第四章 材料科学研究中的数值分析方法

化单元的长度称为步长，步 长的大小可以是常量也可以 是变量
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网格划分原则
对于均质、形状简单规则、物理量变化不剧烈 的物体，或求解精度要求不高时，可采用等步 长、大步长，即采用粗匀网格
对于形状复杂、组分不同、物理量变化剧烈的 物体，或求解精度要求较高时，则采用小步长、 变步长
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2
2
fi1fi 2
fi
fi1 2
2fc,i fc,i fc,i1fc,i1fi12fi fi1
差商：为函数的差分与自变量差2 分之2比
一阶T二阶2T x x2
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三、差分方程的解法
直接法 精度高、重复工作量小，但计算程序复杂，对 计算机资源占用较多，适用于求解较复杂、结 束较低的方程组
主要步骤
构成差分格式 求解差分方程 对所得到的数值解进行精度与收敛性分析和检验
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二、差分方程的建立
导出差分方程的途径
从微分方程出发，以泰勒级数截断，从有限差分 的数学含义去建立有限差分和差分方程；
从由网格所划分的单元体的能量平衡分析出发， 由积分方程去建立差分方程，又称单元体平衡法。
间接法 即迭代法，优点是计算程序简单，占用内存小， 但重复工作量较大，计算精度取决于迭代次数 对于大多数二阶差分格式收敛较快，误差不一 定比直接法大。
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解方程组
线性方程组求解是工程计算中碰到的最普通的 代数题之一。其一般形式是：
a1
x
11
a x 12 2
a x 1n n
c 1
a21 x1
这样迭代重复进行几次。当两次连续的迭代 中，若每一变量相邻的两个数值之差的绝对值 小于指定的允许范围，就可以认为这个方程收 敛。
3）接着用余下的方程并采取同上的步骤，消 去方程中第2个变量（除第一外）。以上步骤 重复n-1次，得到以下形式的方程组。
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b11x1 b12x2 b13x3 b1nxn g1 b22x2 b23x3 b2nxn g2
bnnxn gn
该方程组和以前的方程组是等价的。在消去 过程的第k步中，第k个方程新的标准化系数 是：
在建立差分方程前，均需对所论区域进行离 散化。
1. 合理选择网格布局及步长 2. 将微分方程转化为差分方程
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1、合理选择网格布局及步长
将自变量x、y分别沿轴向连 续变化，形成离散化网格
离散化网格的布局，要根据 所要求的问题的性质及求解 要求确定。
网格焦点称为结点（node） 离散点之间的距离，或离散
b kj
a kj a kk
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而此方程式以后的各个方程中的新系 数是：
bij=aij-aik·bkj i>k 在完成这一过程中，必须记住：每一 步的计算都使得各方程的系数aij发生变 化。因此，每一步所得系数bij成为用于 下一步的系数aij。
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2). 高斯—塞德尔迭代法
解联立线性方程组的迭代法是基于将方程 写成如下形式。其中n个变量中的每一个分别 单独位于方程式的左边，其形式如下：
x1 b1nxnb1n1xn1b12x2b1 x2 b2nxnb2n1xn1b22x2b21x1b2 xn bnn1xn1bn2x2bn1x1bn
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下面举例题来说明： 例：用高斯塞德尔迭代法解方程组
ax 22 2
a x 2n n
c 2
an1
x 1
a x n2 2
a x nn n
c n
方程若有唯一解，则其充分条件是其系数矩阵 的行列式不等于零。解方程组的方法可分为直 接法和迭代法两大类型。
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1). 高斯消元法----直接法
使方程组中的一个方程式只含有一个未知数， 后面依次每一个方程式也只含有一个新增加的 未知数。
如果手算，虽然对一些方程组凭技巧可简捷些， 但对大多数方程组来说是困难的，而用计算机 就可建立一套系统的解题方法。高斯消元法就 是这样的一种方法。
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高斯消元法步骤
1）由a11除第一个方程式的每一个系数(方程1/ a11)，使方程1标准化。
2）再把这第1个方程(方程1/a11)分别乘以其它 每一个方程的最前项系数ai1，并与该方程逐个 相减； (方程1/a11× ai1－方程i)，其结果是除 第一个方程以外，所有其它方程的第1个变量 均被消去。
第四章 材料科学研究中的数值 分析方法
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在科学技术和工程领域，对于许多力学问题和物理问 题人们已经得到了它们应遵循的基本方程（微分方程） 和相应的定解条件。但只有少数性质比较简单、边界 比较规整的问题能够通过精确的数学计算得出其解析 解，而大多数问题则很难得到解析解。
解决这类问题通常有两种途径：
①对方程和边界条件进行简化从而得到问题在简化情况下的 解答，过多的简化会引起误差甚至得到错误的结论。
②采用数值解法
常用的数值分析方法大致可分为两大类：有限差分法 和有限元法。
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第一节 有限差分法
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一、概述
有限差分方法就是以有限差分代替无限微分、 以差分代数方程代替微分方程、以数值计算代 替数学推导的过程，从而将连续函数离散化， 以有限的、离散的数值代替连续的函数分布。
10 x 1 x 2 x 3 20
x
1
10
x2
x3
13
x1
2
x2
5
x3
9
要求迭代到 0 .0001 的精度为止。
先将方程组变换成迭代
式的基本形式：
x
1
1 10
( 20
x2
x3)
x
2
1 10
(13
x1
x3)
x 3
1 5
(9
x1
2x2)
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（a） (b)
可用方程组（b）作为计算方程组（a）的迭 代公式，赋x2和x3以任意的初值，并由方程组 （b）的第1方程求出x1 ，将这个x1值和x3的 初始值一起代入第2方程，求得新的x2 。同样， 用新的x1, x2 代入第3方程。又可求出x3的新 值。
2、将微分方程转化为差分方程
差分：就是某物理量的有限增量。
向前差分
ff,ifi 1fi
2ff,i ff,i ff,i 1 ff,ifi 22fi 1fi
向后差分
fb,ififi 1
中心差分
2fb,i fb,i fb,i fb,i 1fi2fi 1fi 2
fc,i
fi1fi1