2019年高考数学知识点专题精讲与知识点突破：三角函数(含答案解析)
专题 三角函数 同角三角函数的基本关系-2019年高考理科数学考点讲解与仿真测试含答案
同角三角函数的基本关系【考点讲解】一、具本目标：（1）理解同角三角函数的基本关系式，会用同角三角函数之间的关系解决相关的问题. （2）高考解读：高考对同角三角函数基本关系式的考查主要是小题为主,或都与诱导公式及其它知识相结合，试题难度不大．但在高考中属于一个分点，同角的三个函数值中知一求二，易错点是忽略角的范围.导致整个题出错误.二、知识概述：1.知识要点：（1） （2）2.解题技巧： （1)已知三者中的一个求另外两个：利用平方关系和商数关系构造方程组求解；（2）已知αtan 的值，求关于αsin 与αcos 的齐n 次分式的值：分子、分母同除以αncos ，转化为关于αtan 的式子求解； （3）1的代换问题：含有α2sin ，α2cos ，及αsin αcos 的整式求值问题，可将所求式子的分母看作“1”，利用代换后转化为“切”，然后求解；(4)对于αsin +αcos ，αsin αcos ，αsin -αcos 这三个式子，已知其中一个式子的值，可求其余两个式子的值，转化的公式为.【真题分析】1.【2018届黑龙江省齐齐哈尔八中8月月考】已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭且，则tan α=（ ）A. 34-B. 43 C . 34 D. 43-因为53sin =α并且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，=34-.【答案】A2.【2017宁夏育才中学月考】如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，则的值是（）【答案】D3.【2016高考新课标3理数】若3tan4α=，则（）(A)6425(B)4825(C) 1 (D)1625【解析】本题的考点是同角三角函数间的基本关系与倍角公式．法一：由3tan4α=，得或，所以，故选A．【答案】A法二：由可得将上面的式子分子分母同除以α2cos 后，化简后得2564.【答案】A【变式】（1）【2017山西孝义二模】已知tan 2θ=，则（ ）A ．43-B ．54 C.34- D ．45【答案】D（2）【2018届贵州省贵阳市8月摸底】已知，则tan α=__________．【解析】【答案】-34.【2017浙江省嘉兴市质检】若，[0,π]θ∈，则tan θ=（ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．2由.由，得到.又由于，得到, ,.【答案】C【变式】若α为第三象限，则的值为（）A．3B．3-C．1D．1-【解析】因为α为第三象限，所以．因此，故选择B．【答案】B5.【2017安徽马鞍山二模】已知，则（）C. 12D. 23m【解析】由可得，，故选D. 【答案】D【变式】已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________.6.,那么tan100︒=( )A.k B . -k C. D 【易错分析】(1)k 值的正负；（2）tan100表达式符号易错.【解析】,,而，所以，所以选B.【答案】B 3.若的值是（ ）A. 0B. 1C. -1D.【解析】由题意可得，将两式相乘得到：，因为0sin ≠θ，所以1=ab .【答案】B.4．已知αtan 与αcot 是方程的两根，则=αsin .【答案】22±5.若tan 2α=，则= ．【解析】法一：得，，故答案为89. 法二：【答案】89 6．已知，则=x tan .【答案】41-或1。
专题04 三角函数与解三角形-2019年高考数学(理)新课标全国卷Ⅰ考点讲评与真题分析(解析版)
2019年新课标全国卷1理科数学考点讲评与真题分析4．三角函数与解三角形一、考试大纲1．任意角的概念、弧度制 (1)了解任意角的概念.(2)了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化. 2．三角函数(1)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. (2)能利用单位圆中的三角函数线推导出2πα±，απ±的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出 y = sin x ,y =cos x ,y = tan x 的图像,了解三角函数的周期性.(3)理解正弦函数、余弦函数在区间[ 0,2π ]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间[,]22ππ-内的单调性.(4)理解同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1x x +=，sin tan cos xx x=.(5)了解函数 y =A sin(x+ )的物理意义；能画出 y =A sin(x+)的图像,了解参数A ,,对函数图像变化的影响.(6)了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题. 3．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.4．应用：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.二、考点讲评与真题分析新课标全国卷对于三角函数的考查比较固定，一般考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换、解三角形，一般是1小1大，或者3小题，一般考查考生转化与化归思想和运算求解能力。
三角函数求值、三角恒等变换、三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值范围、图象变换等都是热门考点。
解三角形问题也是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”．题型一 三角函数的定义、同角三角函数的基本关系例1 (2014·新课标Ⅰ，理6)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（ ）【解析】：如图：过M 作MD ⊥OP 于Ｄ，则 PM=sin x ，OM=cos x ,在Rt OMP ∆中，MD=cos sin 1x x OM PM OP =cos sin x x =1sin 22x =， ∴()f x 1sin 2(0)2x x π=≤≤，选B. 【解题技巧】本题考查三角恒等变换，齐次化切.题型二 三角函数的恒等变换例2 （2015·新课标Ⅰ，2）sin 20cos10cos160sin10-= （ ）A ．BC ．12-D ．12解析：sin 20cos10cos160sin10sin 20cos10cos 20sin10sin 30-=+= ，选D ．.题型三 三角恒等变换与三角函数的值域例3 (2018·新课标Ⅰ，理16)已知函数x x x f 2sin sin 2)(+=，则)(x f 的最小值是 .【答案】233-解析：方法一：()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )f x x x x x x x x =+=+=+， 所以222223[()]4sin (1cos )4(1cos )(1cos )4(1cos )(1cos )f x x x x x x x =+=-+=+- 4344(1cos )(1cos )(1cos )(33cos )27(1cos )(33cos )3344x x x x x x ++++++-⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭≤，所以函数()f x 的值域为⎡⎢⎣，所以()f x 的最小值为方法二：23()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )4sin cos 2cos 8sin cos 22222x x x x x f x x x x x x x x ⎛⎫=+=+=+=⋅=⋅ ⎪⎝⎭ 3222223(sin cos )3sin cos cos cos 222222x x x x x x ⎛⎫=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ 4222243sin cos cos cos 3222244x x x x ⎛⎫+++ ⎪⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭≤，3sin cos 22x x2sin sin 2x x ∴+≥. 方法三：x x x f 2cos 2cos 2)(+=')1cos 2)(1(cos 2-+=x x0)(>'x f 3232ππππ+<<-⇒k x k ，函数)(x f 在)32,32(ππππ+-k k 单调递增；0)(<'x f 32352ππππ-<<-⇒k x k ，函数)(x f 在)32,352(ππππ--k k 单调递减；∴32ππ-=k x 时，函数)(x f 有最小值，即)32()(min ππ-=k f x f )32(2sin )32sin(2ππππ-+-=k k 233-=.题型四 三角函数的图形变换例4（2017全国1理9）已知曲线1cos C y x =：，22πsin 23C y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭：，则下面结论正确的是（ ）. A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C解析 ：首先曲线1C ，2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224C y x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−−→=+=+→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上各坐短到原的倍点横标缩来2ππsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 注意ω的系数，左右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．