB的度数，再利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，得出∠A的度数．解答：解：情形一：当E点在线段AD上时，如图所示，∵BE是AD边上的高，∠EBD=20°，∴∠ADB=90°﹣20°=70°，∵AD=BD，∴∠A=∠ABD==55°．情形二：当E点在AD的延长线上时，如图所示，∵BE是AD边上的高，∠EBD=20°，∴∠BDE=70°，∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=∠BDE=70°=35°．故答案为：55°或35°．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质等知识，得出∠ADB的度数是解题关键．解答：解：（1）如图①，过A作AE⊥BC，∴四边形AECD为矩形，∴EC=AD=8，BE=BC﹣EC=12﹣8=4，在Rt△ABE中，∠ABE=60°，BE=4，∴AB=2BE=8，AE=则S△BMC=BCAE=24；=4，故答案为：24；（2）如图②，作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B交AD于点N′，连接CN′，则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′，∴△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC，∵AD∥BC，AE⊥BC，∠ABC=60°，∴过点A作AE⊥BC，则CE=AD=8，∴BE=4，AE=BEtan60°=4，∴CC′=2CD=2AE=8，∵BC=12，∴BC′==4，∴△BNC周长的最小值为4+12；（3）如图③所示，存在点P，使得co∠BPC的值最小，作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作△BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上，∵AD∥BC，∴圆O与AD相切于点P，∵PQ=DC=4＞6，∴PQ＞BQ，∴∠BPC＜90°，圆心O在弦BC的上方，在AD上任取一点P′，连接P′B，P′C，P′B交圆O于点M，连接MC，∴∠BPC=∠BMC≥∠BP′C，∴∠BPC最大，co∠BPC的值最小，连接OB，则∠BON=2∠BPN=∠BPC，∵OB=OP=4﹣OQ，222在Rt△BOQ中，根据勾股定理得：OQ+6=（4﹣OQ），解得：OQ=∴OB=，，=，∴co∠BPC=co∠BOQ=则此时co∠BPC的值为．点评：此题属于四边形综合题，涉及的知识有：勾股定理，矩形的判定与性质，对称的性质，圆的切线的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．3、(2022年四川省广元市中考，5,3分)一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．8考点：多边形内角与外角．.分析：多边形的外角和是360°，则内角和是2某360=720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．解答：解：设这个多边形是n边形，根据题意，得（n﹣2）某180°=2某360，解得：n=6．即这个多边形为六边形．故选：B．点评：本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．4、(2022年四川省广元市中考，18,7分)求证：平行四边形的对角线互相平分（要求：根据题意先画出图形并写出已知、求证，再写出证明过程）．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．.专题：证明题．分析：首先根据题意画出图形，再写出命题的已知和求证，最后通过证明三角形全等即可证明命题是正确的．解答：已知：平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，求证：OA=OC，OB=OD证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠1=∠2，在△AOD和△COB中，∴△AOD≌△COB（AAS），∴OA=OC，OB=OD．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟记平行四边形的各种性质以及全等三角形的各种判定的各种方法．5、(2022年浙江省义乌市中考,24,14分)在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC的顶点A在某轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点B关于PQ的对称点。
2020年中考数学一轮专项复习26 平行四边形与多边形(含解析)
2020年中考数学一轮专项复习——平行四边形与多边形基础过关1．(2019河北)下列图形为正多边形的是()2．(2019河池)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是()A. ∠B＝∠FB. ∠B＝∠BCFC. AC＝CFD. AD＝CF第2题图3．(2019湖州)如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是()A. 24B. 30C. 36D. 42第3题图4．若一个多边形的内角和为其外角和的2倍，则这个多边形为()A. 六边形B. 八边形C. 十边形D. 十二边形5．(2020原创)如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形EFCD的周长为()A．28 B．26 C．24 D．20第5题图6．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，DE平分∠ADC，AE＝DE＝BE，则平行四边形ABCD的面积为()A. 3B. 2 3C. 3 3D. 4 3第6题图7．(2019广州)如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点．则下列说法正确的是()A. EH＝HGB. 四边形EFGH是平行四边形C. AC⊥BDD. △ABO的面积是△EFO的面积的2倍【错误结论纠正】请将错误结论改正确．第7题图8．(2019梧州)如图，▱ABCD中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝________度．第8题图9．(2019福建)在平面直角坐标系xOy中，▱OABC的三个顶点分别为O(0，0)，A(3，0)，B(4，2)，则其第四个顶点C的坐标是________．10．(2019济宁)如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是________．第10题图11．(2019武汉)如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD ＝63°，则∠ADE的大小是________．第11题图12．(2019宜宾模拟)将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的22倍(木条宽度忽略不计)，则这个平行四边形的最小内角为________度．第12题图13．(2018临沂)如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，则BD＝________．第13题图14．(人教八下P50习题18.1 第10题改编)如图，四边形BEDF是平行四边形，分别延长BF、DE至点C、A，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线．求证：四边形ABCD是平行四边形．第14题图15.如图，在平行四边形ABCD中，分别过A、C两点作对角线BD的垂线，垂足分别为M、N，连接AN、CM.求证：(1)BM＝DN；(2)四边形AMCN为平行四边形．第15题图16．(2019荆门)如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝213.(1)求平行四边形ABCD的面积；(2)求证：BD⊥BC.第16题图能力提升1．(2019烟台)如图，面积为24的▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，DE＝6，则sin∠DCE的值为()A. 2425 B.45 C.34 D.1225第1题图2．(2019徐州)如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点，若O为正多边形的中心，则∠OAD＝________°.第2题图3．(2019安徽)如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE.(1)求证：△BCE≌△ADF;(2)设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求ST的值．第3题图满分冲关(2019滨州)如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，CE 平分∠BCD 交AB 于点E ，交BD 于点F ，且∠ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE .下列结论：①EO ⊥AC ；②S △AOD ＝4S △OCF ；③AC ∶BD ＝21∶7；④FB 2＝OF ·DF .其中正确的结论有________(填写所有正确结论的序号)．题图【错误结论纠正】请将错误结论改正确．参考答案基础过关1．D 【解析】正多边形的各边都相等，选项A 、B 、C 中各边不相等，不是正多边形，选项D 中各边都相等，为正五边形．2．B 【解析】∵D 、E 分别是AB 、BC 的中点，∴DE ∥AC ，当∠B ＝∠BCF 时， AB ∥CF ，此时四边形ADFC 为平行四边形，故可添加条件为∠B ＝∠BCF .3．B 【解析】∵BD 平分∠ABC ，∠BCD ＝90°，CD ＝4，∴点D 到AB 的距离为4，∵BC ＝9，AB ＝6，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12·AB ·CD ＋12·BC ·CD ＝12×6×4＋12×9×4＝30.4. A 【解析】∵多边形外角和为360°，∴此多边形内角和为720°，根据内角和定理得180°×(n －2)＝720°，解得n ＝6，则这个多边形为六边形．5．C 【解析】∵在平行四边形ABCD 中，2(AD ＋CD )＝36，∴AD ＋CD ＝18，又∵∠EAO ＝∠FCO ，AO ＝CO ，∠AOE ＝∠COF ，∴△AOE ≌△COF ，∴AE ＝CF ，OE ＝OF ＝3，∴EF ＝6，∴CF ＋CD ＋ED ＋EF ＝AE ＋ED ＋EF ＋CD ＝AD ＋CD ＋EF ＝18＋6＝24.6．D 【解析】如解图，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，∴∠AED ＝∠CDE ，∵DE 平分∠ADC ，∴∠ADE ＝∠CDE ，∴∠AED ＝∠ADE ，∵AE ＝DE ，∴∠A ＝∠ADE ，∴∠A ＝∠ADE ＝∠AED ＝60°，∴AD ＝AE ＝DE ＝BE ＝2，DF ＝AD ·sin60°＝3，∴AB ＝4，∴S ▱ABCD ＝AB ·DF ＝4×3＝4 3.第6题解图7．B 【解析】∵E 、F 、G 、H 分别是AO 、BO 、CO 、DO 的中点，∴EF ∥AB 且EF ＝12AB ，HG ∥CD且HG ＝12CD .∵AB ∥CD 且AB ＝CD ，∴EF ∥HG 且EF ＝HG ，故四边形EFGH 是平行四边形．8．61 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC .又∵DF ⊥BC 于点F ，∴∠ADF ＝∠CFD ＝90°.∵∠ADC ＝119°，∴∠EDH ＝∠ADC －∠ADF ＝119°－90°＝29°.∵BE ⊥DC ，∴∠BED ＝90°.从而∠BHF ＝∠DHE ＝90°－29°＝61°.9．(1，2) 【解析】∵四边形OABC 为平行四边形，点O 为坐标原点，点A (3，0)在x 轴上，∴OA ＝3，BC ＝OA ，∵点B 坐标为(4，2)，∴点C 的纵坐标为2，横坐标为4－3＝1，则第四个顶点C 的坐标为(1，2)．10．140° 【解析】∵正九边形每个外角的度数是360°9＝40°，∴正九边形每个内角的度数是180°－40°＝140°.11．21° 【解析】设∠CAD ＝x ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠CAD ＝∠ACB ＝x .∵∠ADF ＝90°，AE ＝EF ，∴AE ＝DE ，∠CAD ＝∠ADE ＝x ，∴∠DEC ＝∠CAD ＋∠ADE ＝2x .又∵AE ＝DE ＝DC ，∴∠DEC ＝∠DCE ＝2x .