2020年湖南师大附中高考数学一模试卷(理科)(含答案解析)
2020年湖南师大附中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F满足，那么A.B.C.D.4.函数其中e为自然对数的底的图象大致是A. B.C. D.5.在如图所示的正方形内任取一点M，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M恰好取自阴影部分的概率为A. B. C. D.6.的展开式中的常数项为A. 14B.C. 16D.7.已知为锐角，且，则的值为A. B. C. D.8.设椭圆C：的左、右焦点分别为，，点已知动点P在椭圆上，且P，E，不共线，若的周长的最小值为3b，则椭圆C的离心率为A. B. C. D.9.设三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是A. B. C. D.10.设是数列的前n项和，若，，则数列的前99项和为A. B. C. D.11.已知函数若，则ab的最小值为A. B. C. D.12.已知双曲线C：，过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为交y轴于点C，交另一条渐近线于点A，并且点C位于点A，B之间．已知O为原点，且，则A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.已知函数为偶函数，则______．14.已知是等比数列的前n项和，且，，成等差数列，，则______．15.若的图象关于直线对称，且当取最小值时，，使得，则a的取值范围是______．16.在四面体中，为等边三角形，边长为6，，，，则四面体的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．Ⅰ求角C的值；Ⅱ若，且的面积为，求的周长．18.如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为O，且，C.Ⅰ求证：平面：Ⅱ设，若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．19.已如椭圆：：的右顶点与抛物线：的焦点重合，椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为．Ⅰ求椭圆和抛物线的方程；Ⅱ过点的直线l与椭圆交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为当直线l 绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论．20.某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量．决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的可能性相同．Ⅰ求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；Ⅱ在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定，若抽取的是黄色汽车，则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束：并规定抽样的次数不超过N，次．在抽样结束时，若已取到的黄色次车数以表示，求的分布列和数学期望．21.已知函数，既存在极大值，又存在极小值．Ⅰ求实数的取值范围；Ⅱ当时，，分别为的极大值点和极小值点．且，求实数k的取值范围．22.在平面直角坐标系x0y中，直线的参数方程为为参数，直线的参数方程为为参数设直线与的交点为当k变化时点P的轨迹为曲线．Ⅰ求出曲线的普通方程；Ⅱ以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点Q为曲线上的动点，求点Q到直线的距离的最大值．23.已知函数．Ⅰ求不等式的解集；Ⅱ若函数的最小值为m，正数a，b满足求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：，，又，则，，故选：D．先分别求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：解：故选：D．复数分母实数化，再化简即可．本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，是基础题．3.答案：C解析：解：，故选：C．利用三角形的加法法则，减法法则，线性运算，就可得出结果．本题考查平面向量基本定理，向量的运算，属于基础题．4.答案：A解析：解：当时，函数，，有且只有一个极大值点是，故选：A．利用函数的导数，求出函数的极大值，判断函数的图形即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的图象的判断，考查分析问题解决问题的能力．5.答案：C解析：解：设正方形的边长为2，则正方形面积为4．图中阴影部分的面积可看作8个弓形的面积和，其面积为．所求概率．故选：C．设正方形的边长为2，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由测度比是面积比得答案．本题考查几何概型概率的求法，关键是求出阴影部分的面积，是基础题．6.答案：A解析：解：，故它的展开式中的常数项为，故选：A．把按照二项式定里展开，可得的展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．7.答案：B解析：解：整理得：，转换为，即，则：．当时，两边相等．故选：B．直接利用三角函数关系式的恒等变换和角公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.答案：D解析：解：的周长为，当P，E，共线时，此时周长最小，，，，故选：D．当P，E，共线时，此时的周长的最小，即可得到，再根据离心率公式计算即可．本题考查了椭圆的简单性质和离心率，考查了运算能力和转化能力，属于中档题，9.答案：C解析：解：由题意知底面外接圆的圆心为斜边BC的中点，则外接圆的半径，而，，所以，所以，过BC的中点做垂直于底面的直线交中截面与O点，则O为外接球的球心，由题意得：，所以外接球的表面积，故选：C．直棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，而底面为直角三角形，所以底面外接圆的圆心为斜边的中点，且半径为斜边的一半，根据底面外接圆的半径与球的半径和直棱柱的高的一半构成直角三角形，由题意求出外接球的半径，求出外接球的表面积．考查直棱柱的外接球的求法及球的表面积公式，属于基础题．10.答案：C解析：解：，，两式作差得，，故，，所以，所以，故选：C．利用两式作差，代入求出，再利用裂项相消法求出和即可．考查数列的性质，裂项相消法求数列的和，注意式子的灵活变换，中档题．11.答案：B解析：解：画出函数的图象，如图所示；由，且，设，则；所以，；当时，；考虑，在同一坐标系中画出函数和的图象，其中，如图所示；则函数的图象总在的图象上方，所以，即ab的最小值为．故选：B．画出函数的图象，由题意得出，则；可求得a、b的表达式，计算时；再求恒成立即可．本题考查了分段函数的应用问题，正确画出函数图象和熟练掌握函数的性质是解题的关键．12.答案：B解析：解：双曲线C：的右焦点，渐近线OB的方程为，渐近线OA的方程为，可得，，，可得，解得或舍去，可得，由，可得，则，则．故选：B．设出右焦点F的坐标和渐近线OA，OB的方程，由点到直线的距离公式可得，结合直角三角形的勾股定理和三角函数的定义、两直线的夹角公式，求得a，b的关系，结合直角三角形的射影定理，化简计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查直角三角形的射影定理和锐角三角函数的定义、以及两直线的夹角公式，考查化简运算能力，属于中档题．13.答案：解析：解：根据题意，函数，其定义域为R，若为偶函数，则，则有，变形可得：，必有；故答案为：．根据题意，由函数奇偶性的定义可得，据此变形分析可得答案．本题考查函数的性质以及判断，关键是掌握偶函数的定义，属于基础题．14.答案：3解析：解：是等比数列的前n项和，且设公比为q，由，，成等差数列，可得，显然时，，即不成立；则，化为，即，解得，由，可得，则．故答案为：3．等比数列的公比设为q，运用等差数列的中项性质，对公比q判断不为1，运用等比数列的求和公式，解方程可得，再由等比数列的通项公式，计算可得所求值．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．15.答案：解析：解：的图象关于直线对称，所以，解得，当时，．所以由于，所以，所以，即a的范围为．故答案为：．直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的定义域的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16.答案：解析：解：在四面体中，为等边三角形，边长为6，，，，，，分别取BC、PC的中点D、E，连结AD、AE、DE，则，，，且，，，，，，平面PBC，四面体的体积为：．故答案为：．推导出，分别取BC、PC的中点D、E，连结AD、AE、DE，则，，，推导出，从而平面PBC，进而四面体的体积为，由此能求出结果．本题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.答案：解：，，，，，，，由题意可得，，，，联立可得，或，若，，则由余弦定理可得，，此时，若，，则此时为等边三角形，此时周长6．解析：结合三角形内角和及诱导公式对已知进行化简可求cos C，进而可求C，由已知，结合三角形的面积公式可求，a，b然后结合C的值及余弦定理可求c，进而可求周长．本题主要考查了三角形的内角和及诱导公式在三角化简中的应用，还考查了三角形的面积公式及余弦定理，属于基础试题．18.答案：解：Ⅰ证明：侧面是菱形，，又，，AB，均在平面内，平面，平面，，，O为的中点，，又，，均在平面内，平面；Ⅱ，直线与平面所成角等于直线AB与平面所成角，平面，直线AB与平面所成角为，即，设菱形的边长为2，则在等边中，，在直角中，，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，易知平面的一个法向量为，，又二面角为钝角，故其余弦值为．解析：Ⅰ利用平面可证得，利用三线合一可证得，进而得证；Ⅱ建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．本题考查线面垂直的判定及利用空间向量求解二面角的余弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．19.答案：解：Ⅰ设椭圆的半焦距为c，依题意，可得，则：，代入，得，即，所以，则有，，，，，，所以椭圆的方程为，抛物线的方程为；Ⅱ过点的直线l设为，联立椭圆方程，消去y得，设，，，可得，，直线EN的方程为，即为，即，代入韦达定理可得，则直线EN过定点．解析：Ⅰ利用椭圆的顶点与抛物线的焦点坐标相同，椭圆的离心率，列出方程组，求出a，b，即可得到椭圆方程抛物线方程；Ⅱ把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，设，，，求得直线EN的方程，化简整理，由直线恒过定点的求法，可得所求定点．本题考查椭圆以及抛物线的方程和简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．20.答案：解：Ⅰ黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1．任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，取到蓝色汽车的数量，抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率：．Ⅱ的可能取值为0，1，2，，n，，，，，，，0 1 2nP，，，得：．解析：Ⅰ任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，取到蓝色汽车的数量，由此能求出抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率．Ⅱ的可能取值为0，1，2，，n，，，，，，，由此能求出的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：，存在极大值点和极小值点，且，令，解得，或，时，，当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，时，，当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，故a的范围为，由可知，且的极大值点为，极小值点为，，，，令，对任意恒成立，由于此时，故，故，即，设，，令，，时，，故，在递增，故，即，符合题意，时，，设的两根为，，且，则，，故，则当时，，递减，故当时，，即，矛盾，不合题意，综上，，即，．解析：求出函数的导数，结合函数的单调性确定a的范围即可；求出函数的极值点，问题转化为，设，根据函数的单调性确定k的范围即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：Ⅰ直线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为直线的参数方程为为参数转换为直角坐标方程为所以得到．Ⅱ直线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为．设曲线的上的点到直线的距离，当时，．解析：Ⅰ直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用点到之间的距离公式的应用和三角函数关系式的变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.答案：解：Ⅰ，由，得．，由，有或或，或，不等式的解集为或Ⅱ证明：，，，，当且仅当时取等号，．解析：Ⅰ根据，可得或或，然后解不等式组即可得到解集；Ⅱ先利用绝对值三角不等式求出的最小值，再利用基本不等式求出的最小值即可．本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和基本不等式，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．。
精品解析：2020届湖南师大附中高三下学期统一模拟考试数学(理)试题(解析版)
