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高中数学必修 5 解三角形测试题及答案一、选择题：〔每题 5 分，共 60 分〕1．在 VABC 中， AB 3, A 45 , C 75 ，那么 BC=A ．33B ．2 C ．2D ．332．以下关于正弦定理的表达或变形中错误 的是．．A ．在 VABC 中 ,a:b:c=sinA:sinB:sinCB ． VABC 中 ,a=bsin2A=sin2B a =b+cC ． VABC 中,sinAsinB+sinCD ． VABC 中 , 正弦值较大的角所对的边也较大sin Acos B B 的值为 3． VABC 中 , 假设 a,那么bA ．30B ． 45C ． 60D ． 90ab c，那么 VABC 是4． 在VABC 中，假设 =cosCcosA cosBA ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形5．以下命题正确的选项是A ．当 a=4,b=5,A= 30 时，三角形有一解。
B ．当 a=5,b=4,A= 60 时，三角形有两解。
（ A 〕（ B 〕（ B 〕〔 B 〕D ．等腰直角三角形（ D 〕C ．当 a= 3 ,b= 2 ,B= 120 时，三角形有一解。
D ．当 a=3 6 ,A= 60 时，三角形有一解。
2 ,b=26． ABC 中 ,a=1,b=3 , ∠A=30 °,那么∠ B 等于〔 B 〕A ． 60°B ． 60°或 120°C ． 30°或 150°D ． 120°7 ． 符 合 下 列 条 件 的 三 角 形 有 且 只 有 一 个 的 是〔D〕A ． a=1,b=2 ,c=3B ． a=1,b= 2 ,∠ A=30 °C ． a=1,b=2, ∠ A=100 °D ． b=c=1, ∠ B=45 °8 ． 假设 (a+b+c)(b+c－a)=3abc, 且sinA=2sinBcosC, 那 么 ABC是 〔B〕A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形9．在ABC 中，角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ， A=,a= 3 ,b=1，3c=那么(B)(A)1(B)2(C)3 －1(D)3uur10 ． 〔 2021 重庆理〕设ABC 的 三 个 内 角 A, B, C ， 向 量 m( 3 sin A,sin B) ，ruur r1 cos( AB) ，那么 C =〔n (cos B,3 cos A) ，假设 m gn C 〕A ．B ．2 5C ．D ．66 3 311．等腰 △ ABC 的腰为底的 2 倍，那么顶角 A 的正切值是〔 D 〕Ａ． 3Ｂ． 3Ｃ． 15Ｄ．1528712．如图： D,C,B 三点在地面同素来线上 ,DC=a, 从 C,D 两点测得A 点仰角分别是β ,α (α <β ),那么 A 点离地面的高度 AB 等于〔 A 〕Aa sin sina sin sin A ．) B ．)sin(cos(a sin cosacos sin C ．)D ．)sin(cos(αβBDC题号 123 4567891011 12答案二、填空题：〔每题 5 分，共 20 分〕13．a2 ，那么a b c _______2_______sin Asin Bsin A sin C14．在ABC 1 (a 2+b 2－ c 2),那么角∠ C=______.中，假设 S ABC =4415．〔广东 2021 理〕点 A, B, C 是圆 O 上的点， 且AB 4, ACB450 ，那么圆 O 的面积等于8．rrr rr r 16． a2, b4, a 与b 的夹角为3，以 a,b 为邻边作平行四边形，那么此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为____ 2 3 ________三、解答题：〔 17 题 10 分，其余小题均为 12 分〕17． 在ABC 中 ， c 2 ,b2 3 , B 450 ，解三角形 ABC 。
2020届高考数学(理)二轮复习专题强化训练：(十六)解三角形理+Word版含答案
专题强化训练(十六) 解三角形1．[2019·天津卷]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a,3c sin B ＝4a sin C .(1)求cos B 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6的值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理bsin B ＝csin C ，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a .又因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23a .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a ＝－14. (2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝154， 从而sin2B ＝2sin B cos B ＝－158， cos2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78， 故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin2B cos π6＋cos2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716. 2．[2019·石家庄一模]已知△ABC 的面积为33，且内角A ，B ，C 依次成等差数列．(1)若sin C ＝3sin A ，求边AC 的长；(2)设D 为AC 边的中点，求线段BD 长的最小值．解：(1)∵△ABC 三个内角A 、B 、C 依次成等差数列，∴B ＝60°.设A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，由△ABC 的面积S ＝33＝12ac sin B 可得ac ＝12. ∵sin C ＝3sin A ，由正弦定理知c ＝3a ，∴a ＝2，c ＝6.在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝28，∴b ＝27，即AC 的长为27.(2)∵BD 是AC 边上的中线，∴BD →＝12(BC →＋BA →)， ∴BD →2＝14(BC →2＋BA →2＋2BC →·BA →)＝14(a 2＋c 2＋2ac cos B )＝14(a 2＋c 2＋ac )≥14(2ac ＋ac )＝9，当且仅当a ＝c 时取“＝”，∴|BD →|≥3，即BD 长的最小值为3.3．[2019·合肥质检二]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝2c sinC ，△ABC 的面积S ＝abc .(1)求角C ；(2)求△ABC 周长的取值范围．解：(1)由S ＝abc ＝12ab sin C 可得2c ＝sin C ， ∴sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝sin 2C ，由正弦定理得a 2＋b 2＋ab ＝c 2，由余弦定理得cos C ＝－12，∴C ＝2π3. (2)由(1)知2c ＝sin C ，同理可知2a ＝sin A ，2b ＝sin B .△ABC 的周长为 a ＋b ＋c ＝12(sin A ＋sin B ＋sin C )＝12[sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ]＋34 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋32cos A －12sin A ＋34＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin A ＋32cos A ＋34＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋34. ∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴A ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1， ∴△ABC 周长的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤32，2＋34.4．[2019·武汉4月调研]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝104，B ＝2A ，b ＝15. (1)求a ；(2)已知M 在边BC 上，且CM MB ＝12，求△CMA 的面积． 解：(1)由0<A <π，cos A ＝104，知sin A ＝64， ∴sin B ＝sin2A ＝2sin A cos A ＝2×64×104＝154， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 可知， a ＝b sin A sin B＝ 6. (2)cos B ＝cos2A ＝2cos 2A －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1042－1＝14， sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝64×14＋104×154＝368， △ABC 的面积S △ABC ＝12ab ·sin C ＝12×6×15×368＝9158， 又CM MB ＝12，∴S △CMA ＝13S △ABC ＝13×9158＝3158. 5．[2019·济南模拟]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b sin C ＝a cos C ＋c cos A ，B ＝2π3，c ＝ 3. (1)求角C ； (2)若点E 满足AE →＝2EC →，求BE 的长．解：(1)解法一：由题设及正弦定理得2sin B sin C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ，又sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B ，所以2sin B sin C ＝sin B .由于sin B ＝32≠0，所以sin C ＝12. 又0<C <π3，所以C ＝π6. 解法二：由题设及余弦定理可得2b sin C ＝a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 22bc， 化简得2b sin C ＝b .因为b >0，所以sin C ＝12. 又0<C <π3，所以C ＝π6. 解法三：由2b sin C ＝a cos C ＋c cos A ，结合b ＝a cos C ＋c cos A ，可得2b sin C ＝b .因为b >0，所以sin C ＝12. 又0<C <π3，所以C ＝π6. (2)解法一：由正弦定理易知b sin B ＝csin C ＝23，解得b ＝3. 又AE →＝2EC →，所以AE ＝23AC ＝23b ，即AE ＝2. 在△ABC 中，因为∠ABC ＝23π，C ＝π6， 所以A ＝π6， 所以在△ABE 中，A ＝π6，AB ＝3，AE ＝2， 由余弦定理得BE ＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE cos π6＝ 3＋4－2×3×2×32＝1， 所以BE ＝1.解法二：在△ABC 中，因为∠ABC ＝23π，C ＝π6，所以A ＝π6，a ＝c ＝ 3. 由余弦定理得b ＝(3)2＋(3)2－2×3×3×co s 23π＝3. 因为AE →＝2EC →，所以EC ＝13AC ＝1. 在△BCE 中，C ＝π6，BC ＝3，CE ＝1，由余弦定理得BE ＝BC 2＋EC 2－2BC ·EC cos π6＝3＋1－2×3×1×32＝1， 所以BE ＝1. 解法三：在△ABC 中，因为∠ABC ＝23π，C ＝π6， 所以A ＝π6，a ＝c ＝ 3. 因为AE →＝2EC →，所以BE →＝13BA →＋23BC →. 则|BE →|2＝19(BA →＋2BC →)2＝19(|BA →|2＋4BA →·BC →＋4|BC →|2)＝19(3－4×3×3×12＋4×3)＝1，所以BE ＝1.6．[2019·太原一模]如图，已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a sin A ＋(c －a )sin C ＝b sin B ，点D 是AC 的中点，DE ⊥AC ，交AB 于点E ，且BC ＝2，DE ＝62.(1)求B ；(2)求△ABC 的面积．解：(1)∵a sin A ＋(c －a )sin C ＝b sin B ，∴由a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得a 2＋c 2－ac ＝b 2， 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12， ∵0°<B <180°，∴B ＝60°.(2)如图，连接CE ，∵D 是AC 的中点，DE ⊥AC ，∴AE ＝CE ，∴CE ＝AE ＝DEsin A ＝62sin A . 在△BCE 中，由正弦定理得CEsin B＝BC sin ∠BEC ＝BC sin2A ， ∴62sin A sin60°＝22sin A cos A ，∴cos A ＝22， ∵0°<A <180°，∴A ＝45°，∴∠ACB ＝75°，∴∠BCE ＝∠ACB －∠ACE ＝30°，∠BEC ＝90°，∴CE ＝AE ＝3，AB ＝AE ＋BE ＝3＋1，∴S △ABC ＝12AB ·CE ＝3＋32. 7．[2019·长沙一模]已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .且a sin(A ＋B )＝c sin B ＋C2.(1)求A ；(2)若△ABC 的面积为3，周长为8，求a .解：(1)由题设得a sin C ＝c cos A 2， 由正弦定理得sin A sin C ＝sin C cos A 2，∵sin C ≠0， 所以sin A ＝cos A 2， 所以2sin A 2cos A 2＝cos A 2，又cos A 2≠0， 所以sin A 2＝12， 故A ＝60°.(2)由题设得12bc sin A ＝3，从而bc ＝4. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝(b ＋c )2－12.