2021届山东省新高考高考模拟冲关押题卷(五)数学(解析版)
压轴25 直线的方程 备战2021年高考数学二轮必刷压轴题精选精炼(解析版)
压轴25 直线的方程一、单选题1. 若椭圆x 29+y 24=1的弦AB 被点P (1,1)平分，则AB 所在直线的方程为A. 9x +4y −13=0B. 4x +9y −13=0C. x +2y −3=0D. x +3y −3=0 【答案】B【解析】解：设过点A(1,1)的直线与椭圆相交于两点，E(x 1,y 1)，F(x 2,y 2)，由中点坐标公式可知：{x 1+x 22=1y 1+y22=1， 则{x 129+y 124=1x 229+y 224=1，两式相减得：(x 1+x 2)(x 1−x 2)9+(y 1+y 2)(y 1−y 2)4=0，∴y 1−y2x 1−x 2=−49，∴直线EF 的斜率k =y 1−y 2x 1−x 2=−49，∴直线EF 的方程为：y −1=−49(x −1)，整理得：4x +9y −13=0， 故选B ．2. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F(−c,0)，上顶点为A ，离心率为√32，直线FA 与抛物线E:y 2=4cx 交于M ，N 两点，则|MA|+|NA|=A. 2√3aB. 5aC. 4√3aD. 10a【答案】D 【解析】解：如图，离心率为√32，即c a =√32，解得a =2b ，c =√3b ，由F(−c,0)，A(0,b)，则k AF =bc =√33，∴直线FA 的方程y =√33x +b ，又y2=4cx，即y2=4√3bx与y=√33x+b联立消去y得，x2−10√3bx+3b2=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，∴x1+x2=10√3b，则|MA|+|NA|=(√33)1+x2)=√310√3b=20b=10a．故选D．3.下列四个命题：①经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y−y0=k(x−x0)表示；②经过任意两个不同的点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线都可以用方程(x2−x1)(x−x1)=(y2−y1)(y−y1)表示；③不经过原点的直线都可以用方程xa +yb=1表示；④经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示．其中正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】解：经过定点P0(x0,y0)，且斜率存在的直线都可以用方程y−y0=k(x−x0)表示，①故为假命题；把直线的两点式方程变形，即(x2−x1)(y−y1)=(y2−y1)(x−x1)，故②为假命题；不经过原点，且与坐标轴不垂直的直线都可以用方程xa +yb=1表示，故③为假命题；经过定点A(0,b)，且斜率存在的直线都可以用方程y=kx+b表示，故④为假命题；故选A．4.已知直线l1:mx−y+m=0与直线l2:x+my−1=0的交点为P，若点Q为直线l3:x−y+3=0上的一个动点，则|PQ|的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：易知直线l1:mx−y+m=0过定点A(−1,0)，直线l2:x+my−1=0过定点B(1,0)，当m=0时l1⊥l2，当m≠0时，l1与l2斜率乘积为m·(−1m)=−1，所以l1⊥l2，所以点P 在以AB 为直径的圆上，圆的方程为x 2+y 2=1， 圆心(0,0)到直线x −y +3=0的距离为√2=3√22， 所以|PQ|的最小值为圆心到直线x −y +3=0的距离减去半径，即32√2−1， 故选B ．5. 如已知点A(−1,0),B(1,0),C(0,1)，直线y =kx +b(k >0)将三角形ABC 分割成面积相等的两个部分，则b 的取值范围是A. (1−√22,12) B. (1−√22,12] C. [13,12)D. (0,12]【答案】A【解析】解：由题意可得，三角形ABC 的面积为12⋅AB ⋅OC =1， 由于直线y =kx +b(k >0)与x 轴的交点为M(−b k ,0)，由直线y =kx +b(k >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b >0， 故−bk <0，故点M 在射线OA 上．设直线y =kx +b 和BC 的交点为N ，则由{y =kx +b x +y =1可得点N 的坐标为(1−b k+1,k+bk+1)．①若点M 和点A 重合，则点N 为线段BC 的中点，故N (12,12)， 把A 、N 两点的坐标代入直线y =kx +b ，求得k =b =13．②若点M 在点O 和点A 之间，此时b >13，点N 在点B 和点C 之间， 由题意可得三角形NMB 的面积等于12，即12⋅MB ⋅y N =12，即 12×(1+bk )·k+bk+1=12，可得k =b 21−2b >0，求得b <12 ， 故有13<b <12．③若点M 在点A 的左侧，则b <13，由点M 的横坐标−bk <−1，求得b >k ． 设直线y =kx +b 和AC 的交点为P ，则由{y =kx +b y =x +1求得点P 的坐标为(1−b k−1,k−b k−1)，此时，由题意可得，△CPN 的面积等于12，即12⋅(1−b)⋅|x N −x P |=12， 即12(1−b )·|1−bk+1−1−bk−1|=12，化简可得2(1−b)2=|k 2−1|． 由于此时b >k >0，0<k <1，∴2(1−b)2=|k 2−1|=1−k 2 ．两边开方可得√2(1−b )=√1−k 2<1，∴1−b <√2，化简可得b >1−√22，故有1−√22<b <13．再把以上得到的三个b 的范围取并集，可得b 的取值范围应是(1−√22,12) ，故选A ．6. 在平面直角坐标系xOy 中，过点P(1,4)向圆C:(x −m)2+y 2=m 2+5(1<m <6)引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点A. (−12,1)B. (−1,32)C. (−12,32)D. (−1,12)【答案】B【解析】解：在平面直角坐标系xOy 中，过点P(1,4)，向圆C ：(x −m)2+y 2=m 2+5(1<m <6)引两条切线，则切线长为√PC 2−r 2=√42+(m −1)2−(m 2+5)=√12−2m ，∴以点P 为圆心，切线长为半径的圆的方程为(x −1)2+(y −4)2=12−2m ， ∴直线AB 的方程为[(x −m)2+y 2]−[(x −1)2+(y −4)2]=(m 2+5)−(12−2m)， 整理得：(x +4y −5)−m(1+x)=0． 令{x +4y −5=0x +1=0，解得{x =−1,y =32． 所以直线AB 过定点(−1,32)． 故答案为(−1,32)． 故选B ．7. 已知直线2x +y +2+λ(2−y)=0与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为S(λ)，当λ∈(0,+∞)时，S(λ)的最小值是A. 12B. 10C. 8D. 4【答案】C【解析】解：如图，由直线2x +y +2+λ(2−y)=0，分别可得与坐标轴的交点(−1−λ,0)，(0,2+2λλ−1)，λ∈(0,+∞)，则S(λ)=12(1+λ)×2+2λλ−1=λ−1+4λ−1+4≥2×2+4=8，当且仅当λ=3时取等号．故选C ．8. 已知直线(3+2λ)x +(3λ−2)y +5−λ=0恒过定点P ，则与圆C:(x −2)2+(y +3)2=16有公共的圆心且过点P 的圆的标准方程为A. (x −2)2+(y +3)2=36B. (x −2)2+(y +3)2=25C. (x −2)2+(y +3)2=18D.(x −2)2+(y +3)2=9【答案】B【解析】解：因为(3+2λ)x +(3λ−2)y +5−λ=0，所以λ(2x +3y −1)+3x −2y +5=0， {2x +3y −1=03x −2y +5=0，解得{x =−1y =1，即P(−1,1)，C:(x −2)2+(y +3)2=16的圆心为(2,−3)， 则所求圆的半径为√(2+1)2+(1+3)2=5， 故所求圆的方程为，故选B ．9. 已知点A(−2,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(−1,1)，直y =kx +m (k >0)将四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，则m 的取值范围是A. (0,1)B. (13,12]C. (13,4−√102] D.【答案】D【解析】解：∵点A(−2,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(−1,1)， 如图，四边形的面积为12×(4+2)×1=3，①若直线在第一象限与CD 相交，设交点为F ， 则直线必与OA 交于一点，设为E ， 连接BF ，DE ，要使直线平分梯形， 只须CF +BE =DF +AE =3，设BE =t ，则E 点坐标为(2−t,0)，F 点坐标为(t −2,1)，EF 关于(0,12)对称，此时m=12②若直线与梯形在第一象限的交点在BC上，设交点为F，BC所在直线的方程为x+y=2．此时直线与AB相交，或者与AD相交，(1)若与AB相交，设交点为E点坐标为(t,0)，则BE=2−t，∴三角形BEF在BE边上的高为32−t ≤1，F点横坐标为(2−32−t,32−t)，其中−2≤t≤−1，经计算，m=3(−t−1t)+4(−2≤t≤−1)，当t=−1时，m有最大值12，t=−2时，m有最小值613，(2)若两交点分别在AD和BC上，如图，此时，过A点时，m最大，为617，当斜率k→0时，有最小值(取不到)4−√102，综上，m∈(4−√102,1 2 ]故选D．二、填空题10.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−4,0)，B(0,4)，从直线AB上一点P向圆x2+y2=4引两条切线PC，PD，切点分别为C，D.设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为______．【答案】3√2【解析】解：因为点A(−4,0)，B(0,4)， 所以直线AB 的方程为x −y +4=0． 设P (x 0,y 0)，因为P 是直线AB 上一点，所以y 0=x 0+4.①又因为以AP 为直线的圆的方程为：x (x −x 0)+y (y −y 0)=0， 即x 2+y 2−xx 0−yy 0=0．由{x 2+y 2=4x 2+y 2−xx 0−yy 0=0两式相减得xx 0+yy 0=4，② 即直线CD 的方程为xx 0+yy 0=4．又因为线段CD 的中点为M ，所以直线OM 的方程为：xy 0−yx 0=0.③ 联立①②③消去x 0，y 0得点M 的轨迹方程为(x +12)2+(y −12)2=12．又因为 A(−4,0)，所以|AM |max =√(−4+12)2+(12)2+√22=3√2．故答案为3√2．11. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4=72，且2√S n+1=√S n +√S n+2(n ∈N ∗)，直线√S n+1x +√S n y =1与两坐标轴围成的三角形的面积为T n ，则T 1+T 2+T 3+...+T 2159的值为__________． 【答案】21592160【解析】解：由2√S n+1=√S n +√S n+2(n ∈N ∗)可得， √S n+2−√S n+1=√S n+1−√S n ，则{√S n }为等差数列， 又 S n =na 1+n(n−1)2d =d 2n 2+(a 1−d2)n ，∵√S n 为等差数列，∴a 1=d2，又a 4=72，a 4=a 1+3d ， 则a 4=a 1+3d =d2+3d =72d =72， 故d =1，S n =n 22，√S n =√n 22,√S n ⋅S n+1=√n 22⋅(n+1)22=n⋅(n+1)2，因直线√S n+1x +√S n y =1， 当x =0时，y =S ， 当y =0时，x =S ，T n=2S√S =12⋅1n⋅(n+1)2=1n⋅(n+1)=1n−1n+1，T1+T2+T3+⋯+T2159=1−12+12−13+13−14+⋯+12159−12160=1−12160=21592160．12.若动点P在直线a：x−2y−2=0上，动点Q在直线b：x−2y−6=0上，记线段PQ的中点为M(x0,y0)，且(x0−2)2+(y0+1)2≤5，则x02+y02的取值范围为________．【答案】[165,16]【解析】解：由题意知，直线a：x−2y−2=0与直线b：x−2y−6=0平行，因为动点P在直线a上，动点Q在直线b上，所以PQ的中点M在与a，b平行，且到a，b的距离相等的直线上，设该直线为l，则直线l的方程为x−2y−4=0．因为线段PQ的中点为M(x0,y0)，且(x0−2)2+(y0+1)2≤5，所以点M(x0,y0)在圆(x−2)2+(y+1)2=5的内部或在圆上，设直线l交圆于点A，B，则点M在线段AB上运动．联立直线l与圆的方程，得{x−2y−4=0,(x−2)2+(y+1)2=5,解得A(4,0)，B(0,−2)．因为x02+y02=|OM|2，x02+y02表示的几何意义为线段上的点到原点的距离的平方，所以原点到直线的距离的平方为最小，所以x02+y02的最小值为(()22=165，当M与A重合时，x02+y02取得最大值，且最大值为42+02=16，即x02+y02的最大值为16，所以x02+y02的取值范围是[165,16]．13.已知直线l：恒过定点A，点B，C为圆O：上的两动点，满足，则弦BC长度的最大值为______．【答案】4√5【解析】解：直线l：，即为，可得时，，即直线l恒过定点，取BC的中点M，连接AM，OM，OB，圆O：的半径，设，则，由，可得， 由，可得，设，则，再由cosα⩽1，即，，解得5⩽a 2⩽20，即√5⩽a ⩽2√5，可得a 的最大值为2√5，此时A ，M ，O 三点共线， 则弦长BC 的最大值为4√5， 故答案为：4√5．三、解答题14. 已知椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)． (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，直线l ：y =kx +t(t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1.求证：直线l 经过定点． 【答案】(1)解：设椭圆的焦距为2c ， 则{c =11b 2=1a 2=b 2+c 2，解得{a =√2b =1c =1,∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1．(2)证明：设P(x 1,y 1)，Q(x 1,x 2)， 由{x 22+y 2=1y =kx +t, 消去y 得：(2k 2+1)x 2+4ktx +2t 2−2=0，由韦达定理得： x 1+x 2=−4kt2k 2+1，x 1x 2=2t 2−22k 2+1，……① ∵A(0,1)，P(x 1,y 1)， ∴直线AP 的方程为：y =y 1−1x 1x +1，∴M(−x 1y 1−1,0)，同理：N(−x 2y 2−1,0)，∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1， ∴x 1x 2y 1−1y 2−1=1，化简得x 1x 2−y 1y 2+(y 1+y 2)−1=0，∴(1−k 2)x 1x 2+(k −kt )(x 1+x 2)−t 2+2t −1=0， 将①代入并化简有：t 2+2t −3=0， ∴t =−3或t =1(舍)，∴直线l 的方程为：y =kx −3，经过定点(0,−3)．15. 在平面直角坐标系中，A(−1,0)，B(1,0)，设△ABC 的内切圆分别与边AC ，BC ，AB 相切于点P ，Q ，R ，已知|CP|=1，记动点C 的轨迹为曲线E ． (1)求曲线E 的方程；(2)过G(2,0)的直线与y 轴正半轴交于点S ，与曲线E 交于点H ，HA ⊥x 轴，过S 的另一直线与曲线E 交于M 、N 两点，若S △SMG =6S △SHN ，求直线MN 的方程． 【答案】解：(1)由题意可知，|CA |+|CB |=|CP |+|CQ |+|AP |+|BQ |=2|CP |+|AB |=4>|AB |， ∴曲线E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(除去与x 轴的交点)， 设曲线E 方程为：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0,y ≠0)，则c =1，2a =4， ∴a =2，b 2=a 2−c 2=3， 即曲线E 的方程为：x 24+y 23=1(y ≠0)；(2)∵HA ⊥x 轴，∴H (−1,32)，设S(0,y 0)，则−y 0−2=−323，∴y 0=1，即S(0,1)． ∵a =2c ，∴|SG |=2|SH |，∴S △SMGS △SHN=12|SM ||SG |sin∠MSG 12|SN ||SH |sin∠NSH =2|SM ||SN |=6，∴|SM ||SN |=3，即SM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3SN⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则SM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1−1)，SN⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2−1)，∴x1=−3x2．①当直线MN的斜率不存在时，MN的方程为x=0，此时|SM||SN|=√3+1√3−1=2+√3，不符合条件；②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+1．联立{y=kx+1x24+y23=1，整理得：(3+4k2)x2+8kx−8=0，∴{x1+x2=−8k3+4k2x1x2=−83+4k2，将x1=−3x2代入得：{−2x2=−8k3+4k2−3x22=−83+4k2,∴3(4k3+4k2)2=83+4k2，解得：k=±√62，故直线MN的方程为y=√62x+1或y=−√62x+1．16.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−1,0)，B(1,2)，直线l与AB平行．(1)求直线l的斜率；(2)已知圆C：x2+y2−4x=0与直线l相交于M，N两点，且MN=AB，求直线l的方程；(3)在(2)的圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．【答案】解：(1)∵点A(−1,0)，B(1,2)，直线l与AB平行，∴直线l的斜率k=k AB=2−01−(−1)=1．(2)∵圆C：x2+y2−4x=0，∴圆C的标准方程为：(x−2)2+y2=4，圆心C(2,0)，半径为2，由(1)知直线l的斜率k=1，设直线l的方程为x−y−m=0，则圆心C到直线l的距离d=√2=√2，∵MN=AB=√22+22=2√2，而CM2=d2+(MN2)2，∴4=(2+m)22+2，解得m=0或m=−4，故直线l的方程为x−y=0或x−y+4=0．(3)假设圆C上存在点P，设P(x,y)，则(x−2)2+y2=4，PA2+PB2=(x+1)2+(y−0)2+(x−1)2+(y−2)2=12，整理，得x2+y2−2y−3=0，即x2+(y−1)2=4，∵|2−2| <√(2−0)2+(0−1)2<2+2，∴圆(x −2)2+y 2=4与圆x 2+(y −1)2=4相交，∴点P 的个数为2．17. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点P(2,4)，圆O ：x 2+y 2=4与x 轴的正半轴的交点是Q ，过点P 的直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ．(1)若直线l 与y 轴交于D ，且DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16，求直线l 的方程； (2)设直线QA ，QB 的斜率分别是k 1，k 2，求k 1+k 2的值；(3)设AB 的中点为M ，点N(43,0)，若MN =√133OM ，求△QAB 的面积． 【答案】解：(1)若直线l 垂直于x 轴，则其方程为x =2，与圆只有一个交点，不合题意． 故l 存在斜率，设直线l 的方程为：y −4=k(x −2)，即：kx −y −2k +4=0， 则圆心到直线l 的距离：d =√k 2+1，因为直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，所以d =√k 2+1<2，解得k >34． 又D(0,−2k +4)，Q(2,0)，所以DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2k −4)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2k)， 所以DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4+2k(2k −4)=16， 解得k =3或k =−1(舍去)，所以直线l 的方程为：y =3x −2；(2)由题意可知，联立{y −4=k(x −2),x 2+y 2=4,, 得(1+k 2)x 2−4k(k −2)x +(2k −4)2−4=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=4k(k−2)1+k 2,x 1·x 2=(2k−4)2−41+k 2,,所以k 1+k 2=y 1x 1−2+y2x 2−2 =k(x 1−2)+4x 1−2+k(x 2−2)+4x 2−2=2k +4x 1−2+4x 2−2 =2k +4(x 1+x 2−4)x 1x 2−2×(x 1+x 2)+4=2k +4×[4k(k −2)1+k 2−4](2k −4)2−41+k 2−2×4k(k −2)1+k 2+4 =2k −4×(8k +4)16 =2k −2k −1=−1．即k 1+k 2的值是−1；(3)设中点M(x 0,y 0)，则由(2)知{x 0=x 1+x 22=2k(k−2)1+k 2,y 0=k(x 0−2)+4=−2(k−2)1+k 2,(∗) 又由MN =√133OM ，得(x 0−43)2+y 02=139(x 02+y 02)， 化简得：x 02+y 02+6x 0−4=0， 将(∗)代入上式并解得：k =3． 因为圆心到直线l 的距离：d =√k 2+1=10， 所以AB =2√4−d 2=65√10，Q 到直线l 的距离：ℎ=25√10， 所以S △ABQ =12AB ·ℎ=125，即△QAB 的面积为125．。
2021年山东省德州市高考数学(一模)模拟试卷(解析版)