∴∠BCD ＝∠DCE ＋∠ACB ＝2x ＋x ＝63°，解得x ＝21°，∴∠ADE ＝21°.12．45 【解析】如解图，过点C 作CE 垂直AB 的延长线于点E ，∵将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形木框ABCD 的形状，并使其面积为长方形面积的22倍，∴BC ＝2CE ，∵sin ∠CBE ＝CE BC ＝22，∴∠CBE ＝∠A ＝45°.第12题解图13．413 【解析】∵在▱ABCD 中，BD ＝2BO ，AC ＝2OC ，BC ＝AD ＝6，AB ＝10，AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝90°，在Rt △ABC 中，∵AC ＝AB 2－BC 2＝102－62＝8，∴CO ＝12×8＝4，∴在Rt △BCO 中，BO ＝OC 2＋BC 2＝42＋62＝52＝213，∴BD ＝2BO ＝2×213＝413. 14．证明：∵四边形BEDF 是平行四边形， ∴DE ∥BF ，∠EBF ＝∠EDF .∵BE 、DF 分别是∠ABC 、∠ADC 的平分线， ∴∠ABE ＝∠EBF ＝∠ADF ＝∠CDF ， ∴∠ABC ＝∠ADC . ∵DE ∥BF ，∴∠AEB ＝∠EBF ，∠ADF ＝∠CFD ， ∴∠AEB ＝∠ABE ＝∠CDF ＝∠CFD ，∵∠A ＝180°－∠AEB －∠ABE ，∠C ＝180°－∠CDF －∠CFD ， ∴∠A ＝∠C ，∴四边形ABCD 是平行四边形．15．证明：(1)在平行四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ∥CD ， ∴∠ABM ＝∠CDN ， ∵AM ⊥BD ，CN ⊥BD ， ∴∠BMA ＝∠DNC ＝90°， 在△ABM 和△CDN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BMA ＝∠DNC ∠ABM ＝∠CDN ，AB ＝CD∴△ABM ≌△CDN (AAS)， ∴BM ＝DN ；(2)如解图，连接AC 交BD 于点O .在平行四边形ABCD 中，OA ＝OC ，OB ＝OD ， ∵BM ＝DN ，∴BM －OB ＝DN －OD ， ∴OM ＝ON ，∴四边形AMCN 为平行四边形．第15题解图16．(1)解：如解图，过点C 作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ， 设BE ＝x ，CE ＝h ，在Rt △CEB 中，x 2＋h 2＝9①，在Rt △CEA 中，(5＋x )2＋h 2＝(213)2②， 联立①②解得x ＝95，h ＝125.∴S 平行四边形ABCD ＝AB ·h ＝12；第16题解图(2)证明：如解图，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为点F ， ∴∠DF A ＝∠CEB ＝90°. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠CDF ＝∠DFE ＝∠E ＝90°， ∴四边形DFEC 为矩形， ∴BF ＝5－95＝165，DF ＝CE ＝125.在Rt △DFB 中，BD 2＝DF 2＋BF 2＝(125)2＋(165)2＝16，∵BC ＝3，DC ＝5， ∴CD 2＝BD 2＋BC 2.∴△BCD 为直角三角形且∠DBC ＝90°， ∴BD ⊥BC .能力提升1．A 【解析】如解图，连接AC 交BD 于点O ，过点D 作DF ⊥BE 于点F .∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD . ∴∠ADB ＝∠CBD .∴∠ABD ＝∠ADB . ∴AB ＝AD . ∴▱ABCD 是菱形. ∴AO 垂直平分BD . ∵DE ⊥BD ，∴OC ∥DE .∵点O 为BD 中点，∴OC ＝12DE ＝12×6＝3.∴AC＝2OC ＝6.∵菱形ABCD 的面积为24，∴BD ＝8. ∴BO ＝4. ∴DC ＝BC ＝OB 2＋OC 2＝5.∵DF ·BC ＝24，∴DF ＝245. ∴在Rt △DFC 中，sin ∠DCE ＝DF DC ＝2425.第1题解图2．30 【解析】∵在正多边形中，中心角与多边形的外角相等．如解图，连接OB 、OC .∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝40°.∴∠AOD ＝120°.又∵OA ＝OD ，∴在△AOD 中，∠OAD ＝∠ODA ＝(180°－120°)÷2＝30°.第2题解图3．(1)证明：如解图，延长F A 与CB 的延长线交于点M ，∵AD ∥BC ，∴∠F AD ＝∠M ，又∵AF ∥BE ，∴∠M ＝∠EBC ，∴∠F AD ＝∠EBC .同理得∠FDA ＝ECB ，在△BCE 和△ADF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠EBC ＝∠F AD ，BC ＝AD ，∠ECB ＝∠FDA ，∴△BCE ≌△ADF (ASA)；(2)解：如解图，连接EF ，由(1)知△BCE ≌△ADF ，∴AF ＝BE ，又∵AF ∥BE ，∴四边形ABEF 为平行四边形．∴S △AEF ＝S △AEB .同理S △DEF ＝S △DEC .∴T ＝S △AEB ＋S △DEC .∴T ＝S △AED ＋S △ADF ＝S △AED ＋S △BCE ，∴S＝S△AEB＋S△DEC＋S△AED＋S△BEC＝2T.∴ST＝2.第3题解图满分冲关1．①③④【解析】∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠ECB，∵AB∥CD，∴∠CEB＝∠DCE，∴∠ECB＝∠CEB，∵∠ABC ＝60°，∴△BCE是等边三角形．∴BC＝EB＝CE.∵AB＝2BC，∴AE＝EB＝EC，∴AC⊥BC.∵AO＝OC，∴OE∥BC，OE为△ABC的中位线，∴OE⊥AC，即①正确；∵OE为△ABC的中位线，∴OE∶BC＝1∶2，∵OE∥BC，∴OF∶FB＝1∶2，∴S△OBC ＝3S△OFC，易证△AOD≌△COB，∴S△AOD＝S△OBC，∴S△AOD＝3S△OFC，即②错误；∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∴AC∶BC＝3∶1，∵O为AC的中点，∴OC∶BC＝3∶2.∴OB∶OC＝7∶3，即AC∶BD＝3∶7＝21∶7，即③正确；∵OE∥BC，BC ＝2OE，∴OF∶FB＝1∶2(a)，∴OB∶FB＝3∶2，∴BD∶BF＝6∶2，∴DF∶BF＝4∶2，即DF∶BF＝2∶1(b)．a式与b式相乘即可得BF2＝OF·DF，即④正确．。
多边形与平行四边形(共27题)(解析版)--2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
多边形与平行四边形(27题)一、单选题1(2023·湖南·统考中考真题)如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是()A.AB=CDB.AB∥CDC.∠A=∠CD.BC=AD【答案】A【分析】依据平行四边形的判定，依次分析判断即可得出结果．【详解】解：A、当BC∥AD，AB=CD时，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；B、当AB∥CD，BC∥AD时，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；C、当BC∥AD，∠A=∠C时，可推出AB∥DC，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；D、当BC∥AD，BC=AD时，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；故选：A．【点睛】此题考查了平行四边形的判定，解决问题的关键要熟记平行四边形的判定方法．2(2023·湖南永州·统考中考真题)下列多边形中，内角和等于360°的是()A. B.C. D.【答案】B【分析】根据n边形内角和公式n-2⋅180°分别求解后，即可得到答案【详解】解：A．三角形内角和是180°，故选项不符合题意；B．四边形内角和为4-2×180°=360°，故选项符合题意；C．五边形内角和为5-2×180°=540°，故选项不符合题意；D．六边形内角和为6-2×180°=720°，故选项不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查了n边形内角和，熟记n边形内角和公式n-2⋅180°是解题的关键．3(2023·湖南·统考中考真题)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，使四边形ABCD为平形四边形，则下列正确的是()A.AD=BCB.∠ABD=∠BDCC.AB=ADD.∠A=∠C【答案】D【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解．【详解】解：A．根据AB∥CD，AD=BC，不能判断四边形ABCD为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；B．∵AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC，不能判断四边形ABCD为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；C．根据AB∥CD，AB=AD，不能判断四边形ABCD为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意； D．∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C=180°，∵∠A=∠C∴∠ABC+∠A=180°，∴AD∥BC∴四边形ABCD为平形四边形，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．4(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S=ah时，若△ABE平移到△DCF，a=4，h=3，则△ABE的平移距离为()A.3B.4C.5D.12【答案】B【分析】根据平移的方向可得，△ABE平移到△DCF，则点A与点D重合，故△ABE的平移距离为AD的长．【详解】解：用平移方法说明平行四边形的面积公式S=ah时，将△ABE平移到△DCF，故平移后点A与点D重合，则△ABE的平移距离为AD=a=4，故选：B．【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．5(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD=4，CD=6，则EO的长为()A.1B.2C.3D.4【答案】A【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定可得AP=AD= 4，进而可得BP=2，再根据三角形的中位线解答即可.【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，CD=6，∴AB∥CD，AB=CD=6，DO=BO，∴∠CDP=∠APD，∵PD平分∠ADC，∴∠ADP=∠CDP，∴∠ADP=∠APD，∴AP=AD=4，∴BP=AB-AP=6-4=2，∵E是PD中点，BP=1；∴OE=12故选：A.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相关图形的判定与性质是解题的关键.6(2023·四川成都·统考中考真题)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是()A.AC=BDB.OA=OCC.AC⊥BDD.∠ADC=∠BCD【答案】B【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，A. AC=BD，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；B. OA=OC，故该选项正确，符合题意；C. AC⊥BD，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；D. ∠ADC=∠BCD，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．7(2023·安徽·统考中考真题)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC,OD，则∠BAE-∠COD=()A.60°B.54°C.48°D.36°【答案】D【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可．【详解】∵∠BAE=180°-360°5,∠COD=360°5，∴∠BAE-∠COD=180°-360°5-360°5=36°，故选D．