又a ＋b ＋c ＝8，所以a 2＝(8－a )2－12，解得a ＝134. 8．[2019·福州质检]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 成等差数列，且b ＝32.(1)求△ABC 的外接圆直径；(2)求a ＋c 的取值范围．解：(1)因为角A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3. 根据正弦定理得，△ABC 的外接圆直径2R ＝b sin B ＝32sin π3＝1. (2)解法一：由B ＝π3，知A ＋C ＝2π3， 可得0<A <2π3. 由(1)知△ABC 的外接圆直径为1，根据正弦定理得， a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝1， 所以a ＋c ＝sin A ＋sin C＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin A ＋12cos A ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6. 因为0<A <2π3，所以π6<A ＋π6<5π6. 所以12<sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1， 从而32<3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤3， 所以a ＋c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3. 解法二：由(1)知，B ＝π3， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－3ac≥(a ＋c )2－3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝14(a ＋c )2(当且仅当a ＝c 时，取等号)， 因为b ＝32，所以(a ＋c )2≤3，即0<a ＋c ≤3， 又三角形两边之和大于第三边， 所以32<a ＋c ≤3， 所以a ＋c 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤32，3.。
高中数学解三角形(有答案)
高中数学解三角形(有答案) Solving Triangles1.(2015 Henan Second Model Test) In triangle ABC。
the sides opposite to angles A。
B。
and C are a。
b。
and c。
respectively。
and a=3.c=8.and B=60°。
What is the perimeter of triangle ABC?A。
18 B。
19 C。
16 D。
172.(2015 Henan Second Model Test) In triangle ABC。
the sides opposite to angles A。
B。
and C are a。
b。
and c。
respectively。
and a=3.c=8.and B=60°。
What is the perimeter of triangle ABC?A。
17 B。
19 C。
16 D。
183.(2014 Yunnan Mock Exam) In triangle ABC。
if b^2-a^2-c^2=ac。
what is the measure of angle B?A。
30° B。
60° C。
120° D。
150°4.(2013 Shaanxi) In triangle ABC。
the sides opposite to angles A。
B。
and C are a。
b。
and c。
respectively。
and bc cos C + c cos B = a sin A。
What is the shape of triangle ABC?A。
XXX5.(2013 Hunan) In acute triangle ABC。
the XXX angles A and B are a and b。
respectively。
《南方新课堂》2022年高考数学(理)总复习练习：第三章三角函数与解三角形 Word版含答案
第三章 三角函数与解三角形第1讲 弧度制与任意角的三角函数1．tan 25π6的值为( )A ．－33 B.33C. 3 D ．－32．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是( ) A ．第一或其次象限角 B ．其次或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第一或第四象限角3．已知角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则sin α的值为( ) A.35 B ．－35 C.45 D ．－454．若角α的终边经过点P (1，m )，且tan α＝－2，则sin α＝( )A.55 B ．－55 C.2 55 D ．－2 555．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π46．(2022年新课标Ⅰ)若tan α>0，则( ) A ．sin α>0 B ．cos α>0 C ．sin2α>0 D ．cos2α>07．已知两角α，β之差为1°，其和为1弧度，则α，β的大小分别为( ) A.π90和π180B ．28°和27°C ．0.505和0.495 D.180＋π360和180－π3608．(2021年广东肇庆二模)若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝1225，则a ＝( )A ．3B ．±3 C.163或3 D ．－163或－39．(2021年广东惠州二模)集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )A B C D10．推断下列各式的符号：(1)tan125°·sin278°； (2)cos 7π12tan 23π12sin 11π12.11．(1)已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形圆心角的弧度数；(2)已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？第2讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式1．(2021年河北石家庄二模)tan(－1410°)的值为( )A.33 B ．－33 C. 3 D ．－32．(2021年湖北黄冈一模)sin2021°的值属于区间( )A.⎝⎛⎭⎫－12，0B.⎝⎛⎭⎫－1，－12C.⎝⎛⎭⎫12，1D.⎝⎛⎭⎫0，12 3．下列关系式中，正确的是( ) A ．sin11°<cos10°<sin168° B ．sin168°<sin11°<cos10° C ．sin11°<sin168°<cos10° D ．sin168°<cos10°<sin11°4．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin2α＝( )A ．－1B ．－22C.22D ．1 5．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为( )A ．0 B.34C ．1 D.546．(2021年四川资阳一模)下列不等式成立的是( )A ．tan ⎝⎛⎭⎫9π8>tan ⎝⎛⎭⎫π6B ．sin ⎝⎛⎭⎫－3π10>sin ⎝⎛⎭⎫－π5C ．sin π18>sin π10D ．cos ⎝⎛⎭⎫－7π4>cos ⎝⎛⎭⎫－23π5 7．已知α是第三象限角，sin α＝－13，则tan α＝________.8．(2021年四川)设sin2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan2α的值是________．9．已知tan α＝2，求： (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α； (2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α.10．(2021年广东揭阳一模)已知函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4cos x.(1)求函数f (x )的定义域；(2)设α是第四象限角，且tan α＝－43，求f (α)的值．第3讲 三角函数的图象与性质1．(2022年陕西)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π 2．(2021年北京丰台二模)下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π12对称的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2(x ∈R )，下列结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数4．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4B.π3C.π2D.3π45．函数y ＝|tan x |cos x ⎝⎛⎭⎫0≤x <3π2，且x ≠π2的图象是( )A BC D6．(2021年广东肇庆二模)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6 [A >0，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)]的最小正周期为2，且f (0)＝3，则函数f (3)＝( )A ．－ 3 B. 3 C ．－2 D ．27．(2022年江苏)已知函数y ＝cos x 与函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ＝________.8．(2022年大纲)函数y ＝cos2x ＋2sin x 的最大值为________．9．在下列函数中：①y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π3；②y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －5π6；③y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6；④y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3；⑤y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －73π. 关于直线x ＝5π6对称的函数是________(填序号)．10．(2022年北京)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象如图X331. (1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．图X33111．是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由．第4讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象1．(2022年四川)为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上的全部点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度2．(2021年广东珠海一模)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象可由函数y ＝sin2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位长度而得到B ．向右平移π8个单位长度而得到C ．向左平移π4个单位长度而得到D ．向右平移π4个单位长度而得到3．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图X341，则( )图X341A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π44．(2021年广东东莞一模)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)的图象的两相邻对称轴之间的距离为π2，要得到y ＝f (x )的图象，只须把函数y ＝sin ωx 的图象( )A ．向右平移π3个单位B ．向右平移π6个单位C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ＝( ) A.π6 B.5π6 C.7π6 D.11π66．(2021年广东肇庆一模)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6[A >0，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)]的最小正周期为π，且f (0)＝3，则函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最小值是( ) A ．－ 6 B ．－2 3 C ．－3 D ．2 37．(2021年江西)设f (x )＝3sin3x ＋cos3x ，若对任意实数x 都有|f (x )|≤a ，则实数a 的取值范围是________．8．(2021年北京西城一模)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，a .当a ＝π3时，f (x )的值域是__________；若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则a 的取值范围是__________．9．(2021年广东广州一模)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6 (A >0，ω>0)的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和⎝⎛⎭⎫x 0＋π2，－2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫x 0＋π4的值．10．(2021年安徽)设函数f (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (1)求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到．