数值分析第五版李庆扬王能超课件第4章(1)
数值分析第五版李庆扬王能超课件第3章(2)
复化求积公式
h2 h2 6 上例中若要求 | I Tn | 10 ，则 | Rn [ f ] | | f (1) f (0) | 10 12 6
6
h 0.00244949 即：取 n = 409
通常采取将区间不断对分的方法，即取 n = 2k 可用来判断迭代 上例中2k 409 k = 9 时，T512 = 3.14159202 是否停止。 2 1 h 1 注意到区间再次对分时 R2 n [ f ] [ f (b) f (a )] Rn [ f ]
Romberg
T1 = T0( 0 )
<?
算法： T4 = T0( 2 )
T8 = T0
(3)
T2 = T0( 1 )
S1 = T1( 0 )
S2 = T1 S4 = T1
(1) (2)
<?
C1 = T2 C2 = T2
(0) (1)
<?
………………
R1 = T3
第二讲
§1. 复化求积公式
§2. 龙贝格求积公式
高次插值有Runge 现象，故采用分段低 次插值
分段低次合成的 Newton-Cotes 复 合求积公式。
§ 1. 复化求积公式 § 1.拉格朗日插值
2.1 复化梯形公式 1.1 拉格朗日插值
1.2 复化辛普森公式
1.1 复化梯形公式
ba 复合梯形公式： h , xk a k h n
4T2 n Tn 4 1 T2 n Tn 来计算 I 效果是否好些？ 4 1 3 3 Romberg 序列
4 1 T8 T4 = 3.141592502 = S 4 3 3 4T2 n Tn 42 S2n Sn Sn 一般有： Cn 2 41 4 1
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)第一章：数值分析导论1. 解答：数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学科。
它包括了从数学理论到计算实现的一系列技术。
数值分析的目标是通过近似的方式求解数学问题，其结果可能不是完全精确的，但是能够满足工程或科学应用的要求。
2. 解答：数值分析在实际应用中起着重要的作用。
它可以用于求解复杂的数学方程、计算机模拟及建模、数据的统计分析等等。
数值分析是科学计算和工程计算的基础，对许多领域都有着广泛的应用，如物理学、经济学、生物学等。
3. 解答：数值方法指的是使用数值计算的方式来求解数学问题。
与解析方法相比，数值方法一般更加灵活和高效，可以处理一些复杂的数学问题。
数值方法主要包括了数值逼近、插值、数值积分、数值微分、线性方程组的求解、非线性方程的求根等。
4. 解答：计算误差是指数值计算结果与精确解之间的差异。
在数值计算中，由于计算机的有限精度以及数值计算方法本身的近似性等因素，都会导致计算误差的产生。
计算误差可以分为截断误差和舍入误差两种。
第二章：数值误差分析1. 解答：绝对误差是指实际值与精确值之间的差异。
例如，对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其绝对误差为| x - x_0 |。
绝对误差可以衡量数值近似解的精确程度，通常被用作评估数值计算方法的好坏。
2. 解答：相对误差是指绝对误差与精确解之间的比值。
对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其相对误差为| (x - x_0) / x_0 |。
相对误差可以衡量数值近似解相对于精确解的精确度，常用于评估数值计算方法的收敛速度。
3. 解答：舍入误差是由于计算机的有限精度而引起的误差。
计算机中使用的浮点数系统只能表示有限的小数位数，因此在进行数值计算过程中，舍入误差不可避免地会产生。
舍入误差会导致计算结果与精确结果之间存在差异。
4. 解答：误差限度是指对于给定的数值计算问题，所能容忍的误差范围。
清华第五版数值分析第4章课件
3! 0
3
3
6
72
R[ f ] 1 f ''' ()
72
收敛性定义
在 b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
k 0
中，若
n
b
limn,h0 Ak f (xk ) a f (x)dx
k 0