【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．二、填空题8(2023·云南·统考中考真题)五边形的内角和是度．【答案】540【分析】根据n边形内角和为n-2×180°求解即可．【详解】五边形的内角和是5-2×180°=540°．故答案为：540．【点睛】本题考查求多边形的内角和．掌握n边形内角和为n-2×180°是解题关键．9(2023·新疆·统考中考真题)若正多边形的一个内角等于144°，则这个正多边形的边数是．【答案】10【分析】本题需先根据已知条件设出正多边形的边数，再根据正多边形的计算公式得出结果即可．【详解】解：设这个正多边形是正n边形，根据题意得：n-2×180°÷n=144°，解得：n=10．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了正多边形的内角，在解题时要根据正多边形的内角公式列出式子是本题的关键．10(2023·上海·统考中考真题)如果一个正多边形的中心角是20°，那么这个正多边形的边数为．【答案】18【分析】根据正n边形的中心角的度数为360°÷n进行计算即可得到答案．【详解】根据正n边形的中心角的度数为360°÷n，则n=360÷20=18，故这个正多边形的边数为18，故答案为：18．【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．11(2023·江苏扬州·统考中考真题)如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是．【答案】6【详解】解：根据多边形的外角和等于360°和正多边形的每一个外角都相等，得多边形的边数为360°÷60°=6．故答案为：6.12(2023·山东临沂·统考中考真题)如图，三角形纸片ABC中，AC=6，BC=9，分别沿与BC，AC 平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是．【答案】14【分析】由平行四边形的性质推出DF∥BC，DE∥AC，得到△ADF∽△ABC，△BDE∽△BAC，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：如图，由题意得ADAB=13，四边形DECF是平行四边形，∴DF∥BC，DE∥AC，∴△ADF∽△ABC，△BDE∽△BAC，∴DF BC =ADAB=13，DEAC=BDAB=23，∵AC=6，BC=9，∴DF=3，DE=4，∵四边形DECF平行四边形，∴平行四边形DECF纸片的周长是23+4=14，故答案为：14．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．13(2023·湖南·统考中考真题)如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，∠B的平分线BE交AD于点E，则DE的长为．【答案】2【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，则∠AEB=∠CBE，再由角平分线的定义可得∠ABE=∠CBE，从而求得∠AEB=∠ABE，则AE=AB，从而求得结果．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵∠B的平分线BE交AD于点E，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，∵AB=3，BC=5，∴DE=AD-AE=BC-AB=5-3=2，故答案为：2．【点睛】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，掌握平行四边形的性质是解题的关键．14(2023·重庆·统考中考真题)如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，则∠BAC的度数为．【答案】36°【分析】首先利用多边形的内角和公式求得正五边形的内角和，再求得每个内角的度数，利用等腰三角形的性质可得∠BAC的度数．【详解】正五边形内角和：(5-2)×180°=3×180°=540°∴∠B=540°5=108°，∴∠BAC=180°-∠B2=180°-108°2=36° .故答案为36°．【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式：(n-2)×180°是解答此题的关键．15(2023·湖北黄冈·统考中考真题)若正n边形的一个外角为72°，则n=．【答案】5【分析】正多边形的外角和为360°，每一个外角都相等，由此计算即可．【详解】解：由题意知，n=36072=5，故答案为：5．【点睛】本题考查正多边形的外角问题，解题的关键是掌握正n边形的外角和为360°，每一个外角的度数均为360°n．16(2023·福建·统考中考真题)如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB,CD 于点E,F．若AE=10，则CF的长为．【答案】10【分析】由平行四边形的性质可得DC∥AB,DC=AB即∠OFD=∠OEB,∠ODF=∠EBO，再结合OD =OB可得△DOF≌△BOE AAS可得DF=EB，最进一步说明FC=AE=10即可解答．【详解】解：∵ABCD中，∴DC∥AB,DC=AB，∴∠OFD=∠OEB,∠ODF=∠EBO，∵OD=OB，∴△DOF≌△BOE AAS，∴DF=EB，∴DC-DF=AB-BE,即FC=AE=10．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证明三角形全等是解答本题的关键．17(2023·山东·统考中考真题)已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是边形．【答案】5【详解】设这个多边形是n边形，由题意得，(n-2)×180°=540°，解之得，n=5．18(2023·甘肃兰州·统考中考真题)如图，在▱ABCD中，BD=CD，AE⊥BD于点E，若∠C=70°，则∠BAE=°．【答案】50【分析】证明∠DBC=∠C=70°，∠BDC=180°-2×70°=40°，由AB∥CD，可得∠ABE=∠BDC=40°，结合AE⊥BD，可得∠BAE=90°-40°=50°．【详解】解：∵BD=CD，∠C=70°，∴∠DBC=∠C=70°，∠BDC=180°-2×70°=40°，∵▱ABCD，∴AB∥CD，∴∠ABE=∠BDC=40°，∵AE⊥BD，∴∠BAE=90°-40°=50°；故答案为：50【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记基本几何图形的性质是解本题的关键．19(2023·吉林长春·统考中考真题)如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B ，折痕为AF，则∠AFB 的大小为度．【答案】45【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为155-2×180°=108°，根据折叠的性质求得∠BAM,∠FAB ,在△AFB 中，根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵正五边形的每一个内角为155-2×180°=108°，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，则∠BAM=12∠BAE=12×108°=54°，∵将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B ，折痕为AF，∴∠FAB =12∠BAM=12×54°=27°，∠AB F=∠B=108°，在△AFB 中，∠AFB =180°-∠B-∠FAB =180°-108°-27°=45°，故答案为：45．【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．20(2023·重庆·统考中考真题)若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为．【答案】800°/800度【分析】根据多边形的内角和公式180°n-2即可得．【详解】解：∵七边形的内角中有一个角为100°，∴其余六个内角之和为180°×7-2-100°=800°，故答案为：800°．【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题关键．三、解答题21(2023·四川自贡·统考中考真题)在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD和BC上，且DE =BF．求证：AF=CE．【答案】见解析【分析】平行四边形的性质得到AD=BC,AD∥BC，进而推出AE=CF，得到四边形AECF是平行四边形，即可得到AF=EC．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC,AD∥BC，∵BE=DF，∴AE=CF，∴AE=CF,AE∥CF∴四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质．熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键．22(2023·湖南·统考中考真题)如图所示，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G、F分别为BH、CH的中点．(1)求证：四边形DEFG为平行四边形(2)DG⊥BH，BD=3，EF=2，求线段BG的长度．【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)由三角形中位线定理得到DE∥BC,DE=12BC，GF∥BC,GF=12BC，得到GF∥DE,GF=DE，即可证明四边形DEFG为平行四边形；(2)由四边形DEFG为平行四边形得到DG=EF=2，由DG⊥BH得到∠DGB=90°，由勾股定理即可得到线段BG的长度．【详解】(1)解：∵点D、E分别为AB、AC的中点，∴DE∥BC,DE=12BC，∵点G、F分别为BH、CH的中点．∴GF∥BC,GF=12BC，∴GF∥DE,GF=DE，∴四边形DEFG为平行四边形；(2)∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG=EF=2，∵DG ⊥BH ，∴∠DGB =90°，∵BD =3，∴BG =BD 2-DG 2=32-22=5．【点睛】此题考查了中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形DEFG 为平行四边形和利用勾股定理计算是解题的关键．23(2023·浙江杭州·统考中考真题)如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ，点E ,F 在对角线BD 上，且BE =EF =FD ，连接AE ,EC ，CF ,FA ．(1)求证：四边形AECF 是平行四边形．(2)若△ABE 的面积等于2，求△CFO 的面积．【答案】(1)见解析(2)1【分析】(1)根据平行四边形对角线互相平分可得OA =OC ，OB =OD ，结合BE =FD 可得OE =OF ，即可证明四边形AECF 是平行四边形；(2)根据等底等高的三角形面积相等可得S △AEF =S △ABE =2，再根据平行四边形的性质可得S △CFO =12S △CEF =12S △AEF =12×2=1．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =OC ，OB =OD ，∵BE =FD ，∴OB -BE =OD -FD ，∴OE =OF ，又∵OA =OC ，∴四边形AECF 是平行四边形．(2)解：∵S △ABE =2，BE =EF ，∴S △AEF =S △ABE =2，∵四边形AECF 是平行四边形，∴S △CFO =12S △CEF =12S △AEF =12×2=1．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．24(2023·山东·统考中考真题)如图，在▱ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ；CF 平分∠BCD ，交AD 于点F ．求证：AE =CF ．【答案】证明见解析【分析】由平行四边形的性质得∠B =∠D ，AB =CD ，AD ∥BC ，由平行线的性质和角平分线的性质得出∠BAE =∠DCF ，可证△BAE ≌△DCF ，即可得出AE =CF ．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B =∠D ，AB =CD ，∠BAD =∠DCB ，AD ∥BC ，∵AE 平分∠BAD ，CF 平分∠BCD ，∴∠BAE =∠DAE =∠BCF =∠DCF ，在△BAE 和△DCF 中，∠B =∠DAB =CD∠BAE =∠DCF∴△BAE ≌△DCF ASA ∴AE =CF ．