3.4 离散数据的曲线拟合——数值分析课件PPT

4
(P0 , P0 ) i P02 (xi ) 5 i0
4
(xP0 , P0 ) i xi P02 (xi ) 2.5 i0
a0
(xP0 , P0 ) (P0 , P0 )
0.5
P1(x) x a0 x 0.5
由此得 从而有
4
(P1, P1) i P12 (xi ) 0.625 i0
4
(xP1, P1) i xi P12 (xi ) 0.3125 i0
a1
(xP1, P1) (P1, P1)
0.5
,
b1
(P1, (P0 ,
P1 ) P0 )
0.125
,
P2 (x) (x a1)P1(x) b1P0 (x) (x 0.5)2 0.125
所以, 1, x - 0.5, (x 0.5)2 0.125 为所求在点集
) k.
)
k 1
（5）
三项递推公式（4）是构造正交多项式的简单公 式，此外，还有其他的特殊的情形，这里，不进一 步讨论。
P0 Pk
(x) 1, P1(x) 1(x) (x ak )
x a0 Pk (x)
,
bk
Pk 1 ( x),
k
1,
2,
a PP PP b PP PP n 1
(x , )
i 1
(xi )
p*(xi ))2
(3.4.1)
则称p*(x)为离散数据 (xi , yi }i=1,2,…,m在子空间S中带权
{i}i=1,2,…,m的最小二乘拟合。
此问题称为最小二乘曲线拟合，又称为离散数据的
使最拟佳合平方误逼差近的。平方和最小——最小二乘原理
以下讨论最小二乘逼近函数 p*(x) 是否存在？是否唯一？及 计算方法（步骤）。 把原问题转化为多元函数极值问题
(i , j )
0,i j ai 0,i
j
(3)
则称多项式组{k(x)}k=0,…n为在离散点集 {xi}i=0,1,…,m 上的带权 { i}i=0,…m的正交多项式序列.
下面给出离散点集上正交多项式的构造方法 .
给定点集{xi} i=0,1,…,m和权数{ i}i=0,…m ，并且
点集 {xi} i=0,1,…,m中至少有n+1个互异，则由下列三
项递推公式
PP0k(1x()x) 1,(Px1(x)ak)Pxk(xa)0, bk Pk1(x), k 1, 2,
（4）
n 1
给出的多项式序列
n
Pk(x)
(n
k 0
m)
是正交多项式序列，
其中
(x , )
(,
P P P P
k k,
k
a b k ( , ) k ( ,
P P P P k k
k 1 )g(xi )
(1)
i0
其中i>0为给定的权数。在离散意义下，函数f (x)
的2-范数定义为
|| f ||2 ( f , f )
(2)
有了内积，就可以定义正交性。若函数 f (x) 和 g (x) 的内积 (f , g)=0，则称两者正交。
若多项式组{k(x)}k=0,…n 在离散意义下的内积满足
§3.4 离散数据的曲线拟合
1、离散点集上的正交多项式 2 、最小二乘拟合 多项式的拟合 3、 正交多项式拟合 总结
3.4 离散数据的曲线拟合
学习目标： 了解曲线拟合最小二乘法的意义。掌 握线性拟合和二次多项式拟合的方法。
1 离散点集上的正交多项式
定义 设有点集 {xi} i=0,1,…,m，函数 f (x) 和 g (x) 在 离散意义下的内积定义为
{0, 0.25, 0.5, 0.75,1}上的正交多项式序列.
本节讨论----离散数据的曲线拟合
仍然是已知 x1 … xm ; y1 … ym, 求一个简单易 算的近似函数 p(x) f(x)。
但是 ① m 很大； ② yi 本身是测量值，不准确，即 yi f (xi)
这时没必要取 p(xi) = yi , 而要使 p(xi) yi 总体上尽可能小。
(类似于连续函数的最佳平方逼近的思路)。
n
p(x) S，有p(x) a j j (x) (a0, a1, , an ) Rn1 j0
即p(x)由a j ( j 0,1, , n)唯一确定
m
此时，|| f p ||22 i ( f ( xi )) p( xi )) 2 i 1
m
)
即a
* j
(
j
0,1,,
n)满足
(由多元函数取极值的必要条件)
I
a k
a
* 0
,a1*
,a
* n
m
n
2 i ( a*j j ( xi )
i 1
j0
f ( xi ))k ( xi ) 0
(k 0,1,, n)
n
(
mm
iikk
((
xxii
))
jj
(( xxii
)))a
* j
mm
常见做法：
不可导，求解困难太复杂
➢使
max
1im
|
p(xi )
yi
|
最小
m
➢ 使 | p(xi ) yi | 最小
i 1
m
➢ 使 | p(xi ) yi |2 最小
i 1
2 离散数据的最小二乘拟合及 多项式的拟合
（1）离散数据的最小二乘拟合
已知试验数据 x
x1
x2
f ( x) f ( x1 ) f ( x2 )
(,
k k,
k
k ( , ) k( ,
kk
k 1
) k.
)
k 1
例 已知点集 {xi} i=0,1,…,4 ={0,0.25,0.5,0.75,1} 和 权数{ i}i=0,…4 ={1,1,1,1,1}.试用三项递推公式求关于
该点集的正交多项式 P0(x), P1(x), P2(x)
解 先令 P0(x)=1 ，由此得
ii ff((xxii))kk( xi )
(k 0,1,, n)
n
i ( a j j ( xi ) f ( xi )) 2
i 1
j0
I (a0, a1, , an ),
（3.4.2）
(关于a0, a1, , an多元二次函数)
得到(3.4.1)的等价问题： 求a*j ( j 0,1,, n)使
min
ai实 数
I
(a
0
, a1 ,, an
)
I (a0* , a1* ,, an*
xm f (xm )
记X { x1 ,, xm }, 其中a x1 x2 xm b，及一函数类
S Span{0 ( x),1 ( x),, n ( x)} C[a, b]，且m n.
求p*(x) S, 使得
m
m
min
p( x)s
i ( f
i 1
(xi )
p(xi ))2
i ( f