2021年山东省德州市高考数学模拟试卷（一模）一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|lg（x﹣2）≤1}，则A∩B＝（）A．（2，3]B．[﹣4，4]C．[2，4）D．（2，4]2．复数z＝的共轭复数的虚部为（）A．﹣B．C．D．3．已知a，b∈R，则a＜b是a2（e a﹣e b）＜0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率（）A．B．C．D．5．已知sinα＝sin（α+）+，则cos（α+）的值为（）A．B．C．D．6．已知向量，满足||＝4，||＝5，•＝4，则cos＜，＞＝（）A．B．C．D．7．设函数f（x）＝xe x﹣a（x﹣1），其中a＜1，若存在唯一整数x0，使得f（x0）＜a，则a 的取值范围是（）A．[﹣，1）B．[﹣，）C．[，）D．[，1）8．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{x n}满足x n+1＝x n﹣，则称数列{x n}为牛顿数列．如果函数f（x）＝x2﹣x﹣2，数列{x n}为牛顿数列，设a n＝ln且a1＝1，x n＞2，数列{a n}的前n项和为S n，则S2021＝（）A．22021﹣1B．22021﹣2C．（）2021﹣D．（）2021﹣2二、多选题（共4小题）.9．2020年是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年，某研究性学习小组调查了某脱贫县的甲、乙两个家庭，对他们过去6年（2014年到2019年）的家庭收入情况分别进行统计，得到这两个家庭的年人均纯收入（单位：百元/人）茎叶图．对甲、乙两个家庭的年人均纯收入（以下分别简称“甲”“乙”）情况的判断，正确的是（）A．过去的6年，“甲”的极差小于“乙”的极差B．过去的6年，“甲”的平均值小于“乙”的平均值C．过去的6年，“甲”的中位数小于“乙”的中位数D．过去的6年，“甲”的平均增长率小于“乙”的平均增长率10．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法正确的是（）A．g（x）的最小正周期为B．g（x）在区间[，]上单调递增C．g（x）的图象关于直线x＝对称D．g（x）的图象关于点（，0）成中心对称11．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），A、B分别为双曲线的左，右顶点，F1、F2为左、右焦点，|F1F2|＝2c，且a，b，c成等比数列，点P是双曲线C的右支上异于点B的任意一点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是（）A．当PF2⊥x轴时，∠PF1F2＝30°B．双曲线的离心率e＝C．k1k2为定值D．若I为△PF1F2的内心，满足S＝S+xS（x∈R），则x＝12．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上（不含端点）且BE＝BF，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A、C两点重合于点A1，则下列结论正确的有（）A．A1D⊥EFB．当BE＝BF＝BC时，三棱锥A1﹣DEF的外接球体积为πC．当BE＝BF＝BC时，三棱锥A1﹣DEF的体积为D．当BE＝BF＝BC时，点A1到平面DEF的距离为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若二项式（1+2x）n（n∈N+）的展开式中所有项的二项式系数和为32，则该二项式展开式中含有x3项的系数为．14．已知抛物线C：y2＝4x，点A、B在抛物线上，且分别位于x轴的上、下两侧，若•＝5，则直线AB过定点．15．已知三棱锥P﹣ABC中，AP、AB、AC三条棱两两垂直，且长度均为2，以顶点P为球心，4为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为．16．设定义在D上的函数y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为l：y＝g（x），当x≠x0时，若＜0在D内恒成立，则称P点为函数y＝f（x）的“类对称中心点”，则函数h（x）＝+lnx的“类对称中心点”的坐标为．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在①a sin C＝c sin（A+），②b＝a cos C+c sin A，③a cos B+b cos A＝2c cos A．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC外接圆面积为π，sin B ＝2sin C，且_____，求△ABC的面积．18．已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n＝（n﹣1）2n+1+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，证明：T n＜．19．2021年春晚首次采用“云”传播，“云”互动形式，实现隔空连线心意相通，全球华人心连心“云团圆”，共享新春氛围，“云课堂”亦是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式，某市随机抽取200人对“云课堂”倡议的了解情况进行了问卷调查，记Y表示了解，N表示不了解，统计结果如表所示：（表一）了解情况Y N人数14060（表二）男女合计Y80N40合计（1）请根据所提供的数据，完成上面的2×2列联表（表二），并判断是否有99%的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系；（2）用样本估计总体，将频率视为概率，在男性市民和女性市民中各随机抽取4人，记“4名男性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为P1，“4名女性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为P2，试求出P1与P2，并比较P1与P2的大小．附：临界值参考表的参考公式P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（K2＝，其中n＝a+b+c+d）20．如图，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，∠A＝45°，AD＝4BC＝4，AB＝，现沿CN将△CDN折起使△ADN为正三角形，且平面ADN⊥平面ABCN，过BM的平面与线段DN、DC分别交于E、F．（1）求证：EF⊥DA；（2）在棱DN上（不含端点）是否存在点E，使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为，若存在，请确定E点的位置；若不存在，说明理由．21．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆上的点到焦点F1的距离的最小值为﹣1，以椭圆E的短轴为直径的圆过点（2，0）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若过F2的直线交椭圆E于A、B两点，过F1的直线交椭圆E于C，D两点，且AB ⊥CD，求四边形ACBD面积的取值范围．22．已知函数f（x）＝xe3x﹣（a+1）lnx+﹣1，g（x）＝﹣alnx+（a+2）x+．定义新函数d（f，g）＝|f（x）﹣g（x）|min．（1）当a≤﹣2时，讨论函数g（x）的单调性；（2）若新函数d（f，g）的值域为[0，+∞），求a的取值范围．参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|lg（x﹣2）≤1}，则A∩B＝（）A．（2，3]B．[﹣4，4]C．[2，4）D．（2，4]解：∵A＝{x|16﹣x2≥0}＝{x|﹣4≤x≤4}，B＝{x|0＜x﹣2≤10}＝{x|2＜x≤12}，∴A∩B＝（2，4]．故选：D．2．复数z＝的共轭复数的虚部为（）A．﹣B．C．D．解：z＝＝＝＝，∴＝，∴复数z＝的共轭复数的虚部为，故选：D．3．已知a，b∈R，则a＜b是a2（e a﹣e b）＜0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由a＜b，当a＝0时，不能够推出a2（e a﹣e b）＜0，故a＜b是a2（e a﹣e b）＜0的不充分条件，由a2（e a﹣e b）＜0⇒e a﹣e b＜0⇒e a＜e b⇒a＜b，故a＜b是a2（e a﹣e b）＜0的必要条件，综上所述：a＜b是a2（e a﹣e b）＜0的必要不充分条件．故选：B．4．《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率（）A．B．C．D．解：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．设田忌的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C，齐王的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，所有的基本事件有6种，分别为：（Aa，Bb，Cc），（Aa，Bc，Cb），（Ab，Ba，Cb），（Ab，Bc，Cb），（Ac，Bb，ca），（Ac，Ba，Cb），比赛结束时，田忌得2分的基本事件为：（Ab，Bc，Ca），只有1种，∴比赛结束时，田忌得2分的概率P＝．故选：C．5．已知sinα＝sin（α+）+，则cos（α+）的值为（）A．B．C．D．解：∵sinα＝sin（α+）+，∴sinα＝sinα+cosα+，∴sinα﹣cosα＝，即﹣cos（α+）＝，∴cos（α+）＝﹣．故选：B．6．已知向量，满足||＝4，||＝5，•＝4，则cos＜，＞＝（）A．B．C．D．解：向量，满足||＝4，||＝5，•＝4，可得＝＝＝7，＝＝16+4＝20，cos＜，＞＝＝＝．故选：A．7．设函数f（x）＝xe x﹣a（x﹣1），其中a＜1，若存在唯一整数x0，使得f（x0）＜a，则a 的取值范围是（）A．[﹣，1）B．[﹣，）C．[，）D．[，1）解：函数f（x）＝xe x﹣a（x﹣1），其中a＜1，设g（x）＝xe x，y＝ax，∵存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜a，∴存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y＝ax的下方，∵g′（x）＝（x+1）e x，∴当x＜﹣1时，g′（x）＜0，当x＞﹣1时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，∴当x＝﹣1时，[g（x）]min＝g（﹣1）＝﹣．当x＝0时，g（0）＝0，当x＝﹣2时，g（﹣2）＝﹣，直线y＝ax恒过（0，0），斜率为a，故﹣a＞g（﹣1）＝﹣，且g（﹣2）＝﹣≥﹣2a，解得≤a＜，∴a的取值范围是[，）．故选：C．8．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{x n}满足x n+1＝x n﹣，则称数列{x n}为牛顿数列．如果函数f（x）＝x2﹣x﹣2，数列{x n}为牛顿数列，设a n＝ln且a1＝1，x n＞2，数列{a n}的前n项和为S n，则S2021＝（）A．22021﹣1B．22021﹣2C．（）2021﹣D．（）2021﹣2解：∵f（x）＝x2﹣x﹣2，∴f′（x）＝2x﹣1，又∵x n+1＝x n﹣＝x n﹣，∴x n+1+1＝x n﹣+1＝，x n+1﹣2＝x n﹣2﹣＝，∴＝＝（）2，∵a n＝ln且a1＝1，x n＞2，∴a n+1＝ln＝ln（）2＝2ln＝2a n，∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴S2021＝＝22021﹣1，故选：A．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．2020年是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年，某研究性学习小组调查了某脱贫县的甲、乙两个家庭，对他们过去6年（2014年到2019年）的家庭收入情况分别进行统计，得到这两个家庭的年人均纯收入（单位：百元/人）茎叶图．对甲、乙两个家庭的年人均纯收入（以下分别简称“甲”“乙”）情况的判断，正确的是（）A．过去的6年，“甲”的极差小于“乙”的极差B．过去的6年，“甲”的平均值小于“乙”的平均值C．过去的6年，“甲”的中位数小于“乙”的中位数D．过去的6年，“甲”的平均增长率小于“乙”的平均增长率解：对于A，甲的极差为42﹣36＝6，乙的极差为41﹣34＝7，所以“甲”的极差小于“乙”的极差，A正确；对于B，甲的平均数是×（36+37+37+38+40+42）＝，乙的平均数为×（34+36+38+39+40+41）＝，所以“甲”的平均值大于“乙”的平均值，B错误；对于C，甲的中位数是×（37+38）＝37.5，乙的中位数是×（38+39）＝38.5，所以，“甲”的中位数小于“乙”的中位数，C正确；对于D，过去6年甲的平均增长率为：﹣1；乙的平均增长率为：﹣1，且＜，所以“甲”的平均增长率小于“乙”的平均增长率，D正确．故选：ACD．10．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法正确的是（）A．g（x）的最小正周期为B．g（x）在区间[，]上单调递增C．g（x）的图象关于直线x＝对称D．g（x）的图象关于点（，0）成中心对称解：根据函数的图象：周期，解得T＝π，故ω＝2．进一步求得A＝2．当x＝时，f（）＝2sin（+φ）＝﹣1，由于|φ|＜π，所以φ＝．所以f（x）＝2sin（2x+），函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）＝2sin（3x+）的图象，故对于A：函数的最小正周期为T＝，故A正确；对于B：由于x∈[，]，所以，故函数g（x）在区间[，]上单调递减，故B错误；对于C：当x＝时，g（）＝2sin（）＝﹣2，故函数g（x）的图象关于直线x＝对称，故C正确；对于D：当x＝时，g（）＝2，故D错误．故选：AC．11．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），A、B分别为双曲线的左，右顶点，F1、F2为左、右焦点，|F1F2|＝2c，且a，b，c成等比数列，点P是双曲线C的右支上异于点B的任意一点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是（）A．当PF2⊥x轴时，∠PF1F2＝30°B．双曲线的离心率e＝C．k1k2为定值D．若I为△PF1F2的内心，满足S＝S+xS（x∈R），则x＝解：因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，A中，PF2⊥x轴时，P的坐标为：（c，）即P（c，c），所以tan∠PF1F2＝＝＝，所以∠PF1F2≠30°，所以A不正确；B中，因为b2＝ac，所以可得c2﹣a2＝ac，可得e2﹣e﹣1＝0，又e＞1，解得：e＝，所以B正确；C，设P（x0，y0），则﹣＝1，所以y02＝b2•，由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），所以k1k2＝＝＝，由b2＝ac，可得k1k2＝＝，所以C正确；D中因为S＝S+xS，所以|PF1|•r＝|PF2|•r+x•|F1F2|•r，可得x＝＝＝＝，所以D正确；故选：BCD．12．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上（不含端点）且BE＝BF，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A、C两点重合于点A1，则下列结论正确的有（）A．A1D⊥EFB．当BE＝BF＝BC时，三棱锥A1﹣DEF的外接球体积为πC．当BE＝BF＝BC时，三棱锥A1﹣DEF的体积为D．当BE＝BF＝BC时，点A1到平面DEF的距离为解：取EF的中点O，连接OA1，OD，由题意可得DE＝DF，A1E＝A1F，所以OD⊥EF，A1O⊥EF，DO∩A1O＝O，所以EF⊥平面A1OD，所以EF⊥A1D，故A正确；当BE＝BE＝BC＝2时，A1E＝A1F＝2，EF＝2，可得A1E⊥A1F，又A1E⊥A1D，A1F⊥A1D，可把三棱锥A1﹣EDF放到以A1D，A1E，A1F为相邻棱的长方体中，可得长方体的对角线长为＝2，故外接球的半径为，体积为π×（）3＝8π，故B错误；当BE＝BF＝BC＝1时，EF＝，cos∠EA1F＝＝，所以sin∠EA1F＝＝，S＝A1E•A1F•sin∠EA1F＝×3×3×＝，V＝V＝S•A1D＝××4＝，故C正确；当BE＝BF＝1时，设A1到面DEF的距离为h，则V＝S△DEF h＝×（4×4﹣2××4×3﹣×1×1）h＝×h＝，解得h＝，故D正确．故选：ACD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若二项式（1+2x）n（n∈N+）的展开式中所有项的二项式系数和为32，则该二项式展开式中含有x3项的系数为80．解：∵（1+2x）n（n∈N+）的展开式中所有项的二项式系数和为32，∴2n＝32，解得n＝5，∴该二项式展开式中含有x3项的系数为•23＝80，故答案为：80．14．已知抛物线C：y2＝4x，点A、B在抛物线上，且分别位于x轴的上、下两侧，若•＝5，则直线AB过定点（5，0）．解：设直线AB的方程为x＝my+b，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得：y2﹣4my﹣4b＝0，所以y1y2＝﹣4b，x1x2＝＝b2，因为•＝5⇒x1x2+y1y2＝6，所以b2﹣4b＝5，可得b＝5或b＝0，因为点A、B在抛物线上，且分别位于x轴的上、下两侧，直线AB不过原点，所以b＝5，所以直线恒过点（5，0），故答案为：（5，0）．15．已知三棱锥P﹣ABC中，AP、AB、AC三条棱两两垂直，且长度均为2，以顶点P 为球心，4为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为3π．解：如图，AP＝，PN＝4，则AN＝2，∠APN＝，∴∠NPM＝，∴，同理，，，故球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于，故答案为：3π．16．设定义在D上的函数y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为l：y＝g（x），当x≠x0时，若＜0在D内恒成立，则称P点为函数y＝f（x）的“类对称中心点”，则函数h（x）＝+lnx的“类对称中心点”的坐标为（，1）．解：h′（x）＝+，h（x0）＝+lnx0，（x0＞0），即函数h（x）的定义域为D＝（0，+∞），所以函数h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为：y﹣（+lnx0）＝（+）（x﹣x0），则g（x）＝（+）（x﹣x0）++lnx0，设F（x）＝h（x）﹣g（x）＝+lnx﹣[（+）（x﹣x0）++lnx0]，则F（x0）＝0，所以F′（x）＝h′（x）﹣g′（x）＝+﹣（+）＝+﹣＝+＝（﹣），当x0＜，即0＜x0＜时，F（x）在（x0，）上单调递减，所以F（x）＜F（x0）＝0，所以＜0，＞0，当x0＞，即x0＞时，F（x）在（，x0）上单调递增，所以F（x）＞F（x0）＝0，所以＜0，＞0，所以y＝F（x）在（0，）∪（，+∞）上不存在“类对称点”，若x0＝，即x＝时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，当x＞x0时，F（x）＞F（x0）＝0，当x＜x0时，F（x）＜F（x0）＝0，所以＞0，＜0，综上，可得y＝h（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标，又h（）＝+ln＝1，故答案为：（，1）．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在①a sin C＝c sin（A+），②b＝a cos C+c sin A，③a cos B+b cos A＝2c cos A．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC外接圆面积为π，sin B ＝2sin C，且_____，求△ABC的面积．解：若选①a sin C＝c sin（A+），由正弦定理得sin AinC＝sin C sin（A+），因为sin C＞0，所以sin A＝sin（A+）＝sin A+cos A，故tan A＝，由A为三角形内角得A＝，由题意得△ABC外接圆半径r＝，由正弦定理得2r＝＝，所以a＝2，又sin B＝2sin C，所以b＝2c，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A得4＝4c2+c2﹣2c2，解得c＝，b＝，所以S△ABC＝＝＝；若选②b＝a cos C+c sin A，由正弦定理sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+sin C sin A，整理得cos A sin C＝sin C sin A，因为sin C＞0，故tan A＝，由A为三角形内角得A＝，由题意得△ABC外接圆半径r＝，由正弦定理得2r＝＝，所以a＝2，又sin B＝2sin C，所以b＝2c，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A得4＝4c2+c2﹣2c2，解得c＝，b＝，所以S△ABC＝＝＝；若选③a cos B+b cos A＝2c cos A，由正弦定理得sin A cos B+sin B cos A＝2sin C cos A，即sin（A+B）＝2sin C cos A＝sin C，因为siinC＞0，所以cos A＝，故A＝，由题意得△ABC外接圆半径r＝，由正弦定理得2r＝＝，所以a＝2，又sin B＝2sin C，所以b＝2c，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A得4＝4c2+c2﹣2c2，解得c＝，b＝，所以S△ABC＝＝＝．18．已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n＝（n﹣1）2n+1+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，证明：T n＜．【解答】（1）解：由a1+2a2+3a3+…+na n＝（n﹣1）2n+1+2可得：a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1＝（n﹣2）2n+2（n≥2），两式相减得：na n＝（n﹣1）2n+1﹣（n﹣2）2n＝n×2n，即a n＝2n，n≥2，又当n＝1时，有a1＝2也适合上式，∴a n＝2n；（2）证明：由（1）可得：＝＝（﹣），∴T n＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣）＜（1+）＝．19．2021年春晚首次采用“云”传播，“云”互动形式，实现隔空连线心意相通，全球华人心连心“云团圆”，共享新春氛围，“云课堂”亦是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式，某市随机抽取200人对“云课堂”倡议的了解情况进行了问卷调查，记Y表示了解，N表示不了解，统计结果如表所示：（表一）了解情况Y N人数14060（表二）男女合计Y80N40合计（1）请根据所提供的数据，完成上面的2×2列联表（表二），并判断是否有99%的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系；（2）用样本估计总体，将频率视为概率，在男性市民和女性市民中各随机抽取4人，记“4名男性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为P1，“4名女性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为P2，试求出P1与P2，并比较P1与P2的大小．