2019版3年高考2年模拟专题攻略高考文科数学二轮复习课标版突破6类解答题
2019版3年高考2年模拟专题攻略高考文科数学二轮复习课标版第四讲 算法、推理与证明
第四讲算法、推理与证明1.(2018辽宁沈阳质量监测)已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为0时,输入的x的值为()A.－3B.－3或9C.3或－9D.－9或－32.(2018河北石家庄质量检测)当n=4时,执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为()A.9B.15C.31D.633.(1)已知a是三角形一边的长,h是该边上的高,则三角形的面积是1ah.如果把扇形的弧长l,2半径r分别看成三角形的底边长和高,可得到扇形的面积为1lr;2(2)由1=12,1+3=22,1+3+5=32,可得到1+3+5+…+2n－1=n2.则(1)(2)两个推理过程分别属于()A.类比推理、归纳推理B.类比推理、演绎推理C.归纳推理、类比推理D.归纳推理、演绎推理4.(2018河北石家庄模拟)执行如图所示的程序框图,若输入的a的值为1,则输出的k的值为()A.1B.2C.3D.45.(2018江西南昌模拟)执行如图所示的程序框图,输出的n为()A.1B.2C.3D.46.平面内凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线,依次类推,凸十三边形的对角线条数为()A.42B.65C.43D.1697.给出下面四个类比结论:①实数a,b,若ab=0,则a=0或b=0;类比复数z1,z2,若z1z2=0,则z1=0或z2=0.②实数a,b,若ab=0,则a=0或b=0;类比向量a,b,若a·b=0,则a=0或b=0.③实数a,b,若a2+b2=0,则a=b=0;类比复数z1,z2,若z12+z22=0,则z1=z2=0.④实数a,b,若a2+b2=0,则a=b=0;类比向量a,b,若a2+b2=0,则a=b=0.其中类比结论正确的个数是()A.0B.1C.2D.38.(2018广西南宁模拟)甲、乙、丙三人中,一人是工人,一人是农民,一人是知识分子.已知:丙的年龄比知识分子大;甲的年龄和农民不同;农民的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是()A.甲是工人,乙是知识分子,丙是农民B.甲是知识分子,乙是农民,丙是工人C.甲是知识分子,乙是工人,丙是农民D.甲是农民,乙是知识分子,丙是工人9.(2018安徽合肥模拟)执行如图所示的程序框图,如果输出的n=2,那么输入的a的值可以为()A.4B.5C.6D.710.(2018广西南宁二中、柳州高中联考)执行如图所示的程序框图,若输出的s=132,则判断框中可以填()A.i≥10?B.i≥11?C.i≤11?D.i≥12?11.(2018云南昆明适应性检测)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上,提出下面的体积计算原理(祖暅原理):“幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面面积,“势”是几何体的高.意思是:若两个等高几何体在同高处的截面面积总相等,则这两个几何体的体积相等.现有一旋转体D(如图1所示),它是由抛物线y=x2(x≥0),直线y=4及y轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周形成的几何体.旋转体D的参照体的三视图如图2所示.利用祖暅原理,则旋转体D的体积是()B.6πC.8πD.16πA.16π312.(2018河北“五个一名校联盟”模拟)在正整数数列中,由1开始依次按如下规则,将某些数染成红色.先染1;再染两个偶数2,4;再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9;再染9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16;再染此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直染下去,得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,…,则在这个红色子数列中,由1开始的第2018个数是()A.3971B.3972C.3973D.397413.(2018重庆六校联考)执行如图所示的程序框图,若输入的t=0.01,则输出的n=.14.将1,2,3,4,…这样的正整数按如图所示的方式排成三角形数组,则第10行自左向右第10个数为.15.在平面几何中:在△ABC中,∠ACB的角平分线CE分AB所成线段的比为ACBC =AEBE.把这个结论类比到空间:在三棱锥A－BCD中(如图),平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于点E,则类比的结论是.16.(2018吉林长春质量检测)甲、乙二人去看望高中数学老师张老师,期间他们做了一个游戏,张老师的生日是m月n号,张老师把m告诉了甲,把n告诉了乙,然后张老师列出如下10个日期供选择:2月5日,2月7日,2月9日,5月5日,5月8日,8月4日,8月7日,9月4日,9月6日,9月9日.看完日期后,甲说:“我不知道,但你一定也不知道.”乙听了甲的话后,说:“本来我不知道,但现在我知道了.”甲接着说:“哦,现在我也知道了.”请问,张老师的生日是.答案精解精析1.B 当输出的y=0时,若x ≤0,则y=(12)x－8=0,解得x=－3;若x>0,则y=2－log 3x=0,解得x=9,两个值都符合题意,故选B.2.C 执行程序框图,k=1,S=1;S=3,k=2;S=7,k=3;S=15,k=4;S=31,k=5>4,退出循环.故输出的S=31,故选C.3.A (1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处,此种推理为类比推理;(2)由特殊到一般,此种推理为归纳推理.4.D 开始,k=0,a=1,所以b=1;第一次循环,a=－11+1=－12,此时a ≠b;第二次循环,k=2,a=－11+(－12)=－2,此时a ≠b;第三次循环,k=4,a=－11+(－2)=1,此时a=b,结束循环,输出k 的值为4,故选D.5.C 当n=1时, f(x)=1,满足f(x)=f(－x),不满足f(x)=0有解,n=2; 当n=2时, f(x)=2x,不满足f(x)=f(－x),n=3;当n=3时, f(x)=3x 2,满足f(x)=f(－x),满足f(x)=0有解. 故输出的n 为3,故选C.6.B 根据题设条件可通过列表归纳分析得到: 凸多边形 四 五 六 七 八 对角线条数 22+32+3+42+3+4+52+3+4+5+6所以凸n 边形有2+3+4+…+(n －2)=n(n －3)2条对角线,所以凸十三边形的对角线条数为13×(13－3)2=65.7.C 对于①,显然是正确的;对于②,若向量a,b 互相垂直,则a ·b=0,所以②错误;对于③,取z 1=1,z 2=i,则z 12+z 22=0,所以③错误;对于④,若a 2+b 2=0,则|a|=|b|=0,所以a=b=0,故④是正确的.综上,类比结论正确的个数是2.8.C 由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民,所以丙的年龄比乙小;再由“丙的年龄比知识分子大”,可知甲是知识分子,故乙是工人,故选C. 9.D 执行程序框图,输入a,P=0,Q=1,n=0,此时P ≤Q 成立,P=1,Q=3,n=1,此时P ≤Q 成立,P=1+a,Q=7,n=2.因为输出的n 的值为2,所以应该退出循环,即P>Q,所以1+a>7,结合选项,可知a 的值可以为7,故选D.10.B 执行程序框图,可得s=1×12=12,i=12－1=11;s=12×11=132,i=11－1=10,又由输出的s=132可知判断框中可以填“i ≥11?”,故选B.11.C 由三视图知参照体是一个直三棱柱,其体积V=12×4×4×π=8π,故旋转体D 的体积为8π,故选C.12.B 由题意可设第一组的数为1, 第2组的数为2,4, 第3组的数为5,7,9, ……所以第1组有1个数,第2组有2个数,……,根据等差数列的前n 项和公式,可知前n 组共有n(n+1)2个数.由于2 016=63×(63+1)2<2 018<64×(64+1)2=2 080,因此,第2 018个数是第64组的第2个数.由于第1组最后一个数是1,第2组最后一个数是4,第3组最后一个数是9,……,第n 组最后一个数是n 2,因此,第63组最后一个数为632,632=3 969,第64组为偶数组,其第1个数为3 970,第2个数为3 972,故选B. 13.答案 7解析 执行程序框图:S=12,m=14,n=1;S=14,m=18,n=2;S=18,m=116,n=3;S=116,m=132,n=4;S=132,m=164,n=5;S=164,m=1128,n=6;S =1128,m=1256,n=7,退出循环.故输出的n=7. 14.答案 91解析 由三角形数组可推断出,第n 行共有(2n －1)个数,且最后一个数为n 2,所以第10行共19个数,最后一个数为100,自左向右第10个数是91. 15.答案AE EB =S △ACDS △BCD解析 由类比推理的概念可知,平面中线段的比可转化为空间中面积的比,由此可得:AE EB =S△ACD S △BCD.16.答案 8月4日解析 根据甲说的“我不知道,但你一定也不知道”,可排除5月5日、5月8日、9月4日、9月6日、9月9日;根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道,但现在我知道了”,可排除2月7日、8月7日;根据甲接着说的“哦,现在我也知道了”,可以得知张老师的生日为8月4日.。
2019届东北三省三校高三数学(文科)二模试题和答案详细解析及备考策略
学长文综高考高分经验浅谈又是一年高考时，回首自己高三那一年痛并快乐着的每一天，繁忙而充实的生活总是让今天的自己感到十分的怀念。
如果说高考是一场旷日持久的马拉松比赛的话，那么始终如同箭在弦上，精神高度紧张的状态是不可能也是不可取的，它会让我们的复习由于战线拉得过长而丧失后劲儿。
相反，任其发展，来日方长的过分乐观态度也会让你失去最佳的复习时机，最终感到后悔莫及。
因此，采用一定的战略、战术，让每一天都在自己的计划掌控之下，有条不紊地开展复习，是我高考成功的制胜法宝。
作为参加第一届文科综合高考的考生，我在高三一年的全面复习计划中所总结出的五个关键性步骤，对即将面临高考的你也许会有些许启发。
人们都说“好的开始是成功的一半”，在我看来，这种观点还是要辩证地看。
高二升高三的暑假是我们面对高考最雄心壮志的时候，每一个人身上似乎都有用不完的劲儿，再加上这句俗语的“蛊惑”，往往会让我们陷入妄图一蹴而就的误区。
从外界因素的角度看，一上高三，来自父母亲友的压力如同潮水一般从四面八方向你涌来。
在这个时候，真刀真枪的沙场比拼为时过早，我们所要做的是听来简单，实则关系全局的准备工作。
第一目标：强占战略要地。
可适时地去拜访上一级刚刚在高考中大获全胜的师哥师姐，一来可以得到第一手的复习资料，二来可以获得他们各科复习的独门招数，化为己用以备不时之需，更重要的是你可以得到完全原生态的高三生活小百科。
揭开了高三的神秘面纱，相信你的信心会得到前所未有的提升。
而且根据我的经验，刚刚经历完高考的人，往往有很强的倾诉欲，再加上精神爽极，你基本上不会有吃闭门羹的恐惧。
听也听了，看也看了，面对高考，你的心究竟能载得动几多愁呢？高考一战，实力固然重要，心理作用也不容小觑。
想向忧郁、恐惧、急躁say goodbye，心理准备还是先下手为强，我的强化训练经验可是相当有效的呢：不要刻意回避任何人，任何时间，任何地点，任何有关高考的言论，学会微笑着去面对压力，然后在周围人的喋喋不休中保持主见，耳朵磨出老茧后，你左耳进右耳出的平衡****就已日臻佳境了。
2019版3年高考2年模拟专题攻略高考文科数学二轮复习课标版套用20个解题模板
套用20个解题模板模板一 函数值的求解例1 已知函数f(x)为奇函数,且当x ≥0时, f(x)=13x +2+a,则f (log 312)= .答案112解析 因为函数f(x)为奇函数,所以f(0)=130+2+a=0, 解得a=－13,所以当x ≥0时, f(x)=13x +2－13, 因为log 312<0,所以－log 32<0,即log 32>0.(转化)所以f (log 312)=f(－log 32)=－f(log 32)=－(13log 32+2－13)=－(14－13)=112.(求值) 即f (log 312)=112.(得结论)▲模板构建 已知函数解析式求函数值,常伴随对函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性的考查,其解题思路如下:▲技法点拨 解函数的求值问题的关键在于自变量取值范围的确定,如该题中log 312<0,而x ≥0时,函数解析式是确定的,所以可以根据奇函数的性质,将所求函数值转化为－log 32所对应的函数值,进而再根据f(－x)=－f(x)即得所求.此类问题考查的重点是自变量的转化,需要根据已知函数的性质(奇偶性、周期性等),灵活转化所求问题中的自变量,将其转化到已知区间内再代入求值. 跟踪训练1. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,并且f(x+3)=－1f(x),当1≤x<2时, f(x)=cosπx 3,则f(2 018)= .模板二 利用函数的性质解不等式例2 已知函数f(x)=1－2x2x +1,若对任意t ∈R,不等式f(t 2－2t)+f(2t 2－k)<0恒成立,则实数k 的取值范围为 .答案 (－∞,－13)解析 函数f(x)的定义域为R, f(x)=1－2x 2x +1=－1+22x +1,因为y=2x 在R 上单调递增,所以y=22x +1在R 上单调递减,故f(x)在R 上单调递减.(定性质) 又函数f(x)的定义域为R,且f(－x)=1－2－x2－x+1=2x －11+2x =－f(x),故函数f(x)为奇函数.(定性质)因为对任意t ∈R,不等式f(t 2－2t)+f(2t 2－k)<0恒成立, 即f(t 2－2t)<－f(2t 2－k)恒成立,又f(x)为奇函数,所以f(t 2－2t)<f(k －2t 2)恒成立,又f(x)为R 上的减函数,所以t 2－2t>k －2t 2恒成立,即k<3t 2－2t 恒成立,(巧转化) 而3t 2－2t=3(t －13)2－13≥－13,所以k<－13. 故k 的取值范围为(－∞,－13).(求解集)▲模板构建 利用函数的奇偶性解不等式问题的实质就是利用函数图象的对称性将函数的自变量转化到同一单调区间内,从而构造不等式进行求解.此类方法适用于已知函数的奇偶性和单调性,求解相关不等式的问题,是转化与化归思想的具体体现.破解此类题的步骤如下:▲技法点拨 该题中若分别把f(t 2－2t), f(2t 2－k)表示出来,则不等式的形式会特别复杂.解题时应考虑利用函数的奇偶性和单调性将原不等式转化为两个函数自变量的大小关系.形如此类复杂的式子,一般都是采取利用函数的奇偶性和单调性去掉“f ”的思路来处理的. 跟踪训练2.已知奇函数f(x)在(－∞,0)上单调递减,且f(2)=0,则不等式(x －1)f(x －1)>0的解集为( ) A.(－3,－1) B.(－1,1)∪(1,3) C.(－3,0)∪(1,3) D.(－3,1)∪(2,+∞) 模板三 利用函数的性质判断大小关系 例3 设a=(32)0.1,b=ln sin2 018π3,c=lo g 1312,则a,b,c 的大小关系是( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a答案 B解析 因为函数y=(32)x为增函数,(研性质) 所以a=(32)0.1>(32)0=1.(定范围) 因为sin2 018π3=sin (672π+2π3)=sin2π3=√32<1, 又函数y=ln x 为(0,+∞)上的单调增函数,(研性质)所以b=ln sin2 018π3=ln√32<ln 1=0.(定范围) 因为1>12>13,且函数y=lo g 13x 为(0,+∞)上的单调减函数,(研性质)所以0=lo g 131<c=lo g 1312<lo g 1313=1.(定范围)所以b<0<c<1<a,故选B.(得结论)▲模板构建 利用函数的性质比较数式的大小,首先要提炼出数式所对应的函数,然后研究函数的性质(一般研究单调性),并以此为依据进行判断.对于底数相同、指数不同的判断大小关系的问题,利用指数函数的单调性比较大小即可;对于底数相同、真数不同的判断大小关系的问题,利用对数函数的单调性比较大小即可.破解此类题的步骤如下:▲技法点拨 求解此类问题时最容易出现的问题是不能灵活利用指数函数与对数函数的单调性确定函数值(数式)的范围,解题时可以利用一些特殊值,如－1,0,1等,比较取值相近的两个函数值(数式)的大小.在备考中应该注意对此类问题的训练. 跟踪训练3.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,对任意两个不相等的正数x 1,x 2,都有x 2f(x 1)－x 1f(x 2)x 1－x 2<0,记a=f(4.10.2)4.10.2,b=f(0.42.1)0.42.1,c=f(log 0.24.1)log 0.24.1,则a,b,c 的大小关系是( )A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a 模板四 函数图象辨析例4 函数f(x)=lo g 13sin (π2－x)(－π2<x <π2)的图象大致是( )答案C解析因为f(x)=lo g13sin(π2－x)=lo g13cos x(－π2<x<π2),所以f(－x)=lo g13cos(－x)=lo g13cos x=f(x),所以函数f(x)为偶函数,(定性)由图象的对称性可排除A、B.又f(π3)=lo g13cosπ3=lo g1312>0,故排除D.(判别)故选C.(结论)▲模板构建由函数解析式判断函数图象问题的关键:根据函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等,根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.其解题步骤为:▲技法点拨函数的性质包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等,在确定函数的图象时应先根据给出的图象的特征灵活选择有显著特点的某个方面进行研究.在利用函数图象时,应根据所要解决的问题确定研究函数图象的角度,有时也要借助导数等工具来描述函数图象的变化. 跟踪训练4.(2018山东济南模拟)函数y=x+1e x 的图象大致为( )模板五 利用图象判断函数零点的个数例5 已知0<a<1,则函数y=a |x|－|log a x|的零点个数为 .答案 2解析 由题意知,函数y=a |x|－|log a x|(0<a<1)的零点个数等于函数f(x)=a |x|(0<a<1)的图象与g(x)=|log a x|(0<a<1)的图象的交点个数.f(x)=a |x|={a x ,x ≥0,(1a )x,x <0,g(x)=|log a x|={log a x,0<x ≤1,－log a x,x >1,(研性质)作出f(x)和g(x)的图象,如图所示.(作图象)由图知函数f(x)=a |x|(0<a<1)的图象与g(x)=|log a x|(0<a<1)的图象的交点个数为2,即函数y=a |x|－|log a x|(0<a<1)的零点个数为2.(得结论)▲模板构建 若函数图象易画出,则可依据图象与x 轴的交点个数来判断函数的零点个数.特别地,对于形如y=h(x)－g(x)的函数,可通过函数h(x)与g(x)的图象的交点个数来判断函数y=h(x)－g(x)的零点个数.求解此类题的步骤如下:▲技法点拨 求解利用函数的交点个数判断函数的零点个数问题的关键在于根据函数解析式或方程的结构特征灵活地将问题转化为对应的函数图象的交点个数的问题.解决此类问题要注意对函数相关性质的研究,尤其要注意函数的单调性与函数极值对函数图象的影响. 跟踪训练5.函数f(x)=2x +log 2|x|的零点个数为( ) A.0 B.1C.2D.3模板六 已知函数零点个数求参数例6 设f(x)是定义在R 上的偶函数,对任意x ∈R,都有f(x+2)=f(x －2),且当x ∈[－2,0]时, f(x)=(12)x－1,若在区间(－2,6]内关于x 的方程f(x)－log a (x+2)=0(a>1)有3个不同的实数根,则a 的取值范围是( )A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,√43) D.(√43,2)答案 D解析 依题意,知f(x+4)=f((x+2)+2)=f((x+2)－2)=f(x),所以函数f(x)的一个周期为4. 再结合题意作出函数f(x)在区间(－2,6]上的图象,如图,作出函数y=log a (x+2)(a>1)的图象,由题意可知,其与函数f(x)在(－2,6]上的图象有三个交点.(转化)根据两个函数图象可知,必有{log a 4<3,log a 8>3,即{a 3>4,a 3<8,(列式)解得√43<a<2,故选D.(下结论)▲模板构建 已知函数零点求参数的步骤如下:▲技法点拨 对于已知函数零点的个数求参数的取值范围问题,通常把它转化为求两个函数图象的交点个数问题来解决.对于此类问题的求解,一般是先分解为两个简单函数,在同一坐标系内作出这两个函数的图象,根据交点个数寻找关于参数的不等式,即可得结论. 跟踪训练6.已知周期函数f(x)的定义域为R,周期为2,且当－1<x ≤1时, f(x)=1－x 2.若直线y=－x+a 与曲线y=f(x)恰有2个交点,则实数a 的所有可能取值构成的集合为( ) A.{a |a =2k +34或2k +54,k ∈Z}B.{a|a=2k－14或2k+34,k∈Z}C.{a|a=2k+1或2k+54,k∈Z}D.{a|a=2k+1,k∈Z}模板七利用导数研究函数的单调性例7已知函数f(x)=ln x+ax+a－1x(a∈R).(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性.解析(1)当a=1时,f(x)=ln x+x,x∈(0,+∞),所以f'(x)=1x +1,f'(1)=11+1=2,f(1)=ln1+1=1,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,切线方程为y－1=2(x－1),即y=2x－1.(2)易知f(x)=ln x+ax+a－1x的定义域为(0,+∞),(求定义域)f'(x)=1x +a－a－1x2=ax2+x－a+1x2(x∈(0,+∞)),(求导函数)令g(x)=ax2+x－a+1(x∈(0,+∞)),(i)当a=0时,g(x)=x+1,而x>0,所以g(x)>0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.(讨论符号)(ii)当a≠0时,g(x)=(ax+1－a)(x+1)=a(x－a－1a)(x+1).①当a<0时,a－1a>0,当x∈(0,a－1a)时,g(x)>0,f'(x)>0,故函数f(x)在(0,a－1a)上单调递增,当x ∈(a －1a,+∞)时,g(x)<0, f '(x)<0,故函数f(x)在(a －1a,+∞)上单调递减.②当0<a<1时,a －1a<0,当x ∈(0,+∞)时,g(x)>0,所以f '(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增. ③当a=1时,a －1a=0,故当x ∈(0,+∞)时,g(x)>0,所以f '(x)>0, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增. ④当a>1时,a －1a>0,当x ∈(0,a －1a)时,g(x)<0, f '(x)<0,故函数f(x)在(0,a －1a)上单调递减,当x ∈(a －1a,+∞)时,g(x)>0, f '(x)>0,故函数f(x)在(a －1a,+∞)上单调递增.(讨论符号)综上,当a<0时,函数f(x)在(0,a －1a)上单调递增,在(a －1a,+∞)上单调递减;当0≤a ≤1时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a>1时,函数f(x)在(0,a －1a)上单调递减,在(a －1a,+∞)上单调递增.(得出结论)▲模板构建 根据导数与函数单调性的关系,通过求导函数f '(x)的零点得到函数f(x)的单调区间,从而研究函数的单调性问题.该方法适用于所有的可导函数,破解此类题的步骤如下:▲技法点拨 利用导数求解函数的单调性或单调区间时需要注意:(1)要先求函数的定义域;(2)求可导函数f(x)的单调区间,可以转化为求f '(x)>0与f '(x)<0这两个不等式的解集(区间形式);(3)若可导函数f(x)在指定区间D 上单调递增(减),则将其转化为f '(x)≥0(f '(x)≤0)来处理;(4)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么这些单调区间不能用“∪”连接,可用“,”隔开或用“和”连接;(5)求解含参数的函数的单调性或单调区间的问题时,一定要弄清楚参数对导函数f '(x)在某一区间内的符号是否有影响,若有影响,则必须分类讨论. 跟踪训练7.设函数f(x)=ax 2+bx+k(k>0)在x=0处取得极值,且曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线垂直于直线x+2y+1=0. (1)求a,b 的值;(2)若函数g(x)=e xf(x),讨论g(x)的单调性.