第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式1．(河南豫南九校2021届质检)已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin2x ＝( ) A.325 B.725C.925D.18252．(2021年新课标Ⅱ)已知sin2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.16 B.13 C.12 D.233．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两个根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．34．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B.53C.23D ．－2 5．(2021年广东广州一模)已知函数f (x )＝2sin2x ，为了得到函数g (x )＝sin2x ＋cos2x 的图象，只要将函数f (x )＝2sin2x 的图象( )A ．向右平移π4个单位长度B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π8个单位长度D ．向左平移π8个单位长度6．若cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，则cos(2x －2y )＝________.7．(2022年新课标Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．8．(2022年山东)函数y ＝32sin2x ＋cos 2x 的最小正周期为________．9．(2022年江苏)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值．10．(2022年福建)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．第6讲 简洁的三角恒等变换1．(2021年江西)若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C.13D.232．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α＝( ) A.22 B.33 C. 2 D.33．(2022年浙江)为了得到函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象，可以将函数y ＝2cos3x 的图象( )A ．向右平移π12个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向左平移π4个单位长度4．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )A ．－1B ．－22C.22D ．1 5.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.326．(2021年湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π67．函数y ＝2sin x －cos x 的最大值为________．8．(2021年江西)函数y ＝sin2x ＋2 3sin 2x 的最小正周期T 为________．9．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin4α的值．第7讲 正弦定理和余弦定理1．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的外形是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，a ＝2，b ＝3，则sin Asin (A ＋C )＝( )A.23B.32C ．－23D ．－323．(2021年广东深圳一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，a ＝3，b ＋c ＝3，则△ABC 的面积为( )A.34B.32 C.3 D ．24．(广西百所示范性中学2021届高三第一次大联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，则B ＝( )A.π4B.π3C.π6D.π25．(2021年湖南)在锐角三角形ABC 中，角A ，B 所对边的长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则A ＝( ) A.π3 B.π4 C.π6 D.π126．(2021年新课标Ⅰ)已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos2A ＋cos2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．57．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a ＝2，B ＝π6，c ＝2 3，则b ＝________.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B ＝________.9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos B cos C －sin B sin C ＝12.(1)求角A ；(2)若a ＝2 3，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．10．(2022年安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为2，求cos A 与a 的值．第8讲 解三角形应用举例1．某人向正东方向走x km 后，顺时针转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离动身点恰好 3 km ，那么x ＝( )A. 3 B ．2 3 C ．2 3或 3 D ．32．两座灯塔A 和B 与海洋观看站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观看站C 的北偏东20°的方向，灯塔B 在观看站C 的南偏东40°的方向，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.2a km C ．2a km D.3a km3．如图X381，一艘海轮从A 处动身，以40海里/时的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B 处．在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观看灯塔，其方向是东偏南20°，在B 处观看灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．10 2海里B ．10 3海里C ．20 2海里D ．20 3海里图X381 图X3824．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则此时的斜坡长为( ) A ．1 B ．2sin10°C ．2cos10°D ．cos20°5．(2021年广东茂名二模)如图X382，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( )A ．50 3 mB ．50 2 mC ．25 2 m D.25 22m6．(2022年广东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．(2021年广东肇庆二模)某日，某渔政船在东海某海疆巡航护渔，已知该船正以30(3－1)海里/时的速度向正北方向航行，该船在点A 处发觉北偏东30°方向的海面上有一个小岛，连续航行20分钟到达点B ，此时发觉该小岛在北偏东45°方向上．若该船向北连续航行，船与小岛的最短距离是( )A ．6海里B ．8海里C ．10海里D ．12海里8．如图X383，一缉私艇发觉在方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)45°方向、距离15海里的海面上有一走私船正以25海里/时的速度沿方位角为105°的方向逃跑．若缉私艇的速度为35海里/时，缉私艇沿方位角为45°＋α的方向追去，若要在最短时间内追上该走私船．(1)求α的正弦值；(2)求缉私艇追上走私船所需的时间．图X3839．(2022年北京)如图X384，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在边BC 上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．图X384第三章 三角函数与解三角形第1讲 弧度制与任意角的三角函数1．B 2.C3．B 解析：∵a <0，∴r ＝(－4a )2＋(3a )2＝－5a ，∴sin α＝3a r ＝－35.故选B.4．D 解析：由三角函数的定义，得tan α＝m ＝－2，∴r ＝5，sin α＝－25＝－2 55.故选D.5．D 解析：由sin 3π4>0，cos 3π4<0知，角θ是第四象限的角．∵tan θ＝cos3π4sin 3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.6．C 解析：tan α＝sin αcos α>0，而sin2α＝2sin αcos α>0.故选C.7．D 解析：由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝1，α－β＝π180，解得⎩⎨⎧α＝180＋π360，β＝180－π360.8．D 解析：由于角α的终边上有一点P (－4，a )，依据三角函数的定义知，sin α＝a16＋a 2，cos α＝－416＋a 2，所以sin α·cos α＝－4a 16＋a 2＝1225，即3a 2＋25a ＋48＝0.解得a ＝－3或a ＝－163.故选D. 9．C 解析：分k ＝2m ，k ＝2m ＋1(m ∈Z )两种状况争辩可得结果． 10．解：(1)∵125°，278°角分别为其次、四象限角， ∴tan125°＜0，sin278°＜0. 因此tan125°·sin278°＞0.(2)∵π2＜7π12＜π，3π2<23π12<2π，π2<11π12<π，∴cos 7π12＜0，tan 23π12＜0，sin 11π12＞0.因此cos 7π12tan 23π12sin 11π12>0.11．解：设扇形半径为R ，圆心角为θ，所对的弧长为l .(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12θR 2＝4，θR ＋2R ＝10，∴2θ2－17θ＋8＝0，解得θ＝8或12.∵8>2π，舍去，∴θ＝12rad.(2)扇形的周长为40，即θR ＋2R ＝40， S ＝12lR ＝12θR 2＝14θR ·2R ≤14⎝⎛⎭⎫θR ＋2R 22＝100. 当且仅当θR ＝2R ，即R ＝10，θ＝2时，扇形面积取得最大值，最大值为100.第2讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式1．A 解析：tan(－1410°)＝tan(－180°×8＋30°)＝tan30°＝33. 2．B 解析：sin2021°＝sin(5×360°＋213°)＝sin213°＝sin(180°＋33°)＝－sin33°<－12.故选B.3．C 解析：∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝cos(90°－80°)＝sin80°.由于正弦函数y ＝sin x 在区间[0°，90°]上为递增函数，因此sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.4．A 解析：∵sin α－cos α＝2，∴(sin α－cos α)2＝2.∴sin2α＝－1.故选A.5．B 解析：分子、分母同时除以cos α，得2tan α－1tan α＋2＝4－12＋2＝34.6．D 解析：cos ⎝⎛⎭⎫－7π4＝cos π4>0，cos ⎝⎛⎭⎫－23π5＝cos 3π5<0.故选D. 7.24 解析：sin α＝－13，cos α＝－2 23，tan α＝12 2＝24. 8.3 解析：sin2α＝2sin αcos α＝－sin α，cos α＝－12，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则α＝2π3，tan2α＝tan 4π3＝tan π3＝ 3. 9．解：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.(2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.10．解：(1)函数f (x )要有意义，需满足cos x ≠0，解得x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)∵f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4cos x ＝1－2⎝⎛⎭⎫22sin2x －22cos2x cos x ＝1＋cos2x －sin2xcos x＝2cos 2x －2sin x cos x cos x＝2(cos x －sin x )，由tan α＝－43，得sin α＝－43cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝925.∵α是第四象限的角，∴cos α＝35，sin α＝－45.∴f (α)＝2(cos α－sin α)＝145.第3讲 三角函数的图象与性质1．B 解析：由周期公式T ＝2πω，又ω＝2，所以函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的周期T ＝2π2＝π.故选B. 2．C 解析：将x ＝π12代入选项A ，B ，C ，D 中，只有选项C 取得最大值y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋π3＝sin π2＝1，所以关于直线x ＝π12对称，且T ＝2π2＝π.3．D 解析：由函数的f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x (x ∈R )，可得函数f (x )是偶函数．故选D. 4．A 解析：由题设知，T ＝2×⎝⎛⎭⎫5π4－π4＝2π，∴ω＝2πT ＝1.