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，平行线的性质及全等三角形的判定与性质，根据题目已知条件熟练运用平行四边形的性质，平行线的性质是解答本题的关键．25(2023·重庆·统考中考真题)学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作AC 的垂直平分线交DC 于点E ，交AB 于点F ，垂足为点O ．(只保留作图痕迹)已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 是对角线，EF 垂直平分AC ，垂足为点O ．求证：OE =OF ．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ．∴∠ECO =①．∵EF 垂直平分AC ，∴②．又∠EOC =_③．∴ΔCOE ≅ΔAOF ASA ．∴OE =OF ．小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC 中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线④．【答案】作图：见解析；∠FAO；AO=CO；∠FOA；被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分【分析】根据线段垂直平分线的画法作图，再推理证明即可并得到结论．【详解】解：如图，即为所求；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB．∴∠ECO=∠FAO．∵EF垂直平分AC，∴AO=CO．又∠EOC=∠FOA．∴△COE≅△AOF ASA．∴OE=OF．故答案为：∠FAO；AO=CO；∠FOA；由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，作线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及线段垂直平分线的作图方法是解题的关键．26(2023·四川南充·统考中考真题)如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，∠CBE=∠ADF．求证：(1)AE=CF；(2)BE∥DF．【答案】见解析【分析】(1)根据平行四边形的性质推出相应的线段和相应的角度相等，再利用已知条件求证∠ABE=∠CDF，最后证明△ABE≌△CDF ASA即可求出答案．(2)根据三角形全等证明角度相等，再利用邻补角定义推出∠BEF=∠EFD即可证明两直线平行．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∠ABC=∠ADC，∴∠BAE=∠FCD．∵∠CBE=∠ADF，∠ABC=∠ADC，∴∠ABE=∠CDF．∴△ABE≌△CDF ASA．∴AE=CF．(2)证明：由(1)得△ABE≌△CDF ASA，∴∠AEB=∠CFD．∵∠AEB+∠BEF=180°，∠CFD+∠EFD=180°，∴∠BEF=∠EFD．∴BE∥DF．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，邻补角定义，三角形全等，平行线的判定，解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质．27(2023·四川广安·统考中考真题)如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O,BE⊥AC，DF ⊥AC，垂足分别为点E、F，且AF=CE,∠BAC=∠DCA．求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】见详解【分析】先证明△AEB≌△CFD(ASA)，再证明AB=CD,AB∥CD，再由平行四边形的判定即可得出结论．【详解】证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB=∠CFD=90°，∵AF=CE,AE=AF-EF,CF=CE-EF,∴AE=CF,又∵∠BAC=∠DCA，∴△AEB≌△CFD(ASA)，∴AB=CD，∵∠BAC=∠ACD，∴AB∥CD，四边形ABCD是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．。
中考数学真题《多边形与平行四边形》专项测试卷(附答案)
中考数学真题《多边形与平行四边形》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（27题）一 、单选题1．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 BC ∥AD 添加下列条件 不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AB ＝CD B ．AB ∥CDC ．∥A ＝∥CD ．BC ＝AD2．（2023·湖南永州·统考中考真题）下列多边形中 内角和等于360︒的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 AB CD ∥ 若添加一个条件 使四边形ABCD 为平形四边形，则下列正确的是（ ）A ．AD BC =B ．ABD BDC ∠=∠ C ．AB AD = D ．A C ∠=∠4．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S ah =时 若ABE 平移到DCF 4a = 3h =，则ABE 的平移距离为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．125．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，ABCD 的对角线AC BD 相交于点O ADC ∠的平分线与边AB 相交于点P E 是PD 中点 若4=AD 6CD =，则EO 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在ABCD 中 对角线AC 与BD 相交于点O ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AC BD =B ．OA OC = C ．AC BD ⊥ D ．ADC BCD ∠=∠7．（2023·安徽·统考中考真题）如图，正五边形ABCDE 内接于O 连接,OC OD ，则BAE COD ∠-∠=（ ）A ．60︒B ．54︒C ．48︒D ．36︒二 填空题8．（2023·云南·统考中考真题）五边形的内角和是________度．9．（2023·新疆·统考中考真题）若正多边形的一个内角等于144︒，则这个正多边形的边数是 ______． 10．（2023·上海·统考中考真题）如果一个正多边形的中心角是20︒ 那么这个正多边形的边数为________． 11．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如果一个正多边形的一个外角是60° 那么这个正多边形的边数是_____． 12．（2023·山东临沂·统考中考真题）如图，三角形纸片ABC 中 69AC BC ==， 分别沿与BC AC ，平行的方向 从靠近A 的AB 边的三等分点剪去两个角 得到的平行四边形纸片的周长是____________．13．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中 3AB = 5BC = B ∠的平分线BE 交AD 于点E ，则DE 的长为_____________．14．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在正五边形ABCDE 中 连接AC ，则∥BAC 的度数为_____．15．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）若正n 边形的一个外角为72︒，则n =_____________．16．（2023·福建·统考中考真题）如图，在ABCD 中 O 为BD 的中点 EF 过点O 且分别交,AB CD 于点,E F ．若10AE =，则CF 的长为___________．17．（2023·山东·统考中考真题）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形． 18．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，在ABCD 中 BD CD = AE BD ⊥于点E 若70C ∠=︒，则BAE ∠=______︒．19．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，将正五边形纸片ABCDE 折叠 使点B 与点E 重合 折痕为AM 展开后 再将纸片折叠 使边AB 落在线段AM 上 点B 的对应点为点B ' 折痕为AF ，则AFB '∠的大小为__________度．20．（2023·重庆·统考中考真题）若七边形的内角中有一个角为100︒，则其余六个内角之和为________．三 解答题21．（2023·四川自贡·统考中考真题）在平行四边形ABCD 中 点E F 分别在边AD 和BC 上 且DE BF =． 求证：AF CE =．22．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示 在ABC 中 点D E 分别为AB AC 、的中点 点H 在线段CE 上 连接BH 点G F 分别为BH CH 、的中点．(1)求证：四边形DEFG 为平行四边形(2)32DG BH BD EF ⊥==，， 求线段BG 的长度．23．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O 点,E F 在对角线BD 上 且BE EF FD == 连接,AE EC ,CF FA ．(1)求证：四边形AECF 是平行四边形．(2)若ABE 的面积等于2 求CFO △的面积．24．（2023·山东·统考中考真题）如图，在ABCD 中 AE 平分BAD ∠ 交BC 于点E CF 平分BCD ∠ 交AD 于点F ．求证：AE CF =．25．（2023·重庆·统考中考真题）学习了平行四边形后 小虹进行了拓展性研究．她发现 如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线 那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分． 她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规 作AC 的垂直平分线交DC 于点E 交AB 于点F 垂足为点O ．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形 AC 是对角线 EF 垂直平分AC 垂足为点O ．求证：OE OF =．证明：∥四边形ABCD 是平行四边形∥DC AB ∥．∥ECO ∠= ∥ ．∥EF 垂直平分AC∥ ∥ ．又EOC ∠=___________∥ ．∥()COE AOF ASA ∆≅∆．∥OE OF =．小虹再进一步研究发现 过平行四边形对角线AC 中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线 ∥ ．26．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，在ABCD 中 点E F 在对角线AC 上 CBE ADF ∠=∠．求证：(1)AE CF =(2)BE DF ∥．27．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 AC 与BD 交于点,O BE AC ⊥ DF AC ⊥ 垂足分别为点E F 、 且,AF CE BAC DCA =∠=∠．求证：四边形ABCD 是平行四边形．参考答案一单选题1．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中BC∥AD添加下列条件不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（）A．AB＝CD B．AB∥CD C．∥A＝∥C D．BC＝AD【答案】A【分析】依据平行四边形的判定依次分析判断即可得出结果．【详解】解：A 当BC∥AD AB＝CD时不能判定四边形ABCD是平行四边形故此选项符合题意B 当AB∥CD BC∥AD时依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形能判定四边形ABCD是平行四边形故此选项不合题意C 当BC∥AD∥A＝∥C时可推出AB∥DC依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形能判定四边形ABCD是平行四边形故此选项不合题意D 当BC∥AD BC＝AD时依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形能判定四边形ABCD是平行四边形故此选项不合题意故选：A．