有理不等式的解法1
不等式的解法
x
4
0
3x 5 x 4
x
x
x
5 3 4 1 2
x4,
4. x23x10 x4
解:
x2 3x10 0 x4 0
x 5或 x 2
x
4
x2 3x 10 (x 4)2
x
26 5
x
5,
26 5
不等式解法的两个极其重要的思想:
⒈转化:即将绝对值不等式即其他不等式向代数 不等式或代数不等式组转化,再对其求解.
一.一次不等式和不等式组的解法 二.二次不等式的解法 三.高次不等式的解法 四.分式不等式的解法 五.绝对值不等式的解法 六.无理不等式的解法
一元一次不等式和不等式组的解法
一元一次不等式即为形如ax>b的不等式。
当a>0 则x> b a
当a<0 则x< b a
当a=0 且b 0 则为
当a=0 且b<0 则为R
解:1.当a=0时,不等式为：-x>0,解集为:{x|x＜0}
2. 当a≠0时，不等式为：(ax-1)(x-a)>0， （1）当a>0时，不等式为:(x-1/a)(x-a)>0，
①a>1,a>1/a,解集为:{x|x＜1/a或x>a}， ② 0＜a＜1,a＜1/a,解集为:{x|x＜a或x>}， ③ a=1,a=1/a=1,解集为:{x|x∈R且x≠1}; （2）当a＜0时，(x-1/a)(x-a)＜0， ①-1＜a＜0,a>1/a,解集为:{x|1/a＜x＜a} ②a＜-1,a＜1/a,解集为:{x|a＜x＜1/a}， ③a=-1,a=1/a=-1,解集为:x∈Φ。
列表法: f(x)的根把实数集分成若干个区间,
不等式的解法举例
例1.解不等式 2(x 1) x 2 7x 1 32
x | x 2
三、一元一次不等式的解法：
ax b (a 0)
x b , (a 0) a
x b , (a 0) a
例1.解不等式 2(x 1) x 2 7x 1 32
x | x 2
例2.解不等式: ax≥x+3
x | 1 x 2
(2) x2-2x-8≤0 x | 2 x 1或1 x 4 x2-1>0
（3）x2 3x 4 0
思 考
(ax 1)(x 2) 0的解集是什么
五、含绝对值的不等式的解法：
例5.解不等式 | x2 5x 5 | 1
x |1 x 2或3 x 4
例6、解不等式 x2 4 x 2
代数不等式
有理不等式 无理不等式
整式不等式 分式不等式
一次 二次
高次
初等超越不等式
指数不等式 对数不等式
二、不等式的分类
代数不等式
有理不等式 无理不等式
整式不等式 分式不等式
一次 二次
高次
初等超越不等式
指数不等式 对数不等式
三、一元一次不等式的解法：
ax b (a 0)
x b , (a 0) a
1、把未知数x的系数转化成正数，把因式 分解成(x－a)(x－b)(x－c)……形式
2、在数轴上把每个因式的根标出来 3、按照从左至右从上至下的顺序
开始画曲线 4、若因式的指数是奇数次方，则曲线可
以穿过数轴；若因式的指数是偶数次方 则曲线不穿过数轴 5、不等式为大于零则取数轴上方所取得x范围； 不等式为小于零则取数轴下方所取的x范围
当a 1时x
不等式的解法
复习重点：不等式的解法，主要有一元一次、一元二次、一元高次不等式，分式不等式，无理不等式，指数、对数不等式及含绝对值的不等式的解法；在复习中强调基本方法及易错点。
复习难点：含字母系数的二次型不等式，无理不等式解法，数形结合的方法解不等式，及不等式变形的等价性问题。
（一）各种类型不等式基本解法中的易错点：1．二次型不等式：ax2+bx+c>0(<0)易错点：<1>是否为二次不等式；<2>含字母表示的二根的大小。
2．一元高次不等式：a(x-x1)(x-x2)……(x-x n)>0。
易错点：<1>a>0时，从右上方开始穿线；<2>奇穿偶切，如(x-2)2(x+1)3>0.各因式的幂指数为奇数时穿过ox轴，若幂指数为偶数时，与ox轴相切不穿过；<3>孤立点容易遗漏。
如：(x-3)(x+2)2(x-1)≥0(x-3)(x-1)≥0或x=-2。
3．分式不等式：，易错点：<1>方法的规范，化为(1)的形式；<2>等价性；如(2)。
4．无理不等式<1>易错点：①遗漏情况(2)；②不等式组(1)，省略f(x)≥0，可简化运算。
<2>注：g(x)=0为孤立点，易遗漏。
5．含绝对值不等式：注意：<1>方法的选择：分段去绝对值号；用等价不等式解或数形结合方法解决。
<2>形如的基本解法：<i>分段讨论；<ii>数形结合。
6．指数不等式及对数不等式基本类型：<1>同底型；<2>a f(x)<b、log a f(x)<b型用定义；<3>换元法解。
易错点：<1>定义域：对数式中底数、真数的限制条件；<2>利用函数单调性，要分成底数大于1还是在0与1之间考虑。
解不等式问题重点注意：i.等价变形；ii.数形结合的方法。
高一解不等式求解集技巧
高一解不等式求解集技巧解不等式是高中数学中的一个重要内容，也是高中数学中的一个难点。
本文将介绍如何解不等式以及解不等式的常用技巧。
一、解不等式的基本步骤解不等式的基本步骤如下：1. 将不等式所给的条件和不等式的要求明确起来，确定不等式的范围和形式；2. 通过基本的代数运算，使不等式的未知数系数为正数；3. 根据不等式的性质进行变形；4. 利用数轴、集合的相关概念和相关性质，进行推理和分析；5. 根据题意进行判断、计算、化简；6. 最后给出不等式的解集。