则称求积公式是收敛的。
稳定性定义
• 设 f (xk ) %fk k
a (x xk ) dx k0
xk
x0 jh,
x x0 th R[ f ] hn2
n 0
n
(t k)dt
k0
n even, n/2 integer, let t u n / 2, we have
R[ f ] hn2 n/2 n (u n / 2 k) du 0 n/2 k0
第四章 数值积分和数值微分
为什么要数值积分？
Newton-Leibniz 公式：
b a
f
(x)dx
F ( x)
b a
F (b)
F (a)
其中， F (x)是被积函数 f (x)的原函数。
要求被积函数f(x) ☞ 有解析表达式；
☞ f(x)的原函数F(x)为初等函数．
问题
1) f(x)没有解析表达式，只有数表形式 e.g. x 1 2 3 4 5
若求积公式代数精度为 m ，则可设
R( f )
b
f (x)dx
a
n
Ak f (xk ) Kf (m1) ()
k 0
求出K即可。K不依赖于函数f。令 f (x) xm1
数值分析全册完整课件
算法基本结构：顺序，分支，循环
算法描述：程序或流程图
常采用的处理方法：
构造性方法 离散化方法 递推化方法 迭代法 近似替代方法 以直代曲法 化整为零的处理方法 外推法
数学基础：
微积分的若干定理： 罗尔定理和微分中值定理； 介值定理及推论； 泰勒公式（一元、二元）； 积分中值定理；
设y=f(x)为一元函数，自变量准确值x*，对应函数准确 值y*=f(x*)，x误差为e(x)，误差限为ε(x)，函数近似值 误差e(y)，误差限为ε(y)。则（可由Taylor公式推得）
( y) | f '(x) | (x)
r
(
y)
|
xf |f
'(x) (x) |
|
r
(
x)
对于多元函数 z f (x1, x2 ,, xn )
定义1.1 设x*为某一数据的准确值，x为x*的一个近 似值，称e(x)=x-x*(近似值－准确值)为近似值x的绝对 误差，简称误差。
e(x) 可正可负，当e(x) >0时近似值偏大，叫强近似值；当e(x) <0时近似值偏小，叫弱近似值。
由于x*通常无法确定，只能估计其绝对误差值 不超过某整数ε(x)，即
设准确值
z* f (x1*, x2*,, xn* )
由多元函数Taylor公式，可得误差估计：
n
(z)
k 1
f xk
(xk )
相对误差限为：
r (z)
n k 1
xk
f xk
r (xk )
z
2. 算术运算的误差估计：
李庆扬-数值分析第五版第4章习题答案(20130714)
第4章
复习与思考题
习题 1、给出计算积分的梯形公式及中矩形公式，说明它们的几何意义。
(1)
1 0
4
x x2
dx,
n
8
梯形公式
n6
Tn
h[ 2
f
(a)
n1
2
k 1
f
(xk )
f
(b)]
n8
,所以 xk
k 8
,k
0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8
f (x0 ) 0 f (x1) 0.0311 f (x2 ) 0.0615 f (x3) 0.0906 f (x4 ) 0.1176 f (x5 ) 0.1423 f (x6 ) 0.1644 f (x7 ) 0.1836 f (x8 ) 0.200
使得在满足精度前提下积分计算工作量尽可能小，针对这类问题的算法技巧是在不同区间上 预测被积函数变化的剧烈程度确定响应步长。就是自动求积的一般步骤。
12、怎样利用标准的一维求积公式计算矩形域上的二重积分
基本原则：累次积分。
多重积分的辛普森公式：
bd
a c f (x, y)dydx
k[ 6
h n1
n1
n1
S2
6
[f
k 0
(a) 4
k 0
f
(xk1/2 ) 2
k 1
f
(xk )
f
(b)]
数值分析第五版_李庆扬
数值分析第五版_李庆扬数值分析第五版_李庆扬一、课程基本信息课程中文名称：数值分析课程英文名称：Numerical Analysis课程类别：专业基础课开课学期：秋适用专业：信息与计算科学；应用数学总学时：86学时（其中理论课56学时，上机实习30学时）总学分：5（理论课3学分；上机实习2学分）预修课程（编号）：数学分析，高等代数，常微分方程课程简介：本课程是大学本科信息与计算科学和应用数学专业的一门基础课，也是工科研究生的必修课。