湖南师大附中2020届高三年级统一模拟考试数学（理科）一、选择题1.已知集合{}121x A x -=>，{}220B x x x =-≤，则A B =（ ）A. [1,2)B. [1,2]C. (0,3]D. (1,2]【答案】D 【解析】【详解】由{}x 1A x 21-=>，{}2B x x 2x 0=-≤得：()1,A =+∞，[]0,2B =，所以(]A B 1,2⋂=，故选D.2.在复平面内，复数11iz =+（i 为虚数单位）对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】分析：先化复数为代数形式，再根据几何意义得对应点，即得点所在象限. 详解：复数21i111i i i+=+=-，其对应的点是(1,1)-，位于第四象限． 故选D ．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi3.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 满足2CF FB =，那么EF =( )A. 1123AB AD -B. 1132AB AD +C.1223AB AD - D.1142AB AD + 【答案】C 【解析】【分析】利用三角形的加法法则，减法法则，线性运算，就可得出结果． 【详解】解：在CEF ∆中，EF EC CF =+. 因为点E 为DC 的中点，所以12EC DC =. 因为点F 为BC 的一个三等分点，所以23CF CB =， 所以121212232323EF DC CB AB DA AB AD =+=+=-，故选：C.【点睛】本题考查平面向量基本定理，向量的运算，属于基础题．4.函数21x x y e+=（其中e 为自然对数的底）的图象大致是（ ）A. B. C.D.【答案】A 【解析】因为函数为偶函数，所以去掉D,因为当0x > 时22112,02x x x x x y y x e e++=='-=⇒= ，所以当(0,2)x ∈ 时0y '> ，去掉B;当(2,)x ∈+∞ 时0y '< ，去掉C ，因此选A.5.在如图所示的正方形内任取一点M ，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M 恰好取自阴影部分的概率为( )A.12B.2πC .12π- D. 22π-【答案】C 【解析】 【分析】设正方形的边长为2，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由测度比是面积比得答案． 【详解】解：设正方形的边长为2，则正方形面积为4． 图中阴影部分的面积可看作8个弓形的面积和， 其面积为21181112442ππ⎛⎫⨯⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭．∴所求概率24142P ππ-==-． 故选：C ．【点睛】本题考查几何概型概率的求法，关键是求出阴影部分的面积，属于基础题．6.()51311x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为( )A. 14B. -14C. 16D. -16【答案】A 【解析】 【分析】把511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭按照二项式定理展开，可得()51311x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项．【详解】解：()()5543251311010513111x xx x x x x x ⎛⎫=+-+-+- ⎪⎛⎝⎫- ⎪⎝⎭⎭+， 故它的展开式中的常数项为351(1)14⨯+⨯-=， 故选：A ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 7.已知α为锐角，且()cos 11α︒=，则α的值为( ) A. 20︒ B. 40︒ C. 50︒ D. 70︒【答案】B【解析】 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和角公式的应用求出结果．【详解】解：由()cos 11α+︒=可得cos10cos 1cos10α︒+︒=︒，即2sin 40cos 1cos10α︒=︒，所以cos10sin80cos 2sin 402sin 40α︒︒==︒︒2sin 40cos 40cos 402sin 40︒︒==︒︒， 又α为锐角，故40α=︒，故选：B.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()()0,0E t t b <<.已知动点P 在椭圆上，且点P ，E ，2F 不共线，若2PEF ∆的周长的最小值为3b ，则椭圆C 的离心率为( )B.2C.12【答案】D 【解析】 【分析】当P ，E ，1F 共线时，此时2PEF ∆的周长的最小，即可得到23a b =，再根据离心率公式计算即可． 【详解】解：2PEF ∆的周长为2221||||||||||||PE PF EF PE PF EF ++=++， 当P ，E ，1F 共线时，此时周长最小， 2121||||||||||23PE PF EF PF PF a b ∴++=+==，22249()a a c ∴=-，2259a c =3c e a ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了椭圆的简单性质和离心率，考查了运算能力和转化能力，属于中档题，9.设三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，132AA =所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A. 24π B. 18π C. 26π D. 16π【答案】C 【解析】 【分析】直棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，而底面为直角三角形，所以底面外接圆的圆心为斜边的中点，且半径为斜边的一半，根据底面外接圆的半径与球的半径和直棱柱的高的一半构成直角三角形，由题意求出外接球的半径，求出外接球的表面积． 【详解】解：由题意知底面外接圆的圆心为斜边BC 的中点O '，则外接圆的半径2BCr =，而2AB AC ==，90BAC ∠=︒，所以22BC =所以2r =过BC 的中点做垂直于底面的直线交中截面与O 点，则O 为外接球的球心， 由题意得：22219132222AA R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以外接球的表面积2426S R ππ==，故选：C ．【点睛】考查直棱柱的外接球的求法及球的表面积公式，属于中档题．10.设n S 是数列{}n b 的前n 项和，若2nn n a S +=，()*2122N n b n n a a n ++=-∈，则数列1n nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前99项和为( )A. 9798B.9899 C. 99100D. 100101【答案】C 【解析】 【分析】利用两式作差1122n n n a a ---=，代入求出1n b n =+，再利用裂项相消法求出和即可． 【详解】解：当2n ≥时，1112n n n a S ---+=，则()1111222n n n n n n n a a S S -----+-=-=，即1122n n n a a ---=，则12log 21n n b n +==+，从而1111n nb n n =-+， 故129911111111129922399100b b b ++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-1991100100=-=. 故选：C ．【点睛】考查数列的性质，裂项相消法求数列的和，注意式子的灵活变换，属于中档题．11.已知函数()1212log ,18212,x x x f x x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩，，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ）B.12【答案】B 【解析】 【分析】画出()f x 的图像，结合图像，根据()()()f a f b a b =<，求得,a b 的取值范围.令()()(]2,4t f a f b ==∈，将,a b 用t 表示，由此求得ab 的表达式，进而利用导数求得ab 的最小值.【详解】画出()f x 图像如下图所示，令122log 4x +=，解得14x =.所以1124a b ≤<<≤. 令()()t f a f b ==，由图可知(]2,4t ∈.122log 2bt a =+=， 所以24,log 2t a b t ==.所以()24log 242t t ab t =<≤.构造函数()()24log 142tt h t t =≤≤（稍微放大t 的范围）.()2'11ln 2log ln ln 2ln 24422t t t t t t h t -⋅-⋅⋅=⋅=⋅. 令()()1ln 14ln 2m t t t t =-≤≤⋅，()'2110ln 2m t t t=--<⋅， 所以()()1ln 14ln 2m t t t t =-≤≤⋅在[]1,4上递减.而()()()218ln 2110,4ln 24ln 2m m -⋅=>=⋅.由于ln ln ln e <<， 所以1ln 212<<，()21ln 214<<，()228ln 28<⋅<，所以()()218ln 2404ln 2m -⋅=<⋅. ()()140m m ⋅<， 故存在()01,4t ∈，使()00m t =.所以()h t 在[)01,t 上递增，在(]0,4t 上递减.所以对于()24log 242t ty t =<≤来说，最小值只能在区间端点取得. 当2t =时，224log 212=； 当4t =时，244log 4122=. 所以()24log 242t t ab t =<≤的最小值为12. 故选：B【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查指数、对数运算，考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.12.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且点C 位于点A ，B 之间.已知O 为原点，且53OA a =，则||||FA FC =（ ） A.54B.43C.32D.5 【答案】B 【解析】 【分析】设出右焦点F 的坐标和渐近线,OA OB 的方程，由点到直线的距离公式求得BF ，结合直角三角形勾股定理和三角函数的定义、两直线的夹角公式，求得,a b 的关系，由此求得,FA FC 的长，进而求得||||FA FC【详解】双曲线22221x y a b-=的右焦点(),0F c ，渐近线OB 的方程为b y x a =，即0bx ay -=，渐近线OA 的方程为by x a=-，即0bx ay +=. 所以22bc BF b c a b ===+，22OB c b a =-=，225433a a AB a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 所以4tan 3AB AOB OB ∠==，而()tan tan tan tan 1tan tan AOF BOFAOB AOF BOF AOF BOF∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠22431b b a a b a--===-， 解得2b a =或12b a =-（舍去）.所以44102333a a aAF b a =+=+=. 在Rt COF ∆中，由射影定理得2OF BF FC =⋅，所以222225522OFc a b a aFC BF b b a +=====， 所以10||435||32aFA a FC ==. 故选：B【点睛】本小题主要考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查直角三角形的射影定理、两直线的夹角公式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.二、填空题13.已知函数()()()2log 21cos xf x ax x a R =-++∈为偶函数，则a =______.【答案】12【解析】 【分析】 根据题意，由函数奇偶性的定义可得()()f x f x -=，即22()log (21)cos()log (21)cos x x a x x ax x ---++-=-++，据此变形分析可得答案． 【详解】解：根据题意，函数2()log (21)cos x f x x x α=-++，其定义域为R ， 若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，则有22()log (21)cos()log (21)cos x x a x x ax x ---++-=-++， 变形可得：222log (21)log (21)x x ax x -=+-+=，必有12a =； 故答案为：12．【点睛】本题考查函数的性质以及判断，关键是掌握偶函数的定义，属于基础题．14.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且3S ，9S ，6S 成等差数列，256a a +=，则8a =______. 【答案】3 【解析】 【分析】设等比数列的公比为q ，讨论1q =不成立，再由等比数列的求和公式，解方程可得q ，再由等比数列的通项公式，即可得到所求值．【详解】解：由题意可知等比数列的公比1q ≠，否则3S ，9S ，6S 不成等差数列， 于是9362S S S =+， ()91211a q q-∴-()()36111111a q a q qq--=+--，解得63210q q --=，解得312q =-或31q =（舍去），又由256a a +=，得88636a a q q +=，解得683166431112q a q ⨯===+-. 故答案为：3【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，注意讨论公比是否为1，同时考查等差数列中项的性质，以及方程思想和运算能力，属于中档题．15.若()()()2sin 20f x x ϕϕ=+>的图象关于直线12x π=对称，且当ϕ取最小值时，00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()0f x a =，则a 的取值范围是______.【答案】(2⎤⎦ 【解析】 【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的定义域的应用求出结果． 【详解】解：∵函数()()()2sin 20f x x ϕω=+>的图象关于直线12x π=对称，62k ππϕπ+=+，()3k k Z πϕπ=+∈，当ϕ取最小值是3πϕ=，()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴042,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，2sin 223x π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即a 的取值范围是(2⎤⎦.故答案为：(2⎤⎦【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．16.在四面体P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为______.【答案】【解析】 【分析】推导出PB BC ⊥，分别取BC 、PC 的中点D 、E ，连结AD 、AE 、DE ，则AD BC ⊥，AE PC ⊥，DE BC ⊥，推导出AE DE ⊥，从而AE ⊥平面PBC ，进而四面体P ABC -的体积为13P ABC A PBC PBC V P S AE --∆==，由此能求出结果． 【详解】解：在四面体P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，222PB BC PC ∴+=，PB BC ∴⊥，分别取BC 、PC 的中点D 、E ，连结AD 、AE 、DE ， 则AD BC ⊥，AE PC ⊥，DE BC ⊥，且36933AD =-=，4DE =，362511AE =-=，222AE DE AD ∴+=，AE DE ∴⊥，PCDE E =，PC ⊂平面PBC ，DE ⊂平面PBC ，AE ∴⊥平面PBC ，∴四面体P ABC -的体积为：11111861181133232P ABC A PBC PBC V P S AE PB BC AE --∆===⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=． 故答案为：811．【点睛】本题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．三、解答题17.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a A B C c B C +-=+. （1）求角C 的值；（2）若26a b +=，且ABC ∆3ABC ∆的周长. 【答案】（1）3π；（2）6或513+【解析】 【分析】（1）结合三角形内角和及诱导公式对已知进行化简可求cos C ，进而可求C ，（2）由已知，结合三角形的面积公式可求，a ，b 然后结合C 的值及余弦定理可求c ，进而可求周长． 【详解】（1）因为()()sin sin a A B C c B C +-=+由正弦定理得()()sin sin 2sin sin sin sin A C C A C A ππ-=-=， 因为sin 0A ≠，所以()sin 2sin C C π-=，即sin 22sin cos sin C C C C ==. 因为sin 0C ≠，所以1cos 2C =， 因0C π<<，所以3C π=.（2）由1sin 32ABC S ab C ∆==，可得4ab =. 因26a b +=，所以426a a+=，解得1a =或2.