清华第五版数值分析第4章课件
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数值分析第4章(2)
~ 4.3 ^ SOR S “ { § S 4.3 (msor.m) ) ‚ 5 • § |
12/14
0.76 −0.01 −0.14 −0.16 x1 −0.01 0.88 −0.03 0.05 x 2 −0.14 −0.03 1.01 −0.12 x3 −0.16 0.05 −0.12 0.72
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“g ê N , ˜ k := 0.
(2) d ª (4.16) ½ ª (4.18) O Ž x(k+1). (3) e b − Ax(k+1) / b
C q ).
ε, K Ê Ž, Ñ Ñ x(k+1) Š • • § |
(4) ˜ x(k) := x(k+1), k := k + 1, = Ú ½ (2).
(I − ω D −1L)x(k+1) = [(1 − ω )I + ω D −1U ]x(k) + ω D −1b,
=
9/14
(D − ω L)x SOR S “
(k +1)
= [(1 − ω )D + ω U ]x
(k )
+ ω b.
OŽ‚ª•
x(k+1) = (D − ω L)−1 [(1 − ω )D + ω U ]x(k) + ω b ,
Š â Ž { 4.3, ? › MATLAB § S X e.
11/14
• SOR S “ { MATLAB § S %§ S4.3--msor.m function [x,iter]=msor(A,b,omega,x,ep,N) if nargin<6, N=500; end if nargin<5, ep=1e-6; end if nargin<4, x=zeros(size(b)); end if nargin<3, omega=1.2; end
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0.76 −0.01 −0.14 −0.16 x1 −0.01 0.88 −0.03 0.05 x 2 −0.14 −0.03 1.01 −0.12 x3 −0.16 0.05 −0.12 0.72
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“g ê N , ˜ k := 0.
(2) d ª (4.16) ½ ª (4.18) O Ž x(k+1). (3) e b − Ax(k+1) / b
C q ).
ε, K Ê Ž, Ñ Ñ x(k+1) Š • • § |
(4) ˜ x(k) := x(k+1), k := k + 1, = Ú ½ (2).
(I − ω D −1L)x(k+1) = [(1 − ω )I + ω D −1U ]x(k) + ω D −1b,
=
9/14
(D − ω L)x SOR S “
(k +1)
= [(1 − ω )D + ω U ]x
(k )
+ ω b.
OŽ‚ª•
x(k+1) = (D − ω L)−1 [(1 − ω )D + ω U ]x(k) + ω b ,
Š â Ž { 4.3, ? › MATLAB § S X e.
11/14
• SOR S “ { MATLAB § S %§ S4.3--msor.m function [x,iter]=msor(A,b,omega,x,ep,N) if nargin<6, N=500; end if nargin<5, ep=1e-6; end if nargin<4, x=zeros(size(b)); end if nargin<3, omega=1.2; end
数值分析第四章课件
xk
1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242
f (xk)的符号
+ + + -
14
f ( x0 ) f ( x0 h ) 0
那么所求的根x*必在x0与x0+h之间，这里可取x0或x0+h作为根 的初始近似。
4
例1：考察方程 f ( x) x3 x 1 0 注意到f (0)< 0, f (+)>0，知f (x)至少有一个 正的实根。 设从x = 0出发，取h = 0.5为步长向右进行 根的扫描，下表记录各个结点上函数值的符号， 我们发现，在区间（1, 1.5）内必有实根，因此可 取x0 = 1或x0 = 1.5作为根的初始近似值。
第四章 方程求根
§4.1 二分法 §4.2 迭代法 §4.3牛顿法 §4.4弦截法
1
我们很熟悉一次、二次代数方程以及某些特殊的高 次方程或超越方程的解法。这些方法都是代数解法， 也是精确法。但在实际中，有许多方程问题无法求出 公式解。例如超越方程
tgx x 0 0.25 tgx 4.8889 sin x 0
9
由于
1 xk x (bk a k ) bk 1 a k 1 2
*
（1）
只要有根区间[ak+1, bk+1]的长度小于预先给定的误差， 那么就可以取
xk 1 1 ( ak bk ) 2
作为所求根x*的第k+1次近似值。其误差估计为： 1 * x xk 1 k 1 ( b a ) 2 综上所述，设f (x)在[a, b]上存在一阶导数且不变号， 如果f (a)f (b)＜0，则由（1）所知，当k时， x* - xk0，即xkx*。
数值分析第四章
考察其代数精度。
f(x)
解：逐次检查公式是否精确成立
代入 P0 = 1：ab1dx梯b形a公=式b2a[11] f(a)
f(b)
代入
P1
=
x
：
b
xdx
a
b2
a2 2
=
b2a[ab]
a
b
代入
P2
=
x2
：b a
x2dx
b3a3 3
b2a[a2 b2]
代数精度 = 1
10
n
注：形如 Ak f (xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度 该
………………
23
< ?