模板八 利用导数研究函数的极值、最值例8 已知函数f(x)={－x 3+x 2,x <1,alnx,x ≥1.(1)求f(x)在区间(－∞,1)上的极小值和极大值点; (2)求f(x)在[－1,e](e 为自然对数的底数)上的最大值.解析 (1)当x<1时, f(x)=－x 3+x 2, f '(x)=－3x 2+2x=－x(3x －2),(求导) 令f '(x)=0,解得x=0或x=23.(解方程)当x 变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表:x (－∞,0) 0(0,23) 23 (23,1) f '(x) －0 +－f(x)↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘(作判断)故当x=0时,函数f(x)取得极小值,为f(0)=0,函数f(x)的极大值点为x=23.(2)①当－1≤x<1时,由(1)知,函数f(x)在[－1,0]和[23,1)上单调递减,在[0,23]上单调递增.(作判断)因为f(－1)=2, f (23)=427, f(0)=0,所以f(x)在[－1,1)上的最大值为2.(得结论)②当1≤x ≤e 时, f(x)=aln x,当a ≤0时, f(x)≤0;当a>0时, f(x)在[1,e]上单调递增,则f(x)在[1,e]上的最大值为f(e)=a.(作判断)故当a ≥2时, f(x)在[－1,e]上的最大值为a;当a<2时, f(x)在[－1,e]上的最大值为2.(得结论)▲模板构建根据导数与函数单调性的关系,通过研究导函数在其零点左右两侧的函数值的符号求函数的极值.此方法适用于所有的可导函数求极值、最值问题.破解此类题的步骤如下:▲技法点拨对于利用导数求解函数的极值、最值的问题,需要注意,在闭区间[a,b]上的连续函数f(x)必有最大值与最小值,但在开区间(a,b)内的连续函数不一定有最大值与最小值.若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上是单调递增函数,则f(a)是最小值,f(b)是最大值;反之,则f(a)是最大值,f(b)是最小值.跟踪训练8.已知a∈R,函数f(x)=ax－ln x,x∈(0,e](e是自然对数的底数).(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间与极值;(2)求函数f(x)的最小值.模板九 三角函数求值例9 已知函数f(x)=√2sin x2cos x2－√2sin 2x2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[－π,0]上的最小值. 解析 (1)f(x)=√2sin x2cos x2－√2sin 2x2=√2×12sin x －√2×1－cosx 2=√22sin x+√22cos x －√22=sin (x +π4)－√22,(化简) 所以f(x)的最小正周期T=2π1=2π. (2)设t=x+π4,则t ∈[－3π4,π4],(换元)所以sin t ∈[－1,√22], 所以sin t －√22∈[－1－√22,0], 当x+π4=－π2,即x=－3π4时, f(x)取得最小值－1－√22.(求最值)▲模板构建 求三角函数最值问题,一般要先利用和(差)角公式及二倍角公式将三角函数的解析式化为y=Asin(ωx+φ)+k 的形式,再利用y=sin x 的最值,求得函数y=Asin(ωx+φ)+k 在指定区间上的最值,其一般步骤如下:▲技法点拨 在利用三角函数的性质求最值或值域时,要注意:(1)先确定函数的定义域;(2)将已知函数化简为y=Asin(ωx+φ)+k 的形式时,尽量化成A>0,ω>0的情况;(3)将ωx+φ视为一个整体.跟踪训练9.已知函数f(x)=sin 2x －sin 2(x －π6),x ∈R. (1)求f (π6)的值;(2)求f(x)在区间[－π3,π4]上的最大值和最小值.模板十 边角互化解三角形例10 △ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cos A=√63,B=A+π2.(1)求b 的值; (2)求△ABC 的面积.解析 (1)在△ABC 中,由题意知,sin A=√1－cos 2A =√33.因为B=A+π2,所以sin B=sin (A +π2)=cos A=√63.(找条件) 由正弦定理,得b=asinB sinA =3×√63√33=3√2.(用定理)(2)由余弦定理得cos A=b 2+c 2－a 22bc =√63(用定理)⇒c 2－4√3c+9=0 ⇒c 1=√3,c 2=3√3.又因为B=A+π2为钝角,所以b>c,则c=√3, 所以S △ABC =12acsin B=3√22.(得结果) ▲模板构建 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题,需注意灵活利用正弦定理或余弦定理,合理转化已知条件中的边角关系.此方法适用于已知条件是边的关系、角的三角函数关系或边角混合的关系的问题.解题步骤如下:▲技法点拨 解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,要考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,两个定理都有可能用到. 跟踪训练10.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且b －c a=sinA －sinC sinB+sinC .(1)求B;(2)若a+c=5,△ABC 的面积为3√32,求b.模板十一 利用基本不等式求最值 例11 函数f(x)=12x －1+4x (x >12)的最小值为 .答案 2+2√2解析 解法一(拼凑法):f(x)=12x －1+4x=24x －2+(4x －2)+2,(巧拼凑)因为x>12,所以4x －2>0,且24x －2×(4x －2)=2,(找定值)由基本不等式可得24x －2+(4x －2)+2≥2√24x －2×(4x －2)+2=2√2+2当且仅当24x －2=4x －2,即x=12+√24时,等号成立.故函数的最小值为2+2√2.(求最值) 解法二(换元法):设t=2x －1,则x=t+12.(换元)因为x>12,所以t>0.故y=1t +4×t+12=1t +2t+2,(巧拼凑)由基本不等式可得1t +2t ≥2√1t ×2t =2√2(当且仅当1t =2t,即t =√22时,等号成立). 所以y=1t +2t+2≥2√2+2,即f(x)的最小值为2+2√2.(求最值)▲模板构建 拼凑法的关键在于对函数解析式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解函数最值的步骤如下:▲技法点拨 利用拼凑法求解函数的最值应注意以下几个方面:(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及解析式中常数的调整,进行等价变形,如本题解法一中根据解析式的特征把12x －1变为24x －2,才能得到两式的乘积为定值,此类变形很容易忽视常数的调节,从而导致求错最值;(2)解析式的变形以拼凑出和或积的定值为目标,明确拼凑的目的,也就找到了拼凑的方向;(3)拆项、添项应注意函数定义域的限制,注意检验利用基本不等式的前提. 跟踪训练11.若a>0,b>0,lg a+lg b=lg(a+b),则a+b 的最小值为( ) A.8 B.6 C.4 D.2模板十二 不等式恒成立问题例12 已知x>0,y>0,且2x +1y =1,若x+2y>m 2+2m 恒成立,则实数m 的取值范围为 .答案 (－4,2)解析 记t=x+2y,由不等式恒成立可得m 2+2m<t min .(分离参数) 因为2x +1y =1,所以t=x+2y=(x+2y)(2x +1y )=4+4y x +xy .而x>0,y>0,所以4y x +xy ≥2√4y x ·xy =4当且仅当4y x =xy ,即x=2y 时等号成立. 所以t=4+4y x +xy ≥4+4=8,即t min =8.(求最值) 故m 2+2m<8,即(m －2)(m+4)<0,(建关系) 解得－4<m<2.(求范围)所以实数m 的取值范围为(－4,2).▲模板构建 分离参数法是求解不等式恒成立问题的常用方法,解题步骤如下:▲技法点拨用分离参数法求解不等式恒成立问题的关键在于准确根据不等式的结构特征分离参数,其实质就是通过分离参数转化为代数式的最值问题.(1)分离参数时,要注意参数的系数的符号是否发生变化,当参数的系数为负时,不等号的方向要发生变化;遵循变号一般不分离的原则,避免过多地进行分类讨论.(2)准确利用不等式恒成立建立参数与代数式的最值之间的关系.如①f(x)>a恒成立,则a<f(x)min;②f(x)≥a恒成立,则a≤f(x)min;③f(x)<a恒成立,则a>f(x)max;④f(x)≤a恒成立,则a≥f(x)max.(3)不等式有解时求解参数取值范围的问题要注意以下几点:①f(x)>a能成立(有解),则a<f(x)max;②f(x)≥a能成立(有解),则a≤f(x)max;③f(x)<a能成立(有解),则a>f(x)min;④f(x)≤a能成立(有解),则a≥f(x)min.跟踪训练12.若两个正实数x,y满足1x +4y=1,且不等式x+y4<m2－3m有解,则实数m的取值范围是()A.(－1,4)B.(－∞,－1)∪(4,+∞)C.(－4,1)D.(－∞,0)∪(3,+∞)模板十三数列的通项公式、求和例13已知数列{1a n }是等差数列,且a3=18,a2=4a7.(1)求{a n}的通项公式;(2)若b n =a n a n+1(n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n . 解析 (1)设等差数列{1a n}的公差为d,由题意知1a 3=8,1a 2=14a 7,(找关系)即1a 1+2d=8,1a 1+d=14(1a 1+6d),解得1a 1=2,d=3,于是1a n=2+3(n －1),整理得a n =13n －1.(求通项公式)(2)由(1)知a n =13n －1,故b n =a n a n+1 =1(3n －1)(3n+2)=13(13n －1－13n+2),(求通项公式,定方法)所以S n =13(12－15+15－18+…+13n －1－13n+2)=13(12－13n+2) =n 2(3n+2).(得结论)▲模板构建 数列的通项公式、求和问题的解题步骤:▲技法点拨(1)用错位相减法求和时,应注意:一要善于识别题目类型,特别是等比数列的公比为负数的情形;二是在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式.(2)用裂项相消法求和时,要注意有哪些项被消去,哪些项被保留,且要掌握一些常见的裂项(如:1n(n+1)=1n－1n+1等).(3)用分组法求和时,要注意观察数列的特点和规律,在分析数列通项公式的基础上,或分解为基本数列求和,或转化为基本数列求和.还要注意在含有字母的数列中对字母的讨论.跟踪训练13.已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n,且对任意的n∈N*,都有2S n=a n2+a n.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)数列{b n}满足b1=1,2b n+1－b n=0(n∈N*).若c n=a n b n,求数列{c n}的前n项和T n.模板十四空间中的平行与垂直例14如图,平面ABB1A1为圆柱的轴截面,点C为底面圆周上异于A,B的任意一点,点O1,O分别为两底面圆的圆心.(1)求证:BC⊥平面A1AC;(2)若D为AC的中点,求证:A1D∥平面O1BC.证明(1)因为AB为☉O的直径,点C为☉O上异于A,B的任意一点,所以BC⊥AC.(巧转化)又在圆柱中,AA1⊥底面☉O,所以AA1⊥BC,而AA1∩AC=A,(用定理)所以BC⊥平面A1AC.(得结论)(2)如图,取BC的中点E,连接DE,O1E.因为D为AC的中点,AB.(巧转化)所以在△ABC中,DE∥AB,且DE=12AB,所以DE∥A1O1,且DE=A1O1,所以四边形A1DEO1为又在圆柱中,A1O1∥AB,且A1O1=12平行四边形,所以A1D∥O1E.又A1D⊄平面O1BC,EO1⊂平面O1BC,(用定理)所以A1D∥平面O1BC.(得结论)▲模板构建证明空间中的平行与垂直问题的步骤如下:▲技法点拨在利用定理时应注意条件的完整性与合理性,不能随意添加、删减相关条件,否则就会得到错误的结果.跟踪训练14.如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证:(1)直线BC1∥平面EFPQ;(2)直线AC1⊥平面PQMN.模板十五空间点面距离的求法例15如图,在四棱锥S－ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,SA=AB=2,点M是SD的中点,AN⊥SC,且交SC于点N.(1)求证:直线SC⊥平面AMN;(2)求点N到平面ACM的距离.解析(1)证明:由条件易知DC⊥SA,DC⊥DA,又SA∩DA=A,所以DC⊥平面SAD,又AM⊂平面SAD,所以DC⊥AM.因为SA=AD,M是SD的中点,所以AM⊥SD.又DC∩SD=D,所以AM ⊥平面SDC, 又SC ⊂平面SDC, 所以AM ⊥SC.(找垂直)又SC ⊥AN,AN ∩AM=A,所以SC ⊥平面AMN.(用定理) (2)设点N 到平面ACM 的距离为h,连接DN. 由题意易知,在Rt △SAC 中,AC=2√2,SA=2,则SC=2√3, 由射影定理可知CN=AC 2SC =4√33,故CN=23SC.从而V 三棱锥N －ACM =V 三棱锥M －ANC =12V 三棱锥D －ANC =12V 三棱锥N －ACD =12×23V 三棱锥S －ACD =12×23×13×12×2×2×2=49.(列体积等式) 又由(1)得AM ⊥MC,且易知MA=√2,AC=2√2,则MC=√6, 故S △AMC =12MA ·MC=12×√2×√6=√3.(求底面积) 而V 三棱锥N －ACM =13S △AMC ·h=49,故h=4√39. 所以点N 到平面ACM 的距离为4√39.(得结论) ▲模板构建 利用等体积法求点面距离的解题步骤如下:▲技法点拨 利用等积变换法求解点到面的距离,其关键在于构造出四面体,构造的四面体必须具备两大条件:(1)所求距离中的点必须是四面体的一个顶点,四面体的其余三个顶点必须在所求距离中的对应平面内;(2)该四面体的体积求解方便. 跟踪训练15.如图1,在直角梯形ABCD 中,∠ADC=90°,CD ∥AB,AD=CD=12AB=2,点E 为AC 的中点,将△ADC 沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC,得到几何体D －ABC,如图2所示. (1)在CD 上找一点F,使AD ∥平面EFB; (2)求点C 到平面ABD 的距离.模板十六 概率的求法例16 如图,在矩形ABCD 中,点E 为边CD 的中点,点F 为边AD 的中点,AE 和BF 相交于点O,若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q,则点Q 取自△AOB 内部的概率等于( )A.110B.18C.14D.15答案 D解析 设AB=x,BC=y.易知所求事件的概率涉及相关图形的面积.(定性) 过点O 向AB 作垂线,垂足为G,过点E 向AB 作垂线,垂足为H,则AD ∥OG ∥EH. 则有OG EH =AGAH , ①OG AF =BG AB. ②又AF=12AD,EH=BC,AH=HB,结合①②解得OG=25y, 所以S △AOB =12AB ·OG=15xy.(定量)由几何概型的概率公式得所求的概率P=S△AOBS矩形ABCD =15xyxy=15.(定值)▲模板构建求解概率问题的一般步骤:▲技法点拨 1.求解古典概型概率的关键:(1)理解古典概型的两个特征:①试验的所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个基本事件出现的可能性相等.(2)掌握古典概型的概率计算公式P(A)=A包含的基本事件的个数基本事件的总数.(3)常用列表法、画树状图法等方法求基本事件的个数.2.求解有关几何概型概率问题的关键在于弄清题中的考察对象及其活动范围.当考察对象为点且点在线段上(平面区域、空间区域内)活动时,用线段长度比(面积比、体积比)计算.跟踪训练16.甲在微信群中发一个6元“拼手气”红包,被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是()A.34B.13C.310D.25模板十七圆锥曲线的最值问题例17平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32,且点(√3,12)在椭圆C上.(1)求椭圆C 的方程;(2)设椭圆E:x 24a 2+y 24b 2=1,P 为椭圆C 上任意一点,过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E 于A,B 两点,射线PO 交椭圆E 于点Q.(i)求|OQ||OP|的值;(ii)求△ABQ 面积的最大值.解析(1)由题意知3a 2+14b 2=1,又√a 2－b 2a =√32,解得a 2=4,b 2=1,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216+y 24=1. (i)设P(x 0,y 0),|OQ||OP|=λ(λ>0), 由题意知Q(－λx 0,－λy 0).因为x 024+y 02=1,又(－λx 0)216+(－λy 0)24=1,即λ24(x 024+y 02)=1,所以λ=2或λ=－2(舍去),所以|OQ||OP|=2. (ii)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),(设点的坐标) 将y=kx+m 代入椭圆E 的方程,可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2－16=0,(联立方程转化) 则有x 1+x 2=－8km1+4k 2,x 1x 2=4m 2－161+4k 2,所以|x 1－x 2|=4√16k 2+4－m 21+4k 2.由Δ>0,可得m 2<4+16k 2. ①因为直线y=kx+m 与y 轴交点的坐标为(0,m),所以△OAB 的面积S=12|m|·|x 1－x 2|=2|m|√16k 2+4－m 21+4k 2=2√(16k 2+4－m 2)m 21+4k 2=2√(4－m 21+4k 2)m 21+4k 2.设m 21+4k 2=t.(设出参数)将y=kx+m 代入椭圆C 的方程,可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2－4=0, 由Δ≥0,可得m 2≤1+4k 2. ②由①②可知0<t ≤1,S=2√(4－t)t =2√－t 2+4t ,(目标函数) 故S ≤2√3,当且仅当t=1,即m 2=1+4k 2时,S 取得最大值2√3.由(i)知△ABQ 的面积为3S,所以△ABQ 面积的最大值为6√3.(得出结论) ▲模板构建 与圆锥曲线有关的最值问题的解题步骤:▲技法点拨 有关圆锥曲线的最值问题类型多样且解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:代数法和几何法.若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立目标函数,再求这个函数的最值. 跟踪训练17.如图,已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率e=√32,且过点(2,√3),直线l 1:y=kx+m(m>0)与圆C 2:(x －1)2+y 2=1相切,且与椭圆C 1交于A,B 两点. (1)求椭圆C 1的方程;(2)过原点O 作l 1的平行线l 2交椭圆于C,D 两点,设|AB|=λ|CD|,求λ的最小值.模板十八 圆锥曲线中的定点问题例18 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左焦点为F,且经过点A(0,1).过点F 所作直线AF 的垂线经过点B(－2,1),点O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程;(2)点M(x 1,y 1)(y 1≠0)是椭圆C 上的一点,直线MF 与椭圆C 的另一个交点为N(x 2,y 2),直线l:x 1x a 2+y 1yb 2=1与直线x=－2交于点D.求证:直线OD 恰好经过线段MN 的中点.解析 (1)依题意得b=1.设F(－c,0)(c>0),(设点的坐标) 则直线AF 的斜率k AF =1－00+c =1c .因为AF ⊥BF,所以直线BF 的方程为y=－c(x+c).(用垂直) 将(－2,1)代入y=－c(x+c)得1=－c(－2+c),解得c=1. 所以a 2=b 2+c 2=2,所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(得结果) (2)证明:由(1)知直线l 的方程为x 1x 2+y 1y=1,即x 1x+2y 1y=2,由{x 1x +2y 1y =2,x =－2,得{x =－2,y =x 1+1y 1,即D (－2,x 1+1y 1).①若直线MF ⊥x 轴,则x 1=－1,MN 的中点为F(－1,0). 由椭圆的对称性,不妨取y 1=－√22, 所以y D =x 1+1y 1=－1+1－√22=0.所以直线OD 即x 轴,恰好经过线段MN 的中点.②若直线MF 与x 轴不垂直,设其方程为y=k(x+1)(k ≠0).如图.(设出参数)则y D =x 1+1y 1=x 1+1k(x 1+1)=1k,即D (－2,1k ),所以直线OD 的方程为y=－12k x.(求直线系方程) 由{y =k(x +1),x 2+2y 2=2得(1+2k 2)x 2+4k 2x+2(k 2－1)=0, 所以x 1+x 2=－4k 21+2k 2.设线段MN 的中点为P(x P ,y P ), 则x P =12(x 1+x 2)=－2k 21+2k 2, y P =k(x P +1)=k1+2k 2,(求定点坐标) 所以y P =x P －2k,所以点P 在直线OD 上,即直线OD 恰好经过线段MN 的中点. 综上所述,直线OD 恰好经过线段MN 的中点.(得出结论)▲模板构建 求解以圆锥曲线为背景的直线过定点问题的解题步骤:▲反思提升 解决此类问题的关键在于利用坐标运算准确建立目标等式,根据目标等式恒成立的条件列出定点坐标所满足的方程或方程组.注意:设直线方程的依据是点的坐标之间的关系,若横坐标之间的关系比较明确,则应该消去y,设直线方程为y=kx+b 的形式,此时需要根据“直线的斜率是否存在”进行讨论或说明;若纵坐标之间的关系比较明确,则应该消去x,设直线方程为x=my+t 的形式,此时m 等于直线的斜率的倒数,需要根据“直线的斜率是不是零”进行讨论或说明. 跟踪训练18.已知椭圆Γ的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),离心率e=√33,点P (√62,1)在椭圆Γ上. (1)求椭圆Γ的方程;(2)过Γ的右焦点F 作两条弦AB,CD,满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CN ⃗⃗⃗⃗⃗ ,证明直线MN 必过定点,并求此定点.模板十九圆锥曲线中的定值问题例19已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,点(2,√2)在C上.(1)求C的方程;(2)若直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.解析(1)依题意有{ca =√22,22 a2+(√2)2b2=1,c2=a2－b2,解得{a2=8,b2=4,所以椭圆C的方程为x 28+y24=1.(2)证明:设直线l的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0),(引进参数) A(x1,y1),B(x2,y2),M(x M,y M),由{y=kx+m,x28+y24=1得(2k2+1)x2+4kmx+2m2－8=0,(联立方程)所以x1+x2=－4km2k2+1.因为线段AB的中点为M,所以x M=x1+x22=－2km2k2+1,所以y M=kx M+m=m2k2+1,所以直线OM的斜率k OM=y Mx M =－12k,所以k OM·k=－12,即直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值－12.(求出定值)▲模板构建圆锥曲线中的定值问题的解题步骤如下:▲反思提升 破解圆锥曲线中的定值问题的易错点是分类讨论缺失,此类题应该注意考虑问题的各种可能性,特别是在涉及直线的斜率时,要注意直线的斜率不存在的情况,同时要注意问题的转化及平面几何知识的运用. 跟踪训练19.设椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b ≥1)的离心率e=√22,右焦点到直线2ax+by －√2=0的距离为√23. (1)求椭圆C 的方程;(2)过原点O 作两条互相垂直的射线,与椭圆C 分别交于A,B 两点,证明点O 到直线AB 的距离为定值,并求弦AB 长度的最小值. 模板二十 圆锥曲线中的探索性问题例20 已知定点C(－1,0)及椭圆x 2+3y 2=5,过点C 的动直线与椭圆相交于A,B 两点.(1)若线段AB 中点的横坐标是－12,求直线AB 的方程;(2)在x 轴上是否存在点M,使MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.解析 (1)依题意知,直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为y=k(x+1), 将y=k(x+1)代入x 2+3y 2=5,消去y,整理得(3k 2+1)x 2+6k 2x+3k 2－5=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=－6k 23k 2+1. 由线段AB 中点的横坐标是－12,得x 1+x 22=－3k 23k 2+1=－12,解得k=±√33,经检验,符合题意.所以直线AB 的方程为x －√3y+1=0或x+√3y+1=0.。
