1.2 简单不等式的解法
高中数学不等式解题方法全归纳
高中数学不等式解题方法全归纳大家好，今天咱们来聊聊高中数学里的不等式。
这个话题呢，看起来有点吓人，但其实掌握了几个方法，解起来也就像吃饭喝水那么简单了。
我们就像个探险家，一步步揭开不等式的神秘面纱吧！1. 不等式基础知识1.1 不等式的基本概念首先，不等式呢，其实就是用来比较两个数值之间大小关系的。
最常见的有“<”、“>”、“≤”、“≥”这四种符号。
比如，3 < 5，这里表示3小于5。
其实，不等式就像是一道门，我们要找出哪一方在门的左边，哪一方在右边。
1.2 不等式的基本性质要解不等式，得先了解几个基本性质。
比如说，加减乘除这几个操作在不等式中是怎么表现的。
举个简单的例子：加减法：如果你在不等式的两边都加上或减去一个相同的数，结果不等式的方向不会改变。
比如，3 < 5，加2后变成了5 < 7。
乘除法：如果你在不等式的两边都乘以一个正数，结果不等式的方向也不会改变。
但如果你乘或除以负数，不等式的方向就会翻转。
比如，2 < 4，当你乘以1时，就变成了2 > 4。
2. 不等式的常见解法2.1 线性不等式的解法线性不等式是最简单的一类不等式。
比如，2x + 3 < 7。
这种情况，我们可以通过移项和合并同类项来解。
步骤如下：1. 移项：把常数项移到另一边。
2x < 7 3。
2. 化简：化简右边的数值。
2x < 4。
3. 除以系数：最后，除以2，得到x < 2。
这时候，不等式就解出来了。
简单吧？2.2 二次不等式的解法二次不等式可能有点复杂，但不怕，我们一步步来。
假如有一个不等式x^2 4 < 0。
解这个不等式可以分为几个步骤：1. 解对应的方程：先解x^2 4 = 0。
这个方程的解是x = ±2。
2. 画图分析：我们可以把这个方程的解标在数轴上，x = 2和x = 2。
然后就可以用测试点法或者符号法来判断在哪些区间内不等式成立。
1.2不等关系及简单不等式的解法
专题一
知识梳理
考点自测
1.2
不等关系及简单不等式的解法
考情概览备考定向 必备知识预案自诊 必备知识预案自诊 关键能力学案突破
-8-
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”. (1)a>b⇔ac2>bc2. ( × )
(2)a>b>0,c>d>0⇒������ > ������. (
解析:∵集合
1-������
B.{x|-1<x<3} D.{x|-1<x<0 或 1<x<3}
������
1-������ ������
A={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3},B=
<
0 ={x|x<0 或 x>1},
∴A∩B={x|-1<x<0 或 1<x<3}.故选 D.
5.函数 y= 3-2������-������ 2 的定义域是
������
������
)
(3)若关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0. ( ) ������-2 (4)不等式 ������+1≤0 的解集是[-1,2]. ( × ) (5)若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则关于x的不等 式ax2+bx+c>0的解集为R. ( × )
专题一
考点一
考点二
1.2
不等关系及简单不等式的解法
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第一章第2讲简单不等式的解法
第2讲 简单不等式的解法, [学生用书P5])1．一元一次不等式ax >b (a ≠0)的解集(1)当a >0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x >b a ； (2)当a <0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <b a ． 2．一元二次不等式的解集若a >0，则不等式|x |<a 的解集为{x |－a <x <a }；不等式|x |>a 的解集为{x |x >a 或x <－a }．1．辨明三个易误点(1)对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． (2)当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集是R 还是∅，要注意区别． (3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述． 2．把握分式不等式的四个等价转化 (1)f （x ）φ（x ）>0⇔f (x )·φ(x )>0； (2)f （x ）φ（x ）≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）·φ（x ）≥0φ（x ）≠0；(3)f （x ）φ（x ）<0⇔f (x )·φ(x )<0； (4)f （x ）φ（x ）≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）·φ（x ）≤0φ（x ）≠0.1.教材习题改编 不等式x 2－3x ＋2<0的解集为( ) A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2，－1)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(1，2)D [解析] 将x 2－3x ＋2<0化为(x －1)(x －2)<0，解得1<x <2.2．函数f (x )＝1－xx ＋2的定义域为( ) A ．[－2，1] B ．(－2，1] C ．[－2，1) D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)B [解析] 要使函数f (x )＝1－xx ＋2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）（x ＋2）≥0，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1，即函数的定义域为(－2，1]．3.教材习题改编 不等式|x －1|≥2的解集为( ) A ．{x |x ≤－1或x ≥3} B ．{x |－1≤x ≤3} C ．{x |x ≤－3或x ≥1} D ．{x |－3≤x ≤1}A [解析] 由|x －1|≥2得x －1≤－2或x －1≥2，即x ≤－1或x ≥3.故选A.4.教材习题改编 关于x 的不等式－12x 2＋mx ＋n >0的解集为{x |－1<x <2}，则m ＋n 的值为( )A ．－12B ．－32C ．12D ．32D [解析] －12x 2＋mx ＋n >0，即为x 2－2mx －2n <0.由题意知，x 2－2mx －2n <0的解集为{x |－1<x <2}．所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝2m ，－1×2＝－2n .所以m ＝12，n ＝1.所以m ＋n ＝32，故选D.5.教材习题改编 若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．[解析] 由题意知：Δ＝(m ＋1)2＋4m >0. 即m 2＋6m ＋1>0，解得：m >－3＋22或m <－3－2 2.[答案] (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞)一元二次不等式的解法(高频考点)[学生用书P6]一元二次不等式的解法是高考的常考内容，且多与集合问题交汇考查，题型多为选择题或填空题，属容易题．高考对一元二次不等式解法的考查主要有以下两个命题角度： (1)解一元二次不等式； (2)已知一元二次不等式的解集求参数．[典例引领](1)(2016·高考全国卷乙)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2x －3＞0}，则A ∩B＝( )A ．⎝⎛⎭⎫－3，－32B ．⎝⎛⎭⎫－3，32C ．⎝⎛⎭⎫1，32D ．⎝⎛⎭⎫32，3 (2)求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )的解集．【解】 (1)选D.由题意得，A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞32，则A ∩B ＝⎝⎛⎭⎫32，3.选D. (2)因为12x 2－ax >a 2，所以12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0.令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.①当a >0时，－a 4<a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－a 4，或x >a 3； ②当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；③当a <0时，－a 4>a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <a 3，或x >－a 4. 