定积分的几类特殊解题技巧
定积分的求解技巧总结
定积分的求解技巧总结定积分是微积分中的重要概念之一，它在物理、经济、工程等领域中具有广泛的应用。
在求解定积分的过程中，我们需要掌握一些技巧和方法，以便快速有效地求解定积分问题。
下面是关于定积分求解技巧的总结。
1. 凑微分法：凑微分是一种常见的定积分求解技巧，它通过巧妙地选择变量代换，将被积函数转化为易于求解的形式。
凑微分法的关键是选择合适的代换变量，使得被积函数中有微分的部分能够与代换变量的微分形式完全匹配。
例如，当被积函数为形如$f(x)g'(x)$的形式时，我们可以选择合适的代换变量，使得$g'(x)$变为某个函数$u$的微分形式$du$，然后利用凑微分法将被积函数变为$udu$的形式，进而方便地求解。
2. 分部积分法：分部积分法是定积分求解中最常用的一种技巧之一。
它通过对被积函数中的某一项进行分部积分，并利用积分的性质将被积函数转化为易于求解的形式。
分部积分法的基本公式为$\\int{u dv} = uv - \\int{v du}$，其中$u$和$v$是可以求导或可积的函数。
通过不断应用该公式，我们可以将被积函数中的一项转化为另一项的积分形式，从而简化求解过程。
3. 换元法：换元法是求解定积分的另一种常用技巧，它通过选择合适的代换变量，将被积函数转化为易于求解的形式。
换元法的关键是选择合适的代换变量和对应的微分形式。
通常情况下，我们选择代换变量$y = f(x)$，然后计算其导数$dy$，将原定积分转化为新的定积分。
选择合适的代换变量是换元法的关键，需要根据被积函数的特点进行选择，以便简化求解过程。
4. 奇偶性：奇偶性是定积分求解中常用的一种简化技巧。
通过判断被积函数的奇偶性，可以将定积分的求解范围缩小一半，从而简化求解过程。
如果被积函数$f(x)$具有奇函数的性质，即$f(-x) = - f(x)$，那么在对称区间上的定积分可以简化为单侧的定积分。
类似地，如果被积函数$f(x)$具有偶函数的性质，即$f(-x) = f(x)$，那么在对称区间上的定积分可以简化为两侧定积分的加和。
定积分计算方法总结
定积分计算方法总结定积分是微积分中的重要概念之一，也是计算与物理、经济、工程等领域中的许多实际问题时常用到的方法。
本文将对定积分的计算方法进行总结，包括基本的方法、常用的变换、一些特殊的技巧等。
一、基本的定积分计算方法定积分的计算可以通过求解不定积分的方法进行。
不定积分是定积分的逆运算，即通过求解导数为被积函数的函数，然后在积分区间上进行计算。
在计算不定积分时，可以利用基本积分公式进行运算。
常见的基本积分公式包括：幂函数积分公式、三角函数积分公式、指数函数积分公式等。
熟练掌握这些基本的积分公式对于定积分的计算非常有帮助。
另外，还可以通过换元积分法、分部积分法等方法进行计算。
换元积分法是将被积函数中的自变量进行变换，以便简化积分的计算。
分部积分法则是通过对被积函数进行分解，将积分转化为两个函数之积的积分。
二、常用的定积分变换在定积分的计算中，常常需要进行变量替换或区间转化，以便于计算或简化问题。
一种常用的变换是变量替换法。
通过将积分中的自变量进行替换，可以将原本复杂的积分转化为更简单的形式。
常见的变量替换包括：三角函数替换、指数函数替换、倒数替换等。
这些替换方法可以根据问题的需求，适时选择。
另外，还有区间转化的方法。
在求解定积分时，有时需要将原本的积分区间进行转化。
这种转化可以将积分的计算变得更加简便，也有助于利用基本积分公式进行计算。
常见的区间转化方法包括：对称性转化、变量代换转化等。
三、特殊的定积分计算技巧在定积分的计算中，还存在一些特殊的技巧可以加快计算的速度，提高效率。
一种常见的技巧是分割区间法。
当被积函数在积分区间上具有不同的特性时，可以将区间进行分割，对不同的子区间采取不同的计算方法。
这样可以减少对复杂函数进行计算的难度，提高计算的准确性。
另外，还有用和差化积、凑微分等技巧。
和差化积是通过将被积函数进行展开重新组合，以简化积分的计算。
凑微分则是通过对被积函数进行一些巧妙的变换，以便进行积分。
求定积分的几种特殊技巧
求定积分的几种特殊技巧作为数学中最基础也是最重要的分支之一，积分在科学、工程等领域中有着广泛的应用。
其中，定积分是计算曲线下的面积、求平均值、做物理学中的力学功等问题时必不可少的工具之一。
但是对于某些比较复杂的函数，直接计算其定积分是非常困难的，因此本文将介绍一些求解定积分的技巧。
一、换元法换元法是求解定积分中最常用的方法之一。