附：临界值参考表的参考公式P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（K2＝，其中n＝a+b+c+d）解：（1）根据题意填写列联表，如下：男女合计Y8060140N204060合计100100200根据表中数据，计算K2＝＝≈9.524＞6.635，对照临界值表知，有99%的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系；（2）用样本估计总体，将频率视为概率，根据列联表得出男性了解“云课堂”倡议的概率为＝，女性了解“云课堂”倡议的概率为＝，所以计算概率P1＝••＝，概率P2＝••＝，所以P1＞P2．20．如图，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，∠A＝45°，AD＝4BC＝4，AB＝，现沿CN将△CDN折起使△ADN为正三角形，且平面ADN⊥平面ABCN，过BM的平面与线段DN、DC分别交于E、F．（1）求证：EF⊥DA；（2）在棱DN上（不含端点）是否存在点E，使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为，若存在，请确定E点的位置；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：∵BM⊥AD，CN⊥AD，∴BM∥CN，在四棱锥D﹣ABCN中，CN⊂平面CDN，BM⊄平面CDN，∴BM∥平面CDN，又平面BMEF∩平面CDN＝EF，∴BM∥EF，∵平面ADN⊥平面ABCN且交于AN，BM⊥AN，∴BM⊥平面ADN，即EF⊥平面ADN，又DA⊂平面ADN，∴EF⊥DA；（2）解：存在，E为棱DN上靠近N点的四等分点．∵DA＝DN，AM＝MN＝1，连接DM，∴DM⊥AN，又平面ADN⊥平面ABCN，且平面ADN∩平面ABCN＝AN，∴DM⊥平面ABCN．如图，以M为坐标原点，分别以MA，MB，MD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，），B（0，1，0），M（0，0，0），N（﹣1，0，0），，，，设，（0＜λ＜1），则E（λ﹣1，0，），＝（λ﹣1，0，），设平面BMEF的一个法向量为，则，不妨令x＝，则z＝1﹣λ，，设直线DB与平面BMEF所成角为α，则有sinα＝|cos＜＞|＝＝，解得或（舍）．∴，即在棱DN上存在点E，使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为，E为棱DN上靠近N点的四等分点．21．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆上的点到焦点F1的距离的最小值为﹣1，以椭圆E的短轴为直径的圆过点（2，0）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若过F2的直线交椭圆E于A、B两点，过F1的直线交椭圆E于C，D两点，且AB ⊥CD，求四边形ACBD面积的取值范围．解：（1）由题意可知，b＝2，a﹣c＝﹣1，又a2＝b2+c2，解得a＝，c＝1，所以椭圆的标准方程为：；（2）设四边形ACBD的面积为S，则S＝，①当AB⊥x轴时，|AB|＝，|CD|＝2a，所以S＝，②当CD⊥x轴时，|CD|＝，|AB|＝2a，所以S＝，③当AB与CD都不与x轴垂直时，直线AB的斜率存在且不为0，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为﹣，则设直线AB的方程为：y＝k（x﹣1），联立方程，消去y整理可得：（4+5k2）x2﹣10k2x+5k2﹣20＝0，所以x，所以|AB|＝＝（*），过F2做直线CD的平行线和椭圆E交于点C1，D1，由对称性知|C1D1|＝|CD|，在（*）中的k换成﹣，得|C1D1|＝＝，所以|CD|＝，所以S＝|B||CD|＝••＝，令t＝1+k2，则t＞1，所以S＝＝＝，令u＝，则u∈（0，1），所以S＝＝，因为﹣（u﹣）2+∈（20，]，所以S∈[，8）所以四边形ACBD面积的取值范围[，8）．22．已知函数f（x）＝xe3x﹣（a+1）lnx+﹣1，g（x）＝﹣alnx+（a+2）x+．定义新函数d（f，g）＝|f（x）﹣g（x）|min．（1）当a≤﹣2时，讨论函数g（x）的单调性；（2）若新函数d（f，g）的值域为[0，+∞），求a的取值范围．解：（1）函数g（x）＝﹣alnx+（a+2）x+，则g′（x）＝﹣+（a+2）x﹣＝（x＞0），①当a+2＝0，即a＝﹣2时，，令g'（x）＞0，解得x＞1，令g'（x）＜0，解得0＜x＜1，所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；②当a＜﹣2时，，（i）当，即﹣4＜a＜﹣2时，令g'（x）＞0，解得，令g'（x）＜0，解得0＜x＜1或x＞，故g（x）在（0，1）和（，+∞）上单调递减，在（1，）上单调递增；（ii）当＝1，即a＝﹣4时，，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减；（iii）当a＜﹣4时，令g'（x）＞0，解得＜x＜1，令g'（x）＜0，解得0＜x＜或x＞1，所以g（x）在（0，）和（1，+∞）上单调递减，在（，1）上单调递增．综上所述，当a＝﹣2时，g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增；当﹣4＜a＜﹣2时，g（x）在（0，1）和（，+∞）上单调递减，在（1，）上单调递增；当a＝﹣4时，以g（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＜﹣4时，g（x）在（0，）和（1，+∞）上单调递减，在（，1）上单调递增．（2）因为|f（x）﹣g（x）|min∈[0，+∞），所以f（x）﹣g（x）＝0有解，即a+2＝在（0，+∞）上有解，令h（x）＝，则，令μ（x）＝3x2e3x+lnx，则，故μ（x）在（0，+∞）上单调递增，又，故存在x0，使，当x∈（0，x0）时，μ（x）＜0，即h'（x）＜0，则h（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，μ（x）＞0，即h'（x）＞0，则h（x）单调递增，故h（x）的最小值为h（x0）＝且x→+∞，h（x）→+∞，由，可得，即，令V（x）＝xlnx（x＞1），V'（x）＝2+lnx＞0，所以V（x）在（1，+∞）上单调递增，又，即3x0＝﹣lnx0，所以，故h（x）的最小值为，故a+2≥3，所以a≥1．。
2024年新高考版数学专题1_1.2 常用逻辑用语(分层集训)
2.(2023届福建龙岩一中月考,3)下列命题中,错误的命题是 ( ) A.函数f(x)=x与g(x)=( x )2不是同一个函数 B.命题“∃x∈[0,1],x2+x≥1”的否定为“∀x∈[0,1],x2+x<1”
C.设函数f(x)=
2x 2x , x
2,
x 0,
0,
则f(x)在R上单调递增
2.(2022福建龙岩一模,1)已知a∈R,若集合M={1,a},N={-1,0,1},则“M ⊆N”是“a=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B
3.(2020天津,2,5分)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 答案 D
2.(2015课标Ⅰ,3,5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为 ( ) A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n 答案 C
4.(2021山东淄博模拟,5)已知a,b∈R,则“ab≠0”的一个必要条件是
()
A.a+b≠0 B.a2+b2≠0
C.a3+b3≠0 答案 B
D. 1 + 1 ≠0
ab
5.(多选)(2021辽宁省实验中学二模,4)下列四个选项中,q是p的充分必要 条件的是 ( )
A.p:
2021届高三新高考模拟数学试题(解析版)
2021届高三新高考模拟英语试题第一部分阅读(共两节, 满分50分)第一节(共15小题;每小题2. 5分, 满分37. 5分)阅读下列短文, 从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。
ABest Cookbooks for KidsBest Overall: Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat!)◎Buy on Amazon◎Buy on WalmartWith the help of this best-selling cookbook, your kids will become masters in the kitchen! Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat ! )is ideal for children aged 6 to 12, as it includes detailed explanations of basic cooking techniques, plus more than 50 kid-friendly recipes. This award-winning cookbook is a comprehensive guide for cooking novices, explaining skills and recipes in kid-friendly language.Best for Basic Learner: Better Homes and Gardens New Junior Cookbook◎Buy on Amazon◎Buy on WalmartIf you want to teach your kids cooking terms, tools and techniques, you need the Better Homes and Gardens New Junior Cookbook.This 128-page cookbook has more than 65 kid-friendlyrecipes, and it’s perfect for introducing kids aged 5 to 12 to the wonderful world of cooking. It includes a detailed section on cooking terms, kitchen safety, tools (including pictures), and healthy cooking. It also addresses how to measure ingredients and how to read recipes.Best Classic: Betty Crocker’s Cookbook for Boys and Girls◎Buy on Amazon◎Buy on Target◎Buy on WalmartThe first edition of this classic kids’ cookbook was published more than 60 years ago, and the Betty Crocker’s Cookbook for Boys and Girls is still a favorite for kids and adults alike. The recipes are ideal for children aged 8 to 12. This cookbook is an authentic reproduction of the original 1957 edition, which many baby boomers learned from themselves! Many older buyers write that they had the same cookbook growing up and love sharing the classic recipes with the next generation.Best Vegetarian: The Help Yourself Cookbook for Kids◎Buy on Amazon◎Buy on WalmartThis vegan cookbook is best for children aged 6 to 12, and its aim is to teach kids about healthy eating by involving them in the cooking process. The book features 60 plant-based recipes for you to make with your family, including meals, snacks, drinks and desserts.1. Which cookbook can be purchased on Target?A. Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat!).B. Better Homes and Gardens New Junior Cookbook.C. Betty Crocker’s Cookbook for Boys and Girls.D. The Help Yourself Cookbook for Kids.2. What can we know about Better Homes and Gardens New Junior Cookbook?A. It is an award-winning cookbook.B. It teaches the kids about kitchen safety.C. It includes 60 plant-based recipes.D. It was published more than 60 years ago.3. What is the similarity between Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat!) and The Help Yourself Cookbook for Kids?A. They are both designed for kids aged 6-12.B. They have recipes based on plants.C. They have recipes for whatever you want.D. They explain how to measure ingredients.『语篇解读』本文主要介绍了四本适合孩子们的食谱。
解析几何(解答题)--五年(2020-2024)高考数学真题分类汇编(解析版)
专题解析几何(解答题)考点五年考情(2020-2024)命题趋势考点01椭圆及其性质2024Ⅰ甲卷北京卷天津卷2023北京乙卷天津2022乙卷北京卷浙江卷2021北京卷Ⅱ卷2020ⅠⅡ卷新ⅠⅡ卷椭圆轨迹标准方程问题，有关多边形面积问题，定值定点问题，新结构中的新定义问题是高考的一个高频考点考点02双曲线及其性质2024Ⅱ卷2023Ⅱ新课标Ⅱ2022Ⅰ卷2021Ⅰ双曲线离心率问题，轨迹方程有关面积问题，定值定点问题以及斜率有关的证明问题以及新结构中的新定义问题是高考的高频考点考点03抛物线及其性质2023甲卷2022甲卷2021浙江甲卷乙卷2020浙江抛物线有关三角形面积问题，关于定直线问题，有关P 的证明类问题考点01：椭圆及其性质1(2024·全国·高考Ⅰ卷)已知A (0,3)和P 3,32 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】(1)12(2)直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.【详解】(1)由题意得b =39a 2+94b2=1，解得b 2=9a 2=12 ，所以e =1-b 2a2=1-912=12.(2)法一：k AP =3-320-3=-12，则直线AP 的方程为y =-12x +3，即x +2y -6=0，AP =0-3 2+3-322=352，由(1)知C :x 212+y 29=1，设点B到直线AP的距离为d，则d=2×9352=1255，则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B，设该平行线的方程为：x+2y+C=0，则C+65=1255，解得C=6或C=-18，当C=6时，联立x212+y29=1x+2y+6=0，解得x=0y=-3或x=-3y=-32，即B0,-3或-3,-3 2，当B0,-3时，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当B-3,-3 2时，此时k l=12，直线l的方程为y=12x，即x-2y=0，当C=-18时，联立x212+y29=1x+2y-18=0得2y2-27y+117=0，Δ=272-4×2×117=-207<0，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B x0,y0，则x0+2y0-65=1255x2012+y209=1，解得x0=-3y0=-32或x0=0y0=-3，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B23cosθ,3sinθ，其中θ∈0,2π，则有23cosθ+6sinθ-65=1255，联立cos2θ+sin2θ=1，解得cosθ=-32sinθ=-12或cosθ=0sinθ=-1，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一；法四：当直线AB的斜率不存在时，此时B0,-3，S△PAB=12×6×3=9，符合题意，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+3，联立椭圆方程有y =kx +3x 212+y 29=1，则4k 2+3 x 2+24kx =0，其中k ≠k AP ，即k ≠-12，解得x =0或x =-24k 4k 2+3，k ≠0，k ≠-12，令x =-24k 4k 2+3，则y =-12k 2+94k 2+3，则B -24k 4k 2+3,-12k 2+94k 2+3同法一得到直线AP 的方程为x +2y -6=0，点B 到直线AP 的距离d =1255，则-24k4k 2+3+2×-12k 2+94k 2+3-65=1255，解得k =32，此时B -3,-32 ，则得到此时k l =12，直线l 的方程为y =12x ，即x -2y =0，综上直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.法五：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当l 的斜率存在时，设PB :y -32=k (x -3)，令P x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，y =k (x -3)+32x 212+y 29=1 ，消y 可得4k 2+3 x 2-24k 2-12k x +36k 2-36k -27=0，Δ=24k 2-12k 2-44k 2+3 36k 2-36k -27 >0，且k ≠k AP ，即k ≠-12，x 1+x 2=24k 2-12k 4k 2+3x 1x 2=36k 2-36k -274k 2+3,PB =k 2+1x 1+x 2 2-4x 1x 2=43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3 ，A 到直线PB 距离d =3k +32k 2+1,S △PAB =12⋅43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3⋅3k +32k 2+1=9，∴k =12或32，均满足题意，∴l :y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.法六：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当直线l 斜率存在时，设l :y =k (x -3)+32，设l 与y 轴的交点为Q ，令x =0，则Q 0,-3k +32，联立y =kx -3k +323x 2+4y 2=36，则有3+4k 2 x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，3+4k2x2-8k3k-3 2x+36k2-36k-27=0，其中Δ=8k23k-3 22-43+4k236k2-36k-27>0，且k≠-1 2，则3x B=36k2-36k-273+4k2,x B=12k2-12k-93+4k2，则S=12AQx P-x B=123k+3212k+183+4k2=9，解的k=12或k=32，经代入判别式验证均满足题意.则直线l为y=12x或y=32x-3，即3x-2y-6=0或x-2y=0.2(2024·全国·高考甲卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，点M1,32在C上，且MF⊥x轴．(1)求C的方程；(2)过点P4,0的直线交C于A,B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y 轴．【答案】(1)x24+y23=1(2)证明见解析【详解】(1)设F c,0，由题设有c=1且b2a=32，故a2-1a=32，故a=2，故b=3，故椭圆方程为x24+y23=1.(2)直线AB的斜率必定存在，设AB:y=k(x-4)，A x1,y1，B x2,y2，由3x2+4y2=12y=k(x-4)可得3+4k2x2-32k2x+64k2-12=0，故Δ=1024k4-43+4k264k2-12>0，故-12<k<12，又x1+x2=32k23+4k2,x1x2=64k2-123+4k2，而N52,0，故直线BN:y=y2x2-52x-52，故y Q=-32y2x2-52=-3y22x2-5，所以y1-y Q=y1+3y22x2-5=y1×2x2-5+3y22x2-5=k x1-4×2x2-5+3k x2-42x2-5=k 2x1x2-5x1+x2+82x2-5=k2×64k2-123+4k2-5×32k23+4k2+82x2-5=k 128k2-24-160k2+24+32k23+4k22x2-5=0，故y1=y Q，即AQ⊥y轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，注意Δ的判断；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.3(2024·北京·高考真题)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点0,t t >2 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点A ,B ，过点A 和C 0,1 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．