综上所述：当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－a 4，或x >a 3； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <a 3，或x >－a 4.[题点通关]角度一 解一元二次不等式1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，－2x 2＋7x －6<0的解集是( ) A ．(2，3) B ．⎝⎛⎭⎫1，32∪(2，3) C ．⎝⎛⎭⎫－∞，32∪(3，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B [解析] 因为x 2－4x ＋3<0，所以1<x <3.又因为－2x 2＋7x －6<0， 所以(x －2)(2x －3)>0，所以x <32或x >2，所以原不等式组的解集为⎝⎛⎭⎫1，32∪(2，3)．角度二 已知一元二次不等式的解集求参数2．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝⎛⎭⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．[解析] 依题意知，⎩⎨⎧－13＋12＝－2a ，－13×12＝c a ，所以解得a ＝－12，c ＝2， 所以不等式－cx 2＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0， 解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2，3)． [答案] (－2，3)简单的分式不等式的解法[学生用书P6][典例引领](1)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A ．⎝⎛⎦⎤－12，1 B ．⎣⎡⎦⎤－12，1 C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D ．⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) (2)不等式x －2x ＋3≥2的解集为________．【解析】 (1)由不等式x －12x ＋1≤0可得⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0，解得－12<x ≤1，所以不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－12，1. (2)原式变形为x －2x ＋3－2≥0，x －2－2（x ＋3）x ＋3≥0，即－x －8x ＋3≥0，x ＋8x ＋3≤0， 等价变形为⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋8）（x ＋3）≤0x ＋3≠0，所以原不等式的解集为[－8，－3)． 【答案】 (1)A (2)[－8，－3)解不等式－1<3x －1x ＋2<2.[解] 由－1<3x －1x ＋2<2，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －1x ＋2>－1，3x －1x ＋2<2.由3x －1x ＋2>－1，得3x －1x ＋2＋1>0，即4x ＋1x ＋2>0， 解得x >－14或x <－2.①由3x －1x ＋2<2， 得3x －1x ＋2－2<0，即x －5x ＋2<0， 解得－2<x <5.②由①②得：不等式－1<3x －1x ＋2<2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－14<x <5.简单的绝对值不等式的解法[学生用书P7][典例引领]设函数f (x )＝|2x －3|－1. (1)解不等式f (x )<0；(2)若方程f (x )＝a 无实数根，求a 的范围． 【解】 (1)f (x )<0即为|2x －3|<1. 即－1<2x －3<1.所以1<x <2.所以不等式f (x )<0的解集为{x |1<x <2}． (2)法一：方程f (x )＝a 无实数根， 即|2x －3|＝a ＋1无实数根， 因为|2x －3|≥0，所以a ＋1<0，即a <－1.所以当a <－1时，方程f (x )＝a 无实数根． 法二：方程f (x )＝a 无实数根，即函数f (x )＝|2x －3|－1与y ＝a 的图象无交点(如图)．所以a 的范围为a <－1.解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符的普通不等式；(2)当不等式两端均为正时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．[通关练习]1．不等式|2x －1|>3的解集为( ) A ．{x |x <－2或x >1} B ．{x |－2<x <1} C ．{x |x <－1或x >2} D ．{x |－1<x <2}C [解析] 由|2x －1|>3得2x －1<－3或2x －1>3，即x <－1或x >2，故选C. 2．不等式|2x －3|<3x ＋1的解集为________．[解析] 由|2x －3|<3x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1>0，－（3x ＋1）<2x －3<3x ＋1，解得⎩⎨⎧x >－13，x >25，即x >25.故不等式|2x －3|<3x ＋1的解集为{x |x >25}．[答案] {x |x >25}, [学生用书P299(独立成册)])1．不等式(x －1)(3－x )<0的解集是( ) A ．(1，3) B ．[1，3] C ．(－∞，1)∪(3，＋∞) D ．{x |x ≠1且x ≠3} C [解析] 根据题意，(x －1)(3－x )<0，得(x －1)(x －3)>0，所以其解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)．故选C.2．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．－12D ．12B [解析] 根据不等式与对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋x (a －1)－1＝0的两个根，所以－1×⎝⎛⎭⎫－12＝－1a，所以a ＝－2，故选B. 3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2）>0，|x |<1的解集为( )A ．{x |－2<x <－1}B ．{x |－1<x <0}C ．{x |0<x <1}D ．{x |x >1}C [解析] 解x (x ＋2)>0，得x <－2或x >0；解|x |<1，得－1<x <1.因为不等式组的解集为两个不等式解集的交集，即解集为{x |0<x <1}．4．(2017·广东省联合体联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|3x －4|，x ≤2，2x －1，x >2，则使f (x )≥1的x 的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤1，53 B ．⎣⎡⎦⎤53，3C ．(－∞，1)∪⎣⎡⎭⎫53，＋∞D ．(－∞，1]∪⎣⎡⎦⎤53，3D [解析] 不等式f (x )≥1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，|3x －4|≥1，解之得x ≤1或53≤x ≤3，所以不等式的解集为(－∞，1]∪⎣⎡⎦⎤53，3，故选D.5．若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3，0)B ．[－3，0)C ．[－3，0]D ．(－3，0]D [解析] 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3，0]．6．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4，3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4，1] B ．[－4，3] C ．[1，3] D ．[－1，3]B [解析] 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a ，1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.7．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．[解析] 不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2. [答案] {x |0<x <2}8．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是________． [解析] 原不等式即(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，所以a <x <1a. [答案] ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫a <x <1a 9．定义符函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0则不等式(x ＋1)sgn(x )>2的解集是________．