∴π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝k π＋π4(k ∈Z )．∵0<φ<π，∴φ＝π4.故选A.5．C 解析：方法一：y ＝|sin x |·cos x|cos x |，分类争辩．方法二：y ＝|tan x |cos x 的符号与cos x 相同．故选C.6．A 解析：由f (0)＝A 2＝3，得A ＝2 3，ω＝2π2＝π⇒f (x )＝2 3sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6⇒f (3)＝2 3sin ⎝⎛⎭⎫3π＋π6＝－ 3.7.π6 解析：依题意，得cos π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝12，又φ∈[0，π)，则2π3＋φ∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3.∴2π3＋φ＝5π6，φ＝π6. 8.32 解析：y ＝cos2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以当sin x ＝12时，原函数取得最大值为32.9．①⑤ 解析：∵y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫5π6－π3＝4sin π2＝4，y 取最大值，∴x ＝5π6为它的一个对称轴．又∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5π6－7π3＝－sin 3π2＝1，∴x ＝5π6是对称轴．10．解：(1)f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由图象知，y 0＝f (x )max ＝3,2x 0＋π6＝π2＋2k π，解得x 0＝π6＋k π，k ∈Z ，取k ＝1，x 0＝76π.(2)由于x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0， 于是当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.11．解：y ＝－⎝⎛⎭⎫cos x －12a 2＋a 24＋58a －12，当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1.令t ＝cos x ，则0≤t ≤1.∴y ＝－⎝⎛⎭⎫t －12a 2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1.若0≤a 2≤1，即0≤a ≤2，则当t ＝a 2，即cos x ＝a2时，y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)．若a2＜0，即a ＜0，则当t ＝0，即cos x ＝0时， y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125(舍去)．若a2＞1，即a ＞2，则当t ＝1，即cos x ＝1时， y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013(舍去)．综上所述，存在a ＝32符合题意．第4讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象1．A 2.A3．C 解析：∵T 4＝3－1＝2，∴T ＝8，∴ω＝2πT ＝π4.令π4×1＋φ＝π2，得φ＝π4，∴故选C.4．D 解析：两相邻对称轴之间的距离为T 2＝π2，T ＝π，ω＝2，要得到f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需把f (x )＝sin2x 的图象向左平移π6个单位．5．D 解析：由函数y ＝sin x 向左平移φ个单位得到y ＝sin(x ＋φ)的图象．由条件知，函数y ＝sin(x ＋φ)可化为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，比较个各选项，只有y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6. 6．C 解析：A ＝2 3，ω＝2⇒f (x )＝2 3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，由－π4≤x ≤π4⇒－π3≤2x ＋π6≤2π3，得[f (x )]min ＝2 3sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－3. 7．[2，＋∞) 解析：f (x )＝3sin3x ＋cos3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6，|f (x )|max ＝2，∴a ≥2. 8.⎣⎡⎦⎤－12，1 ⎣⎡⎦⎤π6，π2 解析：当a ＝π3时，x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1；若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，π2≤2a ＋π6≤7π6，π6≤a ≤π2. 9．解：(1)由题意，可得A ＝2，T 2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋π2－x 0＝π2.∴T ＝π. 由2πω＝π，得ω＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵ 点(x 0,2)是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在y 轴右侧的第一个最高点， ∴ 2x 0＋π6＝π2.∴ x 0＝π6.∴sin ⎝⎛⎭⎫x 0＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋π4 ＝sin π6cos π4＋cos π6sin π4＝12×22＋32×22 ＝2＋64.10．解：(1)f (x )＝sin x ＋sin x cos π3＋cos x sin π3＝sin x ＋12sin x ＋32cos x＝32sin x ＋32cos x ＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－1时，f (x )min ＝－3，此时x ＋π6＝3π2＋2k π，∴x ＝4π3＋2k π(k ∈Z )．∴f (x )的最小值为－3，此时x 的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝4π3＋2k π，k ∈Z .(2)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，然后将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上的点的纵坐标变为原来的3倍，得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式1．B 解析：由sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝sin π4cos x －cos π4sin x ＝22×(cos x －sin x )＝35，两边平方，得12(1－2cos x ·sin x )＝925，1－sin2x ＝1825，sin2x ＝725.2．A 解析：∵sin2α＝23，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12×⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝12(1－sin2α)＝12×⎝⎛⎭⎫1－23＝16. 3．A 解析：∵tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两个根，∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.故选A. 4．A5．D 解析：g (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，将函数f (x )＝2sin2x 的图象向左平移π8个单位长度即可．6．－79 解析：∵cos(x －y )＝cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，∴cos(2x －2y )＝2cos 2(x －y )－1＝29－1＝－79.7．1 解析：f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2cos x sin φ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，最大值为1.8．π 解析：y ＝32sin2x ＋cos 2x ＝32sin2x ＋1＋cos2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，其最小正周期为T ＝2π2＝π. 9．解：(1)由于α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－2 55.故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－2 55＋22×55＝－1010. (2)由(1)，得sin2α＝2sin αcos α＝－45，cos2α＝2cos 2α－1＝35.所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α ＝－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45＝－3 3＋410.10．解：f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )＝2cos x sin x ＋2cos 2x＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝2×⎝⎛⎭⎫－22⎝⎛⎭⎫－22－22＝2.(2)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.若f (x )单调递增，则2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 第6讲 简洁的三角恒等变换1．C2．D 解析：sin 2α＋cos2α＝sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝14.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝12，sin α＝32.∴tan α＝ 3. 3．A 解析：由于y ＝sin3x ＋cos3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4，所以将函数y ＝2cos3x 的图象向右平移π12个单位长度，得函数y ＝2cos3⎝⎛⎭⎫x －π12＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4.故选A. 4．A 解析：方法一：∵sin α－cos α＝2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝ 2.∴sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝1.∵α∈(0，π)，∴α＝3π4.∴tan α＝－1.方法二：∵sin α－cos α＝2，∴(sin α－cos α)2＝2.∴sin2α＝－1.∵α∈(0，π)，∴2α∈(0,2π)，∴2α＝3π2.∴α＝3π4.∴tan α＝－1.故选A.5．C 解析：sin47°－sin17°cos30°cos17°＝sin (30°＋17°)－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°cos17°＝12.6．B 解析：y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，m 的最小值是π6.7.5 解析：y ＝2sin x －cos x ＝5sin(x ＋φ)，其中tan φ＝－12，∴最大值为 5.8．π 解析：y ＝sin2x ＋2 3sin 2x ＝sin2x ＋2 3×1－cos2x 2＝sin2x －3cos2x ＋3＝2⎝⎛⎭⎫12sin2x －32cos2x ＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3，∴T ＝2π2＝π. 9．解：∵sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13. ∴sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13.∴cos2α＝13. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴2α∈(π，2π)．∴sin2α＝－1－cos 22α＝－1－⎝⎛⎭⎫132＝－2 23.∴sin4α＝2sin2αcos2α＝2×⎝⎛⎭⎫－2 23×13＝－4 29.第7讲 正弦定理和余弦定理1．A 解析：由正弦定理，得a 2＋b 2<c 2.由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，所以C 是钝角，故选A.2．B 解析：sin A sin (A ＋C )＝sin A sin B ＝a b ＝23.故选A.3．B 4.B5．A 解析：由2a sin B ＝3b ，得2sin A sin B ＝3sin B ，sin A ＝32，A ＝π3或2π3(舍去)． 6．D 解析：23cos 2A ＋cos2A ＝25cos 2A －1＝0，cos A ＝15或cos A ＝－15(舍去)，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A,49＝b 2＋36－12b ×15，5b 2－12b －65＝0，解得b ＝5或b ＝－135(舍去)．7．2 解析：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4，∴b ＝2. 8.154 解析：由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×1×2×14＝4，则c ＝2，即B ＝C ，故sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154. 9．