光纤光学-第二章 - pdf

E { E 0 r e jk 0 r }
e jk 0 r E 0 r e jk 0 r E 0 r e jk 0 r E 0 r jk 0 e jk 0 r r E 0 r
0
k0
jk 0 e jk 0 r
r
E0
令 Φx, y, z,t Ψ x, y, zeiωt 时空分离
亥姆霍兹方程 2Ψ x, y, z k 2Ψ x, y, z 0
k
2
E
ω
x,
εμ ω v
y, z k2
2π
Eλ
nk0
x, y, z
0
2
H
x
,
y
,
z
k
2
H
x
,
y,
z
0
结合边界条件即可唯一确定光纤中光波场的场分布
2.2 程函方程与射线方程
第二章 光纤光学的基本方程
光纤光学的基本方程
研究光纤中光能量的传输形式和场分布。
常有两种分析方法：光线理论和波动理论。
（光线轨迹） (模式分布)
光纤光学分析方法
光线理论（几何光学方法） 把光看作射线，并引用几何光学中反射与折射原 理解释光在光纤中传播的物理现象； 波动理论 （波动光学方法） 把光波当作电磁波，把光纤看作光波导，用电磁 场分布的模式来解释光在光纤中的传播现象。
2。
χ2H y
i ωε
Ez x
β
H z y
圆柱坐标系纵横关系式
Microsoft 公式 3.0
驻波
u sin(t) cos(x) u
t0 t1 t2 t3 t4
t0 t1 t2 t3 t4
f 2
z
驻波的波峰和波节的位置是固定的，即驻波没有沿x方向运动， 这也是“驻波”这一词的由来。驻波相当于一个停滞在原地不断 上下振动（脉振）的正弦波，所以驻波也称脉振波。
D B
εE μH
ε：介电常数 μ：磁导率
ε ε(x, y, z)或ε ε(r, φ, z)
ε ε0n2
对于光纤
3、边界条件
μ μ0
在光纤中传播的电磁场满足边界条件：
E1t E2t H1t H 2t B1n B2n D1n D2n
2.1麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程
4、分离电磁变量：波动方程
A 2
ex ey ez x y z Ax Ay Az
2 2 2
x2 y2 z 2
2016/9/21
8
柱坐标（r,,z）
er , e , ez
er
r
e
1 r
ez
z
1 rAr 1 A Az
r r r z
er e ez 1
r r z
Ar rA Az
1 r
r
r
r
1 r2
2 2
三无特性
无自由电荷 无传导电流 无磁性
ρ0
J
0
2.1麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程
H
D
J
t
E
B
t
B 0
D ρ
H
D
t
E
B
t
B 0
D
0
三无特性
无自由电荷 无传导电流 无磁性
ρ0
J
0
光纤中的麦 克斯韦方程
2.1麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程
2、物质方程
光纤属于J线 性σE各向同性介质σ：电导率
2
z 2
光线理论与波动理论分析思路
H
D
J
E
t
B
t
B 0
D ρ
电磁分离 时空分离 纵横分离
波动方程 亥姆霍兹方程 波导场方程
2.1麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程
1、麦克斯韦方程
H
D
J
t
E
B
t
B
0
D
ρ
时变磁场可以产生时变电场 时变电场可以产生时变磁场 磁场是无源的 电场是有源的
利用矢量恒等式
A B C A C B A B C
{ r r }E 0 n 2 E 0 0
电场矢量振幅不能处处为零，因而必然有：
r r n 2
或者：
2 n 2，
( r ) n r
（2.2a）
式 （2x.r2a）2 称为程y函r 方2 程 ；
光线理论与波动理论分析思路
H
D
J
E
t
B
t