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ＋1>2，解得x >1；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，0>2，解得x ∈∅；由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－（x ＋1）>2，解得x <－3，所以原不等式的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．[答案] (－∞，－3)∪(1，＋∞) 10．(2017·大连模拟)若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1，5]上有解，则a 的取值范围是________．[解析] 由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负， 所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－235，＋∞. [答案] ⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ 11．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值． [解] (1)因为f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6，所以f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， 所以原不等式可化为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋2 3.所以原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1，3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3，等价于⎩⎨⎧－1＋3＝a （6－a ）3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.12．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3，4]，则有( )A ．a ＝3，b ＝4B ．a ＝3，b ＝－4C ．a ＝－3，b ＝4D ．a ＝－3，b ＝－4D [解析] 法一：由题意得集合A ＝{x |x <－1或x >3}，又A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3，4]，所以集合B 为{x |－1≤x ≤4}，由一元二次不等式与一元二次方程的关系，可得a ＝－3，b ＝－4.法二：易知A ＝{x |x <－1或x >3}，又A ∩B ＝(3，4]，可得4为方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根，则有16＋4a ＋b ＝0，经验证可知选项D 正确．13．解下列不等式： (1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0<x 2－x －2≤4；(3)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)．[解] (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x ＋1）>0，（x －3）（x ＋2）≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示， 原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}． (3)原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 所以当a >1时，解为1a<x <1；当a ＝1时，解集为∅；当0<a <1时，解为1<x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x <1. 14．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．[解] 法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增， f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3. 要使f (x )≥a 恒成立， 只需f (x )min ≥a ， 即2a ＋3≥a ， 解得－3≤a <－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围是[－3，1]．法二：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a <－1，g （－1）≥0.解得－3≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－3，1]．。
一元二次不等式的解法步骤
解一元二次不等式可以用配方法比较简单：首先将方程二次项系数a化为1，然后把常数项移到等号的右边，最后后在等号两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方。
公式法可以解所有的一元二次方程，公式法不能解没有实数根的方程（也就是b²-4ac<0的方程）。
求根公式：x=-b±√(b^2-4ac)/2a。
数轴穿根解一元二次不等式步骤：
1）把二次项系数变成正的；
2）画数轴，在数轴上从小到大依次标出所有根；
3）从右上角开始，一上一下依次穿过不等式的根，奇过偶不过(即遇到含X 的项是奇次幂就穿过，偶次幂就跨过)；
4）注意看看题中不等号有没有等号，没有的话还要注意舍去使不等式为0的根。
一元二次不等式也可通过一元二次函数图象进行求解：通过看图象可知，二次函数图象与X轴的两个交点，然后根据题中所需求"<0"或">0"而推出答案。
求一元二次不等式的解集实际上是将这个一元二次不等式的所有项移到不等式一侧并进行因式分解分类讨论求出解集。
解一元二次不等式，可将一元二次方程不等式转化成二次函数的形式，求出函数与X轴的交点，将一元二次不等式，二次函数，一元二次方程联系起来，并利用图象法进行解题，使得问题简化。
简单不等式的认识和解法
简单不等式的认识和解法不等式在数学中起到了非常重要的作用，它是表示两个数或两个代数式之间大小关系的一种数学表达式。
本文将介绍简单不等式的基本概念和解法。
一、不等式的基本概念不等式是数学中常见的一种关系式，它和等式相比，不再要求两边的量相等，而是表达出两边的量之间的大小关系。
简单不等式是指不等式中仅包含一次运算的不等式，常见的运算符包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）。
二、不等式的解集表示解集是指满足不等式的所有可能取值的集合。
解集的表示方法可以使用数轴表示或者用区间表示。
1. 数轴表示法通过将数轴上的不等式解集表示出来，可以直观地理解不等式所代表的不同取值范围。
例如对于不等式x > 2，解集表示为开区间(2, +∞)，表示所有大于2的实数。
2. 区间表示法区间表示法是通过使用方括号和圆括号等符号，将解集表示为一个区间或多个区间的组合形式。
例如上述不等式x > 2，可以用区间表示为(2, +∞)。
三、简单不等式的解法对于简单不等式，可以通过逆运算法、凑平法和图像法来求解。
1. 逆运算法逆运算法是指通过对不等式两边同时进行相反运算，来改变不等式的不等关系，从而求解不等式的解集。
例如对于不等式2x + 3 < 7，可以通过逆运算法得到解集x < 2。
2. 凑平法凑平法是一种快速求解简单不等式的方法，它适用于存在平方项的不等式。
通过将不等式中的平方项与常数项凑成一个完全平方，可以求得不等式的解集。
例如对于不等式x^2 - 4x + 3 ≥ 0，可以通过凑平法得到解集x ≤ 1 或x ≥ 3。
3. 图像法对于不等式，可以通过绘制函数的图像来确定不等式解集的范围。
例如对于不等式x^2 - 4x + 3 ≥ 0，绘制函数y = x^2 - 4x + 3的图像后，可以确定解集为闭区间[1, +∞)。
四、简单不等式的应用简单不等式在实际问题中具有广泛的应用，例如在经济学和物理学等领域。
1.2一元一次不等式(组)解法
基本概念
1、同解不等式： 如果两个不等式的解集相等，那么 这两个不等式就叫做同解不等式。 2、同解变形： 一个不等式变形为另一个不等式时， 如果这两个不等式是同解不等式，那么 这种变形叫做不等式的同解变形。
一元一次不等式的解法：
任何一个一元一次不等式，经过不等式的同解变形 后。都可以化成
例7 : 解不等式组 4 + 2 x > 7 x + 3 3 x + 6 > 4 x + 5 2 x − 3 < 3x − 5 (1) (2) (3)
x+ y =3 x > 0 例8 : 方程组 的解满Байду номын сангаас x − 2 y = −3 + a y > 0 求a的取值范围
解：两边都乘以6，得
12( x + 1) + 2( x − 2) > 21x − 6
14 x + 8 > 21x − 6
移项，整理后，得
− 7 x > −14