它的原理在于将原式的变量替换为一个新的变量，以消除被积函数中的一些难以处理的形式。
常见的换元方式包括正逆三角函数的换元、指数函数的换元、以及复合函数的换元等。
例如，若要求$ \int_0^1\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^2}}dx$，则可以进行正弦函数换元$x=\sin t$，得到$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}2\sin t dt$$ 将以上式子简化即可得到答案。
二、分部积分法分部积分法是求解定积分中比较常见的技巧之一。
它的基本思路在于将被积函数分解成两个因子的乘积形式，并运用导数和乘积的关系来求解。
常见的函数形式包括：多项式与三角函数、多项式与指数函数的积等。
例如，若要求$ \int x\cos xdx$，则可以将其分解为$\cos x$与$x$的乘积形式，然后使用分部积分法，依次求导即可得到积分答案。
三、待定系数法待定系数法是求解包含有多个函数的定积分时较为有效的一种技巧。
它的思路在于将被积函数拆解为若干简单因式之积的形式，并使用待定系数法解出其中的系数。
例如，若要求$ \int\dfrac{1}{x^3+1}dx$，则可以将被积函数看做是两个多项式之间的除法形式，然后使用待定系数法找到使得其成立的系数即可。
当然，在实际应用中，待定系数法的求解过程会相对比较冗长，需要考虑较多常数项的组合形式，因此建议尝试在纸上进行多次演练，以达到更好的掌握效果。
四、对称性法对称性法是一种比较基础的技巧，在解决一些具有对称形式的函数积分时比较有效。
其的核心思想在于利用函数在不同积分区间的对称性，将积分化简为一些更易于计算的部分。
定积分的几类特殊解题技巧
∫ ln 1 − x dx
0
1
1
∫
ln(1 + x ) dx x
∫x
0
1
p −1
ln(1 − xq )dx
例 ５ ∫0 解
+∞
xdx e x +1
∫
+∞
0
xdx 等 e2 π x − 1
我们无法用求不定积分的方法来求得他们的原 莱布尼兹公式计算定积分的值 首先我们来证
∫
+∞
0
+∞ xe − x +∞ xdx = dx = ∫ xe− x (1− e−x + e− 2x − ⋅ ⋅ ⋅)dx 0 e x +1 ∫0 1 + e− x +∞ +∞
T 0
它必须要求被积函数存在原函数 它要 莱布尼兹公式并不能
求被积函数是连续函数
求出所有可积函数的定积分 下面介绍一些特殊的方法 计算 很方便的计算出来 分的解题能力
设 f(x) 在 (-∞,+ ∞ ) 可积 这些解题技巧不仅可以简化 会大大提高对定积
a+ T
而且还可以将一些无法求出被积函数原函数的定积分 熟练掌握这些方法
sin 2 x + cos 2 x = 1 等等
如 sin x = sin(π − x)
1 1 + +⋅⋅⋅] ( n + 1)( n + 2) (n + 2)( n + 3) 1 1 1 1 = − [( − )+ ( − ) +⋅⋅⋅] n +1 n + 2 n+2 n+3 1 =− n +1
求解定积分的技巧与方法
求解定积分的技巧与方法求解定积分是高中数学和大学数学中不可避免的一个内容。
对于许多学生和学者来说，求解定积分是一个比较棘手的问题，需要灵活的思维和丰富的数学知识。
本文将为大家介绍一些求解定积分的技巧和方法，帮助大家更好地理解和掌握这一内容。
1. 分段函数法分段函数法是解决经典定积分求解的常用技巧之一。
当我们面对一个比较复杂的积分时，可以尝试将其分解成多个简单的分段函数，进而分别求解。
例如，对于一个形如$y=|x|$ 的函数图像，我们可以将其分区间来讨论，即：当$x\leq0$ 时，$y=-x$，则：$\int_{-1}^{1}|x|\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^{0}-x\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{1}x\,\mathrm{d}x$当$x>0$ 时，$y=x$，则：$\int_{-1}^{1}|x|\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{1}x\,\mathrm{d}x-\int_{-1}^{0}x\,\mathrm{d}x$这样的分段讨论可以使我们更加清晰地理解函数的特性，并且更加方便地求解原函数。
