动态规划问题
动态规划资源分配问题
S1
7
X1
12
3
4
P1(x1)
44
5
8
F2+ p1 21 19
17 18
f1(s1)
21
X1*
1
• 当k=2时;
f2(s2) = max [p2(x2)+ f3(s3) ]
1< x2 < s2 3< s2< 6 计算结果:
S2 X2 p2(x2) F3+ p2 f2(s2) X2*
34 1 12 3 35 10 12 12 10 12 1 1或2
f（k* sk ) max{ fk (sk , xk )}
xk 1,2,3...,sk
4
xi sk
ik
xi大于等于1且为整数
将递推关系写出即是
f
* k
(
sk
)
xk
max
1, 2 ,..., sk
{Pk
(
xk
)
f
* k 1
(
sk
xk )}
f（5* s5）＝0
k 1,2,3
当k=4时;
f4(s4) = max [p4(x4)]
S3 X3 p3(x3) F3+ p3 f3(s3) X3*
23 1 12 5 56 7 98 79 11
4 123 568 12 10 10 12 1
5 1 2 34 5 6 88 13 13 12 10 13 1或2
• 当k=1时;
f1(s1) = max [p1(x1)+ f2(s2) ]
1< x1< s1 s1=7 计算结果:
5 123 35 6 15 14 13 15 1
一、用动态规划方法手工求解下面的问题：
一、用动态规划方法手工求解下面的问题：生产单位产品的成本费为1(千元)。
同时，在任何一个月内，生产能力所允许的最大生产批量为不超过6个单位。
又知每单位产品的库存费用为每月0.5(千元)，同时要求在第一个月开始之初， 及在第四个月末，均无产品库存。
问：在满足上述条件下，该厂应如何安排各个时期的生产与库存，使所花的总成本费用最低？解：这是一个多阶段问题，我们按照计划时间自然划分阶段。
状态变量k x 定义为第k 月月初时的存储量，决策变量k u 定义为第k 月的产量，记每个月需求量为k s ，则状态转移方程为：4,3,2,1,0,1=≥-+=+k x s u x x k k k k k第k 月允许决策集合 }60|{)(≤≤=k kk k u u x D阶段指标为阶段的生产成本费用和存储费用之和，即：⎩⎨⎧=>++=00035.0),(k k k k k k k u u u x u x v指标函数为∑==41,1),(k k k k n u x v V)(k k x f 表示由第k 月出发采用最优方案到第4月月底4个月时间内总成本{}1,2,3,4,)(),(min )(11)(=+=++∈k x f u x v x f k k k k k x D u k k k k k由条件可得到递推式：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⎩⎨⎧=>++==++∈}00035.0{min )(0)(11)(55k k k k k k x D u k k x f u u u x x f x f k k k k=4,3,2,1()}00035.0{min )(554444)(44444x f u u u x x f x D u +⎩⎨⎧=>++=∈)(44444354x D x x s x u ∈-=-+=4f (0)=7 4u =4 4f (1)=6.5 4u =3 4f (2)=6 4u =2 4f (3)=5.54u =1 4f (4)=24u =0()}00035.0{min )(443333)(33333x f u u u x x f x D u +⎩⎨⎧=>++=∈)(233343343x D x x x s x u ∈-+=-+= 3f (0) = min {12, 12.5, 13, 13.5, 11} = 11 3u =63f (1) = min {11.5, 12, 12.5, 13, 10.5} = 10.53u =6 3f (2) = min {8, 11.5, 12, 12.5, 10} = 8 3u =0 3f (3) = min {8, 11.5, 12, 9.5} = 8 3u =0 3f (4) = min {8, 11.5, 9} = 83u =0 3f (5) = min {8, 8.5} = 8 3u =0 3f (6) = min {5} = 53u =0()}00035.0{min )(332222)(22222x f u u u x x f x D u +⎩⎨⎧=>++=∈)(322232232x D x x x s x u ∈-+=-+=2f (0) = min {17, 17.5, 16, 17} = 162u =52f (1) = min {16.5, 17, 15.5, 16.5, 17.5} = 15.5 2u =4 2f (2) = min {16, 16.5, 15, 16, 17, 18} = 152u =3 2f (3) = min {12.5, 14, 14.5, 15.5, 16.5, 17.5, 15.5} = 12.52u =0 2f (4) = min {12.5, 14, 15, 16, 17, 15} = 12.52u =0 2f (5) = min {10.5, 14.5, 15.5, 16.5, 14.5} = 10.52u =0 2f (6) = min {11, 15, 16, 14} = 112u =0()}00035.0{min )(221111)(11111x f u u u x x f x D u +⎩⎨⎧=>++=∈)(211121121x D x x x s x u ∈-+=-+= 1f (0) = min {21, 21.5, 22, 20.5, 21.5} = 20.51u =5逆推可得 u={5, 0, 6, 0} x={0, 3, 0, 4}即第1个月生产5单位产品，第4个月生产6单位产品，第2、3月不生产。
动态规划问题求解步骤
动态规划问题求解步骤动态规划问题是指在具有重叠子问题和最优子结构特性的问题中，通过将问题分解成更小的子问题，利用已解决的子问题的解来求解原问题。
动态规划问题的求解过程可分为以下几个步骤。
1. 定义状态：首先，我们需要明确问题的状态。
状态是指问题的子问题所依赖的变量或参数，即决定子问题解的输入。
状态可以是多个变量组成的元组，也可以是一个单一的变量。
定义好状态有助于我们更好地理解问题的本质，并能够将问题分解成更小的子问题。
2. 定义初始状态：在动态规划问题中，初始状态是问题的边界条件或者基本情况。
我们需要确定初始状态的值，并将其作为问题求解的起点。
初始状态的设置应符合问题的需求，并满足问题求解的逻辑。
3. 确定状态转移方程：状态转移方程是动态规划问题的核心。
通过定义状态之间的转移关系，我们可以将原问题分解为一系列的子问题，并通过已解决的子问题的解来求解当前问题的解。
状态转移方程的推导需要通过分析子问题间的关联关系，并根据问题的特点来定义。
状态转移方程应具备递推性，即当前问题的解可以通过之前子问题的解得到。
4. 确定计算顺序：在确定了状态转移方程后，我们需要确定求解问题的顺序。
一般来说，动态规划问题可以采用自底向上或自顶向下的方式进行求解。
自底向上的求解方式从初始状态开始，按照计算顺序逐步求解，直至得到最终问题的解；而自顶向下的求解方式则从最终问题的解开始，通过递归或备忘录等方式来求解子问题，最终得到初始状态的解。
5. 计算最优解：在得到了问题的所有状态和状态转移方程后，我们可以利用动态规划的思想来计算最优解。
根据计算顺序，我们先计算出初始状态的值，然后按照状态转移方程逐步计算，直到得到最终问题的解。
在计算的过程中，我们可以使用辅助数组或表格来存储和更新中间状态的值，以便于后续的计算，并最终得到问题的最优解。
通过以上步骤，我们可以较为系统地解决动态规划问题。
这种求解方法具有重用已解决子问题的解、减少重复计算和提高时间效率等优势，适用于诸如最优路径、最长子序列、最大连续子数组和背包问题等多种场景。
动态规划问题常见解法
动态规划问题常见解法
动态规划是一种高效解决优化问题的方法。
它通常用于涉及最
优化问题和最短路径的计算中。
下面是一些常见的动态规划问题解法：
1. 背包问题
背包问题是动态规划中的经典问题之一。
其目标是在给定的背
包容量下，选择一些物品放入背包中，使得物品总价值最大。
解决
这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个二维数组来
记录每个物品放入背包时的最大价值，然后逐步计算出最终的结果。
2. 最长公共子序列问题
最长公共子序列问题是寻找两个字符串中最长的公共子序列的
问题。
解决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个
二维数组来记录两个字符串中每个位置的最长公共子序列的长度。
然后通过递推关系来计算出最终的结果。
3. 矩阵链乘法问题
矩阵链乘法问题是计算一系列矩阵相乘的最佳顺序的问题。
解
决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个二维数组
来记录每个矩阵相乘时的最小乘法次数，然后逐步计算出最终的结果。
4. 最长递增子序列问题
最长递增子序列问题是寻找一个序列中最长的递增子序列的问题。