【答案】(1)x 24+y 22=1,e =22(2)t =2【详解】(1)由题意b =c =22=2，从而a =b 2+c 2=2，所以椭圆方程为x 24+y 22=1，离心率为e =22；(2)直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设AB :y =kx +t ,k ≠0,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立x 24+y 22=1y =kx +t，化简并整理得1+2k 2 x 2+4ktx +2t 2-4=0，由题意Δ=16k 2t 2-82k 2+1 t 2-2 =84k 2+2-t 2 >0，即k ,t 应满足4k 2+2-t 2>0，所以x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设D -x 2,y 2 ，所以AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，在直线AD 方程中令x =0，得y C =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t x 1+x 2=2kx 1x 2+t x 1+x 2 x 1+x 2=4k t 2-2 -4kt +t =2t =1，所以t =2，此时k 应满足4k 2+2-t 2=4k 2-2>0k ≠0 ，即k 应满足k <-22或k >22，综上所述，t =2满足题意，此时k <-22或k >22.4(2024·天津·高考真题)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的离心率e =12．左顶点为A ，下顶点为B ，C 是线段OB 的中点，其中S △ABC =332．(1)求椭圆方程．(2)过点0,-32 的动直线与椭圆有两个交点P ，Q ．在y 轴上是否存在点T 使得TP ⋅TQ ≤0．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】(1)x 212+y 29=1(2)存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e =12，故a =2c ，b =3c ，其中c 为半焦距，所以A -2c ,0 ,B 0,-3c ,C 0,-3c 2 ，故S △ABC =12×2c ×32c =332，故c =3，所以a =23，b =3，故椭圆方程为：x 212+y 29=1.(2)若过点0,-32 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y =kx -32，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,T 0,t ，由3x 2+4y 2=36y =kx -32可得3+4k 2 x 2-12kx -27=0，故Δ=144k 2+1083+4k 2 =324+576k 2>0且x 1+x 2=12k 3+4k 2,x 1x 2=-273+4k2,而TP =x 1,y 1-t ,TQ=x 2,y 2-t ，故TP ⋅TQ =x 1x 2+y 1-t y 2-t =x 1x 2+kx 1-32-t kx 2-32-t =1+k 2 x 1x 2-k 32+t x 1+x 2 +32+t 2=1+k 2 ×-273+4k 2-k 32+t ×12k 3+4k 2+32+t 2=-27k 2-27-18k 2-12k 2t +332+t 2+3+2t 2k 23+4k 2=3+2t2-12t -45 k 2+332+t 2-273+4k 2，因为TP ⋅TQ ≤0恒成立，故3+2t 2-12t -45≤0332+t 2-27≤0，解得-3≤t ≤32.若过点0,-32的动直线的斜率不存在，则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ，此时需-3≤t ≤3，两者结合可得-3≤t ≤32.综上，存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.5(2023年全国乙卷理科)已知椭圆C :y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的离心率是53，点A -2,0 在C 上．(1)求C方程；(2)过点-2,3 的直线交C 于P ,Q 两点，直线AP ,AQ 与y 轴的交点分别为M ,N ，证明：线段MN 的中点为定点．【答案】(1)y 29+x 24=1(2)证明见详解解析：(1)由题意可得b =2a 2=b 2+c 2e =c a =53，解得a =3b =2c =5，所以椭圆方程为y 29+x 24=1．(2)由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设PQ :y =k x +2 +3,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程y =k x +2 +3y 29+x 24=1，消去y 得：4k 2+9 x 2+8k 2k +3x +16k 2+3k =0，则Δ=64k 22k +3 2-644k 2+9 k 2+3k =-1728k >0，解得k <0，可得x 1+x 2=-8k 2k +34k 2+9,x 1x 2=16k 2+3k 4k 2+9，因为A -2,0 ，则直线AP :y =y 1x 1+2x +2 ，令x =0，解得y =2y 1x 1+2，即M 0,2y 1x 1+2,同理可得N 0,2y 2x 2+2，则2y 1x 1+2+2y2x 2+22=k x 1+2 +3 x 1+2+k x 2+2 +3 x 2+2=kx 1+2k +3 x 2+2 +kx 2+2k +3 x 1+2x 1+2 x 2+2=2kx 1x 2+4k +3 x 1+x 2 +42k +3x 1x 2+2x 1+x 2 +4=32k k 2+3k 4k 2+9-8k 4k +3 2k +34k 2+9+42k +3 16k 2+3k 4k 2+9-16k 2k +34k 2+9+4=10836=3，所以线段MN 的中点是定点0,3 ．6(2020年高考课标Ⅱ)已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．【答案】(1)12；(2)C 1:x 236+y 227=1，C 2:y 2=12x ．解析：(1)∵F c ,0 ，AB ⊥x 轴且与椭圆C 1相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x =c ，联立x =c x 2a 2+y 2b 2=1a 2=b 2+c 2，解得x =c y =±b 2a，则AB =2b 2a ，抛物线C 2的方程为y 2=4cx ，联立x =cy 2=4cx ，解得x =cy =±2c，∴CD =4c ，∵CD =43AB ，即4c =8b 23a ，2b 2=3ac ，即2c 2+3ac -2a 2=0，即2e 2+3e -2=0，∵0<e <1，解得e =12，因此，椭圆C 1的离心率为12；(2)由(1)知a =2c ，b =3c ，椭圆C 1的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，联立y 2=4cxx24c2+y 23c 2=1，消去y 并整理得3x 2+16cx -12c 2=0，解得x =23c 或x =-6c (舍去)，由抛物线的定义可得MF =23c +c =5c3=5，解得c =3．因此，曲线C 1的标准方程为x 236+y 227=1，曲线C 2的标准方程为y 2=12x ．7(2021年新高考全国Ⅱ卷)已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，右焦点为F (2,0)，且离心率为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2=b 2(x >0)相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．【答案】解析:(1)由题意，椭圆半焦距c =2且e =c a =63，所以a =3，又b 2=a 2-c 2=1，所以椭圆方程为x 23+y 2=1；(2)由(1)得，曲线为x 2+y 2=1(x >0)，当直线MN 的斜率不存在时，直线MN :x =1，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线MN :y =k x -2 即kx -y -2k =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得2kk 2+1=1，解得k =±1，联立y =±x -2x23+y 2=1 可得4x 2-62x +3=0，所以x 1+x 2=322,x 1⋅x 2=34，所以MN =1+1⋅x 1+x 22-4x 1⋅x 2=3,所以必要性成立；充分性：设直线MN :y =kx +b ,kb <0 即kx -y +b =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得bk 2+1=1，所以b 2=k 2+1，联立y =kx +bx 23+y 2=1可得1+3k 2 x 2+6kbx +3b 2-3=0，所以x 1+x 2=-6kb 1+3k 2,x 1⋅x 2=3b 2-31+3k 2，所以MN =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1⋅x 2=1+k2-6kb 1+3k22-4⋅3b 2-31+3k 2=1+k 2⋅24k 21+3k 2=3，化简得3k 2-1 2=0，所以k =±1，所以k =1b =-2或k =-1b =2 ，所以直线MN :y =x -2或y =-x +2，所以直线MN 过点F (2,0)，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．8(2020年高考课标Ⅰ卷)已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a2+y 2=1(a >1)左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⋅GB =8，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E方程；(2)证明：直线CD 过定点．【答案】(1)x 29+y 2=1；(2)证明详见解析．【解析】(1)依据题意作出如下图象：由椭圆方程E :x 2a2+y 2=1(a >1)可得：A -a ,0 ， B a ,0 ，G 0,1∴AG =a ,1 ，GB =a ,-1 ∴AG ⋅GB =a 2-1=8，∴a 2=9∴椭圆方程为：x 29+y 2=1(2)证明：设P 6,y 0 ，则直线AP 的方程为：y =y 0-06--3x +3 ，即：y =y 09x +3 联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：x 29+y 2=1y =y 09x +3 ，整理得：y 02+9 x 2+6y 02x +9y 02-81=0，解得：x =-3或x =-3y 02+27y 02+9将x =-3y 02+27y 02+9代入直线y =y 09x +3 可得：y =6y 0y 02+9所以点C 的坐标为-3y 02+27y 02+9,6y 0y 02+9 ．同理可得：点D 的坐标为3y 02-3y 02+1,-2y 0y 02+1∴直线CD 的方程为：y --2y 0y 02+1=6y 0y 02+9--2y 0y 02+1-3y 02+27y 02+9-3y 02-3y 02+1x -3y 02-3y 02+1，整理可得：y +2y 0y 02+1=8y 0y 02+3 69-y 04x -3y 02-3y 02+1 =8y 063-y 02 x -3y 02-3y 02+1整理得：y =4y 033-y 02 x +2y 0y 02-3=4y 033-y 02x -32故直线CD 过定点32,09(2020年新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22，且过点A (2，1)．(1)求C 的方程：(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【答案】(1)x 26+y 23=1；(2)详见解析．解析：(1)由题意可得：c a =324a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得：a 2=6,b 2=c 2=3，故椭圆方程为：x 26+y 23=1．(2)设点M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ．因为AM ⊥AN ，∴AM·AN=0，即x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0,①当直线MN 的斜率存在时，设方程为y =kx +m ,如图1．代入椭圆方程消去y 并整理得：1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-6=0x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k 2②,根据y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m ,代入①整理可得：k 2+1 x 1x 2+km -k -2 x 1+x 2 +m -1 2+4=0将②代入，k 2+1 2m 2-61+2k 2+km -k -2 -4km1+2k2+m -1 2+4=0，整理化简得2k +3m +1 2k +m -1 =0,∵A (2,1)不在直线MN 上，∴2k +m -1≠0，∴2k +3m +1=0，k ≠1，于是MN 的方程为y =k x -23 -13，所以直线过定点直线过定点E 23,-13．当直线MN 的斜率不存在时，可得N x 1,-y 1 ,如图2．代入x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0得x 1-2 2+1-y 22=0,结合x 216+y 213=1,解得x 1=2舍 ,x 1=23,此时直线MN 过点E 23,-13,由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值(AE 长度的一半122-232+1+132=423)．由于A 2,1 ,E 23,-13 ，故由中点坐标公式可得Q 43,13．故存在点Q 43,13，使得|DQ |为定值．10(2022年高考全国乙卷)已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A 0,-2 ,B 32,-1两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P 1,-2 的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT =TH．证明：直线HN 过定点．【答案】(1)y 24+x 23=1(2)(0,-2)解析：设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1，过A 0,-2 ,B 32,-1，则4n =194m +n =1 ，解得m =13，n =14，所以椭圆E 的方程为：y 24+x 23=1．【小问2详解】A (0,-2),B 32,-1，所以AB :y +2=23x ，①若过点P (1,-2)的直线斜率不存在，直线x =1．代入x 23+y 24=1，可得M 1,-263 ，N 1,263 ，代入AB 方程y =23x -2，可得T -6+3,-263 ，由MT =TH 得到H -26+5,-263 ．求得HN 方程：y =2+263x -2，过点(0,-2)．②若过点P (1,-2)的直线斜率存在，设kx -y -(k +2)=0,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)．联立kx -y -(k +2)=0x 23+y 24=1,得(3k 2+4)x 2-6k (2+k )x +3k (k +4)=0，可得x 1+x 2=6k (2+k )3k 2+4x 1x 2=3k (4+k )3k 2+4，y 1+y 2=-8(2+k )3k 2+4y 2y 2=4(4+4k -2k 2)3k 2+4，且x 1y 2+x 2y 1=-24k 3k 2+4(*)联立y =y 1y =23x -2,可得T 3y12+3,y 1 ,H (3y 1+6-x 1,y 1).可求得此时HN :y -y 2=y 1-y 23y 1+6-x 1-x 2(x -x 2)，将(0,-2)，代入整理得2(x 1+x 2)-6(y 1+y 2)+x 1y 2+x 2y 1-3y 1y 2-12=0，将(*)代入，得24k +12k 2+96+48k -24k -48-48k +24k 2-36k 2-48=0,显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,-2).11(2020年新高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2，3),点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．【答案】(1)x 216+y 212=1；(2)18．解析：(1)由题意可知直线AM 的方程为：y -3=12(x -2)，即x -2y =-4．当y =0时，解得x =-4，所以a =4，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 过点M (2，3)，可得416+9b 2=1，解得b 2=12．所以C 的方程：x 216+y 212=1．(2)设与直线AM 平行的直线方程为：x -2y =m ，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值．联立直线方程x -2y =m 与椭圆方程x 216+y 212=1，可得：3m +2y 2+4y 2=48，化简可得：16y 2+12my +3m 2-48=0，所以Δ=144m 2-4×163m 2-48 =0，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：x -2y =8，直线AM 方程为：x -2y =-4，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d =8+41+4=1255，由两点之间距离公式可得|AM |=(2+4)2+32=35．所以△AMN 的面积的最大值：12×35×1255=18．12(2020年高考课标Ⅲ卷)已知椭圆C :x 225+y 2m 2=1(0<m <5)的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积．【答案】(1)x 225+16y 225=1；(2)52．解析：(1)∵C :x 225+y 2m 2=1(0<m <5)∴a =5，b =m ，根据离心率e =ca=1-b a2=1-m 5 2=154，解得m =54或m =-54(舍)，∴C 的方程为：x 225+y 2542=1，即x 225+16y 225=1；(2)不妨设P ,Q 在x 轴上方∵点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设x =6与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图∵|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，∠PMB =∠QNB =90°，又∵∠PBM +∠QBN =90°，∠BQN +∠QBN =90°，∴∠PBM =∠BQN ，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：△PMB ≅△BNQ ，∵x 225+16y 225=1，∴B (5,0)，∴PM =BN =6-5=1，设P 点为(x P ,y P )，可得P 点纵坐标为y P =1，将其代入x 225+16y 225=1，可得：x P 225+1625=1，解得：x P =3或x P =-3，∴P 点为(3,1)或(-3,1)，①当P 点为(3,1)时，故MB =5-3=2，∵△PMB ≅△BNQ ，∴|MB |=|NQ |=2，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图∵A (-5,0),Q (6,2)，可求得直线AQ 的直线方程为：2x -11y +10=0，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =2×3-11×1+1022+112=5125=55，根据两点间距离公式可得：AQ =6+52+2-0 2=55，∴△APQ 面积为：12×55×55=52；②当P 点为(-3,1)时，故MB =5+3=8，∵△PMB ≅△BNQ ，∴|MB |=|NQ |=8，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图∵A (-5,0),Q (6,8)，可求得直线AQ 的直线方程为：8x -11y +40=0，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =8×-3 -11×1+4082+112=5185=5185，根据两点间距离公式可得：AQ =6+52+8-0 2=185，∴△APQ 面积为：12×185×5185=52，综上所述，△APQ 面积为：52．1313(2023年北京卷)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)离心率为53，A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，|AC |=4．(1)求E 的方程；(2)设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线y =-2交于点N ．求证：MN ⎳CD ．【答案】(1)x 29+y 24=1(2)证明见解析：(1)依题意，得e =c a =53，则c =53a ，又A ,C 分别为椭圆上下顶点，AC =4，所以2b =4，即b =2，所以a 2-c 2=b 2=4，即a 2-59a 2=49a 2=4，则a 2=9，所以椭圆E 的方程为x 29+y 24=1．(2)因为椭圆E 的方程为x 29+y 24=1，所以A 0,2 ,C 0,-2 ,B -3,0 ,D 3,0 ，因为P 为第一象限E 上的动点，设P m ,n 0<m <3,0<n <2 ，则m 29+n 24=1，易得k BC =0+2-3-0=-23，则直线BC 的方程为y =-23x -2，k PD =n -0m -3=n m -3，则直线PD 的方程为y =n m -3x -3 ，联立y =-23x -2y =n m -3x -3，解得x =33n -2m +63n +2m -6y =-12n 3n +2m -6，即M 33n -2m +6 3n +2m -6,-12n 3n +2m -6，而k PA =n -2m -0=n -2m ，则直线PA 的方程为y =n -2mx +2，令y =-2，则-2=n -2m x +2，解得x =-4m n -2，即N -4mn -2,-2 ，又m 29+n 24=1，则m 2=9-9n 24，8m 2=72-18n 2，所以k MN =-12n3n +2m -6+233n -2m +6 3n +2m -6--4mn-2=-6n +4m -12 n -29n -6m +18 n -2 +4m 3n +2m -6=-6n 2+4mn -8m +249n 2+8m 2+6mn -12m -36=-6n 2+4mn -8m +249n 2+72-18n 2+6mn -12m -36=-6n 2+4mn -8m +24-9n 2+6mn -12m +36=2-3n 2+2mn -4m +12 3-3n 2+2mn -4m +12 =23，又k CD =0+23-0=23，即k MN =k CD ，显然，MN 与CD 不重合，所以MN ⎳CD ．