本课程的主要内容是研究各种数学问题的数值计算方法的设计、计算误差分析以及有关理论和具体实现的一门数学课程。
是应用数学的重要分支之一。
建议教材：《计算方法》（二版）（邓建中、刘之行），西安，西安交通大学出版社，2001 参考书：[1]数值分析学习指导，关治编，出版社：清华大学出版社，出版时间：2008年；[2]数值分析，何汉林，梅家斌，科学出版社，2007年；[3]《数值计算引论》白峰杉高等教育出版社 2005年[4]《数值分析》（第五版）李庆扬易大义等清华大学出版社2008年[5]Numerical Analysis，R.Kress，世界图书出版公司20036、数值分析学习辅导习题解析，李宏、徐长发编，华中科技大学出版社，2001年。
二、理论课程教育目标通过本课程的教学使学生能了解现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本理论，系统掌握数值分析的基本概念和分析问题、解决问题的基本方法，为运用数值分析的理论知识并为掌握更复杂的现代计算方法打好。
三、理论教学内容与要求（含学时）第一章：计算方法的一般概念（4学时）本章教学内容：理解计算方法的意义、研究内容与方法，理解并掌握误差的概念（包括误差的来源、绝对误差、相对误差），掌握有效数字及舍入误差对计算的影响。
第二章：解线性方程组的直接法（8学时）本章教学内容：1、高斯消去法；选主元的高斯消去法；2、矩阵的LR分解；解三对角方程组的追赶法；解方程组的平方根法；矩阵的求逆；3、方程组的数；病态方程组的判断。
《数值分析-李庆杨》第4章 数值积分与数值微分.ppt
题中都起了很大的作用,但它并不能完全解决定积分的
计算问题。因为定积分的计算常常会碰到以下三种情
《
况:
数 值
(1)被积函数f(x)的原函数F(x)不易找到。许多很简
分 析
单的函数,例如
》
sin x , 1 , ex2
x ln x
等,其原函数都不能用初等函数表示成有限形式。
第4章 数值积分与数值微分
(2)被积函数f(x)没有具体的解析表达式。其函数关 系由表格或图形表示,无法求出原函数。
n
Ak b a,
k0
n Ak xk
k0
1 (b2 2
a2 ),
(1.4)
《
n Ak xkm
k0
1 (bm1 m 1
am1).
数 值 分
如果我们事先选定求积节点xk，譬如，以区间[a,b] 的等距分点作为节点，这时取m=n求解线性方程组(1.4)
析 》
即可确定求积系数Ak，而使求积公式(1.3)至少具有n次 代数精度。
(3)尽管f(x)的原函数能表示成有限形式但其表达式
《 相当复杂。例如定积分
数 值 分
b dx
a 1 x4
析 》
1 的被积函数 1 x4 的原函数就比较复杂,从数值计算角
度来看,计算量太大。
第4章 数值积分与数值微分
如图4.1,若用左矩形近似地代替曲边梯形,则得到
左矩形公式
b
a f (x)dx (b a) f (a)
数
f (x) x2, 代入(1.4)式的第三式有
值
分 析 》
A0 x02
(bBiblioteka a)( ab)2 2
b
4
《数值分析-李庆杨》第4章 数值积分与数值微分-文档资料
(a
b).得到的求积公式就是中矩形公式。再令
数
f (x) x2, 代入(1.4)式的第三式有
值
分 析 》
A0 x02
(b
a)( a
b)2 2
b
a 4
(a2
b2)
b x2dx 1 (b3 a3 ),
a
3
说明中矩形公式对f (x) x2不精确成立，故它的代数精确度为1.
当f(x)=x2时(1.4)式的第三个式子不成立，因为
b a (a2 b2 ) b x2dx 1 (b3 a3).
2
a
3
故梯形公式(1.1)的代数精确度为1.
第4章 数值积分与数值微分
在方程组(1.4)中如果节点xi及系数Ai都不确定，那么方 程组(1.4)是关于xi及Ai(i=0,1,…,n)的2n+2个参数的非线性方 程组。此方程组当n>1时求解是很困难的，但当n=0及n=1的 情形还可通过求解方程组(1.4)得到相应的求积公式。
练习 设有求积公式
1
1 f (x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
试确定系数A0, A1, A2, 使上述求积公式的代数精度尽量高.