R1 = T3(0)
➢ 理查德森外推法 /* Richardson外推法 */
利用低阶公式产生高精度的结果。 i 与 h 无关
设对于某一 h 0，有公式 T0(h) 近似计算某一未知值 I。由
Taylor展开得到： T0(h) I = 1 h + 2 h2 + 3 h3 + …
项式
n
Ln(x)f
(xk)lk(，x)即得到
k0
b
n
b
f(x)dx
a
f(xk)alk(x)dxAk
k0
误差 R[ f ]
b
n
f ( x )dx a
Ak f ( xk )
k0
b
b
b
Ak a
jk
(xxj ) (xkxj )
d
x由与节f (点x)
决定， 无关。
[
a
f
(x)
Ln ( x )]dx
是精确的，但对m次1多项式不精确，则称（1） 具有 m次代数精度。
清华第五版数值分析第4章课件
3! 0
3
3
6
72
R[ f ] 1 f ''' ()
72
收敛性定义
在 b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
k 0
中，若
n
b
limn,h0 Ak f (xk ) a f (x)dx
k 0
则称求积公式是收敛的。
稳定性定义
• 设 f (xk ) %fk k
a (x xk ) dx k0
xk
x0 jh,
x x0 th R[ f ] hn2
n 0
n
(t k)dt
k0
n even, n/2 integer, let t u n / 2, we have
R[ f ] hn2 n/2 n (u n / 2 k) du 0 n/2 k0
第四章 数值积分和数值微分
为什么要数值积分？
Newton-Leibniz 公式：
b a
f
(x)dx
F ( x)
b a
F (b)
F (a)
其中， F (x)是被积函数 f (x)的原函数。
要求被积函数f(x) ☞ 有解析表达式；
☞ f(x)的原函数F(x)为初等函数．
问题
1) f(x)没有解析表达式，只有数表形式 e.g. x 1 2 3 4 5
若求积公式代数精度为 m ，则可设
R( f )
b
f (x)dx
a
n
Ak f (xk ) Kf (m1) ()
k 0
求出K即可。K不依赖于函数f。令 f (x) xm1
数值分析(清华大学第五版) 第四章数值积分和微分
b
a
l j ( x)dx ( x x j -1 )( x x j 1 ) ( x x j 1 )( x x j 1 ) ( x xn ) ( x j xn )
dx
作变量代换， x a th ，则
n t (t 1) h (t j 1)(t j 1) (t n) 上式 dt b a 0 j ( j 1) 1(1) ( j n) 1 n t (t 1) (t j 1)(t j 1) (t n) dt n 0 j ( j 1) 1 (1) ( j n)
该积分仅与 n 有关，与 a, b, f ( x) 无关.
③ 设 n 1 个线性无关的次数 n 的多项式为 e0 ( x), 等距结点 x0 ,
过同样 , en ( x) ，
, xn , 对每一个 ei ( x) 利用 Newton Cotes 公式求积，且积分
余项均为零．即有
n b 1 b a a e0 ( x) dx c j e0 ( x j ) j 0 n 1 b e1 ( x)dx c j e( x j ) a （1） b a j 0 n b 1 b a a en ( x)dx c j en ( x j ) j 0
, n) ，
又设过该结点的次数 n 的 Lagrange插值多项式
P( x) f ( x j )l j ( x) ，
j 0
n
余项
f ( ) R( x) ( x) . (n 1)!