14(2023年天津卷)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点分别为A 1,A 2，右焦点为F ，已知A 1F =3,A 2F =1．(1)求椭圆方程及其离心率；(2)已知点P 是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A 2P 交y 轴于点Q ，若三角形A 1PQ 的面积是三角形A 2FP 面积的二倍，求直线A 2P 的方程．【答案】(1)椭圆的方程为x 24+y 23=1，离心率为e =12．(2)y =±62x -2 ．解析：(1)如图，由题意得a +c =3a -c =1，解得a =2,c =1，所以b =22-12=3，所以椭圆的方程为x 24+y 23=1，离心率为e =c a =12．(2)由题意得，直线A 2P 斜率存在，由椭圆的方程为x 24+y 23=1可得A 22,0 ，设直线A 2P 的方程为y =k x -2 ，联立方程组x 24+y 23=1y =k x -2，消去y 整理得：3+4k 2 x 2-16k 2x +16k 2-12=0，由韦达定理得x A 2⋅x P =16k 2-123+4k 2，所以x P =8k 2-63+4k 2，所以P 8k 2-63+4k 2,--12k3+4k 2，Q 0,-2k ．所以S △A 2QA 1=12×4×y Q ,S △A 2PF =12×1×y P ,S △A 1A 2P =12×4×y P ，所以S △A 2QA 1=S △A 1PQ +S △A 1A 2P =2S △A 2PF +S △A 1A 2P ，所以2y Q =3y P ，即2-2k =3-12k3+4k 2，解得k =±62，所以直线A 2P 的方程为y =±62x -2 ．15(2022高考北京卷)已知椭圆：E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A (0,1)，焦距为23．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (-2,1)作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当|MN |=2时，求k 的值．【答案】解析:(1)依题意可得b =1，2c =23，又c 2=a 2-b 2，所以a =2，所以椭圆方程为x 24+y 2=1；(2)解：依题意过点P -2,1 的直线为y -1=k x +2 ，设B x 1,y 1 、C x 2,y 2 ，不妨令-2≤x 1<x 2≤2，由y -1=k x +2x 24+y 2=1，消去y 整理得1+4k 2 x 2+16k 2+8k x +16k 2+16k =0，所以Δ=16k 2+8k 2-41+4k 2 16k 2+16k >0，解得k <0，所以x 1+x 2=-16k 2+8k 1+4k 2，x 1⋅x 2=16k 2+16k1+4k2，直线AB 的方程为y -1=y 1-1x 1x ，令y =0，解得x M =x 11-y 1，直线AC 的方程为y -1=y 2-1x 2x ，令y =0，解得x N =x 21-y 2，所以MN =x N -x M =x 21-y 2-x 11-y 1=x 21-k x 2+2 +1 -x 11-k x 1+2 +1=x 2-k x 2+2 +x 1k x 1+2=x 2+2 x 1-x 2x 1+2k x 2+2 x 1+2=2x 1-x 2k x 2+2 x 1+2=2，所以x 1-x 2 =k x 2+2 x 1+2 ，即x 1+x 22-4x 1x 2=k x 2x 1+2x 2+x 1 +4即-16k 2+8k 1+4k22-4×16k 2+16k 1+4k 2=k 16k 2+16k 1+4k 2+2-16k 2+8k 1+4k2+4 即81+4k 22k 2+k 2-1+4k 2 k 2+k =k1+4k216k2+16k -216k 2+8k +41+4k 2整理得8-k =4k ，解得k =-416(2022年浙江省高考)如图，已知椭圆x 212+y 2=1．设A ，B 是椭圆上异于P (0,1)的两点，且点Q 0,12 在线段AB 上，直线PA ,PB 分别交直线y =-12x +3于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求|CD |的最小值．【答案】解析:(1)设Q (23cos θ,sin θ)是椭圆上任意一点,P (0,1),则|PQ |2=12cos 2θ+(1-sin θ)2=13-11sin 2θ-2sin θ=-11sin θ+111 2+14411≤14411，当且仅当sin θ=-111时取等号，故|PQ |的最大值是121111．(2)设直线AB :y =kx +12,直线AB 方程与椭圆x 212+y 2=1联立,可得k 2+112 x 2+kx -34=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，所以x 1+x 2=-kk 2+112x 1x 2=-34k 2+112 ，因为直线PA :y =y 1-1x 1x +1与直线y =-12x +3交于C ,则x C=4x 1x 1+2y 1-2=4x 1(2k +1)x 1-1,同理可得,x D =4x 2x 2+2y 2-2=4x 2(2k +1)x 2-1．则|CD |=1+14x C -x D =524x 1(2k +1)x 1-1-4x 2(2k +1)x 2-1=25x 1-x 2(2k +1)x 1-1 (2k +1)x 2-1=25x 1-x 2(2k +1)2x 1x 2-(2k +1)x 1+x 2 +1=352⋅16k 2+13k +1=655⋅16k 2+1916+13k +1≥655×4k ×34+1×123k +1=655，当且仅当k =316时取等号，故CD 的最小值为655．17(2021高考北京)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)一个顶点A (0,-2)，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为45．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交y =-3交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．【答案】(1)x 25+y 24=1；(2)[-3,-1)∪(1,3]．解析：(1)因为椭圆过A 0,-2 ，故b =2，因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故12×2a ×2b =45，即a =5，故椭圆的标准方程为：x 25+y 24=1．(2)设B x 1,y 1 ,C x 2,y 2 ， 因为直线BC 的斜率存在，故x 1x 2≠0，故直线AB :y =y 1+2x 1x -2，令y =-3，则x M =-x1y 1+2，同理x N =-x 2y 2+2直线BC :y =kx -3，由y =kx -34x 2+5y 2=20可得4+5k 2 x 2-30kx +25=0，故Δ=900k 2-1004+5k 2 >0，解得k <-1或k >1．又x 1+x 2=30k 4+5k 2,x 1x 2=254+5k 2，故x 1x 2>0，所以x M x N >0又PM +PN =x M +x N =x 1y 1+2+x 2y 2+2=x1kx1-1+x2kx2-1=2kx1x2-x1+x2k2x1x2-k x1+x2+1=50k4+5k2-30k4+5k225k24+5k2-30k24+5k2+1=5k故5k ≤15即k ≤3，综上，-3≤k<-1或1<k≤3．考点02双曲线及其性质1(2024·全国·高考Ⅱ)已知双曲线C:x2-y2=m m>0，点P15,4在C上，k为常数，0<k<1．按照如下方式依次构造点P n n=2,3,...：过P n-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Q n-1，令P n为Q n-1关于y轴的对称点，记P n的坐标为x n,y n .(1)若k=12，求x2,y2；(2)证明：数列x n-y n是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n为△P n P n+1P n+2的面积，证明：对任意正整数n，S n=S n+1.【答案】(1)x2=3，y2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】(1)由已知有m=52-42=9，故C的方程为x2-y2=9.当k=12时，过P15,4且斜率为12的直线为y=x+32，与x2-y2=9联立得到x2-x+322=9.解得x=-3或x=5，所以该直线与C的不同于P1的交点为Q1-3,0，该点显然在C的左支上.故P23,0，从而x2=3，y2=0.(2)由于过P n x n,y n且斜率为k的直线为y=k x-x n+y n，与x2-y2=9联立，得到方程x2-k x-x n+y n2=9.展开即得1-k2x2-2k y n-kx nx-y n-kx n2-9=0，由于P n x n,y n已经是直线y=k x-x n+y n和x2 -y2=9的公共点，故方程必有一根x=x n.从而根据韦达定理，另一根x=2k y n-kx n1-k2-x n=2ky n-x n-k2x n1-k2，相应的y=k x-x n+y n=y n+k2y n-2kx n1-k2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2，而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n ，故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k 1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW=c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV ⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW=12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n=121-k 1+k m -1+k 1-k mx 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k-921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明S n 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m .这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.2(2023年新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为-25,0 ，离心率为5．(1)求C的方程；(2)记C左、右顶点分别为A1，A2，过点-4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P．证明:点P在定直线上．【答案】(1)x24-y216=1(2)证明见解析．解析：(1)设双曲线方程为x2a2-y2b2=1a>0,b>0，由焦点坐标可知c=25，则由e=ca=5可得a=2，b=c2-a2=4，双曲线方程为x24-y216=1．(2)由(1)可得A1-2,0,A22,0，设M x1,y1,N x2,y2，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x=my-4，且-12<m<12，与x24-y216=1联立可得4m2-1y2-32my+48=0，且Δ=64(4m2+3)>0，则y1+y2=32m4m2-1,y1y2=484m2-1，直线MA1的方程为y=y1x1+2x+2，直线NA2的方程为y=y2x2-2x-2，联立直线MA1与直线NA2的方程可得：x+2 x-2=y2x1+2y1x2-2=y2my1-2y1my2-6=my1y2-2y1+y2+2y1my1y2-6y1=m⋅484m2-1-2⋅32m4m2-1+2y1m×484m2-1-6y1=-16m4m2-1+2y148m4m2-1-6y1=-13，由x+2x-2=-13可得x=-1，即x P=-1，据此可得点P在定直线x=-1上运动．3(2022新高考全国II卷)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y=±3x．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P x1,y1,Q x2,y2在C上，且．x1>x2>0,y1>0．过P 且斜率为-3的直线与过Q 且斜率为3的直线交于点M ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ ∥AB ；③|MA |=|MB |．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】(1)x 2-y 23=1(2)见解析:(1)右焦点为F (2,0)，∴c =2,∵渐近线方程为y =±3x ，∴ba=3，∴b =3a ，∴c 2=a 2+b 2=4a 2=4，∴a =1，∴b =3．∴C 的方程为：x 2-y 23=1；(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而x 1=x 2，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零．设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为y =k x -2 ,则条件①M 在AB 上，等价于y 0=k x 0-2 ⇔ky 0=k 2x 0-2 ；两渐近线方程合并为3x 2-y 2=0,联立消去y 并化简整理得：k 2-3 x 2-4k 2x +4k 2=0设A x 3,y 3 ,B x 3,y 4 ,线段中点N x N ,y N ,则x N =x 3+x 42=2k 2k 2-3,y N =k x N -2 =6kk 2-3,设M x 0,y 0 , 则条件③AM =BM 等价于x 0-x 3 2+y 0-y 3 2=x 0-x 4 2+y 0-y 4 2,移项并利用平方差公式整理得：x 3-x 4 2x 0-x 3+x 4 +y 3-y 4 2y 0-y 3+y 4 =0，2x 0-x 3+x 4 +y 3-y 4x 3-x 42y 0-y 3+y 4 =0,即x 0-x N +k y 0-y N =0,即x 0+ky 0=8k 2k 2-3；由题意知直线PM 的斜率为-3, 直线QM 的斜率为3,∴由y 1-y 0=-3x 1-x 0 ,y 2-y 0=3x 2-x 0 ,∴y 1-y 2=-3x 1+x 2-2x 0 ,所以直线PQ 的斜率m =y 1-y 2x 1-x 2=-3x 1+x 2-2x 0 x 1-x 2,直线PM :y =-3x -x 0 +y 0,即y =y 0+3x 0-3x ,代入双曲线的方程3x 2-y 2-3=0,即3x +y 3x -y =3中，得：y 0+3x 0 23x -y 0+3x 0 =3,解得P 的横坐标：x 1=1233y 0+3x 0+y 0+3x 0,。
押第1题 集合(新高考)(解析版)--2023年新高考数学临考题号押题
押新高考卷1题集合考点3年考题考情分析集合2022年新高考Ⅰ卷第1题2022年新高考Ⅱ卷第1题2021年新高考Ⅰ卷第1题2021年新高考Ⅱ卷第2题2020年新高考Ⅰ卷第1题2020年新高考Ⅱ卷第1题高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的新高考试题，均考查集合间的交集、并集和补集的基本运算．可以预测2023年新高考命题方向将继续围绕集合间的基本关系展开命题．1.集合有n 个元素，子集有n 2个，真子集有12-n 个，非空真子集个数为22n -个.2.{}B x A x x B A ∈∈=且 ，{}B x A x x B A ∈∈=或 3.{}Ax U x x A C U ∉∈=且1．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题）若集合{4},{31}M x x N x x =<=≥∣∣，则M N ⋂=（）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð.【详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B ⋂=ð，故选：B.5．（2020·新高考Ⅰ卷高考真题）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（）A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}【答案】C【分析】根据集合并集概念求解.【详解】[1,3](2,4)[1,4)A B ==U U 故选：C【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.6．（2020·新高考Ⅱ卷高考真题）设集合A={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，则A B ⋂=（）A ．{1，3，5，7}B ．{2，3}C ．{2，3，5}D ．{1，2，3，5，7，8}【答案】C【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果.【详解】因为A {2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，所以{}2,3,5A B = 故选：C【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单.。
2021年高考数学模拟试卷(文科)(五)含解析
2021年高考数学模拟试卷（文科）（五）含解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．有且只有一项是符合题目要求的．1．设复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，则复数的虚部为（）A．B．C．±1 D．x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）2．已知A={y|y=log2A．B．（0，1）C．D．∅3．“0≤m≤1”是“函数f（x）=sinx+m﹣1有零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．35．将函数y=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象分别向左．向右各平移个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则ω的最小值为（）A．B．1 C．2 D．46．点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（）A．B．C．D．7．曲线f（x）=e x+x2+x+1上的点到直线2x﹣y=3的距离的最小值为（）A．B．C．D．28．已知函数f（x）=a x﹣2，g（x）=log a|x|（其中a＞0且a≠1），若f（4）•g （﹣4）＜0，则f（x），g（x）在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．9．已知f（x+1）=f（x﹣1），f（x）=f（﹣x+2），方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根，则f（x）=0在区间[0，xx]内根的个数为（）A．1006 B．1007 C．xx D．xx10．已知函数有两个极值点x1，x2且x1，x2满足﹣1＜x1＜1＜x2＜2，则直线bx﹣（a﹣1）y+3=0的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上.11．已知函数，则=．12．已知实数x∈[2，30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是．13．已知定义在R上的函数f（x）、g（x）满足，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），+=，若{a n}是正项等比数列，且，则a6+a8等于．14．已知平面区域P：．设圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=2，若圆心C∈P且圆C 与直线x+y﹣7=0相切，则z=2a﹣b的最大值为．15．对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同域区间”．给出下列四个函数：①f（x）=cosx；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|2x﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（请写出所有正确结论的序号）．三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；（2）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a，b，c，若，f（A）=1，求b+c的最大值．17．甲乙二人有4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．（1）写出甲乙抽到牌的所有情况．（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？（3）甲乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？18．在Rt△ABF中，AB=2BF=4，C，E分别是AB，AF的中点（如图1）．将此三角形沿CE对折，使平面AEC⊥平面BCEF（如图2），已知D是AB的中点．（1）求证：CD∥平面AEF；（2）求证：平面AEF⊥平面ABF；（3）求三棱锥C﹣AEF的体积．19．已知数列{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16 （1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{a n}和数列{b n}满足等式a n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．20．已知函数f（x）=x+﹣alnx（a＞﹣1）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[1，e]（e=2.718…为自然数的底数）上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．21．如图，椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l交C于A，B 两点，△ABF1的周长为8，且F2与抛物线y2=4x的焦点重合．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且=λ，=μ，求λ+μ的值；（Ⅲ）是否存在实数t，使得|AF2|+|BF2|=t|AF2|•|BF2|恒成立？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．