解决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个一
维数组来记录每个位置处的最长递增子序列的长度，然后通过递推
关系来计算出最终的结果。
以上是一些常见的动态规划问题解法。
通过灵活运用这些方法，我们可以更高效地解决优化问题和最短路径计算等相关任务。
数学建模中的动态规划问题
数学建模中的动态规划问题动态规划是一种常见且重要的数学建模技术，它在解决许多实际问题中发挥着关键作用。
本文将介绍动态规划问题的基本概念和解题方法，并通过几个实例来说明其在数学建模中的应用。
一、动态规划的基本概念动态规划是解决多阶段决策问题的一种方法。
一般来说，动态规划问题可以分为以下几个步骤：1. 确定阶段：将问题划分为若干个阶段，每个阶段对应一个决策。
2. 确定状态：将每个阶段的可能状态列出，并定义对应的决策集合。
3. 确定状态转移方程：根据当前阶段的状态和上一个阶段的决策，确定状态的转移关系。
4. 确定初始条件：确定问题的初始状态。
5. 确定决策的评价标准：根据问题的具体要求，确定决策的评价标准。
6. 使用递推或递归公式求解：根据状态转移方程，使用递推或递归公式求解问题。
二、动态规划问题的解题方法在解决动态规划问题时，一般可以使用自顶向下和自底向上两种方法。
自顶向下的方法，也称为记忆化搜索，是指从问题的最优解出发，逐步向下求解子问题的最优解。
该方法通常使用递归来实现，并通过记忆化技术来避免重复计算。
自底向上的方法，也称为动态规划的迭代求解法，是指从问题的初始状态出发，逐步向上求解各个阶段的最优解。
该方法通常使用迭代循环来实现，并通过存储中间结果来避免重复计算。
三、动态规划在数学建模中的应用1. 01背包问题：给定一组物品和一个背包，每个物品有对应的价值和重量，要求选择一些物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大，而且总重量不超过背包的容量。
这是一个经典的动态规划问题，在数学建模中经常遇到。
2. 最短路径问题：在给定的有向图中，求解从一个顶点到另一个顶点的最短路径。
该问题可以使用动态规划的思想对其进行求解，其中每个阶段表示到达某个顶点的最短路径。
3. 最长公共子序列问题：给定两个序列，求解它们最长的公共子序列的长度。
该问题可以使用动态规划的方法解决，其中每个阶段表示两个序列的某个子序列。
四、实例分析以01背包问题为例进行具体分析。
动态规划总结经典题目(经典中的经典)
动态规划总结——经典问题总结本文着重讨论状态是如何表示，以及方程是怎样表示的。
当然，还附上关键的，有可能作为模板的代码段。
但有的代码的实现是优化版的。
经典问题总结最长上升子序列（LIS）问题描述如下:设L=<a1,a2,…,an>是n个不同的实数的序列，L的递增子序列是这样一个子序列Lin=<aK1,ak2,…,akm>，其中k1<k2<…<km且aK1<ak2<…<akm。
求最大的m值。
这里采用的是逆向思维的方法，从最后一个开始想起，即先从A[N]（A数组是存放数据的数组，下同）开始，则只有长度为1的子序列，到A[N-1]时就有两种情况，如果a[n-1] < a[n] 则存在长度为2的不下降子序列a[n-1],a[n]；如果a[n-1] > a[n] 则存在长度为1的不下降子序列a[n-1]或者a[n]。
有了以上的思想，DP方程就呼之欲出了（这里是顺序推的，不是逆序的）：DP[I]=MAX（1,DP[J]+1）J=0,1,...,I-1但这样的想法实现起来是）O(n^2)的。
本题还有更好的解法，就是O(n*logn)。
利用了长升子序列的性质来优化，以下是优化版的代码：//最长不降子序const int SIZE=500001;int data[SIZE];int dp[SIZE];//返回值是最长不降子序列的最大长度,复杂度O(N*logN)int LCS(int n) { //N是DATA数组的长度,下标从1开始int len(1),low,high,mid,i;dp[1]=data[1];for(i=1;i<=n;++i) {low=1;high=len;while( low<=high ) { //二分mid=(low+high)/2;if( data[i]>dp[mid] ) {low=mid+1;}else {high=mid-1;}}dp[low]=data[i];if( low>len ) {++len;}}return len;}最长公共子序列（LCS）给出两个字符串a, b，求它们的最长、连续的公共字串。
如何使用动态规划解决问题
如何使用动态规划解决问题动态规划，是一种解决多阶段最优化决策过程的数学思想。