( n 1)
代数精确度
b n
定义 设求积公式 f ( x)dx A j f ( x j ) R(a, b, f ) ．
数值分析第四章4-1
2011-10-31
2
引例与问题综述(续)
表4.1.1 函数表
x f(x)
x0 f(x0)
x1 f(x1)
… …
xn f(xn)
2011-10-31
3
引例与问题综述(续)
• • •
需要通过这组实验观测数据 (xi , yi ) (i =0, 1,2,…, n) 揭示自变量x与因变量y之间的关系。 一般地，可以用一个近似的函数关系式y = f(x)来表示 自变量x与因变量y之间的关系。 函数 f(x) 的产生办法因观测数据与要求的不同而异， 通常可采用两种方法：插值与数据拟合。
2011-10-31
20
2．如果给定的数据是大量的测试或统计的结果，并不是 必须严格遵守的，而是起定性地控制作用的，那么宜选用数据 拟合的方法。这是因为，一方面测试或统计数据本身往往带有 测量误差，如果要求所得的函数与所给数据完全吻合，就会使 所求函数保留着原有的测量误差；另一方面，测试或统计数据 通常很多，如果采用插值方法，不仅计算麻烦，而且逼近效果 往往较差。
2011-10-31
4
一、引例 引例1 海水温度问题 已经测得在北纬 32.3° 海洋不同深度处的温度如下表：
表4.1.2 海水温度表
深度x (m) 水温y (C°)
466 7.04
714 4.28
950 3.40
1422 2.54
1634 2.13
根据这些数据，我们希望能合理地估计出其它深度（如 500米、 600米、1000米…）处的水温。 解决这个问题，可以通过构造一个与给定数据相适应的函数来 解决，这是一个被称为插值的问题。
2011-10-31
21
问题综述（续）
高教社2024高等数学第五版教学课件-4.3 分部积分法
例1 求 න
解
) ( = ′ = − )(′
= − න
= + + .
注 例1如果采用下面的方法，即
2
2 ′
2
න = න ∙ ( ) = − න()′ ∙
1
1
2
1) ]+
2 1+(2+1)2
1
2
1) ]+ arctan
2
1
[ 1
4
2 +
+ (2 + 1)2 ] + .
解法二(先用换元法,再用分部积分法,最后再使用凑微分)
令 = 2 + 1， =
−1
，则
2
−1
න 2 + 1 = න (
∴
= 2
(
− 2 + 2) + .
例10 求 න(2 + 1)
解法一(先用分部积分法,再用第一类换元法——凑微分)
( 2 + 1) = (2 + 1)-( 2 + 1)
2
= 2 + 1 − න
解
2 = 2 ( )
= 2 − න ( 2 ) = 2 − 2 න
= 2 + 2 න ( ) = 2 + 2( − )
= − + .
例3 求
解 令 = , = =
2
,
2
课件-数值分析(第五版)1-3章
2017/3/12
x x
f ( x) f ( x* ) f ( x)
x x
xf ( x) f ( x)
C p 10 即认为是病态
f ( x) x n
9 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
2. 算法的数值稳定性 定义3 一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误 差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定 的。 例1.1：P.９ I n e
x 0.003
y 1
2017/3/12
1000
1.00314 , y * 1.003
6 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
注: 有效位数与小数点后有多少位无关； m相同情况下，有效位数越多，误差限越小； 相对误差及相对误差限是无量纲的，绝对误差及误差限是有量纲的。
数值计算 算法设计
数学软件
1.1 数值分析的对象、作用与特点
1 研究对象
用计算机求解数学问题的数值计算方法、理论及软件实现
实际问题 数学模型 数值计算方法 程序设计（数学软件） 上机计算求出结果
应用数学
计算数学即数值分析
数值分析（计算方法） 插值与函数逼近（2、3）数值微分与数值积分（4） 的研究对象
第一章习题
1, 5,７,12,1４
谢
谢 !