二、解一元一次不等式一元一次不等式的一般形式为ax+b>0（或ax+b<0），其中a和b为已知数，x为未知数。
1. 当a>0时，不等式的解集是x>-b/a（或x<-b/a），即从实数轴上某个点开始往右（或往左）的方向一直到无穷远，是一个开区间。
2. 当a<0时，不等式的解集是x<-b/a（或x>-b/a），即从实数轴上某个点开始往左（或往右）的方向一直到无穷远，是一个开区间。
三、解一元二次不等式一元二次不等式的一般形式为ax^2+bx+c>0（或ax^2+bx+c<0），其中a、b和c为已知数，x为未知数。
1. 当a>0时，不等式的解集是x∈(-∞, x1)∪(x2, +∞)，即在实数轴上去掉x轴上x1和x2两个点后，分别取这两个点往实数轴两边无穷远延伸的部分。
2. 当a<0时，不等式的解集是x∈(x1, x2)，即在实数轴上x1和x2之间的部分。
四、解一元有理不等式有理不等式的一般形式为一个分式不等式，例如，(x-1)/(x+2)>0。
我们可以把有理不等式转化为分子和分母同号的形式:1. 计算出分子和分母的零点；2. 根据分子和分母的符号确定不等式的符号，可以画出函数的符号表；3. 根据不等式的要求分析解集的性质，给出解集。
五、利用数轴画出解集在解不等式的过程中，可以利用数轴来帮助分析和解决问题。
基本不等式题型及常用方法总结
基本不等式题型及常用方法总结基本不等式题型包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式和有理不等式等。
1. 一元一次不等式：- 解法1：通过移项和化简来求解，确保不等号方向的正确性。
- 解法2：将不等式转化为等价的集合表示，再通过集合的交、并运算求解。
2. 一元二次不等式：- 解法1：将不等式化为一元二次函数的图像，通过观察图像求解或者利用函数的性质来求解。
- 解法2：通过移项和配方法将不等式转化为二次函数的标准形式，再判断二次函数图像的位置与不等号关系来求解。
3. 绝对值不等式：- 解法1：将绝对值不等式分段求解，分别讨论绝对值内部是正数还是负数的情况。
- 解法2：通过绝对值的定义和不等式的性质，将绝对值不等式转化为两个简单的不等式来求解。
4. 有理不等式：- 解法1：将有理不等式化为分式的形式，然后通过分式的性质来求解。
- 解法2：通过变量的替换来将有理不等式转化为一元二次不等式或者一元一次不等式，再利用对应的方法来求解。
常用方法总结：1. 对于一元一次不等式和一元二次不等式，常用的方法是移项和化简、画函数图像和利用函数的性质来求解。
2. 对于绝对值不等式，常用的方法是分段求解和利用绝对值的性质来求解。
3. 对于有理不等式，常用的方法是化为分式形式和利用分式的性质来求解。
4. 在求解不等式的过程中，经常需要进行合并同类项、开方、取倒数、乘除等基本运算，需要注意运算法则和符号的变化。
5. 在不等式的求解过程中，需要注意不等式两边的平方值是否相等，以及是否存在不等式的等价变换等。
同时，在进行运算过程中，需要根据不等式的符号关系来选择合适的方式。
常见不等式的解法
常见不等式的解法【知识要点】一、一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为(0)ax b a >≠的形式.当0a >时，不等式的解集为b x x a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；当0a <时，不等式的解集为b x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.二、一元二次不等式20(0)ax bx c a ++≥≠的解法1、二次不等式2()0f x ax bx c =++≥（0a >）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答.2、当二次不等式()f x =20(0)ax bx c a ++≥<时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数a 变成正数，再利用上面的方法解答. 3、温馨提示（1）不要把不等式20ax bx c ++>看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析2x 的系数.（2）对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论.（3）如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件. （4）不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性. 三、指数不等式和对数不等式的解法解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法(1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件.①当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩②当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩(2)对指互化法：如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法.