当1a =时，4b =，由余弦定理得2222cos 13c a b ab C =+-=，13c =， 所以周长513+.当2a =时，2b =，由余弦定理得2222cos 4c a b ab C =+-=，2c =，所以周长为6. 综上，ABC ∆的周长为6或513+.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和及诱导公式在三角化简中的应用，还考查了三角形的面积公式及余弦定理，属于基础题．18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，其对角线的交点为O ，且1AB AC =，1AB B C ⊥.（1）求证：AO ⊥平面11BB C C ；（2）设160B BC ∠=︒，若直线11A B 与平面11BB C C 所成的角为45︒，求二面角111A B C B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）5-【解析】 【分析】）（1）利用1B C ⊥平面1ABC 可证得1B C AO ⊥，利用三线合一可证得1AO BC ⊥，进而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式即可得解． 【详解】解：（1）证明：∵四边形11BB C C 是菱形，∴11B C BC ⊥，∵1AB B C ⊥，1AB BC B =，1BC ⊂平面1ABC ，AB 平面1ABC ，∴1B C ⊥平面1ABC ，AO ⊂平面1ABC ，∴1B C AO ⊥，又∵1AB AC =，O 是1BC 的中点，∴1AO BC ⊥， 又∵11B CBC O =，1B C ⊂平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，∴AO ⊥平面11BB C C . （2）∵11//AB A B ，∴直线11A B 与平面11BB C C 所成的角等于直线AB 与平面11BB C C 所成的角. ∵AO ⊥平面11BB C C ，∴直线AB 与平面11BB C C 所成的角即为ABO ∠， 即45ABO ∠=︒.不妨设菱形11BB C C 的边长为2，则在等边三角形1BB C中BO =，11CO B O ==，在Rt ABO ∆中，AO BO ==以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则()10,1,0B ，()0,1,0C -，(1A，()1C ，(113,0,A B =，()111,0B C =--，设平面111A B C 的一个法向量为()1,,n x y z =，则1111113030n AB x n BC y ⎧⋅==⎪⎨⋅=--=⎪⎩，可得()11,n =-， 而平面11BB CC 的一个法向量为()20,0,1n =， 则112122cos ,55n nn n n n ⋅===， ∴二面角111A B C B --的余弦值的大小为5-.【点睛】本题考查线面垂直的判定及利用空间向量求解二面角的余弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．19.已知椭图1C ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点与抛物线2C ：()220y px p =>的焦点重合，椭圆1C 的离心率为12，过椭圆1C 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线所得的弦长为42（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）过点()4,0A -的直线l 与椭圆1C 交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为E .当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 是否经过一定点？请判断并证明你的结论.【答案】（1）22143x y +=， 28y x =；（2）是，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的顶点与抛物线的焦点坐标相同，椭圆的离心率，列出方程组，求出a ，b ，即可得到椭圆方程抛物线方程；（2）把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，1(E x ，1)y -，求得直线EN 的方程，化简整理，由直线恒过定点的求法，可得所求定点． 【详解】解：（1）设椭圆1C 的半焦距为c ，依题意，可得2p a =，则2C ：24y ax =， 代入x c =，得24y ac =，即2y ac =±442ac =则有222212ac c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，2,3a b ∴==所以椭圆1C 的方程为22143x y +=，抛物线2C 的方程为28y x =.（2）依题意，当直线l 的斜率不为0时，设其方程为4x ty =-，联立2243412x ty x y =-⎧⎨+=⎩，得()223424360t y ty +-+=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则()11,E x y -，由>0∆，解得2t <-或2t >， 且1222434ty y t +=+，1223634y y t =+， 根据椭圆的对称性可知，若直线EN 过定点，此定点必在x 轴上，设此定点为(),0Q m ， 因斜率NQ EQ k k =，得2121y y x m x m-=--，即()()12210x m y x m y -+-=，即()()1221440ty m y ty m y --+--=，即()()1212240ty y m y y -++=， 即()2236242403434tt m t t ⋅-+⋅=++，得()()3410m t m t --=--=， 由t 的任意性可知1m =-.当直线l 的斜率为0时，直线EN 的方程即为0y =，也经过点()1,0Q -， 所以当2t <-或2t >时，直线EN 恒过一定点()1,0Q -.【点睛】本题考查椭圆以及抛物线的方程和简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．20.某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3:1.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量，决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的时能性相同. （1）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（2）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定：若抽取的是黄色汽车.则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束；并规定抽样的次数不超过()*N n n ∈次，在抽样结束时，若已取到的黄色汽车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）135512；（2）分布列见解析，3334n⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为14，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，取到蓝色汽车的数量1~(5,)4X B ，由此能求出抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率．（2）ξ的可能取值为0，1，2，⋯，n ，1(0)4P ξ==，31(1)44P ξ==⨯，231(2)()44P ξ==，⋯，131(1)()44n P n ξ-=-=，3()()4n P n ξ==，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【详解】解：（1）因为随机地抽取一辆汽车是蓝色汽车的概率为14， 用X 表示“抽取的5辆汽车中蓝颜色汽车的个数”，则X 服从二项分布，即15,4XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以抽取的5辆汽车中有2辆是蓝颜色汽车的概率32253113544512P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）ξ的可能取值为：0，1，2，…，n .()104P ξ==，()31314416P ξ==⨯=，()231244P ξ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，……，()131144n P n ξ-⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭，()34nP n ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 所以ξ的分布列为：ξ的数学期望为：23313131123444444E ξ⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()13131444n nn n -⎛⎫⎛⎫++-⨯⋅+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， （1） ()23133131311224444444n E n ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅++-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()13131444nn n n +⎛⎫⎛⎫+-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）（1）-（2）得：231131313131444444444n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1333114444n n nn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯--⨯⋅-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦2313131314444444E ξ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭131314444n n-⎛⎫⎛⎫++⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2313333344444n n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭331443313414nn ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-.所以3334nE ξ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 21.已知函数()()()1xxf x ae ea x a R -=--+∈，()f x 既存在极大值，又存在极小值.（1）求实数a 的取值范围；（2）当01a <<时，1x ，2x 分别为()f x 的极大值点和极小值点.且()()120f x kf x +>，求实数k 的取值范围.【答案】（1）()()0,11,+∞；（2）1k ≤-. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，结合函数的单调性确定a 的范围即可；（2）求出函数的极值点，问题转化为11(1)1a lna k a -<++，设11()(1))1x g x lnx k x -=-++，根据函数的单调性确定k 的范围即可．【详解】解：（1）由()()1xxf x ae ea x -=--+得()()'1x x f x ae e a -=+-+，即()()()1'1xxx f ee x ea -=--，由题意，若()f x 存在极大值和极小值，则()'0f x =必有两个不相等的实数根， 由10x e -=得0x =，所以10x ae -=必有一个非零实数根， ∴0a ≠，1xe a =，∴10a>且11a ≠，∴01a <<或1a >.综上，实数a 的取值范围为()()0,11,+∞.（2）当01a <<时，由（1）可知()f x 的极大值点为10x =，极小值点为2ln x a =-， 此时()11f x a =-，()()211ln f x a a a =-++，依题意得()()111ln 0a k a a a -+-++>对任意01a <<恒成立， 由于此时()()210f x f x <<，所以k 0<； 所以()()()1ln 11k a a a k +>--，即11ln 11a a k a -⎛⎫<-⎪+⎝⎭， 设()11ln 11x x k x g x -⎛⎫=--⎪+⎝⎭，()0,1x ∈，则 ()()()()2221121112111'x x k x k x x x g x ⎛⎫+-- ⎪⎛⎫⎝⎭=--= ⎪⎝⎭++()22211x x k x x ++=+， 令()2210*x x k ++=，判别式244k∆=-. ①当1k ≤-时，0∆≤，所以()'0g x ≥，()g x 在()0,1单调递增， 所以()()10g x g <=，即11ln 11a a k a -⎛⎫<-⎪+⎝⎭，符合题意； ②当10k -<<时，>0∆，设()*的两根为3x ，4x ，且34x x <， 则3420x x k+=->，341x x =，因此3401x x <<<，则当31x x <<时，()'0g x <，()g x 在()3,1x 单调递减， 所以当31x a <<时，()()10g a g >=，即11ln 11a a k a -⎛⎫>- ⎪+⎝⎭， 所以()()120f x kf x +<，矛盾，不合题意； 综上，k 的取值范围是1k ≤-.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.在平面直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为x t y kt⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为3x m my k ⎧=⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设直线1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时点P 的轨迹为曲线1C . （1）求出曲线1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭点Q 为曲线1C 上的动点，求点Q 到直线2C 的距离的最大值.【答案】（1）()22103x y y +=≠；（2）. 【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到之间的距离公式的应用和三角函数关系式的变换及正弦型函数的性质的应用求出结果． 【详解】解：（1）将1l ，2l 的参数方程转化为普通方程.1l：(y k x =， 2l：)13y x k=，两式相乘消k 可得2213x y +=，因为0k ≠，所以0y ≠，所以1C 的普通方程为()22103x y y +=≠.（2）直线2C 的直角坐标方程为60x y +-=， 由（1）知曲线1C 与直线2C 无公共点. 由于1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，k απ≠，k Z ∈），所以曲线1C上的点),sin Qαα到直线60x y +-=的距离为d ==所以当sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 的最大值为【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.已知函数()1f x x =-.（1）求不等式()32f x x ≥-的解集；（2）若函数()()5g x f x x =+-的最小值为m ，正数a ，b 满足a b m +=，求证：224a b b a+≥. 【答案】（1）{4|3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭；（2）证明见解析. 【解析】【分析】 （1）根据()32||f x x -，可得3131x x -⎧⎨>⎩或1301x x +⎧⎨⎩或3130x x -+⎧⎨<⎩，然后解不等式组即可得到解集； （2）先利用绝对值三角不等式求出()g x 的最小值，再利用基本不等式求出22a b b a+的最小值即可． 【详解】解：（1）当1x ≥时，得41323x x x -≥-⇒≥，∴43x ≥； 当01x <<时，得1322x x x -≥-⇒≥，∴无解；当0x ≤时，得21323x x x -≥+⇒≤-； 综上，不等式的解集为{4|3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭. （2）∵()()()15154g x x x x x =-+-≥---=，∴4m =，即4a b +=， 又由均值不等式有：22a b a b+≥，22b a b a +≥， 两式相加得2222a b b a a b b a ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴224a b a b b a +≥+=. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和基本不等式，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．。