两边除以-7，得解集
{x | x < 2}
例2 : 求不等式21 − 4 x > 5的非负整数解;
例3 : k取什么值时 ， 1 2 代数式 (1 − 5k ) − k的值为非负数 ; 2 3
2 3 x + 25 例4 : 关于x的方程 − ( x + m) = + 1的解是正数; 3 3 那么m的取值范围是什么?
例5 : 解不等式组 4 x − 3 > 2( x + 1) 4 x − 2 ≤ −1 1 x + 6 5 5 (1) (2)
例6 : 解不等式
2018届一轮 复习1.2 不等关系及简单不等式的解法
1.2 不等关系及简单不等式的解法●知识梳理1.一元一次不等式的解法.任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b （a ≠0）的形式. 当a ＞0时，解集为{x |x ＞a b }；当a ＜0时，解集为{x |x ＜ab }. 2.一元二次不等式的解法.任何一个一元二次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax 2+bx +c ＞0（或＜0）（其中a ＞0）的形式，再根据“大于取两边，小于夹中间”求解集.3.简单的高次不等式、分式不等式的求解问题可采用“数轴标根法”. 思考讨论用“数轴标根法”解高次、分式不等式时，对于偶次重根应怎样处理? ●点击双基1.不等式32-+x x x ）（＜0的解集为A.{x |x ＜－2或0＜x ＜3}B.{x |－2＜x ＜0或x ＞3}C.{x |x ＜－2或x ＞0}D.{x |x ＜0或x ＞3}解析：在数轴上标出各根. -2 0 3答案：A2.若不等式|ax +2|＜6的解集为（－1，2），则实数a 等于 A.8 B.2 C.－4 D.－8 解析：由|ax +2|＜6得－6＜ax +2＜6，即－8＜ax ＜4.∵不等式|ax +2|＜6的解集为（－1，2），易检验a =－4. 答案：C3.已知函数f （x ）是R 上的增函数，A （0，－1）、B （3，1）是其图象上的两点，那么| f （x +1）|＜1的解集是A.（1，4）B.（－1，2）C.（－∞，1］∪［4，+∞）D.（－∞，－1］∪［2，+∞）解析：由题意知f （0）=－1，f （3）=1. 又| f （x +1）|＜1⇔－1＜f （x +1）＜1， 即f （0）＜f （x +1）＜f （3）. 又f （x ）为R 上的增函数， ∴0＜x +1＜3.∴－1＜x ＜2. 答案：B4.不等式x 2－|x －1|－1≤0的解集为____________.解析：当x －1≥0时，原不等式化为x 2－x ≤0，解得0≤x ≤1. ∴x =1；当x －1＜0时，原不等式化为x 2+x －2≤0， 解得－2≤x ≤1.∴－2≤x ＜1. 综上，x ≥－2.答案：{x |－2≤x ≤1}（文）不等式ax 2+（ab +1）x +b ＞0的解集为{x |1＜x ＜2}，则a +b =_______. 解析：∵ax 2+（ab +1）x +b ＞0的解集为{x |1＜x ＜2}， ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-<.2310a ba ab a ，，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=121b a ，或⎩⎨⎧-=-=.21b a ， ∴a +b =－23或－3. 答案：－23或－3 5.不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式ax 2－bx +c ＞0的解集为_______. 解析：令f （x ）=ax 2+bx +c ，其图象如下图所示，再画出f （－x ）的图象即可.答案：{x |－3＜x ＜－2} ●典例剖析【例1】 解不等式3252---x x x＜－1.剖析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x 的多项式的商，而右边是非零常数，故需移项通分，右边变为零，再利用商的符号法则，等价转化成整式不等式组.解：原不等式变为3252---x x x＋1＜0，即322322--+-x x x x ＜0⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-⎪⎩⎪⎨⎧>--<+-⇔0320230320232222x x x x x x x x 或，－1＜x ＜1或2＜x ＜3.∴原不等式的解集是｛x ｜－1＜x ＜1或2＜x ＜3｝.【例2】 求实数m 的范围，使y =lg ［mx 2+2（m +1）x +9m +4］对任意x ∈R 恒有意义. 剖析：mx 2+2（m +1）x +9m +4＞0恒成立的含义是该不等式的解集为R . 故应⎩⎨⎧>.00＜，Δm解：由题意知mx 2+2（m +1）x +9m +4＞0的解集为R ，则⎩⎨⎧<+-+=>.04941402）（）（，m m m Δm 解得m ＞41. 评述：二次不等式ax 2+bx +c ＞0恒成立的条件：⎩⎨⎧<>.00Δa ，若未说明是二次不等式还应讨论a =0的情况.思考讨论本题若要使值域为全体实数，m 的范围是什么? 提示：对m 分类讨论，m =0适合. 当m ≠0时，⎩⎨⎧≥>.00Δm ，解m 即可.【例3】 若不等式2x －1＞m （x 2－1）对满足|m |≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围.剖析：对于m ∈［－2，2］，不等式2x －1＞m （x 2－1）恒成立，把m 视为主元，利用函数的观点来解决.解：原不等式化为（x 2－1）m －（2x －1）＜0. 令f （m ）=（x 2－1）m －（2x －1）（－2≤m ≤2）.则⎪⎩⎪⎨⎧<---=<----=-.01212201212222）（）（）（，）（）（）（x x f x x f解得271+-＜x ＜231+. 深化拓展1.本题若变式：不等式2x －1＞m （x 2－1）对一切－2≤x ≤2都成立，求m 的取值范围.2.本题若把m 分离出来再求m 的范围能行吗? ●闯关训练 夯实基础1.不等式x +12+x ＞2的解集是 A.（－1，0）∪（1，+∞）B.（－∞，－1）∪（0，1）C.（－1，0）∪（0，1）D.（－∞，－1）∪（1，+∞）解法一：x +12+x ＞2⇔x －2+12+x ＞0⇔11+-x x x ）（＞0⇔x （x －1）（x +1）＞0⇔－1＜x ＜0或x ＞1.解法二：验证，x =－2、21不满足不等式，排除B 、C 、D.答案：A2.设f （x ）和g （x ）都是定义域为R 的奇函数，不等式f （x ）＞0的解集为（m ，n ），不等式g （x ）＞0的解集为（2m ，2n ），其中0＜m ＜2n，则不等式f （x ）·g （x ）＞0的解集是A.（m ，2n ） B.（m ，2n ）∪（－2n，－m ） C.（2m ，2n ）∪（－n ，－m ） D.（2m ，2n ）∪（－2n ，－2m） 解析：f （x ）、g （x ）都是定义域为R 的奇函数，f （x ）＞0的解集为（m ，n ），g （x ）＞0的解集为（2m ，2n）. ∴f （－x ）＞0的解集为（－n ，－m ），g （－x ）＞0的解集为（－2n ，－2m）， 即f （x ）＜0的解集为（－n ，－m ），g （x ）＜0的解集为（－2n ，－2m ）. 由f （x ）·g （x ）＞0得⎩⎨⎧>>00）（，）（x g x f 或⎩⎨⎧<<.00）（，）（x g x f .又0＜m ＜2n，∴m ＜x ＜2n 或－2n＜x ＜－m . 答案：B3.若关于x 的不等式－21x 2+2x ＞mx 的解集为{x |0＜x ＜2}，则实数m 的值为_______. 解析：由题意，知0、2是方程－21x 2+（2－m ）x =0的两个根， ∴－212--m=0+2.∴m =1. 答案：14.已知f （x ）=⎩⎨⎧<-≥.0101x x ，则不等式x +（x +2）·f （x +2）≤5的解集是____________. 解析：当x +2≥0，即x ≥－2时. x +（x +2）f （x +2）≤5⇔2x +2≤5⇔x ≤23. ∴－2≤x ≤23. 当x +2＜0即x ＜－2时，x +（x +2）f （x +2）≤5⇔x +（x +2）·（－1）≤5⇔－2≤5， ∴x ＜－2.综上x ≤23.答案：（－∞，23］ 5.定义符号函数sgn x =⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.010001）（），（），（x x x 当x ∈R 时，解不等式（x +2）＞（2x －1）sgn x .解：当x ＞0时，原不等式为x +2＞2x －1. ∴0＜x ＜3.当x =0时，成立. 当x ＜0时，x +2＞121-x . x －121-x +2＞0. 1224122--+--x x x x ＞0.123322--+x x x ＞0.∴－4333+＜x ＜0.综上，原不等式的解集为{x |－4333+＜x ＜3}. 6.解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax （a ∈R ）.解：原不等式变形为ax 2+（a －2）x －2≥0. ①a =0时，x ≤－1；②a ≠0时，不等式即为（ax －2）（x +1）≥0， 当a ＞0时，x ≥a2或x ≤－1； 由于a 2－（－1）=aa 2+，于是 当－2＜a ＜0时，a2≤x ≤－1； 当a =－2时，x =－1； 当a ＜－2时，－1≤x ≤a2. 