故选D. 【解题技巧】关于y ＝Asin (ωx +φ)函数图像由y ＝sinx 的图像的变换，先将y ＝sinx 的图像向左(或右)平移|φ|个单位，再将其上的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的1ω倍，再将其纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍，也可先进行伸缩变换，再进行平移变换，此时平移不再是|φ|个单位，而是|φω|个单位，原则是保证x 的系数为1，同时注意变换的方法不能出错．题型五 三角函数性质的综合应用例5 （2016全国乙理12）已知函数π()sin()0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭，π4x =-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π1836⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（ ）. A.11 B.9 C.7 D.5解析：选B. 方法1：因为x ＝-π4为函数f(x)的零点，x ＝π4为y ＝f(x)图像的对称轴，所以π2＝kT 2+T4(k ∈Z ，T 为周期)，得T ＝2π2k+1(k ∈Z )．又f(x)在(π18，5π36)上单调，所以T ≥π6，k ≤112，又当k ＝5时，ω＝11，φ＝-π4，f(x)在(π18，5π36)上不单调；当k ＝4时，ω＝9，φ＝π4，f(x)在(π18，5π36)上单调，满足题意；故ω＝9，即ω的最大值为9.方法2：由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z ，()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤，接下来用排除法：若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调；若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．故选B ．题型六 解三角形、正余弦定理例6 （2015·新课标1，16）在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠= ，2BC =，则AB 的取值范围是 .解析: 如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合于E 点时，AB 最长， 在BCE ∆中，75B C ∠=∠= ，30E ∠= ，2BC =，由正弦定理可得o osin 30sin 75BC BE=，解得BE ； 平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时在BCF ∆中，75B BFC ∠=∠= ，30FCB ∠= ，由正弦定理知o osin 30sin 75BF BC=，解得BF =所以AB 的取值范围为.题型七 三角函数与解三角形的综合应用例7 （2017·新课标Ⅰ，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长 解析：（1）∵ABC △面积23sin a S A=．且1sin 2S bc A =， ∴21sin 3sin 2a bc A A =，∴223sin 2a bc A =，∵由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠得2sin sin 3B C =．（2）由（1）得2sin sin 3B C =，1cos cos 6B C =，∵πA B C ++=， ∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=，又∵()0πA ∈，，∴60A =︒，sin A =1cos 2A =，由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin a c C A =⋅，∴22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①②得b c +=，∴3a b c ++=，即ABC △周长为3．三、高考真题分类汇编2011年—2018年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编7．三角函数、解三角形（解析版）一、选择题【2017，9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x ，首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ． 注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．故选D ； 【2016，12】已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5【解析】：由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z ，()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤，接下来用排除法：若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫ ⎪⎝⎭单调；若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．故选B ．【2015，8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k ππ-+∈Z 错误！未找到引用源。
2019年高考数学文真题分项解析：专题04 三角函数与解三角形
第四章 三角函数与三角形1.【2019高考新课标Ⅰ，文7】tan255°= A. －2－3 B. －2+3C. 2－3D. 2+3【答案】D 【解析】 【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【详解】详解：000000tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)=+==+=00031tan 45tan 3032 3.1tan 45tan 30313++==+--【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．2.【2019高考新课标Ⅰ，文11】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则b c =A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 【详解】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ． 【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．3.【2019高考新课标Ⅱ，文8】若x 1=4π，x 2=34π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=A. 2B.32C. 1D.12【答案】A 【解析】 【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得ω. 【详解】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，得2ω=．故选A ． 【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题．4.【2019高考新课标Ⅱ，文11】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα= A. 15B.55 C.33D.255【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 【详解】2sin 2cos21α=α+Q ，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭Q ． sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，5sin 5α∴=，故选B ． 【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．5.【2019高考新课标Ⅲ，文5】函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.【详解】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2x π∈Q ，02x ππ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．6.【2019高考北京卷，文6】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断. 【详解】0b = 时，()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数； ()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.7.【2019高考北京卷，文8】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A. 4β+4cos βB. 4β+4sin βC. 2β+2cos βD. 2β+2sin β【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先确定面积最大时点P 的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值. 【详解】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β, 面积S 的最大值为2222βππ⨯⨯+S △POB + S △POA =4β+1||sin()2OP OB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖ 42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅.故选：B .【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.8.【2019高考天津卷，文7】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 2- B. 2-C.2 D. 2【答案】C 【解析】 【分析】只需根据函数性质逐步得出,,A ωϕ值即可。