B 0
D ρ
电磁分离 时空分离 纵横分离
波动方程 亥姆霍兹方程 波导场方程
模式分析的基本过程
数学模型 波导场方程 边界条件 本征解与本征值方程 本征值与模式分析
数学模型
数学模型：阶跃折射率分布光纤是一种理 想的数学模型，即认为光纤是一种无限大 直圆柱系统，芯区半径a，折射率为n1； 包层沿径向无限延伸，折射率为n2。光纤 材料为线性、无损、各向同性的电介质。
r
z
2
n 2 x,
y, z
相位梯度 r 方向与光波传播方向一致，其模等于介
质折射率（物理意义）；
程函方程给出波面变化规律：
在均匀介质中，光波传输方向不变；
在非均匀介质中，光波传输方向随折射率变。
若已知折射率分布，则可求出程函方程，从而根据等 相面确定光线轨迹。
2.2 程函方程与射线方程
1、光线方程（射线方程） 由程函方程可推导光线方程
x y z
旋度
F
e（x
R y
-
Q ） z
e（y
P z
Q ） x
ez
( Q x
P（) 矢量） y
拉普拉斯算符 2 2 2 2 (标量) x 2 y 2 z 2
( F ) 0
0
矢量运算
直角坐标（x,y,z）
基矢
ex,ey,ez
A
ex
x
ey
y
ez
z
Ax Ay Az x y z
几何光学方法更简单直观，但用波动理论可以 对光纤的传输特性和传输原理有更精确的分析
波动理论和射线理论之比较
适用条件 研究对象 基本方程 研究方法 主要特点
几何光学方法 2a 光线 射线方程
折射/反射定理 约束光线
波动光学方法 2a 模式
波导场方程 边值问题 模式
希腊字母
补充知识
a b axbx ayby azbz
Ez 和 Hz 总是独立满足波导场方程
2 t
Ez
H
z
2
Ez
H
z
0
场的横向分量可由纵向分量来表示
(6个场分量可简化为两个纵向场分量来求解)
直角坐标系纵横关系式
χ2Ex
i ωμ
H z y
β
E z x
纵向分量
横向分量
χ2Ey
i ωμ
H z x
β
Ez y
相位相差
χ2Hx
i
ωε
E z y
β
H z x
域弯曲。
典型光线传播轨迹
反射型 折射型
典型光线传播轨迹
小结
程函方程：表示光波相位变化与介质折射率分布的关系
( r ) n r
光线在均匀介质传播路径上无方向变化；在非均匀介质传 播路径上有方向变化。
光线方程：
d ds
n(
r
)
dr ds
n( r )
光线向折射率大的方向弯曲。 相位梯度方向与波矢量k方向一致。
ex ey ez a b ax ay az ex (aybz azby ) ey (azbx axbz ) ez (axby aybx )
bx by bz
Hamilton（哈密顿）算子
ex
x
ey
y
ez
（矢量） z
矢量函数 F ex P eyQ ez R 散度 F P Q R (标量)
r
与等式左边相等：
jk 0 e jk 0 r r E 0 r j 0 H 0 r e jk 0 r
k 0 r E 0 r 0 H 0 r
r E 0 r
0
k0
H 0 r
0 00
H 0 r H 0 r
由麦克斯韦方程其他三个方程同样处理，得到：
–相位因子 k r nk0 r
k 0 0 0， n
0
–波函数略去时间因子
E E 0 r exp jk 0 r
–相位梯度 r ：表示光线传播过程中相位变化
最快方向（该方向与等相位面垂直）
2.2 程函方程与射线方程
由麦克斯韦方程推导程函方程:
由： E 等式左边：
j 0 H
t2ψ(x, y) χ 2ψ(x, y) 0
t2
2
2 z 2
拉普拉斯算子 分解为横向和
纵向部分
χ 2 k 2 β2 n2k02 β2
χ
k n(r)k0
β nk0 cos θz
θz
βz
波导场方程的数学物理意义
2 t
E ( x, H ( x,
y) y)
2
E ( x, H ( x,
D εE
B μH
E
B
(
E
t )
(
E
)
2
E
左式
右式
(
E
E)
?