【点睛】此题考查了平行四边形的判定解决问题的关键要熟记平行四边形的判定方法．2．（2023·湖南永州·统考中考真题）下列多边形中内角和等于360︒的是（）A．B．C．D．【答案】Bn-⋅︒分别求解后即可得到答案【分析】根据n边形内角和公式()2180【详解】解：A．三角形内角和是180︒故选项不符合题意B ．四边形内角和为()42180360-⨯︒=︒ 故选项符合题意C ．五边形内角和为()52180540-⨯︒=︒ 故选项不符合题意D ．六边形内角和为()62180720-⨯︒=︒ 故选项不符合题意．故选：B ．【点睛】此题考查了n 边形内角和 熟记n 边形内角和公式()2180n -⋅︒是解题的关键．3．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 AB CD ∥ 若添加一个条件 使四边形ABCD 为平形四边形，则下列正确的是（ ）A ．AD BC =B ．ABD BDC ∠=∠ C ．AB AD = D ．A C ∠=∠【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解．【详解】解：A ．根据AB CD ∥ AD BC = 不能判断四边形ABCD 为平形四边形 故该选项不正确 不符合题意B ． ∥AB CD ∥ ∥ABD BDC ∠=∠ 不能判断四边形ABCD 为平形四边形 故该选项不正确 不符合题意C ．根据AB CD ∥ AB AD = 不能判断四边形ABCD 为平形四边形 故该选项不正确 不符合题意D ．∥AB CD ∥∥180ABC C ∠+∠=︒∥A C ∠=∠∥180ABC A ∠+∠=︒∥AD BC ∥∥四边形ABCD 为平形四边形故该选项正确 符合题意故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理 熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．4．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S ah =时 若ABE 平移到DCF 4a = 3h =，则ABE 的平移距离为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．12【答案】B 【分析】根据平移的方向可得 ABE 平移到DCF ，则点A 与点D 重合 故ABE 的平移距离为AD 的长．【详解】解：用平移方法说明平行四边形的面积公式S ah =时 将ABE 平移到DCF 故平移后点A 与点D 重合，则ABE 的平移距离为4AD a ==故选：B ．【点睛】本题考查了平移的性质 熟练掌握平移的性质是解题的关键．5．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，ABCD 的对角线AC BD 相交于点O ADC ∠的平分线与边AB 相交于点P E 是PD 中点 若4=AD 6CD =，则EO 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质 平行线的性质 角平分线的定义以及等腰三角形的判定可得4AP AD == 进而可得2BP = 再根据三角形的中位线解答即可.【详解】解：∥四边形ABCD 是平行四边形 6CD =∥AB CD 6AB CD == DO BO =∥CDP APD ∠=∠∥PD 平分ADC ∠∥ADP CDP ∠=∠∥ADP APD ∠=∠∥4AP AD ==∥642BP AB AP =-=-=∥E 是PD 中点∥112OE BP == 故选：A.【点睛】本题考查了平行四边形的性质 平行线的性质 等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理等知识 熟练掌握相关图形的判定与性质是解题的关键.6．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在ABCD 中 对角线AC 与BD 相交于点O ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AC BD =B ．OA OC = C ．AC BD ⊥ D ．ADC BCD ∠=∠【答案】B【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解．【详解】∥四边形ABCD 是平行四边形 对角线AC 与BD 相交于点OA. AC BD = 不一定成立 故该选项不正确 不符合题意B. OA OC = 故该选项正确 符合题意C. AC BD ⊥ 不一定成立 故该选项不正确 不符合题意D. ADC BCD ∠=∠ 不一定成立 故该选项不正确 不符合题意故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质 熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．7．（2023·安徽·统考中考真题）如图，正五边形ABCDE 内接于O 连接,OC OD ，则BAE COD ∠-∠=（）A ．60︒B ．54︒C ．48︒D ．36︒【答案】D【分析】先计算正五边形的内角 再计算正五边形的中心角 作差即可．【详解】∥360360180,55BAE COD ︒︒∠=︒-∠=∥3603601803655BAE COD ︒︒∠-∠=︒--=︒ 故选D ． 【点睛】本题考查了正五边形的外角 内角 中心角的计算 熟练掌握计算公式是解题的关键．二 填空题8．（2023·云南·统考中考真题）五边形的内角和是________度．【答案】540【分析】根据n 边形内角和为()2180n -⨯︒求解即可．【详解】五边形的内角和是()52180540-⨯︒=︒．故答案为：540．【点睛】本题考查求多边形的内角和．掌握n 边形内角和为()2180n -⨯︒是解题关键．9．（2023·新疆·统考中考真题）若正多边形的一个内角等于144︒，则这个正多边形的边数是 ______．【答案】10【分析】本题需先根据已知条件设出正多边形的边数 再根据正多边形的计算公式得出结果即可．【详解】解：设这个正多边形是正n 边形 根据题意得：()2180144n n -⨯︒÷=︒解得：10n =．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了正多边形的内角 在解题时要根据正多边形的内角公式列出式子是本题的关键． 10．（2023·上海·统考中考真题）如果一个正多边形的中心角是20︒ 那么这个正多边形的边数为________．【答案】18【分析】根据正n 边形的中心角的度数为360n ︒÷进行计算即可得到答案．【详解】根据正n 边形的中心角的度数为360n ︒÷则3602018n =÷=故这个正多边形的边数为18故答案为：18．【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识 掌握中心角的计算公式是解题的关键．11．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如果一个正多边形的一个外角是60° 那么这个正多边形的边数是_____．【答案】6【详解】解：根据多边形的外角和等于360°和正多边形的每一个外角都相等 得多边形的边数为360°÷60°=6．故答案为：6.12．（2023·山东临沂·统考中考真题）如图，三角形纸片ABC 中 69AC BC ==， 分别沿与BC AC ，平行的方向 从靠近A 的AB 边的三等分点剪去两个角 得到的平行四边形纸片的周长是____________．【答案】14【分析】由平行四边形的性质推出DF BC ∥ DE AC ∥ 得到∽ADF ABC BDE BAC ∽△△ 利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，由题意得13AD AB = 四边形DECF 是平行四边形∥DF BC ∥ DE AC ∥ ∥∽ADF ABC BDE BAC ∽△△ ∥13DF AD BC AB == 23DE BD AC AB == ∥69AC BC ==，∥3DF = 4DE =∥四边形DECF 平行四边形∥平行四边形DECF 纸片的周长是()23414+=故答案为：14．【点睛】本题考查了平行四边形的性质 相似三角形的判定和性质 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．13．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中 3AB = 5BC = B ∠的平分线BE 交AD 于点E ，则DE 的长为_____________．【答案】2【分析】根据平行四边形的性质可得AD BC ∥，则AEB CBE ∠=∠ 再由角平分线的定义可得ABE CBE ∠=∠ 从而求得AEB ABE ∠=∠，则AE AB = 从而求得结果．【详解】解：∥四边形ABCD 是平行四边形∥AD BC ∥∥AEB CBE ∠=∠∥B ∠的平分线BE 交AD 于点E∥ABE CBE ∠=∠∥AEB ABE ∠=∠∥AE AB =∥3AB = 5BC =∥===53=2DE AD AE BC AB ---故答案为：2．【点睛】本题考查平行四边形的性质 角平分线的定义 等腰三角形的判定 掌握平行四边形的性质是解题的关键．14．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在正五边形ABCDE 中 连接AC ，则∥BAC 的度数为_____．【答案】36°【分析】首先利用多边形的内角和公式求得正五边形的内角和 再求得每个内角的度数 利用等腰三角形的性质可得∥BAC 的度数．【详解】正五边形内角和：（5﹣2）×180°＝3×180°＝540° ∥5401085B ︒︒∠==∥180B 1801083622BAC ︒︒︒︒-∠-∠=== . 故答案为36°．【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和 熟记多边形的内角和公式：（n -2）×180°是解答此题的关键． 15．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）若正n 边形的一个外角为72︒，则n =_____________．【答案】5【分析】正多边形的外角和为360︒ 每一个外角都相等 由此计算即可．【详解】解：由题意知 360572n == 故答案为：5．【点睛】本题考查正多边形的外角问题 解题的关键是掌握正n 边形的外角和为360︒ 每一个外角的度数均为360n ︒． 16．（2023·福建·统考中考真题）如图，在ABCD 中 O 为BD 的中点 EF 过点O 且分别交,AB CD 于点,E F ．若10AE =，则CF 的长为___________．【答案】10【分析】由平行四边形的性质可得,DC AB DC AB =∥即,OFD OEB ODF EBO ∠=∠∠=∠ 再结合OD OB=可得()AAS DOF BOE ≌△△可得DF EB = 最进一步说明10FC AE ==即可解答． 【详解】解：∥ABCD 中∥,DC AB DC AB =∥∥,OFD OEB ODF EBO ∠=∠∠=∠∥OD OB =∥()AAS DOF BOE ≌△△ ∥DF EB =∥DC DF AB BE -=-,即10FC AE ==．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质 全等三角形的判定与性质等知识点 证明三角形全等是解答本题的关键．17．（2023·山东·统考中考真题）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形．【答案】5【详解】设这个多边形是n 边形 由题意得(n -2) ×180°=540° 解之得 n =5．18．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，在ABCD 中 BD CD = AE BD ⊥于点E 若70C ∠=︒，则BAE ∠=______︒．【答案】50【分析】证明70DBC C ∠=∠=︒ 18027040BDC ∠=︒-⨯︒=︒ 由AB CD ∥ 可得40ABE BDC ∠=∠=︒ 结合AE BD ⊥ 可得904050BAE ∠=︒-︒=︒．【详解】解：∥BD CD = 70C ∠=︒∥70DBC C ∠=∠=︒ 18027040BDC ∠=︒-⨯︒=︒∥ABCD∥AB CD ∥∥40ABE BDC ∠=∠=︒∥AE BD ⊥∥904050BAE ∠=︒-︒=︒故答案为：50【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质 平行四边形的性质 三角形的内角和定理的应用 熟记基本几何图形的性质是解本题的关键．19．