2019年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 3.1三角函数
2019年高考一轮复习热点难点精讲精析：3.1三角函数一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1、三角函数的定义※相关链接※（1）已知角α终边上上点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；（2）已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的α值。
注：若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论。
※例题解析※〖例〗已知角α的终边落在直线3x+4y=0上，求sinα,cosα,tanα的值。
思路解析：本题求α的三角函数值，依据三角函数的定义，可在角α的终边上任意一点P（4t,-3t）(t≠0)，求出r，由定义得出结论。
解答：∵角α的终边在直线3x+4y=0上，∴在角α的终边上任取一点 P（4t,-3t）(t≠0)，则x=4t,y=-3t.,当t>0时，r=5t,sinα=yr=3355tt-=-,44cos55x tr tα===，33tan44y tx tα-===-；当t<0时，r=-5t，sinα=yr=3355tt-=-，44cos55x tr tα===--，33tan44y tx tα-===-。
综上可知，sinα=35-，4cos5α=，3tan4α=-；或sinα=35,4cos5α=-,3tan4α=-.2、象限角、三角函数值符号的判断※相关链接※（1）熟记各个三角函数在每个象限内的符号是关键；（2）判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限；（3）对于已知三角函数式的符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在象限。
※例题解析※〖例〗（1）如果点P （sin θ·cos θ,2cos θ）位于第三象限，试判断角θ所在的象限； （2）若θ是第二象限角，则sin(cos )cos(sin 2)θθ的符号是什么？思路解析：（1）由点P 所在的象限，知道sin θ·cos θ，2cos θ的符号，从而可求sin θ与cos θ的符号；（2）由θ是第二象限角，可求cos θ，sin2θ的范围，进而把cos θ，sin2θ看作一个用弧度制的形式表示的角，并判断其所在的象限，从而sin(cos θ),cos(sin2θ)的符号可定。
最新2019高考数学试题分项版解析 专题10 三角函数图象与性质 理(含解析)
专题10三角函数图象与性质考纲解读明方向分析解读 三角函数的图象和性质一直是高考中的热点,往往结合三角公式进行化简和变形来研究函数的单调性、奇偶性、对称性及最值问题,且常以解答题的形式考查,其考查内容及形式仍是近几年高考对该部分内容考查的重点.分值为10~12分,属于中低档题.2018年高考全景展示1．【2018年理天津卷】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A【解析】分析：由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可. 详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得一个单调递增区间为：.函数的单调递减区间满足：，即，令可得一个单调递减区间为：.本题选择A 选项.点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．【2018年理北京卷】设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．【答案】点睛：函数的性质(1).(2)周期(3)由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足，(4)由求增区间; 由求减区间. 3．【2018年江苏卷】已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间; 由求减区间.4．【2018年全国卷Ⅲ理】函数在的零点个数为________．【答案】点睛：本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题。
2017年高考全景展示1.【2017课标1，理9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【答案】D 【解析】试题分析：因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则222:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x ππππ=+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为sin 2y x =，再将曲线向左平移12π个单位得到2C ，故选D.【考点】三角函数图像变换.【名师点睛】对于三角函数图像变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住sin cos(),cos sin()22ππαααα=-=+；另外，在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言. 2.【2017课标3，理6】设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为−2π B ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6π D ．f (x )在(2π,π)单调递减 【答案】D 【解析】试题分析：函数的最小正周期为221T ππ== ，则函数的周期为()2T k k Z π=∈ ，取1k =- ，可得函数()f x 的一个周期为2π- ，选项A 正确； 函数的对称轴为()3x k k Z ππ+=∈ ，即：()3x k k Z ππ=-∈ ，取3k = 可得y =f (x )的图像关于直线x =83π对称，选项B 正确； ()cos cos 33f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数的零点满足()32x k k Z πππ+=+∈ ，即()6x k k Z ππ=+∈ ，取0k = 可得f (x +π)的一个零点为x =6π，选项C 正确；当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，54,363x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ ，函数在该区间内不单调，选项D 错误；故选D .【考点】 函数()cos y A x ωϕ=+ 的性质【名师点睛】(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin (ωx ＋φ)或y ＝Acos (ω x ＋φ)的形式，则最小正周期为2T πω=；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝Asin ωx 或y ＝Acos ωx ＋b 的形式.(2)求f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )即可.3.【2017天津，理7】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=- （D ）13ω=，24ϕ7π=【答案】A【考点】求三角函数的解析式【名师点睛】有关sin()y A x ωϕ=+问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定A ，再根据周期或12周期或14周期求出ω，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的ϕ值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求ω或ϕ的值或最值或范围等. 4.【2017山东，理16】设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=.（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值. 【答案】（Ⅰ）2ω=.（Ⅱ）得最小值32-.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到()y f x =)3x πω=-由题设知()06f π=及03ω<<可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3f x x π=-从而()))4312g x x x πππ=+-=-.根据3[,]44x ππ∈-得到2[,]1233x πππ-∈-，进一步求最小值.试题解析：（Ⅰ）因为()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，所以1()sin cos cos 22f x x x x ωωω=--3sin cos 22x x ωω=-1sin )2x x ωω=-)3x πω=-由题设知()06f π=，所以63k ωπππ-=，k Z ∈.故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<，所以2ω=.