三、插值型求积公式
第4章 数值积分与数值微分
在n 1个互异节点a x0 x1 xn b上已知函数值f0,
A1
1（b a）.于是得 2
数 值
I ( f ) b f ( x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
分
析 这就是梯形公式(1.1),它表明利用线性方程组(1.4)推出的求积公式，
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y1
yi 1 yi h f ( xi , yi ) ( i 0, ... , n 1)
亦称为欧拉折线法
/* Euler’s polygonal arc method*/
2.1
欧拉方法
定义 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考 虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差 /* local
1.264911 1.341641
0.5
0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
1.435133
1.508966 1.580338 1.649783 1.717779 1.784770
1.416402
1.485956 1.552514 1.616475 1.678166 1.737867
1.414214
隐式欧拉公式
y i 1 y i h f ( x i 1 , yi 1 ) ( i 0, ... , n 1)
2.1
欧拉方法
注：
由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得
到，故称为隐式（后退） /* implicit */ 欧拉公式，而前 者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。
truncation error */。
定义 若某算法的局部截断误差为 O(hp+1)，则称该算法有 pding term */
欧拉法的局部截断误差：
Ri y( xi 1 ) yi 1 [ y( xi ) hy( xi ) h2 y( xi ) O( h3 )] [ yi hf ( xi , yi )]
一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。 隐式欧拉法的局部截断误差：
Ri y( xi 1 ) yi 1 h2 y( xi ) O( h3 )
2
即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。
2.２
梯形方法
梯形公式 /* trapezoid formula */
— 显、隐式两种算法的平均
第四章
常微分方程初值问题数值解法
/* Numerical Methods for Ordinary Differential Equations */
第一讲
§1. 引言
§2.简单的数值方法与基本概念
§1. 引言
考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */:
例：设初值问题 2x dy y y dx y (0) 1 试分别用Euler方法和改进的Euler方法求解，并与 精确解y 1 2 x 进行比较。 解： 取 h 0.1，计算x [0,1]上的结果，此时
2 xn ) Euler方法：yn 1 yn 0.1( yn yn
dy f ( x, y) dx y ( a ) y0 x [a , b ]
只要 f (x, y) 在[a, b] R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条 件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使 | f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) | L | y1 y2 | 对任意定义在 [a, b] 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述IVP存 在唯一解。
y i 1
h yi [ f ( xi , yi ) f ( xi 1 , yi 1 )] ( i 0, ... , n 1) 2
注：的确有局部截断误差 Ri y( xi 1 ) yi 1 O( h3 ) ， 即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。 但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到 迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。
, n 1) 为步长，通常采用等距节点， 节点间距 hi xi 1 xi (i 0, ...计算 yn+1时只用到前一点的 即取 hi = h (常数)。 计算 时用到前面k个点的 值y ，称为单步法．
值yn, yn-1,…, yn-k+1，称为k步法．
n+1 n
§2.简单的数值方法与基本概念 §1.拉格朗日插值
计算结果如下表 x
0 0.1
Euler法y
1.000000 1.000000
改进的Euler法y 精确解
1.000000 1.095909 1.000000 1.095445
0.2
0.3 0.4
1.191818
1.277438 1.358213
1.184097
1.266201 1.343360
1.183216
y i 1
h yi [ f ( x i , yi ) f ( x i 1 , yi 1 )] 2
y i 1
h yi f ( xi , yi ) f xi 1 , yi h f ( xi , yi ) 2
( i 0, ... , n 1)
注：此法亦称为预测-校正法 /* predictor-corrector method */。 可以证明该算法具有 2 阶精度，同时可以看到它是个单 步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将 看到，它的稳定性高于显式欧拉法。
2.1 2.1 拉格朗日插值 欧拉方法 2.1 2.2 拉格朗日插值 梯形方法
2.3
改进的欧拉方法
2.1
欧拉方法
欧拉方法 /* Euler’s Method */
欧拉公式：
向前差商近似导数
y( x0 ) y( x1 ) y( x0 ) h
记为
x0 x1
y( x1 ) y( x0 ) hy( x0 ) y0 h f ( x0 , y0 )
2
h2 2
y( xi ) O( h3 )
欧拉法具有 1 阶精度。
2.1
欧拉方法
欧拉公式的改进：
隐式(后退)欧拉法 /* implicit Euler method */
y( x1 ) y( x0 ) h
x0 x1
向后差商近似导数
y( x1 )
y ( x1 ) y0 h f ( x1 , y ( x1 ))
在工程和科学计算中，所建立的各种IVP问题，绝大多数 很难甚至不可能给出解析解，其主要原因在于积分工具的 局限性。
§1. 引言
要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的近似值 yi y( xi ) ( i 1, ... , n) 思 利用数值解法求解。 路
(n 0,1, 2,...)
1 yn 1 yn (k1 k2 ) 改进的Euler方法： 2 2 xn k 0.1( y ) 1 n yn 2( xn 0.1) k 0.1( y k ) 2 n 1 yn k1
(n 0,1, 2,...)
方
法
简单
精度低 稳定性最好
精度低, 计算量大
显式欧拉 隐式欧拉
梯形公式
精度提高
计算量大
改进欧拉法 /* modified Euler’s method */
2.３
改进欧拉方法
Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出 y i 1 y i h f ( x i , y i ) Step 2: 再将 yi 1 代入隐式梯形公式的右边作校正，得到