数值分析课件-6曲线拟合
曲线拟合PPT演示文稿
1
第四讲主要知识点
1、曲线拟合的概念 2、曲线拟和的方法 3、解矛盾方程组
2
函数插值问题回忆
• 设已知某个函数关系y f (x) 在某些离散点上的函数值：
x x0 x1 y y0 y1
x n 1 x n y n 1 y n
• 插值问题：根据这些已知数据来构造函数 y f (x)
合函数形式为 pm (x)a0a1xam xm (mn1) ， 求系数 a0*,a1*, ,am * ，使得
n
n
m
( a 0 ,a 1 , ,a m )[ y i p m ( x i) ] 2 [ y ia k x ik ] 2
p m * (x ) i 1 a 0 * a 1 * x a m * x i m 0
15
拟合例题
例2 有一滑轮组，要举起W公斤的重物需要用 F公斤的力，实验所得的数据如下表。
求适合上述关系的近似公式。
16
拟合例题
解 首先，将这些数据画在直角坐标系中，从图形上 看，数据点的分布大致呈一条直线，所以设所求
的拟合直线为 yabx ，
得关于a和b的线性方程组
17
其他类拟合问题
最小二乘法并不只限于多项式，也可用于任 何具体给出的函数形式。特别重要的是有些非线 性最小二乘拟合问题通过适当的变换可以转化为 线性最小二乘问题求解。
确定a和b取何值时，二元函数
的值最小?
N
Q(a,b) [yi (abxi)]2 i1
11
直线拟合
由微积分的知识可知，这一问题的求解， 可归结为求二元函数
Q (a, b) 的极值问题，即 a 和 b
应满足：
12
直线拟合
3.4 离散数据的曲线拟合——数值分析课件PPT
4
(P0 , P0 ) i P02 (xi ) 5 i0
4
(xP0 , P0 ) i xi P02 (xi ) 2.5 i0
a0
(xP0 , P0 ) (P0 , P0 )
0.5
P1(x) x a0 x 0.5
由此得 从而有
4
(P1, P1) i P12 (xi ) 0.625 i0
aj j (x)存在唯一；
j0
(b) p *(x)
n
aj j (x)的系数
a
j
n 可由法方程组
j0
j0
(0 ,0 ) (1 ,0 )
(n ,0 )
(0 ,1 ) (0 ,n ) a0 ( f ,0 )
(1 ,1 )
(1
,n
)
a1
( f
,1
)
(n ,1 )
(n ,n )an
i1
m
xi
i 1
m
xi2
i 1
m
xi3
i 1
m
xi
2
m
yi
i1 m
xi
3
a0
a1
i 1
m
xi yi
i1 m
xi 4
a2
i1
i1
m
xi
2
yi
i1
例 3.4.1 用多项式拟合表3-4中的离散数据。
表3-4
i
1
2
3
45
xi 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 yi 0.10 0.35 0.81 1.09 1.96
(
f
,
n
)
或Ga
d
数值分析---函数逼近与曲线拟合
于是
1 5 1 5 17 2 2 ( x) x ( x ) x x 9 7 4 7 252
2
3）几种常用的正交多项式
• 勒让德多项式 当区间[-1,1],权函数ρ(x) ≡1时,由 {1,x,…,xn,…}正交化得到的多项式就称为 勒让德多项式,并用P0(x),P1(x),…,Pn(x),… 表示. 其简单的表达式为
全体，按函数的加法和数乘构成连续函数 空间---- C[a, b]
3.1 函数逼近的基本概念
1)线性无关
设集合S是数域P上的线性空间,元素
x1,x2,…,xn∈S,如果存在不全为零的数
a1,a2,…,an∈P,使得
a1 x1 a2 x2 ... an xn 0,
则称x1,x2,…,xn线性相关.