2. 换元法换元法是求解复杂定积分的常用方法之一。
通常我们会利用简单的变量替换，将原积分转化为易于处理的形式。
例如，对于$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{1+\sin x}\,\mathrm{d}x$这样的积分，我们可以利用以下替换：设$t=\tan\frac{x}{2}$，则有：$\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\mathrm{d}x=\frac{2\mathrm{d}t}{1+t^{2}}$将上述变量替换代入原式中，则有：$\int_{-1}^{1}\frac{2}{1+(2t/(1+t^{2}))}\frac{2\mathrm{d}t}{1+t^{2}}=4\in t_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^{2}}=4\pi$所以原式的解为$4\pi$。
定积分计算的一项技巧
定积分计算的一项技巧定积分计算是数学中的一个重要分支，它的应用广泛，尤其是在物理、经济、计算机科学等领域中，计算定积分非常重要，但是一般情况下，它并不容易计算。
因此，利用一些技巧可以使定积分计算更加容易，以下为常用技巧介绍：1.积分变换法计算定积分。
积分变换法就是利用变换将求解的初始定积分变换为某种更容易计算的形式，从而使定积分计算更加容易。
2.用三角函数或指数函数变为可积函数。
利用三角函数或指数函数将定积分变为可积函数，从而使定积分计算更加容易。
3.用级数展开式求解定积分。
如果定积分中有级数，则可以利用此类级数展开式求解定积分，使其变得更容易计算。
4.反方法求解定积分。
用反方法求解定积分时，会在原来的定积分中添加一个积分的参数，这样就可以用积分的参数求出原来的定积分的值，使其变得更容易求解。
5.用代数技巧求解定积分。
利用代数技巧如合并一些分母，可以使定积分计算更容易。
6.用Gauss积分公式求解定积分。
Gauss积分公式是把某种函数的定积分变为一些定积分的函数的值的积分，这使得定积分的计算更加容易。
7.用复合积分求解定积分。
复合积分是把原本的定积分拆分成多个更简单的定积分组合而成，这样也可以使定积分计算更加容易。
以上就是一般常用的定积分计算技巧，利用这些技巧，可以在大大减少计算时间的同时，取得精确的结果。
此外，还有一些更高级的计算技巧，如Laplace变换、Mellin变换等，利用这些技巧，还可以在大大提高计算速度的同时，取得更精确的结果。
定积分计算的技巧还会不断更新，但是要记住，使用定积分计算技巧时，一定要有一定的数学基础，这样才能够取得正确的结果。
一些特殊定积分的解题技巧
一些特殊定积分的解题技巧特殊定积分是指具有特定形式或特殊性质的定积分。
下面将介绍一些解特殊定积分题目的技巧。
1. 分部积分法分部积分法适用于具有乘积形式的积分。
设要求的积分为∫u dv，根据分部积分公式，可以得到：∫u dv = u v - ∫v du通过选择合适的u和dv，使得∫v du容易求解，可以简化积分的过程。
2. 换元法换元法可以将复杂的定积分转化为简单的形式。
设t = g(x)为变换函数，dx = g'(x) dt，要求的积分变为∫f(g(x)) dx = ∫f(t) g'(x) dt。
通过适当选择变换函数g(x)，可以使原积分简化为常见的积分形式。
3. 对称性如果被积函数具有某种对称性质，可以利用对称性简化积分过程。
如果被积函数具有奇偶对称性，可以利用奇偶性质进行化简。
4. 利用几何意义有些特殊定积分的积分区间可以看作是几何形状的面积、体积或弧长等。
通过找到几何意义，可以将问题转化为求解几何参数的问题，从而简化积分过程。
5. 利用对数和指数函数的性质对数和指数函数具有一些特殊的性质，可以利用这些性质简化积分。
利用指数函数的性质可以将积分转化为指数函数的积分形式，再利用指数函数的积分性质求解。
7. 利用积分的加法性质定积分具有加法性质，可以将整个积分区间分成多个部分进行求解。
通过将积分区间划分为简单的子区间，可以将整个积分化简为单个子区间的积分，再将结果相加。
8. 利用积分的换序性质如果被积函数具有一定的连续性和可导性质，可以通过交换积分顺序简化积分的过程。
即，将二重积分或三重积分转化为先对一个变量进行积分，再对另一个变量进行积分的积分形式。
一道常问定积分计算题的四种解法