xx年山东省潍坊市高考数学模拟试卷（文科）（五）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．有且只有一项是符合题目要求的．1．设复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，则复数的虚部为（）A．B．C．±1 D．【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数的模的求法直接求出b的值，即可得到复数的虚部．【解答】解：复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，所以，解得b=．故选D．2．已知A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）A．B．（0，1）C．D．∅【考点】交集及其运算．【分析】由题设条件知A={y|y＞0}，B={y|0＜y＜}，由此能够得到A∩B的值．【解答】解：∵，∴=．故选A．3．“0≤m≤1”是“函数f（x）=sinx+m﹣1有零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】f（x）是连续函数，从而f（x）是否有零点就看是否满足，从而从两个方向判断：先看“0≤m≤1”能否得到“函数f（x）=sinx+m﹣1有零点”，再看“函数f（x）=sinx+m﹣1有零点”能否得到“0≤m≤1”，并且f（x）的最大值为m，最小值为m﹣2．【解答】解：（1）若0≤m≤1，﹣1≤sinx≤1；∴﹣2≤sinx+m﹣1≤1；即f（x）∈[﹣2，1]；∴此时f（x）存在零点；“0≤m≤1”是“函数f（x）=sinx+m﹣1有零点”的充分条件；（2）若“函数f（x）=sinx+m﹣1有零点”，则f（x）的最大值m≥0，最小值m﹣2≤0；∴0≤m≤2；∴得不到0≤m≤1；∴“0≤m≤1”不是“函数f（x）=sinx+m﹣1有零点”的必要条件；∴综上得“0≤m≤1”是“函数f（x）=sinx+m﹣1有零点”的充分不必要条件．故选：A．4．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选D．5．将函数y=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象分别向左．向右各平移个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则ω的最小值为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由三角函数的图象平移得到平移后的两个函数的解析式，再由两函数的对称轴重合得到ωx+=ωx﹣或ωx+=ωx﹣+kπ，k∈Z．由此求得最小正数ω的值．【解答】解：把函数y=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为：y=2sin[ω（x+）﹣]=2sin（ωx+π），向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为：y=2sin[ω（x﹣）﹣]=2sin（ωx﹣π）．∵所得的两个图象对称轴重合，∴ωx+π=ωx﹣π①，或ωx+π=ωx﹣π+kπ，k∈Z ②．解①得ω=0，不合题意；解②得ω=2k，k∈Z．∴ω的最小值为2．故选：C．6．点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据条件求出店A的坐标，再结合点A到抛物线C1的准线的距离为p；得到=，再代入离心率计算公式即可得到答案．【解答】解：取双曲线的其中一条渐近线：y=x，联立⇒；故A（，）．∵点A到抛物线C1的准线的距离为p，∴+=p；∴=．∴双曲线C2的离心率e===．故选：C．7．曲线f（x）=e x+x2+x+1上的点到直线2x﹣y=3的距离的最小值为（）A．B．C．D．2【考点】点到直线的距离公式．【分析】f′（x）=e x+2x+1，设与直线2x﹣y=3平行且与曲线f（x）相切于点P（s，t）的直线方程为：2x﹣y+m=0，由e s+2s+1=2．解得s=0．可得切点P，因此曲线f（x）=e x+x2+x+1上的点到直线2x﹣y=3的距离的最小值为点P到直线2x﹣y=3的距离．【解答】解：f′（x）=e x+2x+1，设与直线2x﹣y=3平行且与曲线f（x）相切于点P（s，t）的直线方程为：2x﹣y+m=0，则e s+2s+1=2．解得s=0．∴切点为P（0，2），∴曲线f（x）=e x+x2+x+1上的点到直线2x﹣y=3的距离的最小值为点P到直线2x﹣y=3的距离d==．故选：B．8．已知函数f（x）=a x﹣2，g（x）=log a|x|（其中a＞0且a≠1），若f（4）•g （﹣4）＜0，则f（x），g（x）在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用条件f（4）g（﹣4）＜0，确定a的大小，从而确定函数的单调性．【解答】解：由题意f（x）=a x﹣2是指数型的，g（x）=log a|x|是对数型的且是一个偶函数，由f（4）•g（﹣4）＜0，可得出g（﹣4）＜0，由此特征可以确定C、D两选项不正确，由g（﹣4）＜0得log a4＜0，∴0＜a＜1，故其底数a∈（0，1），由此知f（x）=a x﹣2，是一个减函数，由此知A不对，B选项是正确答案故选：B．9．已知f（x+1）=f（x﹣1），f（x）=f（﹣x+2），方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根，则f（x）=0在区间[0，xx]内根的个数为（）A．1006 B．1007 C．xx D．xx【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可推出f（x）=0的根为x=k+，k∈Z；从而得到f（x）=0在区间[0，xx]内根的个数．【解答】解：∵f（x）=f（﹣x+2），∴f（x）的图象关于x=1对称，又∵方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根，∴方程f（x）=0在[1，2]内有且只有一个根，故方程f（x）=0在[0，2]上有且只有两个根，；又∵f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x）是周期为2的函数，故f（x）=0的根为x=k+，k∈Z；故f（x）=0在区间[0，xx]内根的个数为xx，故选D．10．已知函数有两个极值点x1，x2且x1，x2满足﹣1＜x1＜1＜x2＜2，则直线bx﹣（a﹣1）y+3=0的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】求导数，利用函数有两个极值点x1，x2且x1，x2满足﹣1＜x1＜1＜x2＜2，确定平面区域，根据斜率的几何意义，即可求得斜率的取值范围．【解答】解：求导数可得：f'（x）=x2+2ax+2b∵f（x）有两个极值点x1，x2，∴f'（x）有两个零点∵﹣1＜x1＜1＜x2＜2，∴﹣1＜﹣a＜2，∴﹣2＜a＜1 ①又f'（﹣1）=﹣2a+2b+1＞0，即2a﹣2b﹣1＜0，②f'（1）=2a+2b+1＜0，③f'（2）=4a+2b+4＞0，即2a+b+2＞0 ④在坐标系aOb中，满足①②③④的可行域如图所示直线bx﹣（a﹣1）y+3=0的斜率k=，表示可行域中动点M（a，b）与定点D （1，0）连线的斜率由，可得，此时与定点D（1，0）连线的斜率为=﹣由，可得，此时与定点D（1，0）连线的斜率为=∴直线bx﹣（a﹣1）y+3=0的斜率的取值范围是故选A．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上.11．已知函数，则=．【考点】分段函数的应用；函数的值．【分析】利用分段函数的解析式，求解函数值即可．【解答】解：函数，，====．故答案为：．12．已知实数x∈[2，30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是．【考点】程序框图．【分析】由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于103得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于103的概率．【解答】解：设实数x∈[2，30]，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3经过第三次循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=4此时输出x输出的值为8x+7令8x+7≥103得x≥12由几何概型得到输出的x不小于103的概率为P==故答案为：．13．已知定义在R上的函数f（x）、g（x）满足，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），+=，若{a n}是正项等比数列，且，则a6+a8等于．【考点】等比数列的性质；导数的运算．【分析】构造函数F（x）=，由已知可得b=，再由等比数列的性质可得=，结合题意开方可得．【解答】解：构造函数F（x）=，求导数可得F′（x）=＜0，∴函数F（x）=单调递减，故0＜b＜1又+=b+=，解得b=，或b=2（舍去）又∵==，∴==，又{a n}是正项等比数列，∴a6+a8=故答案为：14．已知平面区域P：．设圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=2，若圆心C∈P且圆C 与直线x+y﹣7=0相切，则z=2a﹣b的最大值为15．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用圆C与x轴相切，得到b=1为定值，此时利用数形结合确定a的取值即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆心为（a，b），半径为，∵圆心C∈P，且圆C与直线x+y﹣7=0相切，如图，当直线b=2a﹣z点C时﹣z最小，z最大，由得到D（8，1），∴z=2a﹣b的最大值为2×8﹣1=15；故答案为：15．15．对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同域区间”．给出下列四个函数：①f（x）=cosx；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|2x﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是②③（请写出所有正确结论的序号）．【考点】函数的值域．【分析】由“同域函数”及“同域区间”的定义可看出，当方程f（x）=x至少有两个不同解时，函数f（x）存在“同域区间”，并且该函数为“同域函数”，从而根据函数y=f（x）和y=x的交点情况或直接解方程f（x）=x即可判断方程f（x）=x解的情况，从而判断函数f（x）是否为“同域函数”．【解答】解：根据题意知，同域函数y=f（x）满足方程f（x）=x至少有两个不同解；①函数f（x）=和y=x的图象只一个交点，∴方程只一个解；∴该函数不是“同域函数”；②由x2﹣1=x得，x2﹣x﹣1=0，△=1+4＞0；∴该方程有两个不同实数根；∴该函数是“同域函数”；③解|2x﹣1|=x得，x=0，或1；∴该函数为“同域函数”；④方程log2（x﹣1）=x无解；∴该函数不是“同域函数”；∴存在“同域区间”的“同域函数”的序号是②③．故答案为：②③．三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；（2）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a，b，c，若，f（A）=1，求b+c的最大值．【考点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）将f（x）解析式第一、三项结合，利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；由正弦函数的递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z），列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函数的递增区间；（2）由（1）确定的函数解析式，及f（A）=1，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，确定出sinA的值，及B+C的度数，用B表示出C，由a与sinA 的值，利用正弦定理表示出b与c，代入b+c中，将表示出的C代入，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域即可求出正弦函数的最大值，即为b+c的最大值．【解答】解：（1）f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=2sin（2x+），∵ω=2，∴f（x）的最小正周期为T=π，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+（k∈Z），解得：kπ﹣≤x≤π+，k∈Z，则f（x）的单调增区间为[kπ﹣，π+]，k∈Z；（2）∵f（A）=2sin（2A+）=1，∴sin（2A+）=，∴2A+=，∴A=，∴B+C=，∵a=，sinA=，∴由正弦定理得：====2，∴b+c=2（sinB+sinC）=2[sinB+sin（﹣B）]=2（sinB+cosB+sinB）=2（sinB+cosB）=2sin（B+）≤2，∴当B=时，b+c最大为2．17．甲乙二人有4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．（1）写出甲乙抽到牌的所有情况．（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？（3）甲乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？【考点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）方片4用4′表示，列举可得共12种不同的情况；（2）甲抽到3，乙抽到的只能是2，4，4′，所求概率为；（3）列举可得甲胜的概率为P1=，乙胜的概率为P2=，此游戏不公平．【解答】解：（1）方片4用4′表示，则甲乙抽到牌的所有情况为：（2，3），（2，4），（2，4′），（3，2），（3，4），（3，4′），（4，2），（4，3），（4，4′），（4′，2），（4′，3），（4′，4），共12种不同的情况；（2）甲抽到3，乙抽到的只能是2，4，4′，因此乙抽出的牌面数字比3大的概率是；（3）甲抽到的牌的数字比乙大，有（4，2），（4，3），（4′，2），（4′，3），（3，2）共5种情况，甲胜的概率为P1=，乙胜的概率为P2=，∵＜，∴此游戏不公平．18．在Rt△ABF中，AB=2BF=4，C，E分别是AB，AF的中点（如图1）．将此三角形沿CE对折，使平面AEC⊥平面BCEF（如图2），已知D是AB的中点．（1）求证：CD∥平面AEF；（2）求证：平面AEF⊥平面ABF；（3）求三棱锥C﹣AEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）运用中位线定理和线面平行的判定定理，即可证得；（2）由线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理即可证得；（3）由等积变换，V C﹣AE F =V A﹣CE F，再运用三棱锥的条件公式，即可得到．【解答】（1）证明：取AF中点M，连结DM，EM，∵D，M分别是AB，AF的中点∴DM是△ABF的中位线，∴DMBF且CEBF，四边形CDME是平行四边形，∴CD∥EM，又EM⊆面AEF且CD⊄面AEF∴CD∥面AEF；（2）证明：由左图知CE⊥AC，CE⊥BC，且右图中：AC∩BC=C，∴CE⊥面ABC，又CD⊂面ABC∴CE⊥CD，∴四边形CDME为矩形，则EM⊥MD，△AEF中EA=EF，M为AF的中点，∴EM⊥AF，且AF∩MD=M，∴EM⊥面ABF，又EM⊂面AEF，∴面AEF⊥面ABF；（3）解：∵V C﹣AE F =V A﹣CE F，由左图知AC⊥CE，又面AEC⊥平面BCEF，且AEC∩平面BCEF=CE，∴AC⊥面BCEF，即AC为三棱锥A﹣CEF的高，∴V A﹣CE F =S△CE F•AC=××1×2×2=．19．已知数列{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16 （1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{a n}和数列{b n}满足等式a n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【考点】等差数列的通项公式；数列的求和．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，分别表示出a2a6=55，a2+a7=16联立方程求得d和a1进而根据等差数列通项公式求得a n．（2）令c n=，则有a n=c1+c2+…+c n，a n+1=c1+c2+…+c n+1两式相减得c n+1等于常数2，进而可得b n，进而根据b1=2a1求得b1则数列{b n}通项公式可得，进而根据从第二项开始按等比数列求和公式求和再加上b1．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则依题意可知d＞0由a2+a7=16，得2a1+7d=16①由a3a6=55，得（a1+2d）（a1+5d）=55②由①②联立方程求得得d=2，a1=1或d=﹣2，a1=（排除）∴a n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1（2）令c n=，则有a n=c1+c2+…+c na n+1=c1+c2+…+c n+1两式相减得a n+1﹣a n=c n+1，由（1）得a1=1，a n+1﹣a n=2∴c n+1=2，即c n=2（n≥2），即当n≥2时，b n=2n+1，又当n=1时，b1=2a1=2∴b n=于是S n=b1+b2+b3+…+b n=2+23+24+…2n+1=2n+2﹣6，n≥2，．20．已知函数f（x）=x+﹣alnx（a＞﹣1）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[1，e]（e=2.718…为自然数的底数）上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）通过令f′（x）=0，解得x=﹣1或x=a+1，结合a＞﹣1，及x∈（0，+∞），即得结论；（2）由条件可得f（x）=x+﹣alnx在[1，e]上的最小值小于零，结合（1）可知函数的单调性，分①1+a≥e、②1＜1+a＜e、③1+a≤1，三种情况讨论即可．【解答】解：（1）由题可知函数f（x）=x+﹣alnx的定义域为（0，+∞），则f′（x）===，令f′（x）=0，即（x+1）[x﹣（1+a）]=0，解得x=﹣1或x=a+1，∵a＞﹣1，∴a+1＞0，又∵x∈（0，+∞），∴当0＜x＜1+a时，f′（x）＜0；当x＞1+a时，f′（x）＞0．所以函数f（x）的单调递减区间为（0，1+a），单调递增区间为（1+a，+∞）．（2）若函数f（x）在区间[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，则函数f（x）=x+﹣alnx在[1，e]上的最小值小于零．①当1+a≥e，即a≥e﹣1时，由（1）知，f（x）在[1，e]上单调递减，所以f（x）的最小值为f（e）=，令＜0，解得，∵，∴；②当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，由（1）知，函数f（x）在（1，1+a）上单调递减，在（1+a，e）上单调递增，所以f（x）的最小值为f（1+a）=2+a﹣aln（1+a），∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，故函数f（x）在[1，e]上的最小值f（1+a）=2+a﹣aln（1+a）＞2＞0，故此时没有满足条件的实数a；③当1+a≤1，即﹣1＜a≤0时，由（1）知，函数f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）的最小值为f（1）=2+a，∵﹣1＜a≤0，∴f（x）在[1，e]上的最小值f（1）=2+a＞1＞0，故此时没有满足条件的实数a；综上可得，所求实数a的取值范围是（，+∞）．21．如图，椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l交C于A，B 两点，△ABF1的周长为8，且F2与抛物线y2=4x的焦点重合．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且=λ，=μ，求λ+μ的值；（Ⅲ）是否存在实数t，使得|AF2|+|BF2|=t|AF2|•|BF2|恒成立？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（I）设椭圆C的标准方程为，抛物线y2=4x的焦点为F2（1，0），可得c．由△ABF1的周长为8，可得4a=8，解得a．再利用b2=a2﹣c2即可得出．（II）由题意可设直线l的方程为：y=k（x﹣1），则M（0，﹣k），设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线方程与椭圆方程联立可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）=0，利用根与系数的关系、向量的坐标运算可得，μ=，即可得出λ+μ．（III）分类讨论：当直线l⊥x轴时，l的方程为：x=1．联立，解得A，B．即可得出t=．当直线l与x轴不垂直时，设l的方程为：y=k（x﹣1），不妨设x2＞1＞x1，则|AF2|=，|BF2|=，x2﹣x1=，即可得出=．【解答】解：（I）设椭圆C的标准方程为，抛物线y2=4x的焦点为F2（1，0），∴c=1．∵△ABF1的周长为8，∴4a=8，解得a=2．∴b2=a2﹣c2=3．∴椭圆C的标准方程为．（II）由题意可设直线l的方程为：y=k（x﹣1），则M（0，﹣k），设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）=0，则x1+x2=，x1x2=，由=λ，可得（x1，y1+k）=λ（1﹣x1，﹣y1），∴，由=μ，同理可得μ=，∴λ+μ====﹣．∴λ+μ=．（III）①当直线l⊥x轴时，l的方程为：x=1．由，解得A，B．∴|AF2|=|BF2|=，∴|AF2|+|BF2|=3，|AF2|•|BF2|=，可得：|AF2|+|BF2|=|AF2|•|BF2|．此时t=．②当直线l与x轴不垂直时，设l的方程为：y=k（x﹣1），不妨设x2＞1＞x1，则|AF2|==，|BF2|==，x2﹣x1===，∴=+===×=．即得：|AF2|+|BF2|=|AF2|•|BF2|．故存在实数t=，使得|AF2|+|BF2|=|AF2|•|BF2|．xx年7月3日20936 51C8 凈(23615 5C3F 尿26209 6661 晡32907 808B 肋36032 8CC0 賀22360 5758 坘3]l26656 6820 栠:}*'。
2021年全国新高考II卷数学试题(解析版)
A. {3}
B. {1, 6}
C. {5,6}
D. {1,3}
【答案】B 【解析】
【分析】根据交集、补集的定义可求 A ðU B . 【详解】由题设可得 ðU B 1,5, 6 ，故 A ðUB 1, 6 ，
故选：B.