在实际应用中，它常常能够解决一些困扰人们已久的问题。
本文将介绍动态规划的基本思想、应用场景以及解决问题的方法。
一、动态规划的基本思想动态规划的基本思想是：分治 + 最优子结构。
顾名思义，分治即把问题拆分成若干个子问题，最优子结构则指子问题之间的相互关系。
在解决问题的过程中，我们可以将其划分为若干个阶段。
每个阶段都有自己的决策，而且当前阶段的决策会影响下一阶段的状态。
所以，通过对每个阶段中的决策进行最优化，就可以得到整个问题的最优解。
二、动态规划的应用场景动态规划可以应用于多种领域，如金融、计算机科学等。
常见的应用场景包括：1. 最长公共子序列问题2. 背包问题3. 网格取数问题4. 最大子段和问题5. 最短路问题6. 控制论问题7. 生产调度问题三、使用动态规划解决问题的方法使用动态规划解决问题的方法有“自顶向下”和“自底向上”两种。
1. 自顶向下自顶向下的方法也称为“记忆化搜索”，其主要思想是“分支回溯”。
首先我们将整个问题拆分成若干个子问题，每个子问题对应一个状态。
然后使用记忆化技术，把每次计算的结果储存下来。
这样，如果遇到一个已经计算过的状态，就可以直接返回结果。
当然，我们也可以通过回溯的方法来搜索到历史计算结果，并以此为基础继续计算。
2. 自底向上自底向上的方法也称为“迭代法”，其主要思想是“推导递归”。
我们首先需要定义一个状态转移方程，即，用子问题的最优解来推导出原问题的最优解。
然后，我们从子问题开始依次计算，不断往上计算，最终得到整个问题的最优解。
总的来说，自顶向下的方法比较直观、简单，但有时效率不高；自底向上的方法虽然有点抽象，但是在处理大规模问题时，它的效率远高于自顶向下的方法。
四、动态规划的优缺点使用动态规划解决问题有以下优点：1. 适用范围广：可以处理多种复杂性问题。
2. 解决效率高：可以通过使用一些优化策略提高计算效率。
动态规划和几个经典问题
动态规划和⼏个经典问题动态规划 (本⽂适合⼊门理解思想，后期多刷题) 动态规划是运筹学的⼀个分⽀，是求解多阶段决策过程最优化问题的数学⽅法，在经济管理、⼯程技术、⼯农业⽣产及军事部门中都有着⼴泛的应⽤，并且获得了显著的效果。
学习动态规划，我们⾸先要了解多阶段决策问题。
多阶段决策问题例⼦： ⽣产决策问题：企业在⽣产过程中，由于需求是随时间变化的，因此企业为了获得全年的最佳⽣产效益，就要在整个⽣产过程中逐⽉或逐季度地根据库存和需求决定⽣产计划。
机器负荷分配问题：某种机器可以在⾼低两种不同的负荷下进⾏⽣产。
要求制定⼀个五年计划，在每年开始时，决定如何重新分配完好的机器在两种不同的负荷下⽣产的数量，使在五年内产品的总产量达到最⾼。
航天飞机飞⾏控制问题：由于航天飞机的运动的环境是不断变化的，因此就要根据航天飞机飞⾏在不同环境中的情况，不断地决定航天飞机的飞⾏⽅向和速度（状态），使之能最省燃料和完成飞⾏任务（如软着陆）。
多阶段决策过程的特点： 根据过程的特性可以将过程按空间、时间等标志分为若⼲个互相联系⼜互相区别的阶段。
在每⼀个阶段都需要做出决策，从⽽使整个过程达到最好的效果。
各个阶段决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前⾯临的状态，⼜影响以后的发展。
当各个阶段的决策确定后，就组成了⼀个决策序列，因⽽也就决定了整个过程的⼀条活动路线，这样的⼀个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策问题。
针对多阶段决策过程的最优化问题，美国数学家Bellman等⼈在20世纪50年代初提出了著名的最优化原理，把多阶段决策问题转化为⼀系列单阶段最优化问题，从⽽逐个求解，创⽴了解决这类过程优化问题的新⽅法：动态规划。
对最佳路径（最佳决策过程）所经过的各个阶段，其中每个阶段始点到全过程终点的路径，必定是该阶段始点到全过程终点的⼀切可能路径中的最佳路径（最优决策），这就是Bellman提出的著名的最优化原理。
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2020/5/22
动态决策问题的特点： 系统所处的状态和时刻是进行决策的重要因
素； 即在系统发展的不同时刻（或阶段）根据系
第一节 动态规划问题
§1.1 多阶段决策问题 §1.2 动态规划问题举例
§1.1 多阶段决策问题
所谓多阶段决策问题是指一类活动过程，它可以分为 若干个相互联系的阶段，在每个阶段都需要作出决策。 这个决策不仅决定这一阶段的效益，而且决定下一阶 段的初始状态。
每个阶段的决策确定以后，就得到一个决策序列， 称为策略。多阶段决策问题就是求一个策略，使各阶 段的效益的总和达到最优.