2019年高考文科数学二轮复习分专题解答题训练共八套 Word版附答案及解析
2019年高考文科数学（通用版）二轮复习解答题训练共八套PS ：答案及解析页码为：14～35页专题一：解三角形1.已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a sin A ＋c sin C －b sin B ＝2a sin C .(1)求角B 的大小；(2)设向量m ＝(cos A ，cos 2A )，n ＝(12，－5)，边长a ＝4，当m ·n 取最大值时，求b 的值.2.已知△ABC 中， AC ＝2，A ＝2π3，3cos C ＝3sin B .(1)求AB ；(2)若D 为BC 边上一点，且△ACD 的面积为334，求∠ADC 的正弦值.3.已知函数f (x )＝1＋23sin x 2cos x 2－2cos 2x2，△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)求f (A )的取值范围；(2)若A 为锐角且f (A )＝2，2sin A ＝sin B ＋2sin C ，△ABC 的面积为3＋34，求b 的值.4.(2018·北京11中模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，32，且相邻两条对称轴的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式及其在[0，π]上的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＋cos A ＝12，求角A 的大小.专题二：数 列1.在等差数列{a n }中， a 1＝－2，a 12＝20. (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，求数列{3b n }的前n 项和S n .2.(2018·巩义模拟)已知数列{a n }满足a 1＝12，1a n ＋1＝1a n ＋2(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12.3.(2018·衡水金卷模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝5,3a 5＋a 9＝S 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋1a n ，且b 1＝a 6，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .4.(2018·大庆模拟)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 9＝81.记b n ＝[log 5a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[log 516]＝1. (1)求b 1，b 14，b 61； (2)求数列{b n }的前200项和.专题三：立体几何1.如图，在三棱柱ABF －DCE 中， ∠ABC ＝120°， BC ＝2CD, AD ＝AF , AF ⊥平面ABCD .(1)求证：BD ⊥EC ；(2)若AB ＝1，求四棱锥B －ADEF 的体积.2.如图，在△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AE AC ＝AFAD＝λ(0<λ<1).(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； (2)是否存在实数λ，使得平面BEF ⊥平面ACD .3.如图，在四棱锥P —ABCD 中，PC ＝AD ＝CD ＝12AB ＝2，AB ∥DC ，AD ⊥CD ，PC ⊥平面ABCD .(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)若M 为线段P A 的中点，且过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 交于点N ，确定点N 的位置，说明理由；并求三棱锥A —CMN 的高.4.(2018·乐山联考)如图， AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点， PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1.(1)若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ； (2)求三棱锥P －ABC 体积的最大值；(3)若BC ＝2，点E 在线段PB 上，求CE ＋OE 的最小值.专题四：解析几何1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且C 过点⎝⎛⎭⎫1，32.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P ，Q 均在第一象限)，且直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，证明：直线l 的斜率为定值.2.已知抛物线Γ：x 2＝2py (p >0)，直线y ＝2与抛物线Γ交于A ，B (点B 在点A 的左侧)两点，且|AB |＝43.(1)求抛物线Γ在A ，B 两点处的切线方程；(2)若直线l 与抛物线Γ交于M ，N 两点，且MN 的中点在线段AB 上，MN 的垂直平分线交y 轴于点Q ，求△QMN 面积的最大值.3.已知A ，F 分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点、右焦点，点P 为椭圆C 上一动点，当PF ⊥x 轴时，|AF |＝2|PF |. (1)求椭圆C 的离心率；(2)若椭圆C 上存在点Q ，使得四边形AOPQ 是平行四边形(点P 在第一象限)，求直线AP 与OQ 的斜率之积； (3)记圆O ：x 2＋y 2＝aba 2＋b 2为椭圆C 的“关联圆”. 若b ＝3，过点P 作椭圆C 的“关联圆”的两条切线，切点为M ，N ，直线MN 在x 轴和y 轴上的截距分别为m ，n ，求证：3m 2＋4n 2为定值.4.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (2,0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A且斜率为12的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 且斜率大于12的直线与椭圆交于M ，N 两点(|PM |>|PN |)，若S △P AM ∶S △PBN ＝λ，求实数λ的取值范围.专题五：概率与统计1.(2018·安徽省六安一中适应性考试)全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2019年1月某日起连续n天监测空气质量指数(AQⅠ)，数据统计如下：(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；(2)在空气质量指数分别属于[50,100)和[150,200)的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A“两天空气质量等级都为良”发生的概率.2.为了丰富退休生活，老王坚持每天健步走，并用计步器记录每天健步走的步数.他从某月中随机抽取20天的健步走步数(老王每天健步走的步数都在[6,14]之间，单位：千步)，绘制出频率分布直方图(不完整)如图所示.(1)完成频率分布直方图，并估计该月老王每天健步走的平均步数(每组数据可用区间中点值代替)；(2)某健康组织对健步走步数的评价标准如下表：现从这20天中评价级别是“及格”和“良好”的天数里随机抽取2天，求这2天的健步走结果属于同一评价级别的概率.3.为了解某地区某种农产品的年产量x (单位：吨)对价格y (单位：千元/吨)和利润Z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：(1)求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量约为多少时，年利润Z 取到最大值？(保留两位小数)参考公式：b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .4.某校高二奥赛班N 名学生的物理测评成绩(满分120分)的频率分布直方图如下，已知分数在100～110的学生有21人.(1)求总人数N 和分数在110～115的人数n ；(2)现准备从分数在110～115的n 名学生⎝⎛⎭⎫女生占13中任选2人，求其中恰好有一名女生的概率；(3)为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x (满分150分)，物理成绩y 进行分析，下面是该生7次考试的成绩.已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2，a ^＝y －b ^x .专题六：函数与导数1.已知函数f (x )＝2x 2＋x＋ln x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求证：f (x )>0.2.已知函数f (x )＝ln x, g (x )＝f (x )＋ax 2＋bx ，函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴.(1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性.3.已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝(－x 2＋ax －3)e x (a 为实数). (1)当a ＝5时，求函数g (x )的图象在x ＝1处的切线方程； (2)求f (x )在区间[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(3)若存在两个不等实数x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，使方程g (x )＝2e x f (x )成立，求实数a 的取值范围.4.(2018·安徽省六安一中模拟)已知函数f (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋a ln x (a 为实常数).(1)若a ＝－2，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)若存在x ∈[1，e]，使得f (x )≤0成立，求实数a 的取值范围.专题七：坐标系与参数方程1.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：⎩⎨⎧ x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)过点M (－1,0)且与直线l 平行的直线l 1交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.2.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－t ，y ＝t －1(t 是参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 2：ρ＝8sin θ.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)判断直线C 1与曲线C 2的位置关系，若相交，求出弦长.3.(2018·河北省武邑中学期中)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，曲线C 3的极坐标方程为θ＝π6(ρ>0). (1)求曲线C 1的极坐标方程和C 3的直角坐标方程；(2)设C 3分别交C 1，C 2于点P ，Q ，求△C 1PQ 的面积.4.已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝4sin θ.(1)求曲线C 1与C 2交点的平面直角坐标；(2)A ，B 两点分别在曲线C 1与C 2上，当|AB |最大时，求△AOB 的面积(O 为坐标原点).专题八：不等式选讲1.已知函数f(x)＝|x－2a|＋|x－3a|.(1)若f(x)的最小值为2，求a的值；(2)若对∀x∈R, ∃a∈[－2,2]，使得不等式m2－|m|－f(x)<0成立，求实数m的取值范围.2.(1)已知x∈R，求f(x)＝|x＋1|－|x－2|的最值；(2)若|x－3|＋|x＋1|＞a的解集不是R，求a的取值范围.3.已知函数f(x)＝|2x－1|＋ax－5(a是常数，a∈R).(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若函数f(x)恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.4.已知函数f(x)＝|x－2m|－|x＋m|(m>0).(1)当m＝2时，求不等式f(x)≥1的解集；(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)≤|t＋3|＋|t－2|恒成立，求m的取值范围.答案及解析专题一：解三角形1.解 (1)由题意得，a sin A ＋c sin C －b sin B ＝2a sin C ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22， ∵B ∈(0，π)， ∴B ＝π4. (2)∵m ·n ＝12cos A －5cos 2A ＝－10⎝⎛⎭⎫cos A －352＋435， ∴当cos A ＝35时，m ·n 取最大值，此时sin A ＝45. 由正弦定理得，b ＝a sin B sin A ＝522. 2.解 (1)因为A ＝2π3，所以B ＝π3－C ， 由3cos C ＝3sin B 得，cos C ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－C ， 所以cos C ＝3⎝⎛⎭⎫32cos C －12sin C ＝32cos C －32sin C ， 所以12cos C ＝32sin C ， 即tan C ＝33. 又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π6，从而得B ＝π3－C ＝π6，所以AB ＝AC ＝2. (2)由已知得12·AC ·CD sin π6＝334，所以CD ＝332， 在△ACD 中，由余弦定理得，AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos C ＝74，即AD ＝72，由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin ∠ADC， 故sin ∠ADC ＝AC sin C AD ＝277. 3.解 (1)f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，∴f (A )＝2sin ⎝⎛⎭⎫A －π6，由题意知，0<A <π，则A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，5π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫A －π6∈⎝⎛⎦⎤－12，1， 故f (A )的取值范围为(－1,2].(2)由题意知，sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝22，∵A 为锐角，即A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3， ∴A －π6＝π4，即A ＝5π12. 由正、余弦定理及三角形的面积公式，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝b ＋2c ，12bc ·sin 5π12＝3＋34，cos 5π12＝b 2＋c 2－a 22bc ，解得b ＝ 2.4.解 (1)由相邻两条对称轴的距离为π2，可得其周期为T ＝2π＝π，所以ω＝2，由图象过点⎝⎛⎭⎫π4，32，且ω>0,0<φ<π2，得φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z . 所以函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤5π6，π. (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＋cos A ＝12， 可得sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＋cos A ＝12， 则32sin A ＋12cos A ＝12，得sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝12， 因为0<A <π，所以π6<A ＋π6<7π6，所以A ＋π6＝5π6， 所以A ＝2π3. 专题二：数 列1.解 (1)因为a n ＝－2＋(n －1)d ，所以a 12＝－2＋11d ＝20，于是d ＝2，所以a n ＝2n －4(n ∈N *).(2)因为a n ＝2n －4，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (2n －6)2＝n (n －3)，于是 b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n＝n －3，令c n ＝3b n ，则c n ＝3n －3， 显然数列{c n }是等比数列，且c 1＝3－2，公比q ＝3，所以数列{3b n }的前n 项和S n ＝c 1()1－q n 1－q ＝3n －118(n ∈N *). 2.(1)解 由条件可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，且首项为2，公差为2，所以1a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故a n ＝12n(n ∈N *). (2)证明 依题意可知a 2n ＝⎝⎛⎭⎫12n 2＝14·1n 2<14·1n ·1n －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，n ≥2，n ∈N *. 又因为a 21＝14， 所以a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n < 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝14⎝⎛⎭⎫2－1n <14×2＝12. 故a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12. 3.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝5,3a 5＋a 9＝S 6，得3(5＋4d )＋(5＋8d )＝6×5＋6×52d ，解得d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5＋2(n －1)＝2n ＋3(n ∈N *).(2)由(1)得，b 1＝a 6＝2×6＋3＝15.又因为b n ＋1＝a n ＋1a n ，所以当n ≥2时，b n ＝a n a n －1＝(2n ＋3)(2n ＋1)，当n ＝1时，b 1＝5×3＝15，符合上式，所以b n ＝(2n ＋3)(2n ＋1)(n ∈N *).所以1b n ＝1(2n ＋3)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝n 3(2n ＋3)(n ∈N *). 4.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知S 9＝81，根据等差数列的性质可知，S 9＝9a 5＝9(a 1＋4d )＝81，∴a 1＋4d ＝9.∵a 1＝1，∴d ＝2，∴a n ＝2n －1，∴b 1＝[log 51]＝0，b 14＝[log 527]＝2，b 61＝[log 5121]＝2.(2)当1≤n ≤2时，1≤a n ≤3(a n ∈N *)，b n ＝[log 5a n ]＝0，共2项；当3≤n ≤12时，5≤a n ≤23，b n ＝[log 5a n ]＝1，共10项；当13≤n ≤62时，25≤a n ≤123，b n ＝[log 5a n ]＝2，共50项；当63≤n ≤200时，125≤a n ≤399，b n ＝[log 5a n ]＝3，共138项.∴数列{b n }的前200项和为2×0＋10×1＋50×2＋138×3＝524.专题三：立体几何1.(1)证明 已知ABF －DCE 为三棱柱，且AF ⊥平面ABCD ，∴DE ∥AF ，ED ⊥平面ABCD .∵BD⊂平面ABCD，∴ED⊥BD，又ABCD为平行四边形，∠ABC＝120°，故∠BCD＝60°，又BC＝2CD，故∠BDC＝90°，故BD⊥CD，∵ED∩CD＝D，ED，CD⊂平面ECD，∴BD⊥平面ECD，∵EC⊂平面ECD，故BD⊥EC.(2)解由BC＝2CD得AD＝2AB，∵AB＝1，故AD＝2，作BH⊥AD于点H，∵AF⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，∴AF⊥BH，又AD∩AF＝A，AD，AF⊂平面ADEF，∴BH⊥平面ADEF，又∠ABC＝120°，∴在△ABH中，∠BAH＝60°，又AB＝1，∴BH＝3 2，∴V B－ADEF＝13×(2×2)×32＝233.2.(1)证明∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABC.又∵AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)，∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF⊂平面BEF，∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC. (2)解假设存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD. 由(1)知BE⊥EF，∵平面BEF ⊥平面ACD ，平面BEF ∩平面ACD ＝EF ，BE ⊂平面BEF ，∴BE ⊥平面ACD .又∵AC ⊂平面ACD ，∴BE ⊥AC .∵BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝∠ABD ＝90°，∠ADB ＝60°，∴BD ＝2，∴AB ＝2tan 60°＝6，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝7.由Rt △AEB ∽Rt △ABC ，得AB 2＝AE ·AC ，∴AE ＝67， ∴λ＝AE AC ＝67. 故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD . 3.(1)证明 连接AC ，在直角梯形ABCD 中，AC ＝AD 2＋DC 2＝22，BC ＝(AB －CD )2＋AD 2＝22，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，即AC ⊥BC .又PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PC ⊥BC ，又AC ∩PC ＝C ，AC ，PC ⊂平面P AC ，故BC ⊥平面P AC .(2)解 N 为PB 的中点，连接MN ，CN .因为M 为P A 的中点，N 为PB 的中点，所以MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝2. 又因为AB ∥CD ，所以MN ∥CD ，所以M ，N ，C ，D 四点共面，所以N 为过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 的交点.