3. 抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点到直线 y x 1的距离为 2 ，则 p （ ）
10. 如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M，N 为正方体的顶点．则满足 MN OP
的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据线面垂直的判定定理可得 BC 的正误，平移直线 MN 构造所考虑的线线角后可判断 AD 的正
误.
【详解】设正方体的棱长为 2 ， 对于 A，如图（1）所示，连接 AC ，则 MN //AC ， 故 POC （或其补角）为异面直线 OP, MN 所成的角，
D. 第四象限
【答案】A
【解析】
2i
【分析】利用复数的除法可化简
，从而可求对应的点的位置.
1 3i
【详解】 2 i 1 3i
2
i1
10
3i
5 5i 10
1 2
i
，所以该复数对应的点为
1 2
,
1 2
，
该点在第一象限，
故选：A
2. 设集合U {1, 2, 3, 4,5, 6}, A {1, 3, 6}, B {2, 3, 4}，则 A ∩ ðU B （ ）
故选：B. 二､选择题目：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
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2021届山东省新高考高考模拟冲关押题卷（五）数学（解析版）第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z ＝1－i 32－a i为纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．22．已知集合A ＝{x |12log x ≥－1}，B ＝{x |y ＝－x 2－x ＋2}，则A ∩B ＝( )A ．{x |0<x ≤1}B ．{x |0≤x ≤1}C ．{x |－1≤x ≤2}D ．{x |x ≤1}3．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则n ∥β的一个充分条件是( ) A ．m ⊥β，且m ⊥n B ．m ∥β，且m ∥n C ．α⊥β，且n ⊥α D ．α∥β，且n ⊂α4．由数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，定义个位数字比十位数字大、千位数字是偶数、百位数字为奇数的没有重复数字的四位数为“特征数”．从组成的所有没有重复数字的四位数中任取一个，则这个四位数是“特征数”的概率为( )A.320B.310C.35D.255．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线l 的方程为y ＝kx －1，则切线l 与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.12B. 14 C ．2 D ．46．已知在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1D ，AC 上的点，且满足A 1D ＝3MD ，AN ＝2NC ，则异面直线MN 与C 1D 1所成角的余弦值为( )A.255B.55C.33D.247．已知T (x 0，y 0)为抛物线y 2＝2px (p >0)上异于顶点的一动点，过定点⎝⎛⎭⎫－p2，0的直线l 交抛物线于不同的两点M ，N ，若直线TM ，TN 的斜率之和k TM ＋k TN ＝2，则y 0的值为( )A.p2 B ．p C.3p2D ．2p 8．若函数f (x )＝－mx ＋e x －2恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为( )A ．(1，e) B.⎝⎛⎭⎫1e ，1 C.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ D ．(e ，＋∞)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．近年来，我国国内文化和旅游市场潜力不断释放，大众出游热情持续高涨，行业发展整体呈好的趋势，以下为2011—2019年我国国内旅游收入情况统计图．根据统计图，下列结论正确的是( )A ．与2018年相比，2019年国内旅游收入增幅约为19.61%B ．2011—2019年国内旅游收入的中位数为3.4万亿元C ．2011—2019年国内旅游收入的平均数约为3.5万亿元D ．若每年国内旅游收入y (万亿元)与年份x 线性相关，且满足y ＝b (x －2 010)＋1.205，则估计2020年的国内旅游收入为7.2万亿元10．已知⎝⎛⎭⎫2x －1x n 的二项展开式中二项式系数之和为256，则下列结论正确的是( )A ．x 2项的系数为560B ．二项展开式中没有常数项C ．各项系数之和为1D ．各项系数中的最大系数为89611．我们定义这样一种运算“⊗”：①对任意a ∈R ，a ⊗0＝0⊗a ＝a ；②对任意a ，b ∈R ，(a ⊗b )⊗c ＝c ⊗(ab )＋(a ⊗c )＋(b ⊗c )．若f (x )＝e x －1⊗e 1－x ，则以下结论正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称B ．f (x )在R 上单调递减C ．f (x )的最小值为3D ．f (232)>f (322)>f ⎝⎛⎭⎫log 319 12．若f (x )＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋|sin x |，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为π B ．f (x )的最大值为 2C ．f (x )的最小值为22D ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(2,4)，a －b ＝(－2,0)，则向量a ，b 的夹角为________．14．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1(－2,0)作垂直于x 轴的直线l ，并与双曲线的渐近线交于M ，N 两点，且△MON 为等边三角形，则该双曲线的标准方程为________．15．在三棱锥P - ABC 中，AB ＝AC ＝BC ＝2，P A ＝PB ＝2，PC ＝3，则三棱锥P - ABC 的外接球的半径为________．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为12，公差为14的等差数列．若[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.5]＝0，[lg 499]＝2，则a n ＝________；数列{[lg a n ]}的前2 000项的和为________．(本题第一空2分，第二空3分．)四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)在①c ＝1，②b ＝7，③△ABC 外接圆的面积为4921π这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并给出解答．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝277，________.(1)求角B ；(2)若P 为△ABC 内一点，P A ⊥PB ，∠APC ＝150°，求tan ∠P AB .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2S n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }中，a 1＝2b 1＝2. (1)求{a n }的通项公式；(2)若b 2n ＝b 2n －1＋1，b 2n ＋1＝b 2n ＋a n ，求数列{b n }的前10项和．19．(12分)某电商平台2019年“双十一”的销售额为2 684亿元，为了预测该电商平台在以后“双十一”的销售情况，某部门对该电商平台近10年(2010—2019年)“双十一”的销售额进行了统计，得到下面的散点图以及一些统计量的值(2010年到2019年的年份依次用数字1到10来表示)．(1)以年份编号x 为解释变量，销售额y 为预报变量，在y ＝bx ＋a 和y ＝cx 2＋d中选择一个你认为比较合适的回归模型，并求出该模型(小数点后保留一位有效数字)；(2)根据你得到的模型，计算该电商平台2019年“双十一”的销售额的估计值与2019年实际销售额的误差，并预测该电商平台2020年“双十一”的销售额．附：参考数据：∑i ＝110x i y i ＝77 000，y＝960，∑i ＝110x 2i ＝385，∑i ＝110t i y i ＝654 000，t ＝38.5，∑i ＝110t 2i ＝25 333，其中t i ＝x 2i ，t ＝110∑i ＝110x 2i .参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1nu i v i －n u － v－∑i ＝1nu 2i －n u2，α^＝v －β^u .20．(12分)如图，在多面体ABCDP 中，△ABC 是边长为4的等边三角形，P A ＝AC ，BD ＝CD ＝22，PC ＝PB ＝42，点E 为BC 的中点，平面BDC ⊥平面ABC .(1)求证：DE ∥平面P AC .(2)线段BC 上是否存在一点T ，使得二面角T - DA - B 为直二面角？若存在，试指出点T 的位置；若不存在，请说明理由．21.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1和椭圆C 2：x 2c 2＋y 2b2＝1，其中a >c >b >0，a 2＝b 2＋c 2，C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2，且满足e 1︰e 2＝2︰ 3.A ，B 分别是椭圆C 2的右、下顶点，直线AB 与椭圆C 1的另一个交点为P ，且|PB |＝185.(1)求椭圆C 1的方程；(2)与椭圆C 2相切的直线MN 交椭圆C 1于点M ，N ，求|MN |的最大值．22．(12分)已知函数f (x )＝2mx 2－nx ＋ln x 在x ＝1处取得极值． (1)若f (x )在(0,1]上单调递增，求m 的取值范围； (2)若f (x )在(0，e]上的最大值为1，求m 的值．五1．答案：D解析：由z ＝1－i 32－a i ＝1＋i2－a i＝(1＋i )(2＋a i )(2－a i )(2＋a i )＝2＋a i ＋2i －a4＋a 2 ＝2－a ＋(2＋a )i 4＋a 2为纯虚数，可得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＝0，2＋a ≠0，解得a ＝2，故选D.2．答案：A解析：由对数函数的性质及12log x ≥－1＝12log 2，解得0<x ≤2，所以A ＝{x |12log x ≥－1}＝{x |0<x ≤2}．由二次根式有意义的条件可得－x 2－x ＋2≥0，得到x 2＋x －2≤0，解得－2≤x ≤1，所以B ＝{x |y ＝－x 2－x ＋2}＝{x |－2≤x ≤1}．所以A ∩B ＝{x |0<x ≤1}．故选A. 3．答案：D解析：A ，B ，C 选项都有可能得到n ⊂β，故均不正确；对于D ，由α∥β，且n ⊂α可得n ∥β，故α∥β，且n ⊂α是n ∥β的充分条件．故选D.4．答案：A解析：由数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，共有A 46＝6×5×4×3＝360(个)．第一步，考虑千位数字，情况有C 13＝3(种)；第二步，考虑百位数字，情况有C 13＝3(种)；第三步，同时考虑个位数字和十位数字，情况有C 24＝6(种)，故共有3×3×6＝54(种)．从所有没有重复数字的四位数中任取一个，则这个数是“特征数”的概率为54360＝320.故选A.5．答案：B解析：由f (x )＝x ＋ln x ，得f ′(x )＝1＋1x，则f ′(x 0)＝1＋1x 0＝k ，得x 0＝1k －1.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＝1k －1＋ln 1k －1＝k k －1－1，得ln1k －1＝0，即k ＝2. 所以切线l 的方程为y ＝2x －1，令x ＝0，得到y ＝－1，令y ＝0，得到x ＝12，所求三角形面积为12×12×|－1|＝14，故选B.6．答案：A解析：解法一：取线段AD 上一点E ，使AE ＝2ED ， 连接ME ，NE ，如图所示．因为A 1D ＝3MD ，AN ＝2NC ，所以MD A 1D ＝CN AC ＝DE AD ＝13，所以NE ∥CD ，ME ∥AA 1.又CD ∥C 1D 1，所以易知∠MNE 为异面直线MN 与C 1D 1所成的角． 设该正方体的棱长为3a ，则EN ＝23CD ＝2a ，ME ＝13AA 1＝a ，所以在Rt △MNE 中， MN ＝ME 2＋EN 2＝a 2＋(2a )2＝5a ，所以cos ∠MNE ＝EN MN ＝2a 5a ＝255，故选A.解法二：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 设AB ＝3，则由A 1D ＝3MD ，AN ＝2NC ，得C 1(0,3,3)，D 1(0,0,3)，M (1,0,1)，N (1,2,0)，所以C 1D 1→＝(0，－3,0)，MN →＝(0,2，－1)，则cos 〈C 1D 1→，MN →〉＝C 1D 1→·MN →|C 1D 1→|·|MN →|＝－635＝－255，所以异面直线MN 与C 1D 1所成角的余弦值为255，故选A. 7．答案：B解析：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋p2(k ≠0)， 代入抛物线方程y 2＝2px 中， 消去x 可得y 2－2pk y ＋p 2＝0，则由Δ＝⎝⎛⎭⎫－2pk 2－4p 2>0， 得到－1<k <1且k ≠0，y 1＋y 2＝2pk ，y 1y 2＝p 2.则k TM ＋k TN ＝y 1－y 0x 1－x 0＋y 2－y 0x 2－x 0＝y 1－y 0y 212p －y 202p ＋y 2－y 0y 222p －y 202p ＝2p y 1＋y 0＋2p y 2＋y 0 ＝2p (y 1＋y 2＋2y 0)y 1y 2＋(y 1＋y 2)y 0＋y 20＝2p ⎝⎛⎭⎫2pk ＋2y 0p 2＋2p k y 0＋y 20＝2，得2p 2k ＋2py 0＝p 2＋2pky 0＋y 20， 即p 2＋2p k y 0＋y 20－2p 2k－2py 0＝0，得到(y 0－p )(y 0＋2pk －p )＝0，所以y 0＝p .故选B. 8．答案：C解析：解法一：由题意知，f ′(x )＝－m ＋e x －2，当m ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )在R 上单调递增，没有两个不同的零点．当m >0时，由f ′(x )＝－m ＋e x －2＝0，得x ＝2＋ln m ．x >2＋ln m ，f ′(x )>0，函数f (x )在(2＋ln m ，＋∞)上单调递增；x <2＋ln m ，f ′(x )<0，函数f (x )在(－∞，2＋ln m )上单调递减．故f (x )在x＝2＋ln m 处取得最小值，所以f (2＋ln m )＝－m (2＋ln m )＋e ln m <0，得m >1e ，所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞，故选C.解法二：显然，x ＝0不是函数f (x )的零点，令f (x )＝－mx ＋e x －2＝0，得m ＝e x －2x ，构造函数g (x )＝e x －2x ，则g ′(x )＝e x －2(x －1)x 2，令g ′(x )>0得到x >1，令g ′(x )<0得到x <1且x ≠0，画出函数g (x )＝e x －2x 的图象，如图所示，可知当m ≤0时，直线y ＝m 与g (x )的图象不可能有两个交点；当m >0，且x ＝1时g (x )＝e x －2x 取得最小值，所以g (x )min ＝g (1)＝1e .当m >1e 时，g (x )＝e x －2x的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点，即函数f (x )＝－mx ＋e x －2恰有两个不同的零点，所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞，故选C.9．答案：AB解析：选项A ，由图可知，2019年国内旅游收入比2018年增长了1万亿元，增幅约为15.1×100%≈0.196 1×100%＝19.61%，故A 选项正确；选项B ，将2011—2019年这九年的国内旅游收入的金额按照由小到大的顺序排列，可得中位数是3.4万亿元，故B 选项正确；选项C,2011—2019年国内旅游收入的平均数约为1.9＋2.3＋2.6＋3.3＋3.4＋3.9＋4.6＋5.1＋6.19≈3.69(万亿元)，故C 选项不正确；选项D ，由题意可得x＝2 011＋2 012＋2 013＋2 014＋2 015＋2 016＋2 017＋2 018＋2 0199＝2 015，将(2 015,3.69)代入y ＝b (x －2010)＋1.205，得5b ＋1.205＝3.69，可得b ＝0.497，所以y ＝0.497(x －2 010)＋1.205，将x ＝2 020代入，可得y ＝6.175，D 选项不正确．故选AB.10．答案：BC解析：由题意可得C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ＝256，所以n ＝8，故⎝⎛⎭⎫2x －1x n的二项展开式的通项T r ＋1＝C r 8(2x )8－r⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 828－r 38-2x r.令8－3r 2＝2，可得r ＝4，所以x 2的系数为(－1)4C 4824＝1 120，A 项不正确；因为8－3r2不可能等于0，所以二项展开式中没有常数项，B 项正确；令x ＝1，则各项系数之和为1，C 项正确；由⎩⎪⎨⎪⎧|(－1)r C r 828－r |≥|(－1)r ＋1C r ＋1827－r|，|(－1)r C r 828－r |≥|(－1)r －1C r －1829－r|，得2≤r ≤3，当r ＝2时，系数为1 792，当r ＝3时，系数为－1 792，D 项不正确．故选BC.11．