一道常问定积分计算题的四种解法对于定积分的计算问题，常见的解法有四种：几何解法、换元法、分部积分法和定积分的性质。
下面将分别对这四种解法进行详细讲解。
第一种解法是几何解法。
这种解法主要通过几何图形的面积来计算定积分。
具体步骤如下：1.确定被积函数的图像和积分区间。
2.将积分区间划分成若干个小区间，计算每个小区间内被积函数与x轴之间的面积。
3.对所有小区间内的面积进行求和，得到最终的定积分结果。
比如，计算函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分。
根据几何解法，可以将函数的图像画出，然后计算函数图像与x轴之间的面积。
在这个例子中，可以直接求出图形为一个以0点为顶点的直角三角形，面积为1/2、因此，定积分的解为1/2第二种解法是换元法。
这种解法利用变量替换的方法，将原来的积分转化为一个更容易计算的积分。
具体步骤如下：1.对被积函数进行合适的变量替换，将原来的积分表达式转化为新的积分表达式。
2.计算新的积分表达式，并将结果转化为原来的变量。
比如，计算函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分。
采用换元法时，可以令u = x^2，那么x = u^(1/2)。
根据变量替换的规则，可以将原来的积分表达式转化为∫(0 to 1) (u^(1/2))*(1/(2u^(1/2))) du，这样就得到了一个更容易计算的积分表达式。
计算后得到的结果为1/3，然后再将结果转化为原来的变量，最终得到定积分的解为1/3第三种解法是分部积分法。
这种解法利用积分运算的性质，将原来的积分转化为由两个函数的积分组成的表达式。
具体步骤如下：1.对被积函数进行拆分，将其分解成两个函数的乘积。
2. 利用分部积分公式∫u(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)] -∫v(x)u'(x)dx，其中u(x)和v(x)分别为函数的因子，来计算新的积分表达式。
比如，计算函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分。
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第四章“积分”简介一、内容和要求“积分”一章主要包括不定积分的概念及其运算、定积分的概念与性质、定积分的应用三部分。
“不定积分的概念及其运算”主要是运用基本积分公式表，求不定积分的过程；“定积分的概念与性质”主要是理解并掌握定积分的概念，定积分的概念是本章最重要的概念，是学习其他内容的基础；“定积分的应用”主要介绍定积分在几何上的应用和在力学上的简单应用。
（一）不定积分概念及其运算不定积分概念及其运算包括原函数和不定积分的概念、基本积分公式、不定积分的运算法则、直接积分法、第一换元积分法等。
不定积分是一元函数微积分学的基本内容，本章教材在学生掌握求导数方法的基础上，求原函数或不定积分。
由于在一定的条件下，求不定积分与求导数互为逆运算，因此学习本部分时，要与“导数与微分”一章的有关内容对照。
特别是基本积分公式与常见函数的导数的对应（如下表）基本积分公式常见函数的导数不定积分中的运算及化归的内容非常丰富，涉及的积分方法有：直接积分法和第一换元积分法，它是进一步培养学生运算及化归能力的良好素材。
不定积分的内容与导数的内容紧密相联，由于导数与积分之间的逆运算关系，所以大纲中强调一定的运算能力及变换技巧，但在高中阶段不应过分强调，否则容易成为学习的一种障碍，因为求不定积分及定积分涉及很多的运算及技巧，在高中安排积分的初衷似主要不是在此方面。
学生只需学会用直接积分法和第一换元积分法求不定积分即可。
本部分的教学要求：1．掌握原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的线性性质。
2．熟记基本积分公式（），会利用线性性质和第一换元积分法求简单函数的不定积分。
（二）定积分的概念与性质定积分的概念是“积分”一章中最重要的概念。
定积分是在学习了极限、导数、微分及不定积分的基础上来学习的，它的理论基础是极限。
定积分的概念是微积分重要而又基础的内容，定积分中“和的极限”的思想，在高等数学、物理、工程技术、其他的知识领域以及人们在生产实践活动中具有普遍的意义，很多问题的数学结构与定积分中求“和的极限”的数学结构是一样的。