（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3f x x π=-所以()))4312g x x x πππ=+-=-.因为3[,]44x ππ∈-， 所以2[,]1233x πππ-∈-，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-.【考点】1.两角和与差的三角函数.2.三角函数图象的变换与性质.【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.2016年高考全景展示1.【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈【答案】B 【解析】试题分析：由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B.考点： 三角函数的图象变换与对称性.【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 2.【2016高考新课标1卷】已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为( )（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x = 对称,则()0f x A = 或()0f x A =-.3.【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D 【解析】试题分析：由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 考点：三角函数图像的平移.【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移，在函数()sin()f x A ωx φ=+的图象平移变换中要注意人“ω”的影响，变换有两种顺序：一种y sin x =的图象向左平移φ个单位得sin()y x φ=+，再把横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得sin()y ωx φ=+的图象，另一种是把y sin x =的图象横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得sin y ωx =的图象，向左平移φω个单位得sin()y ωx φ=+的图象．4.【2016高考浙江理数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ） A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B【解析】试题分析：21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ，其中当0=b 时，cos 21()22=-++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ． 考点：1、降幂公式；2、三角函数的最小正周期．【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数()f x ，再判断b 和c 的取值是否影响函数()f x 的最小正周期．5.【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6πB.2t = ，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.t =，s 的最小值为3π【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，1sin(2)432t ππ=⋅-=，故此时'P 所对应的点为1(,)122π，此时向左平移-4126πππ=个单位，故选A. 考点：三角函数图象平移【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换6.【2016高考山东理数】函数f （x ）=sin x +cos x ）cos x –sin x ）的最小正周期是（ ） （A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π【答案】B 【解析】试题分析：()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B. 考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.7.【2016高考新课标3理数】函数sin y x x =-的图像可由函数sin y x x =的图像至少向 右平移_____________个单位长度得到． 【答案】32π考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题07三角函数图象与性质热点难点突破文含解析
三角函数图象与性质1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的最小正周期和振幅分别是( )A ．π， 2B ．π，2C ．2π，1D ．2π， 2答案 B解析 ∵y ＝s in ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴T ＝2π2＝π，振幅为2.2．已知函数f ()＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2－cos 2，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数f ()的图象() A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度答案 C解析 由题意可得，函数f ()＝3sin 2－cos 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，设平移量为θ，得到函数g ()＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6，又g ()为奇函数，所以2θ－π6＝π，∈，即θ＝π12＋k π2，∈.3．已知函数f ()＝－2cos ω(ω>0)的图象向左平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为( )A.π6B.5π6C.π12D.5π12答案 C4．已知函数f ()＝2sin(ω＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2，f (1)＝2，f (2)＝0，若|1－2|的最小值为12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，则f ()的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16＋2k ，56＋2k ，∈ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k ，16＋2k ，∈ C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k π，16＋2k π，∈ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16＋2k ，76＋2k ，∈ 答案 B解析 由f (1)＝2，f (2)＝0，且|1－2|的最小值为12，可知T 4＝12，∴T ＝2，∴ω＝π， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，则φ＝±π3＋2π，∈， ∵0<φ<π2，∴φ＝π3， ∴f ()＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π3. 令－π2＋2π≤π＋π3≤π2＋2π，∈， 得－56＋2≤≤16＋2，∈. 故f ()的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k ，16＋2k ，∈. 5．已知函数f ()＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(∈R ，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.为了得到函数g ()＝cos ω的图象，只要将y ＝f ()的图象( )A ．向左平移3π20个单位长度 B ．向右平移3π20个单位长度 C ．向左平移π5个单位长度 D ．向右平移π5个单位长度 答案 A解析 由于函数f ()图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则其最小正周期T ＝π， 所以ω＝2πT ＝2，即f ()＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5，g ()＝cos 2. 把g ()＝cos 2变形得g ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π20＋π5，所以要得到函数g ()的图象，只要将f ()的图象向左平移3π20个单位长度即可．故选A. 6．如图，函数f ()＝A sin(ω＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，|φ|≤π2 与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π4，M 为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为( )A.83 3B.1633 C ．8 D ．16 答案 B解析 由题意设Q (a ,0)，R (0，－a )(a >0)．则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a 2，由两点间距离公式，得 PM ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝25， 解得a 1＝8，a 2＝－4(舍去)，由此得T2＝8－2＝6，即T ＝12，故ω＝π6， 由P (2,0)得φ＝－π3， 代入f ()＝A sin(ω＋φ)，得f ()＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3， 从而f (0)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－8，得A ＝163 3.7.