答案：AC解析：对任意a ，b ∈R ，(a ⊗b )⊗c ＝c ⊗(ab )＋(a ⊗c )＋(b ⊗c )，令c ＝0，得(a ⊗b )⊗0＝0⊗(ab )＋(a ⊗0)＋(b ⊗0)，得(a ⊗b )⊗0＝a ⊗b ＝ab ＋a ＋b ，所以f (x )＝e x －1⊗e 1－x ＝e x －1＋e 1－x ＋1.f (1－x )＝e －x ＋e x ＋1，f (1＋x )＝e －x ＋e x ＋1，所以f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，A 项正确；f ′(x )＝e x －1－e 1－x ，当x >1时，f ′(x )>0，当x <1时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，B 项不正确；f (x )＝e x －1＋e 1－x ＋1≥2e x －1·e 1－x ＋1＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，C 项正确；根据f (x )的图象关于直线x ＝1对称，得f ⎝⎛⎭⎫log 319＝f (log 381)，又f (x )在(1，＋∞)上单调递增，log 381＝4,1<232<322<4，所以f (232)<f (322)<f (log 381)，所以f (232)<f (322)<f ⎝⎛⎭⎫log 319，故D 项错误．故选AC. 12．答案：ACD解析：研究f (x )在[0，π)上的情况，易得f (x )＝|sin x －cos x |＋|sin x |＝⎩⎨⎧cos x ，x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4，2sin x －cos x ，x ∈⎣⎡⎭⎫π4，π.因为y ＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4和y ＝|sin x |的最小正周期均为π，所以f (x )＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋|sin x |的最小正周期为π，故A 正确；当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4时，f (x )单调递减，f (x )∈⎝⎛⎦⎤22，1.当x ∈⎣⎡⎭⎫π4，π时，f (x )＝2sin x －cos x ＝5sin(x －φ)，其中tan φ＝12，因为tan φ＝12<1，所以可设φ∈⎝⎛⎭⎫0，π4.由0≤x －φ≤π得φ≤x ≤π＋φ.又π<π＋φ<5π4，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，所以f (x )max ＝5，f (x )min ＝22，所以B 错误，C 正确；因为⎝⎛⎭⎫π4，π2⊆⎣⎡⎭⎫π4，π2＋φ，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增，所以D 正确．故选ACD. 13．答案：π4解析：将a ＋b ＝(2,4)，a －b ＝(－2,0)相加，得a ＝(0,2)，相减，得b ＝(2,2)，故cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝42×22＝22，则a ，b 的夹角为π4. 14．答案：x23－y 2＝1解析：解法一：由于△MON 为等边三角形，且双曲线的渐近线关于x 轴对称，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±33x ，则可设双曲线的方程为x 23m －y 2m＝1(m >0)，则有4＝3m ＋m ＝4m ，解得m ＝1，所以该双曲线的标准方程为x23－y 2＝1.解法二：由于△MON 为等边三角形，且双曲线的渐近线关于x 轴对称，所以双曲线的渐近线的倾斜角为30°和150°，故b a ＝33.又c 2＝22＝a 2＋b 2，所以a 2＝3，b 2＝1，所以该双曲线的标准方程为x 23－y 2＝1.15．答案：133解析：如图，取AB 的中点D ，连接PD ，CD ，根据AB ＝AC ＝BC ＝2，P A ＝PB ＝2， 得CD ⊥AB ，PD ⊥AB ，且CD ＝PD ＝3，又PC ＝3，所以△PDC 是正三角形，∠PDC ＝60°.设三棱锥P - ABC 的外接球球心为O ，易知O 在△PDC 内部， 过点O 作OE ⊥CD 于点E ，OF ⊥PD 于点F ， 连接OB ，BE ，OD ，则点E ，F 分别是△ABC ，△P AB 的外接圆圆心，且OE ＝OF . 在Rt △ODE 中，∠ODE ＝30°，DE ＝13CD ＝33，所以OE ＝33DE ＝13.在Rt △DBE 中，BE ＝⎝⎛⎭⎫332＋12＝233.设球O 的半径为R ，则R 2＝OE 2＋BE 2＝19＋129＝139，得R ＝133.16．答案：n2 3 782解析：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为12，公差为14的等差数列，所以S n n ＝12＋(n －1)×14＝n ＋14，得S n ＝n 2＋n 4，当n ＝1时，a 1＝S 1＝24＝12；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 4－(n －1)2＋(n －1)4＝n 2.又a 1＝12也适合上式，所以a n ＝n2(n ∈N *)，所以[lg a n ]＝⎣⎡⎦⎤lg n 2， 数列{[lg a n ]}的前2 000项和为[lg a 1]＋[lg a 2]＋[lg a 3]＋…＋[lg a 2 000]． 当n ＝1时，－1≤lg a n <0；当n ＝2,3,4，…，19时，0≤lg a n <1； 当n ＝20,21,22，…，199时，1≤lg a n <2； 当n ＝200,201,202，…，1 999时，2≤lg a n <3； 当n ＝2 000时，lg a n ＝3. 故数列{[lg a n ]}的前2 000项和为 [lg a 1]＋[lg a 2]＋[lg a 3]＋…＋[lg a 2 000]＝－1×1＋18×0＋1×180＋2×1 800＋3＝3 782. 17．解析：(1)若选择①②， 因为cos A ＝277，c ＝1，b ＝7，所以由余弦定理得a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ＝4，所以a ＝2，所以cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝－12，所以B ＝120°. 若选择①③，因为cos A ＝277，所以sin A ＝ 1－47＝217. 设△ABC 的外接圆的半径为r ，由正弦定理得r ＝a 2sin A， 因为△ABC 外接圆的面积为4921π， 所以⎝⎛⎭⎫a 2sin A 2π＝4921π，所以a ＝2.由余弦定理得a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ＝4，所以b 2－477b －3＝0， 所以b ＝7或b ＝－377(舍去)， 所以cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝－12，B ＝120°. 若选择②③，因为cos A ＝277，所以sin A ＝1－47＝217. 设△ABC 的外接圆的半径为r ， 由正弦定理得r ＝a 2sin A， 因为△ABC 外接圆的面积为4921π， 所以⎝⎛⎭⎫a 2sin A 2π＝4921π，所以a ＝2.由余弦定理得4＝c 2＋7－4c ，解得c ＝1或c ＝3，所以cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝－12或12，B ＝120°或60°. (2)选择①②或①③时，解法如下：由题意知∠BPC ＝120°，设∠P AB ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBC 中，∠BCP ＝180°－120°－[120°－(90°－α)]＝30°－α，由正弦定理得2sin 120°＝sin αsin (30°－α)， 所以2sin(30°－α)＝32sin α， 2sin 30°cos α－2cos 30°sin α＝32sin α， 即cos α＝332sin α，所以tan α＝239， 即tan ∠P AB ＝239. 选择②③时解法如下：当∠ABC ＝120°时，由题意知∠BPC ＝120°，设∠P AB ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBC 中，∠BCP ＝180°－120°－[120°－(90°－α)]＝30°－α，由正弦定理得2sin 120°＝sin αsin (30°－α)， 所以2sin(30°－α)＝32sin α， 2sin 30°cos α－2cos 30°sin α＝32sin α， 即cos α＝332sin α，所以tan α＝239， 即tan ∠P AB ＝239. 当∠ABC ＝60°时，同理得∠BCP ＝180°－120°－[60°－(90°－α)]＝90°－α，则由正弦定理得2sin 120°＝3sin αsin (90°－α)， 所以tan α＝439， 即tan ∠P AB ＝439. 18．解析：(1)由S n ＝2S n －1＋2(n ≥2)， ①可得S n －1＝2S n －2＋2(n ≥3)， ②①－②得：S n －S n －1＝2(S n －1－S n －2)，所以a n ＝2a n －1(n ≥3)，又a 2＋a 1＝2a 1＋2，a 1＝2，所以a 2＝4，所以a 2＝2a 1，故{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n .(2)由题意得b 2n －b 2n －1＝1，b 2n ＋1－b 2n ＝2n ，所以b 2n ＋1－b 2n －1＝1＋2n ，则b 2n －1－b 2n －3＝1＋2n －1，b 2n －3－b 2n －5＝1＋2n －2，…，b 5－b 3＝1＋22，b 3－b 1＝1＋21，所以b 2n －1－b 1＝n －1＋(21＋22＋…＋2n －1)＝n －1＋2(1－2n －1)1－2＝2n ＋n －3(n ≥2)， 所以b 2n －1＝2n ＋n －2(n ≥2)，所以b 2n ＝2n ＋n －1(n ≥2)，所以b 2n ＋b 2n －1＝2n ＋1＋2n －3(n ≥2)，易得b 1＋b 2也适合上式，所以{b n }的前10项和为b 1＋b 2＋…＋b 9＋b 10＝(22＋23＋…＋26)＋(－1＋1＋…＋7)＝139.19．解析：(1)由散点图可知，选择回归模型y ＝cx 2＋d 比较合适．令t ＝x 2，则c ^＝∑i ＝110t i y i －10t ·y∑i ＝110t 2i －10t2＝654 000－10×38.5×96025 333－10×38.5×38.5≈27.1，d^＝y－c^·t≈960－27.1×38.5≈－83.4，于是回归模型为y^＝27.1x2－83.4.(2)令x＝10，得y^＝27.1×102－83.4＝2 626.6，又2 626.6－2 684＝－57.4，所以该电商平台2019年“双十一”的销售额的估计值与2019年实际销售额的误差为57.4亿元．令x＝11，得y^＝27.1×112－83.4＝3 195.7，故预测该电商平台2020年“双十一”的销售额为3 195.7亿元．20．解析：(1)证明：因为BD＝CD＝22，△ABC是边长为4的等边三角形，所以BD2＋CD2＝(22)2＋(22)2＝16＝BC2，所以△BDC是等腰直角三角形，∠BDC＝90°.又点E为BC的中点，所以DE⊥BC.因为平面BDC⊥平面ABC，平面BDC∩平面ABC＝BC，所以DE⊥平面ABC.因为PC＝PB＝42，P A＝AC＝AB＝4，所以P A2＋AC2＝42＋42＝32＝PC2，P A2＋AB2＝42＋42＝32＝PB2，所以△P AB与△P AC都是直角三角形，故P A⊥AC，P A⊥AB.又AC∩AB＝A，所以P A⊥平面ABC，所以DE∥P A.因为P A⊂平面P AC，DE⊄平面P AC，所以DE∥平面P AC.(2)连接AE，以E为原点，EC，EA，ED所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,23，0)，B(－2,0,0)，C(2,0,0)，D(0,0,2)，设存在T(λ，0,0)，使得二面角T -DA -B为直二面角，易知－2≤λ≤2，且λ≠0.设平面BAD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则由BD→＝(2,0,2)，AD→＝(0，－23，2)，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋z 1＝0，－3y 1＋z 1＝0，令z 1＝1，得x 1＝－1，y 1＝33， 故n 1＝⎝⎛⎭⎫－1，33，1. 设平面TAD 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则由DT →＝(λ，0，－2)，AT →＝(λ，－23，0)，得⎩⎪⎨⎪⎧λx 2－2z 2＝0，λx 2－23y 2＝0，令z 2＝1，得x 2＝2λ，y 2＝33， 故n 2＝⎝⎛⎭⎫2λ，33，1. 由cos 〈n 1，n 2〉＝－2λ＋33×33＋173× 43＋4λ2＝0， 得13－2λ＋1＝0，故λ＝32. 所以当T 为线段BC 上靠近点C 的八等分点时，二面角T - DA - B 为直二面角．21．解析：(1)由题意知e 1＝c a ，e 2＝c 2－b 2c ＝2c 2－a 2c . 因为e 1︰e 2＝2︰3，所以3·c a ＝2·2c 2－a 2c， 2a 2c 2－a 2＝3c 2，将等号两边同时平方，得3c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0，即(2a 2－c 2)(2a 2－3c 2)＝0，所以a 2＝32c 2. 又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝3b ，c ＝2b ，所以A (2b,0)，B (0，－b )，所以直线AB 的方程为y ＝22x －b ， 与椭圆C 1：x 23b 2＋y 2b2＝1联立并消去y ， 得x 2＋3⎝⎛⎭⎫22x －b 2＝3b 2， 整理得，52x 2－32bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝625b ， 所以P ⎝⎛⎭⎫62b 5，b 5. 因为|PB |＝185，所以 ⎝⎛⎭⎫625b －02＋⎝⎛⎭⎫b 5＋b 2＝185， 得b ＝3，所以a ＝3，椭圆C 1的方程为x 29＋y 23＝1. (2)当直线MN 的斜率不存在时，易得|MN |＝2.当直线MN 的斜率存在时，设直线MN ：y ＝kx ＋m (k ≠0)，与椭圆C 2：x 26＋y 23＝1联立并消去y ， 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0，因为直线MN 与椭圆C 2相切，所以Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－6)＝0，整理得，6k 2＋3－m 2＝0.(*)将直线MN 与椭圆C 1的方程联立并消去y ，得(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－9＝0，由(*)式可得Δ＝36k 2m 2－4(1＋3k 2)(3m 2－9)＝12(9k 2＋3－m 2)＝36k 2， 设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则x M ＋x N ＝－6km 1＋3k 2，x M x N ＝3m 2－91＋3k 2， 所以|MN |＝1＋k 2|x M －x N | ＝1＋k 2·36k 21＋3k 2＝6k 4＋k 2(1＋3k 2)2. 设1＋3k 2＝t ，则t >1，|MN |＝6t 2＋t －29t 2＝2－2⎝⎛⎭⎫1t －142＋98≤322.因为2<322，所以当t ＝4，即k ＝±1时，|MN |最大，且最大值为322. 22．解析：(1)f (x )＝2mx 2－nx ＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4mx －n ＋1x， 因为函数f (x )＝2mx 2－nx ＋ln x 在x ＝1处取得极值， 所以f ′(1)＝4m －n ＋1＝0，n ＝4m ＋1，所以f ′(x )＝4mx 2－(4m ＋1)x ＋1x. 因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以易知m ＝0时符合题意，当m ≠0时，需(4m ＋1)2－16m >0，得m ≠14. 函数f (x )＝2mx 2－nx ＋ln x 在(0,1]上单调递增，即f ′(x )≥0在(0,1]上恒成立，所以4mx 2－(4m ＋1)x ＋1x≥0在(0,1]上恒成立， 即4mx 2－(4m ＋1)x ＋1≥0在(0,1]上恒成立．记g (x )＝4mx 2－(4m ＋1)x ＋1，x ∈(0,1]．当m ＝0时，g (x )＝1－x ≥0在(0,1]上恒成立．当m ≠0且m ≠14时， g (x )＝4mx 2－(4m ＋1)x ＋1＝(4mx －1)(x －1)，则g (x )≥0在(0,1]上恒成立可化为4mx －1≤0在(0,1]上恒成立．当m <0时，4mx －1≤0在(0,1]上恒成立，当m >0且m ≠14时， 4mx －1≤0在(0,1]上恒成立可化为x ≤14m在(0,1]上恒成立， 即1≤14m ，所以0<m <14. 综上，m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，14. (2)当m ＝0时，f (x )＝－x ＋ln x ，f ′(x )＝－1＋1x ＝1－x x， 所以f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减， f (x )在(0，e]上的最大值为f (1)＝－1，不满足题意，所以m ≠0，此时f ′(x )＝4mx 2－(4m ＋1)x ＋1x. 令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝14m ，由(1)知m ≠14. 当m <0时，x 2＝14m<0， f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f (x )在(0，e]上的最大值为f (1)，令f (1)＝ln 1＋2m －(4m ＋1)＝1，解得m ＝－1，符合题意．当m >0时，x 2＝14m>0， 若14m <1，即m >14， 则f (x )在⎝⎛⎭⎫0，14m 上单调递增， 在⎣⎡⎭⎫14m ，1上单调递减，在[1，e]上单调递增，所以最大值可能在x ＝14m或x ＝e 处取得， 而f ⎝⎛⎭⎫14m ＝ln 14m＋2m ⎝⎛⎭⎫14m 2－14m (4m ＋1) ＝ln 14m －18m－1<0， 所以f (e)＝ln e ＋2m e 2－e(4m ＋1)＝1，解得m ＝12e －4，符合题意． 若1<14m<e ，则f (x )在区间(0,1)上单调递增， 在⎣⎡⎭⎫1，14m 上单调递减， 在⎣⎡⎦⎤14m ，e 上单调递增，所以最大值可能在x ＝1或x ＝e 处取得，而f (1)＝ln 1＋2m －(4m ＋1)＝－2m －1<0，所以f (e)＝ln e ＋2m e 2－e(4m ＋1)＝1，解得m ＝12e －4，与1<14m <e 矛盾． 若14m≥e ，则f (x )在区间(0,1)上单调递增， 在(1，e]上单调递减，所以最大值在x ＝1处取得，而f (1)＝ln 1＋2m －(4m ＋1)＝－2m －1<0，故不满足题意．综上，m 的值为－1或12e －4.。