2017/3/12
14 第1章 数值分析与科学计算引论
第2章 插值法
引言
拉格朗日（Lagrange）插值 均差与牛顿（Newton）插值 埃尔米特（Hermite）插值 分段低次插值 三次样条插值
x x
f ( x) f ( x* ) f ( x)
x x
xf ( x) f ( x)
C p 10 即认为是病态
f ( x) x n
9 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
2. 算法的数值稳定性 定义3 一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误 差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定 的。 例1.1：P.９ I n e
x 0.003
y 1
2017/3/12
1000
1.00314 , y * 1.003
6 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
注: 有效位数与小数点后有多少位无关； m相同情况下，有效位数越多，误差限越小； 相对误差及相对误差限是无量纲的，绝对误差及误差限是有量纲的。
数值计算 算法设计
数学软件
1.1 数值分析的对象、作用与特点
1 研究对象
用计算机求解数学问题的数值计算方法、理论及软件实现
实际问题 数学模型 数值计算方法 程序设计（数学软件） 上机计算求出结果
应用数学
计算数学即数值分析
数值分析（计算方法） 插值与函数逼近（2、3）数值微分与数值积分（4） 的研究对象
第一章习题
1, 5,７,12,1４
谢
谢 !
2017/3/12
14 第1章 数值分析与科学计算引论
第2章 插值法
引言
拉格朗日（Lagrange）插值 均差与牛顿（Newton）插值 埃尔米特（Hermite）插值 分段低次插值 三次样条插值
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k 0
I n ( % Ak %, f) fk
k 0
n
对任给 0, 若存在 0，只要 f) 就有 | I n ( f ) I n ( % | 则称求积公式是稳定的。
max 0k n | f ( xk ) %| f
• 定理：若 Ak 0 证明
，
n
(t k ) dt
n even, n/2 integer, let t u n / 2, we have R[ f ] hn2
n/2 n n / 2
(u n / 2 k ) du 0
k 0
因为被积函数为奇函数。
梯形公式的余项
• 定理 若f(x) C2[a,b] ,则梯形公式余项为
xk
(k 0,L , m)
Ak b a, k 0 m 1 2 Ak xk (b a 2 ) L 2 k 0 m 1 m Ak xk (b m 1 a m 1 ), m 1 k 0
• 2）若系数和节点都不确定，则解关于 xk 和 Ak (k 0,L , m) 的非线性方程 组。 • 3）用简单函数的积分代替被积函数的积分。
Cotes系数性质:
(1) 对称性,即
( ( Ck n ) Cnn )k
(2) Cotes系数之和等于1,即
( Ck n ) 1 k 0 n
证明：令 f ( x) 1 代人求积公式俩边得 到。 3）当 n 8 柯特思系数出现负值。
• 对于n阶的Newton-Cotes求积公式
2） l ( x)dx k
a
b
A l (x ) A
j 0 j k j
n
k
求积公式的余项，收敛性，稳定性
若求积公式代数精度为
b n
m
，则可设
R( f ) f ( x)dx Ak f ( xk ) Kf ( m1) ( )
a k 0
求出K即可。K不依赖于函数f。令 f ( x) xm1 n b 得到 1 m 1 m 1
0 x 3 dx A0 A2 0
1 1
1
1
x 4 dx
2 2 1 [( 1) 4 4 0 14 ]. 5 3 3
所以该求积公式具有3次代数精度。
容易验证: • 梯形公式 • 中矩形公式
1 次代数精度 1 次代数精度
求积公式的构造
• 1）若已经选定求积节点 则解线性方程组 m
余项
解：1）确定代数精度是2. 2）设 f ( x) x3 3）令 R[ f ] kf ''' ( ) 求得
1 1 3 2 1 1 ' 1 k ( x dx ( f (0) f (1) f (0))) 3! 0 3 3 6 72
1 ''' R[ f ] f ( ) 72
则
( Ak (b a)Ck n )
于是 有求积分公式
a
b
( f ( x)dx (b a) Ck n ) f k k 0
n
(2)
称为n阶牛顿 柯特斯(Newton- Cotes)公式 C(kn ) 称为Cotes系数 ， .