如图，单位圆O 与轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35，∠AOC ＝α，若BC ＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为( )A.45B.35 C ．－45 D ．－35答案 B8．已知函数f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)的图象在区间(1,2)上不单调，则ω的取值范围为() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫7π8，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，7π8∪⎝ ⎛⎭⎪⎫7π4，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，＋∞答案 B解析 因为当∈(1,2)时，ω－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ω－π4，2ω－π4，又因为函数f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)的图象在区间(1,2)上不单调，所以存在∈，使得π＋π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ω－π4，2ω－π4，即得ω－π4<π＋π2<2ω－π4(∈)，即k π2＋3π8<ω<π＋3π4(∈)，因为ω>0，所以≥0，当＝0时，3π8<ω<3π4；当＝1时，7π8<ω<7π4；当＝2时，11π8<ω<11π4；…， 因此ω的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫7π8，7π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8，11π4∪…∪⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋3π8，4k π＋3π4∪… ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫7π8，＋∞. 9．函数f ()＝12－x 的图象与函数g ()＝2sin π2(0≤≤4)的图象的所有交点为(1，y 1)，(2，y 2)，…，(n ，y n )，则f (y 1＋y 2＋…＋y n )＋g (1＋2＋…＋n )＝________.答案 12解析 如图，画出函数f ()和g ()的图象，可知有4个交点，并且关于点(2,0)对称，所以y 1＋y 2＋y 3＋y 4＝0，1＋2＋3＋4＝8，所以f (y 1＋y 2＋y 3＋y 4)＋g (1＋2＋3＋4)＝f (0)＋g (8)＝12＋0＝12.10．在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点P (－3，－1)，则tan α＝________，cos α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝________. 答案 330 解析 ∵角α的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点P (－3，－1)， ∴＝－3，y ＝－1，∴tan α＝y x ＝33，cos α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝cos α－cos α＝0. 11．已知tan α＝2，则sin 22α－2cos 22αsin 4α＝________. 答案 112解析 ∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43， ∴sin 22α－2cos 22αsin 4α＝sin 22α－2cos 22α2sin 2αcos 2α＝tan 22α－22tan 2α＝169－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝112. 12．设函数f ()(∈R )满足f (－π)＝f ()－sin ，当－π<≤0时，f ()＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018π3＝________. 答案 3213．已知向量m ＝(3sin ω,1)，n ＝(cos ω，cos 2ω＋1)，设函数f ()＝m ·n ＋b .(1)若函数f ()的图象关于直线＝π6对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f ()的单调递增区间； (2)在(1)的条件下，当∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，函数f ()有且只有一个零点，求实数b 的取值范围． 解 m ＝(3sin ω,1)，n ＝(cos ω，cos 2ω＋1)，f ()＝m ·n ＋b ＝3sin ωcos ω＋cos 2ω＋1＋b ＝32sin 2ω＋12cos 2ω＋32＋b＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32＋b . (1)∵函数f ()的图象关于直线＝π6对称， ∴2ω·π6＋π6＝π＋π2(∈)， 解得ω＝3＋1(∈)，∵ω∈[0,3]，∴ω＝1，∴f ()＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b ， 由2π－π2≤2＋π6≤2π＋π2(∈)， 解得π－π3≤≤π＋π6(∈)， ∴函数f ()的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(∈)． (2)由(1)知f ()＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b ， ∵∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12，∴2＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，4π3， ∴当2＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，函数f ()单调递增； 当2＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，4π3，即∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π12时，函数f ()单调递减． 又f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， ∴当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>0≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0时，函数f ()有且只有一个零点， 即sin 4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0， ∴b 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－52. 14．已知a >0，函数f ()＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f ()≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g ()＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g ()>0，求g ()的单调区间． 解 (1)∵∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f ()∈[b ,3a ＋b ]，又∵－5≤f ()≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得f ()＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， ∴g ()＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. 又由lg g ()>0，得g ()>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2π＋π6<2＋π6<2π＋5π6，∈， 其中当2π＋π6<2＋π6≤2π＋π2，∈， 即π<≤π＋π6，∈时，g ()单调递增； 当2π＋π2<2＋π6<2π＋5π6，∈， 即π＋π6<<π＋π3，∈时，g ()单调递减． ∴g ()的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，∈， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，∈.15．已知函数f ()＝cos 4－2sin cos －sin 4.(1)若是某三角形的一个内角，且f ()＝－22，求角的大小； (2)当∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f ()的最小值及取得最小值时的值． 解 (1)∵f ()＝cos 4－2sin cos －sin 4＝(cos 2＋sin 2)(cos 2－sin 2)－sin 2＝cos 2－sin 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫22cos 2x －22sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴f ()＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－22， 可得cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－12. 由题意可得∈(0，π)，∴2＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，9π4，可得2＋π4＝2π3或4π3， ∴＝5π24或13π24. (2)∵∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22， ∴f ()＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈[－2，1]． ∴f ()的最小值为－2，此时2＋π4＝π， 即＝3π8.。