综上，当a =0时，x ≤－1；当a ＞0时，x ≥a 2或x ≤－1；当－2＜a ＜0时，a2≤x ≤－1； 当a =－2时，x =－1；当a ＜－2时，－1≤x ≤a2. 培养能力7.解关于x 的不等式log a 3x ＜3log a x （a ＞0，且a ≠1）. 解：令y =log a x ，则原不等式化为y 3－3y ＜0， 解得y ＜－3或0＜y ＜3， 即log a x ＜－3或0＜log a x ＜3. 当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |x ＞a 3-}∪{x |a3＜x ＜1}；当a ＞1时，不等式的解集为{x |0＜x ＜a 3-}∪{x |1＜x ＜a 3}.8.有点难度哟！已知适合不等式|x 2－4x +a |+|x －3|≤5的x 的最大值为3，求实数a 的值，并解该不等式. 解：∵x ≤3，∴|x －3|=3－x .若x 2－4x +a ＜0，则原不等式化为x 2－3x +a +2≥0.此不等式的解集不可能是集合{x |x ≤3}的子集，∴x 2－4x +a ＜0不成立. 于是，x 2－4x +a ≥0，则原不等式化为x 2－5x +a －2≤0.∵x ≤3， 令x 2－5x +a －2=（x －3）（x －m ）=x 2－（m +3）x +3m ，比较系数，得m =2，∴a =8. 此时，原不等式的解集为{x |2≤x ≤3}. 探究创新9.关于x 的不等式⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--055220222k x k x x x ）（，的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围.解：由x 2－x －2＞0可得x ＜－1或x ＞2.∵⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--055220222k x k x x x ）（，的整数解为x =－2，又∵方程2x 2+（2k +5）x +5k =0的两根为－k 和－25. ①若－k ＜－25，则不等式组的整数解集合就不可能为{－2}； ②若－25＜－k ，则应有－2＜－k ≤3. ∴－3≤k ＜2.综上，所求k 的取值范围为－3≤k ＜2. ●思悟小结1.一元二次不等式的解集与二次项系数及判别式的符号有关.2.解分式不等式要使一边为零，转化为不等式组.如果能分解，可用数轴标根法或列表法.3.解高次不等式的思路是降低次数，利用数轴标根法求解较为容易.4.解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论. ●教师下载中心 教学点睛1.解不等式的过程，实质上是不等式等价转化过程.因此在教学中向学生强调保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则.2.各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来解，这体现了转化与化归的数学思想.3.解不等式几乎是每年高考的必考题，重点仍是含参数的有关不等式，对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确.拓展题例【例1】 解关于x 的不等式12-ax ax ＞x （a ∈R ）.解法一：由12-ax ax ＞x ，得12-ax ax －x ＞0，即1-ax x＞0.此不等式与x （ax －1）＞0同解.若a ＜0，则a1＜x ＜0； 若a =0，则x ＜0； 若a ＞0，则x ＜0或x ＞a1. 综上，a ＜0时，原不等式的解集是（a1，0）； a =0时，原不等式的解集是（－∞，0）； a ＞0时，原不等式的解集是（－∞，0）∪（a1，+∞）. 解法二：由12-ax ax ＞x ，得12-ax ax －x ＞0，即1-ax x＞0.此不等式与x （ax －1）＞0同解.显然，x ≠0.（1）当x ＞0时，得ax －1＞0.若a ＜0，则x ＜a1，与x ＞0矛盾， ∴此时不等式无解；若a =0，则－1＞0，此时不等式无解； 若a ＞0，则x ＞a1. （2）当x ＜0时，得ax －1＜0. 若a ＜0，则x ＞a 1，得a1＜x ＜0； 若a =0，则－1＜0，得x ＜0； 若a ＞0，则x ＜a1，得x ＜0. 综上，a ＜0时，原不等式的解集是（a1，0）； a =0时，原不等式的解集是（－∞，0）；a ＞0时，原不等式的解集是（－∞，0）∪（a1，+∞）.【例2】 f （x ）是定义在（－∞，3］上的减函数，不等式f （a 2－sin x ）≤f （a +1+cos 2x ）对一切x ∈R 均成立，求实数a 的取值范围.解：由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++≥-≤++≤-x a x a x a x a 2222cos 1sin 3cos 13sin ，， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--≥---≤+≤222221sin 49cos 2sin 3）（，，x a a x a x a 对x ∈R 恒成立. 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--≥--≤≤max22221sin 4912）（，，x a a a a ∴－2≤a ≤2101-.。
小学不等式的解法
小学不等式的解法不等式是数学中的一种基本运算，小学生在学习数学时，也需要掌握简单的不等式解法。
本文将介绍小学不等式的解法。
一、不等式的符号不等式中，小于号“<”、大于号“>”和等于号“=”这三种符号表示方式，与等式相似，但符号所代表意义不同。
小于号表示左边的值小于右边的值，大于号表示左边的值大于右边的值，等于号表示左边的值等于右边的值。
二、不等式的性质1.等式两边相等时，不等式两边也相等。
2.等式两边互换，不等式也可互换方向，如$a>b$，则$b<a$。
3.对于等式两边同时加上或减去一个数，等式依然成立，不等式同理。
三、不等式的解法小学不等式的解法包含两种基本形式：一元一次不等式和含有括号的一元一次不等式。
1.一元一次不等式一元一次不等式是指一个未知数$x$的一次方程，如：$2x-3>1$，$3-4x<5$，$5x\leq10$解法：1.先化简不等式，将$x$移到一边，常数移到一边。
2.在不等式两边同时乘以同一数，或者在不等式两边同时除以同一数。
需要注意的是：在同时乘以或者同时除以一个负数时，需要反转不等号方向。
例如：求解$2x-3>1$：将常数移到一边，得到$2x>4$，再将系数化为$1$，得到$x>2$。
求解$3-4x<5$：将常数移到一边，得到$-4x<2$，再将系数化为$1$，得到$x>-0.5$。
求解$5x\leq10$：将常数移到一边，得到$5x-10\leq0$，再将系数化为$1$，得到$x\leq2$。
2. 含有括号的一元一次不等式含有括号的一元一次不等式是指一元一次不等式中含有小括号的情况，如：$2(x-3)>1$，$-4(2-x)>5$，$-3(x+1)\leq12$解法：1.先化简括号，得到不等式的基本形式。
2.按照一元一次不等式的基本解法求解。
例如：求解$2(x-3)>1$：先将括号化简，得到$2x-6>1$，再将常数移到一边，得到$2x>7$，最后将系数化为$1$，得到$x>3.5$。
不等式解题技巧
不等式解题技巧引言不等式是数学中重要的一个概念，它描述了数的大小关系。
不等式解题是数学学习中的基础内容，它在数学应用中有着广泛的应用。
本文将介绍一些不等式解题的常用技巧，帮助读者更好地理解和应用不等式。
一、一元一次不等式1.1 简单不等式的解法对于形如ax+b>0或ax+b<0的一元一次不等式，我们可以通过变形和一些基本的性质来求解。
示例：解不等式2x+5>7。
解法：首先，我们可以将不等式变形为2x>7-5，即2x>2。
接下来，我们将不等式两边除以2，得到x>1。
所以，解集为所有大于1的实数。
1.2 不等式的加减法性质当不等式中的两项都加上（或减去）同一个数时，不等号的方向不发生改变。
示例：解不等式3x-4<7。
解法：我们可以将不等式中的所有项都加上4，得到3x<11。
因为加上4不改变不等号的方向，所以不等式解为x<11/3。
1.3 不等式的乘除法性质当不等式中的两项都乘以（或除以）同一个正数时，不等号的方向不发生改变；当不等式中的两项都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向发生改变。
示例：解不等式-2x/3>4。
解法：我们可以将不等式中的所有项都乘以-3，注意这里负数的情况，得到2x<-12。
因为乘以负数改变了不等号的方向，所以不等式解为x>-6。
二、一元二次不等式2.1 一元二次不等式的解法对于形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的一元二次不等式，我们可以通过求解其对应的二次方程的解集来确定其解集。
示例：解不等式x^2-3x+2>0。
解法：首先，我们可以将不等式对应的二次方程进行因式分解，得到(x-1)(x-2)>0。
然后，我们绘制出二次方程对应的抛物线，找出使得函数大于0的区间。
最后，我们得到不等式的解集为(1, 2)。
2.2 一元二次不等式的图像法对于一元二次不等式，我们还可以借助图像来确定其解集。
(复习指导)1.2 简单不等式的解法含解析