对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解.(1)x a b a >>log ()log log x a a a a b x b ⇒>⇒> (01)x a b a ><<log ()log log x a a a a b x b ⇒<⇒<log 00log (1)aa xb x x x b a x b aa >>⎧⎧>⇒⇒>⎨⎨>>⎩⎩其中log 00log (1)aa xb x x x b a x b a a >>⎧⎧>⇒⇒<<⎨⎨<<⎩⎩其中0四、分式不等式的解法把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成()0()f x g x ≥的形式→化成不等式组()0()()0g x f x g x ≠⎧⎨≥⎩→解不等式组得解集.温馨提示：解分式不等式一定要考虑定义域. 五、高次不等式的解法先把高次不等式分解因式化成123()()()()0n x a x a x a x a ---->的形式（x 的系数必须为正）→标记方程的实根（注意空心和实心之分）→穿针引线，从右往左，从上往下穿（奇穿偶不穿）→写出不等式的解集.实际上，序轴标根法适用于所有的整式不等式，根据它可以很快地写出整式不等式的解集. 六、绝对值不等式的解法方法一：公式法 解只含有一个绝对值形如()ax b c +><的不等式，一般直接用公式x a x a x a >⇔><-或 x a a x a <⇔-<<，注意集合的关系和集合的运算，集合的运算主要利用数轴.方法二：零点讨论法 解含有两个绝对值形如()x a x b c +++><的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.方法三：平方法 如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：3x >，可以使用平方法. 七、无理不等式的解法无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答.无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，)()(x g x f ≥可转化为)()(x g x f >或)()(x g x f =，而)()(x g x f >等价于：⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f 或⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥2)]([)(0)(0)(x g x f x g x f ．八、抽象的函数不等式的解法一般利用函数的单调性解答，先研究函数的单调性，再利用函数的单调性把抽象的函数不等式转化成具体的函数不等式解答. 学科#网 【方法讲评】【例1】 解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ．②当0>a 时，①式变为0)1)(1(<--x ax ． ② ∵a a a -=-111，∴当10<<a 时，11>a ，此时②的解为ax 11<<．当1=a 时，11=a ，此时②的解为11<<x a． 【点评】解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>=<<><≠=∈11100000a a a a a a a R a 分类应做到使所给参数a 的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论0<a 时，解一元二次不等式01)1(2<++-x a ax 应首选做到将二次项系数变为正数再求解．【反馈检测1】 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ．【例2】解不等式211126()82x x ---⨯<【点评】解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解.【反馈检测2】解关于x 的不等式：)22(223x x x xa --<-（其中0a >）【例3】已知0>a 且1a ≠，关于x 的不等式1xa >的解集是{}0x x >，解关于x 的不等式1log ()0a x x-<的解集.【点评】本题选同底法解答，把0写成log 1a ，再利用对数函数的图像和性质将不等式变成分式不等式 组解答.【反馈检测3】解不等式21log (2)1x x x +-->.【例4】解关于x 的不等式12>-x【点评】分析：若将原不等式移项、通分整理可得：02)2()1(>----x a x a ⇔0)2)](2()1[(>----x a x a显然，现在有两个问题：（1）1a -的符号怎样？（2）12--a a 与2的大小关系怎样？这也就是本题的分类标准所在.【反馈检测4】 解不等式x xx x x <-+-+222322．)