湖南师大附中2020届高三年级统一模拟考试(理数)
湖南师大附中2020届高三年级统一模拟考试数 学（理科）本试题卷共5页，全卷满分150分，考试用时l20分钟。
一、选择题：本大题共且2个小题，每小题S 分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}121>=-x x A ，{}022≤-=x x x B ，则=B A I A ．[)2,1B ．[]2,1C ．(]3,0D ．(]2,12．在复平面内，复数iiz +=1（i 是虚数单位）对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 满足FB CF 2=，那么=EF A ．3121- B ．2131+C ．AD 3221- D ．2141+ 4．函数12-=x ex y （其中e 为自然对数的底）的图象大致是5．在如图所示的正方形内任取一点M ，其中图中的圆弧为该正方形的内 切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧， 则点M 恰好取自阴影部分的概率为 A ．21B ．2π C ．12-πD ．22π-6．()51113⎪⎭⎫⎝⎛-+x x 的展开式中的常数项为A ．14B ．14-C ．16D ．16-7．已知α为锐角，且()110tan 31cos =+οα，则α的值为A ．ο20B ．ο40C ．ο50D ．ο708．设椭圆)0(1:2222>>+b a by a x C ，的左、右焦点分别为21,F F ，点)0)(,0(b t t E <<.己知动点P在椭圆上，且点2,,F F P 不共线，若2PEF ∆的周长的最小值为b 3,则椭圆C 的离心率为A ．23 B ．22 C ．21 D ．35 9．设三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面2==AC AB ,ο90=∠BAC ,231=AA ,且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 A ．π24 B ．π18 C ．π26D ．π1610．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，若nn n S a 2=+，*)(2212N n a a n n b n∈-=++，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n nb 1的前99项和为 A ．9897 B ．9998 C ．10099 D ．10110011．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤+=21,2181,log 2)(21x x x x f x ，若))(()(b a b f a f <=，则ab 的最小值为 A ．22B ．21 C ．42 D ．35 12．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ,交y 轴于点C ,交另一条渐近线于点A ,并且点C 位于点B A ,之间，已知O 为原点,且a OA 35=，则=FCFAA ．45 B ．34 C ．23 D ．25 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
【2020年数学高考】湖南省师大附中2020届高三月考试卷(七)数学理.doc
湖南师大附中2020届高三月考试卷(七)数 学(理科)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共10页．时量120分钟．满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知集合A ＝{}x |（x －1）2＋y 2＝1，x ∈R ，B ＝{}y |y ＝1－x 2，x ∈R ，则A ∩B ＝(B) (A)[]0，2 (B)[]0，1 (C)(－∞，0] (D)[1，＋∞) 【解析】A ＝[]0，2，B ＝(－∞，1]A ∩B ＝[]0，1.(2)已知复数z 满足(1－i)z ＝2i ，且z ＋ai(a ∈R )为实数，则a ＝(C) (A)1 (B)2 (C)－1 (D)－2【解析】由(1－i)z ＝2i ，解得z ＝－1＋i ，故z ＋ai ＝－1＋(a ＋1)i 为实数时，a ＝－1.(3)已知S n 为等差数列{}a n 的前n 项和，若a 7＝1，a 1－S 4＝9，则数列{}S n 中的最小项为(B) (A)S 1 (B)S 5，S 6 (C)S 4 (D)S 7【解析】令等差数列{}a n 的公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＋6d ＝1，a 1－4a 1－6d ＝9，解得a 1＝－5，d ＝1，有a n ＝n －6，S n ＝n （n －11）2，则当n ＝5或6时，S n 最小．(4)已知⎝⎛⎭⎫x －1x n的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，记展开式中系数最大的项为第k项，则k ＝(A)(A)5 (B)4 (C)4或5 (D)5或6【解析】⎝⎛⎭⎫x －1x n的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，∴n ＝2＋5＝7，第r ＋1项的系数为T r ＋1＝C r 7(－1)r，r ＝4时T r ＋1最大，故展开式中系数最大的项为第5项．(5)执行如右图所示的程序框图，若输入a ＝7，b ＝1，则输出S 的结果是(D) (A)16 (B)19 (C)34 (D)50【解析】第一次a ＝7，b ＝1，S ＝7， 第二次a ＝6，b ＝2，S ＝19，第三次a ＝5，b ＝3，S ＝34，第四次a ＝4，b ＝4，S ＝50后，程序结束．(6)从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任意取出两个数字作和，则使得和为偶数的概率值为(C)(A)13 (B)23 (C)49 (D)59【解析】p ＝C 24＋C 25C 29＝49. (7)为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象(C)(A)向左平移56π个长度单位 (B)向右平移56π个长度单位(C)向左平移512π个长度单位 (D)向右平移512π个长度单位【解析】∵y ＝sin 2x ＝f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2，∴f ⎝⎛⎭⎫x ＋512π＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (8)一个三棱锥的正视图和俯视图如右图所示，则该三棱锥的侧视图可能为(D)【解析】分析三视图可知，该几何体为如下图所示的三棱锥，其中平面ACD ⊥平面BCD.(9)已知A 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的左顶点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是△PF 1F 2的重心，若存在实数λ使得GA →＝λPF 1→，则双曲线的离心率为(A)(A)3 (B)2 (C)4 (D)与λ的取值有关【解析】由题意，PG ＝2GO ，GA ∥PF 1，∴2OA ＝AF 1，∴2a ＝c －a ，∴c ＝3a ，∴e ＝3.(10)已知对任意的x ∈(0，＋∞)，函数f(x)满足：0<f(x)<xf′(x)<2f(x)，则f （2）f （1）的取值范围是(A)(A)(2，4) (B)(1，2) (C)(0，1) (D)(0，2)【解析】令g(x)＝f （x ）x (x ∈(0，＋∞))，则g′(x)＝xf′（x ）－f （x ）x 2>0，于是g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故有g(2)>g(1)，即f （2）2>f （1）1，也就是f （2）f （1）>2；再令h(x)＝f （x ）x 2(x ∈(0，＋∞))，则h′(x)＝xf′（x ）－2f （x ）x 3<0，于是h(x)在(0，＋∞)上单调递减，故有h(2)<h(1)，即f （2）22<f （1）1，也就是f （2）f （1）<4.(11)已知平面上四点A 、B 、C 、D 满足||DA →＝||DB→＝1，DA →·DB →＝0，DB →·DC →＝λ，DC →·DA →＝－1－λ2，其中λ∈[]－1，1，则△ABC 面积的最大值为(C)(A)32 (B)1 (C)2＋12 (D)3＋12【解析】由已知条件可建立直角坐标系如图所示， D(0，0)，A(1，0)，B(0，1)，令∠BDC ＝θ， 则∠ADC ＝270°－θ或90°－θ，有⎩⎨⎧λ2＝（DB →·DC →）2＝||DC →2cos 2θ，1－λ2＝（DC →·DA →）2＝||DC→2sin 2θ， 故有||DC →＝1，又因为DC →·DA →＝－1－λ2<0，故点C 在以D 为圆心，1为半径的左半圆上，从而，当点C 在优弧AB 上且该处圆的切线与AB 平行时，△ABC 面积取到最大值，此最大值为2＋12.(12)已知只有50项的数列{}a n 满足下列三个条件： ①a i ∈{}－1，0，1，i ＝1，2，…，50； ②a 1＋a 2＋…＋a 50＝9；③101≤(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2≤111.对所有满足上述条件的数列{}a n ，a 21＋a 22＋…＋a 250共有k 个两两不同的值，则k ＝(C) (A)10 (B)11 (C)6 (D)7【解析】设a 1，a 2，…，a 50中有s 项取值0，由条件(2)知，取值1的项数为50－s －92＋9，取值－1的项数为50－s －92，再由条件③得101≤s ＋4⎝⎛⎭⎫50－s －92＋9≤111，解得7≤s ≤17，又易知s 必为奇数，故s ＝7，9，11，13，15，17.它们对应6个不同的值a 21＋a 22＋…＋a 250＝50－s.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分．(13)计算sin 20°cos 10°－cos 160°sin 370°＝__12__．(14)将1，2，3，4，5这五个数字任意排成一排即成一个五位数，若该五位数为偶数且2与3相邻，则这样的五位数的个数为__18__．【解析】第1类，个位数为2，有A 33＝6个；第2类，个位数为4，有A 22A 33＝12个．(15)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≤1，x －y －1≤0，x ＋y －1≥0，则x 2＋2y 2的取值范围是__⎣⎡⎦⎤23，6__．【解析】作出可行域为以A(1，0)，B(2，1)，C(0，1)为顶点的△ABC 的边界及内部．对任意固定的y ∈[]0，1，下面分别求x 2＋2y 2的最小值与最大值：x 2＋2y 2≥(1－y)2＋2y 2＝3⎝⎛⎭⎫y －132＋23≥23，x 2＋2y 2≤(1＋y)2＋2y 2＝3y 2＋2y ＋1≤6.(16)若存在x 0∈(0，1)，使得(3－x 0)eax 0≥3＋x 0(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的取值范围是__⎝⎛⎭⎫23，＋∞__. 【解析】∵存在x 0∈(0，1)，使得(3－x 0)eax 0≥3＋x 0，即ax 0－ln(3＋x 0)＋ln(3－x 0)≥0. 令f(x)＝ax －ln(3＋x)＋ln(3－x)(x ∈(0，1))，由于f(0)＝0，f ′(x)＝a －69－x 2，69－x 2∈⎝⎛⎭⎫23，34， 若a ≤23，则f′(x)≤0，f(x)递减，有f(x)<f(0)＝0，不合题意；若a ≥34，则f′(x)≥0，f(x)递增，有f(x)>f(0)＝0，符合题意；若23<a<34，则存在t ∈(0，1)，使得f′(t)＝0，又f′(x)在(0，1)上单调递减，故存在x ∈(0，t)，使得f ′(x)>0，即f(x)在(0，t)上递增，有f(x)>f(0)＝0，符合题意．综上，a ∈⎝⎛⎭⎫23，＋∞. 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且a n －2S n ＝1. (Ⅰ)求数列{}a n 的通项公式；(Ⅱ)设b n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n 2＋2n ＋1n （n ＋1）·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解析】(Ⅰ)a n －2S n ＝1中令n ＝1得a 1＝－1，由a n －2S n ＝1可得，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝a n ＋1－12－a n －12，整理得a n ＋1＝－a n ，所以{}a n 是首项为－1，公比为－1的等比数列，故a n ＝()－1n.(5分)(Ⅱ)由题意，b n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n 2＋2n ＋1n （n ＋1）·()－1n＝(－1)n ·n 2＋(－1)n ·2n ＋1n （n ＋1） ＝(－1)n ·n 2＋(－1)n ·⎣⎡⎦⎤1n ＋1（n ＋1）.当n 为偶数时，T n ＝()－1＋22－32＋42－…－（n －1）2＋n 2－⎝⎛⎭⎫11＋12＋⎝⎛⎭⎫12＋13－…－⎝⎛⎭⎫1n －1＋1n ＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1n ＋1＝()1＋2＋3＋…＋n －1＋1n ＋1＝n （n ＋1）2－n n ＋1；(9分)当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋b n ＝n （n －1）2－n －1n －n 2－⎝⎛⎭⎫1n ＋1n ＋1＝－n （n ＋1）2－n ＋2n ＋1，综上所述，T n＝⎩⎪⎨⎪⎧n （n ＋1）2－nn ＋1，n 为偶数，－n （n ＋1）2－n ＋2n ＋1，n 为奇数.(12分)(18)(本小题满分12分)如图(1)，在边长为2的正方形ABCD 中，E 是边AB 的中点．将△ADE 沿DE 折起，如图(2)，F 是折叠后AC 的中点．(Ⅰ)求证：BF ∥平面ADE ；(Ⅱ)若平面ADE ⊥平面BCDE ，求BF 与平面ABD 所成角的正弦值．【解析】(Ⅰ)取AD 中点G ，连结EG ，FG ，∵F 为AC 中点， ∴FG 綊12CD ，BE 綊12CD∴FG 綊BE ，从而四边形EBFG 是平行四边形．