1.2 简单不等式的解法必备知识预案自诊知识梳理1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法{a -b >0⇔a b ,a -b =0⇔a b ,a -b <0⇔a b .(2)作商法{ ab >1⇔a b (a ∈R ,b >0),ab =1⇔a b (a ∈R ,b ≠0),ab<1⇔a b (a ∈R ,b >0).2.不等式的性质(1)对称性:a>b ⇔b<a. (2)传递性:a>b ,b>c ⇒a>c.(3)可加性:a>b ⇔a+c>b+c ;a>b ,c>d ⇒a+c>b+d.(4)可乘性:a>b ,c>0⇒ac>bc ;a>b ,c<0⇒ac<bc ;a>b>0,c>d>0⇒ac>bd. (5)可乘方:a>b>0⇒a n >b n (n ∈N ,n ≥2). (6)可开方:a>b>0⇒√a n>√b n(n ∈N ,n ≥2). 3.三个“二次”之间的关系续 表判别式Δ>0Δ=0Δ<01.若a>b>0,m>0,则ba <b+m a+m ;b a>b -m a -m(b-m>0);a b>a+m b+m ;ab<a -mb -m(b-m>0).2.(x-a )(x-b )>0或(x-a )(x-b )<0型不等式的解法口诀:大于取两边,小于取中间.3.恒成立问题的转化:a>f (x )恒成立⇒a>f (x )max ;a ≤f (x )恒成立⇒a ≤f (x )min .4.能成立问题的转化:a>f (x )能成立⇒a>f (x )min ;a ≤f (x )能成立⇒a ≤f (x )max .5.恰成立问题的转化:a>f (x )在M 上恰成立⇔a>f (x )的解集为M ⇔{a >f (x )在M 上恒成立,a ≤f (x )在∁R M 上恒成立.另一转化方法:若x ∈D ,f (x )≥A 在D 上恰成立,等价于f (x )在D 上的最小值f (x )min =A ;若x ∈D ,f (x )≤B 在D 上恰成立,则等价于f (x )在D 上的最大值f (x )max =B.注:例如“恒、能、恰”成立:x+1>0在x>-5上是能成立的,在x>-1上是恰成立也是恒成立的.而在-1<x<9上是恒成立但不是恰成立.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)a>b ⇔ac 2>bc2. ( ) (2)a>b>0,c>d>0⇒a d>b c.( ) (3)若关于x 的不等式ax 2+bx+c<0的解集为(x 1,x 2),则必有a>0. ( ) (4)不等式x -2x+1≤0的解集是[-1,2].( )(5)若关于x 的方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有实数根,则关于x 的不等式ax 2+bx+c>0的解集为R . ( )2.设a ,b ,c ,d ∈R ,且a>b ,c>d ,则下列结论中正确的是( ) A.ad >bcB.a-c>b-dC.ac>bdD.a+c>b+d3.实数x ,y 满足x>y ,则下列不等式恒成立的是( ) A.y x<1B .2-x <2-yC .lg(x-y )>0D .x 2>y 24.(2020安徽马鞍山二模,理1)已知集合A={x|x 2-2x-3≤0,x ∈Z },B={x||x|≤2,x ∈Z },则A ∩B=( )A.{-1,0,1}B.{-2,-1,0,1}C.{-1,0,1,2}D.{-2,-1,0,1,2,3}5.设a ,b ,c 是任意实数,能够说明“若c<b<a 且ac<0,则ab<ac ”是假命题的一组整数a ,b ,c 的值依次为 .关键能力学案突破考点比较两个数(式)的大小【例1】(1)已知a 1,a 2∈(0,1),若M=a 1a 2,N=a 1+a 2-1,则M 与N 的大小关系是( ) A.M<N B.M>N C.M=N D.不确定 (2)若a=ln33,b=ln44,c=ln55,则( )A.a<b<cB.c<b<a D.b<a<c(式)大小常用的方法有哪些?解题心得比较大小常用的方法有作差法、作商法、构造函数法.(1)作差法的一般步骤:①作差;②变形;③定号;④下结论.变形常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.(2)作商法一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能够与1比较大小.(3)构造函数法:构造函数,利用函数的单调性比较大小.对点训练1(1)已知实数a ,b ,c 满足b+c=6-4a+3a 2,c-b=4-4a+a 2,则a ,b ,c 的大小关系是( )A.c ≥b>aB.a>c ≥bC.c>b>aD.a>c>b(2)已知a ,b 是实数,且e <a<b ,其中e 是自然对数的底数,则a b 与b a 的大小关系是 .考点不等式的性质及应用【例2】(1)(2020北京海淀一模,4)已知实数a ,b ,c 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是( )A.b-a<c+aB.c 2<abC.cb >caD.|b|c<|a|c(2)(2020山西太原三模,理3)已知a>b>1,c<0,则 ( )A.c a<c bB.c a <c bc c D.log a (b-c )>log b (a-c ),求由这些量组成的代数式的范围常用不等式的哪些性质?解题心得1.已知某些量的范围,在求由这些量组成的代数式的范围时,常用不等式同向可加性、同向同正可乘性;2.在应用可乘方性时要注意应用的条件,当不等式两边异号时,平方后不等号不确定;3.当ab>0时,对不等式a>b 两边取倒数,或两边同乘以1ab ,化简得1b >1a.对点训练2(1)(2020海南高三期末,4)已知实数a ,b 满足a>b>0,则下列不等式一定成立的有( )A.a 2<b 2B.-a<-bC.b a+a b≥2D.a+b>ab(2)(2020山东青岛5月模拟,9改编)设a ,b ,c 为实数,且a>b>0,则下列不等式中正确的是( )A.log 2(ab )<log 2b 2B.ac 2>bc 2C.b a <1<a bD.(12)a >(12)b考点一元二次不等式的解法 (多考向探究)考向1 常系数一元二次不等式的解法【例3】解下列不等式: (1)2x 2-3x-2>0; (2)-3x 2+6x-2>0; (3)4x 2-4x+1≤0; 2x+2>0.?解题心得对于常系数一元二次不等式,可以用分解因式法求解,即把不等式分解成(x-a )(x-b )>0或(x-a )·(x-b )<0型不等式,再依据“大于取两边,小于取中间”的口诀写出解集;对难于因式分解的不等式可采用判别式法求解,先计算对应方程的判别式,若判别式不小于零,求出相应的一元二次方程的根,画出对应函数的简图,由图象得出不等式的解集,若判别式小于零,直接根据对应函数的图象确定不等式的解集.对点训练3解下列不等式: (1)x 2-3x+2<0; (2)3x 2+5x-2>0; (3)-2x 2+3x+2≤0.考向2 含参数的一元二次不等式的解法【例4】解关于x 的不等式ax 2+2x+1<0.?解题心得含有参数的不等式的求解,需要对参数进行分类讨论,讨论有三层:第一,若二次项系数含参数,先讨论二次项系数是否为零,以确定不等式是一次不等式还是二次不等式;第二,当二次项系数不为零时,若不易分解因式,则依据判别式符号进行分类讨论;第三,对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.对点训练4解关于x 的不等式x 2-ax-2a 2<0.考点分式不等式的解法【例5】已知全集U=R ,集合A={x||x-1|<1},B={x |2x -5x -1≥1},则A ∩(∁U B )=( ) A.{x|1<x<2} B.{x|1<x ≤2} ≤x<2} D.{x|1≤x<4}思考解分式不等式的基本思路是什么?解题心得解分式不等式时,切忌直接去分母,一般先通过移项、通分,将分式不等式化简如化为f (x )g (x )>0或f (x )g (x )<0,再等价转化为整式不等式的形式(如化为{f (x )g (x )>0,g (x )≠0或{f (x )g (x )<0,g (x )≠0),即转化为一次、二次或高次不等式. 对点训练5不等式2x -33x -4≤2的解集为 .考点 一元二次不等式恒成立问题 (多考向探究)考向1 主元x 在R 上恒成立求参数范围【例6】若一元二次不等式2kx 2+kx-38<0对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为( ) A.(-3,0]B.[-3,0)C.[-3,0]D.(-3,0)考向2 主元x 在给定区间上恒成立求参数范围【例7】设对任意实数x ∈[-1,1],不等式x 2+ax-3a<0恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.a>0B.a>12C.a>0或a<-12D.a>14?考向3 给定参数范围的恒成立问题【例8】已知对任意的k ∈[-1,1],函数f (x )=x 2+(k-4)x+4-2k 的值恒大于零,则x 的取值范围是 .解题心得1.ax 2+bx+c ≥0(a ≠0)对任意实数x 恒成立的条件是{a >0,Δ≤0;ax 2+bx+c ≤0(a ≠0)对任意实数x 恒成立的条件是{a <0,Δ≤0.2.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题,常有两种解决方法:一是利用二次函数在区间上的最值来解决;二是先分离出参数,再通过求函数的最值来解决.3.