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，将正五边形纸片ABCDE 折叠 使点B 与点E 重合 折痕为AM 展开后 再将纸片折叠 使边AB 落在线段AM 上 点B 的对应点为点B ' 折痕为AF ，则AFB '∠的大小为__________度．【答案】45【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为()5218101508-⨯︒=︒ 根据折叠的性质求得,,BAM FAB '∠∠在AFB '中 根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∥正五边形的每一个内角为()5218101508-⨯︒=︒ 将正五边形纸片ABCDE 折叠 使点B 与点E 重合 折痕为AM 则111085422BAM BAE ∠=∠=⨯︒=︒ ∥将纸片折叠 使边AB 落在线段AM 上 点B 的对应点为点B ' 折痕为AF ∥11542722FAB BAM '∠=∠=⨯︒=︒ 108AB F B '∠=∠=︒ 在AFB '中 1801801082745AFB B FAB ''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒故答案为：45．【点睛】本题考查了折叠的性质 正多边形的内角和的应用 熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 20．（2023·重庆·统考中考真题）若七边形的内角中有一个角为100︒，则其余六个内角之和为________．【答案】800︒/800度【分析】根据多边形的内角和公式()1802n ︒-即可得．【详解】解：∥七边形的内角中有一个角为100︒∥其余六个内角之和为()180********︒⨯--︒=︒故答案为：800︒．【点睛】本题考查了多边形的内角和 熟记多边形的内角和公式是解题关键．三 解答题21．（2023·四川自贡·统考中考真题）在平行四边形ABCD 中 点E F 分别在边AD 和BC 上 且DE BF =．求证：AF CE =．【答案】见解析【分析】平行四边形的性质得到,AD BC AD BC = 进而推出AE CF = 得到四边形AECF 是平行四边形 即可得到AF EC =． 【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形∴,AD BC AD BC =BE DF =AE CF ∴=∥,AE CF AE CF =∥∴四边形AECF 是平行四边形AF CE ∴=．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质．熟练掌握平行四边形的判定方法 是解题的关键． 22．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示 在ABC 中 点D E 分别为AB AC 、的中点 点H 在线段CE 上 连接BH 点G F 分别为BH CH 、的中点．(1)求证：四边形DEFG 为平行四边形(2)32DG BH BD EF ⊥==，， 求线段BG 的长度．【答案】(1)见解析 5【分析】（1）由三角形中位线定理得到1,2DE BC DE BC =∥ 1,2GF BC GF BC =∥ 得到,GF DE GF DE =∥ 即可证明四边形DEFG 为平行四边形（2）由四边形DEFG 为平行四边形得到2DG EF == 由DG BH ⊥得到90DGB ∠=︒ 由勾股定理即可得到线段BG 的长度．【详解】（1）解：∥点D E 分别为AB AC 、的中点 ∥1,2DE BC DE BC =∥ ∥点G F 分别为BH CH 的中点． ∥1,2GF BC GF BC =∥ ∥,GF DE GF DE =∥∥四边形DEFG 为平行四边形（2）∥四边形DEFG 为平行四边形∥2DG EF ==∥DG BH ⊥，∥90DGB ∠=︒∥3BD = ∥2222325BG BD DG =--【点睛】此题考查了中位线定理 平行四边形的判定和性质 勾股定理等知识 证明四边形DEFG 为平行四边形和利用勾股定理计算是解题的关键．23．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O 点,E F 在对角线BD 上 且BE EF FD == 连接,AE EC ,CF FA ．(1)求证：四边形AECF 是平行四边形．(2)若ABE 的面积等于2 求CFO △的面积．【答案】(1)见解析(2)1【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得OA OC = OB OD = 结合BE FD =可得OE OF = 即可证明四边形AECF 是平行四边形（2）根据等底等高的三角形面积相等可得2AEF ABE S S == 再根据平行四边形的性质可得11121222CFO CEF AEF S S S ===⨯=． 【详解】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形∴OA OC = OB OD =BE FD =∴OB BE OD FD -=-∴OE OF =又OA OC =∴四边形AECF 是平行四边形．（2）解：2ABE S = BE EF = ∴2AEF ABE S S ==四边形AECF 是平行四边形∴11121222CFO CEF AEF S S S ===⨯=． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质 解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分． 24．（2023·山东·统考中考真题）如图，在ABCD 中 AE 平分BAD ∠ 交BC 于点E CF 平分BCD ∠ 交AD 于点F ．求证：AE CF =．【答案】证明见解析【分析】由平行四边形的性质得B D ∠=∠ AB CD = AD BC ∥ 由平行线的性质和角平分线的性质得出BAE DCF ∠=∠ 可证BAE DCF ≌△△ 即可得出AE CF =．【详解】证明：∥四边形ABCD 是平行四边形∥B D ∠=∠ AB CD = BAD DCB ∠=∠ AD BC ∥∥AE 平分BAD ∠ CF 平分BCD ∠∥BAE DAE BCF DCF ∠=∠=∠=∠在BAE 和DCF 中B D AB CDBAE DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∥()ASA BAE DCF ≌∥AE CF =．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质 平行线的性质及全等三角形的判定与性质 根据题目已知条件熟练运用平行四边形的性质 平行线的性质是解答本题的关键．25．（2023·重庆·统考中考真题）学习了平行四边形后 小虹进行了拓展性研究．她发现 如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线 那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分． 她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规 作AC 的垂直平分线交DC 于点E 交AB 于点F 垂足为点O ．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形 AC 是对角线 EF 垂直平分AC 垂足为点O ．求证：OE OF =．证明：∥四边形ABCD 是平行四边形∥DC AB ∥．∥ECO ∠= ∥ ．∥EF 垂直平分AC∥ ∥ ．又EOC ∠=___________∥ ．∥()COE AOF ASA ∆≅∆．∥OE OF =．小虹再进一步研究发现 过平行四边形对角线AC 中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线 ∥ ．【答案】作图：见解析 FAO ∠ AO CO = FOA ∠ 被平行四边形一组对边所截 截得的线段被对角线中点平分【分析】根据线段垂直平分线的画法作图 再推理证明即可并得到结论．【详解】解：如图，即为所求证明：∥四边形ABCD 是平行四边形∥DC AB ∥．∥ECO ∠= FAO ∠．∥EF 垂直平分AC∥AO CO =．又EOC ∠=FOA ∠．∥()COE AOF ASA ≅．∥OE OF =．故答案为：FAO ∠ AO CO = FOA ∠由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截 截得的线段被对角线中点平分故答案为：被平行四边形一组对边所截 截得的线段被对角线中点平分．【点睛】此题考查了平行四边形的性质 作线段的垂直平分线 全等三角形的判定和性质 熟练掌握平行四边形的性质及线段垂直平分线的作图方法是解题的关键．26．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，在ABCD 中 点E F 在对角线AC 上 CBE ADF ∠=∠．求证：(1)AE CF =(2)BE DF ∥．【答案】见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质推出相应的线段和相应的角度相等 再利用已知条件求证ABE CDF ∠=∠ 最后证明()ASA ABE CDF ≌△△即可求出答案．（2）根据三角形全等证明角度相等 再利用邻补角定义推出BEF EFD ∠=∠即可证明两直线平行．【详解】（1）证明：四边形ABCD 为平行四边形AB CD ∴∥ AB CD = ABC ADC ∠=∠BAE FCD ．CBE ADF ∠=∠ ABC ADC ∠=∠ABE CDF ∴∠=∠．()ASA ABE CDF ∴≌．AE CF ∴=．（2）证明：由（1）得()ASA ABE CDF ≌△△ AEB CFD ∴∠=∠．180AEB BEF ∠+∠=︒ 180CFD EFD ∠+∠=︒BEF EFD ∴∠=∠．BE DF ∴∥．【点睛】本题考查了平行四边形的性质 邻补角定义 三角形全等 平行线的判定 解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质．27．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 AC 与BD 交于点,O BE AC ⊥ DF AC ⊥ 垂足分别为点E F 、 且,AF CE BAC DCA =∠=∠．求证：四边形ABCD 是平行四边形．【答案】见详解【分析】先证明()≌ASA AEB CFD 再证明 ,AB CD AB CD =∥ 再由平行四边形的判定即可得出结论．【详解】证明：BE AC ⊥ DF AC ⊥90AEB CFD ∴∠=∠=︒,,,AF CE AE AF EF CF CE EF ==-=-,AE CF ∴=又BAC DCA ∠=∠(ASA)∴≌AEB CFD∴=AB CD∠=∠∥BAC ACD∴∥AB CD四边形ABCD是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定全等三角形的判定与性质等知识熟练掌握平行四边形的判定证明三角形全等是解题的关键．。
【中考数学分项真题】多边形与平行四边形(共33题)-(解析版)
∵点 A 的坐标为(0,1),
则点 D 的坐标为(4,1),
故选:C．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质,以及平移的相关知识点,熟知点的平移特点是解决本题的关键．
10．(2021·四川泸州市·中考真题)如图,在平行四边形 ABCD 中,AE 平分∠BAD 且交 BC 于点 E,∠D=58°,
则∠AEC 的大小是( )
断 A 错误． 【详解】
如图,设 AD、BC 交于点 H,作 HF AB 于点 F,连接 EF．延长 AC 与 BD 并交于点 G．
∵AD 是 BAC 的平分线, HF AB , HC AC ,
∴HC=HF, ∴AF=AC．
AF AC CAE FAE ∴在VCAE 和 A FAE 中, AE AE , ∴ ACAE A FAE(SAS) , ∴ CE FE ,∠AEC=∠AEF=90°, ∴C、E、F 三点共线,
A．12cm2 【答案】B 【分析】
B．9cm2
C．6cm2
D．3cm2
1 由三角形的中位线定理可得 DE= 2 BC,DE∥BC,可证△ADE∽△ABC,利用相似三角形的性质,即可求解．
【详解】 解:∵点 D,E 分别是边 AB,AC 的中点,
1 ∴DE= 2 BC,DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
故选 D．
1
【点睛】
本题主要考查正多边形的内角和外角,熟练掌握正多边形的外角和等于 360°,是解题的关键．
3．(2021·湖南衡阳市·中考真题)下列命题是真命题的是( )．
A．正六边形的外角和大于正五边形的外角和 B．正六边形的每一个内角为120 C．有一个角是 60 的三角形是等边三角形 D．对角线相等的四边形是矩形