C
(n) k
n n (1)n k 0 (t i)dt (k 0,1,L , n) n k !(n k )! i 0 ik
k ( m 1)! ( x
a
dx Ak xk
k 0
)
n 1 1 ( (b m 2 a m 2 ) Ak xkm 1 ) ( m 1)! m 2 k 0
• 梯形公式余项
1 1 3 3 ba 2 1 2 k ( (b a ) (a b )) (b a)3 2 3 2 12
RT [ f ]
b
a
ba (b a)3 f ( x)dx [ f (a) f (b)] f ( ) 2 12
[a, b]
Simpson公式的余项
• 定理 为 若f(x) C4[a,b] ,则Simpson公式余项
ba ab f ( x)dx f (a) 4 f ( 2 ) f (b) 6
收敛性定义
在
b
a
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n
中，若 limn,h0 Ak f ( xk ) f ( x)dx a
b k 0
n
则称求积公式是收敛的。
稳定性定义
• 设
f ( xk ) % k fk
n
I n ( f ) Ak f ( xk ),
1 3 '' R[ f ] (b a) f ( ) 12
• 中矩形公式余项
1 1 3 ab 2 (b a)3 k ( (b a 3 ) (b a)( ) ) 2 3 2 24
(b a)3 '' R[ f ] f ( ) 24
• 例：求 0
1
2 1 1 ' f ( x)dx f (0) f (1) f (0) 3 3 6
解决办法
1)
b
a
f ( x)dx f ( )(b a)
我们用不同的办法近似 f ( ) 可得到不同的 积分公式。 2）用简单曲线的积分代替复杂曲线的积分。
求积公式举例
1）梯形公式
b
a
1 f ( x)dx (b a)( f (a) f (b)) 2
1 f ( ) ( f (b) f (a)) 2
• 例 设有求积公式
1
1
f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
求A0，A1，A2，使其代数精度尽量高，并问此时求积公 式的代数精度 • 解：（3个未知系数需三个方程） 令求积公式分别对f(x) = 1、x、x2准确成立。即
2 1dx A0 A1 A2
将区间 [a,b]分成 n等分,步长 h b a ,
特殊的求积公式——Newton-Cotes公式
x a时t 0; x b时t n。 因此
n n t i x xi Ak lk ( x)dx dx h dt a a 0 i 0 xk xi i 0 k i b b n ik ik
b
a
f ( x)dx Ln dx I n
a
b a
b
Ak lk ( x)dx,
(k 0,L , )
定理 求积公式至少具有 n 次代数精度的充分必 要条件是它是插值型的。
证明：1） ( f ) ( f ( x) Ln ( x))dx R
a b b a
f ( n 1) ( ) wn 1 ( x)dx (n 1)!
k 0
n
xk 求积节点，Ak 求积系数，也称为节点 xk 的
权，权仅与节点的选取有关，不依赖于被积函数 的具体形式。 这种数值积分方法称为机械求积，特点是积 分问题转变为被积函数值的计算。
求积公式的代数精度 • 定义 若求积公式对所有次数不超过 m 的代数多项 式都精确成立，而对于某个 m+1次多项式不能精确 成立，则称此求积公式具有m次代数精度. • 上述定义等价于：若求积公式对 f(x)=1,x,x2,…,xm 均 精确成立，而对 f(x)=xm+1 不精确成立,则称此求积公 式具有 m 次代数精度. • 求积公式的代数精度概念是衡量公式逼近好坏的标 准之一.
第四章
数值积分和数值微分
为什么要数值积分？
Newton-Leibniz 公式：
b
a
f ( x)dx F ( x) b F (b) F (a) a
f ( x ) 的原函数。
其中， F ( x ) 是被积函数
要求被积函数f(x)
☞ 有解析表达式； ☞ f(x)的原函数F(x)为初等函数．
例1 判别下列求积公式的代数精度
1 1 f x dx 2 f 1 2 f 0 f 1
1
例2 试确定一个具有3次代数精度的公式
f x dx A f 0 A f 1 A f 2 A f 3
3 0 0 1 2 3
2）中矩形公式
b
a
ab f ( x)dx (b a) f ( ) 2
ab f ( ) f ( ) 2
3）一般公式
b
a
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n
f ( )
A
k 0
n
k
f ( xk )
ba
b
a
f ( x)dx Ak f ( xk )
问题
1) f(x)没有解析表达式，只有数表形式
e.g.