( D
B )
(
B)
t t
0 (εE) 0
t
(
μH
)
με
2
E
t 2
(εE)
ε
E
ε
E
0
E
ε
E
2
E
E
ε ε
εμ
ห้องสมุดไป่ตู้
2
E
t 2
ε
波动方程（电场）
2.1麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程
矢 量 波 方 程
光线理论：把光看作射线，并引用几何光学中反 射与折射原 理解释光在光纤中传播的物理现象； 方法：确定光线路径：
–程函方程 –射线方程
目的：得到任意光波导中的光线轨迹
2.2 程函方程与射线方程
1、程函方程
光程：波面走过的几何路程与所在介质折射率的乘积。
平面波在任意方向传输的波函数：
E r , t E 0 exp j t k r
2.3 波导场方程
光纤波导光波传输特征：
在纵向（轴向）以“行波”形式存在，横向以“驻波”形 式存在。场分布沿轴向只有相位变化，没有幅度变化。
空间坐标纵横分离： Ψ x, y, z ψx, yeiβz
行波——波峰和波节
u sin(t x) 0
u 波峰
波峰
C
D
波节
波节
E
F
v
x
行波在传播的过程中，其波峰和波节的位置是不固定 的，即行波总是要朝着一个方向推移的，这也是“行 波”这个词的由来。
由光线方程可以直接求出光线轨迹表达式：
光线方程应用例子
各向同性均匀介质中的光线传输 介质折射率n(r)=n=常数，即n(r)=0，由光线方程得
d [n(r) dr ] 0 ds ds
所以
dr a
ad为s 常矢量，所以
r
sa
b
r的顶端轨迹构成一条直线
射线方程的物理意义
d (n dr ) n(r) d (n dr ) n(r )
Microsoft 公式 3.0
t2ψ(x, y) χ 2ψ(x, y) 0
2.3
波导场方程
光纤波导光波传输特征：
在纵向（轴向）以“行波”形式存在，横向以“驻波”形 式存在。场分布沿轴向只有相位变化，没有幅度变化。
空间坐标纵横分离： Ψ x, y, z ψx, yeiβz
代入亥姆霍兹方程
得到关于E(x,y)和H(x,y)的方程式：波导场方程
y) y)
0
波导场方程：是波动光学方法的最基本方程。
它是一个典型的本征方程,其本征值为χ或β。
当给定波导的边界条件时,求解波导场方程 可得本征解及相应的本征值。通常将本征解定 义为“模式”.
2.4 模式及其基本性质
每一个模式对应于沿光波导轴向传播的一种电磁 波;
每一个模式对应于某一本征值并满足全部边界条 件;
0
2
2
E H
E
H
2
E
t 2
2
H
t 2
2 2
E H
2
E
t 2
2
H
t 2
标 量 波 方 程
注意：这个方程是近似结果，只适用于光纤中的一 般问题，若需要精密分析，要用矢量波方程
2.1麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程
5、分离时空变量：亥姆霍兹方程 前提：光纤中传输单色光波，时间函数为简谐函数
r E 0 H 0
r
H0
n2
E0
r E 0 0
r H 0 0
（3.1a） （3.1b） E （3.1c） （3.1d）
三个矢量正交，相位梯度与波面法线方向一致。
相位梯度
H
条将件（：3.1a） 代入（0 ,3k.10b），
r { r E 0 } n 2 E 0 0
d ds
nr
dr ds
nr
ˆ ds
dr
r
A
B
光线轨迹 r 光线切线方向
xex
τˆ
ye
dr
y
zez
r dr
的单位矢量
τˆ
φ(r) n(r)
ds
τˆ
nφ(r(r))
dr ds
O
射线方程的物理意义
d (n dr ) n(r) d (n dr ) n(r )
dS dS
dz dz
物理意义：
将光线轨迹(由r描述)和空间折射率分布(n)联系起来
模式具有确定的相速群速和横场分布.
模式是波导结构的固有电磁共振属性的表征。给 定的波导中能够存在的模式及其性质是已 确定了 的,外界激励源只能激励起光波导中允许存在的模 式而不会改变模式的固有性质。
2.4 模式及其基本性质
1、场的分布（本征解） 模式场分布由六个场分量唯一决定：
（直角坐标系） Ex , E y , Ez , H x , H y , H z （圆柱坐标系） Er , Eφ , Ez , H r , H φ , H z
dS dS
dz dz
物理意义：
将光线轨迹(由r描述)和空间折射率分布(n)联系起来
由光线方程可以直接求出光线轨迹表达式：
d r dS
是光线切向斜率,
对于均匀波导，n为常数,光线
以直线形式传播;
dr
对于渐变波导,n是r的函数,则 dS 为一变量, 这表明光
线将发生弯曲。可以证明,光线总是向折射率高的区