教材通过对曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等实际问题的研究，运用极限方法，分割整体、局部线性化、以直代曲、化有限为无限、变连续为离散等过程，使定积分的概念逐步发展建立起来。
可以说，定积分最重要的功能是为我们研究某些问题提供一种思想方法（或思维模式），即用无限的过程处理有限的问题，用离散的过程逼近连续，以直代曲，局部线性化等。
定积分的概念及微积分基本公式，不仅是数学史上，而且是科学思想史上的重要里程碑。
现在定积分已广泛应用于自然科学、技术科学、社会科学、经济科学等领域。
微积分基本公式即牛顿--莱布尼茨公式。
牛顿--莱布尼茨公式的建立，揭示了定积分与不定积分的内在联系，给出了计算定积分的一般的简便而适用的方法，使定积分真正成为解决许多实际问题的有力工具，促进了积分学的迅速发展。
因此，可以说，牛顿--莱布尼茨公式的出现，是积分学建立与发展的转折点，是积分学有如此广泛应用的关键。
正是由于这个公式本身的特点和历史上的作用，所以又称它为微积分基本公式。
本部分的教学要求：1．了解定积分概念的某些实际背景（曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等），了解定积分的定义和定积分的几何意义，知道函数连续是定积分存在的充分条件。
2．理解定积分的线性性质及对区间的可加性；了解（用直线运动的速度与路程的关系引出）微积分基本公式（牛顿--莱布尼茨公式），了解公式成立的条件，会用这个公式求一些函数的定积分。
（三）定积分的应用定积分的应用主要将用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程、变力作功以及对极坐标系的初步介绍和在极坐标系中求平面图形的面积。
学习这部分内容，要达到以下目的：1．有助于对定积分是“和的极限”的思想的了解，即分割→近似代替→求和→取极限的思想方法．2．使学生学会用定积分解决在几何中用初等数学方法无法解决的面积、体积问题，力学方面的计算问题，从而进一步体会学习定积分的必要性．3．形数结合，加深对定积分几何意义的理解，不但能够求出关于某些平面图形的面积以及空间图形的体积的定积分表达式的值，而且知道某些简单的定积分表达式的几何意义．4．知道在求平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程、变力作功时，定积分是一种普遍适用的方法．5．对几何图形的基本度量--面积、体积等概念有较为完整的认识。
6．了解极坐标的概念，会求极坐标系中简单的平面图形的面积。
二、编写特点（一）突出基本概念和基本思想“定积分”既是本章的基本概念，又是基本思想。
定积分应用的有关内容都是围绕定积分的基本思想展开的，所以掌握好定积分的基本思想是本章的关键。
教材除在“定积分的概念与计算”一节中重点介绍“定积分”的概念、思想外，又利用定积分的思想推导出旋转体的体积公式、极坐标系中平面图形的面积公式等。
定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题。
定积分的思想在古代数学家的工作中，就已经有了萌芽。
比如阿基米德（Archimedes，公元前287年～公元前212年）远在公元前240年左右，就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。
早在公元前六世纪我国古代数学家祖geng提出“幂势既同，则积不容异。
”（祖geng原理）“幂”是截面积，“势”是几何体的高。
意思是：两个同高的几何体，如果与底等距离的截面积总相等，那么几何体的体积相等。
定积分的概念，在很早以前也已经在许多人的工作中逐渐形成。
但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前，有关定积分的种种结果还是孤立零散的，比较完整的定积分理论还未能形成，直到牛顿--莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分迅速建立发展起来。
定积分的思想即“分割→近似代替→求和→取极限”，它为我们研究某些问题提供了一种思维模式．旋转体的体积公式、变力作功的公式、极坐标系中平面图形的面积公式的推导，尽管在形式上不尽相同，但都是“分割→近似代替→求和→取极限”的思想方法．虽然在教学中主要是让学生会用上述的公式直接计算定积分，但学生掌握这一思想方法，高屋建瓴，对上述公式会有深刻的理解。