因为BC ⊥平面P AC ，N 为PB 的中点，所以点N 到平面P AC 的距离d ＝12BC ＝ 2. 又S △ACM ＝12S △ACP ＝12×12×AC ×PC ＝2， 所以V 三棱锥N —ACM ＝13×2×2＝23. 由题意可知，在Rt △PCA 中，P A ＝AC 2＋PC 2＝23，CM ＝3，在Rt △PCB 中，PB ＝BC 2＋PC 2＝23， CN ＝3，所以S △CMN ＝12×2×2＝ 2. 设三棱锥A —CMN 的高为h ，V 三棱锥N —ACM ＝V 三棱锥A —CMN ＝13×2×h ＝23， 解得h ＝2，故三棱锥A —CMN 的高为 2.4.(1)证明 在△AOC 中，因为OA ＝OC, D 为AC 的中点，所以AC ⊥OD .又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO ⊥AC .因为DO ∩PO ＝O ，DO ，PO ⊂平面PDO ，所以AC ⊥平面PDO .(2)解 因为点C 在圆O 上，所以当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1.又AB ＝2，所以△ABC 面积的最大值为12×2×1＝1. 又因为三棱锥P －ABC 的高PO ＝1，故三棱锥P －ABC 体积的最大值为13×1×1＝13. (3)解 在△POB 中，PO ＝OB ＝1，∠POB ＝90°，所以PB ＝12＋12＝ 2.同理PC ＝2，所以PB ＝PC ＝BC .在三棱锥P －ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面C ′PB ，使之与平面ABP 共面，如图所示.当O ，E ，C ′共线时，CE ＋OE 取得最小值. 又因为OP ＝OB ，C ′P ＝C ′B ， 所以OC ′垂直平分PB ，即E 为PB 中点. 从而OC ′＝OE ＋EC ′＝22＋62＝2＋62，即CE ＋OE 的最小值为2＋62.专题四：解析几何1.(1)解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，1a 2＋34b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， ∵直线l 与椭圆交于两点，∴Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2，∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2. ∵直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，∴k 2＝y 2x 2·y 1x 1＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2，整理得km (x 1＋x 2)＋m 2＝0， ∴－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0， 又m ≠0，∴k 2＝14，结合图象(图略)可知k ＝－12，故直线l 的斜率为定值.2.解 (1)由x 2＝2py ，令y ＝2，得x ＝±2p ，所以4p ＝43，解得p ＝3，所以x 2＝6y ，由y ＝x 26，得y ′＝x 3，故y ′|x ＝23＝233. 所以在A 点的切线方程为y －2＝233(x －23)，即2x －3y －23＝0，同理可得在B 点的切线方程为2x ＋3y ＋23＝0.(2)由题意得直线l 的斜率存在且不为0，故设l ：y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由x 2＝6y 与y ＝kx ＋m 联立， 得x 2－6kx －6m ＝0，Δ＝36k 2＋24m >0， 所以x 1＋x 2＝6k ，x 1x 2＝－6m ， 故|MN |＝1＋k 2·36k 2＋24m ＝23·1＋k 2·3k 2＋2m .又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6k 2＋2m ＝4，所以m ＝2－3k 2，所以|MN |＝23·1＋k 2·4－3k 2， 由Δ＝36k 2＋24m >0，得－233<k <233且k ≠0.因为MN 的中点坐标为(3k,2)，所以MN 的垂直平分线方程为y －2＝－1k (x －3k )，令x ＝0，得y ＝5，即Q (0,5)，所以点Q 到直线kx －y ＋2－3k 2＝0的距离d ＝|－5＋2－3k 2|1＋k2＝31＋k 2，所以S △QMN ＝12·23·1＋k 2·4－3k 2·31＋k 2＝33·(1＋k 2)2(4－3k 2).令1＋k 2＝u ，则k 2＝u －1，则1<u <73，故S △QMN ＝33·u 2(7－3u ).设f (u )＝u 2(7－3u )，则f ′(u )＝14u －9u 2，结合1<u <73，令f ′(u )>0，得1<u <149；令f ′(u )<0，得149<u <73，所以当u ＝149，即k ＝±53时，(S △QMN )max ＝33×1497－3×149＝1473. 3.(1)解 由PF ⊥x 轴，知x P ＝c ，代入椭圆C 的方程， 得c 2a 2＋y 2Pb 2＝1，解得y P ＝±b 2a. 又|AF |＝2|PF |，所以a ＋c ＝2b 2a ，所以a 2＋ac ＝2b 2，即a 2－2c 2－ac ＝0，所以2e 2＋e －1＝0， 由0<e <1，解得e ＝12.(2)解 因为四边形AOPQ 是平行四边形， 所以PQ ＝a 且PQ ∥x 轴，所以x P ＝a 2，代入椭圆C 的方程，解得y P ＝±32b ，因为点P 在第一象限，所以y P ＝32b ， 同理可得x Q ＝－a 2，y Q ＝32b ，所以k AP k OQ ＝3b2a 2－(－a )·3b2－a 2＝－b 2a 2，由(1)知e ＝c a ＝12，得b 2a 2＝34，所以k AP k OQ ＝－34.(3)证明 由(1)知e ＝c a ＝12，又b ＝3，解得a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，圆O 的方程为x 2＋y 2＝237. ①连接OM ，ON (图略)，由题意可知，OM ⊥PM ，ON ⊥PN ， 所以四边形OMPN 的外接圆是以OP 为直径的圆，设P (x 0，y 0)，则四边形OMPN 的外接圆方程为⎝⎛⎭⎫x －x 022＋⎝⎛⎭⎫y －y 022＝14(x 20＋y 20)， 即x 2－xx 0＋y 2－yy 0＝0.②①－②，得直线MN 的方程为xx 0＋yy 0＝237，令y ＝0，则m ＝237x 0，令x ＝0，则n ＝237y 0.所以3m 2＋4n 2＝49⎝⎛⎭⎫x 204＋y 203， 因为点P 在椭圆C 上，所以x 204＋y 203＝1，所以3m 2＋4n 2＝49(为定值).4.解 (1)因为BF 1⊥x 轴，得到点B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b 2a ，所以⎩⎨⎧ a ＝2，b 2a (a ＋c )＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)因为S △P AM S △PBN ＝12|P A ||PM |·sin ∠APM12|PB ||PN |·sin ∠BPN ＝2·|PM |1·|PN |＝λ，所以|PM ||PN |＝λ2(λ>2)，所以PM →＝－λ2PN →.由(1)可知P (0，－1)，设MN 方程为y ＝kx －1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8kx －8＝0，Δ>0恒成立，即得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝8k4k 2＋3，x 1·x 2＝－84k 2＋3，(*)又PM →＝(x 1，y 1＋1)，PN →＝(x 2，y 2＋1)，有x 1＝－λ2x 2，将x 1＝－λ2x 2代入(*)可得，(2－λ)2λ＝16k 24k 2＋3.因为k >12，所以16k 24k 2＋3＝163k 2＋4∈(1,4)，则1<(2－λ)λ2<4且λ>2，即得4<λ<4＋2 3.综上所述，实数λ的取值范围为(4,4＋23).专题五：概率与统计1.解 (1)∵0.004×50＝20n，∴n ＝100，∵20＋40＋m ＋10＋5＝100， ∴m ＝25，40100×50＝0.008；25100×50＝0.005；10100×50＝0.002；5100×50＝0.001.(2)在空气质量指数为[50,100)和[150,200)的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为[50,100)的4天分别记为a ，b ，c ，d ；将空气质量指数为[150,200)的1天记为e ，从中任取2天的基本事件分别为：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10种，其中事件A “两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，共6种，所以事件A “两天空气质量等级都为良”发生的概率是P (A )＝610＝35.2.解 (1)设落在分组[10,12)中的频率为x ，则⎝⎛⎭⎫0.05＋0.075＋x2＋0.125×2＝1，得x ＝0.5， 所以各组中的频数分别为2,3,10,5. 完成的频率分布直方图如图所示：老王该月每天健步走的平均步数约为(7×0.05＋9×0.075＋11×0.25＋13×0.125)×2＝10.8(千步).(2)设评价级别是及格的2天分别为a ，b ，评价级别是良好的3天分别为x ，y ，z ， 则从这5天中任意抽取2天，共有10种不同的结果： ab ，ax ，ay ，az ，bx ，by ，bz ，xy ，xz ，yz ，所抽取的2天属于同一评价级别的结果共4种：ab ，xy ，xz ，yz .所以，从这20天中评价级别是“及格”和“良好”的天数里随机抽取2天，属于同一评价级别的概率P ＝410＝25.3.解 (1)x ＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3，y ＝15(7.0＋6.5＋5.5＋3.8＋2.2)＝5，∑i ＝15x i y i ＝1×7.0＋2×6.5＋3×5.5＋4×3.8＋5×2.2＝62.7，∑i ＝15x 2i ＝12＋22＋32＋42＋52＝55， ∴b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝62.7－5×3×555－5×32＝－1.23，a ^＝y －b ^x ＝5－(－1.23)×3＝8.69，∴y 关于x 的线性回归方程是y ^＝8.69－1.23x . (2)年利润Z ＝x (8.69－1.23x )－2x ＝－1.23x 2＋6.69x ， ∴当年产量约为2.72吨时，年利润Z 最大.4.解 (1)分数在100～110内的学生的频率为P 1＝(0.04＋0.03)×5＝0.35， 所以该班总人数N ＝210.35＝60，分数在110～115内的学生的频率为P 2＝1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.04＋0.03＋0.01)×5＝0.1， 分数在110～115内的人数n ＝60×0.1＝6.(2)由(1)可知，分数在110～115内有6名学生，其中女生有2名，男生有4名， 设男生为A 1，A 2，A 3，A 4，女生为B 1，B 2，从6名学生中选出2人的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15个.其中恰好有一名女生的基本事件有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，共8个， 所以所求的概率为P ＝815.(3)x ＝100＋－12－17＋17－8＋8＋127＝100，y ＝100＋－6－9＋8－4＋4＋1＋67＝100.由于x 与y 之间具有线性相关关系，根据公式得到b ^＝497994＝0.5，a ^＝100－0.5×100＝50，所以线性回归方程为y ^＝0.5x ＋50，所以当x ＝130时，y ^＝115.所以他的物理成绩的估计值是115分.专题六：函数与导数1.(1)解 f (x )＝2x 2＋x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝－2(2x ＋1)(x 2＋x )2＋1x ＝x 3＋2x 2－3x －2(x 2＋x )2， 所以f ′(1)＝－12，又f (1)＝1，则切线方程为x ＋2y －3＝0. (2)证明 令h (x )＝x 3＋2x 2－3x －2， 则h ′(x )＝3x 2＋4x －3， 设h ′(x )＝0的两根为x 1，x 2， 由于x 1x 2＝－1<0， 不妨设x 1<0，x 2>0，则h (x )在(0，x 2)上是单调递减的，在(x 2，＋∞)上是单调递增的. 而h (0)<0，h (1)<0，h (2)>0，所以h (x )在(0，＋∞)上存在唯一零点x 0，且x 0∈(1,2)， 所以f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增. 所以f (x )≥f (x 0)＝2x 20＋x 0＋ln x 0，因为x 0∈(1,2)，ln x 0>0，f (x )>2x 20＋x 0>0，所以f (x )>0.2.解 (1)依题意得g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，x >0，则g ′(x )＝1x＋2ax ＋b ，由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴得， g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0， ∴b ＝－2a －1.(2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－()2a ＋1x ＋1x＝()2ax －1()x －1x.∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴当a ＝0时， g ′(x )＝－x －1x ，由g ′()x >0得0<x <1， 由g ′()x <0得x >1； 若0<12a <1，即a >12时，由g ′()x >0得x >1或0<x <12a ，由g ′()x <0得12a <x <1；若12a >1，即0<a <12时， 由g ′()x >0得x >12a 或0<x <1，由g ′()x <0得1<x <12a；若12a ＝1，即a ＝12时，在()0，＋∞上恒有g ′()x ≥0. 综上得，当a ＝0时，函数g ()x 在(0,1)上单调递增，在()1，＋∞上单调递减；当0<a <12时，函数g ()x 在()0，1上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减；在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，函数g ()x 在()0，＋∞上单调递增；当a >12时，函数g ()x 在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减；在()1，＋∞上单调递增.3.解 (1)当a ＝5时，g (x )＝(－x 2＋5x －3)e x ，g (1)＝e ，g ′(x )＝(－x 2＋3x ＋2)e x ，故切线的斜率为g ′(1)＝4e ，所以切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即4e x －y －3e ＝0.(2)函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞).因为f ′(x )＝ln x ＋1， 所以在(0，＋∞)上，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当t ≥1e 时，在区间[t ，t ＋2]上，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (t )＝t ln t ，当0<t <1e 时，在区间⎣⎡⎭⎫t ，1e 上，f (x )为减函数，在区间⎝⎛⎦⎤1e ，t ＋2上，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e . (3)由g (x )＝2e xf (x )，可得2x ln x ＝－x 2＋ax －3， 则a ＝x ＋2ln x ＋3x ，令h (x )＝x ＋2ln x ＋3x ，x >0，则h ′(x )＝1＋2x －3x 2＝(x ＋3)(x －1)x 2.当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：因为h ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ＋3e －2，h (e)＝3e＋e ＋2，h (1)＝4，所以h (e)－h ⎝⎛⎭⎫1e ＝4－2e ＋2e<0， 所以h (e)<h ⎝⎛⎭⎫1e ，所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤4，3e ＋e ＋2. 4.解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x ，则f ′(x )＝2x －2x，f ′(1)＝0，所求切线方程为y ＝1.(2)f ′(x )＝2x －(a ＋2)＋a x ＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x ＝(2x －a )(x －1)x，x ∈[1，e]. 当a 2≤1，即a ≤2时，x ∈[1，e]，f ′(x )≥0，此时f (x )在[1，e]上单调递增. 所以f (x )的最小值为f (1)＝－a －1，所以－1≤a ≤2；当1<a 2<e ，即2<a <2e ，x ∈⎝⎛⎭⎫1，a 2时，f ′(x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎫1，a 2上单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫a 2，e 时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎫a 2，e 上单调递增， 所以f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－a 24－a ＋a ln a 2＝a ⎝⎛⎭⎫ln a 2－a 4－1. 因为2<a <2e ，所以0<ln a 2<1， 所以f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ⎝⎛⎭⎫ln a 2－a 4－1<0恒成立，所以2<a <2e ；当a 2≥e ，即a ≥2e 时，x ∈[1，e]，f ′(x )≤0，此时f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )的最小值为f (e)＝e 2－(a ＋2)e ＋a ，因为a ≥2e>e 2－2e e －1，所以f (e)<0， 所以a ≥2e ，综上，a ≥－1.专题七：坐标系与参数方程1.解 (1)曲线C 化为普通方程为x 23＋y 2＝1， 由22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝－1＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入x 23＋y 2＝1化简得，2t 2－2t －2＝0， 设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－1，所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝1.2.解 (1)由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－t ，y ＝t －1(t 是参数)消去t 得x ＋y －3＝0， 所以直线C 1的普通方程为x ＋y －3＝0.把ρ＝8sin θ的两边同时乘ρ，得ρ2＝8ρsin θ，因为x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ，所以x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2＝16，所以曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －4)2＝16.(2)由(1)知，曲线C 2：x 2＋(y －4)2＝16是圆心坐标为(0,4)，半径为4的圆，所以圆心(0,4)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|0＋4－3|2＝22<4， 所以直线C 1与曲线C 2相交，其弦长为242－⎝⎛⎭⎫222＝62. 3.解 (1)曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ.曲线C 3的直角坐标方程为y ＝33x (x >0). (2)依题意，设点P ，Q 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫ρ1，π6， ⎝⎛⎭⎫ρ2，π6，将θ＝π6代入ρ＝4cos θ，得ρ1＝23， 将θ＝π6代入ρ＝2sin θ，得ρ2＝1， 所以||PQ ＝||ρ1－ρ2＝23－1，依题意得，点C 1到曲线θ＝π6的距离为d ＝||OC 1sin π6＝1， 所以S △C 1PQ ＝12||PQ ·d ＝12()23－1＝3－12. 4.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋2cos θ，y ＝2sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝2cos θ，y ＝2sin θ， 所以(x ＋2)2＋y 2＝4，又由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，得x 2＋y 2＝4y ，把两式作差得，y ＝－x ，代入x 2＋y 2＝4y 得交点坐标为(0,0)，(－2,2).(2)如图，由平面几何知识可知，当A ，C 1，C 2，B 依次排列且共线时，|AB |最大，此时|AB |＝22＋4，O 到AB 的距离为2，∴△OAB 的面积为S ＝12(22＋4)·2＝2＋2 2. 专题八：不等式选讲1.解 (1)|x －2a |＋|x －3a |≥|(x －2a )－(x －3a )|＝|a |，当且仅当x 取介于2a 和3a 之间的数时，等号成立，故f (x )的最小值为|a |,∴a ＝±2.(2)由(1)知f (x )的最小值为|a |，故∃a ∈[－2,2]，使m 2－|m |<|a |成立，即 m 2－|m |<2，∴(|m |＋1)(|m |－2)<0，∴－2<m <2.2.解 (1)∵|f (x )|＝||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴－3≤f (x )≤3，∴f (x )min ＝－3，f (x )max ＝3.(2)∵|x －3|＋|x ＋1|≥|(x －3)－(x ＋1)|＝4，∴|x －3|＋|x ＋1|≥4.∴当a ＜4时，|x －3|＋|x ＋1|＞a 的解集为R .又∵|x －3|＋|x ＋1|＞a 的解集不是R ，∴a ≥4.∴a 的取值范围是[4，＋∞).3.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋x －5＝⎩⎨⎧ －x －4，x <12，3x －6，x ≥12， 由f (x )≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x <12，－x －4≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x －6≥0，解得x ≤－4或x ≥2，故不等式f (x )≥0的解集为{x |x ≤－4或x ≥2}.(2)令f (x )＝0，得|2x －1|＝5－ax ，则函数f (x )恰有两个不同的零点转化为y ＝|2x －1|与y ＝－ax ＋5的图象有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示，结合图象知当－2<a <2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以当－2<a <2时，函数f (x )恰有两个不同的零点，故实数a 的取值范围为(－2,2).4.解 (1)f (x )＝|x －2m |－|x ＋m |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3m ，x ≥2m ，－2x ＋m ，－m <x <2m ，3m ，x ≤－m ，当m ＝2时，由－2x ＋2≥1得－2<x ≤12， 又当x ≤－2时，f (x )≥1恒成立，所以不等式f (x )≥1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤12. (2)不等式f (x )≤|t ＋3|＋|t －2|对任意的实数t ，x 恒成立，等价于对任意的实数x ，f (x )≤(|t ＋3|＋|t －2|)min 恒成立，即f (x )max ≤(|t ＋3|＋|t －2|)min ，∵f (x )＝|x －2m |－|x ＋m |≤|(x ＋m )－(x －2m )|＝3m ，|t ＋3|＋|t －2|≥|(t ＋3)－(t －2)|＝5， ∴3m ≤5，又m >0，∴0<m ≤53.。