x f(x)
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
2) f(x)有表达式，但原函数不是初等函数 sin x e.g.， x dx
e dx
2
x
它们的原函数都不是初等函数。
3) f ( x ) 本身形式并不复杂，而原函数 F ( x ) 推导 十分冗长，且表达式复杂，给计算结果带来十分不 便。
• 当n=1时， Newton-Cotes公式(2)为梯形公式
b
a
ba f ( x)dx [ f (a) f (b)] T 2
• 当n=２时， Newton-Cotes公式(2)为辛普森 （Simpson）公式
I n ( % Ak %, f) fk
k 0
n
对任给 0, 若存在 0，只要 f) 就有 | I n ( f ) I n ( % | 则称求积公式是稳定的。
max 0k n | f ( xk ) %| f
• 定理：若 Ak 0 证明
，
n
(t k ) dt
n even, n/2 integer, let t u n / 2, we have R[ f ] hn2
n/2 n n / 2
(u n / 2 k ) du 0
k 0
因为被积函数为奇函数。
梯形公式的余项
• 定理 若f(x) C2[a,b] ,则梯形公式余项为
xk
(k 0,L , m)
Ak b a, k 0 m 1 2 Ak xk (b a 2 ) L 2 k 0 m 1 m Ak xk (b m 1 a m 1 ), m 1 k 0
• 2）若系数和节点都不确定，则解关于 xk 和 Ak (k 0,L , m) 的非线性方程 组。 • 3）用简单函数的积分代替被积函数的积分。
Cotes系数性质:
(1) 对称性,即
( ( Ck n ) Cnn )k
(2) Cotes系数之和等于1,即
( Ck n ) 1 k 0 n
证明：令 f ( x) 1 代人求积公式俩边得 到。 3）当 n 8 柯特思系数出现负值。
• 对于n阶的Newton-Cotes求积公式
2） l ( x)dx k
a
b
A l (x ) A
j 0 j k j
n
k
求积公式的余项，收敛性，稳定性
若求积公式代数精度为
b n
m
，则可设
R( f ) f ( x)dx Ak f ( xk ) Kf ( m1) ( )
a k 0
求出K即可。K不依赖于函数f。令 f ( x) xm1 n b 得到 1 m 1 m 1
0 x 3 dx A0 A2 0
1 1
1
1
x 4 dx
2 2 1 [( 1) 4 4 0 14 ]. 5 3 3
所以该求积公式具有3次代数精度。
容易验证: • 梯形公式 • 中矩形公式
1 次代数精度 1 次代数精度
求积公式的构造
• 1）若已经选定求积节点 则解线性方程组 m
余项
解：1）确定代数精度是2. 2）设 f ( x) x3 3）令 R[ f ] kf ''' ( ) 求得
1 1 3 2 1 1 ' 1 k ( x dx ( f (0) f (1) f (0))) 3! 0 3 3 6 72
1 ''' R[ f ] f ( ) 72
则
( Ak (b a)Ck n )
于是 有求积分公式
a
b
( f ( x)dx (b a) Ck n ) f k k 0
n
(2)
称为n阶牛顿 柯特斯(Newton- Cotes)公式 C(kn ) 称为Cotes系数 ， .