2019届高考数学专题06三角函数
，
2x
π
12 2
6
π ,
5π
，
36
f x sin 2 x π 6
3 ,1 ． 2
3．三角函数的性质
例 3：函数 f x 3 sin 2 x cos2 x （
A．在 C．在
π, π 上单调递减 36 π,0 上单调递减 6
【答案】 D
）
B．在 π, π 上单调递增 63
D．在 0, π 上单调递增 6
【解析】 f x
3 sin 2x cos 2x 2 3 sin 2 x 1 cos 2 x 2sin 2x π ，
2
2
6
单调递增区间： 单调递减区间：
π
ππ
2 kπ 2 x
2kπ
2
62
π
π
kπ x
kπk Z
3
6
π 2kπ 2x π 3π 2kπ π kπ x 2π kπ k Z
2
62
6
3
符合条件的只有 D．
）
6
A．
ππ ,
63
B．
π 5π ,
36
C．
ππ ,
36
D．
π 2π ,
63
【答案】 B
【解析】 ∵ f x 2sin 2 x π ，∴ f x 6
2sin 2 x π ， 6
令 π 2kπ 2 x
π 3π 2kπ, k
Z ，得 π kπ x
5π kπ, k
Z．
2
62
3
6
取 k 0 ，得函数 f x 的一个单调递增区间是
π 2 1 sin 2 1 2sin cos
2
2
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题07三角函数图象与性质文
三角函数图象与性质【2019年高考考纲解读】1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．【重点、难点剖析】 1．记六组诱导公式 对于“k π2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆，奇变偶不变，符号看象限．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )3.y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法，设X ＝ωx ＋φ，X 取0，π2，π，3π2，2π来求相应的x 值、y 值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口．(3)在用图象变换作图时，一般按照先平移后伸缩，但考题中也有先伸缩后平移的，无论是哪种变形，切记每个变换总对字母x 而言．(4)把函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后用基本三角函数的单调性求解时，要注意A ，ω的符号及复合函数的单调性规律：同增异减． 4．三角函数中常用的转化思想及方法技巧(1)方程思想：sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三者中，知一可求二． (2)“1”的替换：sin 2α＋cos 2α＝1. (3)切弦互化：弦的齐次式可化为切. 【题型示例】题型一、三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用【例1】(1)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若它的终边经过点P (2,1)，则tan 2α等于( )A.43B.12 C ．－12 D ．－43 答案 A解析 因为角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (2,1)， 所以tan α＝12，因此tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝11－14＝43. (2)已知曲线f (x )＝x 3－2x 2－x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－2cos 2α－3sin(2π－α)cos(π＋α)的值为( ) A.85 B ．－45 C.43 D ．－23 答案A【变式探究】【2016高考新课标2文数】若，则sin 2α=（ ）（A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725- 【答案】D【解析】，且，故选D.【感悟提升】在单位圆中定义的三角函数，当角的顶点在坐标原点，角的始边在x 轴正半轴上时，角的终边与单位圆交点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值．如果不是在单位圆中定义的三角函数，那么只要把角的终边上点的横、纵坐标分别除以该点到坐标原点的距离就可转化为单位圆上的三角函数定义． 【举一反三】(2015·重庆，9)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin α·cos π5－cos αsinπ5＝tan αtanπ5＋1tan αtanπ5－1＝2＋12－1＝3. 答案 C【变式探究】(1)已知cos π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．±34(2)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12【命题意图】(1)本题主要考查三角函数的诱导公式及同角基本关系式的应用． (2)本题是函数与三角运算问题，主要考查函数三要素及三角运算． 【答案】(1)B (2)A【解析】(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，∴sin α＝－35，显然α在第三象限，∴cos α＝－45，故tan α＝34.故选B.(2)∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ， ∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )． ∴f (x )是以2π为周期的周期函数． 又f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－12.∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.故选A.【感悟提升】1．结合诱导公式与同角基本关系式化简求值的策略 (1)切弦互换法．利用tan α＝sin αcos α进行转化．(2)和积转化法．利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α进行变形、转化． (3)常值代换法．其中之一就是把1代换为si n 2α＋cos 2α.同角三角函数关系sin 2α＋cos 2α＝1和tan α＝sin αcos α联合使用，可以根据角α的一个三角函数值求出另外两个三角函数值．根据tan α＝sin αcos α可以把含有sin α，cos α的齐次式化为tan α的关系式．2．化简求值时的“三个”防范措施 (1)函数名称和符号．利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数与锐角的三角函数，其步骤是：去负—脱周—化锐—求值．特别注意解题过程中函数名称和符号的确定． (2)开方．在利用同角三角函数的平方关系时若需开方，特别注意要根据条件进行讨论取舍． (3)结果整式化．解题时注意求值与化简的最后结果一般要尽可能化为整式．【变式探究】(1)已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝24x ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝________. (2)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝________. 【解析】(1)由题意得cos α＝x5＋x2＝24x ，解得x ＝3或x ＝－3，又α是第二象限角，∴x ＝－ 3.即cos α＝－64，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－64. (2)因为sin α＋cos α＝33，所以1＋2sin αcos α＝13，所以2sin αcos α＝－23<0，又因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，则sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝153，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－153×33＝－53. 【答案】(1)－64 (2)－53【规律方法】在利用诱导公式和同角三角函数关系时，一定要特别注意符号，在诱导公式中是“奇变偶不变，符号看象限”，在同角三角函数的平方关系中，开方后的符号也是根据角所在的象限确定的． 题型二、三角函数的图象【例2】(2018·天津卷)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数________．(填序号) ①在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增；②在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减； ③在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2上单调递增；④在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递减． 