q1 Q1(x1) q2 Q2 (x2 )
决策
决策
状态 1
状态
2 状态 状态
x1 S1 R1(x1, q1) x2 T1(x1, q1)
决策
n
n
opt{ Rk (xk , qk )}
k 1
2020/5/22
§1.1 多阶段决策问题
动态规划是用来解决多阶段决策过程最优化 的一种数量方法。其特点在于，它可以把一个n 维决策问题变换为几个一维最优化问题，从而一 个一个地去解决。
g=g(u1)
这时，机器的年完好率为a，即如果年初完好机器 的数量为u，到年终完好的机器就为au, 0<a<1。
2020/5/22
机器负荷分配问题
在低负荷下生产时，产品的年产量h和投入生产 的机器数量u2的关系为
h=h(u2)
相应的机器年完好率b, 0< b<1。 假定开始生产时完好的机器数量为s1。要求制定
5 A
3
1 B1 3
6
8 B2 7
6
C1 6 8
3 C2 5
3 C3 3
84 C4
2 D1
2
D2 1 2
3 D3
3
E1 3
5 5 E2 2
6 6
E3
F1 4
G 3 F2
1
2
2020/5/22
3
4
5
6
不包含时间因素的静态决策问题（本质上是一次 决策问题）也可以适当地引入阶段的概念，作为多 阶段的决策问题用动态规划方法来解决。
4 . 线性规划、非线性规划等静态的规划问题也可 以通过适当地引入阶段的概念，应用动态规划方法 加以解决交通网络图如下，其中 两点之间的数字表示距离（或花费），试求从A点到 G点的最短距离（总费用最小）。
生产决策问题
某工厂生产某种季节性商品，需要作下一年度的 生产计划，假定这种商品的生产周期需要两个 月，全年共有6个生产周期，需要作出各个周期 中的生产计划。设已知各周期对该商品的需要 量如下表所示：
周期 1 2 3 4 5 6
需求量 5 5 10 30 50 8
2020/5/22
生产决策问题
假设这个工厂根据需要可以日夜两班生产或只是日班生产， 当开足日班时，每一个生产周期能生产商品15个单位，每生 产一个单位商品的成本为100元。当开足夜班时，每一生产 周期能生产的商品也是15个，但是由于增加了辅助性生产设 备和生产辅助费用，每生产一单位商品的成本为120元。由 于生产能力的限制，可以在需求淡季多生产一些商品储存起 来以备需求旺季使用，但存储商品是需要存储费用的，假设 每单位商品存储一周期需要16元，已知开始时存储为零，年 终也不存储商品备下年使用，问应该如何作生产和存储计划， 才能使总的生产和存储费用最小？
2020/5/22
生产决策问题(续)
2020/5/22
生产决策问题(续)
5
f
(xi )
112000xxii
,0
xi 15 300,15
xi
30
2020/5/22
§1.2 动态规划问题举例
2. 机器负荷分配问题：某种机器可以在高低两种 不同的负荷下进行生产。在高负荷下进行生产时， 产品的年产量g和投入生产的机器数量u1的关系为
一个五年计划，在每年开始时，决定如何重新分配 完好的机器在两种不同的负荷下生产的数量，使在 五年内产品的总产量达到最高。
2020/5/22
3. 航天飞机飞行控制问题：由于航天飞机的运 动的环境是不断变化的，因此就要根据航天飞机飞 行在不同环境中的情况，不断地决定航天飞机的飞 行方向和速度（状态），使之能最省燃料和实现目 的（如软着落问题）。
决策 状态 状态
1
决策 2 状态 状态
决策 n
2020/5/22
§1.2 动态规划问题举例 多阶段决策问题的典型例子：
1 . 生产决策问题：企业在生产过程中，由于需求 是随时间变化的，因此企业为了获得全年的最佳生 产效益，就要在整个生产过程中逐月或逐季度地根 据库存和需求决定生产计划。
2020/5/22
统所处的状态，不断地做出决策； 找到不同时刻的最优决策以及整个过程的最
优策略。
2020/5/22
多阶段决策问题： 是动态决策问题的一种特殊形式； 在多阶段决策过程中,系统的动态过程可以按照 时间进程分为状态相互联系而又相互区别的各 个阶段；
每个阶段都要进行决策,目的是使整个过程的 决策达到最优效果。