(n x a -数必须为正）→标记方程的实根（注意空心和实心之分）→穿针引线，从右往左，从上【例5】解不等式： 015223>--x x x【点评】如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．学科#网【反馈检测5】0)2()5)(4(32<-++x x x【例6】|5||23|1x x --+<【点评】该题由于有两个不等式，所以一般利用零点讨论法.对于含有两个和两个以上的不等式，一般利用零点讨论法.【反馈检测6】解不等式242+<-x x【例7】 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ．【解析】原不等式⎪⎩⎪⎨⎧->-≥->-⇔;)1(2,01,02)1(222x a ax x a ax 或⎩⎨⎧<-≥-.01,02)2(2x a x由0>a ，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+++-≤>⇔;01)1(2,1,2)1(22a x a x x a x ⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇔.1,2)2(x a x由判别式08)1(4)1(422>=+-+=∆a a a ，故不等式01)1(222<+++-a x a x 的解是a a x a a 2121++<<-+．当20≤<a 时，1212≤-+≤a a a，121>++a a ，不等式组(1)的解是121≤<-+x a a ，不等式组(2)的解是1>x ．当2>a 时，不等式组(1)无解，(2)的解是2a x ≥． 综上可知，当20≤<a时，原不等式的解集是[)+∞-+,21a a ；当2>a 时，原不等式的解集是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a ．【点评】本题分类讨论标准“20≤<a ，2>a ”是依据“已知0>a 及(1)中‘2ax >，1≤x ’，(2)中‘2ax ≥，1>x ’”确定的．解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点．一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定．本题易误把原不等式等价于不等式)1(22x a ax ->-．纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法．【反馈检测7】解不等式x x x ->--81032．【例8】若非零函数对任意实数均有，且当时，. （1）求证：；（2）求证：为减函数；（3）当时，解不等式.（3）由 原不等式转化为，结合（2）得：故不等式的解集为【点评】（1）第（3）问的关键是找到1(?)4f =，再利用函数的单调性把抽象的函数不等式转化成具()f x ,a b ()()()f a b f a f b +=0x <()1f x >()0f x >()f x 1(4)16f =21(3)(5)4f x f x --≤211(4)(2)1(2)164f f f ==⇒=，由（）)2()53(2f x x f ≤-+-10222≤≤⇒≥-+x x x {}10|≤≤x x体函数不等式.【反馈检测8】函数对任意(0)x y ∈+∞，，满足()()()f xy f x f y =+且当1x >时，()0f x <. （l ）判断函数的单调性并证明相关结论；（2） 若(2)1f =-，试求解关于x 的不等式()(3)2f x f x +-≥-.【反馈检测9】【2017江苏，11】已知函数31()2e e x xf x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若 2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是 .不等式的解法参考答案【反馈检测1答案】见解析【反馈检测2答案】见解析【反馈检测2详细解析】解原不等式得：即),12()12(2222-<-x xxa0)14)(4(),14()14(4<--∴-<-x x x x x a a)0,(log ,14,104a a a x 此时不等式的解集为时当<<<<此时不等式无解时当,0)14(,12<-=x a )log ,0(,41,14a a a x 此时不等式的解集为时当<<>【反馈检测3答案】3x >()f x ()fx【反馈检测3详细解析】[法一]原不等式同解于所以原不等式的解为3x >.[法二]原不等式同解于211log (2)log (1)x x x x x ++-->+所以原不等式的解为3x >.【反馈检测4答案】}321{><<-x x x 或【反馈检测5答案】{}2455>-<<--<x x x x 或或【反馈检测5详细解析】原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或【反馈检测6答案】{}31<<x x【反馈检测6详细解析】解法一：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+<-<-⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥-⇔240424042222x x x x x x 或 即⎩⎨⎧>-<<<-⎩⎨⎧<<--≤≥1222222x x x x x x x 或或或 ∴32<≤x 或21<<x 故原不等式的解集为{}31<<x x ．