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第26讲 多边形与平行四边形1. (2012，河北)如图，在▱ABCD 中，∠A ＝70°.将平行四边形折叠，使点D ，C 分别落在点F ，E 处(点F ，E 都在AB 所在的直线上)，折痕为MN ，则∠AMF 的度数为(B)第1题图A. 70°B. 40°C. 30°D. 20° 【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD .根据折叠的性质，可得MN ∥AE ，∠FMN ＝∠DMN .∴AB ∥CD ∥MN .∵∠A ＝70°，∴∠FMN ＝∠DMN ＝∠A ＝70°.∴∠AMF ＝180°－∠DMN －∠FMN ＝180°－70°－70°＝40°.2. (2012，河北)如图①，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．如图②，用n 个全等的正六边形按这种方式拼接．若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n 的值为 6 .第2题图【解析】 因为正六边形的每个内角都是120°，所以拼成的正多边形的每个内角的度数为360°－120°－120°＝120°.列方程，得()n －2×180°n＝120°.解得n ＝6.3. (2015，河北，导学号5892921)如图，平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则∠3＋∠1－∠2＝ 24°.第3题图【解析】 正三角形的每个内角的度数是180°÷3＝60°，正方形的每个内角的度数是360°÷4＝90°，正五边形的每个内角的度数是(5－2)×180°÷5＝108°，正六边形的每个内角的度数是(6－2)×180°÷6＝120°，则∠3＋∠1－∠2＝(90°－60°)＋(120°－108°)－(108°－90°)＝24°.4. (2015，河北)嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正第4题图(1)在方框中填空，以补全已知和求证； (2)按嘉淇的想法写出证明；(3)用文字叙述所证命题的逆命题为平行四边形的对边相等．【思路分析】 连接BD ，证明△ABD ≌△CDB ，利用全等三角形的性质来证明四边形ABCD 为平行四边形．主要考查了平行四边形的判定定理和逆命题的表述．(1)解：CD 平行(2)证明：如答图，连接BD . ∵AB ＝CD ，AD ＝BC ，BD ＝DB ， ∴△ABD ≌△CDB .∴∠1＝∠3，∠2＝∠4. ∴AB ∥CD ，AD ∥BC .∴四边形ABCD 是平行四边形． (3)解：平行四边形的对边相等第4题答图借助多边形边与角的性质解决问题例1 (2018，杭州临安区模拟)用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图①所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图②所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAC ＝ 36°.例1题图【解析】 ∵∠ABC ＝（5－2）×180°5＝108°，△ABC 是等腰三角形，∴∠BAC ＝∠BCA＝36°.针对训练1 (2018，唐山二模)如图所示的是由射线AB ，BC ，CD ，DE ，EA 组成的平面图形．若∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝225°，ED ∥AB ，则∠1的度数为(B)训练1题图A. 55°B. 45°C. 35°D. 25°【解析】 如答图．由多边形的外角和等于360°，可知∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝ 360°.∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝225°，∴∠5＝135°.∴∠AED ＝45°.∵ED ∥AB ，∴∠1＝∠AED ＝45°.训练1答图针对训练2 (2018，济宁)如图，在五边形ABCDE 中，∠A ＋∠B ＋∠E ＝300°，DP ，CP 分别平分∠EDC ，∠BCD ，则∠P 的度数是(C)训练2题图A. 50°B. 55°C. 60°D. 65°【解析】 ∵在五边形ABCDE 中，∠A ＋∠B ＋∠E ＝300°，∴∠EDC ＋∠BCD ＝240°.∵DP ，CP 分别平分∠EDC ，∠BCD ，∴∠PDC ＋∠PCD ＝120°.∴∠P ＝180°－(∠PDC ＋∠PCD )＝180°－120°＝60°.借助平行四边形的性质求边和角例2 (2018，绵阳游仙区模拟)如图，EF 过▱ABCD 对角线的交点O ，交AD 于点E ，交BC 于点F .若▱ABCD 的周长为18，OE ＝2，则四边形EFCD 的周长为(B)例2题图A. 14B. 13C. 12D. 10 【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，周长为18，∴AB ＝CD ，BC ＝AD ，OA ＝OC ，AD ∥BC .∴CD ＋AD ＝9，∠OAE ＝∠OCF .在△AEO 和△CFO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OAE ＝∠OCF ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△AEO ≌△CFO (ASA)．∴OE＝OF ＝2，AE ＝CF .∴四边形EFCD 的周长为ED ＋CD ＋CF ＋EF ＝(DE ＋CF )＋CD ＋EF ＝AD ＋CD ＋EF＝9＋4＝13.针对训练3 (2018，长春九台区模拟)如图，在▱ABCD 中，∠C ＝130°，BE 平分∠ABC ，则∠AEB 等于(D)训练3题图A. 55°B. 45°C. 35°D. 25° 【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC .∴∠ABC ＋∠C ＝180°，∠AEB ＝∠CBE .∵∠C ＝130°，∴∠ABC ＝180°－∠C ＝50°.∵BE 平分∠ABC ，∴∠CBE ＝12∠ABC ＝25°.∴∠AEB ＝∠CBE ＝25°.平行四边形的判定和性质例3 (2018，济南模拟)如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边三角形ACD ，等边三角形ABE .已知∠BAC ＝30°，EF ⊥AB ，垂足为F ，连接DF .求证：(1)AC ＝EF ；(2)四边形ADFE 是平行四边形； (3)AC ⊥DF .例3题图【思路分析】 (1)首先在Rt △ABC 中，由∠BAC ＝30°可以得到AB ＝2BC .又△ABE 是等边三角形，EF ⊥AB ，由此得到AB ＝2AF ，然后即可证明Rt △AFE ≌Rt △BCA ，再根据全等三角形的性质即可证明AC ＝EF .(2)根据(1)知EF ＝AC ，而△ACD 是等边三角形，所以EF ＝AC ＝AD .易证AD ⊥AB ，而EF ⊥AB ，由此得到EF ∥AD ，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE 是平行四边形．(3)先求∠EAC ＝90°，由▱ADFE 得AE ∥DF ，可以得AC ⊥DF .证明：(1)∵在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°， ∴AB ＝2BC .∵△ABE 是等边三角形，EF ⊥AB ， ∴AB ＝2AF ，AB ＝AE . ∴AF ＝BC .在Rt △BCA 和Rt △AFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝EA ，BC ＝AF ，∴Rt △BCA ≌Rt △AFE (HL)．∴AC ＝EF .(2)∵△ACD 是等边三角形， ∴∠DAC ＝60°，AC ＝AD .∴∠DAB ＝∠DAC ＋∠BAC ＝90°. ∵EF ⊥AB ， ∴EF ∥AD . ∵AC ＝EF ， ∴EF ＝AD .∴四边形ADFE是平行四边形．(3)∵四边形ADFE是平行四边形，∴AE∥FD.∵∠EAC＝∠EAF＋∠BAC＝60°＋30°＝90°，∴AE⊥AC.∴AC⊥DF.针对训练4 (2018，东营)如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF.添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，下面四个条件中可选择的是(D)训练4题图A. AD＝BCB. CD＝BFC. ∠A＝∠CD. ∠F＝∠CDF【解析】正确选项是D.理由：∵∠F＝∠CDF，∠BEF＝∠CED，BE＝CE，∴△BFE≌△CDE，CD∥AF.∴BF＝CD.∵BF＝AB，∴CD＝AB.∴四边形ABCD是平行四边形.针对训练5 (2018，海南)如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，E是CD 的中点，BD＝12，则△DOE的周长为(A)训练5题图A. 15B. 18C. 21D. 24【解析】∵▱ABCD的周长为36，∴BC＋CD＝18.∵OD＝OB，DE＝EC，∴OE＋DE＝1 2(BC＋CD)＝9.∵BD＝12，∴OD＝12BD＝6.∴△DOE的周长为9＋6＝15.一、选择题1. (2018，黔西南州)如图，在▱ABCD中，已知AC＝4 cm.若△ACD的周长为13 cm，则▱ABCD的周长为(D)第1题图A. 26 cmB. 24 cmC. 20 cmD. 18 cm【解析】∵AC＝4 cm，△ADC的周长为13 cm，∴AD＋DC＝13－4＝9(cm)．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC.∴▱ABCD的周长为2(AD＋CD)＝18 cm.2. (2018，铜仁)如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个多边形的边数是(A) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【解析】 根据题意，得180°·(n －2)＝3×360°.解得n ＝8.3. (2018，贵阳模拟)一个多边形的边数由原来的3增加到n 时(n ＞3，且n 为正整数)，它的外角和(D)A. 增加(n －2)×180°B. 减小(n －2)×180°C. 增加(n －1)×180°D. 没有改变 【解析】 多边形的外角和等于360°，与边数无关．4. (2018，宜宾)在▱ABCD 中，若∠BAD 与∠CDA 的角平分线交于点E ，则△AED 的形状是(B)A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定【解析】 如答图．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD .∴∠BAD ＋∠ADC ＝ 180°.∵∠EAD ＝12∠BAD ，∠ADE ＝12∠ADC ，∴∠EAD ＋∠ADE ＝12(∠BAD ＋∠ADC )＝90°.∴∠E ＝90°.∴△ADE 是直角三角形．第4题答图5. (2018，邯郸一模)已知▱ABCD ，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论不一定成立的是(C)第5题图A. ∠DAE ＝∠BAEB. ∠DEA ＝12∠DAB C. DE ＝BE D. BC ＝DE【解析】 A. 由作法可知AE 平分∠DAB ，所以∠DAE ＝∠BAE ，本选项不符合题意．B. ∵CD ∥AB ，∴∠DEA ＝∠BAE ＝12∠DAB ，本选项不符合题意．C. 无法证明DE ＝BE ，本选项符合题意．D. 易证∠DAE ＝∠DEA ，∴AD ＝DE .∵AD ＝BC ，∴BC ＝DE ，本选项不符合 题意．6. (2018，宁波)如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 是边CD 的中点，连接OE .若∠ABC ＝60°，∠BAC ＝80°，则∠1的度数为(B)第6题图A. 50°B. 40°C. 30°D. 20°【解析】 ∵∠ABC ＝60°，∠BAC ＝80°，∴∠BCA ＝180°－60°－80°＝40°.∵对角线AC 与BD 相交于点O ，E 是边CD 的中点，∴EO 是△DBC 的中位线．∴EO ∥BC .∴∠1＝∠ACB ＝40°.7. (2018，保定一模)如图，在▱ABCD 中，AB ＝8，BC ＝5，以点A 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AD ，AB 于点P ，Q ，再分别以点P ，Q 为圆心，大于12PQ 的长为半径作弧，两弧在∠DAB 内交于点M ，连接AM 并延长交CD 于点E ，则CE 的长为(A)第7题图A. 3B. 5C. 2D. 6.5【解析】 根据作图的方法，得AE 平分∠DAB ，∴∠DAE ＝∠EAB .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，DC ＝AB ＝8，AD ＝BC ＝5.