( x , 0 )
2
1
0
于是
1
1 1 ( x) x 4
1 x ln xdx 9
2
1 1 2 1 1 7 2 (1 , 1 ) ( ln x)( x ) dx (ln x)( x x )dx 0 0 4 2 16 144
1 5 ( x , 1 ) ( ln x) x ( x )dx 0 4 144
且有以下常用公式
p 0 ( x) 1 p1 ( x ) x p 2 ( x ) (3 x 2 1) / 2 p 3 ( x ) (5 x 3 3 x ) / 2 p 4 ( x ) (35x 4 30x 2 x ) / 8 p 5 ( x ) (63x 5 70x 3 15x ) / 8 p 6 ( x ) ( 231 x 6 315x 4 105x 2 5) / 16
数据的曲线拟合.PPT
1930 1940 1950
y 75,995 91,972 105,711 123,203 131,669 150,697
t 1960 1970 1980
1990 2000
y 179,323 203,212 226,505 249,633 281,422
2、 X 取 1，2，…，20，y=x+3sin(x),分别用 6 阶、 10 阶曲线进行逼近。
%三次样条插值
wi=interp1(x,y,xi,'cubic');
%三次多项式插
plot(x,y,'o',xi,yi,'r+',xi,zi,'g*',xi,wi,'k.-')
legend('原始点','线性点','三次样条','三次多项式'
xi=[0.2500 0.3500 0.4500];
yi=interp1(x,y,xi,'spline')
-0.5971
3.6472 -9.7295
十阶多项式： p=
Columns 1 through 6 0.0000 -0.0000 0.0004 -0.0114 0.1814 -1.8065 Columns 7 through 11 11.2360 -42.0861 88.5907 -92.8155 40.2671
y=[2 24 32 21 10 6 3 1 1 1];
plot(x,y,'r-*')
求均值与方差：
赔款额（元）
0—400 400—800 800—1200 1200—1600 1600—2000
第三章(曲线拟合)
y1 y0 a x1 x0 y1 y0 b y0 x0 x1 x0
第4章 插值法
代入式(4―3)得
y1 y0 P ( x1 x0 ) 1 ( x ) y0 x1 x0
《 计 算 方 法 》
(4―4)
图 4.1
第4章 插值法
A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2)的抛物线来近似地代替f(x),见图
4.2。
第4章 插值法
《 计 算 方 法 》
图 4.2
第4章 插值法
§3 代数多项式插值的存在唯一性
《 计 算 方 法 》
线性插值和二次插值都属于代数多项式插值。对 于一般的代数插值问题,就是寻求一个不高于n次的代数 多项式 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn (4―9)
现要构造一个二次函数
φ(x)=P2(x)=ax2+bx+c 近似地代替f(x),并满足插值原则(4―2)
《 计 算 方 法 》
(4―6) (4―7)
P2(xi)=yi, i=0,1,2,… 由(4―7)式得
2 ax0 bx0 c y0 2 ax1 bx1 c y1 ax 2 bx c y 2 2 2
第4章 插值法
10 9
《 计 算 方 法 》
§ 曲 线 拟 合 法
§ 数 值 微 分
§
8
§ 7 牛 顿 前 差 和 后 差 插 值 多 项 式
§ 6 牛 顿 均 差 插 值 多 项 式
§
5
§ 4 代 数 多 项 式 的 余 项
§ 3 代 数 多 项 式 插 值 的 存 在 唯 一 性
20_数值分析5_6曲线拟合
0x, 1x, , nx, n m,
{jx} ( C[a,b] ) 在点集 {x0,x1, , xm} 上线性无关 . 问题 在曲线族 y ( x )
n j0
c j j ( x ) 中寻找一条曲线
y*(x),
使其能按照某种原则去拟合数据(5.92), 用 y*(x) 代替数据 (5.92) 反映的函数关系.
求血药浓度随时间的变化规律c(t).
10
2
c (t ) c 0 e
10
1
kt
c , k 为待定系数
10
0
0
2
4
6
8
半对数坐标系(semilogy)下的图形
曲线拟合问题的提法
已知一组（二维）数据，即平面上 m+1个点（xi,yi) i=0,1,…m, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x)在某种准 则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。 y + + +
(5.97)
* c0 ( f , 0 ) * c1 ( f , 1 ) * cn ( f , n )
证 (必要性) 记
F (C ) ( A C Y , A C Y )
m
i0
A ( C C *) 0
A (C
C *), A ( C C *) 0 .
F ( C ) F ( C *)
方程 ATAC* ATY 叫做最小二乘的法方程 或正规方程.
由 ATA 的正定性, 知法方程的解存在且唯一.
五、最小二乘法的精度
拟合曲线对数据的拟合精度, 可用误差平方和 来刻画.
《数值分析》第5章 曲线拟合与函数插值
例如用函数
y Aebx
(5.8)
去拟合一组给定的数据，其中 A和 b是待定参这数时. ，可以在 (5.8) 式两端取
对数，得
ln y ln A bx
记 y ln y，a ln A，则上式可写成 y a b. x这样，仍可用最小二乘法解出
和 a (从而b 也就确定了 和 A) ，于b 是得到拟合函数
区间 [a,b]上是存在的，但往往不知道其具体的解析表达式，只能通过观察、
测量或实验得到一些离散点上的函数值.
我们希望对这种理论上存在的函数用一个比较简单的表达式近似地给出整体 上的描述.
此外，有些函数虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论 分析和数值计算，我们同样希望构造一个既能反映函数特性又便于计算的简 单函数，近似替代原来的函数.