答案 ①解析 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10＋π5＝sin2x ，则函数y ＝sin 2x 的一个单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4，一个单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，7π4.由此可判断①正确．【变式探究】(2016·高考全国甲卷)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3【举一反三】 (2015·山东，3)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，∴要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位． 答案 B【变式探究】(2015·湖南，9)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12 B.π3 C.π4D.π6解析 易知g (x )＝sin(2x －2φ)，φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，由|f (x 1)－f (x 2)|＝2及正弦函数的有界性知，①⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝－1，sin （2x 2－2φ）＝1或②⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝1，sin （2x 2－2φ）＝－1，由①知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－π4＋k 1π，k 2＝π4＋φ＋k 2π(k 1，k 2∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2＋φ＋（k 2－k 1）πmin ＝π3，由φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2＋φ＝2π3，∴φ＝π6， 同理由②得φ＝π6.故选D.答案 D【举一反三】(1)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )(2)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度【命题意图】(1)本题主要考查函数的解析式及三角函数的图象，意在考查考生识图、用图的能力． (2)本题主要考查三角函数的图象，意在考查考生的函数图象的变换能力以及三角函数的运算能力． 【答案】(1)B (2)A【解析】(1)由题意知，f (x )＝|cos x |·sin x ， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝cos x ·sin x ＝12sin 2x ；当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤π2，π时，f (x )＝－cos x ·sin x ＝－12sin 2x ，故选B. (2)y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象，即函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，故选A. 【感悟提升】1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的确定 (1)A 由最值确定，A ＝最大值－最小值2.(2)ω由周期确定．(3)φ由图象上的特殊点确定．提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先依据图象的升降分清零点的类型．2．作三角函数图象左、右平移变换时，平移的单位数是指单个变量x 的变化量，因此由y ＝sin ωx (ω>0)的图象得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象时，应将图象上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|ω个单位，而非|φ|个单位．题型三 三角函数的性质及其应用例3．设函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4. (1)求ω的值；(2)若函数y ＝f (x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2是奇函数，求函数g (x )＝cos(2x －φ)在[0,2π]上的单调递减区间． 解 (1)f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32＝12sin 2ωx －3＋cos 2ωx 2＋32＝12sin 2ωx －32cos 2ωx＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3， 设T 为f (x )的最小正周期，由f (x )的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋[2f (x )max ]2＝π2＋4，∵f (x )max ＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋4＝π2＋4，整理得T ＝2π.又ω>0，T ＝2π2ω＝2π，∴ω＝12.(2)由(1)可知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，∴f (x ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φ－π3. ∵y ＝f (x ＋φ)是奇函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π3＝0，又0<φ<π2，∴φ＝π3，∴g (x )＝cos(2x －φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .又∵x ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3；当k ＝1时，函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π6，5π3. ∴函数g (x )在[0,2π]上的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π6，5π3.【方法技巧】函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用类题目的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．【变式探究】(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【变式探究】【2016年高考四川文数】为了得到函数的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 【举一反三】(2015·四川，4)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x解析 A 选项：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，T ＝π，且关于原点对称，故选A.答案 A【变式探究】函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析 ∵T ＝2π2＝π，∴B 正确． 答案 B【举一反三】已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( )A ．y ＝f (x )的图象关于(π，0)中心对称B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 C ．f (x )的最大值为32D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数解析 [对于A 选项，因为f (2π－x )＋f (x )＝cos(2π－x )·sin 2(2π－x )＋cos x sin 2x ＝－cos x sin 2x ＋cos x sin 2x ＝0，故y ＝f (x )的图象关于(π，0)中心对称，A 正确；对于B 选项，因为f (π－x )＝cos(π－x )sin 2(π－x )＝cos x sin 2x ＝f (x )，故y ＝f (x )的图象关于x ＝π2对称，故B 正确；对于C 选项，f (x )＝cosx sin 2x ＝2sin x cos 2x ＝2sin x (1－sin 2x )＝2sin x －2sin 3x ，令t ＝sin x ∈[－1，1]，则h (t )＝2t －2t 3，t ∈[－1，1]，则h ′(t )＝2－6t 2，令h ′(t )＞0解得－33＜t ＜33，故h (t )＝2t －2t 3，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－33与⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1上递减，又h (－1)＝0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫33＝439，故函数的最大值为439，故C 错误；对于D 选项，因为f (－x )＋f (x )＝－cos x sin 2x ＋cos x sin 2x ＝0，故是奇函数，又f (x ＋2π)＝cos(2π＋x )·sin 2(2π＋x )＝cos x sin 2x ，故2π是函数的周期，所以函数既是奇函数，又是周期函数，故D 正确． 综上知，错误的结论只有C ，故选C. 答案 C。