解：(1)∵cos B cos C －sin B sin C ＝12，即cos(B ＋C )＝12，∴B ＋C ＝60°.从而A ＝120°.(2)由余弦定理，得b 2＋c 2＋bc ＝a 2＝12，① 又b ＋c ＝4，∴b 2＋c 2＋2bc ＝16.② 由①②，得bc ＝4，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×32＝ 3.10．解：由三角形的面积公式，得 12bc sin A ＝12×3×1×sin A ＝ 2.∴sin A ＝2 23. ∵sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴cos A ＝±1－sin 2A ＝±13.当cos A ＝13时，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9＋1－2×3×1×13＝8，∴a ＝2 2；当cos A ＝－13时，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9＋1＋2×3×1×13＝12，∴a ＝2 3.第8讲 解三角形应用举例1．C 解析：如图D63，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝3，∠ABC ＝30°. 由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ， ∴3＝x 2＋9－6x ·cos30°，解得x ＝3或2 3.图D63 图D642．D 解析：如图D64，依题意，得∠ACB ＝120°.由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝a 2＋a 2－2a 2·⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2，∴AB ＝3a .故选D. 3．A 解析：在△ABC 中，∠BAC ＝50°－20°＝30°，∠ABC ＝40°＋65°＝105°，AB ＝40×0.5＝20(海里)，则∠ACB ＝45°.由正弦定理，得BC sin30°＝20sin45°，解得BC ＝10 2.故选A.4．C 解析：如图D65，BD ＝1，∠DBC ＝20°，∠DAC ＝10°.在△ABD 中，由正弦定理，得1sin10°＝ADsin160°.解得AD ＝2cos10°.图D65 图D665．B 解析：由于∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，所以∠ABC ＝30°.所以依据正弦定理可知，ACsin ∠ABC＝AB sin ∠ACB，即50sin30°＝ABsin45°，解得AB ＝50 2 m ．故选B.6．A 解析：由正弦定理，得a sin A ＝bsin B＝2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，则a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B ⇔sin A ≤sin B ，因此“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的充要条件．故选A.7．C 解析：如图D66，∠DAC ＝30°，∠DBC ＝45°，AB ＝30(3－1)×13＝10×(3－1)，设CD ＝h ，则DA ＝3h ，DB ＝h .由AB ＝DA －DB ＝(3－1)h ＝10(3－1)，得h ＝10. 8．解：(1)设缉私艇追上走私船所需的时间为t 小时，则有|BC |＝25t ，|AB |＝35t ，且∠CAB ＝α，∠ACB ＝45°＋(180°－105°)＝120°，依据正弦定理，得|BC |sin α＝|AB |sin120°，即25t sin α＝35t 32.∴sin α＝5 314.(2)在△ABC 中，由余弦定理，得|AB |2＝|AC |2＋|BC |2－2|AC ||BC |cos ∠ACB ， 即(35t )2＝152＋(25t )2－2×15×25t ×cos120°，即8t 2－5t －3＝0.解得t ＝1或t ＝－38(舍去)．答：缉私艇追上走私船需要1小时．9．解：(1)在△ADC 中，∵cos ∠ADC ＝17，∴sin ∠ADC ＝4 37.∴sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠ABD ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝4 37×12－17×32＝3 314.(2)在△ABD 中，由正弦定理，得BD ＝AB ×sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3 3144 37＝3. 在△ABC 中，由余弦定理，得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49， ∴AC ＝7.。
2022届高三数学(理)一轮总复习练习-第三章 三角函数、解三角形 3-6 Word版含答案
课时规范训练[A级基础演练]1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2a sin B＝3b，则角A等于()A.π12 B.π6C.π4D．π3解析：选D.在△ABC中，利用正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B，∴sin A＝3 2.又A为锐角，∴A＝π3.2．(2022·高考天津卷)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝() A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝13，∠C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1.3．在△ABC，已知∠A＝45°，AB＝2，BC＝2，则∠C等于()A．30°B．60°C．120°D．30°或150°解析：选A.在△ABC中，ABsin C＝BCsin A，∴2sin C＝2sin 45°，∴sin C＝12，又AB＜BC，∴∠C＜∠A，故∠C＝30°.4．一艘海轮从A处动身，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观看灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观看灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．102海里B．103海里C．203海里D．202海里解析：选A.如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，依据正弦定理得BCsin 30°＝ABsin 45°，解得BC＝102(海里)．5．(2022·高考山东卷)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝()A.3π4B．π3C.π4D．π6解析：选C.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝2b2－2b2cos A，所以2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，所以sin A＝cos A，即tan A＝1，又0＜A＜π，所以A＝π4.6．(2022·高考北京卷)在△ABC中，∠A＝2π3，a＝3c，则bc＝．解析：∵a＝3c，∴sin A＝3sin C，∵∠A＝2π3，∴sin A＝32，∴sin C＝12，又∠C必为锐角，∴∠C＝π6，∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴∠B＝π6，∴∠B＝∠C，∴b＝c，∴bc＝1.答案：17．在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为1534，则BC边的长为．解析：由S△ABC＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534，所以AC＝5，因此BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC＝7.答案：78．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－bc－a＝sin Asin C＋sin B，则B＝() A.π6B．π4C.π3 D ．3π4解析：选C.依据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得c －b c －a＝sin Asin C ＋sin B ＝a c ＋b，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3，故选C.9．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值． 解：(1)证明：∵三角形的三边a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b ＝2a ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B ＝22.(1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值．解：(1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2，化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B 2，故cos(A ＋B )＝－22，所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4. (2)由于S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝3 2.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10. [B 级 力量突破]1．(2021·辽宁五校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.2π3 B ．π3 C.3π4D ．5π6解析：选A.由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b . 又由于b ＋c ＝2a ， 所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b＝－12.由于C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.2．(2021·北京东城一模)在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，S △ABC ＝33，则BC ＝( ) A ．5 B ．13或37 C.37D ．13解析：选D.由S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×3×4×sin ∠BAC ＝33，得sin ∠BAC ＝32，由于△ABC 为锐角三角形，所以∠BAC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故∠BAC ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝42＋32－2×4×3×cos π3＝13.所以BC ＝13，故选D.3．(2021·厦门模拟)在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，假如sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2解析：选D.由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ， 再由正弦定理得a 2<b 2＋c 2， 即b 2＋c 2－a 2>0. 则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0， ∵0<A <π，∴0<A <π2.又a 为最大边，∴A ＝A ，A >B ，A >C ， 即3A >A ＋B ＋C ＝π，∴A >π3. 因此得角A 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.4．(2021·云南第一次检测)已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC 的面积为42，则b ＋asin A的值等于 ． 解析：依题意可得sin B ＝35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝42，则c ＝14.故b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝62，所以b ＋a sin A ＝b ＋bsin B ＝16 2.答案：16 25．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站107海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过 分钟，海盗船即可到达商船．解析：如图，设开头时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20分钟后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC ＝60°，在△ABD 中由已知得∠ABD ＝30°. ∠BAD ＝60°－30°＝30°，∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(分钟)． 答案：4036．(2021·成都外国语学校模拟)已知函数f (x )＝23sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且角A 满足f (A )＝3＋1.若a ＝3，BC 边上的中线长为3，求△ABC 的面积S .解：(1)由题意知，f (x )＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x＝3()1＋sin 2x ＋cos 2x ＝3＋3sin 2x ＋cos 2x ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得 k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .(2)由f (A )＝3＋1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，∴2A ＋π6＝π6或5π6，即A ＝0或π3. 又A 为△ABC 的内角，∴A ＝π3. 由A ＝π3，a ＝3.得|BC→|＝|AC →－AB →|＝a ＝3，① 又BC 边上的中线长为3，知|AB →＋AC →|＝6.②联立①②，解得AB →·AC→＝274，即|AB →|·|AC →|·cos π3＝274， ∴|AB →|·|AC →|＝272. ∴△ABC 的面积为S ＝12|AB →|·|AC →|·sin π3＝2738.。