图5-1 人口增长的线性模型
5.1.1 最小二乘问题
设人口 y 与年份 x之间的函数关系为
y a bx
（5.1）
其中 a和 b 是待定参数. 由图5-1可知， (xi , yi并) 不是严格地落在一条直线上，
因此，不论怎样选择 和 a，都b不可能使所有的数据点
(x均i ,满yi )足关系
式 (5.1) .
s0 10, s1 545, s2 29785, u0 18.09, u1 987.78
于是正规方程组为
10 545 a 18.09 545 29785 b 987.78
5.1.2 最小二乘拟合多项式
解得 a 0.570，4 b 0.02，27于是 A ea 1.76，90所求拟合函数为
21 91
441
a1
163
91 441 2275 a2 777
解得 a0 26.8，a1 14.08，57 a2 ，2因此所求拟合多项式为
第五章曲线拟合PPT课件
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
曲线拟合的概念
在科学和工程试验中，经常产生一组数据 (x1,y1),…,(xN,yN),如果所有的数值 {xk}, {yk} 有多位有效数字精度，则能用多项式插值； 若数据的精度不高，或者有试验误差，则 只能使用多项式拟合。
问题：如何找到一个经过数据点附近（不总是穿过） 的最佳逼近表达式？
线性最小二乘法（续2）
矩阵形式：构造矩阵F
f1(x1)
f1(x2 )
F
f1(x3 )
f1(xN )
f2 (x1) f2 (x2 ) f2 (x3 )
f2 (xN )
fM (x1)
f
M
(
x2
)
f
M
(
x3
)
fM (xN )
f1(x1)
则
F'
f2(x1)
f1(x2) f2(x2)
f1(x3) f2(x3)
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
多项式拟合
使用函数集合{fj(x)=xj-1}, j=1,…, M+1作线性最小 二乘，则得到的拟合函数f(x)为M阶多项式 f(x)=c1+c2x+c3x2+…+cM+1xM
使用最小二乘多项式拟合非线性数据的方法简单有 效，但如果数据不具有多项式特性，则求出的曲线可 能产生大的振荡。这种现象称为多项式摆动，它在高 阶多项式情况下更容易发生。由于这个原因，一般很 少使用超过6阶的多项式，除非已知被拟合的曲线是 真实的多项式。
几何意义是：数据点到曲线的垂直距离平方和最小
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
最小二乘拟合直线
定理5.1 设{(xk, yk)}kN1有N个点，其中横坐标{xk}是
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第六章 曲线拟合的最小二乘 /函数平方逼近初步
实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实
际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数是记录:
编 号拉伸倍数 强 度编 号拉伸倍数 强 度1 1.9 1.4
135 5.522 1.314 5.253 2.1 1.8156 5.54 2.5 2.516 6.3 6.45 2.7 2.817 6.566 2.7 2.5187.1 5.37 3.53198 6.58 3.5 2.72087944218.98.5104 3.5229811 4.5 4.2239.58.112 4.6
3.5
24
10
8.1
i i y x i
i y x 一.实例讲解
6.2 数据拟合(最小二乘法)
§
2
(())
m n
j j i i i j a x f ϕ===-∑∑2
(())m
i i i S x f ==-∑三、法方程组
22
δ
∑==n
j j j x a x S 0
)
()(ϕ由的函数为拟合系数),,1,0(n j a j =可知
因此可假设
01(,,,)n F a a a 2
(())
m
n
j j i i i j a x f ϕ===-∑∑因此求最小二乘解转化为
二次函数
四、加权最小二乘法
(,)(0,1,,)
i i x f i m = 对于一组给定的数据点(,)(0,1,,)i i x f i m = 在拟合的数据点中
各点的重要性可能是不一样的
()(,)0,1,,i i i i x x f i m
ρρ= 假设=表示数据点的权(或权重),权:
即权重或者密度，统称为权系数.
定义加权平方误差为
222
m i i i δ
ρδ==∑2
(())
m
i i i i S x f ρ==-∑-----(9)
6.3 连续函数的最佳平方逼近
§0102
**2
22
*
[,],{,,,}[,].
(),()();
()[()()]()[()()]()().min n n
i i i b a b a S f C a b span C a b S x S x a x f S x f x S x dx x f x S x dx S x f x ϕϕϕϕρρ=∈Φ∈Φ=⊂∀∈Φ=-=-=-∑⎰⎰ 设为的最佳平方逼近1. 最佳平方逼近问题
-----(14)
0(,)(,)(,)()()()(,)()()()0,1,,x n k i i k k i b k i k i a b k k k a a f d x x x dx d f x f x x dx
k n
G d
ϕϕϕϕϕρϕϕϕρϕ=⎧==⎪⎪⎪=⇒⎨⎪==⎪⎪=⎩⇒=∑⎰⎰ ⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛),(),(),(01000n ϕϕϕϕϕϕ ),(),(),(11101n ϕϕϕϕϕϕ ),(),(),(10n n n n ϕϕϕϕϕϕ G =
最小二乘法方法评注
曲线拟和的最小二乘法是实验数据处理的常用方法。
最佳逼近可以在一个区间上比较均匀的逼近函数且具有方法简单易行，实效性大，应用广泛等特点。
但当法方程组阶数较高时，往往出现病态。
因此必须谨慎对待和加以巧妙处理。
有效方法之一是引入正交多项式以改善其病态性。
指数模型和双曲线模型-----线性化拟合
超定方程组的最小二乘解
See you next chapter!
《应用数值分析》复习题：
例题 3.2.2；
习题 3.1、3.6、3.9。