2019年高三文科数学高考仿真模拟卷2含答案
2019年高三文科数学高考仿真模拟卷文科数学（2）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}2,1,0,1,2U =--，{}21,A x x x U >=∈，则UA =（ ）A ．{}2,2-B ．{}1,1-C ．{}2,0,2-D ．{}1,0,1-2． i 为虚数单位，若复数()()1i 1i m ++是纯虚数，则实数m =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．0或13．在正方体1111ABCD A B C D -中，某一个三棱锥的三个顶点为此正方体的三个顶点，此三棱锥的第四个顶点为这个正方体的一条棱的中点，正视图和俯视图如图所示，则左视图可能为（ ）A ．B ．C ．D ．4．若πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A B ． C D ． 5．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A ．932B ．516 C ．38D ．7166．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，则ωϕ⋅=（ ）A ．π6B ．π4C ．π3 D ．2π37．已知函数()()2g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函数2log y x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-=（ ） A ．7-B ．9-C ．11-D ．13-8．函数()()2e e x x f x x -=-的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．9．过圆2216x y +=上一点P 作圆()222:0O x y m m +=>的两条切线，切点分别为A 、B ，若2π3AOB ∠=，则实数m =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．910．已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF △的面积为24a ，则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D11．正三棱锥P ABC -中，已知点E 在PA 上，PA ，PB ，PC 两两垂直，4PA =，3PE EA =，正三棱锥P ABC -的外接球为球O ，过E 点作球O 的截面α，则α截球O 所得截面面积的最小值为（ ） A ．πB ．2πC ．3πD ．4π12．已知锐角ABC △外接圆的半径为2，AB =ABC △周长的最大值为（ ） A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为________．14．设实数x ，y 满足约束条件101010y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则2z x y =-的最大值是________．15．在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 为DC 边上的中点，P 为线段AE 上的动点，设向量AP DB AD λμ=+，则λμ+的最大值为____．16．丹麦数学家琴生（Jensen ）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数()f x 在(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(),a b 上的导函数为()''f x ，若在(),a b 上()''0f x <恒成立，则称函数()f x 在(),a b 上为“凸函数”，已知()4323432x t f x x x =-+在()1,4上为“凸函数”，则实数t 的取值范围是__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列(){}1nn a -⋅的前2n 项和2n T ．18．（12分）某中学为了丰富学生的课外文体活动，分别开设了阅读、书法、绘画等文化活动；跑步、游泳、健身操等体育活动．该中学共有高一学生300名，要求每位学生必须选择参加其中一项活动，现对高一学生的性别、学习积极性及选择参加的文体活动情况进行统计，得到数据如下：（1）在选择参加体育活动的学生中按性别分层抽取6名，再从这6名学生中抽取2人了解家庭情况，求2人中至少有1名女生的概率；（2）是否有99.9％的把握认为学生的学习积极性与选择参加文化活动有关?请说明你的理由． 附：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（12分如图，在四棱锥P ABCD -中，DC AB ∥，2DC AB =，平面PCD ⊥平面PAD ，PAD △是正三角形，E 是PD 的中点．（1）求证：AE PC ⊥； （2）求证：AE ∥平面PBC ．20．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长等于，右焦点F 距C 最远处的距离为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过F 的直线与C 交于A 、B 两点（A 、B 不在x 轴上），若OE OA OB =+，求四边形AOBE 面积S 的最大值．21．（12分）已知()()2ln ln a x xf x x+=．（1）求()f x 在()1,0处的切线方程； （2）求证：当1a ≥时，()10f x +≥．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：()2cos 4sin 0a a ρθθ=>，直线l的参数方程为21x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．直线l 与曲线C交于M ，N 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程（不要求具体过程）； （2）设()2,1P --，若PM ，MN ，PN 成等比数列，求a 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知0a >，0b >，0c >，设函数()f x x b x c a =-+++，x ∈R ． （1）若1a b c ===，求不等式()5f x <的解集； （2）若函数()f x 的最小值为1，证明：()14918a b c a b b c c a++≥+++++．文科数学答案（2）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】211x x >⇒<-或1x >，又x U ∈，则{}2,2A =-，∴{}1,0,1UA =-，故选D ．2．【答案】C【解析】∵()()()()1i 1i 11i m m m ++=-++是纯虚数，∴1010m m -=⎧⎨+≠⎩，即1m =，故选C ．3．【答案】A【解析】根据已知条件得，三棱锥在正方体中的位置如图所示，故选A ．4．【答案】D【解析】由题意可得πππππcos sin sin sin 42444αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选D ． 5．【答案】C【解析】设小正方形的边长为1；黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为∴12238P ⨯⨯==，故选C ． 6．【答案】C【解析】由函数图像可得2A =， ∵()01f =，∴1sin 2ϕ=，结合图像可得()π2π6k k ϕ=+∈Z ， ∵π2ϕ<，∴π6ϕ=，∴()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又11π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴11ππ2sin 0126ω⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即11ππ2π126k ω⨯+=，故2241111k ω=-+， ∴2ω=，∴π3ωϕ⋅=．故选C ． 7．【答案】C【解析】∵0x >时，()f x 的图象与函数2log y x =的图象关于y x =对称； ∴0x >时，()2x f x =；∴0x >时，()22x g x x =+，又()g x 是奇函数；∴()()()()()1212214411g g g g =-⎡⎤⎣-+-=-++++=-⎦．故选C ． 8．【答案】A【解析】∵()()2e e x x f x x -=-，∴()()()()()22e e e e x x x x f x x x f x ---=--=--=-， ∴()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D ，∵2y x =在()0,+∞上是增函数且0y >，e e x x y -=-在()0,+∞上是增函数且0y >， ∴()()2e e x x f x x -=-在()0,+∞是增函数，排除C ，故选A ． 9．【答案】A 【解析】如图所示，取圆2216x y +=上一点()4,0P ，过P 作圆()222:0O x y m m +=>的两条切线PA 、PB ， 当2π3AOB ∠=时，π3AOP ∠=，且OA AP ⊥，4OP =；122OA OP ==，则实数2m OA ==．故选A ． 10．【答案】D【解析】由题意可得图像如下图所示：F '为双曲线的左焦点， ∵AB 为圆的直径，∴90AFB ∠=︒，根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形，∴12ABF AFBF FBF S S S ''==△△，又2224tan45FBF b S b a '===︒△，可得225c a =，∴25e e =⇒=．故选D ． 11．【答案】C【解析】由PA ，PB ，PC 两两垂直，可知该三棱锥由棱长为4的正方体四个顶点组成，三棱锥外接球的直径为所在正方体的体对角线，∴R =过O 作OH PA ⊥，H 为垂足，OH =Rt OHE △中，OH =1HE =， ∴3OE =，当OE 垂直截面α时，截面圆半径最小． (2222233r R OE =-=-=，2π3πS r ==．故选C ．12．【答案】B【解析】∵锐角ABC △外接圆的半径为2，AB =∴2sin cR C=4=，∴sin C ， 又C 为锐角，∴π3C =，由正弦定理得4sin sin sin a b cA B C===，∴4sin a A =，4sin b B =，c =∴2ππ4sin 4sin 6sin 36a b c B B B B B ⎛⎫⎛⎫++=+-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴当ππ62B +=，即π3B =时，a b c ++取得最大值=B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】6【解析】由系统抽样方法从学号为1到48的48名学生中抽取8名学生进行调查，把48人分成8组，抽到的最大学号为48，它是第8组的最后一名，则抽到的最小学号为第一组的最后一名6号． 故答案为6． 14．【答案】1【解析】根据实数x ，y 满足约束条件101010y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图：11y y x =-⎧⎨=--⎩解得()0,1A -，可知当目标函数经过点A 取最大值， 即()2011z =⨯--=．故答案为1． 15．【答案】2【解析】以A 为原点，AB ，AD 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0B ，()0,1D ，()1,1E ，设(),P x y ，01x ≤≤，∴()2,1DB =-，()0,1AD =，(),AP x y =， ∵AP DB AD λμ=+，∴()(),2,x y λμλ=-，∴2x x λμλ=⎧⎨=-⎩，∴232x x λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴22x λμ+=≤，故答案为2．16．【答案】51,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】()323f x x tx x '=-+，()2''323f x x tx =-+， ∵函数()4323432x t f x x x =-+在()1,4上是“凸函数”，∴在(),a b 上，()0f x "<恒成立，∴23230x tx -+<，即312t x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，令()312g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，显然()g x 在()1,4上单调递增，∴()()5148g x g <=，∴518t ≥．故答案为51,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）23n a n =-；（2）22n T n =．【解析】（1）由题意，可知数列{}n a 中，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列，则()22341a a S =⋅+，即()()()212136d d d -+=-+-+，解得2d =，∴数列的通项公式23n a n =-．（2）由（1），可知12n n a a --=，∴()()()212342122n n n T a a a a a a n -=-++-+++-+=．18．【答案】（1）35；（2）见解析．【解析】（1）由题意知参加体育活动的学生中，男生人数为60人，女生人数为30人， 按性别分层抽取6名，则男生被抽取的人数为60646030⨯=+，女生被抽取的人数为30626030⨯=+，记4名男生分别为a ，b ，c ，d ，2名女生为A ，B ，则从这6名学生中抽取2人的情况有(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a A ，(),a B ，(),b c ，(),b d ，(),b A ，(),b B ，(),c d ，(),c A ，(),c B ，(),d A ，(),d B ，(),A B ，一共15种情况，2人中至少有1名女生共有9种情况，概率为93155=． （2）列联表为：()()()()()()22230018030603010014.28610.82824060210907n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯， ∴有99.9％的把握认为学生的学习积极性与选择参加文化活动有关． 19．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）∵PAD △是正三角形，点E 是PD 的中点，∴AE PD ⊥．又平面PCD ⊥面PAD ，平面PCD 平面PAD PD =，AE ⊂平面PAD ．∴AE ⊥平面PCD ， 又PC ⊂平面PCD ，∴AE PC ⊥． （2）取PC 的中点F ，连结EF ，在PCD △中，E ，F 分别是PD ，PC 的中点，∴EF CD ∥且2CD EF =． 又AB CD ∥，2CD AB =，∴EF AB ∥且EF AB =， ∴四边形AEFB 是平行四边形，∴AE BF ∥，又AE ⊄平面PBC ，BF ⊂平面PBC ，∴AE ∥平面PBC ． 20．【答案】（1）22143x y +=；（2）3．【解析】（1）由已知得23b =，3a c +=，222a b c =+，∴所求椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）∵过()1,0F 的直线与C 交于A 、B 两点（A 、B 不在x 轴上）， ∴设:1l x ty =+，()2222134690143x ty t y ty x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩， 设()11,A x y 、()22,B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，∵OE OA OB =+，∴AOBE为平行四边形，∴12234AOB S S y y t ==-=+△1m =≥，得21241313mS m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 3S =． 21．【答案】（1）10x y --=；（2）见解析． 【解析】（1）()()()222ln 1ln ln 'a x a x x f x x ⎡⎤+-+⎣⎦=，故()11f '=，故切线方程是10x y --=． （2）令()ln 1g x x x =--，()11g x x'=-， 令()0g x '>，解得1x >，令()0g x '<，解得01x <<，故()g x 在()0,1递减，在()1,+∞，故()()min 10g x g ==，故ln 1x x ≥+， ∵1a ≥， ∴()()()()()2222ln ln ln ln ln ln ln 1ln 110a x x xx x x x x x x f x xxxx+++++++++=≥≥≥≥，故1a ≥时，()10f x +≥．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）()240x ay a =>，10x y -+=；（2）14． 【解析】（1）曲线C ：()2cos 4sin 0a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ 可得()22cos 4sin 0a a ρθρθ=>，化简得()240x ay a =>； 直线l的参数方程为21x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），可得1x y -=-，得10x y -+=． （2）将21x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）代入()240x ay a =>并整理得)()21810t a t a -+++=，韦达定理：)121t t a +=+，()12810t t a ⋅=+>，由题意得2MN PM PN =，即21212t t t t -=⋅，可得()21212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即()()2321401a a +=+，0a >，解得14a =． 23．【答案】（1）()2,2-；（2）见解析．【解析】（1）1a b c ===，不等式()5f x <，即114x x -++<当1x ≤-时，11421x x x ---<⇒-<≤-；当11x -<<时，11411x x x -+-<⇒-<<； 当1x ≥时，11412x x x -++<⇒≤<， ∴解集为()2,2-．（2）()()()f x x b x c a x c x b a b c a =-+++≥+--+=++， ∵0a >，0b >，0c >，∴()min 1f x a b c =++=， ∴()149149a b c a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=++++ ⎪++++++⎝⎭ ()11492a b b c a c a b b c c a ⎛⎫=+++++++ ⎪+++⎝⎭22222212⎡⎤⎡⎤=++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦()2118182a b c ≥==++．。
2019版3年高考2年模拟专题攻略高考文科数学二轮复习课标版过关练(三)
过关练(三)一、选择题1.设x ∈R,i 是虚数单位,则“x=2”是“复数z=(x 2－4)+(x+2)i 为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件2.已知实数x,y 满足(12)x<(12)y,则下列关系式中恒成立的是( ) A.tan x>tan yB.ln(x 2+2)>ln(y 2+1)C.1x <1y D.x 3>y 33.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2=1(a>0,b>0),若过一、三象限的渐近线的倾斜角θ∈[π4,π3],则双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A.[√2,2]B.[2,4]C.(1,3]D.[2√33,√2] 4.“rand( )”是计算机软件产生随机数的函数,每调用一次rand( )函数,就产生一个在区间[0,1]内的随机数.我们产生n 个样本点P(a,b),其中a=2·rand( )－1,b=2·rand( )－1.在这n 个样本点中,满足a 2+b 2=rand( )的样本点的个数为m,当n 足够大时,可估算圆周率π的近似值为( ) A.4m nB.m4nC.4nmD.n4m5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )A.函数f(x)的周期为πB.函数y=f(x－π)为偶函数C.函数f(x)在[－π,－π2]上单调递增D.函数f(x)的图象关于点(3π4,0)对称6.王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁,他们都特别擅长短跑,在某次运动会上,他们四人要组成一个4×100米接力队,王老师要安排他们四个人的出场顺序,以下是他们四人的对话:甲:我不跑第一棒和第二棒;乙:我不跑第一棒和第四棒;丙:我也不跑第一棒和第四棒;丁:如果乙不跑第二棒,我就不跑第一棒.王老师听了他们四人的对话,安排了一种合理的出场顺序,满足了他们的所有要求,据此我们可以断定,在王老师安排的出场顺序中,跑第三棒的人是()A.甲B.乙C.丙D.丁7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=12b,且a>b,则B=()A.π6B.π3C.2π3D.5π68.条形码是将宽度不等的多个黑条和空白,按照一定的编码规则排列,用以表达一组信息的图形标识符.常见的条形码是“EAN－13”通用代码,它是由从左到右排列的13个数字(用a1,a2,…,a13表示)组成,其中a13是校验码,用来校验前12个数字代码的正确性.下面的框图是计算第13位校验码的程序框图,框图中符号[m]表示不超过m的最大整数(例如[2.12]=2).现有一条形码如图所示(69418a63400136),其中第6个数被污损,那么被污损数字a6是()A.6B.7C.8D.99.某几何体的三视图如图所示,坐标纸上的每个小方格的边长为1,则该几何体的外接球的表面积是()A.5√103B.112π C.1 0009π D.5 000√1081π10.在长方体ABCD－A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为3的正方形,侧棱AA1=x,P为矩形CDD1C1内部(含边界)一点,M为BC的中点,∠APD=∠CPM,三棱锥A1－PCD的体积的最大值记为V(x),则关于函数V(x),下列结论确的是()A.V(x)为奇函数B.V(x)在(0,+∞)上单调递增C.V(2)=3D.V(3)=3√3211.已知函数f(x)=x+2cos x+λ,在区间[0,π2]上任取三个数x 1,x 2,x 3,均存在以f(x 1), f(x 2), f(x 3)为边长的三角形,则λ的取值范围是( ) A.(－π2,+∞) B.(－2,+∞) C.(－π2,√3－5π6) D.(√3－5π6,+∞)二、填空题12.设平面向量m 与向量n 互相垂直,且m －2n=(11,－2),若|m|=5,则|n|= .13.已知数列{a n }的各项均为整数,a 8=－2,a 13=4,前12项依次成等差数列,从第11项起依次成等比数列,则a 15= . 14.下列说法:①线性回归方程y ^=b ^x+a ^必过(x ,y );②命题“∀x ≥1,x 2+3≥4”的否定是“∃x<1,x 2+3<4”; ③相关系数r 越小,表明两个变量相关性越弱;④在一个2×2列联表中,由计算得K 2=8.079,则有99%的把握认为这两个变量间有关系. 其中正确．．的说法是 .(把你认为正确的结论都写在横线上) 本题可参考独立性检验临界值表:P(K 2≥k ) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k2.7063.841 5.024 6.63510.82815.