(完整版)高中数学解三角形(有答案)
解三角形一．选择题（共20小题）1．（2015•河南二模）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，c=8，B=60°，则△ABC的周长是（）A．18 B．19 C．16 D．172．（2015•河南二模）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，c=8，B=60°，则△ABC的周长是（）A．17 B．19 C．16 D．183．（2014•云南模拟）在△ABC中，b2﹣a2﹣c2=ac，则∠B的大小（）A．30°B．60°C．120°D．150°4．（2013•陕西）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定5．（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．6．（2013•温州二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=30°，B=105°，a=1．则c=（）A．﹣1 B．.C．.D．.27．（2013•天津模拟）在钝角△ABC中，已知AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．8．（2013•泰安一模）在△ABC中，∠A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）A．B．3C．D．79．（2013•浦东新区三模）已知△ABC中，AC=2，BC=2，则角A的取值范围是（）A．B．C．D．10．（2012•广东）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（）A．B．C．D．11．（2012•天河区三模）在△ABC中，若A=60°，BC=4，AC=4，则角B的大小为（）A．30°B．45°C．135°D．45°或135°12．（2010•湖北）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．﹣B．C．﹣D．13．△ABC的内角A、B、C对边的长a、b、c成等比数列，则的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，2+）C．（1，+∞）D．（1，2+）14．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1D．15．（2014•重庆三模）在△ABC中，若，则∠B等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°16．（2014•萧山区模拟）在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围（）A．B．C．（0，2）D．17．（2014•南平模拟）在△ABC中，如果，B=30°，那么角A等于（）A．30°B．45°C．60°D．120°18．（2014•广西模拟）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠A：∠B=1：2，且a：b=1：，则cos2B的值是（）A．﹣B．C．﹣D．19．（2014•鄂尔多斯模拟）在△ABC中，∠A=60°，b=1，△ABC的面积为，则边a的值为（）A．B．C．D．320．（2014•文登市二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA+csinC+asinC=bsinB，则∠B （）A．B．C．D．二．解答题（共10小题）21．（2014•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．22．（2014•东城区一模）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．23．（2014•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA ﹣sinBcosB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．24．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．25．（2014•兴安盟一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c﹣a）cosB﹣bcosA=0．（Ⅰ）若b=7，a+c=13求此三角形的面积；（Ⅱ）求sinA+sin（C﹣）的取值范围．26．（2014•福建模拟）设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，b=2．（Ⅰ）当时，求角A的度数；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．27．（2014•江西模拟）三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A ﹣C）=2sin2C．（1）求内角B的余弦值；（2）若b=，求△ABC的面积．28．（2014•陕西）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．29．（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．30．（2014•启东市模拟）在△ABC中，A，B，C为三个内角a，b，c为三条边，，且．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若，求的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2015•河南二模）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，c=8，B=60°，则△ABC的周长是（）A．18 B．19 C．16 D．17考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，把a，c，cosB的值代入求出b的值，即可确定出三角形ABC周长．解答：解：∵△ABC中，a=3，c=8，B=60°，∴b2=a2+c2﹣2accosB=9+64﹣24=49，即b=7，则△ABC周长为3+8+7=18，故选：A．点评：此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．2．（2015•河南二模）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，c=8，B=60°，则△ABC的周长是（）A．17 B．19 C．16 D．18考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，将a，b及cosB的值代入，得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．解答：解：∵a=3，c=9，B=60°，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，即：b2=9+64﹣24，即b=7，则a+b+c=18故选：D．点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．3．（2014•云南模拟）在△ABC中，b2﹣a2﹣c2=ac，则∠B的大小（）A．30°B．60°C．120°D．150°考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理表示出cosB，把已知等式变形后代入计算求出cosB的值，即可确定出B的度数．解答：解：∵在△ABC中，b2﹣a2﹣c2=ac，即a2+c2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣，则∠B=150°，故选：D．点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．4．（2013•陕西）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．解答：解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，故选B．点评：本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．5．（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．解答：解：∵在△ABC中，2asinB=b，∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，∴A=．故选D．点评：本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题．6．（2013•温州二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=30°，B=105°，a=1．则c=（）A．﹣1 B．.C．.D．.2考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由已知可先求C，然后结合正弦定理可求解答：解：∵A=30°，B=105°，∴C=45°∵a=1．由正弦定理可得，则c===故选B点评：本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的简单应用，属于基础试题7．（2013•天津模拟）在钝角△ABC中，已知AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，把c，b，以及cosB的值代入求出a的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．解答：解：∵在钝角△ABC中，已知AB=c=，AC=b=1，∠B=30°，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即1=a2+3﹣3a，解得：a=1或a=2，当a=1时，a=b，即∠A=∠B=30°，此时∠C=120°，满足题意，△ABC的面积S=acsinB=；当a=2时，满足a2=c2+b2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则△ABC面积是．故选：B．点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．8．（2013•泰安一模）在△ABC中，∠A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）A．B．3C．D．7考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由△ABC的面积S△ABC=，求出AC=1，由余弦定理可得BC，计算可得答案．解答：解：∵S△ABC==×AB×ACsin60°=×2×AC×，∴AC=1，△ABC中，由余弦定理可得BC==，故选A．点评：本题考查三角形的面积公式，余弦定理的应用，求出AC，是解题的关键．9．（2013•浦东新区三模）已知△ABC中，AC=2，BC=2，则角A的取值范围是（）A．B．C．D．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：知道两边求角的范围，余弦定理得到角和第三边的关系，而第三边根据三角形的构成条件是有范围的，这样转化到角的范围．解答：解：利用余弦定理得：4=c2+8﹣4ccosA，即c2﹣4cosAc+4=0，∴△=32cos2A﹣16≥0，∵A为锐角∴A∈（0，]，故选：C．点评：此题属于解三角形题型，解题思路为：利用余弦定理解答三角形有解问题，知道两边求角的范围，余弦定理得到角和第三边的关系，而第三边根据三角形的构成条件是有范围的，这样转化到角的范围，有一定难度．10．（2012•广东）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：结合已知，根据正弦定理，可求AC解答：解：根据正弦定理，，则故选B点评：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题11．（2012•天河区三模）在△ABC中，若A=60°，BC=4，AC=4，则角B的大小为（）A．30°B．45°C．135°D．45°或135°考点：正弦定理的应用．专题：计算题．分析：先根据正弦定理将题中所给数值代入求出sinB的值，进而求出B，再由角B的范围确定最终答案．解答：解：由正弦定理得，∴B=45°或135°∵AC＜BC，∴B=45°，故选B．点评：本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．正弦定理在解三角形中有着广泛的应用，要熟练掌握．12．（2010•湖北）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．﹣B．C．﹣D．考点：正弦定理．分析：根据正弦定理先求出sinB的值，再由三角形的边角关系确定∠B的范围，进而利用sin2B+cos2B=1求解．解答：解：根据正弦定理可得，，解得，又∵b＜a，∴B＜A，故B为锐角，∴，故选D．点评：正弦定理可把边的关系转化为角的关系，进一步可以利用三角函数的变换，注意利用三角形的边角关系确定所求角的范围．13．△ABC的内角A、B、C对边的长a、b、c成等比数列，则的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，2+）C．（1，+∞）D．（1，2+）考点：正弦定理；等比数列的通项公式．专题：解三角形．分析：设==q，则由任意两边之和大于第三边求得q的范围，可得的取值范围解答：解：设==q，则==q+q2，则由，求得＜q＜，∴＜q2＜，∴1＜q+q2＜2+，故选：D．点评：本题考查数列与三角函数的综合应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意三角形三边关系的灵活运用14．