(3分) ∴BF ∥EG ，又BF 平面ADE ，EG 平面ADE ， ∴BF ∥平面ADE.(5分)(Ⅱ) 如图所示以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系，在图(1)中作AH ⊥DE 于H ，易求得EH ＝15，AH ＝25，作HN ⊥AE 于N ，HM ⊥BC 于M ，则HN ＝25，HM ＝65，所以A ⎝⎛⎭⎫25，65，25.(7分)而B(0，0，0)，D(2，2，0)，则BA →＝⎝⎛⎭⎫25，65，25，BD →＝(2，2，0)．设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA →＝0，n ·BD →＝0⎩⎪⎨⎪⎧25x ＋65y ＋25z ＝0，2x ＋2y ＝0，解得一个法向量为n ＝(－5，5，－2)．(9分)又C(2，0，0)，∴F ⎝⎛⎭⎫65，35，15，∴BF →＝⎝⎛⎭⎫65，35，15，∵cos 〈n ，BF →〉＝n ·BF →||n ·||BF→＝－3514.∴BF 与平面ABD 所成角的正弦值为3514.(12分)(19)(本小题满分12分)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次，在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分，没有投进得0分；如果前两次得分之和超过3分，即停止投篮，否则投三次，且假设所有人在A 处的命中率为14，在B 处的命中率为q ⎝⎛⎭⎫14<q<1.已知同学甲选择只在B 处投球．(Ⅰ)若q ＝35，求同学甲最终得分的分布列与期望；(Ⅱ)若同学乙选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，试判断甲、乙两位同学，哪位同学最终得分超过3分的概率更大一些？并说明理由．【解析】(Ⅰ)用X 表示同学甲投篮结束后所得的总分，则X 的可能取值为0，2，4，则P(X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫253＝8125，P(X ＝2)＝C 13×⎝⎛⎭⎫252×35＝36125，P(X ＝4)＝⎝⎛⎭⎫352＋2×⎝⎛⎭⎫352×25＝81125，随机变量X数学期望为：E(X)＝0×8125＋2×36125＋4×81125＝396125.(6分)(Ⅱ)设在A 处投中为事件A ，在B 处投中为事件B ，则事件A 、B 相互独立，记同学甲最终得分超过3分为事件C ，则P(C)＝P(BB)＋P(B B －B)＋P(B －BB)＝q 2(3－2q)，记同学乙最终得分超过3分为事件D ，则P(D)＝P(AB)＋P(A －BB)＋P(A B －B)＝14q ＋34q 2＋14q(1－q)＝12q(1＋q)，而P(C)－P(D)＝－2q 3＋52q 2－12q ＝－12q(4q －1)(q －1)>0，故同学甲最终得分超过3分的概率更大一些．(12分) (20)(本小题满分12分)设x ，y ∈R ，向量i ，j 分别为平面直角坐标内x ，y 轴正方向上的单位向量，若向量a ＝(x ＋1)i ＋y j ，b ＝(x －1)i ＋y j ，且|a |＋|b |＝4.(Ⅰ)求点M(x ，y)的轨迹C 的方程；(Ⅱ)记轨迹C 与x 轴的左、右交点分别为A ，B ，点S 是C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：x ＝－4分别交于M ，N 两点，当线段MN 的长度最小时，在轨迹C 上是否存在点T 使得△TSA 的面积为14？若存在，确定点T 的个数；若不存在，说明理由．【解析】(Ⅰ)∵a ＝(x ＋1)i ＋y j ，b ＝(x －1)i ＋y j ，且|a |＋|b |＝4.∴（x ＋1）2＋y 2＋（x －1）2＋y 2＝4，即点M(x ，y)到两个定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)的距离之和为4.(2分) ∴ 点M 的轨迹C 是以F 1、F 2为焦点的椭圆，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，则：a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3，故所求轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(Ⅱ)易知A ，B 的坐标为A(－2，0)，B(2，0)，直线AS 的斜率k 显然存在，且k>0, 故可设直线AS 的方程为y ＝k(x ＋2)，从而M(－4，－2k)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，设S(x 1，y 1)，则(－2)x 1＝16k 2－123＋4k 2，得x 1＝6－8k 23＋4k 2，从而y 1＝12k 3＋4k 2，即S ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k 2，12k 3＋4k 2. 又B(2，0)，故直线BS 的方程为y ＝－34k(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－34k （x －2），x ＝－4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝92k，所以N ⎝⎛⎭⎫－4，92k . 故||MN ＝⎪⎪⎪⎪－2k －92k ＝2k ＋92k ≥22k·92k＝6， 当且仅当2k ＝92k 时，即k ＝32时等号成立，所以k ＝32时，线段MN 的长度取最小值6.(8分)此时直线AS 的方程为3x －2y ＋6＝0，S ⎝⎛⎭⎫－1，32， 所以||AS ＝132，要使△TSA 的面积为14，只需点T 到直线AS 的距离等于1313，所以点T 在平行于AS 且与AS 距离等于1313的直线l′上，①当t ＝7时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 4＋y 3＝1，3x －2y ＋7＝0得12x 2＋42x ＋37＝0，由于Δ＝－12<0，故直线l′与椭圆C 无交点； ②当t ＝5时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，3x －2y ＋5＝0得12x 2＋30x ＋13＝0，由于Δ＝276>0，故直线l′与椭圆C 有两个交点， 综上所求点T 的个数是2个．(12分) (21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a ＋sin xe x，a ∈R ，e 为自然对数的底数．(Ⅰ)若函数f(x)存在单调递增区间，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)若a ＝0，试讨论方程f(x)＝cos x x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上解的个数；(Ⅲ)证明：对任意的a ≥0，x ∈[]－1，1，恒有e 1－3x >2f ′(x)成立．【解析】(Ⅰ)由已知得f′(x)＝cos x －a －sin xe x，因为函数f(x)存在单调递增区间，所以f′(x)>0有解． 即cos x －a －sin x>0有解，所以a<()cos x －sin x max，又cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，所以a< 2.(4分)(Ⅱ)由题意，只需讨论g(x)＝e x cos x －xsin x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上的零点个数，而g′(x)＝e x cos x －e x sin x －sin x －xcos x ＝e x (cos x －sin x)－(sin x ＋xcos x)，因为x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以cos x －sin x ≤0，sin x ＋xcos x>0，所以g′(x)<0，故g(x)在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递减，而g ⎝⎛⎭⎫π4＝22⎝⎛⎭⎫e π4－π4，令h(x)＝e x －x －1，则h′(x)＝e x －1，由h′(x)<0得x<0，所以h(x)在(－∞，0)单调递减，由h′(x)>0得x>0，所以h(x)在(0，＋∞)单调递增，故h(x)≥h(0)＝0，从而e x ≥x＋1>x.于是g ⎝⎛⎭⎫π4＝22⎝⎛⎭⎫e π4－π4>0， 而g ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2<0，且函数g(x)的图象在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是连续不断的，因此，函数g(x)在⎣⎡⎦⎤π4，π2上有且只有一个零点．(8分)(Ⅲ)由于f′(x)＝cos x －a －sin x ex，即证：e 1－2x ＋2sin x －2cos x ＋2a>0对a ≥0，x ∈[]－1，1成立， 只需证：e 1－2x ＋22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4>0对x ∈[]－1，1恒成立，由(Ⅱ)可知，e x ≥x ＋1，所以有：e 1－2x ≥2－2x(当且仅当x ＝12时取等) ①只需证：2－2x ＋22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≥0对x ∈[]－1，1恒成立，令函数φ(x)＝2－2x ＋22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈[]－1，1，则φ′(x)＝－2＋22cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝22⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－22， 当x ∈[]0，1时，x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，1－π4，φ′(x)≥0，即φ(x)在[]0，1上是增函数，当x ∈[)－1，0时，x －π4∈⎣⎡⎭⎫－1－π4，－π4，φ′(x)<0，即φ(x)在x ∈[)－1，0上是减函数，所以，在[]－1，1上，φ()x ≥φ()0＝0，所以φ()x ≥0.所以2－2x ＋22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≥0(当且仅当x ＝0时取等) ②因为①②不能同时取等号，所以：e 1－2x ＋22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4>0对x ∈[]－1，1恒成立，所以对任意的a ≥0，x ∈[]－1，1，恒有e 1－3x >2f ′(x)成立．(12分)请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． (22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋acos β，y ＝asin β(a>0，β为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝32.(Ⅰ)若曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为1，求实数a 的值；(Ⅱ)若A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求△OAB 的周长的最大值．【解析】(Ⅰ)曲线C 是以()a ，0为圆心，以a 为半径的圆； 直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0.(2分)若曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为1，则有||a －32＝a ＋1，解得：a ＝13.故所求实数a 的值为13.(5分)(Ⅱ)由题意，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2acos θ，θ∈⎣⎡⎭⎫－π2，π2，设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3，则：||OA ＝||2acos θ，||OB ＝⎪⎪⎪⎪2acos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，由正弦定理得：||AB sin π3＝2a ，所以||AB ＝3a ，所以△ABO 的周长为C △ABO ＝||OA ＋||OB ＋||AB ＝a ⎣⎡⎦⎤3＋2||cos θ＋2⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，而cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＋cos θ＝－32sin θ＋32cos θ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3≤3，所以当θ＝－π6时，cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＋cos θ取得最大值 3.所以△OAB 的周长的最大值为33a.(10分) (23)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数f(x)＝|2x －1|，x ∈R . (Ⅰ)解不等式f(x)＋f(x ＋1)≤2；(Ⅱ)已知不等式f(x)≤f(x ＋2)－||x －a 的解集为M ，若⎝⎛⎭⎫12，1M ，求实数a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)原不等式等价于||2x －1＋||2x ＋1≤2，而||2x －1＋||2x ＋1≥2当且仅当()2x －1(2x ＋1)≤0时取等，即－12≤x ≤12，故不等式的解集为⎣⎡⎦⎤－12，12.(5分) (Ⅱ)因为⎝⎛⎭⎫12，1M ，则当x ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，f(x)≤f(x ＋2)－||x －a 恒成立， 等价于||2x －1－||2x ＋3＋||x －a ≤0在x ∈⎝⎛⎭⎫12，1恒成立，即||x －a ≤4在x ∈⎝⎛⎭⎫12，1恒成立，即x －4≤a ≤x ＋4在x ∈⎝⎛⎭⎫12，1恒成立， 所以()x －4max ≤a ≤()x ＋4min，故所求a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－3，92. (10分)。
湖南师范大学附属中学2020届高三5月模拟考试数学(理)试题(解析)
3 2
z
0
，取
y
1
，得
m
(0
，1， 1)
，
设直线 PC 与平面 AEC 所成角为 ，
理科数学参考答案及解析 第 4页，总 9页
则直线 PC 与平面 AEC 所成角的正弦值为：
sin | |PPCC||mm| |
3 13
3 26 ． 2 26
（Ⅲ）假设在线段 PB 上（不含端点）存在一点 M ，使得二面角 M AC E 的余弦值为 10 ， 10
P(0 ，0， 3) ， C(2 ，0， 0) ， A(0 ，0， 0) ， D(2 ， 3 ， 0) ， E(1， 3 ， 3) ，
22
AE
(1,
3
,
3
)
，
AC
(2
，0，
0)
，
PC
(2
，0，
3)
，
22
设平面 AEC 的法向量 m (x ， y ， z) ，
则
AEm ACm
x 2x
3y 2 0
设 M (a ， b ， c) ， PM PB ， B(0 ，3， 0) ，则 (a ， b ， c 3) (0 ，3， 3) ，
解得 a 0 ， b 3 ， c 3 3 ， M (0 ， 3 ， 3 3) ，
AC (2 ，0， 0) ， AM (0 ， 3 ， 3 3) ，
2 ,得
p
1 3
所以 ak1 3a(2)k1, ak2 3a(2)k ,所以 dk ak1 ak2 9a (2)k1 .