已知x,y 满足约束条件{x －y －1≤0,2x －y －3≥0,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值4,则1a +1b 的最小值为 .答案精解精析一、选择题1.B 由复数z=(x 2－4)+(x+2)i 为纯虚数,得{x 2－4=0,x +2≠0,解得x=2, 所以“x=2”是“复数z=(x 2－4)+(x+2)i 为纯虚数”的充要条件.故选B.2.D 由指数函数的单调性可得x>y.因为幂函数y=x 3在(－∞,+∞)上是单调递增的,所以当x>y 时,恒有x 3>y3.故选D.3.A 双曲线x 2a 2－y 2b 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±ba x,由一条渐近线的倾斜角θ∈[π4,π3],知tan π4≤ba ≤tan π3,即1≤ba ≤√3,则1≤b 2a 2≤3,即1≤c 2－a 2a 2≤3,则2≤c 2a 2≤4,即√2≤e ≤2.故选A.4.A x 2+y 2<1发生的概率为π·12·14=π4,在这n 个样本点中,满足a 2+b 2=rand( )的样本点的个数为m,当n 足够大时,可估算圆周率π的近似值为m n =π4,即π=4m n.故选A.5.C 观察图象可得函数的最小值为－2,所以A=2.又由图可知该函数图象过点(0,√3),(5π4,－2),即{√3=2sinφ,－2=2sin (ω×5π4+φ),结合ω>0,0<φ<π及图象可得ω=1415,φ=π3,则f(x)=2sin (1415x +π3),显然A 选项错误; 对于B, f(x －π)=2sin [1415(x －π)+π3]=2sin (1415x －9π15),不是偶函数; 对于D,当f (3π4)=2sin (1415×3π4+π3)=2sin (7π10+π3)≠0,故D 错误.由此可知选C.6.C 若乙、丙均不跑第一棒和第四棒,则跑第三棒的人只能是乙、丙中的一个,当丙跑第三棒时,乙只能跑第二棒,这时丁跑第一棒,甲跑第四棒,符合题意.故跑第三棒的人是丙.故选C.7.A ∵asin Bcos C+csin Bcos A=12b,∴根据正弦定理可得sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A=12sin B,即sin B(sin Acos C+sin Ccos A)=12sin B.∵sin B ≠0,∴sin(A+C)=12, 即sin B=12.∵a>b,∴A>B,∴B 为锐角,∴B=π6.故选A. 8.B 由已知程序框图可得:S 是条形码中前12偶数位数字的和,即S=17+a 6, T 是条形码中前12奇数位数字的和,即T=22, M=3S+T=73+3a 6,又N=M －[M10]×10表示M 的个位数字,a 13=10－N=6, 则N=4,故a 6=7.故选B.9.C 根据几何体的三视图,得该几何体是如图所示的三棱锥,三棱锥的高PD=6,且侧面PAC ⊥底面ABC,AC ⊥BC,PA=PC=√42+62=√52,AC=8,BC=6,AB=√82+62=10,∴PA 2+PB 2=AB 2,∴△ABC 的外接圆的圆心为斜边AB 的中点E.设该几何体的外接球的球心为O,连接OE,OE ⊥底面ABC, 设OE=x,外接球的半径为R, 则x 2+(102)2=32+(6－x)2,解得x=53. ∴R 2=(53)2+52=2509,∴外接球的表面积S=4π×R 2=1 000π9.故选C.10.D因为∠APD=∠CPM,所以tan∠APD=tan∠CPM,即3PD =32PC,∴PD=2PC.当P在CC1上时d P－CD 取最大值√3,因此V(x)=13×3×12×d P－CD×3=32d P－CD={32√3,x≥√3,32x,0<x<√3.因此V(3)=V(2)=3√32,V(x)不为奇函数,V(x)在(0,√3)上单调递增,所以选D.11.D∵函数f(x)=x+2cos x+λ,∴f'(x)=1－2sin x,又x∈[0,π2],由f'(x)=0,得x=π6.∵x∈[0,π2],∴x∈[0,π6)时,f'(x)>0,x∈[π6,π2]时,f'(x)<0,又f(0)=2+λ,f(π2)=π2+λ,∴f(x)max=f(π6)=π6+√3+λ,f(x)min=f(π2)=π2+λ.∵在区间[0,π2]上任取三个数x1,x2,x3,均存在以f(x1),f(x2),f(x3)为边长的三角形,∴f(π2)=π2+λ>0,①f(π2)+f(π2)>f(π6).②联立①②,得λ>√3－5π6.故选D.二、填空题12.答案5解析由平面向量m与向量n互相垂直可得m·n=0,又m－2n=(11,－2),∴(m－2n)2=125,∴m2+4n2=125.又|m|=5,∴|n|=5.13.答案16解析设公差为d(d∈Z),则a11=a8+3d=－2+3d,a12=a8+4d=－2+4d.∵第11项,第12项,第13项成等比数列,∴a122=a11a13,∴(－2+4d)2=4(－2+3d),∴4d2－7d+3=0.∵d为整数,∴d=1,∴a12=－2+4=2,q=a13a=2,∴a15=a13q2=4×22=16.14.答案 ①④解析 线性回归方程y ^=b ^x+a ^必过样本点的中心(x ,y ),故①正确. 命题“∀x ≥1,x 2+3≥4”的否定是“∃x ≥1,x 2+3<4”,故②错误.③相关系数r 的绝对值越小,表明两个变量相关性越弱,故③不正确.④在一个2×2列联表中,由计算得K 2=8.079,则有99%的把握认为这两个变量间有关系,④正确.故答案为①④. 15.答案3+2√24解析 由约束条件{x －y －1≤0,2x －y －3≥0,作可行域如图,联立{x －y －1=0,2x －y －3=0,解得A(2,1).由图可知,当目标函数表示的直线过点A(2,1)时,z 最小,则2a+b=4,所以1a +1b =(1a +1b )×1=14(2a+b)(1a +1b )=142+2ab +1+ba ≥14(3+2√2a b ·ba )=14×(3+2√2),当且仅当2a=√2b=4×(2－√2)时取等号.。
2019版3年高考2年模拟专题攻略高考文科数学二轮复习课标版跳出10个解题陷阱
跳出10个解题陷阱数学中的陷阱题,往往针对考生学习某些概念、定理、运算中的薄弱环节,在考生容易出现错误的地方着手编拟,或是针对考生习惯性思维、思维的弱点来设计障碍,或是针对考生解决某些问题的方法上的缺陷去构造问题.这些问题像现实生活中的陷阱那样,以假乱真,可以有效地检测并暴露出考生的认知缺陷.下面结合一些典型例题教你如何走出陷阱. 陷阱一 混淆概念致误——使用概念要明辨例1 能够把椭圆C:x 29+y 24=1的周长和面积同时平分的函数f(x)称为椭圆C 的“伙伴函数”,下列函数是椭圆C 的“伙伴函数”的是 .(只填序号)①f(x)=x 3－4x;②g(x)=2x－(12)x;③h(x)={－x 2+6x,x ≥0,x 2+6x,x <0;④p(x)={－x 2+6x,x ≥0,－x 2－6x,x <0;⑤q(x)=lnx+3x －3;⑥r(x)=cos (x +π2).易错分析 该题易出现的错误是不能准确理解“伙伴函数”的概念,只注重函数奇偶性的分析.误以为奇函数都是椭圆的“伙伴函数”,忽视对函数图象与椭圆交点个数的分析导致错解.答案 ②③⑥正确解析 已知椭圆C 的“伙伴函数”将该椭圆的周长与面积平分,由椭圆的对称性可知,该函数图象与椭圆C 相交,且该函数为奇函数.①f(x)=x 3－4x 为奇函数,且图象过原点.由f(x)=0,即x 3－4x=0,解得x=0或x=±2,所以函数图象与x 轴的交点都在椭圆内. 而f(1)=13－4×1=－3,由{x 29+y 24=1,x =1,解得y=±4√23.显然|y|=4√23<|－3|,所以函数y=f(x)的图象与椭圆应有6个交点(如图所示),但这6个交点不能把椭圆的周长平分,也不能把椭圆的面积平分,所以该函数不是椭圆C 的“伙伴函数”.②因为g(x)=2x－(12)x=2x －2－x ,所以该函数为奇函数,且图象过原点;又该函数为R 上的递增函数,所以其图象与椭圆C 只能有两个交点,故g(x)是椭圆C 的“伙伴函数”.③当x>0时,h(x)=－x 2+6x,此时－x<0,故h(－x)=(－x)2+6(－x)=x 2－6x, 所以－h(－x)=－(x 2－6x)=h(x); 同理可得,当x<0时,h(－x)=－h(x).又h(0)=0,所以函数h(x)为奇函数,其图象过原点.又椭圆C 的长轴端点为A 1(－3,0),A 2(3,0),且函数y=h(x)在(－3,3)上单调递增,所以函数y=h(x)的图象与椭圆C 只有2个交点(如图所示),故h(x)可将椭圆C 的周长和面积同时分为相等的两部分,所以h(x)是椭圆C 的“伙伴函数”.④当x>0时,p(x)=－x 2+6x,此时－x<0,故p(－x)=－(－x)2－6(－x)=－x 2+6x, 所以p(－x)=p(x);同理可得,当x<0时,p(－x)=p(x).所以函数y=p(x)为偶函数,显然不是椭圆C 的“伙伴函数”. ⑤由对数式有意义可得x+3x －3>0,即(x+3)(x －3)>0,解得x<－3或x>3. 故q(x)=lnx+3x －3的定义域为(－∞,－3)∪(3,+∞).显然该函数在[－3,3]内没有意义,所以不是椭圆C 的“伙伴函数”.⑥r(x)=cos (x +π2)=－sin x,显然该函数为奇函数,其图象过原点且r (π2)=－1.由{x 29+y 24=1,x =π2,解得y=±√36－π23,显然|±√36－π23|>|－1|,故函数y=r(x)的图象与椭圆C只有两个交点(如图所示),y=r(x)的图象可将椭圆C的周长与面积平分,所以r(x)是椭圆C的“伙伴函数”.▲跳出陷阱解决新定义的有关问题,需要正确理解新定义问题的实质,把新定义的“条件”转化为常见的问题,如该题新定义的“伙伴函数”的实质是研究椭圆的性质与函数图象的特征,“平分椭圆周长与面积”的要求不仅要考虑函数的奇偶性、定义域,如⑤中的函数q(x)=lnx+3x－3是奇函数,但其图象在[－3,3]内与椭圆C没有交点;还要考虑函数图象与椭圆的交点个数,如①中的函数f(x)=x3－4x的图象与椭圆有6个交点,但这6个交点分布不均匀.这些都会因为没有准确把握“新定义”的实质而导致解错.跟踪训练1.定义:用[x](x∈R)表示不超过x的最大整数,用[x)(x∈R)表示超过x的最小整数.例如[1.2]=1,[－0.3]=－1,[－1.5)=－1.给出下列结论:①函数f(x)=[sin x]是奇函数;②2π是函数f(x)=[sin x]的周期;③若x∈(1,2),则不等式([x)－x)[x)<x的解集为(43,2);④函数g(x)=[sin x]+[cos x)的值域是{2,1,0,－1}.其中正确的是.(填上所有正确结论的编号)陷阱二错求目标失分——解题目标要明确例2已知实数x,y满足{x+2y≥0,x－y≤0,0≤y≤k,且z=x+y的最大值为6,则(x+5)2+y2的最小值为()A.5B.3C.√5D.√3易错分析 该题中目标函数(x+5)2+y 2={√[x －(－5)]2+(y －0)2}2表示的是可行域内的点P(x,y)到点D(－5,0)的距离的平方|PD|2,而不是|PD|.该题易出现的错误就是把两者混淆.答案 A正确解析 作出不等式组{x +2y ≥0,x －y ≤0,0≤y ≤k,对应的平面区域,如图中阴影部分(包括边界)所示.由z=x+y,得y=－x+z.由图象可知当直线y=－x+z 经过点A 时,直线y=－x+z 在y 轴上的截距最大,此时z 取得最大值6,即x+y=6.由{x +y =6,x －y =0,得{x =3,y =3,即A(3,3), 由直线y=k 过点A,得k=3.(x+5)2+y 2的几何意义是可行域内的点P(x,y)与点D(－5,0)的距离的平方,由图可知,点D(－5,0)到直线x+2y=0的距离最小.因此(x+5)2+y 2的最小值为(|－5|√12+22)2=5.故选A.▲跳出陷阱 数形结合求解目标函数最值:(1)准确作出不等式组所表示的可行域是解决此类问题的关键,一般采用“线定界,点定域”的原则,应注意不等式组中是否含有等号与可行域边界的实虚之间的对应.(2)目标函数的几何意义主要分三类,①截距型,z=ax+by,利用直线l:ax+by －z=0在两坐标轴上的截距的最值求解目标函数的最值;②斜率型,z=y －b x －a,表示可行域内的点P(x,y)到点Q(a,b)连线的斜率;③距离型,z=√(x－a)2+(y－b)2,表示可行域内的点P(x,y)与点Q(a,b)的距离.跟踪训练2.若实数x,y满足{x－y+1≤0,x>0,y≤2,则2y2x+1的取值范围是()A.[43,4]B.[43,4)C.[2,4] D.(2,4]陷阱三错用结论失分——公式、定理要记准例3将函数y=sin(5x－π2)的图象向右平移π4个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12,所得图象对应的函数解析式为()A.y=sin(10x－3π4) B.y=sin(10x－7π2)C.y=sin(10x－3π2) D.y=sin(10x－7π4)易错分析解决该题易出现以下两个方面的错误:一是不能准确确定函数解析式的变换与图象左右平移方向之间的关系;二是记错函数图象上点的横坐标的伸缩变化规律与函数解析式的变换之间的关系.答案D正确解析将原函数图象向右平移π4个单位长度,所得函数解析式为y=sin[5(x－π4)－π2]=sin(5x－7π4),再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12得y=sin(10x－7π4)的图象.故选D.▲跳出陷阱三角函数图象的平移与伸缩变换问题,关键是把握前后两个函数解析式之间的关系,熟记相关的规律.如将函数y=f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位,得到函数y=f(x+m)的图象;向右平移m(m>0)个单位,得到函数y=f(x－m)的图象.若函数y=f(x)的图象上各点的横坐标变为原来的ω(ω>0)倍,则得到函数y=f(xω)的图象.跟踪训练3.函数f(x)的图象由函数g(x)=4sin xcos x的图象向左平移π6个单位,再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)而得到,则f(π4)=()A.√6+√23B.√6－√23C.√6－√22D.√6+√22陷阱四忽视特殊情况——特殊情况要谨记例4已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,当n≥2时,2S n=(n+1)a n－2.(1)求a2,a3和通项a n;(2)设数列{b n}满足b n=a n·2n－1,求{b n}的前n项和T n.易错分析解决本题易出现以下两个方面的错误:一是利用a n=S n－S n－1建立a n与a n－1之间的关系时忽视n≥2的限制条件,而忽略对n=1时的讨论;二是求数列{b n}的前n项和T n 时,忽视该数列通项公式中n=1时的情况,直接求和不验证而导致错误.正确解析(1)当n=2时,2S2=2(1+a2)=3a2－2,则a2=4,当n=3时,2S3=2(1+4+a3)=4a3－2,则a3=6,当n≥2时,2S n=(n+1)a n－2,当n≥3时,2S n－1=na n－1－2,所以当n≥3时,2(S n－S n－1)=(n+1)a n－na n－1,即2a n=(n+1)a n－na n－1,整理可得(n－1)a n=na n－1,所以a nn =an－1 n－1,因为a33=a22=2,所以a nn=an－1n－1=…=a33=a22=2,因此,当n ≥2时,a n =2n,而a 1=1,故a n ={1(n =1),2n(n ≥2).(2)由(1)可知b n ={1(n =1),n ·2n (n ≥2),所以当n=1时,T 1=b 1=1, 当n ≥2时,T n =b 1+b 2+b 3+…+b n ,则 T n =1+2×22+3×23+…+(n －1)×2n －1+n×2n , 2T n =2+2×23+3×24+…+(n －1)×2n +n×2n+1,作差得T n =1－8－(23+24+…+2n )+n×2n+1=(n －1)×2n+1+1, 易知当n=1时,也满足上式, 故T n =(n －1)×2n+1+1(n ∈N *).▲跳出陷阱 解决数列问题一定要注意n 的取值范围,求通项公式问题,要注意对首项的验证,如该题中用到a n 与S n 的关系式a n =S n －S n －1,而该式成立的前提是n ≥3;再如已知数列{a n },当n ≥2时,若有a n+1a n=q,则该数列不一定是等比数列,因为该式不包含a2a 1=q,若要证明该数列是等比数列,则还需验证a2a 1=q.跟踪训练4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,满足2S n =3n 2－n. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }中,b n =a n ·x n ,求其前n 项和T n .陷阱五 分类讨论不全——问题分类要全面 例5 已知函数f(x)=12ax 2－(2a+1)x+2ln x(a ∈R).(1)求f(x)的单调区间;(2)设g(x)=x 2－2x,若对任意x 1∈(0,2],均存在x 2∈(0,2],使得f(x 1)<g(x 2),求a 的取值范围. 易错分析 解决本题易出现以下两个方面的错误:一是讨论f(x)的单调性时,对a 分类讨论的标准不正确,造成分类重复或遗漏;二是讨论f(x)、g(x)的最值时,对a 分类标准不正确.正确解析 (1)f '(x)=ax －(2a+1)+2x =(ax －1)(x －2)x(x>0).①当a ≤0时,ax －1<0,在区间(0,2)上, f '(x)>0,在区间(2,+∞)上,f '(x)<0,故f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞).②当0<a<12时,1a >2,在区间(0,2)和(1a ,+∞)上, f '(x)>0,在区间(2,1a )上,f '(x)<0,故f(x)的单调递增区间是(0,2)和(1a ,+∞),单调递减区间是(2,1a ).③当a=12时, f '(x)=(x －2)22x ≥0,故f(x)的单调递增区间是(0,+∞).④当a>12时,0<1a <2.在区间(0,1a )和(2,+∞)上, f '(x)>0,在区间(1a ,2)上f '(x)<0. 故f(x)的单调递增区间是(0,1a)和(2,+∞),单调递减区间是(1a,2).(2)由已知得,在(0,2]上有f(x)max <g(x)max . 由已知得,在(0,2]上,g(x)max =0,由(1)可知, ①当a ≤12时, f(x)在(0,2]上单调递增.故f(x)max =f(2)=2a －2(2a+1)+2ln 2=－2a －2+2ln 2,所以,－2a －2+2ln 2<0,解得a>ln 2－1.∴ln 2－1<a ≤12.②当a>12时, f(x)在(0,1a ]上单调递增,在(1a ,2]上单调递减,故f(x)max =f (1a )=12a －(2a+1)1a +2ln 1a =－12a －2－2ln a<0.当a>12时,12a +2ln a>12a +2ln e －1>－2, 故a>12时满足题意.综上,a 的取值范围为(ln 2－1,+∞).▲跳出陷阱 含参函数单调性的分析是一个难点,合理分类是解决此类问题的关键,一般来说,讨论含参函数单调性的问题,对参数进行分类讨论的基本顺序为:①最高次幂系数是不是0;②方程f '(x)=0是否有解;③解是否在定义域内;④解之间的大小关系比较.分类之后确定导函数的符号,应画出导函数解析式中符号变化的部分对应函数(一般可转化为一次函数或二次函数)的图象,根据函数图象与x 轴的相对位置变化确定导函数的符号,进而写出单调区间. 跟踪训练5.已知函数f(x)=ln x+2ax+1(a ∈R). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当a=1时,求证: f(x)≤x+12.陷阱六 遗漏条件增解——细心审题不遗漏例6 在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且a=15,b=10,A=60°,则cos B=( )A.√63B.±√63C.√33D.±√33易错分析 该题易出现的问题是忽视已知条件中三角形的边之间的大小关系.利用正弦定理求解导致增解.答案 A正确解析 由正弦定理可得asinA =bsinB , 所以sin B=bsinA a=10sin60°15=√33, 因为a>b,所以A>B,所以角B 为锐角, 所以cos B=√1－sin 2B =√1－(√33)2=√63,故选A.▲跳出陷阱 利用正弦定理求角时,一般得到两个互补的角,此时要注意边的大小关系,检验是否符合“大边对大角”,避免增解.如该题中,若忽视边之间的大小关系,就不会判断出角B 为锐角,导致求出该角的余弦值有两个而造成错解.跟踪训练6.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若a=2,sin A=35,cos B=cos C,则△ABC 的面积等于( )A.3B.23 C.3或13 D.6或23陷阱七 推理不当致误——归纳类比要对应例7 如图所示,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项,如下表所示:a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 4 y 4 x 5 y 5 x 6 y 6按此规律,则a 2 015+a 2 016+a 2 017= .易错分析 该题易出现的错误是不能根据已知的数据准确归纳数列的规律性. 答案 1 008正确解析 数列{a n }中,a 1=1,a 2=1,a 3=－1,a 4=2,a 5=2,a 6=3,a 7=－2,a 8=4,……,这个数列的规律是奇数项为1,－1,2,－2,3,－3,…,偶数项为1,2,3,4,…,故a 2 015+a 2 017=0,a 2 016=1 008,故a 2015+a 2 016+a 2 017=1 008.▲跳出陷阱 求解一些下标较大的数列问题,首先要注意归纳数列项的规律,如周期性、相邻两项、三项和的规律性等,如该题是奇数项和偶数项各自具有一个规律,奇数项出现两项和为0的特征,偶数项排成一个正整数数列,但要注意项数与项之间的对应,如该题奇数项中,a 4n －3=n,a 4n －1=－n.若n 为偶数,则对应的项a n =n2,而不是n. 跟踪训练7.对于大于1的自然数m,其三次幂可用奇数按以下方式进行“分裂”:23={3,5,33={7,9,11,43={13,15,17,19,…….对此,若m 3的“分裂数”中有一个是2 017,则m= .陷阱八 画图不准失分——“数”化“形”要准确例8定义域为R的偶函数f(x)满足对任意的x∈R,有f(x+2)=f(x)－f(1),且当x∈[0,1]时, f(x)=－2(x－1)2,若函数y=f(x)－log a(|x|+1)在R上恰好有六个零点,则实数a的取值范围是.易错分析该题易出现的错误是不能正确作出函数y=f(x)和y=log a(|x|+1)的图象,而导致解题错误.答案(√55,√3 3)正确解析令x=－1,得f(1)=f(－1)－f(1),因为f(x)为偶函数,所以f(－1)=f(1),所以f(1)=0,则f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为2的周期函数.令g(x)=log a(|x|+1),则g(x)在R上为偶函数,故只需分析f(x)与g(x)在[0,+∞)上的图象,根据题意作出函数y=f(x)和y=g(x)在[0,+∞)上的部分图象,如图所示,因为y=f(x)和y=g(x)均为偶函数,所以y=f(x)和y=g(x)的图象在(0,+∞)上恰有三个交点.当函数g(x)=log a(|x|+1)的图象过点(2,－2)时,函数y=f(x)和y=g(x)的图象在(0,+∞)上恰有两个交点,从而函数y=f(x)－log a(|x|+1)在(0,+∞)上恰有两个零点,由log a3=－2得a=√33;当g(x)=log a(|x|+1)的图象过点(4,－2)时,函数y=f(x)和y=g(x)的图象在(0,+∞)上有四个交点,从而函数y=f(x)－log a(|x|+1)在(0,+∞)上有四个零点,由log a5=－2得a=√55.综上可知,所求实数a的取值范围为(√55,√3 3).▲跳出陷阱本题将函数的零点个数问题转化为两函数图象的交点个数问题,运用数形结合的思想求解,此方法较为常规,本题的难点在于对函数f(x)的周期的推导.本题极易因作图不准确致误,为避免失误,作图时一定要明确函数的定义域、单调性、奇偶性、周期性等,并找出关键点,注意“草图不草”.另外,需重点掌握周期函数与绝对值函数的图象的画法.跟踪训练8.函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x>0时, f(x)={2|x －1|－1,0<x ≤2,12f(x －2),x >2,则函数g(x)=xf(x)－1在[－6,+∞)上的所有零点之和为 . 陷阱九 运算过程出错——步骤要合理例9 如图所示的四棱锥A －BCDE 中,四边形BCDE 是边长为3的正方形,AE ⊥平面BCDE,AE=3,点P 是边DE 上的一个动点,连接PA,PB,PC.(1)若点Q 为棱AC 的中点,是否存在点P,使得PQ ∥平面AEB?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由;(2)当EP=23ED 时,求三棱锥C －ABP 的高.易错分析 在用等体积法求三棱锥C －ABP 的高时,易因运算出错导致△ABP 的面积求错,从而所求的结果出错.