已知参数范围求函数自变量的范围的一般思路是更换主元法.把参数当作函数的自变量,得到一个新的函数,然后利用新函数求解.对点训练6(1)已知a 为常数,∀x ∈R ,ax 2+ax+1>0,则a 的取值范围是( ) A.(0,4) B.[0,4) C.(0,+∞) D.(-∞,4)(2)已知函数f (x )=x 2+mx-1,若对于任意x ∈[m ,m+1],都有f (x )<0成立,则实数m 的取值范围是 .(3)已知不等式xy ≤ax 2+2y 2对x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立,则实数a 的取值范围是 .1.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一.作差法的主要步骤为作差—变形—判断正负.2.判断不等式是否成立,主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简单.3.简单的分式不等式可以等价转化,利用一元二次不等式的解法进行求解.4.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础;一般可把a<0的情形转化为a>0的情形.5.(1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.中学阶段解不等式的基本思想是转化与化归思想,对于含有参数的不等式,还要用到分类讨论思想、函数与方程思想以及数形结合的思想.根据以上基本思想,同学们有必要探究以下几种不等式的解法,以提高自己的数学素养.一含有绝对值的不等式1.绝对值的属性:非负性2.式子中含有绝对值,通常的处理方法有两种:一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论(常用);二是通过平方去掉绝对值.3.若不等式满足以下特点,可直接利用公式进行变形求解: (1)|f (x )|>g (x )的解集与f (x )>g (x )或f (x )<-g (x )的解集相同; (2)|f (x )|<g (x )的解集与-g (x )<f (x )<g (x )的解集相同.4.对于其他含绝对值的问题,则要具体问题具体分析,通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值,将其转化为整式不等式,再做处理.【例1】解下列不等式: (1)|x 2+x|≤3x ; (2)|x-1|+|x+2|<5; 2x-1|-|x-2|<0.方法1)原不等式可转化为-3x ≤x 2+x ≤3x ,即{x 2+x ≥-3x ,x 2+x ≤3x ,解得{x ≥0或x ≤-4,0≤x ≤2.∴0≤x ≤2.(方法2)观察到若要使得不等式|x 2+x|≤3x 成立,则3x ≥0,即x ≥0,进而|x 2+x|内部恒为正数,绝对值直接去掉,即只需解x 2+x ≤3x 即可,解得0≤x ≤2,∴不等式的解集为[0,2].(2)含多个绝对值的问题,可通过“零点分段法”来进行分类讨论.令两个绝对值分别为零,解得x=-2,x=1,作出数轴,将数轴分为三部分,分类讨论: ①当x>1时,不等式变为x-1+x+2<5,解得x<2, ∴1<x<2.②当-2<x ≤1时,不等式变为1-x+x+2<5,解得3<5,∴-2<x ≤1时不等式均成立. ③当x ≤-2时,不等式变为1-x-x-2<5,解得x>-3,∴-3<x ≤-2. 综上所述,不等式的解集为(-3,2).(3)思路:本题依然可以仿照(2)的方式进行零点分段,再解不等式,但从另一个角度观察,所解不等式为|2x-1|<|x-2|,两边均是绝对值(非负数),所以还可以考虑两边平方(所用不等式性质:a>b ≥0⇒a 2>b 2)一次将两个绝对值去掉,再进行求解.∵|2x-1|<|x-2|,∴(2x-1)2<(x-2)2,4x 2-4x+1<x 2-4x+4, ∴3x 2<3,解得-1<x<1, ∴不等式的解集为(-1,1).归纳小结1.含绝对值的不等式要注意观察式子特点,选择更简便的方法.2.零点分段法的好处在于,一段范围可将所有的绝对值一次性去掉,缺点在于需要进行分类讨论,对学生书写的规范和分类讨论习惯提出了要求,以及如何整理结果,这些细节部分均要做好,才能保证答案的正确性.二简单的高次不等式的解法【例2】解不等式:(x-1)(x+2)(x-3)>0.列表法):求得相应方程的根为-2,1,3. 列表如下:由上表可知,原不等式的解集为{x|-2<x<1或x>3}.小结:此法叫列表法,解题步骤是:①将不等式化为(x-x 1)(x-x 2)…(x-x n )>0(<0)形式(各项x 的系数化为正数),令(x-x 1)(x-x 2)…(x-x n )=0,求出各根,不妨称之为分界点,一个分界点把(实数)数轴分成两部分,n 个分界点把数轴分成n+1部分……;②按各根把实数分成的n+1部分,由小到大横向排列,相应各因式纵向排列(由对应较小根的因式开始依次自上而下排列);③计算各区间内各因式的符号,下面是乘积的符号; ④看下面各因式积的符号写出不等式的解集. 穿根法):①(x-1)(x+2)(x-3)=0的根是-2,1,3,在数轴上表示这三个数. ②由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点.③若不等式(x 的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间; 若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间. 由图可知,原不等式的解集为{x|-2<x<1或x>3}. 小结:此法叫穿根法,解题步骤是:①将不等式化为(x-x 1)(x-x 2)…(x-x n )>0(<0)形式,并将各因式x 的系数化“+”; ②求根,并在数轴上表示出来;③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点;④若不等式(x 的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间;若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.【例3】解不等式:(x-2)2(x-3)3(x+1)<0. 检查各因式中x 的符号均正.②求得相应方程的根为:-1,2,3(注意:2是二重根,3是三重根).③在数轴上表示各根并穿线,每个根穿一次(自右上方开始),如下图.④∴原不等式的解集为{x|-1<x<2或2<x<3}. 说明:∵3是三重根,∴在C 处穿三次,2是二重根,∴在B 处穿两次,结果相当于没穿.由此看出,当左侧f (x )有相同因式(x-x 1)n 时,n 为奇数时,曲线在x 1点处穿过数轴;n 为偶数时,曲线在x 1点处不穿过数轴,不妨归纳为“奇穿偶不穿”.对点训练解不等式:(x-3)(x+1)(x 2+4x+4)≤0.三无理不等式常见题型及等价转化:(1)√f (x )>√g (x )⇔{g (x )≥0,f (x )>g (x );(2)√f (x )>g (x )⇔{g (x )≥0,f (x )>g 2(x ),或{f (x )≥0,g (x )<0;(3)√f (x )<g (x )⇔{f (x )≥0,g (x )≥0,f (x )<g 2(x ).【例4】解不等式:√2x -1≤x-2. √2x -1≤x-2⇔{2x -1≥0,x -2≥0,2x -1≤(x -2)2,即{x ≥12,x ≥2,x ≤1或x ≥5,所以x ≥5,所以原不等式的解集为[5,+∞).√2x -1=t (t ≥0),则x=t 2+12, 所以原不等式化为t ≤t 2+12-2,所以t 2-2t-3≥0,即t ≤-1或t ≥3. 因为t ≥0,所以t ≥3,所以x ≥5. 【例5】解不等式:√2ax -a 2>a-x (a>0).√2ax -a 2>a-x ⇔①{2ax -a 2≥0,a -x ≥0,2ax -a 2>(a -x )2,或②{2ax -a 2≥0,a -x <0, 而①⇔{a -x ≥0,2ax -a 2>(a -x )2⇔{x ≤a ,x 2-4ax +2a 2<0⇔{x ≤a ,(2-√2)a <x <(2+√2)a⇔(2-√2)a<x ≤a (因为a>0). ②⇔{x ≥a2,x >a⇔x>a (因为a>0).所以原不等式的解集是((2-√2)a ,a ]∪(a ,+∞),即((2-√2)a ,+∞). 【例6】解不等式:(x-1)√x +2≥0.x-1)√x +2≥0⇔(x-1)√x +2>0,或(x-1)√x +2=0 ⇔{x -1>0,x +2>0,或{x -1=0,x +2≥0,或x+2=0 ⇔x>1或x=1或x=-2.所以原不等式的解集是[1,+∞)∪{-2}.归纳小结无理不等式的等价转化即由无理不等式转化为等价的有理不等式来求解,要求必须熟练掌握;其他解法要根据不等式的具体情况而定.1.2 简单不等式的解法必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)> = < (2)> = <3.{x|x>x 2或x<x 1} {x|x 1<x<x 2} ⌀ ⌀考点自诊1.(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×2.D ∵a ,b ,c ,d ∈R ,且a>b ,c>d ,根据同向不等式的可加性,得a+c>b+d ,故选D .3.B 由x>y ,得-x<-y.