（二）加强知识之间的前后联系，归纳总结已学知识不定积分的内容与“导数与微分”的内容联系紧密，学好“导数与微分”一章，是学好不定积分的前提．在学习不定积分之前，对“导数与微分”一章进行适当地复习是非常必要的，特别是常见函数的导数，一定要熟记掌握。
教材在阅读材料“长度、面积、体积”中，对长度、面积、体积等几何度量进行了归纳总结．长度、面积、体积等贯穿了初等几何学习的始终，学完定积分后对它们进行适当地总结，目的是使学生对于长度、面积与体积的概念有较为完整的认识，而且还能体会定积分的价值，知道定积分在求图形的长度、面积、体积时，是一种普遍适用的方法。
（三）注重与物理学科的联系在物理研究中，用数学工具解决物理问题已不鲜见。
事实上，物理学和数学的联系非常紧密，综观整个数学史和物理学史，不难发现，在物理科学的研究中，不断产生新的数学知识，微积分的产生是最明显的一例；反过来，数学知识的充实和完善又促进了物理学的发展，两者相辅相成。
“定积分在力学上的简单应用”一节充分说明了这一点。
本章的变速直线运动的路程、自由落体运动、变力作功等问题都是力学中常见的问题，但用以前的方法无法解决，现在引入定积分，可使这些问题顺利解决。
本章特别注意与全日制普通高级中学教科书（试验本）物理第一册（必修）的联系，在全日制普通高级中学教科书（试验本）物理第一册（必修）中，对“位移公式的另一种推导”中曾提到速度--时间曲线下的“面积”，并指出速度--时间曲线下的“面积”即为匀变速直线运动的位移。
尽管此时并未提出“定积分”的概念，但已用定积分的思想在解决问题了。
学生在学习了定积分后时，重新审视物理中的相应章节，既可巩固物理知识，又能充分体会学习定积分的价值。
（四）理论联系实际，培养学生应用数学的意识从内容安排来看，本章的“4．5”“4．6”讲的是定积分在几何和力学方面的应用。
在数学中，应用可以分为不同的层次：1．数学知识的直接应用，如由基本积分公式表，利用直接积分法和第一换元积分法求不定积分，这是最低层次的一种应用；2．运用数学知识解决由具体问题抽象出来的数学模型，如利用定积分解决变速直线运动的路程、变力作功等问题，这是高一级层次的应用；3．运用数学知识直接解决现实问题，这时，需要对具体的问题进行抽象概括，抽象出具体的数学模型，尔后进行解决，这是最高层次的一种应用。
本章涉及的应用问题主要是第2种应用，即运用数学知识解决数学模型。
为了使学生对定积分的应用有充分的认识，本章在复习参考题B组中安排了不少由实际问题抽象出来的数学模型，如桥拱、飞机的副油箱等等。
学生通过这些问题的训练，认识到所学知识在实际问题中用处非常大，这对于培养他们应用数学的意识是非常有帮助的。
三、需要注意的几个问题1．不定积分和定积分的计算不定积分和定积分的运算、化归内容非常丰富。
但本章不定积分和定积分的计算只限于利用基本积分公式表中的基本公式和定积分的线性性质，运用直接积分法和第一换元法进行。
不要在扩充基本积分公式，不要引入分部积分法、有理函数积分法、无理函数积分法等积分方法。
2．定积分的概念和定积分公式的运用了解定积分概念的实际背景，知道定积分的几何意义，在运算过程中适当加强几何直观，能由定积分表达式知道其几何意义，也能由图形知道它所表达的定积分，学习中注意数形结合。
掌握“分割→近似代替→求和→取极限”的思想方法，但不要求学生推导曲边梯形的面积公式、变速直线运动的路程公式、旋转体的体积公式、极坐标系中平面图形的面积公式等，教师在讲述这些公式时，重点是介绍为什么要“分割→近似代替→求和→取极限”，要给学生讲清思路。
对学生来讲，主要是运用上述公式，进行运算，解决具体问题。
3．极坐标系和极坐标系中平面图形的面积本节的重点是运用极坐标系中平面图形的面积公式求平面图形的面积。
对极坐标的概念只要求了解，认识到极坐标的工具作用。
对于极坐标系中平面图形的面积中的平面图形，不要作更多的扩展.若扩展，必须给出图形的形状及画法，以便把主要精力放在图形的面积的求法上。
安排此节主要目的还是从定积分应用的角度出发，极坐标系和极坐标方程仅仅是一种工具，所以本节重点应放在定积分的应用上。
四、有待研究的问题1．有关定积分的内容是不是讲的直观一些更好？2．引入定积分概念是否可用“归纳→猜想→证明”的方式？即运用这样的实例（让学生多一个发现问题的途径）：汽车在10个不同的时间区间均做匀速直线运动，但速度不等，由速度-时间曲线可知，其路程等于如下图所示的10个矩形的面积的和，由此，猜想按速度函数作变速直线运动的汽车行驶的路程等于速度-时间曲线与横轴所围的图形的面积。