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）B．C．1D．A．﹣考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．解答：解：∵3a=2b，∴b=，根据正弦定理可得===，故选：D．点评：本题主要考查正弦定理的应用，比较基础．15．（2014•重庆三模）在△ABC中，若，则∠B等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°考点：正弦定理．专题：计算题．分析：根据所给的等式和正弦定理，得到要求角的正弦和余弦相等，由根据这是一个三角形的内角得到角的度数只能是45°．解答：解：∵，又由正弦定理知，∴sinB=cosB，∵B是三角形的一个内角，∴B=45°，故选B．点评：本题考查正弦定理，是一个基础题，解题时注意当两个角的正弦值和余弦值相等时，一定要说清楚这个角的范围，这样好确定角度．16．（2014•萧山区模拟）在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围（）A．B．C．（0，2）D．考点：正弦定理；函数的值域．专题：计算题．分析：由正弦定理得，再根据△ABC是锐角三角形，求出B，cosB的取值范围即可．解答：解：由正弦定理得，∵△ABC是锐角三角形，∴三个内角均为锐角，即有，0＜π﹣C﹣B=π﹣3B＜解得，又余弦函数在此范围内是减函数．故＜cosB＜．∴＜＜故选A点评：本题考查了二倍角公式、正弦定理的应用、三角函数的性质．易错点是B角的范围确定不准确．17．（2014•南平模拟）在△ABC中，如果，B=30°，那么角A等于（）A．30°B．45°C．60°D．120°考点：正弦定理；余弦定理．分析：本题考查的知识点是正弦定理和余弦定理，由在△ABC中，如果，我们根据正弦定理边角互化可以得到a=c，又由B=30°，结合余弦定理，我们易求出b与c的关系，进而得到B与C的关系，然后根据三角形内角和为180°，即可求出A角的大小．解答：解：∵在△ABC中，如果∴a= c又∵B=30°由余弦定理，可得：cosB=cos30°===解得：b=c则B=C=30°A=120°．故选D．点评：余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，b2=a2+c2﹣2accosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．余弦定理可以变形为：cosA=（b2+c2﹣a2）÷2bc，cosB=（a2+c2﹣b2）÷2ac，cosC=（a2+b2﹣c2）÷2ab18．（2014•广西模拟）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠A：∠B=1：2，且a：b=1：，则cos2B的值是（）A．﹣B．C．﹣D．考点：正弦定理；二倍角的余弦．分析：根据正弦定理得到sinA：sinB，因为∠A：∠B=1：2，利用二倍角的三角函数公式得到A和B的角度，代入求出cos2B即可．解答：解：依题意，因为a：b=1：，所以sinA：sinB=1：，又∠A：∠B=1：2，则cosA=，所以A=30°，B=60°，cos2B=﹣故选A点评：考查学生灵活运用正弦定理解决数学问题的能力，以及灵活运用二倍角的三角函数公式化简求值的能力．19．（2014•鄂尔多斯模拟）在△ABC中，∠A=60°，b=1，△ABC的面积为，则边a的值为（）A．B．C．D．3考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：根据正弦定理的面积公式，结合题中数据算出边c=4，再由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA的式子算出a2=13，即可算出边a的长度．解答：解：∵△ABC中，∠A=60°，b=1，∴可得△ABC的面积为S=bcsinA=×1×c×sin60°=解之得c=4根据余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×1×4×cos60°=13，所以a=（舍负）故选C点评：本题给出三角形一边、一角和面积，求边a的长度．着重考查了正弦定理的面积公式和利用余弦定理解三角形等知识，属于基础题．20．（2014•文登市二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA+csinC+asinC=bsinB，则∠B （）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由已知结合正弦定理可得，，然后利用余弦定理可得，cosB==﹣，可求B解答：解：∵asinA+csinC+asinC=bsinB，∴由正弦定理可得，由余弦定理可得，cosB==﹣∵0＜B＜π∴B=．故选：D．点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．二．解答题（共10小题）21．（2014•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值．（Ⅱ）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案．解答：解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．点评：本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用．22．（2014•东城区一模）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．考点：正弦定理；两角和与差的正切函数．分析：本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数，（Ⅰ）由正弦定理的边角互化，我们可将已知中，进行转化得到sinAcosB=4cosAsinB，再利用弦化切的方法即可求的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，结合角A，B，C为△ABC的内角，我们易得tanA=4tanB＞0，则tan（A﹣B）可化为，再结合基本不等式即可得到tan（A﹣B）的最大值．解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，，由正弦定理得即sinAcosB=4cosAsinB，则；（Ⅱ）由得tanA=4tanB＞0当且仅当时，等号成立，故当时，tan（A﹣B）的最大值为．点评：在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式．23．（2014•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA ﹣sinBcosB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．考点：正弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）△ABC中，由条件利用二倍角公式化简可得﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2•cos（A+B）sin（A﹣B）．求得tan（A+B）的值，可得A+B的值，从而求得C的值．（Ⅱ）由sinA=求得cosA的值．再由正弦定理求得a，再求得sinB=sin[（A+B）﹣A]的值，从而求得△ABC的面积为的值．解答：解：（Ⅰ）∵△ABC中，a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB，∴﹣=sin2A﹣sin2B，即cos2A﹣cos2B=sin2A﹣sin2B，即﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2•cos（A+B）sin（A﹣B）．∵a≠b，∴A≠B，sin（A﹣B）≠0，∴tan（A+B）=﹣，∴A+B=，∴C=．（Ⅱ）∵sinA=＜，C=，∴A＜，或A＞（舍去），∴cosA==．由正弦定理可得，=，即=，∴a=．∴sinB=sin[（A+B）﹣A]=sin（A+B）cosA﹣cos（A+B）sinA=﹣（﹣）×=，∴△ABC的面积为=×=．点评：本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题．24．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．考点：正弦定理；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a，b代入计算，即可求出cosA的值；（Ⅱ）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，∴cosA===；（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．25．（2014•兴安盟一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c﹣a）cosB﹣bcosA=0．（Ⅰ）若b=7，a+c=13求此三角形的面积；（Ⅱ）求sinA+sin（C﹣）的取值范围．考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：利用正弦定理化简已知条件，根据三角形的内角和定理及诱导公式化简，由sinC不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到B的度数，（Ⅰ）根据余弦定理，由b，cosB和a+c的值，求出ac的值，然后利用三角形的面积公式，由ac的值和sinB的值即可求出三角形ABC的面积；（Ⅱ）由求出的B的度数，根据三角形的内角和定理得到A+C的度数，用A表示出C，代入已知的等式，利用诱导公式及两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据A的范围求出这个角的范围，由正弦函数的值域即可得到所求式子的取值范围．解答：解：由已知及正弦定理得：（2sinC﹣sinA）cosB﹣sinBcosA=0，即2sinCcosB﹣sin（A+B）=0，在△ABC中，由sin（A+B）=sinC故sinC（2cosB﹣1）=0，∵C∈（0，π），∴sinC≠0，∴2cosB﹣1=0，所以B=60°（3分）（Ⅰ）由b2=a2+c2﹣2accos60°=（a+c）2﹣3ac，即72=132﹣3ac，得ac=40（5分）所以△ABC的面积；（6分）（Ⅱ）因为==，（10分）又A∈（0，），∴，则sinA+sin（C﹣）=2sin（A+）∈（1，2]．点评：此题考查学生灵活运用正弦定理及诱导公式化简求值，灵活运用三角形的面积公式及两角和的正弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的值域，是一道中档题．26．（2014•福建模拟）设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，b=2．（Ⅰ）当时，求角A的度数；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：（I）由可求sinB=且B为锐角，由b=2，a=考虑利用正弦定理可求sinA，结合三角形的大边对大角且a＜b可知A＜B，从而可求A，（II）由，b=2利用余弦定理可得，b2=a2+c2﹣2accosB，把已知代入，结合a2+c2≥2ac可求ac的范围，在代入三角形的面积公式可求△ABC面积的最大值．解答：解：∵∴sinB=且B为锐角（I）∵b=2，a=由正弦定理可得，∴∵a＜b∴A＜B∴A=30°（II）由，b=2利用余弦定理可得，b2=a2+c2﹣2accosB∴从而有ac≤10∴∴△ABC面积的最大值为3点评：本题（I）主要考查了利用正弦定理及三角形的大边对大角解三角形（II）利用余弦定理及基本不等式、三角形的面积公式综合求解三角形的面积．考查的是对知识综合运用．27．（2014•江西模拟）三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A ﹣C）=2sin2C．（1）求内角B的余弦值；（2）若b=，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）三角形ABC中，由条件化简可得sinA=2sinC，故有a=2c．再由b2=ac=2c2，求得cosB=的值．（Ⅱ）根据b=，b2=ac=2c2，求得c和a的值，求得sinB=的值，再根据△ABC的面积S=ac•sinB，计算求得结果．解答：解：（Ⅰ）三角形ABC中，∵sinB+sin（A﹣C）=2sin2C，∴sin（A+C）+sin（A﹣C）=4sinCcosC，sinA=2sinC，∴a=2c．又因为b2=ac=2c2，∴cosB==．（Ⅱ）∵b=，b2=ac=2c2，∴c=，∴a=．又∵sinB==∴△ABC的面积S=ac•sinB=．点评：本题主要考查两角和差的三角公式、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．28．（2014•陕西）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；（Ⅱ）由a，bc成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值．解答：解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∴cosB==≥=，当且仅当a=c时等号成立，∴cosB的最小值为．点评：此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．29．（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由a+b+c=8，根据a=2，b=求出c的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可；（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到a+b=3c，与a+b+c=8联立求出a+b的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入S=sinC求出ab的值，联立即可求出a与b的值．解答：解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，∴c=8﹣（a+b）=，∴由余弦定理得：cosC===﹣；（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c，∵a+b+c=8，∴a+b=6①，∵S=absinC=sinC，∴ab=9②，联立①②解得：a=b=3．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．30．（2014•启东市模拟）在△ABC中，A，B，C为三个内角a，b，c为三条边，，且．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若，求的取值范围．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（1）先利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，利用二倍角公式和两角和公式整理求得sinB=sin2C，进而根据B，C的范围，求得B+2C=π，判断出A=C，即三角形为等腰三角形．（2）利用平面向量的性质，依据已知条件求得a2+c2+2ac•cosB=4，根据a的值求得cosB的值．解答：解：（1）由及正弦定理，得，即sinBsinA﹣sinBsin2C=sinAsin2C﹣sinBsin2C，即sinBsinA=sinAsin2C，因为A是三角形内角，所以sinA≠0，可得sinB=sin2C，∵，∴，∴B+2C=π，∵A+B+C=π，∴A=C，△ABC为等腰三角形．（2）∵∴B∈（0，），∴cosB∈（，1）由（1）可知a=c，由，得a2+c2+2ac•cosB=4，∴a2=，∴=cosB=a2•cosB==2﹣∈（，1）（12分）．点评：本题主要考查了正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理进行了边角问题的转化．。