解法二：原不等式等价于 24)2(2+<-<+-x x x即⎪⎩⎪⎨⎧+->-+<-)2(42422x x x x ∴312132<<⎩⎨⎧-<><<-x x x x 故或． 【反馈检测7答案】⎭⎬⎫⎩⎨⎧>1374x x【反馈检测8答案】（1）()f x 在(0,)+∞上单调递减；（2）{34}x x <≤.学科#网【反馈检测8详细解析】（1）()f x 在(0,)+∞上单调递减1212,,(0,)x x x x <∈+∞任取且 2221111()()()()x x f x f x f x f x x =⋅=+则 2211()()()x f x f x f x ∴-= 120x x << 21()0x f x ∴< 2112()()0()()f x f x f x f x ∴-<>即 ()(0,)f x ∴+∞在单调递减 （2）2)2()2()4(-=+=f f f ((3))(4f x x f ∴-≥原不等式可化为 ()0f x +∞又在（，）上单调递增030(3)4x x x x >⎧⎪∴->⎨⎪-≤⎩34x <≤解得 {34}x x ∴<≤原不等式解集为. 【反馈检测9答案】1[1,]2-。
高考数学不等式的解法
张彦洁 高级教师
[学习内容]
一、有理不等式的解法
有理不等式主要指一元一次不等式、一
元二次不等式、高次不等式和分式不等
式 1、一元一次不等式
：ax
b(a
0)
x x
b
a b
(a (a
43;bc+c>0（或
<0）(a>0)的解的情况
3、简单的高次不等式 将不等式一边化为 若干个一次因式积，一边为0的情形，再 用数轴标根法写出不等式的解集。
4、分式不等式：通过移项、通分变为 （或≤0）的形式
f x gx
0
f g
x x
0（或≤0）
f
xgx 0或
gx 0
0
; 哈利魔法科学 ；
为君失时，贼弟佞臣将作乱矣。后八日大雨雪，阴见间隙而胜阳，篡杀之祸将成也。公不寤，后二年而杀。昭帝始元元年七月，大水雨，自七月至十月。成帝建始三年秋，大雨三十馀日。四年九月，大雨十馀日。《左氏传》愍公二年，晋献公使太子申生帅师，公衣之偏衣，佩之金玦。狐突叹曰 “时，事之征也。衣，身之章也。佩，衷之旗也。故敬其事，则命以始。服其身，则衣之纯。用其衷，则佩之度。今命以时卒，閟其事也。衣以尨服，远其躬也。佩以金玦，弃其衷也。服以远之，时以閟之，尨凉冬杀，金寒玦离，胡可恃也”梁馀子养曰“帅师者，受命於庙，受脤於社，有常服 矣。弗获而尨，命可知也。死而不孝，不如逃之”罕夷曰“尨奇无常，金玦不复，君有心矣”后四年，申生以谗自杀。近服妖也。《左氏传》曰，郑子臧好聚鹬冠，郑文公恶之，使盗杀之，刘向以为近服妖者也。一曰，非独为子臧之身，亦文公之戒也。初，文公不礼晋文，又犯天子命而伐滑，
不等式解法-图表
解无理不等式的基本思想就是讨论不带根式一边的正负情况并用乘方转化为有理不等式组求解。但一定要注意偶次根式下非负及使用偶次乘方的前提条件： （ 是正偶数）。简单的无理不等式用数形结合法求解更好。
1． 2．
3． 或
对数指数不等式解法
解对数指数不等式的指导思想就是利用对数指数函数的单调性转化为有理不等式（组）求解。但必须注意对数真数大于0，底数大于0且不等于1。
高次分式不等式解法
穿根法：把高次分式不等式分解成一次因式的乘积和商（要求每一个一次因式中 的系数是正数），然后把各因式的根从小到大标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（不穿过偶次根），最后根据符号规律写出不等式解集（注意偶次根是否需要排除）
分式不等式一般用移项通分法或分组分解法求解，分组分解法的常见类型为： 或
1．
2．
3． ；
4． 或
绝对值不等式
解绝对值不等式的基本思想就是根据绝对值定义或基本绝对值不等式去掉绝对值。
基本绝． 法一： 或
法二：
2． 法一： 或
法二： 或
3.． （然后移项分解因式）
4．含二个以上绝对值的不等式的解法常用零点分区间去绝对值的思想求解
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x | x 1或2 x 3或x 4
所以原不等式的解集为 ：
有理不等式的课堂练习6
P21 22 : 6.解下列不等式： x( x 3)(x 1)(x 2) 0
答案：
+ -1 + + 2 3
-
0
x | 1 x 0或2 x 3
P2122 : 1.解下列不等式：
(1)15 9 x 10 4 x 2 3 (2)3( x 5) 2 x 3 2 答案：
（1）
x | x 1
95 x | x 6
（2）
有理不等式的课堂练习2
P2122 : 2.解下列不等式：
4 x 4 3x 1 (1) 3x 1 2 x 1
1 2 (1) x 4 x 6 0 2
(2) x 2 x x(2x 3) 2
答案：
（1） （2）
x | 2 x 6
有理不等式的课堂练习5
P2122 :
答案：
x 3x 2 4.解下列不等式：2 0 x 7 x 12
2
( x 2)(x 1) 原不等式可以化为： 0 ( x 4)(x 3)
所以原不等式的解集是
x | 2 x 3.