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高考数学精品复习资料2019.520xx 高三数学知识点汇总四、三角函数：一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。
若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与α角终边相同的角的集合：},360|{Z k k ∈+=αββ与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合： ；②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ；终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示：①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：③④⑤⑥（4）正确理解角：要正确理解“oo90~0间的角”= ；“第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o90的角”= ； （5）由α的终边所在的象限，通过 来判断2α所在的象限。
（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一x y O x y O已知角α的弧度数的绝对值rl=||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。
（7）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ； 二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αs in ；=αcos ；=αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ；如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。
（2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线；比较)2,0(π∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系： 。
（3）特殊角的三角函数值：α0 6π 4π 3π 2π π23π sin α cos ααtan αcot三、同角三角函数的关系与诱导公式： （1）同角三角函数的关系平方关系是 ， ， ； 倒数关系是 ， ， ； 商式关系是 ， 。
作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
（2）诱导公式：ααπ⇒+k 2： ， ， ； ααπ⇒+： ， ， ；x yOa x y Oa xy Oa yOaαα⇒-： ， ， ； ααπ⇒-： ， ， ； ααπ⇒-2： ， ， ；ααπ⇒-2： ， ， ；ααπ⇒+2： ， ， ；ααπ⇒-23： ， ， ；ααπ⇒+23： ， ， ；诱导公式可用概括为： ， 。
作用：求任意角的三角函数值。
（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以讨论。
②求任意角的三角函数值。
步骤：③已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有无数多个． 步骤： ①确定角α所在的象限；②如函数值为正，先求出对应的锐角1α；如函数值为负，先求出与其绝对值对应的锐角1α；③根据角α所在的象限，得出π2~0间的角——如果适合已知条件的角在第二限；则它是1απ-；如果在第三或第四象限，则它是1απ+或12απ-； ④如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合。
如m =αtan ，则=αs in ，=αcos ；=-)23sin(απ；=-)215cot(απ_________。
注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）；四、三角函数公式：任意负角的 三角函数 任意正教的 三角函数 0o ~360o 角的三角函数求值公式三、一 公式一 0o ~90o 角的三角函数 公式二、四、五、 六、七、 八、九三倍角公式：θθθ3sin 4sin 33sin -=；θθθcos 3cos 43cos 3-=；__________________)cos(=+βα_____________________)](2cos[)sin(=+-=+βαπβα相除_______________)tan(=+βα_________________)tan(_________________)sin(________________)cos(=-=-=-βαβαβα 以)(β-代β积化和差：______________________sin sin _____________________cos cos ______________________sin cos ______________________cos sin ====βαβαβαβα以x 代βα+以y 代βα-和差化积_____________________cos cos _____________________cos cos ______________________sin sin ______________________sin sin =-=+=-=+y x y x y x y xαβ=倍角公式_________________2tan _________________2sin ________________2cos ===ααα__________________________________2cos ==α万能公式：_________________tan _________________cos ________________sin ===ααα________________2cos ________________2sin22==αα反解，以2α代α半角公式：__________________2tan________________2tan ________________2cos ________________2sin=====αααα开方五、三角恒等变换：三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍；α3是23α的二倍；3α是6α的二倍；απ22±是απ±4的二倍。
②2304560304515o ooooo=-=-=；问：=12sin π；=12cosπ ；③ββαα-+=)(；④)4(24αππαπ--=+；⑤)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： o o 45tan 90sin cot tan tan sec cos sin12222===-=+=αααααα（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。
常用降幂公式有： ； 。
降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
如：_______________tan 1tan 1=-+αα； ______________tan 1tan 1=+-αα；____________tan tan =+βα；___________tan tan 1=-βα； ____________tan tan =-βα；___________tan tan 1=+βα；=αtan 2 ；=-α2tan 1 ；=++o o o o 40tan 20tan 340tan 20tan ；=+ααcos sin = ； =+ααcos sin b a = ；（其中=ϕtan ；）=+αcos 1 ；=-αcos 1 ；（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。
如：=+)10tan 31(50sin oo ；=-ααcot tan ；=94cos 92cos9cosπππ；=++75cos 73cos 7cos πππ ；推广：=++76cos 74cos 72cos πππ ；推广：六、三角函数的图象和性质：（1）正弦函数x y sin =、余弦函数x y cos =及正切函数x y tan =的性质：x y sin =x y cos = x y tan =图 象 作法： ；定义域 值域最值（指出此时x的值）最大值最小值周期 奇偶性对称性对称轴中心 单调性增区间减区间（2）)0)(sin(>+=A x A y ϕω与)0)(cos(>+=A x A y ϕω ①)0)(sin(>+=A x A y ϕω可由x y sin =怎样变化得到： （a ）先平移后伸缩：（b ）先伸缩后平移：注意：对于由三角函数图象求)sin()(ϕω+=x A x f 的解析式的问题：即确定ϕω,；ω：可由ωπ2=T 得到，在图象中，相邻的最大值和最小值间的距离为周期的21；相邻的最大值或最小值与零点间的距离为周期的41。
ϕ：可运用ωϕ-=o x 得到，其中o x 为最大值左侧和原点最近的第一个零点的横坐标。
②)0)(sin(>+=A x A y ϕω与)0)(cos(>+=A x A y ϕω的性质：)0)(sin(>+=A x A y ϕω )0)(cos(>+=A x A y ϕω定义域值域最值（指出此时x的值）最大值最小值周期奇偶性对称性对称轴中心单调性增区间减区间如：函数)32cos(2π+=x y 的单调增区间为 ；函数)23cos(2x y -=π的单调增区间为 ；函数)63sin(log π-=x y a 的单调减区间为 ；③函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 的最大值是 ，最小值是 ，周期是 ，频率是 ，相位是 ，初相是 ；其图象的对称轴是直线 ，点 是x y sin =)sin(ϕ+=x y )sin(ϕω+=x y)sin(ϕω+=x A y（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）x y sin =x y ωsin =)sin(ϕω+=x y )sin(ϕω+=x A y （ ） （ ）（ ） （ ） （ ） （ ）该图象的对称中心。