解三角形(提升)练习题(含答案)
解三角形练习（提升）（含答案）一、选择题1、在△ABC 中，a, b, c 分别是内角 A , B , C 所对的边，若 c cos A b ，则△ABC 形状为 CA.一定是锐角三角形 B . 一定是钝角三角形C . 一定是直角三角形D . 可能是锐角三角形, 也可能是钝角三角形2、在△ABC 中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB= 3ac , 则角 B 的值为（D ）A. B. C.或6 3 6 56D.3或233、在△ABC中，AB 3 ，A 45 ，C 75 ，则BC （Ａ）Ａ．3 3 Ｂ． 2 Ｃ．2Ｄ．3 34、在ABC 中，02 xA 60 ，且最大边长和最小边长是方程x 7 11 0的两个根，则第三边的长为（ C ）A．2 B．3 C．4 D．55、在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是 DA、b 10, A 45 ,C70B、a 60, c 48, B 60C、a 7,b 5,A 80D、a 14, b 16, A 456、长为5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和为( B )A 90°B 120°C 135°D 150°二、填空题：7、如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB AD ,2 A B 3BD ,BC 2BD ，则s in C 的值为___________。
6 68、如图，△ABC 中，AB=AC=2 ，BC= 2 3 ，点D 在BC 边上，∠ADC=4°5，则AD 的长度等于______。
解析：在△ABC 中，AB=AC=2 ，BC= 2 3 中，ACB ABC 30 ，而∠ADC=4°5，AC ADsin 45 sin 30, AD 2 ,答案应填 2 。
9、在△ABC中，若tan1A ，C 150 ，BC 1，则AB .3110答案210、在锐角△ABC 中，BC＝1，B＝2A，则AC的值等于________，AC 的取值范围为________．cos A解析：由正弦定理BC＝sin AAC，则sin BAC＝cos ABC s in B＝sin Acos A2BCsin Bsin 2A＝2.由A＋B＋C＝π得3A＋C＝π，即C＝π－3A.π0< A<2由已知条件：π0<2 A<2，解得ππ<A< .由AC＝2cos A 知2<AC< 3.6 4π 0<π－3A<2答案：2 ( 2，3)三、解答题：11、在△ABC 中，内角A，B，C 对边的边长分别是a，b，c ，已知c 2，C ．3 （Ⅰ）若△ABC的面积等于 3 ，求a，b ；（Ⅱ）若sin B 2sin A，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）由余弦定理得， 2 2 4a b ab ，又因为△ABC的面积等于 3 ，所以12ab sin C 3 ，得ab 4．联立方程组2 2 4a b ab，解得a 2，b 2．ab 4，（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为 b 2a，联立方程组2 2 4a b ab，解得b 2a，2 3a ，34 3b ．3所以△ABC的面积 1 sin 2 3S ab C ．2 312、在ABC中，若c osB b cosC 2a c（1）求角B的大小（2）若b 13 ，a c 4，求ABC的面积2 a2c2b解：（1）由余弦定理得2a 2ac2b2cb2a c2 2 2化简得： a c b ac2ab2∴2 2 2a cb ac 1cos B∴B＝120°2ac 2ac 22 2 2（2）b a c 2ac cos B 2 ac ac1∴13 (a c) 2 2 ( )2∴ac＝3 ∴S ABC 12ac sin B3 3413、某市电力部门某项重建工程中，需要在A、B 两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离. 现测量人员在相距 3 km的C 、D 两地（假设A、B 、C 、D 在同一平面上），测得∠A CB 75 ，BCD 45 ，ADC 30 ，ADB 45 （如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A、B 距离的43倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？A解：在ACD 中，由已知可得，CAD 30B 所以，AC 3km⋯⋯⋯754545在BCD 中，由已知可得，CBD 6030CDsin 75 sin(45 30 ) 6 2 4由正弦定理，BC 3 sin 75 6 2 sin 60 2cos 75 cos(45 30 ) 6 2 4在ABC中，由余弦定理 2 2 2 cosAB AC BC AC BC BCA2 6 2 2 6 23 ( ) 2 3 cos75 52 2所以，AB 5 施工单位应该准备电线长4 53.答：施工单位应该准备电线长435 km.3。
解直角三角形练习试题1(含答案解析)
解直角三角形练习题1一. 选择题：（每小题2分，共20分）1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（ ） A.43 B. 34 C. 53 D. 35 2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ） A.21B. 33C. 1D. 33. 在△ABC 中，若22cos =A ，3tan =B，则这个三角形一定是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形4. 如图18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误的是（ ）A.EGEF G =sin B. EFEH G =sinC. FGGH G =sin D. FGFH G =sin 5. sin65°与cos26°之间的关系为（ ）A. sin65°<cos26°B. sin65°>cos26°C. sin65°=cos26°D. sin65°+cos26°=1 6. 已知30°<α<60°，下列各式正确的是（ ） A.B.C.D.7. 在△ABC 中，∠C=90°，52sin =A ，则sinB 的值是（ ） A.32 B.52 C.54D.521 8. 若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（ ）米2A. 150B.375C. 9D. 79. 如图19，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i= 2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（ ）A. 7米B. 9米C. 12米D. 15米 10. 如图20，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（ ） A.αsin 1 B. αcos 1C. αsinD. 1二. 填空题：（每小题2分，共10分）11. 已知0°<α<90°，当α=__________时，21sin =α，当α=__________时，Cota=3. 12. 若，则锐角α=__________。
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解三角形卷一
一．选择题
1． 在△ ABC 中， sinA:sinB:sinC=3:2:4 ，则 cosC 的值为
A ．
2
B ．－
2
C ．
1
D ．－
1
3
3
4
4
、在 △ ABC 中，已知 a 4, b 6 ， B
60 o
，则
sin A
的值为
2
A 、
3
B 、
3
C 、
6
6
3
D 、
3
2
2
3、在 △ ABC 中， A : B : C 1: 2:3 ，则 sin A :sin B :sin C
A 、 1: 2:3
B 、 1: 2 :3
C 、 1: 2 : 3
D 、 1: 3 : 2
4、在 △ ABC 中， sin A :sin B :sin C
4:3: 2 ，那么 cosC 的值为
1
B 、
1
7 11 A 、
4
C 、
D 、
4
8
16
5、在 △ ABC 中， a
7,b
4 3, c
13 ，则最小角为
A 、
B 、
6
C 、
D 、
3
4
12
6
△ ABC
中， A 60 o ,b 16,
面积 S 220 3
，则 c 、在
A 、 10 6
B 、 75
C 、 55
D 、49
7、在 △ ABC 中， (a c)( a c) b(b c) ，则 A
A 、 30o
B 、 60o
C 、 120o
D 、 150o
8、在 △ ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是 A 、 b 10, A 45o ,C 70o
B 、 a 60,c
48, B 60o
C 、 a
7, b 5, A 80o
D 、 a 14, b 16, A 45o
二、填空题。
9．在△ ABC 中， a ， b 分别是∠ A 和∠ B 所对的边，若 a ＝ 3 ，b ＝ 1，∠ B ＝ 30°，则∠ A 的 值是
．
10．在△ ABC 中，已知 sin Bsin C ＝ cos
2
A
，则此三角形是 __________ 三角形．
2
11. 在△ ABC 中，∠ A 最大，∠ C 最小，且∠ A ＝ 2∠ C ，a ＋ c ＝ 2b ，求此三角形三边之比
为．
三、解答题。
12．在△ ABC 中，已知∠ A＝ 30°， a，b 分别为∠ A，∠ B 的对边，且 a＝ 4＝3
b，解此三3
角形．
13．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15°，向山顶前进100 米后到达点B，又从点 B 测得斜度为45°，建筑物的高CD 为50 米．求此山对于地平面的倾斜角．
( 第 13 题)
14．在△ ABC 中，∠ A，∠ B，∠ C 的对边分别为a，b， c，若 bcos C＝ ( 2a－ c) cos B，( Ⅰ ) 求∠ B 的大小；
( Ⅱ ) 若 b＝7 ，a＋c＝4，求△ABC的面积．
11．解析：本例主要考查正、余弦定理的综合应用． 由正弦定理得
a
＝
sin A
＝
sin 2C
＝ 2cos C ，即 cos C ＝ a
，
c
sin C
sin C
2c
由余弦定理 cos C ＝
a 2＋ 2－
2
＝ ( a ＋ )(
－ )＋ b 2
b c
c a c
．∵ a ＋ c ＝2b ，
2ab
2ab
2 ( － )＋
＋
2(
＋
2(
－ )＋
a ＋
c
b a
c － )＋ a c
a
∴ cos C ＝ b a c 2 ＝ a c
2
，∴
a ＝
c 2
．
2ab 2a
2c
2a
整理得 2a 2
－ 5ac ＋ 3c 2
＝0．解得 a ＝ c 或 a ＝
3
c ．
2
∵∠ A ＝ 2∠ C ，∴ a ＝ c 不成立， a ＝
3
c ∴ b ＝ a
3
c c
c
＝ 2
＝ 5
c ，
2
2 2
4
∴ a ∶b ∶ c ＝ 3
c ∶ 5
c ∶ c ＝ 6∶ 5∶ 4．故此三角形三边之比为 6∶ 5∶ 4．
2 4
12． b ＝ 4 3 ，c ＝ 8，∠ C ＝ 90°，∠ B ＝ 60°或 b ＝ 4 3 ，c ＝ 4，∠ C ＝ 30°，∠ B ＝ 120 °． 解：由正弦定理知
a ＝ b
4
＝ 4 3
sin B ＝ 3 ， b ＝4 3 ．
sin A
sin 30 sin B
2
sin B
∠ B ＝ 60°或∠ B ＝ 120° ∠ C ＝ 90°或∠ C ＝ 30° c ＝8 或 c ＝ 4．
13 解：在△ ABC 中，∠ BAC ＝ 15°， AB ＝ 100 米，∠ ACB ＝45°－ 15°＝ 30°． 根据正弦定理有
100 ＝ BC ，∴ BC ＝ 100 sin 15
．
sin 30
sin15 sin 30
又在△ BCD 中，∵ CD ＝ 50， BC ＝
100sin 15
，∠ CBD ＝45°，∠ CDB ＝ 90°＋ ，
sin 30
50
100 sin15
根据正弦定理有
＝ sin 30
．解得 cos ＝ 3 － 1，∴ ≈ 42.94 °． sin 45
sin( 90 ＋ )
∴ 山对于地平面的倾斜角约为 42.94 °．
14．解： ( Ⅰ ) 由已知及正弦定理可得
sin Bcos C ＝2sin Acos B －cos Bsin C ，
∴ 2sin Acos B ＝ sin Bcos C ＋ cos Bsin C ＝ sin( B ＋
C) ．又在三角形 ABC 中， sin( B ＋ C) ＝ sin A ≠ 0，
∴ 2sin Acos B ＝ sin A ，即 cos B ＝ 1 ， B ＝
π
．
2 3
( Ⅱ ) ∵ b 2＝ 7＝ a 2＋ c 2－ 2accos B ，∴ 7＝ a 2＋ c 2－ ac ，
又 ( a ＋ c)
2
22
＋ 2ac ，∴ ac ＝3，∴ S ABC ＝ 1
( 第 13 题)
＝ 16＝ a ＋ c
acsin B ，
△
2
即 S △ABC ＝ 1
· 3·
3 ＝ 3 3 ．
2
2
4。