由y=2t 是增函数,得2-x <2-y .4.C 由题意,得A={-1,0,1,2,3},B={-2,-1,0,1,2},则A ∩B={-1,0,1,2},故选C.5.1,0,-1(答案不唯一) 由c<b<a 且ac<0,可取a 为正数,c 为负数,由命题为假命题,得ab<ac 不成立,即ab ≥0,所以a ,b ,c 可取的一组分别为1,0,-1.关键能力·学案突破例1(1)B (2)B (1)M-N=a 1a 2-(a 1+a 2-1)=a 1a 2-a 1-a 2+1=(a 1-1)·(a 2-1).∵a 1∈(0,1),a 2∈(0,1),∴a 1-1<0,a 2-1<0.∴(a 1-1)(a 2-1)>0,即M-N>0. ∴M>N.(2)(方法1)易知a ,b ,c 都是正数,b a =3ln44ln3=log 8164<1,所以a>b ;b c =5ln44ln5=log 6251024>1, 所以b>c.故c<b<a.(方法2)对于函数y=f (x )=lnx x ,y'=1-lnx x 2,易知当x>e 时,函数f (x )单调递减.因为e <3<4<5,所以f (3)>f (4)>f (5),即c<b<a.对点训练1(1)A (2)a b >b a (1)∵c-b=4-4a+a 2=(a-2)2≥0,∴c ≥b.又b+c=6-4a+3a 2,∴2b=2+2a 2. ∴b=a 2+1.∴b-a=a 2-a+1=(a -12)2+34>0,∴b>a.∴c ≥b>a. (2)令f (x )=lnx x ,则f'(x )=1-lnx x 2,当x>e 时,f'(x )<0,所以f (x )在(e,+∞)上单调递减,因为e <a<b ,所以f (a )>f (b ),即lna a>lnb b⇒b ln a>a ln b ⇒a b >b a. 例2(1)D (2)C (1)(方法1)根据数轴可得c<b<a<0,且|c|>|b|>|a|,对于A:因为c<b ,a<0,所以c+a<c ,b-a>b ,则c+a<c<b<b-a ,即c+a<b-a ,故A 错误;对于B:因为c<b<a<0,|c|>|b|>|a|,所以c 2>b 2>a 2,且b 2>ab ,所以c 2>b 2>ab ,即c 2>ab ,故B 错误;对于C:因为b<a<0,所以1b>1a,则c b<c a,故C 错误;对于D:因为|b|>|a|,且c<0,所以|b|c<|a|c ,故D 正确.(方法2)不妨令c=-5,b=-4,a=-1,则c+a=-6<b-a=-3,故A 错误;c 2=25>ab=4,故B 错误;cb =54<ca =5,故C 错误;|b|c=-20<|a|c=-5,故D 正确.故选D .(2)由于a>b>1,所以0<1a <1b ,又c<0,故ca >cb ,选项A 错误;当c=-2,a=4,b=3时,c a >c b ,故选项B 错误;由于a>b>1,c<0,故a c <b c ,选项C 正确;由于a>b>1,c<0,所以a-c>b-c ,故log a (b-c )<log b (a-c ),选项D 错误,故选C .对点训练2(1)B (2)C (1)因为a>b>0,于是a 2>b 2,故A 不正确;由a>b>0,得-a<-b ,故B 正确;由基本不等式可知ba +ab ≥2√b a ·ab =2,因为a>b ,所以等号取不到,故C 不正确;当a=3,b=2时,3+2<2×3,故D 不正确.故选B.(2)由a>b>0,得ab>b 2,所以log 2(ab )>log 2b 2,故A 不正确; 因为c 2≥0,当c 2=0时,ac 2=bc 2,故B 不正确;由a>b>0,两边同乘1b ,得ab >1,由a>b>0,两边同乘1a ,得ba <1,故C 正确;由a>b ,函数y=(12)x为减函数,得(12)a<12b,故D 不正确.故选C.例3解(1)由2x 2-3x-2=2(x-2)x+12>0,得不等式的解集是x x<-12或x>2.(2)不等式可化为3x 2-6x+2<0.因为3x 2-6x+2=0的判别式Δ=36-4×3×2=12>0,所以方程3x 2-6x+2=0的解是x 1=1-√33,x 2=1+√33.因为函数y=3x 2-6x+2是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是x 1-√33<x<1+√33.(3)方程4x 2-4x+1=0的解是x 1=x 2=12,函数y=4x 2-4x+1是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集是x x=12.(4)因为x 2-2x+2=0的判别式Δ<0,所以方程x 2-2x+2=0无解.又因为函数y=x 2-2x+2是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为R .对点训练3解(1)∵(x-1)(x-2)<0,∴1<x<2.故原不等式的解集为(1,2).(2)方程3x 2+5x-2=0的两解是x 1=-2,x 2=13.函数y=3x 2+5x-2的图象是开口向上的抛物线,与x 轴有两个交点(-2,0)和13,0.不等式的解集为x x<-2,或x>13.(3)原不等式化为2x 2-3x-2≥0,∵2x 2-3x-2=0的两解为x 1=-12,x 2=2,∴不等式的解集是x x ≤-12,或x ≥2.例4解(1)当a=0时,不等式的解集为x x<-12,(2)当a>0时,Δ=4-4a ,①Δ>0,即0<a<1时,不等式的解集为x -1-√1-a a <x<-1+√1-aa ;②Δ≤0,即a ≥1时,不等式的解集为⌀. (3)当a<0时,Δ=4-4a>0,不等式的解集为x x<-1+√1-aa,或x>-1-√1-a a.对点训练4解原不等式变形为(x-2a )(x+a )<0.①若a>0,则-a<x<2a ,此时不等式的解集为{x|-a<x<2a }; ②若a<0,则2a<x<-a ,此时不等式的解集为{x|2a<x<-a }; ③若a=0,则原不等式即为x 2<0,此时解集为⌀.例5C 由题意得A={x||x-1|<1}={x|-1<x-1<1}={x|0<x<2},B={x|2x -5x -1≥1}={x|x -4x -1≥0}={x|x<1或x ≥4},∴∁U B={x|1≤x<4},∴A ∩(∁U B )={x|1≤x<2}.故选C .对点训练5(-∞,54]∪(43,+∞) 由2x -33x -4≤2,得4x -53x -4≥0,解得x>43或x ≤54. 例6D 2kx 2+kx-38<0对一切实数x 都成立,则必有{2k <0,Δ=k 2-4×2k ×(-38)<0,解得-3<k<0.例7B (方法1)y=x 2+ax-3a 的对称轴是x=-a2.①当-a2≥1,即a ≤-2时,区间[-1,1]是函数y=x 2+ax-3a 的减区间, 当x=-1时,函数有最大值,所以1-4a<0,得a>14,与a ≤-2相矛盾. ②当0<-a 2<1,即-2<a<0时,当x=-1时,函数有最大值. 代入不等式得a>14,与-2<a<0矛盾.③当-1<-a 2≤0,即0≤a<2时,当x=1有最大值时,代入不等式得1-2a<0,即a>12,故12<a<2. 要使不等式x 2+ax-3a<0恒成立, ∴12<a<2.④当-a 2≤-1,即a ≥2时,区间[-1,1]是函数y=x 2+ax-3a 的增区间,x=1时有最大值,代入不等式得1-2a<0,a>12,∴a ≥2.综上所述,a>12.故选B .(方法2)设f (x )=x 2+ax-3a ,∵对任意实数x ∈[-1,1],不等式x 2+ax-3a<0恒成立, ∴{f (-1)=1-a -3a <0,f (1)=1+a -3a <0, 即{1-4a <0,1-2a <0,∴{a >14,a >12,故a>12.故选B .例8{x|x<1或x>3} x 2+(k-4)x+4-2k>0恒成立,即g (k )=(x-2)k+(x 2-4x+4)>0在k ∈[-1,1]时恒成立.只需g (-1)>0,且g (1)>0,即{x 2-5x +6>0,x 2-3x +2>0,解得x<1或x>3.对点训练6(1)B (2)(-√22,0) (3)[-1,+∞) (1)因为∀x ∈R ,ax 2+ax+1>0,所以必有{a >0,Δ=a 2-4a <0或a=0,即0≤a<4. (2)对于任意x ∈[m ,m+1],都有f (x )<0,则有{f (m )<0,f (m +1)<0,即{m 2+m 2-1<0,(m +1)2+m (m +1)-1<0,解得-√22<m<0.(3)因为不等式xy ≤ax 2+2y 2对任意的x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立, 所以a ≥y x -2(y x )2对任意的x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立.令t=y x ,由x ∈[1,2],y ∈[2,3],可知1≤t ≤3, 所以a ≥t-2t 2在区间[1,3]上恒成立. 令f (t )=-2t 2+t ,则f (t )=-2t 2+t=-2(t -14)2+18.因为f (t )在区间[1,3]上单调递减,所以f (t )max =f (1)=-1,所以a ≥-1.案例探究1 三类不等式的解法对点训练解①将原不等式化为(x-3)(x+1)(x+2)2≤0.②求得相应方程的根为-2(二重),-1,3. ③在数轴上表示各根并穿线,如图.④∴原不等式的解集是{x|-1≤x ≤3或x=-2}.说明:注意不等式若带“=”号,解集边界处应有等号;另外,线虽不穿-2点,但x=-2满足“=”的条件,不能漏掉.。