18、解：（Ⅰ）证明：连接 BD 交 AC 于点 O ，并连接 EO ， 四边形 ABCD 为平行四边形， O 为 BD 的中点， 又 E 为 PD 的中点，
2020年4月湖南省六校联考(师大附中长沙一中等)2020届高三高考模拟联考数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前湖南省六校联考(湖南师大附中 长沙市一中 岳阳市一中 株洲市二中 湘潭市一中 常德市一中)2020届高三毕业班下学期高考模拟联考数学(理)试题(解析版)2020年4月考生注意：1.本试卷分第Ι卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.时量120分钟，满分150分.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回.第Ι卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}12x A y y -==，}4{0|2x B x x -=≤+，则A B =（ ） A. ()0,4B. ∅C. ()2,-+∞D. [)2,-+∞【答案】C【解析】【分析】 根据指数型函数的值域化简集合A ，求解不等式化简集合B ，按并集的定义即可求解. 【详解】{}12(0,)x A y y -===+∞，]402{|}(2,4x B x x ≤=+--=， (2,)A B ∴=-+∞.故选：C.【点睛】本题考查集合间的运算，掌握指数函数性质是解题的关键，属于基础题.2. 若复数z 满足211z i i i ⋅=++（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点在（ ）A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限 【答案】D【解析】【分析】根据复数乘法、除法的运算法则，求出z ，得到z 对应的点的坐标，即可得出结论. 【详解】(12)(1)1321,31z i i i i i z i i i i ⋅++-+=+∴===++， 复数z 在复平面内对应的点坐标为(3,1)，在第一象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的代数运算以及几何意义，属于基础题.3. 已知条件1:p k =，条件:q 直线1y kx =+与圆2212x y +=相切，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先求出直线1y kx =+与圆2212x y +=相切时k 的值，再由充分必要条件的定义判定，即可得出结论.【详解】设圆心(0,0)O 到直线1y kx =+距离为d ，。
2020年湖南师大附中高考数学模拟试卷(理科)(二)(5月份)(有答案解析)
∴n=
；
故选：A．
6.答案：B
解析：【分析】 本题考查空间几何体的三视图的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，为 中档题． 画出三视图表示的几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可． 【解答】
解：由题意可知几何体的形状如图：是长方体中截出的棱锥（底面是梯形，高为 ，底面边长 1，上
（2）根据（1）的判断结果及表 1 中的数据，建立 y 关于 x 的回归方程，并预测活动推出第 8
天使用扫码支付的人次；
（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下
表 2：
支付方式
现金
乘车卡
扫码
比例
10%
60%
30%
车队为缓解周边居民出行压力，以 80 万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆
A. ，
B. ，-
C. ，
D. - ，
11. 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，|AB|=|AD|= ，|AA1|=1，而对角 线 A1B 上存在一点 P，使得|AP|+|D1P|取得最小值，则此最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 1+ D.
12. 已知 a＞0，函数 f（x）=ex-a-ln（x+a）-1（x＞0）的最小值为 0，则实数 a 的取值范围是（ ）
2020年湖南师范大学附属中学理科综合高考模拟试卷(含答案)
！ 功 成 到 马 考 高 您 祝
！ 功 成 到 马 考 高 您 祝
！ 功 成 到 马 考 高 您 祝
！ 功 成 到 马 考 高 您 祝
！ 功 成 到 马 考 高 您 祝
！ 功 成 到 马 考 高 您 祝
！ 功 成 到 马 考 高 您 祝
！ 功 成 到 马 考 高 您 祝
！ 功 成 到 马 考 高 您 祝
！ 功 成 到 马 考 高 您 祝
！ 功 成 到 马 考 高 您 祝
！ 功 成 到 马 考 高 您 祝
！ 功 成 到 马 考 高 您 祝
！ 功 成 到 马 考 高 您 祝
！ 功 成 到 马 考 高 您 祝
！ 功 成 到 马 考 高 您 祝
！ 功 成 到 马 考 高 您 祝
！ 功 成 到 马 考 高 您 祝
！ 功 成 到 马 考 高 您 祝
！ 功 成 到 马 考 高 您 祝
！ 功 成 到 马 考 高 您 祝
！ 功 成 到 马 考 高 您 祝
！ 功 成 到 马 考 高 您 祝
！ 功您 祝
！ 功 成 到 马 考 高 您 祝
！ 功 成 到 马 考 高 您 祝
！ 功 成 到 马 考 高 您 祝
！ 功 成 到 马 考 高 您 祝
湖南省湖南师范大学附属中学2020届高三数学月考试题(一)理(PDF)
! " , - , - 5+!#"0678 #!"# &FT#+!#"_`a
& (%
b]cdU&_`a
& %#
b]cde&5f#0
%
g&+!#"hDi/j&L
#
!
(
%,0#&
59
%
!"#0
#
:#-&-)&L$#%(&
50#:*-&-)&L$#%(&5k-0$&D0#!RI ,1
" #"$/./"#0
" #
$/.1: " #$/."
#
! " ! " 0
" #
"$/.1"#:$/.1$/.": " &"$/.""#
0
" #
&:#9&9
" #
:
" &
9"(
0(!RI .!
+!-!$-.%oV&_$"1" brh6l3&sl3 tuv45 w6\Zx&y;21 tZx zZ{&GH|
#'#!('%$&
! " "(!%&'#槡# !$-.%S'?36"0*!":?36$"CD&$0#"!Fµ1$"2 *&$:":20&L$#$&"&2#
2020届湖南师大附中高三摸底考试数学(理)试题(带答案解析)
2020届湖南师大附中高三摸底考试数学(理)试题1．设集合{}|20190M x x =+>，{}2|3N x x =>，则M N =I （ ）A ．19|20x x ⎧-<<⎨⎩ B ．{|x x >C ．19|20x x ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭ D ．{|x x < 2．满足条件|4|2||z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 3．已知()0,1x ∈，令log 5x a =，cos b x =，3x c =，那么a b c ，，之间的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b << 4．给出关于双曲线的三个命题： ①双曲线22194y x -=的渐近线方程是23y x =±； ②若点()2,3在焦距为4的双曲线22221x y a b-=上，则此双曲线的离心率2e =； ③若点F 、B 分别是双曲线22221x y a b-=的一个焦点和虚轴的一个端点，则线段FB 的中点一定不在此双曲线的渐近线上.其中正确的命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是（ ）A ．()()44||x x f x x -=+ B ．()4()44log ||x x f x x -=- C ．()14()44log ||x x f x x -=+ D ．()4()44log ||x x f x x -=+6．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种 B ．60种 C ．100种 D ．120种7．已知向量a r ，b r 满足||a =r ||1b =r ，且||b a -=r r a r 与b r 的夹角的余弦值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，给出的是求1111 (24636)++++的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（ ）A ．18?i >B ．18?i <C ．19?i >D ．19?i < 9．非负实数x 、y 满足ln （x ＋y －1）≤0，则关于x －y 的最大值和最小值分别为 A ．2和1 B ．2和－1 C ．1和－1 D ．2和－210．如图所示，在著名的汉诺塔问题中有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从根针上全部移到另一根针上：①每次只能移动一个金属片；②在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为()f n ，则()6f =（ ）A ．61B ．33C ．63D ．6511．已知函数()|cos |(0)f x x x =…的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为θ，则()221sin 2θθθ=+（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．212．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作平面α，使每条棱在平面α的正投影的长度都相等，则这样的平面α可以作（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．函数()e 22019x f x x =-+在()()0,0f 处的切线方程是_______.14．数列{}n a 是各项为正且单调递增的等比数列，前n 项和为n S ，353a 是2a 与4a 的等差中项，5484S =，则3a =_____.15．点M 是抛物线2:2(0)C x py p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物线C 上.在FPM V 中，sin sin PFM PMF λ∠=∠，则λ的最大值为__________.16．甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数1a ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把1a 乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把1a 除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数2a ，对实数2a 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数3a ，当31a a >时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为34，则1a 的取值范围是____．17．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos (2)cos a B c b A =-.（1）求角A 的大小；（2）若6a =，求ABC ∆面积的最大值.18．如图在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，AB ∥CD ，2224AB AD CD PC ====，，E 为线段PB 上一点.（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若点E 满足13BE BP =，求二面角P AC E --的余弦值. 19．某学校为了了解全校学生“体能达标”的情况，从全校1000名学生中随机选出40名学生，参加“体能达标”预测，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为“合格”若该校“不合格”的人数不超过总人数的5%，则全校“体能达标”为“合格”；否则该校“体能达标”为“不合格”，需要重新对全校学生加强训练现将这40名学生随机分为甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组有16名学生经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下：甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6（题中所有数据的最后结果都精确到整数）.（1）求这40名学生测试成绩的平均分x 和标准差s ；（2）假设该校学生的“体能达标”预测服从正态分布()2,N μσ用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ.利用估计值估计：该校学生“体能达标”预测是否“合格”？附：①n 个数12,,,n x x x L 的平均数11ni i x x n ==∑，方差(22221111)n n i i i i s x x x nx n n ==⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∑∑； ②若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=.20．已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>()2,1P -是1C 上一点． （1）求椭圆1C 的方程；（2）设A B Q 、、是P 分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB 的直线l 交1C 于异于P Q 、的两点C D 、．点C 关于原点的对称点为E ．证明：直线PD PE 、与y 轴围成的三角形是等腰三角形．21．已知函数()1e cos x f x x -=+.（1）求()f x 的单调区间；（2）若12,(,)x x π∈-+∞，12x x ≠，且()()1212e e 4x x f x f x +=，证明：120x x +<.22．