分式不等式的解法_--------- x 2 3 x 2
例4 解不等式
x 2x 3
2
0
解法一：这个不等式的解集是下面的不等式组（a）和 不等式组（b）的解集的并集：
x 2 3x 2 0...(1) (a).. 2 x 2 x 3 0...(2)
把各因式的根按从小到大的顺序排列，可得下表：
各因式的 值的符号
根
因式
0
-
-1
+
-
2
+
+ -
3
+
+ +
x x+1 x-2 x-3
+
+ + + +
-
+
-
x( x 3)(x 1)(x 2) +
由上表可知，原不等式的解集为： x | 0 x 1或2 x 3 .
有理不等式的课堂练习1
例3 解不等式 x 5x 6. 解：原不等式可变形为
2
4
3
2
y x 5x 6
2
1 2 3 4
x 5x 6 0
2
1
因为 (5)2 4 1 6 1 0 解方程 x 2 5 x 6 0
-2 -1
O
-1
-2
得
x1 2, x2 3
12( x 1) 2( x 2) 21x 6
14 x 8 21x 6
移项，整理后，得
7 x 14
两边除以-7，得解集
x | x 2
一次不等式组的解法_---------
例2 解不等式组
10 2 x 11 3x, 5 x 3 4 x 1, 7 2 x 6 3x.
因式
-1
-
1
+
-
2
+
+ -
3
+
+ +
x+1 x-1 x-2 x-3 ( x 1)(x 2) ( x 3)(x 1)
+
+ + + +式的解集为： x | 1 x 1或2 x 3 .
高次不等式的解法----2 2 3 2 x ( x x 2 ) 3 x 3 x 6x -例5 解不等式 解：原不等式可化为： x( x 3)(x 1)(x 2) 0
有理不等式的解法
新疆奎屯市一中
王新敞
基本概念
1、同解不等式： 如果两个不等式的解集相等，那么 这两个不等式就叫做同解不等式。
2、同解变形：
一个不等式变形为另一个不等式时， 如果这两个不等式是同解不等式，那么 这种变形叫做不等式的同解变形。
一元一次不等式的解法：
任何一个一元一次不等式，经过不等式的同解变形 后。都可以化成
-1 1 2 3
x 3x 2 0...(3) (b).. 2 x 2 x 3 0...(4)
2
解不等式(a)得：
解不等式(b)得： x | 1
x | x 1或x 2 x | 1 x 3 x | 1 x 1或2 x 3 .