C
(n) k
n n (1)n k 0 (t i)dt (k 0,1,L , n) n k !(n k )! i 0 ik
k ( m 1)! ( x
a
dx Ak xk
k 0
)
n 1 1 ( (b m 2 a m 2 ) Ak xkm 1 ) ( m 1)! m 2 k 0
• 梯形公式余项
1 1 3 3 ba 2 1 2 k ( (b a ) (a b )) (b a)3 2 3 2 12
RT [ f ]
b
a
ba (b a)3 f ( x)dx [ f (a) f (b)] f ( ) 2 12
[a, b]
Simpson公式的余项
• 定理 为 若f(x) C4[a,b] ,则Simpson公式余项
ba ab f ( x)dx f (a) 4 f ( 2 ) f (b) 6
收敛性定义
在
b
a
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n
中，若 limn,h0 Ak f ( xk ) f ( x)dx a
b k 0
n
则称求积公式是收敛的。
稳定性定义
• 设
f ( xk ) % k fk
n
I n ( f ) Ak f ( xk ),
1 3 '' R[ f ] (b a) f ( ) 12
• 中矩形公式余项
1 1 3 ab 2 (b a)3 k ( (b a 3 ) (b a)( ) ) 2 3 2 24
(b a)3 '' R[ f ] f ( ) 24
• 例：求 0
1
2 1 1 ' f ( x)dx f (0) f (1) f (0) 3 3 6
解决办法
1)
b
a
f ( x)dx f ( )(b a)
我们用不同的办法近似 f ( ) 可得到不同的 积分公式。 2）用简单曲线的积分代替复杂曲线的积分。
求积公式举例
1）梯形公式
b
a
1 f ( x)dx (b a)( f (a) f (b)) 2
1 f ( ) ( f (b) f (a)) 2
• 例 设有求积公式
1
1
f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
求A0，A1，A2，使其代数精度尽量高，并问此时求积公 式的代数精度 • 解：（3个未知系数需三个方程） 令求积公式分别对f(x) = 1、x、x2准确成立。即
2 1dx A0 A1 A2
将区间 [a,b]分成 n等分,步长 h b a ,
特殊的求积公式——Newton-Cotes公式
x a时t 0; x b时t n。 因此
n n t i x xi Ak lk ( x)dx dx h dt a a 0 i 0 xk xi i 0 k i b b n ik ik
b
a
f ( x)dx Ln dx I n
a
b a
b
Ak lk ( x)dx,
(k 0,L , )
定理 求积公式至少具有 n 次代数精度的充分必 要条件是它是插值型的。
证明：1） ( f ) ( f ( x) Ln ( x))dx R
a b b a
f ( n 1) ( ) wn 1 ( x)dx (n 1)!
k 0
n
xk 求积节点，Ak 求积系数，也称为节点 xk 的
权，权仅与节点的选取有关，不依赖于被积函数 的具体形式。 这种数值积分方法称为机械求积，特点是积 分问题转变为被积函数值的计算。
求积公式的代数精度 • 定义 若求积公式对所有次数不超过 m 的代数多项 式都精确成立，而对于某个 m+1次多项式不能精确 成立，则称此求积公式具有m次代数精度. • 上述定义等价于：若求积公式对 f(x)=1,x,x2,…,xm 均 精确成立，而对 f(x)=xm+1 不精确成立,则称此求积公 式具有 m 次代数精度. • 求积公式的代数精度概念是衡量公式逼近好坏的标 准之一.
第四章
数值积分和数值微分
为什么要数值积分？
Newton-Leibniz 公式：
b
a
f ( x)dx F ( x) b F (b) F (a) a
f ( x ) 的原函数。
其中， F ( x ) 是被积函数
要求被积函数f(x)
☞ 有解析表达式； ☞ f(x)的原函数F(x)为初等函数．
例1 判别下列求积公式的代数精度
1 1 f x dx 2 f 1 2 f 0 f 1
1
例2 试确定一个具有3次代数精度的公式
f x dx A f 0 A f 1 A f 2 A f 3
3 0 0 1 2 3
2）中矩形公式
b
a
ab f ( x)dx (b a) f ( ) 2
ab f ( ) f ( ) 2
3）一般公式
b
a
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n
f ( )
A
k 0
n
k
f ( xk )
ba
b
a
f ( x)dx Ak f ( xk )
问题
1) f(x)没有解析表达式，只有数表形式
e.g.
x f(x)
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
2) f(x)有表达式，但原函数不是初等函数 sin x e.g.， x dx
e dx
2
x
它们的原函数都不是初等函数。
3) f ( x ) 本身形式并不复杂，而原函数 F ( x ) 推导 十分冗长，且表达式复杂，给计算结果带来十分不 便。
• 当n=1时， Newton-Cotes公式(2)为梯形公式
b
a
ba f ( x)dx [ f (a) f (b)] T 2
• 当n=２时， Newton-Cotes公式(2)为辛普森 （Simpson）公式