选修4-4：坐标系与参数方程: 在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程为,x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为242,131013x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），点P 的坐标为()2,0-．（1）若点Q 在曲线C 上运动，点M 在线段PQ 上运动，且2PM MQ =u u u u v u u u u v ，求动点M 的轨迹方程．（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB ⋅的值．23．（1）已知,,+∈a b c R ，且1a b c ++=，证明：1119a b c++…； （2）已知,,+∈a b c R ，且1abc =，证明：111a b c++参考答案1．B【解析】【分析】求出M 和N ，然后直接求解即可【详解】19|20M x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭Q ，{|N x x =< x >，{|M N x x ∴⋂=>，故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属于简单题2．B【解析】【分析】设复数z x yi =+，然后代入|4|2||z i z i +=+，得2222(4)44(1)x y x y ++=++，化简即可得答案【详解】设复数z x yi =+，则：|4||(4)|z i x y i +=++=|||(1)|z i x y i +=++=，结合题意有：2222(4)44(1)x y x y ++=++，整理可得：224x y +=.即复数z 对应点的轨迹是圆.故选：B.【点睛】本题考查复数的模的运算，属于简单题3．A【解析】【分析】因为(0,1)x ∈，所以log 50x a =<，因为y cosx =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以，cos cos1cos 02b π<<<，所以01b << 因为函数3x y =在(0,1)上单调递增，所以0333x <<，即13c <<，比较大小即可求解 【详解】因为()0,1x ∈，所以0a <.因为12π>，所以01b <<， 因为()0,1x ∈，所以13c <<，所以a b c <<，故选：A.【点睛】本题考查指数函数，对数函数和三角函数的单调性，以及利用单调性判断大小的题目，属于简单题4．C【解析】 对于①：双曲线22194y x -=的渐近线方程是32y x =±，故①错误； 对于②：双曲线的焦点为()()2,0,2,0-，2|2,1a a ===，从而离心率2c e a==，所以②正确；对于③：()(),0,0,,F c B b FB ±±的中点坐标,22c b ⎛⎫±± ⎪⎝⎭均不满足渐近线方程，所以③正确； 故选C.5．D【解析】【分析】 结合图像，利用特值法和函数的奇偶性，即可求解【详解】A 项,(0)0f =,与所给函数图象不相符，故A 项不符合题意B 项，4()(44)log ||()x x f x x f x --=-=-，()f x 为奇函数，与所给函数图象不相符，故B项不符合题意C 项，4414(2)(22)log 20f -=+<，与所给函数图象不符.故C 项不符合题意 综上所述,A 、B 、C 项均不符合题意,只有D 项符合题意，故选：D.【点睛】本题主要考查函数的概念与性质，属于简单题6．B【解析】根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有种情况，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有种情况， 则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有=60种.故选B ．7．C【解析】【分析】 先由向量模的计算公式，根据题中数据，求出12a b ⋅=r r ，再由向量夹角公式，即可得出结果. 【详解】因为向量a r ，b r 满足||a =r ||1b =r ，且||b a -=r r所以2||2-=r r b a ，即2222+-⋅=r r r r b a a b ，因此12a b ⋅=r r ，所以cos ,4⋅<>===r r r r r r a b a b a b . 故选：C【点睛】本题主要考查由向量的模求向量夹角余弦值，熟记向量夹角公式，以及模的计算公式即可，属于常考题型.8．D【解析】【分析】 由已知中程序的功能是计算111124636+++⋯+的值，根据已知中的程序框图，我们易分析出 进行循环体的条件，进而得到答案．【详解】 模拟程序的运行，可知程序的功能是计算111124636+++⋯+的值， 即36n …，19i <时，进入循环，当19i =时，退出循环，则判断框内填入的条件是19i <．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，解答本题的关键是根据程序的功能判断出最后一次进入循环的条件，属于基础题．9．D【解析】【分析】【详解】试题分析：依题意有，作出可行域，如下图所示：设x y z -=，则有y x z =-，平移y x z =-，当直线y x z =-经过点(0,2)A 时，z 有最小值，其值为2-，当直线y x z =-经过点(2,0)B 时，z 有最大值，其值为2， 因此 x －y 的最大值和最小值分别为2和－2， 故选：D.考点： 简单的线性规划问题． 10．C 【解析】 【分析】根据题意，求出(1)1f =，同理，求出(2)21+1=3f =⨯，(3)22+1=5f =⨯，(4)25+1=11f =⨯，推导出(1) 2 ()1f n f n +=+【详解】由题设可得(1)1f = 求出(2)21+1=3f =⨯，(3)22+1=5f =⨯，(4)25+1=11f =⨯，推导出(1) 2 ()1f n f n +=+， 所以()663f =. 故选：C 【点睛】本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题，根据题目信息，得出移动次数分成两段计数是解题的关键． 11．B 【解析】 【分析】依题意，设直线为y kx =，则直线y kx =与(0)y cosx x =…切于3(,2)2ππ上的一点,求出切点坐标为(,cos )θθ，然后利用切线方程，即可求出θ，进而得到22(1)sin 2θθθ+的值【详解】Q 函数()|cos |(0)f x x x =…的图象与过原点的直线恰有四个交点，∴直线与函数()|cos |(0)f x x x =…在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象相切，在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上， ()f x 的解析式()cos f x x =，故由题意切点坐标为(,cos )θθ.∴切线斜率0sin sin x k y x θ==-=-'=，∴由点斜式得切线方程为：cos sin ()y x θθθ-=--，即sin sin cos y x θθθθ=-++Q 直线过原点，sin cos 0θθθ∴+=，得1tan θθ=-， ()221222tan tan 1sin 11sin 2212sin cos cos tan θθθθθθθθθθ--∴===-⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的图像问题，难点在于利用切线方程求出θ的值，属于中档题 12．D 【解析】 【分析】每条棱在平面α的正投影的长度都相等，等价于每条棱所在直线与平面α所成角都相等，从而棱AB ，AD ，1AA 所在直线与平面α所成的角都相等，三棱锥1A A BD -是正三棱锥,直线AB ，AD ，1AA 与平面1A BD 所成角都相等，过顶点A 作平面αP 平面1A BD ，由此能求出这样的平面α的个数. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，每条棱在平面α的正投影的长度都相等⇔每条棱所在直线与平面α所成的角都相等⇔棱1AB AD AA 、、所在直线与平面α所成的角都相等，易知三棱锥1A A BD -是正三棱锥，直线1AB AD AA 、、与平面1A BD 所成的角都相等.过顶点A 作平面αP 平面1A BD ，则直线1AB AD AA 、、与平面α所成的角都相等.同理，过顶点A 分别作平面α与平面1C BD 、平面1B AC 、平面1D AC 平行，直线1AB AD AA 、、与平面α所成的角都相等.所以这样的平面α可以作4个， 故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中关于线面关系和面面关系的相关概念，属于简单题 13．2020y x =-+ 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到(0)f '，再求出(0)f ，然后列出利用切线方程可得答案. 【详解】求导函数可得()2xf x e =-，当0x =时，0(0)21f e '=-=-，0(0)020192020f e =-+=Q ，切点为()0,2020，∴曲线()22019x f x e x =-+在点()()0,0f 处的切线方程是2020y x -=-，故答案为：2020y x =-+. 【点睛】本题考查切线方程问题，属于简单题 14．36 【解析】 【分析】由题意可得：1q >，由353a 是2a 与4a 的等差中项，5484S =，可得324523a a a ⨯=+即 523111(1)(),4841a q a q a q q q-=+=-，联立解得:1a ，q ，再利用通项公式即可得出答案【详解】由题意得()2311151510314841a q a q a q a q S q ⎧⋅=⋅+⎪⎪⎨-⎪==⎪-⎩，解得3q =，14a =，23136a a q ∴=⋅=. 故答案为：36 【点睛】本题考查差比混合问题，设方程求解即可，属于简单题 15【解析】 【分析】由正弦定理求得||||PM PF λ=，根据抛物线的定义，得1||||PB PM λ=,即1sin αλ=，则λ取得最大值时，sin α最小，此时直线PM 与抛物线相切，将直线方程代入抛物线方程，由0∆=求得k 的值，即可求得λ的最大值 【详解】如图，过P 点作准线的垂线，垂足为B ，则由抛物线的定义可得||||PF PB =， 由sin sin PFM PMF λ∠=∠，在PFM △中正弦定理可知：||||F PM P λ=， 所以||||PM PB λ=，所以1||||PB PM λ=， 设PM 的倾斜角为α，则1sin αλ=，当λ取得最大值时，sin α最小，此时直线PM 与抛物线相切，设直线PM 的方程为2p y kx =-，则222x py p y kx ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，即2220x pkx p -+=， 所以222440p k p ∆=-=， 所以1k =±，即tan 1α=±，则sin 2α=， 则λ得最大值为1sin α=【点睛】本题属于综合题，难度较大，难点（1）利用sin sin PFM PMF λ∠=∠，通过正弦定理转化为||||F PM P λ=；难点（2）设PM 的倾斜角为α，则1sin αλ=，通过λ取得最大值时，sin α最小，得出PM 与抛物线相切，本题属于难题 16．(,6][12,)-∞⋃+∞ 【解析】 【分析】由题意可知，进行两次操作后，得出3a 的所有可能情况，根据甲胜的概率，列出相应的不等式组，即可求解. 【详解】由题意可知，进行两次操作后，可得如下情况：当3112(26)6418a a a =--=-，其出现的概率为211()24=， 当3111(26)632a a a =-+=+，其出现的概率为211()24=， 当1312(6)662a a a =+-=+，其出现的概率为211()24=，当1132(6)6924a a a =++=+其出现的概率为211()24=，∵甲获胜的概率为34，即31a a >的概率为34， 则满足111111114184189944a a a a a a a a -≤->⎧⎧⎪⎪⎨⎨+>+≤⎪⎪⎩⎩或整理得11612a a ≤≥或.【点睛】本题主要考查了概率的综合应用，以及数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，明确题意，得出3a 的所有可能情况，再根据甲胜的概率，列出相应的不等式组求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 17．（1）3π；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简边角关系式，结合两角和差正弦公式和三角形内角和的特点可求得1cos 2A =，根据A 的范围求得结果；（2）利用余弦定理构造等式，利用基本不等式可求得bc 的最大值，代入三角形面积公式即可求得结果.【详解】（1）由正弦定理得：()2sin sin cos sin cos C B A A B -=， 即：()2sin cos sin cos cos sin sin C A A B A B A B =+=+，A B C π++=Q ()sin sin 0A B C ∴+=≠ 1cos 2A ∴=()0,A π∈Q 3A π∴=（2）由（1）知：1sin 2ABC S bc A ==V 由余弦定理得：2221236cos 222b c a bc A bc bc+--==≥（当且仅当b c =时等号成立） ∴036bc ∴<≤（当且仅当b c =时等号成立）ABC S ∆∴的最大值为：364⨯=【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、两角和差正弦公式的应用、余弦定理和三角形面积公式的应用、利用基本不等式求最值的问题，属于常考题型. 18．（1）见解析（2）3【解析】 【分析】(1)由已知条件分别证明AC BC ⊥、PC AC ⊥，由此可证得AC ⊥平面PBC ，进而可证EAC PBC ⊥平面平面(2)以C 为原点，取AB 的中点H ，CH u u u r ，CD uuu r ，CP u u u r分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，由13BE BP =，求得224,,333E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，进而求得平面ACE 的一个法向量为()1,1,1n =--r，平面PAC 的一个法向量为(1,1,0)CB =-u u u r ，设二面角P AC E --的平面角为θ，根据||cos |cos ,|||||n CB n CB n CB θ⋅=〈〉=⋅u u u r r u u u r ru u u r r求解即可 【详解】（1）如图，由题意，得AC BC ==2AB =，BC AC ∴⊥.PC ⊥Q 底面ABCD ，PC AC ∴⊥，又PC BC C =Q I ，AC ∴⊥平面PBC ，AC ⊂Q 平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC .（2）如图，以C 为原点，取AB 中点M ，以CM CD CP ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，则()()()1,1,0,0,0,4,1,1,0B P A -，设(),,E x y x ，且13BE BP =u u u r u u u r，得1(1,1,)(1,1,4)3x y z -+=-，即224,,333E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1,1,0)CA =u u u r，224,,333CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，设平面EAC 的法向量为()111,,n x y z =r， 由00CE n CA n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即1111122403330x y z x y ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩， 令11x =，得(1,-1,-1)n =r.又BC AC ⊥，且BC PC ⊥，所以BC ⊥平面PAC ，故平面PAC 的法向量为(1,1,0)m BC ==-u r u u u r，设二面角P AC E --的平面角为θ，则||cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=〈〉==⋅【点睛】本题主要考查点、线、面的位置关系和空间直角坐标系，属于简单题 19．（1）平均分为74，标准差为7.（2）该校学生“体能达标”预测合格. 【解析】 【分析】(1)根据甲组的平均成绩为70,乙组的平均成绩为80，根据公式可得x设甲组24名学生的测试成绩分别为：1224 ,x x x ⋯，乙组16名学生的测试成绩分别为：252640,x x x ⋯，将公式2211()n i i s x x n ==-∑变形变形为()22222121n s x x x nx n⎡⎤=+++-⎣⎦L ， 分别求得21s 和22s ，即可根据公式解得解得()22221224241670x x x +++=⨯+L 和()2222252640163680x x x +++=⨯+L ，最后整理公式得()()22222222122425264014040s x x x x x x x ⎡⎤=+++++++-⨯⎣⎦L L ，计算并求解即可 (2)由(1)可得ˆ74μ=,ˆ7σ=,由(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=， 得(6088)0.9544P X <<=，进而得到1(60)(10.9544)0.02282P X <=⨯-=， 求出全校学生“不合格”的人数占总人数的百分比，与5%进行比较即可 【详解】（1）这40名学生测试成绩的平均分702480167440x ⨯+⨯==.将()2211n i i s x x n ==-∑变形为()()22222212111n i n i s x x x x x nx n n=⎡⎤=-=+++-⎣⎦∑L . 设第一组学生的测试成绩分别为12324,,,,x x x x L ， 第二组学生的测试成绩分别为25262740,,,,x x x x L ，则 第一组的方差为()2222221122412470424s x x x ⎡⎤=+++-⨯=⎣⎦L ， 解得()22221224241670x x x +++=⨯+L .第二组的方差为()222222225264011680616s x x x ⎡⎤=+++-⨯=⎣⎦L ， 解得()2222252640163680x x x +++=⨯+L .这40名学生的方差为()()22222222122425264014040s x x x x x x x ⎡⎤=+++++++-⨯⎣⎦L L ()()222124167016368040744840⎡⎤=⨯++⨯+-⨯=⎣⎦，所以7s ==≈.综上，这40名学生测试成绩的平均分为74，标准差为7.（2）由74x =，7s ≈，得μ的估计值为ˆ74μ=，σ的估计值ˆ7σ=. 由(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，得(74277427)0.9544P X -⨯<<+⨯=， 即(6088)0.9544P X <<=.所以11(60)(88)[1(6088)](10.9544)0.022822P X P X P X <==-<<=-=…，从而，在全校1000名学生中，“不合格”的有10000.022822.823⨯=≈（人）， 而23505%10001000<=， 故该校学生“体能达标”预测合格. 【点睛】本题主要考查用样本估计总体，难点在于运算量较大，属于基础题20．（1）22182x y +=；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）因为1C 224a b =；即1C 的方程为：222214x y b b +=，代入()2,1P -即可；（2）设直线PD PE 、的斜率为12,k k ,则要证直线PD PE 、与y 轴围成的三角形是等腰三角形需证120k k +=．由已知可得直线l 的斜率为12，则直线l 的方程为：12y x t =+，联立直线和椭圆的方程，找到斜率，代入相应的量即可．试题解析：（1）因为1C 224a b =， 从而1C 的方程为：222214x y b b+=代入()2,1P -解得：22b =， 因此28a =．所以椭圆1C 的方程为：22182x y +=（2）由题设知A B 、的坐标分别为()()2,1,2,1--， 因此直线l 的斜率为12， 设直线l 的方程为：12y x t =+， 由2212{182y x t x y =++=得：222240x tx t ++-=， 当0∆>时，不妨设()()1122,,,C x y D x y ，于是212122,24x x t x x t +=-=-，分别设直线PD PE 、的斜率为12,k k ， 则，则要证直线PD PE 、与y 轴围成的三角形是等腰三角形， 只需证()()()()212112210y x x y ---++=，而()()()()()()212121122112122124y x x y y y x y x y x x ---++=--++--()()211212121212224424240x x x x t x x x x x x t x x t t =---++--=--+-=-++-=所以直线PD PE 、与y 轴转成的三角形是等腰三角形 考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆综合题． 21．（1）单调递减区间为32,2,44k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ；单调递增区间为52,2,44k k k ππππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭Z .（2）见解析【解析】【分析】(1)先求函数定义域，对函数求导，分别解不等式()0f x >和()0f x <，得函数的增区间和减区间即可；(2)由2112()()4x x e f x e f x +=,得21124x xe cosx e cosx +++=，可构造函数()xg x e cosx =+，则12()()4g x g x +=，探究()g x 在(,)π-+∞上的单调性，构造函数()()()G x g x g x =+-，探究()G x 在(,)π-+∞上的单调性,再结合关系式12()()4g x g x +=，利用单调性可得出结论 【详解】（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()cos sin sin 4x x x f x e x e x x π---⎛⎫'=--=+ ⎪⎝⎭，由()0f x '<，得sin 04x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，从而322,44k x k k ππππ-<<+∈Z ； 由()0f x '>，得sin 04x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，从而522,44k x k k ππππ-<<-∈Z ； 所以，()f x 的单调递减区间为32,2,44k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ； 单调递增区间为52,2,44k k k ππππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭Z .（2）()()12124xxe f x e f x +=，即1212cos cos 4xxe x e x +++=，令()cos xg x e x =+，则()()124g x g x +=，()sin xg x e x '=-.当0x >时，()1sin 0g x x '>-…；当0x π-<„时，sin 0x „，()sin 0x g x e x '=->， 故(,)x π∈-+∞时，()0g x '>恒成立，所以()g x 在(),π-+∞上单调递增，不妨设12x x π-<<，注意到0(0)cos 02g e =+=，所以120x x π-<<<，令()()(),(,0)G x g x g x x π=+-∈-，则'()2sin xxG x e ex -=--，令()2sin x xx e ex ϕ-=+-，则()2cos 2(1cos )0x x x e e x x ϕ-'=+--厖，所以()x ϕ在(),0π-上单调递增，从而()(0)0x ϕϕ<=，即()0G x '<，所以()G x 在(),0π-上单调递减，于是()(0)(0)(0)4G x G g g >=+-=，即()()4g x g x +->，又1(,0)x π∈-，所以()()114g x g x +->，于是()()()1124g x g x g x ->-=， 而()g x 在(),0π-上单调递增，所以12x x ->，即120x x +<. 【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，属于含三角函数与指数函数的极值点偏移问题，难点在于选取合适的函数求导以及通过放缩对不等式进行转换，属于难题22．（1）222439x y =⎛⎫++ ⎪⎝⎭（2）3 【解析】 【分析】（1）设()Q cos ,sin θθ，(),M x y ，由2PM MQ =u u u u r u u u u r即得动点M 的轨迹方程；（2）由题得直线l 的参数方程可设为122,13513x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪='⎩'⎪（t '为参数），代入曲线C 的普通方程，得2483013t t +=''-，再利用直线参数方程t 的几何意义求解. 【详解】（1）设()Q cos ,sin θθ，(),M x y ， 则由2PM MQ =u u u u r u u u u r，得()()2,2cos sin θθ+=--x y x,y ，即323cos ,32sin .x y θθ+=⎧⎨=⎩消去θ，得222439x y =⎛⎫++ ⎪⎝⎭，此即为点M 的轨迹方程.（2）曲线C 的普通方程为221x y +=，直线l 的普通方程()5212y =x +， 设α为直线l 的倾斜角，则5tan 12α=，512sin ,cos 1313αα==， 则直线l 的参数方程可设为122,13513x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪='⎩'⎪（t '为参数），代入曲线C 的普通方程，得2483013t t +=''-， 由于24827612013169⎛⎫∴∆=--=> ⎪⎝⎭， 故可设点,A B 对应的参数为1t '，2t '， 则21213PA PB t t t t ''''⋅=⋅==． 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查动点的轨迹方程，考查直线参数方程t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 23．（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）结合1a b c ++=代人所证不等式的左边中的分子,通过变形转化，利用基本不等式加以证明即可（2）结合不等式右边关系式的等价变形，通过基本不等式来证明即可 【详解】 证明：（1）111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++ 111b c a c a b a a b b c c=++++++++ 39b a b c a ca b c b c a=++++++…， 当a b c ==时等号成立.（2）因为1111111111122a b c a b a c b c ⎛⎛⎫++=+++++⨯ ⎪ ⎝⎭⎝…， 又因为1abc =，所以1c ab =，1b ac =，1a bc=， 111a b c∴++. 当a b c ==时等号成立，即原式不等式成立. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查推理论证能力，化归与转化思想。
湖南师大附中2020届高三摸底考试数学(理)答案
#!,!$解析%设复数%1#3&4(则)#%3&4#1##3!&3&"4#1 槡##3!&3&"#(
#%34#1##3!&3""4#1 槡##3!&3""#( 结合题意有)##3!&3&"#1&##3&!&3""#( 整理可得)##3&! 即复数%对应点的轨迹是圆!故选 ,!
%!-!$解析%因为#&!$(""(所以'$$!因为 # ""(所以$$($"( 因为#&!$(""(所以"$)$%(所以'$($)(故选 -!
(
! " 当'%1
" #
!#'"!("3(1'"3%(其出现的概率为
" #
#
1
" &
(
! " ! " 当'%1#
'" #
3(
!(1'"3((其出现的概率为
" #
#
1
" &