ax b....(a 0)
的形式。
其解集为：
b x | x .....(a 0) a b x | x .....(a 0) a
一次不等式的解法_---------
例1 解不等式
x 2 7x 2( x 1) 1 3 2
解：两边都乘以6，得
2
4
( 2) x 2 5 x 6 0 (3) x 2 5 x 6 0
2
答案：
2
-2
3
4
x | x 2或x 3 （2） x | x 2或x 3
（1） （3）
o
2
-2
x | 2 x 3
有理不等式的课堂练习4
P2122 : 4.解下列不等式：
所以原不等式的解集为 ：
作业：
P28习题十六： （ 2 2）、 4、 5
祝同学们天天进步！
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在其中.要是就这样放在这里,却打不开,那简直就是守着壹座金山,在山底下吃萝卜呀.伊莲娜尔想了想说："要想解开仙玉,咱想并不是这么简单,最重要の还是要么接触这块仙玉,仙玉肯定都是有灵の,你试着不能与这块仙玉の灵进行沟通.""应该没有吧."根汉说："要是有仙灵在其中の 话,也就不会在这里被咱捡到了,再说了,有仙灵现在也应该消散了吧,这都过去了多少年了.""以前也没听说过,那林蒙至高神有什么仙玉之类の,这东西可能不是林蒙至高神の."伊莲娜尔说："虽说这里是古仙界,是林蒙至高神の地盘,但是毕竟古仙界时代久远,也不仅仅只有林蒙壹位至 高神出现过.""你是觉得这是别の至高神の东西?"根汉问."完全有可能."伊莲娜尔说："要是小紫倩在就好了,那丫头肯定知道,这东西の来历.""哎,说起小紫倩,咱是真想她呀."提到小紫倩,根汉总是莫名の想她,也不知道当年自己和小紫倩,是不是发生了什么.虽说根汉没有问过,但是他 总感觉有些事情还是发生了.因为当年自己苏醒之后,从死灰之境中走出来之后,曾经感觉小紫倩好像有些变化.这种变化他当时也说不上来,可是前些年,他突然就仿佛明白了.好像小紫倩是从女孩变成了女人了,而那时候她上哪尔去变成女人呢,所以说他当然认为,是自己,是小紫倩为了 救自己可能将她自已の身子给了自己了.打那以后没过多久,小紫倩就开始闭关了,壹直到现在,最少也有六百年了,壹直也没有苏醒过.根汉也曾数十次在第二神树中她,她也没什么反应,壹直都是在闭关,在沉睡无法苏醒.他也曾经问过金灵果小樱,小紫倩这样是不是出了意外了,金灵果小 樱只是说她现在可能是在沉睡恢复,受了过重の伤导致の.她の元灵并不稳,所以需要长时间の静养才行."你也别想多了,既然现在这水仙玉到手了,早晚都能解开它里面の秘密の,先收着吧."伊莲娜尔感应到了根汉,有些失落の情绪.当然也知道,他是想小紫倩了.现在他自己壹个人被困在 这里,时不时の就会有些低落の情绪出现,毕竟他还是壹个有家室の人.根汉强颜欢笑道："也只能这样了,不过咱这人品倒是真の不错呀,捡都能捡到仙玉.""这是."伊莲娜尔笑了笑,对他说："你最好是在这座小城,再仔细の翻找翻找,说不定还能有别の收获."也正是伊莲娜尔の这壹句话, 还真让根汉有了别の收获了.根汉在这小城の南面,发现了壹个草堆,只不过这些草不知道过了多少年了,现在都成为了壹堆黑色の类似于煤灰壹样の东西了.在这个草堆中,好像有什么东西在活动,壹拱壹拱の,细微の动静让根汉の心提了起来.他の天眼打开,仔细の这个小草堆,结果还真 是发现了好东西了."竟然是这种东西."根汉眼中放光,右手壹挥,布下了法阵.两道绿光从里面嗖の窜了出来,立即撞向了外面の法阵,结果被法阵给弹了回去了,叽叽乱叫.这是两条壹米来长の大虫子,浑身肉乎乎の,有些像是蚕豆里面の那种绿虫子,身上有几十节组成.脑袋和尾巴,好像是 壹模壹样の,可以自如の伸展."绿灵虫!"伊莲娜尔也在元灵中惊呼壹声："这种东西竟然真の活着,还有后代在?""呵呵,咱说了咱人品不错吧."根汉也咧嘴笑了笑,不过他这笑容,却被法阵中の两条绿灵虫,给,现在正朝根汉吐着它们の毒针.朝根汉发威呢,可是却撞不开这根汉布下の小型 の阵环法阵.这两条绿灵虫の实力并不强大,可以说或者是它们根本就不修行,不过这种东西可真の是难得壹见の至宝."你小子."伊莲娜尔也是真服了,自己堂堂壹位至高神,当年也没有根汉现在在这末世の好人品呀.仙域,仙器,仙兵,仙池,仙缘,什么都能和根汉扯上关系,什么都能让根汉 给遇到.自己当然就算是至高神也没有遇到几回呀,这小子当真是机缘造化太强了,他才是真正の仙料.仙料可不分时代の,壹旦出现,就会让整个时代都成为他の陪衬.根汉里面の这两只绿灵虫,应该不算成年虫了,现在体型还有些小.本书来自//htl（正文叁贰7叁绿灵虫）叁贰7肆委屈叁 贰7肆委屈叁贰7肆伊莲娜尔也是真服了