∴∠DEA ＝∠EAB .∴∠DAE ＝∠DEA .∴DE ＝AD ＝5.∴CE ＝DC －DE ＝8－5＝3.8. (2018，安徽)在▱ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF 一定为平行四边形的是(B)A. BE ＝DFB. AE ＝CFC. AF ∥CED. ∠BAE ＝∠DCF【解析】 如答图，连接AC 与BD 相交于点O .在▱ABCD 中，OA ＝OC ，OB ＝OD ，要使四边形AECF 为平行四边形，只需得到OE ＝OF 即可．A. 若BE ＝DF ，则OB －BE ＝OD －DF ，即OE ＝OF ，故本选项不符合题意．B. 若AE ＝CF ，则无法判定OE ＝OF ，故本选项符合题意．C. AF ∥CE 能够利用“AAS ”证明△AOF ≌△COE ，从而得到OE ＝OF ，故本选项不符合题意．D. ∠BAE ＝∠DCF 能够利用“ASA ”证明△ABE ≌△CDF ，从而得到BE ＝DF ，然后同选项A ，故本选项不符合题意．第8题答图9. (2018，承德模拟)如图，在正五边形ABCDE 中，AF ∥CD ，交DB 的延长线于点F ，则∠DFA 等于(B)第9题图A. 30°B. 36°C. 45°D. 32°【解析】 在正五边形ABCDE 中，∠C ＝15×(5－2)×180°＝108°.∵正五边形ABCDE 的边BC ＝CD ，∴∠CBD ＝∠CDB .∴∠CDB ＝12(180°－108°)＝36°.∵AF ∥CD ，∴∠DFA ＝∠CDB＝36°.10. (2018，枣庄薛城区模拟)如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BC ＝4CF ，四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为(C)第10题图A. 3B. 4C. 6D. 8【解析】 设△ABC 中BC 边上的高为h .∵四边形DCFE 是平行四边形，∴DE ＝CF ，DE ∥CF .∵BC ＝4CF ，∴DE ＝14BC .∵S △ABC ＝12BC ·h ＝24.∴S 阴影＝S △ADE ＋S △DEB ＝12DE ·h ＝12×14BC ·h＝14×12BC ·h ＝6. 二、 填空题11. (2018，常州)如图，在▱ABCD 中，∠A ＝70°，DC ＝DB ，则∠CDB ＝ 40°.第11题图【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ＝70°.∵DC ＝DB ，∴∠C ＝∠DBC ＝70°.∴∠CDB ＝180°－70°－70°＝40°.12. (2018，临沂)如图，在▱ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，AC ⊥BC ，则BD第12题图【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ＝AD ＝6，OB ＝OD ，OA ＝OC .∵AC ⊥BC ，∴AC ＝AB 2－BC 2＝8.∴OC ＝4.∴OB ＝OC 2＋BC 2＝213.∴BD ＝2OB ＝413.13. (2018，赤峰)如图，P 是▱ABCD 的边AD 上一点，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．若▱ABCD 的面积为16 cm 2，则△PEF 的面积(阴影部分)是 2 cm 2.第13题图【解析】 ∵▱ABCD 的面积为16 cm 2，∴S △PBC ＝12S ▱ABCD ＝8 cm 2.∵E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC ，且EF ＝12BC .∴△PEF ∽△PBC .∴S △PEF S △PBC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫EF BC 2，即S △PEF 8＝14.∴S △PEF ＝2 cm 2.三、 解答题14. (2018，大庆)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接CD，过点E作EF∥DC交BC的延长线于点F.(1)求证：四边形CDEF是平行四边形；(2)若四边形CDEF的周长是25 cm，AC的长为5 cm，求线段AB的长度．第14题图【思路分析】 (1)由三角形中位线定理推知ED∥FC，然后结合已知条件EF∥DC，利用两组对边平行得到四边形CDEF为平行四边形．(2)根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB＝2DC，再结合由三角形中位线定理得到的2DE＝BC，即可得出四边形CDEF 的周长为AB＋BC，故BC＝25－AB，然后根据勾股定理即可求得AB的长．(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴ED∥FC.∵EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形．(2)解：∵四边形CDEF是平行四边形，∴DC＝EF，DE＝CF.∵D，E分别是AB，AC的中点，∴BC＝2DE，DC是Rt△ABC斜边AB上的中线．∴AB＝2DC.∴四边形CDEF的周长为AB＋BC.∵四边形CDEF的周长为25，∴BC＝25－AB.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，∴AB2＝BC2＋AC2，即AB2＝(25－AB)2＋52.解得AB＝13.∴AB的长为13 cm.15. (2018，青岛)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.(1)求证：AB＝AF；(2)若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．第15题图【思路分析】 (1)只要证明AB＝CD，AF＝CD即可解决问题．(2)四边形ACDF是矩形．先得四边形ACDF是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∴∠AFC＝∠DCG.∵GA＝GD，∠AGF＝∠CGD，∴△AGF≌△DGC.∴AF＝DC.∴AB＝AF.(2)解：四边形ACDF是矩形．证明：∵AF＝CD，AF∥CD，∴四边形ACDF是平行四边形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD＝120°.∴∠FAG＝60°.∵AG＝AB＝AF，∴△AFG是等边三角形．∴AG＝GF.∵△AGF≌△DGC，∴FG＝CG.∵AG＝GD，∴AD＝CF.∴四边形ACDF是矩形．16. (2018，黄冈)如图，在▱ABCD中，分别以边BC，CD为边作等腰三角形BCF，等腰三角形CDE，使BF＝BC，DE＝CD，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE.(1)求证：△ABF≌△EDA；(2)延长AB与CF交于点G.若AF⊥AE，求证：BF⊥BC.第16题图【思路分析】 (1)只要证明AB＝DE，FB＝AD，∠ABF＝∠ADE即可解决问题．(2)只要证明FB⊥AD即可解决问题．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC.∵BC＝BF，CD＝DE，∴BF＝AD，AB＝DE.∵∠ADE＋∠ADC＋∠CDE＝360°，∠ABF＋∠ABC＋∠CBF＝360°，∠CDE＝∠CBF，∴∠ABF＝∠ADE.∴△ABF≌△EDA.(2)如答图，延长FB交AD于点H.∵AE⊥AF，∴∠EAF＝90°.∵△ABF≌△EDA，∴∠EAD＝∠AFB.∵∠EAD＋∠FAH＝90°，∴∠FAH＋∠AFB＝90°.∴∠AHF＝90°，即FB⊥AD.∵AD∥BC，∴FB⊥BC.第16题答图1. (2018，眉山，导学号5892921)如图，在▱ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC 的中点，连接EF，BF.下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE ＝3∠DEF.其中正确的结论共有(D)第1题图A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】如答图，延长EF交BC的延长线于点G，取AB的中点H，连接FH.∵CD＝2AD，DF＝FC，∴CF＝AD＝CB.∴∠CFB＝∠CBF.∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠FBH.∴∠CBF＝∠FBH.∴∠ABC＝2∠ABF，①正确．∵DE∥CG，∴∠D＝∠FCG.∵DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，∴△DFE≌△CFG.∴FE＝FG.∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°.∵AD∥BC，∴∠EBG＝∠AEB＝90°.∴BF＝EF＝FG，②正确．∵S△DFE＝S△CFG，∴S四边形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，③正确．∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，∴CF＝BH.∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形．∵CF＝BC，∴四边形BCFH是菱形．∴∠BFC＝∠BFH.∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE.∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF.∴∠EFC＝3∠DEF，④正确．第1题答图2. (2018，株洲，导学号5892921)如图，在▱ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD 于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN＝32，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP ＋∠PAB，则AP＝ 6 .第2题图【解析】∵BD＝CD，AB＝CD，∴BD＝BA.∵AM⊥BD，DN⊥AB，∴DN＝AM＝3 2.∵∠ABD ＝∠MAP＋∠PAB，∠ABD＝∠P＋∠BAP，∴∠P＝∠PAM.∴△APM是等腰直角三角形，∴AP＝2 AM＝6.3. (2018，重庆A，导学号5892921)如图，在▱ABCD中，O是对角线AC的中点，E是BC 上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F.过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G .(1)若AH ＝3，HE ＝1，求△ABE 的面积；(2)若∠ACB ＝45°，求证：DF ＝2CG .第3题图【思路分析】 (1)利用勾股定理即可得出BH 的长，进而运用公式得出△ABE 的面积．(2)过点A 作AM ⊥BC 于点M ，交BG 于点K ，过点G 作GN ⊥BC 于点N ，判定△AME ≌△BNG ，可得ME ＝NG ，进而得出BE ＝2GC ，再判定△AFO ≌△CEO ，可得AF ＝CE ，即可得到DF ＝BE ＝2CG .(1)解：∵AH ＝3，HE ＝1，∴AB ＝AE ＝4.在Rt △ABH 中，BH ＝AB 2－AH 2＝7，∴S △ABE ＝12AE ·BH ＝12×4×7＝27. (2)证明：如答图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，交BG 于点K ，过点G 作GN ⊥BC 于点N ，则∠AMB ＝∠AME ＝∠BNG ＝90°.∵∠ACB ＝45°，∴∠MAC ＝∠NGC ＝45°.∵AB ＝AE ，∴BM ＝EM ＝12BE ，∠BAM ＝∠EAM . ∵AE ⊥BG ，∴∠AHK ＝90°＝∠BMK .∵∠AKH ＝∠BKM ，∴∠MAE ＝∠NBG .设∠BAM ＝∠MAE ＝∠NBG ＝α，则∠BAG ＝45°＋α，∠BGA ＝∠GCN ＋∠GBC ＝45°＋α. ∴∠BAG ＝∠BGA .∴AB ＝BG .∴AE ＝BG .∴△AME ≌△BNG (AAS)．∴ME ＝NG .∵在等腰直角三角形CNG 中，NG ＝NC ，∴GC ＝2NG ＝2ME ＝22BE . ∴BE ＝2GC .∵O 是AC 的中点，∴OA ＝OC .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC .∴∠OAF ＝∠OCE ，∠AFO ＝∠CEO .∴△AFO ≌△CEO (AAS)．∴AF ＝CE .∴AD －AF ＝BC －EC ，即DF ＝BE .∴DF ＝BE ＝2CG .第3题答图。