正确解析 (1)当P 为DE 的中点时,PQ ∥平面AEB. 理由如下:取AB 的中点M,连接EM,QM,如图所示.由Q 为AC 的中点,得MQ ∥BC,且MQ=12BC,又PE ∥BC,且PE=12BC,所以PE ∥MQ,PE=MQ,所以四边形PEMQ 为平行四边形, 故ME ∥PQ.又PQ ⊄平面AEB,ME ⊂平面AEB, 所以PQ ∥平面AEB.(2)因为四边形BCDE 是边长为3的正方形,EP=23ED,所以△BCP 的面积S △BCP =12×3×3=92,且EP=23×3=2,因为AE ⊥平面BCDE,所以AE ⊥EP. 又AE=3,所以AP=√AE 2+EP 2=√32+22=√13, 因为BP=√BE 2+EP 2=√32+22=√13, AB=√AE 2+EB 2=√32+32=3√2, 所以△ABP 的面积S △ABP =12×3√2×√(√13)2－(3√22)2=3√172, 设三棱锥C －ABP 的高为h,因为V C －ABP =V A －BCP , 所以13S △ABP ×h=13S △BCP ·AE,所以h=S △BCP ·AE S △ABP=92×33√172=9√1717,所以三棱锥C －ABP 的高为9√1717. ▲跳出陷阱 利用等体积法求三棱锥(或四面体)的高时,一定要认真计算底面三角形的面积. 跟踪训练9.如图,在四棱锥P －ABCD 中,底面ABCD 是边长为√2的正方形,PA ⊥BD. (1)求证:PB=PD;(2)若E,F 分别为PC,AB 的中点,EF ⊥平面PCD,求三棱锥D －ACE 的体积.陷阱十 问题转化不等价——等价转化要正确 例10 函数f(x)=12x 2－2aln x+(a －2)x,a ∈R.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程; (2)当a<0时,讨论函数f(x)的单调性;(3)是否存在实数a,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,有f(x 2)－f(x 1)x 2－x 1>a 恒成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.易错分析 该题易出现的错误是直接把题中f(x 2)－f(x 1)x 2－x 1>a 转化为该函数的导数值的范围,即f '(x)>a.正确解析 f '(x)=x －2ax +a －2=(x －2)(x+a)x (x>0).(1)当a=1时, f(1)=－12, f '(x)=(x －2)(x+1)x, f '(1)=－2,所以所求的切线方程为y －(－12)=－2(x －1).即4x+2y －3=0.(2)①当－a=2,即a=－2时, f '(x)=(x －2)2x≥0, f(x)在(0,+∞)上单调递增.②当－a<2,即－2<a<0时,因为0<x<－a 或x>2时, f '(x)>0,－a<x<2时, f '(x)<0, 所以f(x)在(0,－a),(2,+∞)上单调递增,在(－a,2)上单调递减.③当－a>2,即a<－2时,因为0<x<2或x>－a 时, f '(x)>0,2<x<－a 时, f '(x)<0, 所以f(x)在(0,2),(－a,+∞)上单调递增,在(2,－a)上单调递减. (3)假设存在这样的实数a 满足条件,不妨设x 1<x 2. 由f(x 2)－f(x 1)x 2－x 1>a,知f(x 2)－ax 2>f(x 1)－ax 1成立.令g(x)=f(x)－ax=12x 2－2aln x －2x,则函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g'(x)=x －2a x－2≥0,即2a ≤x 2－2x=(x －1)2－1在(0,+∞)上恒成立,所以a ≤－12,故存在这样的实数a 满足题意,其取值范围为(－∞,－12].▲跳出陷阱 条件的合理转化是将复杂、陌生的问题转化为简单、熟悉的问题的关键,在转化过程中一定要对式子进行等价变形,如该题中的第(3)问探究性问题中的“f(x 2)－f(x 1)x 2－x 1>a ”,其几何意义是曲线上两点(x 1, f(x 1))与(x 2, f(x 2))连线的斜率,但如果直接利用导数的几何意义转化为该直线的斜率与函数图象上某点处切线斜率之间的大小关系,则求解较复杂,应该通过代数式的等价变形,转化为函数y=f(x)－ax 的单调性问题求解. 跟踪训练10.已知p:关于x 的不等式x 2－mx+4<0有解,q:方程x 2m －3+y 27－m=1表示椭圆.若命题p ∧q 为真命题,则实数m 的取值范围为 .答案精解精析陷阱一混淆概念致误——使用概念要明辨跟踪训练1.答案②③④解析对于①,因为f(π6)=[sinπ6]=[0.5]=0,f(－π6)=[sin(－π6)]=[－0.5]=－1,所以f(－π6)≠－f(π6),所以函数f(x)=[sin x]不是奇函数,所以①错.对于②,因为f(x)=[sin x]= {0,2kπ≤x<2kπ+π且x≠2kπ+π2,1,x=2kπ+π2,－1,2kπ+π<x<2kπ+2π,k∈Z.数形结合可知,2π是函数f(x)=[sin x]的周期,所以②正确.对于③,当x∈(1,2)时,[x)=2,由([x)－x)[x)<x,得{1<x<2,(2－x)·2<x,解得43<x<2,故其解集为(43,2).所以③正确.对于④,因为g(x)=[sin x]+[cos x)={2,x =2kπ或x =2kπ+π2,1,2kπ<x <2kπ+π2,0,kπ+π2<x <kπ+π或x =2kπ+π或x =2kπ+3π2,－1,2kπ+π<x <2kπ+3π2,k ∈Z.所以函数g(x)=[sin x]+[cos x)的值域是{2,1,0,－1},所以④正确.陷阱二 错求目标失分——解题目标要明确跟踪训练2.B 作出不等式组对应的平面区域,如图中阴影部分(不包括边界OB)所示,其中A(1,2),B(0,2).2y2x+1=y x+12=y －0x －(－12),其几何意义是可行域内的点P(x,y)与点M (－12,0)的连线的斜率. 可知k MA =2－01－(－12)=43,k MB =2－00－(－12)=4,结合图形可得43≤2y2x+1<4.故2y2x+1的取值范围是[43,4).故选B.陷阱三 错用结论失分 ——公式、定理要记准跟踪训练3.D将函数g(x)=4sin xcos x=2sin2x的图象向左平移π6个单位得到函数y=2sin[2(x+π6)]=2sin(2x+π3)的图象,该函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为f(x)=2sin(12×2x+π3)=2sin(x+π3).所以f(π4)=2sin(π4+π3)=2sinπ4cosπ3+cosπ4sinπ3=2×(√22×12+√22×√32)=√6+√22.故选D.陷阱四忽视特殊情况——特殊情况要谨记跟踪训练4.解析(1)由于2S n=3n2－n,所以当n≥2时,2S n－1=3(n－1)2－(n－1),两式相减得2a n=6n－4,即a n=3n－2(n∈N*),当n=1时,a1=S1=1,适合上式,故a n=3n－2.(2)由(1)知a n=3n－2,则b n=(3n－2)·x n,当x=0时,b n=0,T n=0.当x≠0时,T n=x+4x2+7x3+10x4+…+(3n－2)·x n,xT n=x2+4x3+7x4+10x5+…+(3n－5)·x n+(3n－2)·x n+1,所以(1－x)T n=x+3(x2+x3+x4+…+x n)－(3n－2)·x n+1,①当x=1时,b n=3n－2,T n=n(3n－1)2.②当x≠1时,T n=(3n－2)x n+2－(3n+1)x n+1+2x2+x (1－x)2.故当x=0时,T n=0;当x=1时,T n=n(3n－1)2;当x≠1时,T n=(3n－2)x n+2－(3n+1)x n+1+2x2+x (1－x)2.陷阱五 分类讨论不全——问题分类要全面跟踪训练5.解析 (1)f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=x 2+2(1－a)x+1x(x+1)2.令y=x 2+2(1－a)x+1,x>0.①当Δ≤0,即0≤a ≤2时, f '(x)≥0恒成立, f(x)在(0,+∞)上单调递增. ②当Δ>0,即a>2或a<0时,由x 2+2(1－a)x+1=0,得x=a －1±√a 2－2a . 若a<0,则f '(x)>0恒成立,此时f(x)在(0,+∞)上单调递增; 若a>2,则a －1+√a 2－2a >a －1－√a 2－2a >0,由f '(x)>0,得0<x<a －1－√a 2－2a 或x>a －1+√a 2－2a ,则f(x)在(0,a －1－√a 2－2a )和(a －1+√a 2－2a ,+∞)上单调递增,由f '(x)<0,得a －1－√a 2－2a <x<a －1+√a 2－2a ,则f(x)在(a －1－√a 2－2a ,a －1+√a 2－2a )上单调递减.综上,当a ≤2时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;当a>2时, f(x)的单调递增区间为(0,a －1－√a 2－2a ),(a －1+√a 2－2a ,+∞),单调递减区间为(a －1－√a 2－2a ,a －1+√a 2－2a ). (2)证明:当a=1时, f(x)=ln x+2x+1. 令g(x)=f(x)－x+12=ln x+2x+1－x+12(x>0),则g'(x)=1x －2(x+1)2－12=2－x －x 32x(x+1)2=－(x －1)(x 2+x+2)2x(x+1)2.当x>1时,g'(x)<0,当0<x<1时,g'(x)>0,∴g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,即当x=1时,g(x)取得最大值,故g(x)≤g(1)=0,即f(x)≤x+12成立,得证.陷阱六 遗漏条件增解——细心审题不遗漏跟踪训练6.C 由cos B=cos C,可知△ABC 是等腰三角形. 因为sin A=35,所以需要对A 进行分类讨论.(1)当A 为锐角时,因为sin A=35,所以cos A=45,进而求得sin A 2=√1010. 由a=2,得b=c=√10,所以△ABC 中BC 边上的高等于3. 故△ABC 的面积为12×2×3=3.(2)当A 为钝角时,因为sin A=35,所以cos A=－45,进而求得sin A 2=3√1010. 由a=2,得b=c=√103,所以△ABC 中BC 边上的高等于13.故△ABC 的面积为12×2×13=13.综上,△ABC 的面积为3或13,故选C.陷阱七 推理不当致误——归纳类比要对应跟踪训练 7.答案 45解析 由题意知,从23到m 3,用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m=(m+2)(m －1)2(个),2 017是从3开始的第1 008个奇数.当m=44时,从23到443,用去从3开始的连续奇数共46×432=989(个);当m=45时,从23到453,用去从3开始的连续奇数共47×442=1 034(个),故m=45.陷阱八 画图不准失分——“数”化“形”要准确跟踪训练8.答案8解析令g(x)=xf(x)－1=0(x≠0),则f(x)=1x,那么所求g(x)在[－6,+∞)上的零点之和即求函数y=f(x)和y=1x 的图象的交点的横坐标之和.分别作出函数y=f(x)和y=1x的部分图象,如图所示.由于函数y=f(x)和y=1x的图象都关于原点对称,因此g(x)在[－6,6]上的零点之和为0,当x=8时,两函数图象刚好有1个交点,当x∈(8,+∞)时,y=1x的图象都在y=f(x)图象的上方.综上,g(x)=xf(x)－1在[－6,+∞)上的所有零点之和为8.陷阱九运算过程出错——步骤要合理跟踪训练9.解析(1)证明:设AC交BD于点O,连接PO,∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD且O为BD的中点,又∵PA⊥BD,PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,由于PO⊂平面PAC,故BD⊥PO,又∵BO=DO,故PB=PD.(2)设PD的中点为Q,连接AQ,EQ,则EQ=12CD,且EQ∥CD,∵AB ∥CD,AB=CD,F 为AB 的中点, ∴AF=12CD,且AF ∥CD, ∴EQ=AF,且EQ ∥AF,∴四边形AFEQ 为平行四边形,∴EF ∥AQ, ∵EF ⊥平面PCD,∴AQ ⊥平面PCD, ∵PD ⊂平面PCD,∴AQ ⊥PD,∵Q 为PD 的中点,∴AP=AD=√2,由AQ ⊥平面PCD,CD ⊂平面PCD,可得AQ ⊥CD, 又∵AD ⊥CD,AQ ∩AD=A,∴CD ⊥平面PAD,∵PA ⊂平面PAD,∴CD ⊥PA,又∵BD ⊥PA,BD ∩CD=D,∴PA ⊥平面ABCD.在△PAC 中,E,O 分别是PC,AC 的中点,∴EO ∥PA,且EO=12PA,∴EO ⊥平面ABCD,∴V D －ACE =V E －ACD =13×12PA ·S △ACD =13×12×√2×12×√2×√2=√26, 故三棱锥D －ACE 的体积为√26.陷阱十 问题转化不等价 ——等价转化要正确跟踪训练10.答案 (4,5)∪(5,7)解析 当p 为真命题时,Δ=(－m)2－4×1×4>0,解得m>4或m<－4; 当q 为真命题时,{m －3>0,7－m >0,m －3≠7－m,解得3<m<7且m ≠5.因为p ∧q 为真命题,所以p,q 皆为真命题,所以{m >4或m <－4,3<m <7且m ≠5,解得4<m<5或5<m<7.所以实数m的取值范围为(4,5)∪(5,7).。
2019版3年高考2年模拟专题攻略高考文科数学二轮复习课标版中档解答题规范练(一)
中档解答题规范练(一)解答题1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b(cos C+sin C).(1)求角B的大小;(2)若a=1,b=√2,求△ABC的面积.2.已知公差不为零的等差数列{a n}满足a1,a2,a4成等比数列,a3=3;数列{b n}满足b n－b n－1=a n－(n≥2),b4=a1.1(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)记c n=1,求数列{c n}的前n项和T n.b n+2n3.如图,三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均为2,AA 1⊥平面ABC,E,F 分别为棱A 1B 1,BC 的中点.(1)求证:直线BE ∥平面A 1FC 1;(2)平面A 1FC 1与直线AB 交于点M,指出点M 的位置,说明理由,并求三棱锥B －EFM 的体积.4.选考题(二选一)(Ⅰ)[选修4—4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为{x =－√22t,y =－4+√22t(其中t 为参数),现以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)过点M(1,0)且与直线l 平行的直线l'交曲线C 于A,B 两点,求|AB|.(Ⅱ)[选修4—5:不等式选讲]已知函数f(x)=－|x|－|x+2|.(1)解不等式f(x)<－4;(2)若正实数a,b满足a+b=√5,试比较a2+b 24与f(x)+3的大小,并说明理由.答案精解精析解答题1.解析 (1)在△ABC 中,a=b(cos C+sin C)⇒sin A=sin B(cos C+sin C),则sin(B+C)=sin B(cos C+sin C),所以cos Bsin C=sin Bsin C,又sin C>0,所以cos B=sin B,即tan B=1,又B ∈(0,π),所以B=π4.(2)在△ABC 中,a=1,b=√2,B=π4,由余弦定理,得2=1+c 2－2c ·√22,所以c 2－√2c －1=0,所以c=√2+√62, 所以△ABC 的面积S=12acsin B=1+√34.2.解析 (1)设数列{a n }的公差为d,则a 22=a 1a 4,即(a 1+d)2=a 1(a 1+3d),∴a 1=d,又a 3=3,∴a 1+2d=3d=3,∴d=1,a 1=1,∴a n =a 1+(n －1)·d=n.∵b 1=a 1,∴b 1=1.∵b n －b n －1=a n －1=n －1(n ≥2),∴当n ≥2时,b n =(b n －b n －1)+(b n －1－b n －2)+(b n －2－b n －3)+…+(b 3－b 2)+(b 2－b 1)+b 1=(n －1)+(n －2)+(n －3)+…+2+1+1=n 2－n+22,又b 1=1满足上式,∴b n =n 2－n+22(n ∈N *). (2)∵c n =1bn +2n =2n 2+3n+2=2(n+1)(n+2)=2(1n+1－1n+2),∴T n =2(12－13)+2(13－14)+…+2(1n －1n+1)+2(1n+1－1n+2)=1－2n+2=n n+2. 3.解析 (1)证明:取A 1C 1的中点G,连接EG,FG,于是EG ∥B 1C 1,且EG=12B 1C 1,又BF ∥B 1C 1且BF=12B 1C 1,所以BF EG,所以四边形BFGE 是平行四边形,所以BE ∥FG,而BE ⊄平面A 1FC 1,FG ⊂平面A 1FC 1,所以直线BE ∥平面A 1FC 1.(2)M 为棱AB 的中点.理由如下:因为AC ∥A 1C 1,AC ⊄平面A 1FC 1,A 1C 1⊂平面A 1FC 1,所以直线AC ∥平面A 1FC 1,又平面A 1FC 1∩平面ABC=FM,所以AC ∥FM,又F 为棱BC 的中点,所以M 为棱AB 的中点.S △BFM =14S △ABC =14×(12×2×2×sin60°)=√34,所以V 三棱锥B －EFM =V 三棱锥E －BFM =13×√34×2=√36.4.解析 (Ⅰ)(1)由{x =－√22t,y =－4+√22t 消去参数t,得直线l 的普通方程为x+y+4=0.又由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2－4x=0.(2)过点M(1,0)且与直线l 平行的直线l'的参数方程为{x =1－√22t,y =√22t.将其代入x 2+y 2－4x=0得t 2+√2t －3=0,则t 1+t 2=－√2,t 1t 2=－3,所以|AB|=|t1－t2|=√(t1+t2)2－4t1t2=√14.(Ⅱ)(1)f(x)<－4,即|x|+|x+2|>4.当x≤－2时,－2x－2>4,解得x<－3;当－2<x≤0时,2>4,矛盾,无解;当x>0时,2x+2>4,解得x>1;所以原不等式的解集为{x|x<－3或x>1}.(2)因为|x|+|x+2|≥|x－x－2|=2,当且仅当－2≤x≤0时,取“=”,所以f(x)=－|x|－|x+2|≤－2,即f(x)+3≤1.又a2+b 24=5b24－2√5b+5=5 4(b2－85√5b)+5=54(b－45√5)2+1≥1,当且仅当a=√55,b=4√55时取等号,所以a2+b 24≥f(x)+3.。
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突破6类解答题三角函数问题重在“变”——变角、变式思维流程策略指导1.常用的变角技巧: (1)已知角与特殊角的变换; (2)已知角与目标角的变换; (3)角与其倍角的变换;(4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用.如:α=(α+β)－β=(α－β)+β,2α=(α+β)+(α－β),2α=(β+α)－(β－α),α+β=2·α+β2,α+β2=(α－β2)－(α2－β).2.常用的变式技巧:主要从函数名、次数、系数方面入手,常见有:(1)讨论三角函数的性质时,常常将它化为一次的单角的三角函数来讨论;(2)涉及sin x±cos x 、sin x ·cos x 的问题,常做换元处理,如令t=sin x±cos x,t ∈[－√2,√2],将原问题转化为关于t 的函数来处理;(3)在解决三角形的问题时,常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等.例1已知函数f(x)=4tan xsin(π2－x)·cos(x－π3)－√3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间[－π4,π4]上的单调性.思路分析第(1)问求什么,如何想求f(x)的定义域与最小正周期,想到根据f(x)的解析式建立关于x的不等式,求周期,想到化f(x)的解析式为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式给什么,如何用题目中给出f(x)=4tan xsin(π2－x)·cos(x－π3)－√3,利用切化弦、诱导公式及辅助角公式将其化为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式第(2)问求什么,如何想要讨论f(x)在区间[－π4,π4]上的单调性,想到f(x)=sin x的单调性给什么,如何用由(1)可知f(x)=Asin(ωx+φ),利用整体代换求出其定义域上的单调性,然后将所求单调区间与[－π4,π4]求交集运算解析(1)f(x)的定义域为{x|x≠π2+kπ,k∈Z}.f(x)=4tan xcos xcos(x－π3)－√3=4sin xcos(x－π3)－=4sin x (12cosx +√32sinx)－=2sin xcos x+2√3sin 2x －√3 =sin 2x+√3(2sin 2x －1) =sin 2x －√3cos 2x=2sin (2x －π3)所以f(x)的最小正周期T=2π2=π. (2)令z=2x －π3,则函数y=2sin z 的单调递增区间是[－π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z. 由－π2+2kπ≤2x －π3≤π2+2kπ,k ∈Z, 得－π12+kπ≤x ≤5π12+kπ,k ∈Z.设A=[－π4,π4],B=[－π12+kπ,5π12+kπ],k ∈Z, 易知A ∩B=[－π12,π4].所以当x ∈[－π4,π4]时, f(x)在区间[－π12,π4]上单调递增,在区间[－π4,－π12]上单调递减. ▲题后悟通 解答此类问题的关键在于“变”,其思路为“一角二名三结构”:升幂(降幂)公式口诀:“幂降一次,角翻倍,幂升一次,角减半”.跟踪训练.1.(2018辽宁五校协作体联考)已知函数f(x)=cos2x+√3sin(π－x)cos(π+x)－12(1)求函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间;(2)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知f(A)=－1,a=2,bsin C=asin A,求△ABC 的面积.数列问题重在“归”——化归思维流程策略指导化归的常用策略利用化归思想可探索一些一般数列的简单性质.等差数列与等比数列是数列中的两个特殊的基本数列,高考中通常考查的是非等差、非等比数列问题,应对的策略就是通过化归思想,将其转化为等差、等比数列.例2 已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2+8n,{b n }是等差数列,且a n =b n +b n+1.(1)求数列{b n }的通项公式; (2)令c n =(a n +1)n+1(b n +2)n.求数列{c n }的前n 项和T n .思路分析 第(1)问 求什么,如何想求{b n }的通项公式,想到求首项b 1和公差d给什么,如何用题目中给出{a n }的前n 项和S n 及a n =b n +b n+1,可先利用S n =3n 2+8n 求a n ,然后利用a n =b n +b n+1求首项b 1和公差d第(2)问求什么,如何想 求{c n }的前n 项和T n ,想到应先求通项c n给什么,如何用题中给出c n 与a n 、b n 的关系,可将第(1)问中求得的a n 和b n 代入,然后求和解析 (1)由题意知当n ≥2时,a n =S n －S n －1=6n+5, 当n=1时,a 1=S 1=11,符合上式, 所以a n =6n+5(n ∈N *). 设数列{b n }的公差为d.由{a 1=b 1+b 2a 2=b 2+b 3即{11=2b 1+d,17=2b 1+3d, 可解得b 1=4,d=3.所以b n =3n+1. (2)由(1)知c n =(6n+6)n+1(3n+3)n=3(n+1)·2n+1.由T n =c 1+c 2+…+c n ,得T n =3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],2T n =3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],两式作差,得－T n =3×[2×22+23+24+…+2n+1－(n+1)×2n+2]=3×[4+4(1－2n )1－2－(n +1)×2n+2]=－3n ·2n+2,所以T n =3n ·2n+2.▲题后悟通求解数列问题的关键步骤跟踪训练2.(2018武汉调研)已知正项等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S n+2=14S n +32. (1)求数列{a n }的首项a 1和公比q; (2)若b n =na n ,求数列{b n }的前n 项和T n .立体几何问题重在“建”“转”——建模、转换 思维流程策略指导立体几何解答题建模、转换策略 立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合,以某个几何体为依托,分步设问,逐层加深,解决这类题目的原则是建模、转换.建模——问题转化为平行模型、垂直模型等;转换——对几何体的体积、三棱锥的体积考查顶点转换,不规则多面体体积分割转换为几个规则几何体的体积和或体积差求解.另外,还有平行、垂直关系之间的转换,翻折问题平面图形数量关系与空间图形数量关系的转换.例3如图所示,在四棱锥P－ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=π3,M为BC上一点,且BM=12,N为AB上一点,且BN=12.(1)证明:MN∥平面PAC;(2)证明:BC⊥平面POM;(3)若MP⊥AP,求四棱锥P－ABMO的体积.思路分析第(1)问求什么,如何想证明MN∥平面PAC,想到证明MN与平面PAC中的某一直线平行给什么,如何用题目中有BM=BN=12,可知MN∥AC第(2)问求什么,如何想证明BC⊥平面POM,想到证明BC与平面POM内的两条相交直线垂直给什么,如何用题中有PO⊥底面ABCD,可知BC⊥PO.题干中四边形ABCD为菱形,知OA⊥OB,又∠BAD=π3,可知∠OBM=π3.在△OBM中,利用余弦定理可求OM,利用勾股定理的逆定理判断OM⊥BC第(3)问求什么,如何想求四棱锥P－ABMO的体积,想到求四边形ABMO的面积和棱锥的高PO给什么,如何用已知MP ⊥AP,可知△POA,△POM,△PAM 均为直角三角形,利用勾股定理可求PO 的值.另外,S 四边形ABMO =S △AOB +S △OMB解析 (1)证明:因为BM=BN=12,BC=BA, 所以BM BC =BNBA ,所以MN ∥AC.所以MN ∥平面PAC.(2)证明:连接OB,因为四边形ABCD 为菱形,O 为菱形中心,所以AO ⊥OB.因为∠BAD=π3,AB=2, 故OB=AB ·sin π6=1,在△OBM 中,因为BM=12,且∠OBM=π3, 所以OM 2=OB 2+BM 2－2OB ·BM ·cos ∠OBM =12+(12)2－2×1×12×cos π3=34. 所以OB 2=OM 2+BM 2, 所以OM ⊥BM, 即OM ⊥BC. 又PO ⊥底面ABCD, 所以PO ⊥BC.从而BC 与平面POM 内两条相交直线OM,PO 都垂直,所以BC ⊥平面POM.(3)由(2)得,OA=AB ·cos ∠OAB=2×cos π6=√3.设PO=a,由PO ⊥底面ABCD 知,△POA 为直角三角形, 故PA 2=PO 2+OA 2=a 2+3. 由△POM 也是直角三角形, 得PM 2=PO 2+OM 2=a 2+34.连接AM,在△ABM 中,AM 2=AB 2+BM 2－2AB ·BM ·cos ∠ABM=22+(12)2－2×2×12×cos2π3=214.因为MP ⊥AP,所以△APM 为直角三角形, 则PA 2+PM 2=AM 2, 即a 2+3+a 2+34=214, 解得a=√32(a =－√32舍去),即PO=√32.又因为=12·AO ·OB+12·BM ·OM =12×√3×1+12×12×√32=5√38, 所以四棱锥P －ABMO 的体积V P －ABMO =13·S 四边形ABMO ·PO=13×5√38×√32=516. ▲题后悟通有关立体几何综合问题的解题步骤跟踪训练3.(2018山东济南模拟)如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为等腰梯AD,E,F分别为线段AD,PB的中点.形,AD∥BC,AB=BC=12(1)证明:PD∥平面CEF;(2)若PE⊥平面ABCD,PE=AB=2,求三棱锥P－DEF的体积.概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型、辨图 思维流程策略指导概率与统计问题辨析、辨型与辨图的基本策略(1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点,事件之间有什么关系,如互斥、对立等.(2)理清事件以什么形式发生,如同时发生、至少有几个发生等.(3)明确抽取方式,如放回还是不放回、抽取有无顺序等.(4)分清是古典概型还是几何概型后再求概率.(5)会套用求b ^、K 2的公式求值,再作进一步求值与分析.(6)理解各图表所给信息,利用信息找出所要数据.例4 微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件,它支持发送语音短信、视频、图片和文字,一经推出便风靡全球,甚至涌现出一批在微信朋友圈内销售商品的人(被称为微商).为了调查微信用户每天使用微信的时间,某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名,其中每天玩微信超过6小时的用户称为“微信控”,否则称为“非微信控”,调查结果如下:微信控 非微信控 总计 男性 26 24 50 女性 30 20 50 总计5644100(1)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过0.4的前提下认为“微信控”与“性别”有关?(2)现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份,求所抽取5人中“微信控”和“非微信控”的人数;(3)从(2)中抽取的5人中再随机抽取2人赠送200元的护肤品套装,求这2人中至少有1人为“非微信控”的概率.参考公式:K 2=n(ad －bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d. 参考数据: P(K 2≥k 0) 0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010 k 00.4550.7081.3233.8415.0246.635思路分析 第(1)问求什么,如何判断能否在犯错误的概率不超过0.4的前提下认为“微信控”与“性别”有关,想到求想 K 2的值,然后利用题中所提供的数据表作出判断给什么,如何用 题目中给出2×2列联表,代入K 2公式计算即可第(2)问求什么,如何想 求从女性用户中按分层抽样抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数,想到分层抽样的特点给什么,如何用2×2列联表中女性“微信控”30人,“非微信控”20人,利用分层抽样按比例抽取即可第(3)问求什么,如何想求从(2)中抽取的5人中再抽取2人,且这2人中至少有1人为“非微信控”的概率,想到可利用互斥事件或对立事件概率公式求解 给什么,如何用由(2)可知,5人中有3人是“微信控”,2人是“非微信控”,可利用列举法列出所有基本事件的个数,利用古典概型的概率公式求解解析k=100×(26×20－30×24)256×44×50×50≈0.649<0.708,所以不能在犯错误的概率不超过0.4的前提下认为“微信控”与“性别”有关. (2)依题意可知,所抽取的5位女性中,“微信控”有5×3050=3(人),“非微信控”有5×2050=2(人).则所有可能的基本事件为(a,b),(a,c),(a,D),(a,E),(b,c),(b,D),(b,E),(c,D),(c,E),(D,E),共10种, 其中至少有1人为“非微信控”的基本事件有(a,D),(a,E),(b,D),(b,E),(c,D),(c,E),(D,E),共7种,所以这2人中至少有1人为“非微信控”的概率为710.▲题后悟通 (1)独立性检验用来考察两个分类变量是否有关系,计算随机变量K 2的观测值k,k 越大,说明两个分类变量有关系的可能性越大.(2)古典概型的概率问题,关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数,然后利用古典概型的概率计算公式计算;当基本事件总数较少时,用列举法把所有的基本事件一一列举出来,要做到不重不漏,有时可借助表格或树状图列举;同时注意判断该问题是古典概型还是几何概型,对于基本事件个数,前者是有限的,后者是无限的.跟踪训练4.(2018益阳、湘潭调研)某中学为了了解全校学生的上网情况,在全校范围内采取随机抽样的方法抽取了80名学生(其中男女生人数恰好各占一半)进行问卷调查,并进行了统计,按男女分为两组,再将每组学生的月上网次数分为5组:[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25],得到如图所示的频率分布直方图. (1)写出a 的值;(2)求80名学生中月上网次数不少于15次的学生人数;(3)在80名学生中,从月上网次数少于5次的学生中随机抽取2人,求至少抽取到1名男生的概率.圆锥曲线问题重在“设”——设点、设线思维流程策略指导圆锥曲线解答题的常见类型:第1小题通常是根据已知条件,求曲线方程或离心率,一般比较简单,第2小题往往是通过方程研究曲线的性质——弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题,等等,这一小题综合性较强,可通过巧设“点”“线”,设而不求.在具体求解时,可将整个解题过程分成程序化的三步: 第一步,联立两个方程,并将消元所得方程的判别式与根与系数的关系正确写出; 第二步,用两个交点的同一类坐标的和与积来表示题目中涉及的位置关系和数量关系;第三步,求解转化而来的代数问题,并将结果回归到原几何问题中.在求解时,要根据题目特征恰当地设点、设线,以简化运算.例5已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点(1,32)在椭圆C上,O为坐标原点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,且∠AOB为锐角,求直线l的斜率k的取值范围;(3)过椭圆C1:x 2a2+y2b2－53=1上异于其顶点的任意一点P,作圆O:x2+y2=43的两条切线,切点分别为M,N(M,N不在坐标轴上),若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m,n,证明:13m2+1n2为定值.思路分析第(1)问求什么,如何想求椭圆的标准方程,想到确定椭圆焦点的位置,求a,b的值给什么,如何用给出右焦点F(1,0),点(1,32)在椭圆上,可知c=1,1a2+94b2=1,结合a2=b2+c2求解第(2)问求什么,如何想求直线l的斜率k的取值范围,想到建立关于k的不等式给什么,如何用题目中给出直线l过点(0,2)且与椭圆交于A,B两点,∠AOB为锐角,即OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗ >0,可利用此条件建立k的不等式求解第(3)问求什么,如何证明13m2+1n2为定值,想到选择合适的参数表示13m2+1n2,然后求值想给什么,如何用题目中给出的m,n 是直线MN 在x 轴、y 轴上的截距,其中M,N 分别为过椭圆C 1上的任意一点P 作圆O:x 2+y 2=43的切线所得切点,此处题目中所给条件均涉及点,故可设出P,M,N 的坐标,然后借助切线这一条件表示出直线MN 的方程,进而求得m,n,并求得13m 2+1n 2的值解析 (1)由题意,得c=1,所以a 2=b 2+1. 因为点(1,32)在椭圆C 上,所以1a 2+94b 2=1, 可解得a 2=4,b 2=3.则椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1. (2)易知直线l 的斜率不为0,设直线l 的方程为y=kx+2,点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 由{x 24+y 23=1,y =kx +2,得(4k 2+3)x 2+16kx+4=0. 因为Δ=48(4k 2－1)>0,所以k 2>14,由根与系数的关系,得x 1+x 2=－16k4k 2+3,x 1x 2=44k 2+3. 因为∠AOB 为锐角,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ >0,即x 1x 2+y 1y 2>0. 所以x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2)>0,即(1+k 2)x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4>0,(1+k 2)·44k 2+3+2k ·－16k4k 2+3+4>0,－12k 2+164k 2+3>0,所以k 2<43.综上,14<k 2<43,解得－2√33<k<－12或12<k<2√33. 所以,所求直线的斜率k 的取值范围为－2√33<k<－12或12<k<2√33. (3)证明:由(1)知椭圆C 1的方程为x 24+3y 24=1,因为M,N 不在坐标轴上,所以k PM =－1k OM=－x 3y 3,直线PM 的方程为y －y 3=－x3y 3(x －x 3),化简得x 3x+y 3y=43,③同理可得直线PN 的方程为x 4x+y 4y=43.④ 把P 点的坐标代入③④得{x 3x 0+y 3y 0=43,x 4x 0+y 4y 0=43,所以直线MN 的方程为x 0x+y 0y=43.令y=0,得m=43x 0,令x=0,得n=43y 0,所以x 0=43m ,y 0=43n ,又点P 在椭圆C 1上,所以(43m )2+3(43n )2=4,即13m 2+1n 2=34,为定值.▲题后悟通 解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤: (1)设方程及点的坐标;(2)联立直线方程与曲线方程得方程组,消元得方程(注意二次项系数是不是零); (3)得根与系数的关系及判别式;(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解. 跟踪训练5.(2018湖南长沙模拟)如图,已知抛物线y 2=4x,过x 轴上的点P 作斜率分别为k 1,k 2的直线l 1,l 2,已知直线l 1与抛物线在第一象限切于点A(x 0,y 0),直线l 2与抛物线在第四象限分别交于B,C 两点,记△PAB,△PAC 的面积分别为S 1,S 2,且S 1∶S 2=1∶3.(1)求点P 的横坐标关于x 0的表达式; (2)求k1k 2的值.高考大题通法点拨——函数与导数问题重在“分”——分离、分解思维流程策略指导函数与导数问题一般以函数为载体,以导数为工具,重点考查函数的一些性质,如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论,复杂函数零点的讨论,函数不等式中参数范围的讨论,恒成立和能成立问题的讨论等,是近几年高考试题的命题热点.对于这类综合问题,一般是先求导,再变形、分离或分解出基本函数,再根据题意处理.例6 (2018合肥第二次质量检测)已知函数f(x)=(x －1)e x －ax 2(e 是自然对数的底数).(1)讨论函数f(x)的极值点的个数,并说明理由; (2)若对任意的x>0, f(x)+e x ≥x 3+x,求实数a 的取值范围. 思路分析 第(1)问求什么,如何想讨论函数f(x)的极值点的个数,想到f '(x)=0的解的个数给什么,如何用 题干中给出f(x)=(x －1)e x －ax 2,求出f '(x),然后解方程f '(x)=0,注意对参数a 的分类讨论第(2)问求什么,如何想求a 的取值范围,想到建立a 的不等式给什么,如何用 题中给出对任意x>0, f(x)+e x ≥x 3+x 成立,根据该不等式将参数a 分离,然后构造函数求解解析 (1)f '(x)=xe x －2ax=x(e x －2a).当a ≤0时,由f '(x)<0得x<0,由f '(x)>0得x>0,∴f(x)在(－∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)有1个极值点;当0<a<12时,由f '(x)>0得x<ln 2a 或x>0,由f '(x)<0得ln 2a<x<0,∴f(x)在(－∞,ln 2a)上单调递增,在(ln 2a,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)有2个极值点;当a=12时, f '(x)≥0,∴f(x)在R 上单调递增,∴f(x)没有极值点; 当a>12时,由f '(x)>0得x<0或x>ln 2a,由f '(x)<0得0<x<ln 2a,∴f(x)在(－∞,0)上单调递增,在(0,ln 2a)上单调递减,在(ln 2a,+∞)上单调递增,∴f(x)有2个极值点.综上,当a ≤0时, f(x)有1个极值点;当a>0且a ≠12时, f(x)有2个极值点;当a=12时, f(x)没有极值点.(2)由f(x)+e x ≥x 3+x 得xe x －x 3－ax 2－x ≥0.当x>0时,e x －x 2－ax －1≥0,即a ≤e x －x 2－1x 对任意的x>0恒成立设g(x)=e x －x 2－1x ,则g'(x)=(x －1)(e x －x －1)x 2. 设h(x)=e x －x －1,则h'(x)=e x －1.∵x>0,∴h'(x)>0,∴h(x)在(0,+∞)上单调递增,∴h(x)>h(0)=0,即e x >x+1,∴g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴g(x)≥g(1)=e －2,∴a ≤e －2,∴实数a 的取值范围是(－∞,e －2].▲题后悟通 函数与导数综合问题的解题关键:(1)求函数的极值点,先求方程f '(x)=0的根,将函数的定义域分成若干个开区间,再列成表格,最后根据表格内容即可写出函数的极值;(2)证明不等式,常构造函数,并利用导数法判断新构造函数的单调性,从而可证明原不等式成立;(3)不等式恒成立问题除了用分离参数法外,还可以从分类讨论和判断函数的单调性入手,求参数的取值范围.跟踪训练6.(2018山西太原模拟)已知函数f(x)=ln x －ax 2+(2－a)x,g(x)=xe x －2.(1)求函数f(x)的极值;(2)若对任意给定的x 0∈(0,e],方程f(x)=g(x 0)在(0,e]上总有两个不相等的实数根,求实数a 的取值范围.答案精解精析三角函数问题重在“变”——变角、变式跟踪训练1.解析(1)f(x)=cos2x－√3sin xcos x－12=1+cos2x2－√32sin2x－12=－sin(2x－π6),由2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ－π6≤x≤kπ+π3,k∈Z,又x∈[0,π],∴函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间为[0,π3]和[5π6,π].(2)由(1)知f(x)=－sin(2x－π6),∴f(A)=－sin(2A－π6)=－1.∵△ABC为锐角三角形,∴0<A<π2,∴－π6<2A－π6<5π6,∴2A－π6=π2,即A=π3.又bsin C=asin A,∴bc=a2=4,∴S △ABC =12bcsin A=√3.数列问题重在“归”——化归跟踪训练2.解析 (1)由S n+2=14S n +32,可知S 3=14S 1+32,S 4=14S 2+32,两式相减得a 4=14a 2,∴q 2=14,由题意知q>0,∴q=12.由S 3=14S 1+32,可知a 1+a 2+a 3=14a 1+32,即a 1(1+12+14)=14a 1+32,∴a 1=1.(2)由(1)知a n =(12)n －1. ∴b n =n2n －1,∴T n =1+22+322+…+n2n －1, 12T n =12+222+…+n －12n －1+n 2n , 两式相减得12T n =1+12+…+12n －1－n 2n =2－12n －1－n 2n , ∴T n =4－n+22n －1.立体几何问题重在“建”“转”——建模、转换 跟踪训练3.解析 (1)证明:连接BE,BD,设BD 交CE 于点O,连接OF.∵E 为线段AD 的中点,AD ∥BC,BC=12AD=ED,∴BC ED,∴四边形BCDE 为平行四边形,∴O 为BD 的中点,又F 是BP 的中点,∴OF ∥PD.又OF ⊂平面CEF,PD ⊄平面CEF,∴PD ∥平面CEF.(2)解法一:由(1)知,BE=CD.∵四边形ABCD 为等腰梯形,AB=BC=12AD,∴AB=AE=BE,∴三角形ABE 是等边三角形,∴∠DAB=π3. 过B 作BH ⊥AD 于点H,则BH=√3.∵PE ⊥平面ABCD,PE ⊂平面PAD,∴平面PAD ⊥平面ABCD,又平面PAD ∩平面ABCD=AD,BH ⊥AD,BH ⊂平面ABCD,∴BH ⊥平面PAD,∴点B 到平面PAD 的距离为BH=√3.又F 为线段PB 的中点,∴点F 到平面PAD 的距离h 等于点B 到平面PAD 的距离的一半,即h=√32,又S △PDE =12PE ·DE=2,∴V P －DEF =V F －PDE =13S △PDE ·h=13×2×√32=√33.解法二:由(1)知CD ∥BE,CD ⊄平面BEP,BE ⊂平面BEP,∴CD ∥平面BEP,∴点D 到平面BEP 的距离等于点C 到平面BEP 的距离.过C 作CT ⊥BE 于点T,易知BC=BE=EC=2,三角形BCE 是等边三角形,∴CT=√3.∵PE ⊥平面ABCD,PE ⊂平面BEP,∴平面BEP ⊥平面ABCD,又平面BEP ∩平面ABCD=BE,CT ⊥BE,CT ⊂平面ABCD,∴CT ⊥平面BEP,∴点C 到平面BEP 的距离为CT=√3.又F 为线段PB 的中点,∴S △PEF =12S △PBE =14PE ·BE=1,∴V P －DEF =V D －PEF =13S △PEF ·CT=13×1×√3=√33.概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型、辨图跟踪训练4.解析 (1)a=1－(2×0.02+0.03+0.08)×55=0.05.(2)在所抽取的女生中,月上网次数不少于15次的学生人数的频率为(0.05+0.02)×5=0.35, 所以,月上网次数不少于15次的女生有0.35×40=14(人).在所抽取的男生中,月上网次数不少于15次的学生人数的频率为(0.04+0.03)×5=0.35, 所以,月上网次数不少于15次的男生有0.35×40=14(人).故所抽取的80名学生中月上网次数不少于15次的学生有28人.(3)记“在80名学生中,从月上网次数少于5次的学生中随机抽取2人,至少抽到1名男生”为事件A,在抽取的女生中,月上网次数少于5次的学生人数的频率为0.02×5=0.1,人数为0.1×40=4, 在抽取的男生中,月上网次数少于5次的学生人数的频率为0.01×5=0.05,人数为0.05×40=2, 则在80名学生中,从月上网次数少于5次的学生中随机抽取2人,所有可能的结果有15种,而事件A 包含的结果有9种,所以P(A)=915=35.圆锥曲线问题重在“设”——设点、设线跟踪训练5.解析 (1)当y>0时,y=2√x ,∴A(x 0,2√x 0).∵直线l1与抛物线切于点A,y'=√x,∴k1=√x,∴直线l1的方程为y－2√x0=√x(x－x0),令y=0,得点P的横坐标x p=－x0.(2)由(1)知P(－x0,0),易得k2<0,∴直线l2的方程为x=1k2y－x0.设B(x1,y1),C(x2,y2),联立直线l2与抛物线的方程,消去x得y2－4k2y+4x0=0,∴y1+y2=4k2,y1y2=4x0.①∵S1∶S2=1∶3,∴|PB|∶|PC|=1∶3,∴y2=3y1,代入①式得k22=34x0,∴k2=－√32√x ,又k1=√x,∴k1k2=－2√33.高考大题通法点拨——函数与导数问题重在“分”——分离、分解跟踪训练6.解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x －2ax+(2－a)=(2x+1)(－ax+1)x,①当a≤0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)无极值;②当a>0时,令f'(x)>0,得0<x<1a ,故f(x)在(0,1a)上单调递增,在(1a,+∞)上单调递减,∴f(x)存在极大值,极大值为f(1a )=ln1a+1a－1,无极小值.综上所述,当a≤0时,f(x)无极值;当a>0时,f(x)存在极大值,极大值为f(1a )=ln1a+1a－1,无极小值.(2)g(x)=x e x －2,g'(x)=1－xe x ,令g'(x)>0,得x<1,令g'(x)<0,得x>1,则g(x)在(－∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.又g(0)=－2,g(1)=1e －2,g(e)=e e e －2>g(0),∴当x ∈(0,e]时,g(x)∈(－2,1e －2].由(1)得,当a ≤0时, f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时在(0,e]上f(x)=g(x 0)总有两个不相等的实数根不成立,因此a>0.当a>0时,依题意,得{ 0<1a <e,f (1a )>1e －2,f(e)≤－2,由f(e)=1－ae 2+2e －ea ≤－2,得a ≥3+2e e 2+e , 由f (1a )=ln 1a +1a －1>1e －2,得ln a －1a +1e <1,令h(x)=ln x －1x +1e ,x ∈(0,+∞),易知h(x)在(0,+∞)上单调递增,且h(e)=1,∴由ln a －1a +1e <1,得a ∈(0,e).综上所述,3+2e e 2+e ≤a<e,故实数a 的取值范围是[3+2ee 2+e ,e).。